Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

§0. Введение.

Глава I.

Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах

§1. Квантование по Березину.

§2. Параэрмитовы симметрические пространства.

§3. Максимально вырожденные представления.

§4. Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах

Глава II.

Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде

§5. Группа БЬ(2,К) и ее представления.

§6. Тензорное произведение 7Г/ ® 7?/.

§7. Однополостный гиперболоид.

§8. Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде

§9. Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде

Глава III.

Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах О/Н ранга один

§10. Группа SL(n,R), ее подгруппы, разложения, алгебра Ли

§11. Максимально вырожденные серии представлений.

§12. Гармонический анализ на многообразии Штифеля.

§13. Представления Тау. компактная картина.

§14. Представления Тау. некомпактная картина.

§15. Представления Тт.

§16. Тензорное произведение 7rJ 0 7г.

§17. Формула Планшереля для <8> тг^.

§18. Пространство G/H.

§19. Я-инварианты.

§20. Квазирегулярное представление в многочленах на G/H

§21. Преобразование Пуассона.

§22. Преобразование Фурье.

§23. Сферические функции.

§24. Конечномерный анализ на G/H.

§25. Полиномиальное квантование на G/H.

1. В настоящей работе мы рассматриваем некоторый вариант квантования в духе Ф.А. Березина на так называемых параэрмитовых симметрических пространствах первой категории С/Н (терминология взята из [26]). Эти пространства О/Н принадлежат к очень широкому классу полупростых симметрических пространств, кроме того, они являются симплектическими многообразиями. Среди симплектичес-ких полупростых симметрических пространств О/Н можно выделить четыре класса: a) эрмитовы симметрические пространства; b) полукэлеровы симметрические пространства; c) параэрмитовы симметрические пространства первой категории; с1) параэрмитовы симметрические пространства второй категории.

Для случая простой группы Ли С эти четыре класса дают классификацию (с локальной точки зрения).

Пространства из первого класса римановы, из остальных - псевдоримановы (не римановы). Римановой формой для последних являются пространства из первого класса.

Пространства из первых двух классов а) и Ь) обладают инвариантной комплексной структурой, инвариантная метрика дается эрмитовой дифференциальной формой, которая для класса а) положительно (отрицательно) определена (так что в этом случае мы можем записать пространство как С/Л', где О - полупростая группа Ли с конечным центром, К - ее максимальная компактная подгруппа), а для класса Ь) не является знакоопределенной. Пространства из класса с) обладают двумя линейно независимыми инвариантными поляризациями, это означает, что в каждой точке касательное пространство распадается в прямую сумму двух лагран-жевых подпространств, причем каждое из них инвариантно относительно стационарной подгруппы данной точки. Это можно выразить таким образом, что пространство обладает инвариантной структурой над алгеброй "двойных чисел" (алгебра размерности 2 над К, состоящая из "чисел" г = х + г'у, х, у £ К, г2 = 1). Наконец, пространства из класса с!) - это комплексификации пространств из класса а).

Предмет нашего рассмотрения - это пространства класса с). Их классификацию (с локальной точки зрения) см в [26]. В частности, пространства О/Н ранга 1 с точностью до накрытия исчерпываются пространствами, для которых О — 8Ь(п,К), Н = СЬ(п- 1, К).

2. Напомним концепцию квантования, предложенную Березиным, см. [3], [4], [5]. Мы не будем излагать ее в полной общности, мы ограничимся упрощенной версией, несколько более подробно это изложено в §1.

Пусть М - симплектическое многообразие. Тогда С°°(М) является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона {Л, В}, Л, В € С°°(М).

Квантование в смысле Березина состоит из двух шагов.

Шаг первый: надо построить некоторую совокупность ассоциативных алгебр А(1г), содержащихся в С°°(М) и зависящих от параметра /г > 0 (называемого постоянной Планка), умножение в А(К) обозначается *, оно тоже зависит от к. Эти алгебры должны удовлетворять некоторым условиям (см. §1), важнейшими из которых являются два, см. (1.1), (1.2), вместе образующие так называемый принцип соответствия.

Шаг второй: надо построить представления А и-»- А алгебр Л(к) операторами в гильбертовом пространстве.

Березин исследовал случай, когда М есть эрмитово симметрическое пространство, т.е. пространство класса а). Пусть оно реализовано как ограниченная область в С"1. Исходным пунктом в конструкции Березина является так называемая переполненная система (система когерентных состояний) Ф(г,Ш), г, го £ Сш. Она представляет собой поляризацию ядра Бергмана в степени, зависящей от параметра к. Искомые алгебры Л(Ь) состоят из ковариантных символов А(г,г) операторов А, действующих в пространствах Фока Тк на М. Ковариантный символ определяется формулой

1У=Г

0.1) где оператор А действует на Ф(г,й7) как на функцию от г. Березин рассматривал все ограниченные операторы в пространстве Фока. Оператор вполне определяется своим ковариантным символом. Умножение операторов порождает умножение * символов, последнее задается интегралом, содержащим так называемое ядро Березина. Интегральный оператор с этим ядром называется преобразованием Березина В, оно действует в функциях на М. Березин нашел выражение преобразования В через операторы Лапласа на М и нашел асимптотику В при 1г —> 0:

В ~ 1 + Л А, (0.2) где Д - оператор Лапласа-Бельтрами на М. Это решает задачу построения квантования на М: алгебры »4.(/г) состоят из ковариантных символов ограниченных операторов в ^ с умножением *, принцип соответствия вытекает из (0.2). Кроме того, Березин опеределяет контравариантные символы операторов: это операторы Теплица в пространстве Фока. Оказывается, что для данного оператора переход от его контравариантного символа к ковариантному символу дается преобразованием Березина.

3. В нашей работе мы рассматриваем квантование в духе Березина на пространствах (7/Н класса с). Мы следуем схеме из [29]. Условия, накладываемые на семейство алгебр А(Н), должны быть несколько видоизменены. Мы можем считать, что О/Н есть С-орбита в присоединенном представлении группы С, а также что О - простая группа Ли. Следовательно, О/Н есть многообразие, лежащее в алгебре Ли 0 группы О. В качестве переполненной системы мы берем ядро Ф(£,//) = ФМ)£(^, ?/) оператора, сплетающего представления из максимально вырожденных серий 7Г~е и 7Г+е представлений группы С. Здесь ц 6 С, £ = 0,1. Векторы £ и 7/ пробегают соответственно //-инвариантные лагранжевы подпространства q- и q+ в начальной точке ж0 = Не (е - единица группы О) пространства О/Н. Пары (£,??) дают координаты на О/Н, за исключением многообразия меньшей размерности. Представления 7Г~ и 7Г+Е действуют соответственно в некоторых пространствах функций у>(£) и ф(т]). Аналогом пространства Фока служит пространство функций

В качестве исходной алгебры операторов мы берем алгебру операторов Б = тг~£(Х), где X принадлежит универсальной обертывающей алгебре Епу(д) алгебры

Ли g. Ковариантный символ F(Ç, 7]) оператора D мы определим формулой, аналогичной (0.1): о-з) где оператор D действует на Ф(£, 77) как на функцию от Эти ковариантные символы на самом деле не зависят от е. Они являются функциями на Gj Н. Больше того, они являются многочленами на G/H (т.е. ограничениями на G/H многочленов на g). Это утверждение доказано для ранга один, для высших рангов это - пока еще гипотеза. Для данного ц обозначим через Ац множество всех ковариантных символов, полученных указанным способом.

Для /л общего положения пространство А^ есть пространство S(G/H) всех многочленов на G/H.

Дальше теория развивается по схеме Березина, изложенной выше, а именно, отображение D ь-> F, сопоставляющее оператору его ковариантный символ, является g-эквивариантным, для /î общего положения оператор восстанавливается по своему ковариантному символу, умножение операторов порождает умножение (обозначим его *) ковариантных символов, последнее умножение задается интегралом с ядром, которое мы называем ядром Березина и которое по форме аналогично ядру Березина для G ¡К. Таким образом, пространства Ам оказываются ассоциативными алгебрами с единицей относительно умножения *.

С другой стороны, мы можем определить контравариантные символы операторов - формулой, аналогичной случаю Gj К.

Таким образом, мы получили два отображения D 1—» F ("ко") и F 1—» А ("контра"), связывающие операторы D и А, действующие в функциях от и многочлены F на G/H.

Композиция В = (ко) о (контра), т.е. переход от контравариантного символа оператора к его ковариантному символу является интегральным оператором с ядром Березина. Назовем В преобразованием Березина. Оно может быть выражено через операторы Лапласа на G/H. На конечномерных подпространствах в S(G/H) преобразование Березина есть дифференциальный оператор.

Композиция О = (контра) о (ко), отображающая оператор в оператор, не рассматривалась в теории Березина. В нашем случае мы можем дать явное описание этого преобразования.

Сформулируем нерешенные задачи (для произвольного ранга): найти выражение преобразования Березина В через операторы Лапласа, найти его собственные числа на неприводимых составляющих, найти полное его асимптотическое разложение при /Î —» —оо.

По-видимому, первые два члена этого разложения таковы:

В~1--Д, (0.4) M где Д - оператор Лапласа-Бельтрами. Из соотношения (0.4) вытекает принцип соответствия (в качестве "постоянной Планка" надо взять h = —1//î):

F1*F2-^F1F2, (0.5)

-ц (Fx *F2-F2* F,) —► F2}, (0.6) при fi —> —оо. В правых частях (0.5) и (0.6) стоят соответственно обычное поточечное умножение и скобка Пуассона.

Поскольку алгебры Aß в нашем случае состоят из многочленов на G'/Я, мы называем наш вариант квантования полиномиальным квантованием.

4. Теория, изложенная вкратце в предыдущем пункте для пространств класса с) произвольного ранга, носит незавершенный характер: некоторые утверждения еще не доказаны, некоторые формулы еще не найдены. Таким образом, этот пункт может быть рассматриваем как набросок будущей теории. Более подробно этот пункт развит в главе I.

По-видимому, эта теория имеет достаточно алгебраический характер, она может быть развита параллельным образом и для других классов симплектических пространств G/Я, в частности, для эрмитовых симметрических пространств G/К. Однако, как нам кажется, класс с) более удобен, более естествен для этой цели (например, отсутствие описания преобразования О для пространств GjК имеет, по-видимому, принципиальный характер).

5. Для пространств ранга один все утверждения доказаны, задачи решены, формулы найдены. Полиномиальное квантование для пространств ранга один составляет основное содержание диссертации, это - материал глав II и III.

Как уже было сказано выше, нам достаточно рассмотреть пространства G/H с G = SL(n,R), Я = 5(GL (п - 1,R) х GL(1,R)), т.е. Я ^ GL (n - 1,R). Здесь п ^ 2. Для этих пространств нам будет удобнее реализовать GjЯ не как подмногообразие в алгебре Ли g (g состоит из матриц из Mat(n,R) со следом нуль), а как подмногообразие матриц из Mat(n,R), у которых след и ранг равны единице. Второе подмногообразие получается из первого параллельным сдвигом в пространстве Mat (n,R) на (1 /п)Е, где Е - единичная матрица. Действие группы G сопряжениями сохраняется.

Случай п = 2 имеет некоторые особенности, поэтому мы выделили его в отдельную главу (глава II). Пространство G/H в этом случае есть однополостный гиперболоид в R3.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.

3. Березин Ф.А. Квантование. Изв. Акад. наук СССР. Сер. мат., 1974, 38, No.5, 1116-1175.

4. Березин Ф.А. Квантование в комплексных симметрических пространствах. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1975, том 39, No.2, 363-402.

5. Березин Ф.А. Связь между ко- и контравариантными символами операторов на классических комплексных симметрических пространствах. Докл. АН СССР, 1978, том 241, No.l, 15-17.

6. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965

7. Болотова Н.Б. Тензорные произведения конечномерных представлений группы SL(2,R). Державинские чтения: Материалы научн. конф. Тамбов: изд-во ТГУ, 1995, 29-30.

8. Болотова Н.Б. Преобразование Пуассона для тензорных произведений конечномерных представлений группы SL (2,Е). Державинские чтения II: Материалы научн. конф. Тамбов: изд-во ТГУ, 1996, 15-16.

9. Болотова Н.Б. Тензорные произведения конечномерных представлений группы SL(2,K.): формула Планшереля. Державинские чтения III: Материалы научн. конф. Тамбов: изд-во ТГУ, 1998, 4-6.

10. Болотова Н.Б. Преобразование Пуассона для пространства SL(n,R)/ GL (гг — 1,R): дифференциальная формула. Державинские чтения V: Материалы научн. конф. Тамбов: изд-во ТГУ, 2000, 10-11.

11. Болотова Н.Б. Конечномерный анализ на симплектическом полупростом симметрическом пространстве. Вестник Тамбовского Университета, 2002, том 7, вып. 1, 43-44.

12. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.

13. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958.

14. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Физматгиз, 1970.

15. Молчанов В.Ф. Квантование на мнимой плоскости Лобачевского. Функц. анализ и его прил., 1980, том 14, No.2, 73-74.

16. Молчанов В.Ф. Формула Планшереля для касательного расслоения проективного пространства. Докл. АН СССР, 1981, том 260, No.5, 1067-1070.

17. Молчанов В.Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах. Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. / ВИНИТИ. 1990, том 59, 5-144.

18. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть I, М.: Гостехиздат, 1956.

19. Фомин А.И. Неприводимые квазипростые представления группы SL(3,K.). Функц. анализ и его прил., 1975, том 9, No.3, 67-74.

20. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

21. Berger M. Les espaces symétrique non compacts. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1957, t. 74, 85-177.

22. Dijk, G. van. Molchanov V.F. The Berezin form for rank one para-Hermitian symmetric spaces, J. Math. Pures Appl., 1998, t. 77, No. 8, 747-799.

23. Dijk, G. van. Molchanov V.F. Tensor products of maximal degenerate series representations of the group SL(n,R). J. Math. Pures Appl., 1999, t. 78, No. 1, 99-119.

24. Dijk, G. van, Poel M. The Planclierel formula for the pseudo-Riemannian space SL(n,R)/GL(n 1,R). Compos. Math., 1986, 58, 371-397.

25. Kaneyuki S. On orbit structure of compactifications of parahermitian symmetric spaces. Japan. J. Math., 1987, 13, No. 2, 333-370.

26. Kaneyuki S., Kozai M. Parakomplex structures and affine symmetric spaces. Tokyo J. Math., 1985, vol 8, 81-98.

27. Levine D. Systems of singular integrals on spheres, Trans. Amer. Math. Soc., 1969, vol. 144, 493-522.

28. Loos 0. Jordan Pairs. Lect. Notes Math., 1975, vol. 460.

29. Molchanov V.F. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces, Amer. Math. Soc. Transi, Ser. 2, vol. 175 (Adv. in the Math. Sci.-31), 1996, 81-95.

30. Molchanov V.F. Quantization on symplectic symmetric spaces. In: "Proc. Tambov Summer School-Seminar, Aug. 26-31, 1996", Вестник Тамбовского Университета, 1997, том 2, вып. 4, 372-385.

31. Molchanov V.F., Volotova N.B. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского Университета, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

32. Tengstrand A. Distributions invariant under an orthogonal group of arbitrary signature. Math. Scand., 1960, vol 8, 201-218.

33. Unterberger A. and Upmeier H., Berezin transform and invariant differential operators. Comm. Math. Phys., 1994, 164, 563-598.rlLCL!БИБЛИОТЕК/'"Ч<£ЛЧ к - Об