Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕ Н И Е.

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ I.I. Вспомогательные факты.

§ 1.2. Построение специальных решений уравнения . ^

§ 1.3. О фундаментальной системе решений уравнения

§ 1.4. Исследование резольвенты и спектра оператора L

§ 1.5. Разложение по собственным функциям и теорема о равносходимости

ГЛАВА П. О ВОЗМУЩЕНИИ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 2.1. Спектр и резольвента оператора 7"

§ 2.2. Разложение по собственным функциям оператора 7~" . Ю

Некоторые вопросы физики, в частности, квантовой механики, теории кристаллов приводят к изучению дифференциальных операторов с периодическими или почти-периодическими коэффициентами.

Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы с периодическими коэффициентами изучаются давно. В этой теории имеется ряд существенных результатов, которые хорошо изложены в книге Данфорд Н., Шварц Дж. [loj [см.также Титчмарш Э.Ч. [29] ). В настоящее время имеется завершенная теория по исследованию спектра и спектрального разложения самосопряженных операторов с периодическими коэффициентами.

Определенный интерес представляет изучение дифференциальных t операторов с комплекснозначными периодическими коэффициентами. Такая задача впервые была поставлена в работе Гельфанда И.М. [я]. Начиная с 60-х годов усилиями Рофе-Бекетова Ф.С. [24] ,

Мак-Гарвея [17,18,19] , Серова М.Н. [27,28] , Гасымова М.Г. [б,7] , Ткаченко В.И. [30] , Велиева О.А. [l,5] , Максудова Ф.Г. продвинулась.

Работы Рофе-Бекетова Ш.С., Мак-Гарвея, Серова М.Н, посвящены изучению спектра несамосопряженных периодических операторов. Разложение по собственным функциям несамосопряженных периодических операторов исследована в работах Гасымова М.Г., Максудова Ф.Г., Велиева О.А. Окончательная формула разложения получена Велиевым О.А. В последние годы сильно возрос интерес к дифференциальным операторам с почти-периодическими коэффициентами. К настоящему времени существует серия работ посвященных изучетеория таких операторов значительно нию почти-периодических операторов. В этом направлении можно указать работы Динабург Е.И., Синай Я. Г. [il] , Марченко А. В. [20] , Чулаевского В.А. [32] , /\l)-tOft У, SLmoh [l,2] e£Zisa*jd CJ.Qhd Simon В [з] , Mos£t У [zi] .

Шубиным M.A. рассмотрены [зз] почти-периодические дифференциальные операторы в частных производных. Сдедует отметить, что в перечисленных работах рассмотрены разные классы самосопряженных почти-периодических операторов второго порядка; при этом в основном исследуется структура спектра в случаях, когда коэффициенты оператора имеют специальный вид. Пока при более общих предположениях относительно коэффициентов дифференциального оператора не удается изучить структуру спектра.

В данной диссертационной работе впервые изучается класс несамосопряженных дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами, а также исследуется спектральные свойства возмущения периодических операторов из рассматриваемого класса.

Передем к краткому изложению содержания диссертации, состоящей из двух глав.

В главе I изучается дифференциальный оператор [ , порожденный выражением

0 (У) в пространстве (-оо,оо) , где

R.W^TlP^t^ Г = 0,1, . .,m-z (I) h-i и ряд £ м у= о сходится. Здесь множество G = {°thj- удовлетворяет следующим условиям:

1) £ihl olh - + оо ft-» о©

2) если о^ € G то +

Нетрудно заметить, что от условия 2) можно отказаться. При сделанных предположениях оператор L является несамосопряженным оператором и будет самосопряженным тогда и только тогда, когда , дГ-О, i, . ., т-г .

В § I.I даются необходимые определения и вспомогательные факты.

В § 1.2 строится некоторые специальные решения уравнения . т cm) - W т

С-0 0 С) где JD - комплексный параметр.

Пусть^- = есср ( iwd/M) .QrO^S)* д. - (cdj-i) при J = i, fn-I i h = 2., . .Доказано, что уравнение (3) для каждого р ^р имеет решение ipoc - пч 4 - ф ^ осч

4)

Здесь коэффициенты s однозначно определяются по коэффициентам Р^ из определенной системы рекуррентных уравнений и сходится ряд оо /77-1 оо ^ h=i (j=L S-h

Из (4), (5) вытекает, что jj!(oc,ji) является мероморфной функцией по jQ , которая может иметь полюсы первого порядка в точках . 9 j-^t rn'L '> h = 4-, 2.9 . .

В этом же параграфе доказывается, что если с) равномерная почти-периодическая функция то уравнение имеет решение, представимое в виде где ряд

ОО оо сходится. Аналогичное утверждение имеет место при выполнений условий olh = hf Cj/Coz) в L2 (OyZSr^) (см.теорема 1.2.3).

Далее пусть р, =р ,(х)~/ ПРИ П = df2,. i'=i,2,.,m-i; JtyS Jhj ь v

S = О, i, 2, . . ,,Yn-i, В § 1.3 показано, что при система функций составляют фундаментальную систему решений уравнения (3) (см. лемма 1.3.I).

Далее, используя эту систему решений доказывается, что оператор L. не имеет собственных значений (см. теорема 1.4.I).

В этом же параграфе известным методом [23] строится ядро ^ резольвенты ftx= ( L - Xl) . Пусть Утп-22$ 30 = { J) : 0< ачдр^^.у. Тогда для X = j^2 , JDё 50 резольвента является ограниченным интегральным оператором в [^(-оо, оо) с ядром (см. теорема 1.4.2)^ ^ где (fCoCjji) является решением уравнения представимое в виде

-ipx. оо пч. £ ~ ф

1 f^r 21 —D ZRhKe )

Здесь Rhf, постоянные числа, для которых сходится ряд оо И1-1 оо h=l h K~h

Далее доказывается следующая:

ТЕОРЕМА 1.4.3. Оператор L (четного порядка) имеет чисто непрерывный спектр, который совпадает с положительной полуосью. На непрерывном спектре возможны спектральные особенности первого порядка в точках > ^ = ••• •

Отметим, что для оператора - t^-f утверждение теоремы 1,4,3 остается в силе, если Cj,(3£) - равномерная почти-периодическая функция, удовлетворяющая условиям (б;.(см.теорема 1.4.4). Это усиливает результат Гасымова М.Г. [б] Пусть = S0'=ff: 0<at2f><£. } ,

2 3Г t m

C QZ-Cjj} <t J • ^0ГДа также доказывается, что приХ=Р , р £ S„ U S" резольвента является интегральным оператором ядром £

ZI^s ffafukye (r,j>u)s) f ос Я [ ~ , TF >X a

20+4 при €. Sj ^^Ifep^^ftj^O)^, 0С>Л при р £ gj' (см.теорема 1.4.6). Имеет место

ТЕОРЕМА 1.4.7. Оператор L (нечетного порядка) имеет чисто непрерывный спектр, который заполняет вещественную ось.

В § 1.4 для ядра резольвенты оператора L (нечетного порядка; получено следующее интегральное представление: оо

Далее используя (7) в § 1.5 доказана

ТЕОРЕМА 1.5Л. Пусть ^(00.) дважды непрерывно дифференцируемая финитная функция на (- оо, оо) . Тогда -^(эс.) разлагается по собственным функциям непрерывного спектра оператора L (нечетного порядка) по формуле: о®

2с х)=— j ) , (в;

ОО < — оо где интеграл сходится равномерно по Х€ (- 00 > .

В этом же параграфе формула (8) распространяется на функции ^(З:") € оо) ; при этом сходимость интегралов в (8) следует понимать в смысле метрики пространства 00; В § 1.5 доказана следующая теорема о равносходимости. ТЕОРЕМА 1.5.3. Пусть ^ДО € L. Тогда при X

- оо с эс^ + оо разложение по главным функциям оператора (нечетного порядка) ведет себя в отношении сходимости так же как и обычный интеграл Фурье. В частности, оно сходится .~ -4- y^fctvcOj. если (32) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки X.

В главе 2 изучается возмущение периодического оператора 2IV -го порядка из рассматриваемого в главе I класса с экспоненциально убывающим потенциалом.

Отметим, что периодический оператор 2т -го порядка, коэффициенты которого удовлетворяет условиям (2),(3) при olh =h изучен Гасымовым М.Г. [71 , а возмущение периодического оператора Штурма-Лиувилля с финитным потенциалом исследована Керимовым Я.Р., Соловьевым А.Н. [l3] . Возмущение спектра самосопряженных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами изучались в работе Рофе-Бекетова Ф.С. [24] .

Глава 2 состоит из двух параграфов. В § 2.1 изучается спектр и резольвента оператора Т , поровденного выражением в L 2 <*>) » где п т (2Ш-) (Ю а (^(Х) непрерывная функция, удовлетворяющая условию

-е/се/

С Л . о

Здесь 0о , £ - некоторые положительные константы, a 0, О, I, . . ,2/71-2. удовлетворяет условиям (2),(3) прио/н=/1. Очевидно, что Т является несамосопряженным оператором и может быть самосопряженным только тогда, когда РуС^С.) = 01 о,1, . ,2/71-2, С^/о:) вещественная. Обозначим через Т0 оператор, порожденный выражением , ф - оператор умножения на (^(СС.) . Если GeC3C,IfjO ядро резольвенты оператора Т0 , то уравнение

-Г 2YY) Р

Для , JD € $о = -f р ; эквивалентно следующему y + G0Cf)Qy = G0(f>f, (9) где (т0Гр) - интегральный оператор с ядром ,

Пусть Е = {о, j-, /1 = 4,2,.]. и - множество точек р - плоскости, отстоящих от точек множества на расстояние, меньшее, чем fyz Г^Р).

Для £о>0 обозначим через L2 g СЮ пространство измеримых функций ^(ОС.*) с нормой v о ос» £,

2 -г0/ос/, ^ /2 lift = -t- снэ

2,в0 f

Пусть далее Оео(R} - пространство непрерывных функций определенных на оси = , с нормой

-4°/ад l£oCK) cceR а (?£ Cfi ) ~ пространство непрерывных функций с нормой + ло .

Наряду с уравнением (9) рассмотрим уравнение g + GjfbQy =ч> сю) для любой У £ • Оказывается, что G0 Q при каждом Е является компактным оператором в или С eo(R) голоморфно зависящим от р , если 0< <Г< <=< е G-0Cj>") Q может иметь полюсы первого порядка в точках р = hcdi • h £ Л/ ив нуле полюс (2/^-1) -го порядка. Применяя 2 к уравнению (10) теорему типа М.В.Келдыша, находим, что существует дискретное множество Э в »?£ такое, что при ре \ («9 (JE) существует единственное решение этого уравнения из

2,6 о СЮ Г для ЛЮб0Й WX)€ U,sSR\ [WVZQC®]

Далее, не трудно видеть, что при |3 £ $0 справедливо

2 Уг) ^ —4

CT-f l)=0+Go(p>Q)Go(p.

Имеет место следующая

ТЕОРЕМА 2.1.4. Каждая точка \=р , jd € П <) является собственным значением оператора Т •

Далее доказывается, что каждая точка положительной полуоси, за исключением конечного числа точек, принадлежит непрерывному спектру оператора Т » а конечное число точек может принадлежать точечному или остаточному спектру. Множество собственных значений оператора Т может иметь предельную точку только в бесконечности (см.теорема 2.1.5,теорема 2.1.6).

В § 2.1 доказывается,(см. теорема 2.1.7), что при кавдом Х^р2101, р q ^ \ резольвента оператора Т является интегральным оператором в Zg^^*00") с ядром удовлетворяющим условиям г, i2|

Ядро является решением уравнения

Далее доказывается, что G (ОС, является мероморфной функцией по р в S^ с полюсами вU Е , при этом достаточно большие по модулю полюсы из являются простыми и находятся в ^/2. ~ окрестностях точек или ; ft =4,2,. Кроме того, в окрестностях точек или п ^ существует полюс тогл О

Cm) ^ да и только тогда, когда &hn О . Обозначим их через Р и

I J ti

JCJ соответственно. Тогда для них сораведливы формулы

J* 2 ' ' Ь 2 ' о и

Если р полюс ядра > лежащий на границе 3&

2УП > > не является собственным значением оператора, то он является спектральной особенностью в смысле М.А.Наймарка.

В § 2.2 выводится интегральное представление ядра резольвенты и формула разложения по собственным функциям оператора Т Пусть О * . Тогда существует hoCfi такое, что полюсы ядра Q(/OC)j/jS) из Sf » модули которых не меньше чем р — ZL0 А расположены в - окрестностях точек

Jo 2 ^ I или t ( h ^ hЛ. При этом соответствующие полюсы р и

Jh простые. Существует конечное число полюсов ядра G (ce,J,ji) из , модули которых меньше, чем р . Пусть из них ц <i д < . . • ^ Д ~ лежащие на положительной полуоси, а р +d' /р +2 ' ''' * /р ~ принадлежащие . Пусть далее 6~h * С ЬъПо) выбраны следующим образом: G~h если pj 4 Я или , J^' € "5 SQ или р € , a (v, если

Я0 или £ £ Э S0 , ф 30 . Пусть оу^ L. таково, что круг Ipi ^Ц не содержит ни одного отличного от нуля полюса ядра G- С се, „ Выберем и сГг так, что O^cfJ^cT , о ^ 6~г ^ ftnin С (Г,Д} , Пусть

Обозначим через контур, полученный из полуоси ,+ЛО) заменой отрезка ломаной с вершинами в точках Д - L , р> £ с^ » р и заменой диаметров окружностей радиуса с центром в точках Л/2 , ft ^ полуокружностями I р-£|=£ » |з < о , ('Угп^Ъо) . При этом полуокружности расположены в нижней (верхней) полуплоскости, если (Ууу - , (6~h —") . Через обозначим контур, полученный из Г поворотом вокруг нуля на угол ^У/п в положительном направлении. Область с границей Г U U С^ обозначим через 8( Г) . Далее будем считать, что dj выбрано так, что область 3 С Г) не содержит в себе отличных от , /г1 " ' '/р • f'1^полюсов ядра 6" fee, . Обозна-главную часть ядра (г fee, Т^) в окрестности Д* через

С » а в окрестности п0) через

Имеет место

ТЕОРЕМА 2.2.1. Если £ $>(Г) отлично от полюсов ядра чим

Q то справедливо интегральное представление:

J Pi ос j d J <pn о 7

4 С + I

4-—J --— аз - (id

Г 22hl/m m f J>m-4

5ГС J -22m n2W ^ 2 "f I г Cf2 , 2 где +и \Д являются решениями интегральных уравнений: оо

•оо оо

V+ №,2) = Ц»fee, ii) - J Ga (Т,г)с/т оо при гс Г из Cj-(Fl) . Рады и интегралы в (II) сходятся в смысле метрики пространства С^- С R2) . Пусть

Д- cL'k ОВД

-- ^ 2(п 2Ш\ К fm-<5jztn

JB ;№*/>) = где ly порядок полюса JJj , djK (T^l) некоторые коэффициенты, a XjCOc.') , (3d) являются решениями уравнений i [ Xj Сх)] = %гт X,- fx) , t (*>] = ^ 2W ^ «>.

Далее, используя (II) доказана теорема о разложении. ТЕОРЕМА 2.2.2. Если J.(X) дважды непрерывно дифференцируемая функция И ^e^CRXp^^b^^^L/R^ то справедливо разложение ew? I <j~n°

Jr J [U+(X,i><tyC2,f) + lL(X,&<k&,f)]cl% - (12)

Sri Cr -eo eo Og где Ф+ C^,^") - ] V+ (эс,Щ(ас)с1^геГ. Ряды и интеграл по Г сходятся в метрике

CrCft).

Как видно, в (II) и (12) входит некоторый интеграл по Если ядро G в нуле имеет полюс порядка не выше чем

2/77-1 , то переходя к пределу при >0 в (II) и (12) избавимся от этого члена.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах £34 35 , 36 , 37] и неоднократно докладывались на семинаре чл-корр. АН Азерб.ССР проф.М.Г.Гаеымова (АГУ,Баку),на семинаре акад. АН Азерб.ССР Ш.Г.Максудова (ИММ), конференции аспирантов вузов Азербайджана в 1981г.,а также в УП Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, 1982).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю чл. корр.АН Азерб.ССР,проф.М.Г.Гасышву за ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Ai>roh с/ audi Sim oh B. A£hios>-L pezioJic Schzodincjet opetcttozs. J, Limit paziodicpohtiiioh, Corntnuh. Maih. Phgs,: 82(Ш4) ,d0d-i2o.

2. Av-zoh У ahol Sihnon 8. StfujuPab Continuous Spaaitam ^oi a c£ass o^ almost periodCc. Засок mctiiLczs., BuiMln of -ihe. AwuccLh JUobLh, Sos>,, /£i,d9£2, p.Sd-&S.

3. BMUaid 3 ahd Simon CoLhioz spzc-Ltuiv fit ihe. A2mos>l Ma-bhieu z^nctUoh, %ouznaloF^unciiohai dh<ziijsL$>y (19&2) .

4. ВЕЛИЕВ О.А. Одномерный оператор Шредингера с периодическими комплекснозначным потенциалом, ДАН СССР, 250, 6, 1980,с. 1292-1296.

5. ВЕЛИЕВ О.А. Спектральное разложение дифференциальных операторов с периодическими комплекснозначными коэффициентами, ДАН Азерб.ССР, т.ХШ, № б, 1980.

6. ГАСЫМОВ М.Г. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка, Функ. анализ, т.31, вып.1, 1980, с.14-19.

7. ГАСЫМОВ М.Г. Спектральный анализ одного класса обыкновенных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами, ДАН СССР, 252, 2, 1980, с.277-280.

8. ГАСЫМОВ М.Г. Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов с непрерывной частью спектра, Известия АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и мат.наук, 1970, № 1-2, 19-39.

9. ГЕЛЬФАЦЦ И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. ДАН СССР, 73, б, 1950,с. III7-II20.

10. ДА®ОРД Н., ШВАРЦ Дж., Линейные операторы, т.2,"Мир",М., 1966.11. даНАБУРГ Е.И., СИНАЙ Я.Г. Об одномерном уравнений Шредингера с квази-периодическим потенциалом. Функ.анализ, т.9, № 4, 1975, с.8 21.

11. Humр R, А ЫпдиРог Sounolo^ \ya£u.t рго^Агт fot OL nohsz^aJjoih-b di^exariUaP. ope.tCLio'z.,CcihcLcl. # NobLh. iO, з (dQtt), ЧМЧ-Мв2.

12. КЕРИМОВ Я.Р., СОЛОВЬЕВ A.H. О структуре спектра финито-возму-щенной периодической задачи, Спектральный анализ операторов (Тематический сборник научных трудов, Изд-во А1У им.С.М.Кирова, Баку, 1982, с.53-58.

13. ЛЕВИТАН Б.М. Почти периодические функции, М., Изд.техн.-теор. лит., 1953.

14. МАКСУДОВ Ф.Г., ВЕЛИЕВ О.А. Несамосопряженные дифференциальные операторы в пространстве вектор-функций с периодическими коэффициентами, ДАН СССР, 1981, т.258, № I,с.26-30.

15. МАКСУДОВ Ф.Г., ВЕЛИЕВ О.А. Спектральный анализ оператора Дирака с периодическими комплекснозначными коэффициентами,ДАН Азерб.ССР, 1981, т.37, № 2, с.3-7.

16. McGoio-zy £>. RaprzeszhlcLiLoh -ihzoizmstmaih. ahciiysLZ ahol appi.M (dQ62)t 366-440.

17. MeGawey £). opztaiots wUh pztiodic coe^^CcUnh in Lp (-<*>, o^ma-th. ahd appP. di (№5), 56M-596,

18. McGato^y 9. PeziutScLtion vzzul-kzp^t iodic di^exdhiiai оргш±ог<?>, У. of mathanalysis* and app2t 12 (£965), 234.

19. МАРЧЕНКО А.В. О спектре оператора Штурма-Лиувилля с почти периодическим потенциалом. Функциональный анализ и его приложения, т.II, вып.2, 1977, 85-86.

20. A^oset Ah ojcctmp^ о£ cl ScJitoc/ihgetopttoL-bo*. aimos-L pz>uodi£ pohniiai andnourhzte dostsd zpzcdbum, Cormmun. Mcbth.1.diuh

21. НАЙМАРК M.A. Линейные дифференциальные операторы, M., "Наука", 1969.

22. НАЙМАРК М.А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси. Тр. Моск.матем.о-ва, 3(1954), 181-270.

23. РОФЕ-ЕЕКЕТОВ Ф.С. О спектре несамосопряженных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. ДАН СССР, 152, б, 1963, с.1312-1315.

24. РОФЕ-БЕКЕТОВ Ф.С. Признак конечности числа дискретных уровней, выносимых в лакуны непрерывного спектра возмущениями периодического потенциала, ДАН СССР, 156 , 3(1964),с.515-518.

25. РИД М., САЙМОН Б. Методы современной математической физики, т.4, Мир, М., 1982.

26. СЕРОВ М.И. О некоторых свойствах спектра несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР, 131, I, I960, с.27-30.

27. СЕРОВ М.И. О спектре одного несамосопряженного оператора, Уч.зап.Елабуж, пед.ин-та, т.УШ, I960.

28. ТИТЧМАРШ Е.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2, М., ИЛ, 1961.

29. ТКАЧЕНКО В.А. К спектральному анализу одномерного оператора Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом, ДАН СССР, т.155, № 2, 1964, с.289-291.

30. ФУНТАКОВ В.Н. О разложении по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора произвольного четного порядка на полуоси. Изв. АН Азерб.ССР, сер.физ-техн.и мат.наук, I960, № 6, 3-19.

31. ЧУЛАЕВСКИЙ В.А. О возмущениях оператора Шредингера с периодическими потенциалом. УМН, т.36, № 5(1981), с.203-204.

32. ШУБИН М.А. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами, УМН, т.34, вып. 2(206), 1979, с.95-135.

33. ОРУДЖЕВ А.Д. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов высокого порядка, ДАН Азерб.ССР, т.ХХХУП, № 2, 1981, с.8-И.

34. ОРУДЖЕВ А.Д. Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов нечетного порядка, спектральный анализ операторов (Тематический сборник научных трудов), Изд~во АГУим.С.М.Кирова, Баку, 1982, с.74-79.

35. ОРУДЖЕВ А.Д. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами. Школа по теории операторов в функциональных пространствах (4-И июля 1982) тезисы докладов, Минск,1982, с.141.