Вопросы разложения по собственным функциям несамосопряженных операторов и краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Обзор литературы, связанной с темой исследования

2. Постановки задач и основные результаты работы

1. О спектральных свойствах краевой задачи для уравнения Рэлея с "плавающей" сингулярностью

§1.1. Краевая задача для уравнения Рэлея и ее операторная формулировка.

§ 1.2. Условия конечности точечного спектра в несамосопряженной модели Фридрихса.

§ 1.3. О множестве собственных значений краевой задачи для уравнения с плавающей сингулярностью.

§ 1.4. Оценка резольвенты вблизи собственных значений, принадлежащих непрерывному спектру.

1. Обзор литературы, связанной с темой исследования

Диссертация относится к спектральной теории дифференциальных операторов. Постановке и мотивировкам решаемых в диссертации задач и изложению основных результатов предпослан краткий обзор исследований, наиболее близких к теме диссертации.

Развитие теории операторов неразрывно связано с исследованиями в области механики, физики и техники; при этом описание процессов с излучением или поглощением энергии приводит к несамосопряженным спектральным задачам. Большой раздел этой теории составляют вопросы разложения по собственным и присоединенным функциям дифференциальных и других операторов, а также краевых задач для дифференциальных уравнений.

Как в приложениях, так и в теоретических исследованиях, принципиальное значение имеют сведения о возможности построения и свойствах (способ суммирования, скорость сходимости, обусловленность) указанных разложений. К настоящему времени разложения по собственным функциям непрерывного и точечного спектров удается построить и изучить для операторов (в том или ином смысле) близких к самосопряженным. Причиной этого являются трудности, связанные с оценкой нормы резольвенты вблизи точек спектра, неортогональностью спектральных проекторов, а также сложной структурой самого спектра.

Первые результаты о разложении по собственным и присоединенным функциям краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений были получены Г.Д. Биркгофом, В.А. Стекловым, Я.Д. Та-маркиным, Э.Ч. Титчмаршем при помощи метода контурного интегрирования резольвенты.

Этот подход, соединенный с аналитической техникой оценок резольвенты на системах контуров, разделяющих спектр, дает выражения для спектральных проекторов, а также тот или иной способ суммирования спектрального разложения.

В общей теории несамосопряженных операторов большую роль сыграла работа М.В.Келдыша [36], в которой был предложен новый подход к оценке резольвенты и методами комплексного анализа для широкого класса операторов найдены условия полноты систем корневых векторов. Развитию этого подхода (в направлении условий полноты собственных и присоединенных функций и способов суммирования соответствующих разложений) посвящены работы М.С.Аграновича, А.Г.Костюченко, М.Г.Крейна, В.Б.Лидского.

Важное направление в теории несамосопряженных операторов составляют исследования о свойствах (полнота, минимальность, базис-ность) систем собственных и присоединенных функций в случае дифференциальных операторов, а также о свойствах соответствующих разложений (способ суммирования, равносходимость). Ограничимся здесь упоминанием работ В.А.Ильина, Г.М.Кесельмана, В.П.Михайлова, Е.И.Моисеева, Г.В.Радзиевского, В.А.Садовничего, А.П.Хромова, А.А. Шкаликова.

Подход к построению разложений по собственным функциям непрерывного спектра, основанный на существовании операторов преобразования и связанный с теорией рассеяния, был разработан А.Я. Повзнером, Л.Д.Фаддеевым, К.О.Фридрихсом.

Вопросы спектрального анализа некоторых классов несамосопряженных операторов с помощью функциональной модели Б.Секефальви-Надя и Ч.Фояша исследовались в работах С.Н.Набоко, Н.К.Никольского, Б.С.Павлова и ряда других авторов. На этом пути были получены условия базисности систем экспонент и формулы разложения по собственным функциям для диссипативных дифференциальных операторов.

Построение спектральных разложений для несамосопряженных дифференциальных операторов и краевых задач с непрерывным спектром представляет собой трудную задачу. Впервые разложение такого рода было построено М.А.Наймарком [72] (подробное изложение - в [73]) для оператора Шредингера на полуоси с комплексным потенциалом q(x), удовлетворяющим условию (1 + x2)q(x) Е Li(0, оо). Соответствующее спектральное разложение выражается посредством регуля-ризованного интеграла от разности предельных значений резольвенты на вещественной оси и, таким образом, явно вычисляется спектральная функция (см. [22]). В тех случаях, когда указанное выше условие не выполнено, спектральная функция может оказаться обобщенной [66].

Л.Д.Фаддеевым в работе [99] было выполнено сведение гидродинамической задачи Рэлея (см. (1)-(2) ниже) к несамосопряженной модели Фридрихса и построена система собственных функций непрерывного спектра; таким образом, эта работа подводит к вопросу о построении разложения по собственным функциям непрерывного спектра, а также собственным и присоединенным функциям точечного спектра, краевой задачи для уравнения Рэлея (см. также [25]). Специфика этой задачи состоит в том, что уравнение Рэлея имеет особую точку, зависящую от спектрального параметра. Широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений такого типа был исследован В.А.Садовничим в [85], где, в частности, изучены аналитические свойства фундаментальной системы решений этих уравнений вблизи их особенностей.

Применительно к спектральным операторам отмеченные выше подходы к получению разложений по собственным (и присоединенным) векторам имеют много общего с методом построения полной системы обобщенных собственных функций, использующим оснащение основного гильбертова пространства и восходящим к известной теореме И.М.Гельфанда и А.Г.Костюченко (см.[17]).

В литературе отмечалось (см. [38]), что получение условий спектральности дифференциальных операторов - трудная задача. Условия, обеспечивающие спектральность обыкновенных дифференциальных операторов, были найдены в [51] и [69]. В работе [69] установлено, что собственные и присоединенные функции дифференциального оператора в £2(^,6), порожденного усиленно регулярными краевыми условиями, образуют базис Рисса, т.е. базис, эквивалентный ор-тонормированному. При этом от условия усиленной регулярности отказаться (как показывает пример, построенный в [39]) нельзя. В работах [1],[107],[35] найдены условия базисности (со скобками) системы собственных и присоединенных векторов для общих операторов с дискретным спектром, близких к самосопряженным (нормальным); эти условия выражаются соотношением между показателем степенной асимптотики собственных значений невозмущенного оператора и порядком подчиненности возмущения. В таких ситуациях представляет интерес изучение степени неортогональности корневых векторов. В связи с вопросами гидродинамической устойчивости роль сильной неортогональности собственных мод впервые, по-видимому, была отмечена Б.Фарреллом [118] (см. также [135]).

При исследовании спектральных свойств сингулярно возмущенных операторов приходится отказываться от методов аналитической теории возмущений. С другой стороны, абстрактная теория в этой области "развита не настолько, чтобы включать в себя сингулярную теорию возмущений для дифференциальных операторов" (см. [34]). Подходящим средством спектрального анализа сингулярно возмущенных операторов оказывается сильная резольвентная сходимость. Ключевую роль в сингулярной теории возмущений применительно к дифференциальным операторам занимают асимптотические методы; центральные результаты здесь получены В.Вазовом, А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузовым, Ю.Н.Днестровским и Д.П.Костомаровым, А.А.Дородницыным, С.А.Ломовым, В.П.Масловым, М.В.Федорюком. В связи с прикладными задачами особый интерес в асимптотической (сингулярной) теории возмущений вызывает изучение перехода от дискретного спектра к непрерывному и, в частности, спектральный анализ краевых задач гидродинамики в пределе исчезающей вязкости.

В упомянутой выше работе М.В.Келдыша [36] были заложены основы спектральной теории операторных пучков, отвечающих задачам на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра. Важный класс квадратичных пучков был изучен в [45] с помощью теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, берущей свое начало от работы Л.С.Понтрягина [81]. Наряду с вопросами кратной полноты и базисности системы собственных и присоединенных векторов одна из центральных задач в теории полиномиальных операторных пучков - исследование свойств полноты и базисности части собственных и присоединенных векторов пучка (см. [32],[42]). Что касается операторных пучков с непрерывным спектром - они до сих пор остаются недостаточно изученными. К данному направлению относятся (представляющие значительный теоретический и прикладной интерес) краевые задачи для дифференциальных уравнений с особенностями, зависящими от спектрального параметра.

Настоящая диссертация посвящена изучению спектральных задач для уравнений с особыми точками, положение которых зависит от спектрального параметра, и сингулярных возмущений таких уравнений и соответствующих им операторов.

В этом контексте проявляются все отмеченные выше трудности построения и изучения разложений по собственным и присоединенным функциям. Мотивировка конкретных задач, которые решаются в диссертации, продиктована, с одной стороны, развитием спектральной теории, а с другой, - вопросами, возникающими при изучении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.