Исследование скорости сходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

ИССЛЕДОВАНИЕ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

На правах рукописи

Марков Алексей Сергеевич

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 ь АПР 2015

Москва - 2015

005568176

005568176

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова Ломов Игорь Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент кафедры математического и прикладного анализа Воронежского государственного университета

Половинкин Игорь Петрович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отделения квантовой радиофизики Физического институт имени П.Н. Лебедева РАН Жура Николай Андреевич

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

имени Н.Г. Чернышевского, г. Саратов

Защита диссертации состоится "20" мая 2015 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат диссертации разослан "17" апреля 2015 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета, >

доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению вопросов сходимости биортогональных разложений функций для линейных обыкновенных дифференциальных операторов чётного и нечётного порядков с негладкими коэффициентами, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Указанные биортогональные разложения сравниваются с разложением функций в тригонометрический ряд Фурье (ТРФ). Получены оценки скорости равносходимости этих разложений для операторов в скалярном и векторном случаях как на произвольном внутреннем компакте, так и на всём отрезке, выделена зависимость указанных оценок от расстояния компакта до границы интервала.

Актуальность темы. Вопросами сходимости спектральных разложений функций занимались В.А. Стеклов, Я.Д. Тамаркин, М. Стоун, А. Хаар, Б.М. Левитан, Я.Л. Геронимус, В.А. Ильин, А.Г. Костюченко, В.А. Садовничий, Е.И. Моисеев, А.П. Хромов, В.Б. Лидский, A.A. Шкаликов, Г.В. Радзиевский и другие.

М.В. Келдыш установил теорему о полноте системы корневых векторов и теорему об асимптотических свойствах собственных чисел для широкого класса полиномиальных пучков несамосопряжённых операторов. Эти теоремы привели также к новым сильным результатам для обыкновенных дифференциальных операторов. Работы М.В. Келдыша стимулировали исследования свойств полноты и минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов и разложимости функций в ряды по этим системам, и в настоящее время эти задачи достаточно полно изучены.

В 1975 году В.А. Ильин опубликовал две работы, заложившие основу нового метода исследования свойств собственных и присоединённых функций как самосопряжённых, так и несамосопряжённых дифференциальных операторов (модификация спектрального метода Ильина, разработанного для исследования самосопряжённых эллиптических операторов). Эти работы посвящены вопросам локальной базисности подсистемы корневых функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов и вопросам равносходимости разложений. Новый подход заключался в отказе от рассмотрения конкретных краевых форм оператора. Заменяли их конструктивные и легко проверяемые условия на собственные значения и системы корневых функций, т.е. рассматривались некоторые сужения максимального оператора.

В дальнейшем В.А. Ильиным и его учениками В.Д. Будаевым, Н.Б. Ке-римовым, A.C. Макиным, И.С. Ломовым, В.М. Курбановым, Л.В. Крицко-вым, Т.А. Самарской, Е.И. Никольской метод был применён к широкому

классу неисследованных ранее обыкновенных и эллиптических операторов, спектральные задачи для которых содержали линейно собственные значения. Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности в £2(0,1) систем корневых функций, локальной базисности и локальной равносходимости биортогональных разложений функций с ТРФ, равносходимости этих разложений на всём отрезке.

В основе метода лежит рассмотрение обобщённых корневых функций оператора, являющихся только регулярными решениями соответствующего дифференциального уравнения со спектральным параметром. Идея такого подхода восходит к А.Н. Тихонову. Используются интегральные представления (формулы среднего значения) для решений этого уравнения. В случае исследования равносходимости разложений из ядра Дирихле выделяется спектральная функция оператора и далее проводится эффективная оценка остатка с использованием априорных оценок корневых функций. Ниже приведён обзор некоторых результатов, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации.

При использовании рядов Фурье по системам корневых функций дифференциальных операторов, наряду с вопросами о полноте и базисности этих систем в соответствующих функциональных пространствах возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемым функциям. Хорошо известны результаты о порядке приближения широких классов функций ортогональными рядами (см. работы Г. Алексича, С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, С.А. Теляковского, B.C. Кашина и A.A. Саакяна). Менее изучены в этом отношении биортогональные ряды, каковыми в основном являются ряды по системам корневых функций несамосопряжённых дифференциальных операторов. Наиболее естественный путь при решении отмеченной задачи - это сравнение разложений функций по исследуемой биортогональ-ной системе и по близкой ей в каком-то смысле и хорошо изученной системе функций.

Начиная с результатов В.А. Стеклова и Ж. Биркгофа, многие работы по разложению по корневым функциям регулярных дифференциальных операторов посвящены тому, чтобы показать, что эти ряды ведут себя строго внутри интервала сходимости как обычные ТРФ (в дополнение к указанным выше отметим также работы по рядам Лежандра и рядам Фурье-Бесселя У. Юнга и М.Л. Гольдмана). Вопрос о скорости равносходимости таких разложений, видимо, впервые был рассмотрен в 1978 году в работах В.А. Ильина и И. Йо, для произвольного неотрицательного самосопряжённого расширения оператора Шрёдингера с потенциалом q(x) € Cr(G),r > 1,G = (0,1). Бы-

ла получена точная оценка 0( 1/А) скорости равномерной равносходимости на любом компакте К С G спектрального разложения cr\(x,f) произвольной абсолютно непрерывной функции f(x) с Sx(x,f) - частичной суммой ТРФ этой функции. Этот результат перенесён В.Е. Волковым и И. Йо на несамосопряжённые операторы Шрёдингера с потенциалами из С2, затем Е.И. Никольской на случай произвольных суммируемых потенциалов, оценка скорости равносходимости 0(1пА/А).

Системы функций, по которым ведётся разложение, могут удовлетворять разным краевым условиям (или не удовлетворять никаким краевым условиям без спектрального параметра, как в случае системы экспонент), поэтому равномерной равносходимости соответствующих рядов на всём отрезке G в общем случае не может быть. Некоторые практические задачи, тем не менее, требуют оценки скорости равносходимости разложений или оценки порядка приближения функций спектральными разложениями именно на всём G, причём оценку достаточно установить в интегральной метрике. В работах И.С. Ломова для произвольного неотрицательного самосопряжённого расширения оператора Шрёдингера с потенциалом из £г(0,1), г > 1 для функции ограниченной вариации получена оценка 0(1п А/А1/р) скорости равносходимости тех же разложений, но впервые это было сделано на всём интервале G в интегральной метрике Cp{G),p > 2; получена оценка порядка приближения функций этими рядами. Этот результат перенесён на несамосопряжённый оператор Шрёдингера, причём получена точная оценка 0( 1/А1/р), и на оператор второго порядка с негладким коэффициентом pi(x) при первой производной, pi(x) € Cs(G),s > 1; оператор L* для получения оценок не привлекался. Также И.С. Ломов установил оценки скорости равносходимости с ТРФ спектральных разложений по корневым функциям дифференциального оператора произвольного чётного порядка на внутреннем компакте и на всём интервале; отдельно установлена зависимость рассматриваемой скорости равносходимости от расстояния компакта до границы интервала. Схожие вопросы локальной равносходимости для дифференциальных операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами изучались В.М. Курбановым, однако доказательства полученных результатов были им приведены лишь для операторов чётного порядка. В работах C.B. Афонина и И.С. Ломова установлены оценки скорости равносходимости с ТРФ спектральных разложений по корневым функциям дифференциального оператора произвольного нечётного порядка как на внутреннем отрезке, так и на всём интервале.

Приведём ещё ряд близких направлений по спектральной теории диффе-

ренциальных операторов. A.C. Макиным получены достаточные условия суммируемости методом Рисса биортогональных рядов. Отметим также работы A.C. Макина, посвящённые изучению базисности систем корневых функций и асимптотики спектра, отвечающих несамосопряжённому оператору Штурма-Лиувилля с регулярными краевыми условиями. В последующих работах он получил значительные результаты по спектральной теории дифференциальных операторов с нерегулярными и вырожденными краевыми условиями. О.В. Белянцевым доказан критерий базисности Рисса для операторов второго порядка с сингулярными коэффициентами.

Обзор результатов по задачам равносходимости, полученных без использования подхода В.А. Ильина, подробно изложен в работах А.П. Хромова. В работах B.C. Рыхлова для обыкновенного дифференциального оператора п—го порядка с ненулевым коэффициентов р\ при (тг — 1)—ой производной и регулярными двухточечными условиями на концах интервала G получены оценки скорости равномерной на любом отрезке К С G равносходимости сг\(х, f) и S\(x, /). Коэффициент pi(x) при этом из более узкого класса, чем Ls. Условия на pi и / накладываются в терминах классов H°(G), состоящих из функций f(x) 6 £~{G), интегральный модуль непрерывности wr(/, S) которых есть величина 0(1п_а(<5-1)), 5 —> 0+. Скорость равносходимости при этом такова: если р\ € H°(G),f € H^(G),a + ß > 1 + q= 1, то \Ых, f) - Sx(x, f)\\c(K) = + zh + j^j)..

Г.В. Радзиевский, A.M. Гомилко исследовали оператор, порождённый дифференциальной операцией у^ со слабым возмущением Fy (соответствующим в случае дифференциального оператора условию pi(x)y(n~^ = 0) и двухточечными регулярными краевыми условиями, возмущёнными интегралами Стилтьеса. В терминах интегрального модуля непрерывности функции /(¡г) G £(G) установлены оценки скорости равномерной равносходимости a\(x,f) с S\(x,f) и с <т°(х, /) (при Fy = 0) на УК С G. Система, биорто-гонально сопряжённая с системой корневых функций оператора L, является системой корневых функций оператора L*. Отдельно Г.В. Радзиевским был рассмотрен дифференциальный оператор п—то порядка (с р\(х)у^п~1"> = 0) с двухточечными регулярными краевыми условиями. Исследовано влияние краевых условий (наличие или отсутствие в них производных) на оценку скорости сходимости разложений по корневым функциям этого оператора в метрике CP(G).

В.А. Винокуров и В.А. Садовничий опубликовали серию статей по асимптотике любого порядка собственных значений и собственных функций первой краевой задачи для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с лишь сумми-

руемым потенциалом и потенциалом, содержащим 5-функции. Получены формулы следов; для первой краевой задачи доказана теорема о равномерной равносходимости разложений по собственным функциям с ТРФ на всём отрезке для суммируемой разлагаемой функции. Близкие вопросы для операторов с сингулярными потенциалами исследовали А.А. Шкаликов и A.M. Савчук, а также И.В. Садовничая. Эти исследования активно развиваются и в настоящее время.

Цель работы. В диссертации изучаются вопросы сходимости биортого-нальных разложений функций для линейных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Указанные биортогональ-ные разложения сравниваются с разложением функций в тригонометрический ряд Фурье.

Основные результаты работы.

1. Получены оценки скорости равносходимости спектральных разложений функций для обыкновенного дифференциального оператора произвольного порядка с разложением этих функций в тригонометрический ряд Фурье на произвольном внутреннем компакте основного интервала как в скалярном, так и в матричном случае. При этом установлена зависимость оценки скорости локальной равносходимости от расстояния внутреннего компакта до границы интервала.

2. Получены оценки скорости сходимости и оценки скорости равносходимости спектральных разложений функций для дифференциального оператора произвольного порядка с разложением этих функций в тригонометрический ряд Фурье на всём основном интервале как в скалярном, так и в матричном случае.

Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений, общие методы комплексного и функционального анализа, а также спектральный метод В.А. Ильина.

Научная новизна. Все основные результаты работы, перечисленные выше, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение при обосновании метода Фурье решения задач математической физики, при исследовании задач теории упругости, квантовой механики и других,

приводящих к изучению несамосопряжённых операторов. Также результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по спектральной теории дифференциальных операторов для студентов и аспирантов математических и физических специальностей университетов.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов работы. Результаты настоящей диссертации были представлены в виде докладов на XV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (2008 г.); научной конференции «Ломоносовские чтения» (2012 г.); научных семинарах кафедры общей математики факультета ВМиК, научном семинаре под руководством В.А. Садовничего, совместном научном семинаре кафедры математического анализа и теории функций и кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК ([5], [6], [7]). Во всех работах автором постановки задач является научный руководитель И.С. Ломов. A.C. Марков является автором результатов, полученных с использованием метода В.А. Ильина, метода И.С. Ломова, идей и рассуждений И.С. Ломова и C.B. Афонина для рассматриваемых в работах дифференциальных операторов с новой асимптотикой коэффициентов Фурье. Подготовка материалов [1]-[5] и [8] к публикации была проведена самостоятельно автором, материалы [6]—[7] были подготовлены совместно с И.С. Ломовым.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации 122 страницы. Список литературы содержит 75 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится общий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, раскрываются её цели и задачи, а также приводится краткое изложение результатов диссертации.

В первой главе вводятся основные понятия, определения и леммы, используемые в диссертации. Далее рассматриваются 4 оператора, заданные на любом внутреннем компакте К С G.

Рассмотрим оператор L, порождённый дифференциальной операцией

lu = u"+Pl(x)u' + qi(x)u, ®€<?=(М), (1)

на классе функций D - абсолютно непрерывных на G = [0,1] вместе со своей первой производной;

Pi(x) е £S(G, С), e> 1, ei(a)e£(G,C), (2)

корневые функции оператора L (собственные и присоединённые функции) понимаются в обобщённом (по В.А. Ильину) смысле.

Фиксируем произвольную систему собственных значений {ADf^ и произвольную систему {ад(х)} корневых функций оператора L, отвечающую этим собственным значениям, пусть {^(я)} - биортогонально сопряжённая с {и*;} система функций.

Сформулируем основные ограничения на корневые системы (на оператор L).

Определение 1. Под собственной функцией оператора L, отвечающей собственному значению А2 £ С, будем понимать любую не равную тождественному нулю функцию и (х) £ D, удовлетворяющую почти всю-

О п О

ду в G уравнению I и и= 0.

Определение 2. Под присоединённой функцией порядка rrc, m = 1,2,..., отвечающей тому же А2 и собственной функции и, будем понимать любую функцию и (х), которая почти всюду в G удовлетворяет уравнению I и +А2 и= цт тй , где либо цт = \ (задача 1), либо цт = \,Не\> 0, при |А| > 1 u \im = 1 при |А| < 1 (задача 2).

Потребуем, чтобы рассматриваемые системы {А&}, {щ(х),Ук(х)} удовлетворяли трём условиям Ильина (назовём их Условия А)\

1) система {и*} замкнута и минимальна в U(G) при некотором г £ [1, оо);

2) существуют ci, сг = const > 0 такие, что

\Im\k\ < ci, V/c; 1 ^ ci. VA > 0;

0<|At|-A<l

3) существует сз = const > 0 такая, что

MMMIf < сз, vfc, где vk € £r'(G),r' = г/(г - 1), через || • ||г обозначается норма в £r(G).

Для произвольной функции /(х) е £г(<?), г 6 [1, со), составим частичные суммы биортогонального разложения

о-,

'A(af, /) = £ /*«*(*), Л > О, /* = (/, г-,).

|А*|<А

Пусть || • ||г>^ - норма в С (К), К С С?. Через 5а(х, /) обозначим частичную сумму ТРФ функции /(х), рассматриваемого как ортогональное разложение /(я) для оператора Ь$и = и" с условиями периодичности в нуле и единице.

Выпишем используемые в диссертации условия на асимптотику коэффициентов Д:

Зи = const >0,/3 = const : akfk = О^ЪГ? |Afc|), |A*| > 1; (3)

где ah = IJufclp1. Предполагаем, что для оператора Lq эти условия в соответствующих утверждениях выполняются.

Фиксируем произвольное число р € [1, оо). Для произвольного отрезка К С G обозначим 7] = р(К, 8G) > О - расстояние до границы интервала G. Сформулируем основной результат. Будут рассмотрены три ситуации. В каждой из них выписываются по две оценки скорости равносходимости. Это связано с тем, что было установлено: если стремиться получить наилучшую оценку скорости равносходимости по параметру А, то загрубляется оценка по параметру г) и наоборот, если оптимизировать оценку по 77, при этом она улучшается на порядок, то ухудшается оценка по А.

Теорема 1. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (1), (2), (3) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С G справедливы следующие оценки:

где щ = 1, если общее число присоединённых функций в системе {щ} бесконечно и щ = 0 в противном случае.

3v = const > 0 : akfk = 0(А£"),

(4)

1). Дл = ||ал(х,/)-5л(х,/)|и <

||pi||, max^A,+i/P-i/.tai А' А-+1/!»-!/.) амТА) '

(5)

2). Если s = оо, т.е. pi(x) е £°°(G), то

Дх<<

Н-^ + ттах^Ыи^+Ч

(6)

8). Пусть 1и = и" и дополнительно к условиям теоремы система {зд} обладает свойством базисности в £"((3) для какого-либо числа а 6 [1, оо) (то есть Щх) е £а(С),Ш С в : ||ад(х, /) - /(®)||а,к -> 0 при А -» оо), тогда можно записать равномерные оценки

max

4. Hi A" In" Л I ^ А

A"In

Постоянные с> 0 в оценках (5) - (7) не зависят от X и Т).

(7)

Аналогичные оценки скорости равносходимости получены для оператора произвольного чётного порядка, заданного операцией

1 =

d2" dx2n

2 n

in-1

г=1

da;2"'

r, xeG=(0,l), n > 1;

(8)

Pi(®)€ £'(G,C), e>l, Pl(x)€£(G,C), i = 2,2n,

на классе функций Дгп, абсолютно непрерывных на С вместе со своими производными до (2п — 1)—го порядка.

Фиксируем некоторые числа Го € [1, оо], 70 > 0. Выберем произвольную последовательность чисел {А^}^ и произвольную систему {^(х)} корневых функций оператора Ь, отвечающую спектральным параметрам {А^}, удовлетворяющие Условиям А. Присоединённые функции выбираем так, что

в корневых цепочках справедлива "антиаприорная"оценка

„ m—1

Щ ||Го < садII ик ||г„, С = const > 0, тп = 1,тк,

(9)

с не зависит от А ад = |А/ь|2п 1 для задачи 1, ад = 1 для задачи 2. Пусть также

1Моо<Ф*1к VA;; с = const > 0. (10)

Фиксируем произвольное число р £ [1, оо).

Теорема 2. Пусть для оператора Ь и функции /(я) выполняются условия (4), (8) - (10) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С С справедливы следующие оценки:

Ax = \\ax(x,f)-Sx(x,f)\\PlK< (

<

с 5» maxi

\ 2п

+ Ellw II

1=2 /

с maxi \

\ 2 п

+ЕЫ 1=2

+

In Л In2 Л

Л In А ln3A \

' I А"+1/Р > J

I Л' Л"

I ronlnA "f" А"

(И)

с постоянной с, не зависящей от Т] и А, то = тахтга&; если при этом Pi = 0, то

ilcrx(x,f)-Sx(x,f)ilBc}K<

max

j- Sa

In A I mp In A A"

(12)

Ал<

Теорема 3. Пусть для оператора L и функции /(¡г) выполняются условия (3), (8) - (10), и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С G справедливы следующие оценки:

% тах0'ж)+

+lbi||s тах^, р, л„+1/,_1/.) АМп^А' a^-i/^i/m^a)"*"

Iii. ЬА А

A-'ÄmZÄJ

A"In"A

(13)

, II и f 1. X 1 In2 A__In A \

-t-||Pl||s maxi л, л„, д^+i/p.!/,, A"in*1 A' A"+Vj-i/«Wa J'

+ E Nil maX(x> I^hfo) +

с постоянной с, не зависящей от г/ и X, то = тахт*,; если при этом

pi = 0, то

max[

2n

In in а \ \ а' a*> a"ln^aj

+

(=2 тах

A"In"А

+

2n

+ Elbillimax

г-2

(г l in а )

I mn In А ^ A» in" А

Результаты, полученные для оператора второго и произвольного чётного порядка, перенесены на случай операторов с матричными коэффициентами. Рассмотрим оператор Ь, порождённый дифференциальной операцией

1и = и" + Р(х)и' + Q(x)u, xeG = ( 0,1),

где

(15)

Р(х) = {Рц(х)}, Рц{х) € в > 1, г,] = 1,/»,

<9С®> = Ш*)}. <?«(*) е и = (1x1(2:), 1x2(2),-.^(я))- £0,3 =

класс Б - функции, абсолютно непрерывные на О = [0,1] вместе со своей первой производной.

Фиксируем произвольное число р € [1, оо), произвольную систему собственных значений {Х2к}^х и систему {ик(х)}, и>(х) = (и{(х),и32(х), ...^^(х)) корневых вектор-функций оператора Ь, отвечающую этим собственным значениям. Пусть существует {и*5(я)} - биортогонально сопряжённая с {ик} система функций. Для произвольной вектор-функции /(¡г) е ££(<?) составим частичные суммы биортогонального разложения

£</У)-А*), а > о,

|а*|<а

ик £ Vй € С\{С), р~1 + q~l = 1. Для каждого 3 = 1,2,.., К рассмот-

рим ую компоненту биортогонального разложения:

1а»|<а

Через 5А(х,/;•) обозначим частичную сумму тригонометрического ряда Фурье соответствующей ой компоненты /¿(г) разлагаемой вектор-функции

/(х), рассматриваемого как ортогональное разложение ¡¡{х) для оператора Ьои = и" с условиями периодичности в нуле и единице:

о

Теорема 4. Пусть для оператора Ь и функции f(x) выполняются условия (3), (15) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел X и любого отрезка К С С справедливы следующие оценки:

1). А$_ = \\с$(х,П-3\х,тСр{к)< + ПОМП» + а,+

Л А

<

1 ni In Л A"+VP-i/« » Л"1п'3 A

max

ill laA ^ , llQ(x)[M"A, I A> A"' A"In"A I A^VPln^A

(16)

'J —

^ max I

ЬА^ | UPMII.

+ ll-Pfc) lis max in S A ' A"+VP-I/», xv fa? A

где ni = 1, если общее число присоединённых функций в системе {ик} бесконечно и щ = 0 в противном случае; 2). Если s — оо, mo

-1 I JL In A \

Ll A' A"' Â^In^ÂJ '

' __(17)

для всех j = l,m. Постоянные с > 0 в оценках (16) и (17) не зависят от X и т].

Теорема 5. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (4), (15) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел X и любого отрезка К С G справедливы следующие оценки:

1). Д* < «

max | ^, £

+ f + IIQ(x)H1 max(i

s I max I i ^

+

( 1 lnA^

V Л* J

(18)

где щ = 1, если общее число присоединённых функций в системе {и*} бесконечно и П\ = 0 в противном случае; 2). Если в = оо, то

Ц <

-max

V

+ + ПВДИоо max(i, ^

I I InA \ I A' A" J>

(19)

для всех j = 1,ш. Постоянные с> 0 в оценках (18) и (19) не зависят от А и г).

Рассмотрим оператор L, порождённый дифференциальной операцией

j2n 2" J2n-1

+ гг> 1;

_ (20)

Р\х) = {PA(i)>, Р*(а;) 6 £S(G,C), 1 ,Л, sj^L,

Р'(аО = 4M е C{G,C), Vi, j = 1, ft, VZ = 272n,

где и — (щ(х), щ(х), ...,щ{х)), Uj(x) 6 Агп, 3 = 1, /г, а класс £>2п - абсолютно непрерывные на G = [0,1] вместе со своими производными до (2п— 1)—го порядка включительно функции.

Фиксируем некоторые числа го G [1, оо], 70 > 0. Выберем произвольную последовательность чисел {А*}^ и произвольную систему {ufc(a;)} корневых функций оператора L, отвечающую спектральным параметрам {А*}, удовлетворяющие Условиям А. Присоединённые функции выбираем так, что в корневых цепочках справедлива "антиаприорная"оценка

т—1 т

.Л II . II „.*

II и ||£?0(G) < сад|| uk Ц^ЛДС), с = const >0, m = 1 ,mk, (21)

с не зависит от At, ад = |А^|2"-1 для задачи 1, ад = 1 для задачи 2. Пусть также

ll«*lk(G) <011^11^(0) VA;; с = const > 0. (22)

Фиксируем произвольное число р £ [1, оо).

Теорема 6. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (4), (20) - (22) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших

чисел А и любого отрезка К С С справедливы следующие оценки:

тах^) + ИРЧксЮ тах^.^. р^тт) + Е 1Нк(К) тах(^, + ,

г=2 \ / J

+

ЬЛ I , II"

с постоянной с, не зависящей от Т) и А, то = тахга&; если при это.м Р1 = О, то

тах^^+ёцР'Нг^

А" А' 1п А пгп ЬА

24)

Теорема 7. Пусть для оператора Ь и функции /(я) выполняются условия (3), (20) - (22) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С. С справедливы следующие оценки.

(1 ± 1пА А ,

\^А> А-'АМ^А^ ^ МПслк) тах^,^,

1 1п2 А__1пА

А^+1/Р-1/.> А"1п"А' А"+1/Р-1/

+ Е 1|Рг||£1(^)тах^. л^Ь'А' ) + А" 1п"А

у

+

(25)

1п А

2 п

+ Е \\Р1\\сг(К) тах( Л^1п/)Л ) + ^

1п А А '*-!/» 1п" А /

А'+'/р-!/« ' А" 1па А' А"+!/Р 1 1пА__1п2А | тр!пА

+

- . . 1 И

1=2 \

с постоянной с, не зависящей от г) и А, то = тахт*;; если при этом

Р1 = 0,

то

+

ЕИР'Иадпмх^.^Зй^л)

+

ТП(]

А"1пэ А

2п

+ £ /=2

26)

Во второй главе получены те же оценки, что и в первой, но уже для оператора первого и произвольного нечётного порядка. Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор Ь, порождённый дифференциальной операцией

Ьи = и' + а0{х)и, х ей = {0,1), а0(х)еЬ'{О), з>1 (27)

на классе функций И, абсолютно непрерывных на С = [0,1].

Фиксируем произвольную систему собственных значений {А*}^ и произвольную систему {«(¿(х)} корневых функций оператора Ь, отвечающую этим собственным значениям, удовлетворяющие трём Условиям А.

Фиксируем произвольное число р 6 [1, оо).

Теорема 8. Пусть для оператора Ь и функции /(я) выполняются условия (4), (27) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел X и любого отрезка К С. С справедливы следующие оценки:

Ах = \\ах(х,/)-Зх(х,тр,к<

+

+Ы1,тах т

< Г 4

о:

(28)

+

тах(*, + (щ + ||ао||р) тах^,

где щ = 1, если общее число присоединённых функций в системе {щ} бесконечно и п 1 = 0 в противном случае. Постоянная с > 0 не зависит от X и Т).

Теорема 9. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (3), (27) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С (3 справедливы следующие оценки:

Дл<

(29)

+

I [тах(> & ж) + (»1+ 1КУ »««(¥.

+||ао||» тах, а„+1/,!-1/.1пр>

где щ = 1, если общее число присоединённых функций в системе {ик} бесконечно и щ = 0 в противном случае. Постоянная с> 0 не зависит от А и Т].

Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор Ь, порождённый дифференциальной операцией

п-1

Lu = uW(x) + ak(x)uW(x), х е G = (0,1), п = 21 + 1, I € Z, I > 0;

fc=o

(30)

an_!(®) 6 LS(G), s > 1, ajfe(x) G L(G), k = 0,n - 2,

на классе функций Вп, абсолютно непрерывных на (3 = [0,1] вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно.

Зафиксируем некоторые числа Го 6 [1, оо), 70 > 0. Выберем произвольную последовательность чисел {А*}^ и произвольную систему {ик} корневых функций оператора Ь, отвечающую спектральным параметрам {А*;}, удовлетворяющие трём Условиям А.

Присоединённые функции выберем так, чтобы в корневых цепочках была

справедлива " антиаприорная" оценка

т-1

« к ||го < садII Щ ||Го, с = const >0, т = 1, тк,

(31)

с не зависит от Хк, ад = |А^|П 1 для задачи 1, ад = 1 для задачи 2. Для п > 3 такую систему всегда можно построить. Пусть, кроме того,

1Ы|оо < c||ufc||r0 Vfc; с = const > 0. Фиксируем произвольное р € [1, оо).

Теорема 10. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (4), (30) - (32) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С й справедливы следующие оценки:

ДА=1кА(я,/)-5л(я,/)||р,*<

• тах^^, р, ^717^177^ + ||а„_1||, тах, д^Д'Л > +

<

п-2

+ Е 1М1ДТ75 + т0 тахи,

д=0 \

тах(^, р+гЬт;) + ||оп-1||. тах ^ ) +

п-2

+ Е 1кИ1лГ7? + "1отах

9=0

(1 1П2а\

(33)

с постоянной с, не зависящей от г) и А, то = тахт*.

Теорема 11. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (3), (30) - (32) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С О справедливы следующие оценки:

Да<

1аХ(¥> 3?п!Ра> Л"*1/*-1") +

I II И I 1 1пА 1пА 1п2А | |

+|1ап-1||з тах1 Л1/+1/р-1^, Д1,+1/р_1/.хп^л' А"' а"1п^а

+ Е Ыгш + тах(х- зЙУа)

9=0 \ / J

тах

(1пА 1 I А ' А"'

1пА 1 | I

А" 1п" А1 А^/Р-!/«

О-

(34)

г II II .„I 1 1пА 1пА 1п2 А | I

+||ап-1|Ь тахI , л„+1/р_1А111лл> л* > д^л |_г

+ Е + тахГх!

9=0 \ / J

с постоянной с, не зависящей от ц и А, то = тахт*;.

Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор Ь, порождённый дифференциальной операцией

Ьи = и' + А(х)и, х€С = ( 0,1),

Л(х) = {Лу(х)}, Аф) € 5 > 1, = 1Л

и = (у,1(х),и2(х),...,ин(х)), щ(х) € Г>, .7 =

где

класс Б - функции, абсолютно непрерывные на С? = [0,1] вместе со своей первой производной.

Фиксируем произвольное число р £ [1,оо), произвольную систему собственных значений {А2}£1х и систему {и*(х)}, и>(х) = (гг[(х),и32(х), ...,и{{х)) корневых вектор-функций оператора Ь, отвечающую этим собственным значениям. Пусть существует {^(х)} - биортогонально сопряжённая с {и4} система функций.

Фиксируем произвольное число р £ [1, оо).

Теорема 12. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (3), (35) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С. С справедливы следующие оценки:

а}(х,Л-3\х,тСр{к)<

<

тах

(р-ж) + (П1 + таХ(^'Й

(11__}п;

I А> А"> А"1п'

+

(36)

тах

1п А А"1п" А

+

^ ^ + ^ + И^Ир) таХ(^'

+||А(х) ||3 тах > х'+^-^'Ы"а^ '

где п\ = 1, если общее число присоединённых функций в системе {и*} бесконечно и п\ = 0 в противном случае. Постоянная с> 0 не зависит от А и Г).

Теорема 13. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (4), (35) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С О справедливы следующие оценки:

£ [тах^, + (щ + ||Л(х)||р) тах(ц*, ^

+(п1 + ||Л(х)||р)тах(^,^

+Ц А (х) ||, тах ^„Д-ц. > А^/н/-) >

где щ — 1, если общее число присоединённых функций в системе {и*} бесконечно и П\ = 0 в противном случае. Постоянная с > 0 не зависит от А и Г].

Д) <

+

+

(37)

Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор Ь, порождённый дифференциальной операцией

п-1

Ьи = ¿п)(х) + £ Ак(х)и^(х), х е в = (О,1), п = 21 +1, I € I > 0;

к=О _

Ап_1(г) = {А^{х)}, А^х) е С* {в, С), а > 1,V»,7 = 1, К

Ак(х) = (4(х)}, 4(х) б £(С,С), А; = 0^=2,

(38)

где и = (щ(х), щ{х),..., щ(х)), щ(х) 6 А,, j = ТЛ а класс Д, - абсолютно непрерывные на О = [0,1] вместе со своими производными до (п - 1)-го порядка включительно.

Зафиксируем некоторые числа Го € [1, оо), 70 > 0. Выберем произвольную последовательность чисел {А*,}^ и произвольную систему {и*} корневых вектор-функций оператора Ь, отвечающую спектральным параметрам {А*}, удовлетворяющие трём Условиям А.

Присоединённые функции выберем так, чтобы в корневых цепочках была справедлива " антиаприорная" оценка

II "и к II^cg) < сад|| Щ ||£^(G), с = const >0, m = 1, тк, (39)

с не зависит от Хк, аА = |<Ч"-1 для задачи 1, с*А = 1 для задачи 2. Пусть, кроме того,

IMIrWO ^ с = const >0. (40)

Фиксируем произвольное р £ [1)Оо).

Теорема 14. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (4), (38) - (40) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С G справедливы следующие оценки:

^ = I aj(x> f) ~ Sx(x, fj)\\cf,(K) <

■ шах^Ц^, A„+i/p_iy.^ + ||А""1 И, max^^+Jp.!/,, ^+¿/¿.1/; 1 +

j

q=0

max

^y. p+i/p-i/.^ + HA" 1]|s max (A"+i/p-i/«) x^+I/P-I/m i V) ^

с постоянной с, не зависящей от г] и А, то - тахт*;.

Теорема 15. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (3), (38) - (40) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А и любого отрезка К С С? справедливы следующие оценки:

Дj<

In А

+||ЛП 41s тах^л„+1;р_1/а, Au+i/p1"i/.А + E ll^lliÄ^ + tno max(j, ф, Jdfc) / Ы 1 In А 1 Л i

l А > А"> A"In" А'A"+i/»-i/»

In А In2 А \ ' А" ' А" In" А J

+

4=0 maxi

+|| An~% maxf.-^Lw........-ЧЛ.. ... ^ 1 +

(42)

п—2

Ä^Vi^VMn9^' А" ' А-In" А

Л InA In2А А

V А' А" ' А"In" АJ

+ Е Рд||1д^ + т0тах 1—0

с постоянной с, не зависящей от г] и А.

Третья глава посвящена получению оценок скорости равносходимости спектральных разложений для дифференциальных операторов второго и произвольного чётного порядков на основном интервале. Рассматриваются случаи одномерного оператора, а также оператора, порождённого дифференциальной операцией с матричными коэффициентами.

Теорема 16. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (1) - (8) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А справедлива следующая оценка:

|Мх,/)-5А(х,/)||р<тах(1

/ 4 \ 2 ' (43) +М|,тах^, у^Ьл, л^Д/.^а) + тотах {{,

где то = тахтой, р = тах(2,р,в') постоянная с> 0 не зависит от А.

Следствие 1. Пусть р € [1, оо), / 6 У[С1) и выполняются условия предыдущей Теоремы. Тогда

||/-<7Л(х,/)||р = 0

+||pi||smax

I А' А"

тах

X' A"-i/P In" А' А In" А \ v=l+l/p/

In1/"' AI

А' A^+VP-I/»i

)

^J+momaxQ,^)

+

Лйк

+

Теорема 17. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (3), (8) - (10) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А справедлива следующая оценка:

||<тл(*,/) - Sx(x,f)\\p < max(i, ^^д, + llftll.max^

1__1 InA In Л__1пА In1/q А I

Xf+1/p-i/Mi Л"+1/«'-1/01п"А' А ' Л"+1/''-1/0 > д^+1/p—1/» л' А1/''In" А Ь=1 /О'

^Ul+l/Q-l/*) +1¿ftU-lfr)

А" ¡п'3 А

(45)

с постоянной с, не зависящей А, то = тахт*,/э = тах(2,р,в'), <3 = тт(р', з') = тт(д, й, й').

Следствие 2. Пусть р е [1, оо), / 6 и выполняются условия предыдущей Теоремы. Тогда

maXip7?> А' А' AlnsA 1^=1+1/^ +

Wf-°x(xJ)\\p = 0

.и || ( 1 1 _1_ InA InA In А

+ IIPl||s maxi Jjjjr, Xp+1/P-1/,, дк+i/.'-i/ein^ д> А ' А"+1/«'-1/0' \*+1/р-1/1]п? Л'

ln'^A I InW°AI ^ , V||DJ|imax/' 1 Jn!A I V

AV.'ln^Ul/Q'Ti?Ä"Ul+l/Q-l/*') + А >Ш1 Ul-l/p^

J__mQ. .

(46)

Теорема 18. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (3), (15) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А справедлива следующая оценка:

Д* = \\aj(x,f) - s\x,fj)Ww < max(± +

+ HP(x)||.max(i, j^, x„+l/l-^x) + m°max(iÄ)'

(47)

где то = maxmjt, p = max(2,p,s') постоянная с > 0 не зависит от А.

Теорема 19. Пусть для оператора L и функции f(x) выполняются условия (3), (20) - (22) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших

чисел А справедлива следующая оценка:

Д* = \\а$(х, /) - /Мс,(К) < тах^, 3^177^' +

In A In А

In А

In1'« А A1/''to" А

--то

A"In"А

к=1/<?

In'+^A A In" А

v=l+l/Q-l/s>/ ¡=2

с постоянной с, не зависящей А, то = тахт*, р = тах(2,р, s'), Q " min(p', s') = min^, s, s').

(48)

Четвёртая глава посвящена получению оценок скорости равносходимости спектральных разложений для дифференциальных операторов произвольного нечётного порядка на основном интервале. Рассматриваются случаи одномерного оператора, а также оператора, порождённого дифференциальной операцией с матричными коэффициентами. Фиксируем произвольное Р 6 [1»оо).

Теорема 20. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (3), (30) - (32) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А справедлива следующая оценка:

ДА = ||вгЛ(а, /) - Sx{x, f)\\p < cmax

1

(49)

с постоянной с, не зависящей от А, 6 — пип(2,?, й), q =

Теорема 21. Пусть для оператора Ь и функции /(х) выполняются условия (3), (38) - (40) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел А справедлива следующая оценка:

Aj = \\ffj(x>f) ~ & \х> fj)\\p — cmax

\W\v-\H\oP\

(50)

с постоянной с, не зависящей от X, 5 = тт(2, д, в), д —

р-г

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Игорю Сергеевичу Ломову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Марков A.C. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциального оператора на скорость равносходимости спектральных разложений // XV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных Ломоносов-2008, секция Вычислительная математика и кибернетика. Тезисы докладов, М.: Изд-во МГУ. 2008. С. 60.

[2] Марков A.C. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциального оператора на скорость равносходимости спектральных разложений // Сборник статей молодых учёных факультета ВМиК МГУ. 2008. Вып. 5. С. 68-72.

[3] Марков A.C. О скорости сходимости спектральных разложений для обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка // Сборник статей молодых учёных факультета ВМиК МГУ. 2009. Вып. 6. С. 111-127.

[4] Марков A.C. О скорости сходимости спектральных разложений для обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка // Сборник тезисов лучших дипломных работ 2009 года. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ. 2009. С. 50.

[5] Марков А. С. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений на отрезке // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 8. С. 1105-1116.

[6] Ломов И.С., Марков A.C. Оценки скорости сходимости спектральных разложений дифференциальных операторов чётного порядка // ДАН. 2012. Т. 445, № 5. С. 510-512.

[7] Ломов И.С., Марков A.C. Оценки скорости локальной сходимости спектральных разложений дифференциальных операторов чётного порядка // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 5. С. 557-563.

[8] Марков A.C. Исследование скорости сходимости спектральных разложений дифференциальных операторов // Деп. в ВИНИТИ 24.10.2013 № 292-В2013.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 21.01.2015 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 009.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8(495)939-3890/91. ТелУФахс 8(495)939-3891.