Сходимость в L спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами

Афонин, Сергей Владимирович

Сходимость в L спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Афонин, Сергей Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Сходимость в L спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами»

Автореферат диссертации на тему "Сходимость в L спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ Кафедра общей математики

Афонин Сергей Владимирович

СХОДИМОСТЬ В V СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА С НЕГЛАДКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.927.25

1Ш1»1111Н111

□034Э236В

Москва 2009 г.

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ломов Игорь Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Макин Александр Сергеевич кандидат физико-математических наук, доцент Разборов Алексей Геннадьевич

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов

Защита состоится 10 марта 2010 года в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (второй учебный корпус, 1 этаж).

Автореферат разослан

февраля 2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Е.В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена изучению свойств систем собственных и присоединенных функций линейных обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Операторы могут быть как самосопряженными, так и несамосопряженными (в том числе, существенно несамосопряженными, системы корневых функций которых содержат бесконечное число присоединенных функций). Развивается спектральный метод В.А.Ильина изучения дифференциальных операторов безотносительно конкретного вида краевых условий, что допускает единообразное рассмотрение самых разных прикладных задач.

Большую роль в привлечении математиков к спектральной теории дифференциальных операторов сыграла монография Э.Ч. Титчмарша, в которой дан новый подход к теории сингулярных операторов Штурма-Лиувилля и поставлен (частично под влиянием задач квантовой механики) и решен целый ряд новых задач. В этой книге была получена важная для данной работы так называемая формула среднего значения Титчмарша для собственных функций оператора второго порядка.

М.В. Келдыш в 1951 году установил теоремы о полноте системы корневых векторов и теоремы об асимптотических свойствах собственных чисел для широкого класса полиномиальных пучков несамосопряженных операторов. Эти теоремы привели также к новым сильным результатам для обыкновенных дифференциальных операторов. Работы М.В. Келдыша стимулировали исследования свойств полноты и минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов и разложимости функций в ряды по этим системам, и в настоящее время эти задачи достаточно полно изучены.

В 1975 г. В.А. Ильин опубликовал две работы, заложившие основу нового метода исследования свойств собственных и присоединенных функций как самосопряженных, так и несамосопряженных дифференциальных операторов (мо-

дификация спектрального метода Ильина, разработанного для исследования самосопряженных эллиптических операторов). Эти работы посвящены вопросам локальной базисности подсистемы корневых функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов и вопросам равносходимости разложений. Новый подход заключался в отказе от рассмотрения конкретных краевых форм оператора. Заменяли их конструктивные и легко проверяемые условия на собственные значения и системы корневых функций, т.е. рассматриваются некоторые сужения максимального оператора.

При использовании рядов Фурье по системам корневых функций дифференциальных операторов, наряду с вопросами о полноте и базисности этих систем в соответствующих функциональных пространствах возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемым функциям. Хорошо известны результаты о порядке приближения широких классов функций ортогональными рядами (можно отметить работы Г. Алексина, С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, С.А. Теляковского). Менее изучены в этом отношении биорто-гональные ряды, каковыми в основном являются ряды по системам корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов. Наиболее естественный путь при решении отмеченной задачи - это сравнение разложений функций по исследуемой биортогональной системе и по близкой ей в каком-то смысле и хорошо изученной системе функций (например, тригонометрическому ряду Фурье (ТРФ)).

Для произвольного неотрицательного самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом д(:с) е 1/(6'), г > 1,6 = (0,1), была получена точная оценка 0(\) скорости равномерной равносходимости на любом компакте К С спектрального разложения сг\(х, /) произвольной абсолютно непрерывной функции /(ж) с £д(х,/) - частичной суммой ТРФ этой функции. Этот результат перенесен В.Е. Волковым и И. Йо на несамосопряженные операторы Шредингера с потенциалами из затем Е.И. Никольской на случай произвольных суммируемых потенциалов, оценка скорости равносходимости О(^).

В дальнейшем В.А. Ильиным и его учениками метод был применен к широкому классу неисследованных ранее обыкновенных и эллиптических операторов, спектральные задачи для которых содержали линейно собственные значения. Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности в £2(0,1) систем корневых функций, локальной базисности и локальной равносходимости биортогональных разложений функций с ТРФ, равносходимости этих разложений на всем отрезке.

В основе метода лежит рассмотрение обобщенных корневых функций оператора, являющихся только регулярными решениями соответствующего дифференциального уравнения со спектральным параметром. Идея такого подхода восходит к А.Н. Тихонову. Используются интегральные представления (формулы среднего значения) для решений этого уравнения. В случае исследования равносходимости разложений, из ядра Дирихле выделяется спектральная функция оператора и далее проводится эффективная оценка остатка с использованием априорных оценок корневых функций.

оценки скорости равносходимости разложений или оценки порядка приближения функций спектральными разложениями именно на всем G, причем оценку достаточно установить в интегральной метрике. В работах И.С. Ломова для того же оператора, что в работа« В.А. Ильина и И. Йо, для функции ограниченной вариации получена оценка 0( j^) скорости равносходимости тех же разложений, но впервые это было сделано на всем интервале G в интегральной метрике If(G),p > 2; получена оценка порядка приближения функций этими рядами. Этот результат позже был перенесен И.О. Ломовым на несамосопряженный оператор Шредингера, причем получена точная оценка О(^), на оператор второго порядка с негладким коэффициентом р\ (ж) при первой производной, pi 6 L"(G), s > 1, оператор L* не привлекался. Также И.С. Ломов установил оценки скорости равносходимости с разложением ТРФ спектральных разложений по корневым функциям дифференциального оператора произвольного четного порядка на внутреннем компакте и на всем интервале. Схожие вопросы локальной равносходимости для дифференциальных операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами изучались В.М. Курбановым, однако доказательства полученных результатов были им приведены лишь для операторов четного порядка.

Отметим также работы A.C. Макина, посвященные изучению базисности систем корневых функций и асимптотики спектра, отвечающих несамосопряженному оператору Штурма-Лиувилля с регулярными и нерегулярными краевыми условиями.

В спектральном методе В.А. Ильина важную роль играют формулы среднего значения для корневых функций дифференциальных операторов - интегральные представления решений дифференциальных уравнений со спектральным параметром, сохраняющие основные характеристики этих уравнений. Как уже было сказано, одной из первых работ, содержащих это представление, была книга ЭЛ. Титчмарша, где была получена формула среднего значения для

регулярного решения самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. Е.И. Моисеев распространил эту формулу на случай присоединенных функций и на случай уравнений более высокого порядка с гладкими коэффициентами (формула среднего Моисеева). И. С. Ломовым была получена модификация формулы Моисеева для операторов четного порядка с негладкими коэффициентами. В.М. Курбанов установил аналог формулы среднего значения для операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами, однако доказательство формулы было им приведено лишь для операторов четного порядка.

Цель работы. В работе изучаются свойства корневых функций линейных обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами и сходимость соответствующих биортогональных разложений. Цель работы состоит в получении оценок скорости равносходимости таких биортогональных разложений с разложением в тригонометрический ряд Фурье (ТРФ).

Основные результаты работы.

1. Получены формулы сдвига (аналоги формулы среднего значения), выражающие значения корневой функции в точках у + г и у — г через значения этой функции и ее производных в точке у и через интегралы по отрезкам [у,у + г] и [у — г. г] соответственно, (точные формулы сдвига для операторов первого порядка и асимптотические - для операторов нечетного порядка выше первого).

2. Получены оценки скорости равносходимости биортогональных разложений по корневым функциям дифференциального оператора нечетного порядка с разложением в ТРФ на произвольном внутреннем компакте (по отношению к интервалу, на котором задана дифференциальная опера-

ция).

3. Получены оценки скорости равносходимости биортогональных разложений по корневым функциям дифференциального оператора нечетного порядка с разложением в ТРФ на всем интервале.

Методы исследований. В работе используются теория дифференциальных уравнений, общие методы комплексного и функционального анализа, а также спектральный метод В. А. Ильина.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение при обоснования метода Фурье решения задач математической физики, при исследовании задач теории упругости, квантовой механики и других, приводящих к изучению несамосопряженных операторов. Также результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по спектральной теории дифференциальных операторов для студентов и аспирантов математических и физических специальностей университетов.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов работы. Результаты настоящей диссертации докладывались на научной конференции "Тихоновские чтения 2008"; на научно-исследовательском семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством профессоров Дубинского Ю.А и Амосова A.A.

Публикации автора. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 108 страниц.

Список литературы содержит 82 наименования, включая работы автора. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится общий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, раскрываются ее цели и задачи, а также приводится краткое изложение результатов диссертации.

Первая глава диссертации посвящена выводу формул сдвига, выражающих значения корневой функции в точках у+гъу — г через значения этой функции и ее производных в точке у и через интегралы по отрезкам \у, у + г] и [у — г, г] соответственно. Получены точные формулы сдвига для операторов первого порядка и асимптотические - для операторов нечетного порядка выше первого.

Рассматривается произвольный дифференциальный оператор Ь, порожденный дифференциальной операцией

п-1

Ьи = и{п](х)+^2ак{х)и(к\х), а;бС=(0,1), п = 2/+1, 16 I > О, к=О

на классе функций £>„, абсолютно непрерывных на О = [0,1] вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно;

а*(ж).еЬ(С?), к = 0,п-1.

Корневые (собственные и присоединенные) функции определяются в обобщенном (по В.А. Ильину) смысле. Обыкновенно под собственной функцией оператора Ь, отвечающей собственному значению Л £ С, понимают любую не равную тождественному нулю функцию ы (я) € О, удовлетворяющую почти всюду в С? уравнению I и -Ь спектральный параметр Л:

всюду в С? уравнению I и +Л м= 0. Следуя подходу В.А.Ильина, введем новый

А = ( [Н)Л]1/П, 1шЛ > о, [¿Л]1/", 1тЛ < 0,

где мы полагаем [те= при — § < ф < у. Используя введенное

обозначение, под собственной функцией оператора Ь, отвечающей спектральному параметру Л 6 С, будем понимать любую не равную тождественному нулю функцию и (х) € £?, удовлетворяющую почти всюду в в уравнению I « — ш\п и= 0, где ш = — г при 1тЛ > 0 и ш = -И при 1тЛ < 0. Под

присоединенной функцией порядка т,т = 1,то, отвечающей тому же А и собственной функции и (я), будем понимать любую функцию и (х), которая

. тп m m— 1 _ -

почти всюду удовлетворяет уравнению I и —шл и= ц0 и . Здесь либо До = 1 (задача 1), либо цо = An_1 при |А| > 1 и до = 1 при |А| < 1 (задача 2). Считаем, что А € Si = {А 6 С : З70 > 0 : |1тЛ| < 70}

Зафиксируем произвольные числа у G G, R € (0, dist{y, dG)), г € (0, R}. Тогда справедливы следующие формулы сдвига (п = 21 + 1 > 3):

п-1

{У + г) = £ V (y)B\r(cosXt¡) + £В\т [^(¿ОХ/Г«',у,U)]

i=0

Й)

з=1 1-1

А V (у + íi+1)l + X; К [s/(V, R, ti)] , j=0 ) m ( l

S (y - r) = £(-1)'" { V (y)J35r(cos Aí¿) + В\т [тг(и)х;Си,у,

i=0 l i=o

ti)

№

n-1

А V (y - íi+1)] + £ BÍr [EjCu,R,t 0

3=1+1

где

fc=0

X {и,у,г) =

\ Р,(и,у) + + *)]<**, з = (0,1- 1),

у) - ^ / ш^и[Аи(у - ¿)]я, з = (1 + 1,П-1),

Л П

0 О

*0 = г, 5 = 1,2, гея,

а Я, и) - "исключенные" растущие слагаемые Т~ ("иЛ, ¿¿)Х±("иД,

для которых справедливы следующие представления и оценки:

га тп^М^

ЩЯ)

тптпг)

ЩЯ)

( се-2а|Л!(Д-г)1 |Лг| >

\ с|Аг|е~2а'л"я~г), |Аг| < 1, Г се-1*1РН/»»-г)> |Лг|>1,

(е^^'Т/Сг)!

се-2^х|(|1|-г)) |аг| > с|Лг|е-2а|Л|(|(|-г)1 |дг| < ^

В случае оператора первого порядка (п = 1) получены точные формулы сдвига:

т ,

и [у + Г

У+г

- I

|_(=о

ЕГ1 I т-1 ,

д/* « (У)

еыХг—

г=о

йх,

и (у - г) =

У ао(аО<

е"шАг+

В-1)'

г=о

Во второй главе устанавливаются оценки скорости равносходимости спектрального разложения по корневым функциям дифференциального оператора первого порядка в интегральной метрике I/, р € [1, оо), на любом отрезке К С С = [0,1] с разложением в обычный тригонометрический ряд Фурье. Оператор порожден дифференциальной операцией

Ьи = и' + а0(х)и, а; 6 б = (0,1), на классе функций О , абсолютно непрерывных на О = [0,1];

ао(г) € ¿'(С), « > 1.

(1)

Фиксируем произвольную систему собственных значений и произво-

льную систему корневых функций оператора Ь, отвечающую этим

собственным значениям, удовлетворяющие следующим трем условиям Ильина, назовем их условиями А :

1. Система {«¿(х)} замкнута и минимальна в Lr(G) при некотором г € [1,оо).

2. Существуют с\,сч = const > О такие, что

\Im\k\ < ex Vfc, 1 - С2 VA -

0<|л|ь|-а<1

3. Существует сз = canst > 0 такая, что

WrlKllr' < сз Vfc,

где {vt} — биортогонально сопряженная с система функций: ь^ 6 LT' (G), (■Uk,Vj) = Skj Vfc, j S JV, r' = r/(r - 1); |1 • ||r — обозначение нормы в LT(G).

Для произвольной функции f(x) € 77(G) составим частичные суммы биорто-гонального разложения

^(х, f)- f^kix), X > О, Д = {f,vk).

|А*|<А

Через 5д(г, /) обозначим частичную сумму тригонометрического ряда Фурье функции /(г), рассматриваемого как ортогональное разложение /(г) для оператора L0u = и" с условиями периодичности в 0 и 1.

Наложим дополнительно ограничение на систему {м*, и функции /(я):

Зг/= consi > 0 : = О (Aj~"), |А*| > 1, (2)

где а* = ||и* IP1.

Теорема 2.1. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (1), (2) и условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел Л и любого отрезка К С G справедлива оценка

н / ч / mi i с max (A"1 In A, A"" In2 Л), s>p

M,,/)-Sa(*,Л1!ЩК) < (cmax(A-H.i/.-i/PiIlA>A-^V,)|

с постоянной с, не зависящей от А.

В третьей главе устанавливаются аналогичные оценки скорости равносходимости (на внутреннем компакте) для операторов произвольного нечетного порядка.

Рассматривается произвольный дифференциальный оператор L, порожденный дифференциальной операцией

п-1

Lu = u{n){x) + J2ak(x)u[k){x), xeG=(0,1), п = 2/ + 1, I € Z, 1> 0;

к=й

an~i(x) Е Ls(G), S > 1, ot(i)eL(G), * = 0,n-2, (4)

на классе функций D„, абсолютно непрерывных па G = [0,1] вместе со своими производными до (п - 1)-го порядка включительно,

Фиксируем некоторые числа го € [1, оо), 70 > 0. Выбираем произвольную последовательность чисел {А*}^ и произвольную систему {ы^} корневых функций оператора L, отвечающую спектральным параметрам {А*}, удовлетворяющие трем условиям Ильина ( условиям А).

Присоединенные функции выберем так, чтобы в корневых цепочках была справедлива "антиаприорная" оценка

II "V ||г0 < сад 11 щ ||Го, с = const >0, тп = 1 ,тпк, (5)

с не зависит от Ль а\ = |Afc|n_1 для задачи 1, ад = 1 для задачи 2; - длина цепочки из присоединенных к и* функций. Для п > 3 такую систему всегда можно построить г. Пусть, кроме того,

Ml» < c||ujt||ro Vfc; с = const > 0. (6)

1 Будаев В.Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов: Авторсф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1993.

Фиксируем произвольное ре [1, оо).

Теорема 3.1. Пусть для оператора Ь и функции /(я) выполняются условия (2), (4)-(6') и условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С С справедлива оценка

\\ох(х,П-8,(х,тщк) < с тах +

(7)

п-2 9=0

с постоянной с, не зависящей от X, тпо — тахтп^.

Для сравнения приведем аналогичные оценки для дифференциальных операторов четного порядка, полученные И.С. Ломовым 2. Пусть дифференциальный оператор Ь порожден следующей дифференциальной операцией (п = 21,

!ег, I > 1):

71—1

Ьи = и(п)(х) + (х)и[к)(т)> х & (0,1), к=0

а„_!(х) е L"(G), s > 1, ак(х) € L(G), к = 0,п- 2, (8)

Тогда справедлива

Теорема 3.1*. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (8), U)-(6) и ус.ювия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С G справедлива оценка

IIax(x,J) - Sx(x,f)\\PiK < c[max(A-\A-") +

+IK-!||s max (a-" In2 A, A-"+H \n\J +

2 Ломов И.С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными опера-тарами с негладкими коэффициентами. I, II// Дифферент», уравнения. 2001. Т.37, № 3. С. 328-342; № 5. С. 648-660.

п-2

+ £ ЩИ! шах (А-1-" 1п2 Л, Г"-? 1п л) + таХ"/ ?=о .

с постоянной с, не зависящей от X, то — тахт*.

В четвертой главе для операторов произвольного нечетного порядка установлена оценка скорости равносходимости спектрального разложения и ТРФ на всем интервале.

Фиксируем произвольное р € [1,со). Положим 6 = тт(2,д,в), где q = р/(р- 1).

Теорема 4.1. Если ¿ля оператора I/ и функции f(x) выполняются условия (2), Ц)-(б) и условий А, то для всех достаточно больших чисел А справедлива оценка

1Ы*, /) - /)||р < стах [а-1/?, (9)

с постоянной с, не зависящей от А.

Для дифференциальных операторов четного порядка И.С. Ломовым 3 была доказана

Теорема 4.1*. Если для оператора Ь и функции f{x) выполняются условия (8), (4)-(6) и условия А, то для всех достаточно больших чисел А справедлива оценка

\Ых,П -5д(®,/)||„ < с [шах (лЛА-^.А-1]!!1/'Аи+1/,) +

+Цоп_1|!Д-1^' 4- Ца.-ЦцпахСА"1^, А-МпА)]

с постоянной с, не зависящей от X, где в' — в/(я — 1), ||а^||1 = шах||ад||1, q — О, п-2.

Обозначим через У{0) класс функций, имеющих ограниченное изменение на множестве С. Справедливо

3 Ломов И.С. Сходимость биортогональных разложений функций на отрезке для дифференциальных операторов высокого порядка//Дифференц. уравнения. 2005. Т.41, № 5. С. 632-646.

Следствие из теоремы 4.1 Если р £ [1, оо), / 6 ^((7) и выполняются условия А, (2), (4)-(6) тогда

||/ - ах(х, ЛЦр = 0(шах [Л"1^, ).

Оценку следствия можно сравнить с известной оценкой скорости сходимости тригонометрического ряда Фурье функции /(х) € 1/(С):

В пятой главе рассмотрены несколько примеров применения результатов глав 2-4 к конкретным дифференциальным операторам.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Ломову Игорю Сергеевичу за предложенную тематику исследований, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Афонин C.B. О скорости сходимости биортогональных рядов для дифференциальных операторов первого порядка// Сборник статей молодых ученых ф-та ВМиК МГУ. 2006. Выпуск №3. С. 8-31.

2. Афонин C.B. Формулы сдвига для корневых функций дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами// Дифферент уравнения. 2008. Т. 44, №6, С. 723-737.

3. Афонин C.B. Оценка скорости сходимости спектральных разложений несамосопряженных дифференциальных операторов нечетного порядка на отрезке// Деп. в ВИНИТИ 30.10.2009 № 677-В2009.

4. Афонин C.B., Ломов И.С. О сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами нечетного порядка с негладкими коэффициентами// Докл. РАН. 2010. Т. 431, №2. С. 151-153.

Подписано в печать: 22.01.2010

Заказ № 3234 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Афонин, Сергей Владимирович

Введение.

Глава 1. Формулы сдвига.

1.1. Асимптотические формулы сдвига для операторов нечетного порядка выше первого.

1.2. Точные формулы сдвига для операторов первого порядка.

Глава 2. Оценка скорости равносходимости для операторов первого порядка на внутреннем компакте.

Глава 3. Оценка скорости равносходимости для операторов произвольного нечетного порядка на внутреннем компакте.

Глава 4. Оценка скорости равносходимости для операторов произвольного нечетного порядка на всем интервале.

Глава 5. Примеры.

Введение диссертация по математике, на тему "Сходимость в L спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами"

Диссертация посвящена изучению сходимости биортогональных разложений для линейных обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами. Рассмотрен вопрос равносходимости таких биортогональных разложений с разложением в тригонометрический ряд Фурье (ТРФ). Получены оценки скорости равносходимости как на произвольном внутреннем компакте, так и на всем отрезке. Для указанного класса операторов получены формулы сдвига, выражающие значения корневой функции в точках у + r и у — г через значения этой функции и ее производных в точке у и через интегралы по отрезкам [у, у + г] и [у — г, г] соответственно.

Большую роль в привлечении математиков к спектральной теории дифференциальных операторов сыграла монография Э.Ч. Титчмарша [1], в которой дан новый подход к теории сингулярных операторов Штурма-Лиувилля и поставлен (частично под влиянием задач квантовой механики) и решен целый ряд новых задач. В этой книге получена важная для данной работы так называемая формула среднего значения Титчмарша для собственных функций оператора второго порядка. Вопросами равносходимости занимались также Э.Ч. Титчмарш, А. Хаар, Б.М. Левитан, Я.Л. Геронимус и другие.

М.В. Келдыш [2, 3] установил теоремы о полноте системы корневых векторов и теоремы об асимптотических свойствах собственных чисел для широкого класса полиномиальных пучков несамосопряженных операторов. Эти теоремы привели также к новым сильным результатам для обыкновенных дифференциальных операторов. Работы М.В. Келдыша стимулировали исследования свойств полноты и минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов и разложимости функций в ряды по этим системам, и в настоящее время эти задачи достаточно полно изучены.

В 1975 г. В.А. Ильин опубликовал две работы [4, 5], заложившие основу нового метода исследования свойств собственных и присоединенных функций как самосопряженных, так и несамосопряженных дифференциальных операторов (модификация спектрального метода Ильина [6], разработанного для исследования самосопряженных эллиптических операторов).

Эти работы посвящены вопросам локальной базисности подсистемы корневых функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов и вопросам равносходимости разложений. Новый подход заключался в отказе от рассмотрения конкретных краевых форм оператора. Заменяли их конструктивные и легко проверяемые условия на собственные значения и системы корневых функций, т.е. рассматриваются некоторые сужения максимального оператора.

В дальнейшем В.А. Ильиным и его учениками метод был применен к широкому классу неисследованных ранее обыкновенных и эллиптических операторов, спектральные задачи для которых содержали линейно собственные значения. Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности в L2(0,1) систем корневых функций, локальной базисности и локальной равносходимости биортогональных разложений функций с ТРФ, равносходимости этих разложений на всем отрезке.

При использовании рядов Фурье по системам корневых функций дифференциальных операторов, наряду с вопросами о полноте и базисности этих систем в соответствующих функциональных пространствах возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемым функциям. Хорошо известны результаты о порядке приближения широких классов функций ортогональными рядами (см., например, Г. Алексич [9], С.М. Никольский [10], С.Б. Стечкин [11], С.А. Теляковский [12]). Менее изучены в этом отношении биортогональные ряды, каковыми в основном являются ряды по системам корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов. Наиболее естественный путь при решении отмеченной задачи - это сравнение разложений функций по исследуемой би-ортогоналыюй системе и по близкой ей в каком-то смысле и хорошо изученной системе функций.

Начиная с результатов В.А. Стеклова и Ж. Биркгофа многие работы по разложению по корневым функциям регулярных дифференциальных операторов посвящены тому, чтобы показать, что эти ряды ведут себя строго внутри интервала сходимости как обычные ТРФ (в дополнение к указанным выше отметим также работы по рядам Лежандра и рядам Фурье-Бесселя У. Юнга [13, 14] и M.JI. Гольдмана [15]). Вопрос о скорости равносходимости таких разложений, видимо, впервые был рассмотрен в 1978г. в работах В.А. Ильина и И. Йо [7]. Для произвольного неотрицательного самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом q(x) G Lr(G),r > 1,G = (0,1), была получена точная оценка О(^) скорости равномерной равносходимости на любом компакте К С G спектрального разложения сг\{х, /) произвольной абсолютно непрерывной функции f(x) с S\(x,f) - частичной суммой ТРФ этой функции. Этот результат перенесен В.Е. Волковым и И. Йо [16] на несамосопряженные операторы Шредингера с потенциалами из L2, затем Е.И. Никольской [17] на случай произвольных суммируемых потенциалов, оценка скорости равносходимости

Системы функций, по которым ведется разложение, могут удовлетворять разным краевым условиям (или не удовлетворять никаким краевым условиям без спектрального параметра, как в случае системы экспонент), поэтому равномерной равносходимости соответствующих рядов на всем отрезке G в общем случае не может быть. Некоторые практические задачи, тем не менее, требуют оценки скорости равносходимости разложений или оценки порядка приближения функций спектральными разложениями именно на всем G, причем оценку достаточно установить в интегральной метрике (см., например, [18, 19, 20, 21]). В работах И.О. Ломова [46, 47] для того же оператора, что в [7], для функции ограниченной вариации получена оценка скорости равносходимости тех же разложений, но впервые это было сделано на всем интервале G в интегральной метрике D'(G),p > 2; получена оценка порядка приближения функций этими рядами. Этот результат перенесен И.С. Ломовым на несамосопряженный оператор Шредингера в [48], причем получена точная оценка O(j^), на оператор второго порядка с негладким коэффициентом р\ (х) при первой производной в [49, 50], pi € LS(G), s > 1, оператор L* не привлекался. В [54, 55] И.С. Ломов установил оценки скорости равносходимости с разложением ТРФ спектральных разложений по корневым функциям дифференциального оператора произвольного четного порядка на внутреннем компакте [54] и на всем интервале [55]. Схожие вопросы локальной равносходимости для дифференциальных операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами изучались В.М. Курбановым [63-66], однако доказательства полученных результатов были им приведены лишь для операторов четного порядка.

Приведем еще ряд близких направлений по спектральной теории дифференциальных операторов. А.С. Макиным [67-69] получены достаточные условия суммируемости методом Рисса биортогональных рядов. Эти работы продолжили исследования В.А. Ильина и В.В. Тихомирова [70-72], посвященные средним Рисса спектральных разложений. Отметим также работы А.С. Макина, посвященные изучению базисности систем корневых функций [74, 75] и асимптотики спектра [76, 77], отвечающих несамосопряженному оператору Штурма-Лиувилля с регулярными краевыми условиями.

Обзор результатов по задачам равносходимости, полученных без использования подхода В.А. Ильина, подробно изложен в работе А.П. Хромова [22] (см. также его статью [23]). Остановимся еще на трех работах, связанных со скоростью сходимости биортогональных разложений (точнее, рядов Фурье со скобками). В работах B.C. Рыхлова [24, 25] для обыкновенного дифференциального оператора n-го порядка с ненулевым коэффициентом р\ при (тг — 1)-ой производной и регулярными двухточечными условиями на концах интервала G получены оценки скорости равномерной на любом отрезке К С G равносходимости <J\(x, /) и S\(x,f). Коэффициент Р\{х) при этом из более узкого класса, чем Ls. Условия на Pi и / накладываются в терминах классов H"(G), состоящих из функций f(x) е Lr(G), интегральный модуль непрерывности tor(f,5) которых есть величина 0(1па(<5-1)), 5 0+. Скорость равносходимости при этом такова: если pi е H°(G),f € HP(G),a + (3 > l.p-1 + q1 = 1, то ||crA - SaIIcw = Q(lnl^A + ьгд + В [25] рассмотрен более общий, квазидифференциальный оператор.

Г.В. Радзиевский, A.M. Гомилко [26] исследовали оператор, порожденный дифференциальной операцией у^ со слабым возмущением Fy (соответствующим в случае дифференциального оператора условию Pi(x)y(n~^ = 0) и двухточечными регулярными краевыми условиями, возмущенными интегралами Стилтьеса. В терминах интегрального модуля непрерывности функции f(x) е L{G) установлены оценки скорости равномерной равносходимости (J\{x,f) с S\(x,f) и с оx(x,f) (при Fy = 0) на УК С G. Система, биортогонально сопряженная с системой корневых функций оператора L, является системой корневых функций оператора L* (см. также их статьи [27, 28]). В работе Г.В. Радзиевского [29] рассмотрен дифференциальный оператор га—го порядка (с Pi(x)i/7l~1'> = 0) с двухточечными регулярными краевыми условиями. Исследовано влияние краевых условий (наличие или отсутствие в них производных) на оценку скорости сходимости разложений но корневым функциям этого оператора в метрике V'{G).

В.А. Винокуров и В.А. Садовничий опубликовали серию статей [30-34] по асимптотике любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с лишь суммируемым потенциалом и потенциалом, содержащим 5-функции. Получены формулы следов; для первой краевой задачи доказана теорема о равномерной равносходимости разложений по собственным функциям с ТРФ на всем отрезке для суммируемой разлагаемой функции. Близкие вопросы для операторов с сингулярными потенциалами исследовали А.А. Шкаликов и A.M. Савчук [35, 36].

Подробно изучен вопрос о равносходимости спектральных разложений с интегралом Фурье на полупрямой или всей прямой как равномерной на любом внутреннем компакте (см., например, работы В.А. Марченко [37, 38], Б.М. Левитана [39, 40], М.И. Ломоносова [41]), так и равномерной равносходимости на всей прямой (В.А. Ильин [8]).

В спектральном методе В.А. Ильина [42,43] важную роль играют формулы среднего значения для корневых функций дифференциальных операторов - интегральные представления решений дифференциальных уравнений со спектральным параметром, сохраняющие основные характеристики этих уравнений. Одной из первых работ, содержащих это представление, была книга Э.Ч. Титчмарша [1], где была получена формула среднего значения для регулярного решения самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. Е.И. Моисеев в работе [44] распространил эту формулу на случай присоединенных функций и на случай уравнений более высокого порядка с гладкими коэффициентами (формула среднего Моисеева). Для оператора произвольного n-го порядка с негладкими коэффициентами при изучении спектральных вопросов, вытекающих из неравенства Бесселя для корневых функций (например, базисность в L2 по теореме Бари), можно использовать формулу среднего [51], полученную И.С. Ломовым. Им же в работе [52] была получена модификация формулы Моисеева для операторов четного порядка с негладкими коэффициентами. В.М. Курбанов [45] установил аналог формулы среднего значения для операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами, однако доказательство формулы было им приведено лишь для операторов четного порядка.

Первая глава диссертации посвящена выводу формул сдвига, выражающих значения корневой функции в точках у + г и у — г через значения этой функции и ее производных в точке у и через интегралы по отрезкам [у,у + г] и [у — г, г] соответственно. Получены точные формулы сдвига для операторов первого порядка и асимптотические - для операторов нечетного порядка выше первого.

Рассматривается произвольный дифференциальный оператор L, порожденный дифференциальной операцией п-1

Lu = u^n)(x) + '^/ak{x)u{k)(x), xzG = (0,1), п = 21 + 1, I £ Z, I > 0, к=О на классе функций Dn, абсолютно непрерывных на G = [0,1] вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно; ак{х) € L(G), к = 0,п - 1.

Корневые (собственные и присоединенные) функции определяются в обобщенном (по В.А. Ильину) смысле. Обыкновенно под собственной функцией оператора L, отвечающей собственному значению Л е С, понимают любую не равную тождественному нулю функцию u (х) 6 D, удовлетворяющую почти всюду в G уравнению I u +Л и= 0. Следуя подходу В.А.Ильина, введем новый спектральный параметр Л:

-^Л]1/", 1шЛ > 0,

Л = гЛ]1/", 1тЛ < 0, где мы полагаем [гегф]1/п = при — | < ф'< у. Используя введенное обозначение, под собственной функцией оператора L, отвечающей спектральному параметру А е С, будем понимать любую не равную тождественному нулю функцию и (х) & D, удовлетворяющую почти всюду в G уравнению I и —шХп и= 0, где ш = —г при ImA > 0 и и — +г при ImA < 0.

Под присоединенной функцией порядка т,т = 1, та, отвечающей тому же Л и собственной функции и (х), будем понимать любую функцию и (ж), которая почти всюду удовлетворяет уравнению I и — иХп и— /i0 "и1. Здесь либо /л0 = 1 (задача 1), либо ц0 = Л"-1 при |А| > 1 и р,0 = 1 при |А| < 1 (задача 2). Считаем, что Л е Si = {А е С : З70 > 0 : |1шА| < 70}

Зафиксируем произвольные числа у е G, Re (0, dist(y, dG)), г € (0, R\. Тогда справедливы следующие формулы сдвига (п = 21 + 1 >3): п-1 где

--В i+i 1т* у+г) = £ { V (у)В[г(со5 XU) + J2Bir [т;Ш+Си,У,и) i=О I j=l IX [EtCu,R,U)

3=0 j m С г и {у - г) = £(-1)' I V (y)Bl( cos XU) + £ Bl [т-(и)хг Си, у, U)] +

А и (y + ti+i) j=о

Ц о п-1

А V {у - *i+1)] + £ Bl [Е-Си, R, *,)] [ , i=i+1

Pj(u,y) = п fc=0 и>"

Хк 3

Xf(u,y,r) =

РМ, У) + + t)}dt, j = (0) 1), j = (I, п — 1), У, г) = j = (о.о.

- j = (Z + 1,n — 1), о

0 fi-l

Sjr(/fe)) = (^i)'/-- •to = r, s = 1,2, i€N, о 0 fe=1 a Ef("u \ R, ti) - "исключенные" растущие слагаемые T±("u *, R, ti)X±(mu i;), для которых справедливы следующие представления и оценки: r)lf (Д,г),

0<m<f

THr)

Tf(R) ое-2а|А|(Л-г)| |Аг| > с|Лг|е2о'Л^я-г\ |Ar| < 1,

Tf(R)Tf(r)

T?(R) се-|А|(2Я/п»-г)1 |ДГ| > с|Лг|е-1лК2Д/"2-г), |Лг| < R lf(r)Y*(R,r)\ J\Au{y±t)\\e^Tf{r)\dt, eWAtT±(rj| < ce-2a|A|(|t|-r)> |Лг| > c|Ar|e-2a|A|(|t|-r); |Ar| < 1.

В случае оператора первого порядка (n = 1) получены точные формулы сдвига:

U (у + г) = г ™ т У+г т I г ешХг — / ао^е-^-")

-i=o J {

E(r-X + y)1 im-l -7]-/X « (®)

11=о cte, u (y-r) v (у)

L/=o У

J a0(x)t

-ш\(х—у+т) y-r

L(=0 f (a - У + r)1 i m—l , . —-p « (®)

Во второй главе устанавливаются оценки скорости равносходимости спектрального разложения но корневым функциям дифференциального оператора первого порядка в интегральной метрике LP, р G [1, оо), на любом отрезке К С G = [0,1] с разложением в обычный тригонометрический ряд Фурье. Оператор порожден дифференциальной операцией

Lu = и' + а0(х)и, х е G — (0,1), на классе функций D , абсолютно непрерывных на G = [0,1]; а0(х) € LS(G), s > 1. (1)

Фиксируем произвольную систему собственных значений {Afc}^ и произвольную систему {и*;(ж)} корневых функций оператора L, отвечающую этим собственным значениям, удовлетворяющие следующим трем условиям Ильина, назовем их условиями А :

1. Система {ик(х)} замкнута и минимальна в LT(G) при некотором г € [1, оо).

2. Существуют ci, сг = const > 0 такие, что

1тп\к\ <с1 Vfc, ]Г 1 < с2 VA > 0.

0<|А*|-А<1

3. Существует сз = const > 0 такая, что

IKIIrlMIr' < Сз VA;, где {wfc} — биортогонально сопряженная с {ик} система функций: vk € Lr' (G), (uk,Vj) = 5щ VA;, j E. N, r' — r/(r — 1); || • ||г — обозначение нормы в Lr(G).

Для произвольной функции f(x) € Lr(G) составим частичные суммы биортогонального разложения rx(?,f)= /кик(х), А > 0, fk = (f,vk).

Afc|<A

Через S\(x,f) обозначим частичную сумму тригонометрического ряда Фурье функции f(x), рассматриваемого как ортогональное разложение f(x) для оператора L0u = и" с условиями периодичности в 0 и 1.

Наложим дополнительно ограничение на систему {ufc,Ufc} и функции f(x):

Зи = const > 0 : otkfk — О (А*") , |Afc| > 1, (2) где ак = IKIIw1

Теорема 2.1. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (1), (2) и условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С G справедлива оценка с max (Л-1 In Л, Л-" In2 Л), s > р ax(xJ)-Sx(x,f)\\LP{K) < (3) с max (a-'+V'-i/pln Л, д-i+i/e-i/p^ s < с постоянной с, не зависящей от А.

Рассматривается произвольный дифференциальный оператор L, порожденный дифференциальной операцией

71— 1

Lu = w(n)(:c) + ^afc(a;)u(fc)(z), х G G = (0,1), п = 21 + 1, I Е Z, 1> 0; fc=0 an-iix) Е LS{G), s> 1, ak{x)eL{G), k = 0,n-2, (4) на классе функций Dn, абсолютно непрерывных на G = [0,1] вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно.

Фиксируем некоторые числа г0 G [1, оо), 70 > 0. Выбираем произвольную последовательность чисел {Afc}^=1 и произвольную систему {щ} корневых функций оператора L, отвечающую спектральным параметрам {Л^}, удовлетворяющие трем условиям Ильина ( условиям А).

Присоединенные функции выберем так, чтобы в корневых цепочках была справедлива антиаприорная" оценка т—1 ик Иго < сад|| Uk Иго. с = const >0, т = 1 ,тк, (5) с не зависит от А*., а\ = для задачи 1, ад = 1 для задачи 2; Шк - длина цепочки из присоединенных к ик функций. Для п > 3 такую систему всегда можно построить [61]. Пусть, кроме того, k||oo < cllujfellro с = const > 0. (6)

Фиксируем произвольное р Е [1, оо).

Теорема 3.1. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (2), (.4)-(6') и условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С G справедлива оценка <rx[x,f) - Sx{x,f)\\L4K) < с ||on-i||e max (A"1, X~u In2 A, X'^'v In A, A"1+--p) + max( ^,A-"ln2A ) + n-2 ^lhlli^+m0A-l'ln2A

9=0 с постоянной с, не зависящей от X, т0 = max mk.

Для сравнения приведем аналогичные оценки для дифференциальных операторов четного порядка, полученные И.С. Ломовым [54]. Пусть дифференциальный оператор L порожден следующей дифференциальной операцией (п = 21, I е Z, I > 1):

71— 1

Lu = u^ix) + Y^Mx)u{k){x), х е G = (0,1), fc=о a„i(x) € L3(G), s> 1, ak(x)eL{G), fc = 0,n-2, (8)

Тогда справедлива

Теорема 3.1*.Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (8), (4)-(6) и условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К с G справедлива оценка с постоянной с, не зависящей от X, то = inaxmfc.

В четвертой главе для операторов произвольного нечетного порядка установлена оценка скорости равносходимости спектрального разложения и ТРФ на всем интервале. Фиксируем произвольное р € [1, оо). Положим S = min (2, q, s), где q = р/(р — 1). Теорема 4.1. Если для оператора L и функции f(x) выполняются условия (2), (4)-(6) и условий А, то для всех достаточно больших чисел А справедлива оценка с постоянной с, не зависящей от А.

Для дифференциальных операторов четного порядка И.С. Ломовым [55] была доказана Теорема 4.1*. Если для оператора L и функции f(x) выполняются условия (8), (4)-(6) и условия А, то для всех достаточно больших чисел А справедлива оценка с постоянной с, не зависящей от А, где s' = s/(s — 1), |KIK = max ||a9|K> q — 0,n — 2.

Обозначим через V(G) класс функций, имеющих ограниченное изменение на множестве G. Справедливо

Следствие из теоремы 4.1 Если р 6 [1, оо), / £ V(G) и выполняются условия А, (2), (4)-(б) тогда

I Ых, /) - Sx(x, f)\\PtK < с [max (А-1, А"") + +||a„i||я max In2 А, А-"4"* 1п а) + п-2

Ых, /) - 5а(х, /)||р < с max [А-1/р,

9) aA(s, /) - Sx(x, /)||р < с [max (а"\ A"1 In1/5 A|„=i+1/a) +

IK-1Ц.А-1/5' + IK-IK max (А1/р, A"1 In А)" - ах{х, /)||р = О (max [А-1/р, А"^]).

Оценку следствия можно сравнить с известной оценкой скорости сходимости тригонометрического ряда Фурье функции f(x) € V(G): — Sx(x, /)||р = 0(Л~1/,р).

Публикации автора по теме диссертации - [79-82].

Автор глубоко признателен профессору Ломову Игорю Сергеевичу за предложенную тематику исследований, постоянное внимание и полезные замечания к работе.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Афонин, Сергей Владимирович, Москва

1. Титчмарш Т.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: ИЛ. 1.60. Т. 2. М.: ИЛ. 1961.

2. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, N 1. С. 11-14.

3. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов// УМН. 1971. Т. 26, в. 4. С. 15-41.

4. Ильин В.А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье// Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, N 3. С. 548-551.

5. Ильин В.А. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка М.В.Келдыша обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов// Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, N 3. С. 297-299.

6. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука. 1991.

7. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М. ИЛ. 1963.

8. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969.

9. Стечкин С.Б. Избранные труды. Математика. М.: Наука. Физматлит. 1998.

10. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье// Матем. заметки. 1968. Т. 4, в. 3. С. 291-300.

11. Young W.H. On connection between Legendre series and Fouries series// Proc. of Lond. Math. Soc. 1920. V. 18. P. 141-162.

12. Young W.H. On series of Bessel functions// Proc. of Lond. Math. Soc. 1920. V. 18. P. 163-200.

13. Гольдман M.JI. Ряды Фурье-Бесселя для функций, интегрируемых с весом// Дифферент уравнения. 1971. Т. 7, N 9. С. 1617-1628.

14. Волков В.Е., Йо И. Оценка разности частичных сумм спектральных разложений, отвечающих двум операторам Шредингера// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, N 11. С. 1865-1876.

15. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Матем. 1946. Т. 10, N 3. С. 207-256.

16. Стечкин С.Б., Теляковский С.А. О приближении дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами в метрике I // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 20-29.

17. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций// Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 145. С. 126-151.

18. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье// Матем. заметки. 1968. Т. 4, в. 3. С. 291-300.

19. Хромов А.П. Спектральный анализ дифференциальных операторов на конечном интервале// Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, N 10. С. 1691-1696.

20. Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования//Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 2000. N 2. С. 21-26.

21. Рыхлов B.C. О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п — 1)-ой производной// Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, N5. С. 1053-1056.

22. Рыхлов B.C. Скорость равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п — 1)-ой производной// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, N6. С. 975-989.

23. Гомилко A.M., Радзиевский Г.В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных операторов //Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, N 2. С. 265-270.

24. Гомилко A.M., Радзиевский Г.В. Эквивалентность в Lp(0,1) системы ег2*кх(к = 0, ±1,.) и системы собственных функций обыкновенного дифференциального оператора//Матем. заметки. 1991. Т. 49, в. 1. С. 47-55.

25. Гомилко A.M., Радзиевский Г.В. Базисные свойства собственных функций регулярной краевой задачи для векторного функционально-дифференциального уравнения// Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, N 3. С. 384-396.

26. Радзиевский Г.В. Краевые задачи и связанные с ними модули непрерывности// Функц. анализ и его прилож. 1995. Т. 29, N 3. С. 87-90.

27. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом// Докл. РАН. 1998. Т. 358, N 3. С. 298-301.

28. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиу-вилля на отрезке с суммируемым потенциалом// Дифференц. уравнен. 1998. Т. 34, N 10. С. 1423-1426.

29. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиу-вилля на отрезке с суммируемым потенциалом// Известия РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64, N 4. С. 47-108.

30. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций для потенциала, содержащего 5-функции// Докл. РАН. 2001. Т. 376, N 4. С. 445-448.

31. Vinokurov V.A. The formula of trace for potential, containing ^-functions / Тезисы докл. Межд. конф., поев. 100-летию И.Г.Петровского. М. Изд-во МГУ. 2001. С. 423-424.

32. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. Т. 66, вып. 6. С. 897-912.

33. Савчук A.M. О собственных значениях и собственных функциях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом // Матем. заметки. 2001. Т. 69, вып. 2. С. 277-285.

34. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1950. Т. 72, N 3. С. 457-460.

35. Марченко В.А. Теоремы Тауберова типа в спектральном анализе дифференциальных операторов // Известия АН СССР, сер. матем. 1955. Т. 19, N 6. С. 381-422.

36. Левитан Б.М. О спектральной функции уравнения у" + (А — Ь(х))у = 0// Известия АН СССР, сер. матем. 1953. Т. 17, N 5. С. 472-484.

37. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функциии о разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка // Известия АН СССР, сер. матем. 1955. Т. 19, N 1. С. 33-58.

38. Ломоносов М.И. Об уравнении + q(y)u = Xи// Записки матем. отд. ф.-м. ф-та Харьк. матем. об-ва. 1960. Т. 26, сер. 4. С. 267-316.

39. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений 1,11// Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №5. С. 771-794; №6. С. 980-1006.

40. Ильин В.А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции// Дифференц. уравнения. 1985. Т.21, №3. С. 371-379.

41. Моисеев Е.И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения// Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №5. С. 827-844.

42. Курбанов В.М. О неравенстве Хаусдорфа-Юнга для систем корневых вектор-функций дифференциального оператора п—го порядка// Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, №3. С. 358-367.

43. Ломов И.С. Некоторые свойства спектральных разложений, связанных с операторами типа Штурма-Лиувилля// Докл. АН СССР. 1979. Т. 248, N 5. С. 1063-1065.

44. Ломов И.С. О скорости равносходимости рядов Фурье по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля в интегральной метрике// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N 9. С. 1480-1493.

45. Ломов И.С. Об аппроксимации функций на отрезке спектральными разложениями оператора Шредингера// Вестник. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. механ. 1995. N 4. С. 43-54.

46. Ломов И.С. О скорости сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами второго порядка// Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, N 1. С. 58-69.

47. Ломов И.С. О скорости сходимости биортогональиых разложений функций// Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, N 12. С. 1618-1629.

48. Ломов И.С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная базисность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1992. №5. С. 33-43.

49. Ломов И.С. Формула среднего значения Е.И.Моисеева для дифференциальных операторов четного порядка с негладкими коэффициентами// Дифференц. уравнения. 1999. Т.35, №8. С. 1046-1057.

50. Ломов И.С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на скорость равносходимости спектральных разложений. I, II// Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, № 5. С. 619-628; № 8. С.1066-1077.

51. Ломов И.С. О локальной сходимости биортогональиых рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. I, II// Дифференц. уравнения. 2001. Т.37, № 3. С. 328-342; № 5. С. 648-660.

52. Ломов И.С. Сходимость биортогональиых разложений функций на отрезке для дифференциальных операторов высокого порядка//Дифференц. уравнения. 2005. Т.41, № 5. С. 632-646.

53. Ильин В.А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса h// Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, № 4 С. 577-597.

54. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., 1965. Т.1.

55. Бесов О.В., Ильин В.П, Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., 1975.

56. Ломов И.С. Коэффициентное условие сходимости в Lp(0,1) биортогональиых разложений функций// Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, № 1. С. 31-39.

57. Ломов И.С. Обобщенное неравенство Бесселя для обыкновенных дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами и обобщение теоремы Рисса// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, № 12. С. 1621-1630.

58. Будаев В.Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1993.

59. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука. 1981.

60. Курбанов В.М. О скорости равносходимости частичных сумм биортогональных разложений, отвечающих двум дифференциальным операторам// Спектральн. теория дифференц. операторов и ее приложения. Баку. 1997. Вып. 11. С. 99-116.

61. Курбанов В.М. О скорости равносходимости спектральных разложений// Докл. АН СССР. 1999. Т. 365, N 4. С. 444-449.

62. Курбанов В.М. Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям дифференциальных операторов. I, 11// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, N 12. С. 1597-1609. 2000. Т. 36, N 3. С. 319-335.

63. Курбанов В.М. Распределение собственных значений и сходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М. МГУ, ВМиК. 2000.

64. Макин А.С. О сходимости средних Рисса спектральных разложений, отвечающих одномерному оператору Шредингера// Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, N 5. С. 897-899.

65. Макин А.С. О средних Рисса биортогональных разложений по корневым функциям несамосопряженных расширений оператора Шредингера// Докл. АН СССР. 1992. Т. 322, N 3. С. 472-475.

66. Макин А.С. О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М. МГУ, ВМиК. 2000.

67. Ильин В.А., Тихомиров В.В. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному оператору порядка s // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N 12. С. 1098-2026.

68. Ильин В.А. Оценка разности средних Рисса двух спектральных разложений для функций из класса L2// Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, N 5. С. 852-863.

69. Седлецкий A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 5 (2003). С. 3-161.

70. Макин А.С. О базисности систем корневых функций регулярных краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля// Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 12, С. 16461656.

71. Макин А.С. О спектральных разложениях, отвечающих несамосопряженному оператору Штурма-Лиувилля// Докл. РАН. 2006. Т. 406, №1, С. 21-24.

72. Макин А.С. Характеристика спектра регулярных краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля// Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 3, С. 329-335.

73. Макин А.С. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля с регулярными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 5, С. 626-639.

74. Разборов А.Г., Серов B.C. О спектре оператора Шредингера с потенциалом Като// Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №5, С. 689-693.

75. Афонин С.В. О скорости сходимости биортогональных рядов для дифференциальных операторов первого порядка// Сборник статей молодых ученых ф-та ВМиК МГУ. 2006. Выпуск №3. С. 8-31.

76. Афонин С.В. Формулы сдвига для корневых функций дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами// Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, №6, С. 723-737.

77. Афонин С.В. Оценка скорости сходимости спектральных разложений несамосопряженных дифференциальных операторов нечетного порядка на отрезке// Деп. в ВИНИТИ 30.10.2009 № 677-В2009.

78. Афонин С.В., Ломов И.С. О сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами нечетного порядка с негладкими коэффициентами// Докл.РАН. 2010. Т. 431, т. С. 151-153.