Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Оруджев, Ашраф Давуд оглы АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Баку МЕСТО ЗАЩИТЫ
1984 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Оруджев, Ашраф Давуд оглы

ВВЕДЕ Н И Е.

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ I.I. Вспомогательные факты.

§ 1.2. Построение специальных решений уравнения . ^

§ 1.3. О фундаментальной системе решений уравнения

§ 1.4. Исследование резольвенты и спектра оператора L

§ 1.5. Разложение по собственным функциям и теорема о равносходимости

ГЛАВА П. О ВОЗМУЩЕНИИ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 2.1. Спектр и резольвента оператора 7"

§ 2.2. Разложение по собственным функциям оператора 7~" . Ю

 
Введение диссертация по математике, на тему "Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов"

Некоторые вопросы физики, в частности, квантовой механики, теории кристаллов приводят к изучению дифференциальных операторов с периодическими или почти-периодическими коэффициентами.

Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы с периодическими коэффициентами изучаются давно. В этой теории имеется ряд существенных результатов, которые хорошо изложены в книге Данфорд Н., Шварц Дж. [loj [см.также Титчмарш Э.Ч. [29] ). В настоящее время имеется завершенная теория по исследованию спектра и спектрального разложения самосопряженных операторов с периодическими коэффициентами.

Определенный интерес представляет изучение дифференциальных t операторов с комплекснозначными периодическими коэффициентами. Такая задача впервые была поставлена в работе Гельфанда И.М. [я]. Начиная с 60-х годов усилиями Рофе-Бекетова Ф.С. [24] ,

Мак-Гарвея [17,18,19] , Серова М.Н. [27,28] , Гасымова М.Г. [б,7] , Ткаченко В.И. [30] , Велиева О.А. [l,5] , Максудова Ф.Г. продвинулась.

Работы Рофе-Бекетова Ш.С., Мак-Гарвея, Серова М.Н, посвящены изучению спектра несамосопряженных периодических операторов. Разложение по собственным функциям несамосопряженных периодических операторов исследована в работах Гасымова М.Г., Максудова Ф.Г., Велиева О.А. Окончательная формула разложения получена Велиевым О.А. В последние годы сильно возрос интерес к дифференциальным операторам с почти-периодическими коэффициентами. К настоящему времени существует серия работ посвященных изучетеория таких операторов значительно нию почти-периодических операторов. В этом направлении можно указать работы Динабург Е.И., Синай Я. Г. [il] , Марченко А. В. [20] , Чулаевского В.А. [32] , /\l)-tOft У, SLmoh [l,2] e£Zisa*jd CJ.Qhd Simon В [з] , Mos£t У [zi] .

Шубиным M.A. рассмотрены [зз] почти-периодические дифференциальные операторы в частных производных. Сдедует отметить, что в перечисленных работах рассмотрены разные классы самосопряженных почти-периодических операторов второго порядка; при этом в основном исследуется структура спектра в случаях, когда коэффициенты оператора имеют специальный вид. Пока при более общих предположениях относительно коэффициентов дифференциального оператора не удается изучить структуру спектра.

В данной диссертационной работе впервые изучается класс несамосопряженных дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами, а также исследуется спектральные свойства возмущения периодических операторов из рассматриваемого класса.

Передем к краткому изложению содержания диссертации, состоящей из двух глав.

В главе I изучается дифференциальный оператор [ , порожденный выражением

0 (У) в пространстве (-оо,оо) , где

R.W^TlP^t^ Г = 0,1, . .,m-z (I) h-i и ряд £ м у= о сходится. Здесь множество G = {°thj- удовлетворяет следующим условиям:

1) £ihl olh - + оо ft-» о©

2) если о^ € G то +

Нетрудно заметить, что от условия 2) можно отказаться. При сделанных предположениях оператор L является несамосопряженным оператором и будет самосопряженным тогда и только тогда, когда , дГ-О, i, . ., т-г .

В § I.I даются необходимые определения и вспомогательные факты.

В § 1.2 строится некоторые специальные решения уравнения . т cm) - W т

С-0 0 С) где JD - комплексный параметр.

Пусть^- = есср ( iwd/M) .QrO^S)* д. - (cdj-i) при J = i, fn-I i h = 2., . .Доказано, что уравнение (3) для каждого р ^р имеет решение ipoc - пч 4 - ф ^ осч

4)

Здесь коэффициенты s однозначно определяются по коэффициентам Р^ из определенной системы рекуррентных уравнений и сходится ряд оо /77-1 оо ^ h=i (j=L S-h

Из (4), (5) вытекает, что jj!(oc,ji) является мероморфной функцией по jQ , которая может иметь полюсы первого порядка в точках . 9 j-^t rn'L '> h = 4-, 2.9 . .

В этом же параграфе доказывается, что если с) равномерная почти-периодическая функция то уравнение имеет решение, представимое в виде где ряд

ОО оо сходится. Аналогичное утверждение имеет место при выполнений условий olh = hf Cj/Coz) в L2 (OyZSr^) (см.теорема 1.2.3).

Далее пусть р, =р ,(х)~/ ПРИ П = df2,. i'=i,2,.,m-i; JtyS Jhj ь v

S = О, i, 2, . . ,,Yn-i, В § 1.3 показано, что при система функций составляют фундаментальную систему решений уравнения (3) (см. лемма 1.3.I).

Далее, используя эту систему решений доказывается, что оператор L. не имеет собственных значений (см. теорема 1.4.I).

В этом же параграфе известным методом [23] строится ядро ^ резольвенты ftx= ( L - Xl) . Пусть Утп-22$ 30 = { J) : 0< ачдр^^.у. Тогда для X = j^2 , JDё 50 резольвента является ограниченным интегральным оператором в [^(-оо, оо) с ядром (см. теорема 1.4.2)^ ^ где (fCoCjji) является решением уравнения представимое в виде

-ipx. оо пч. £ ~ ф

1 f^r 21 —D ZRhKe )

Здесь Rhf, постоянные числа, для которых сходится ряд оо И1-1 оо h=l h K~h

Далее доказывается следующая:

ТЕОРЕМА 1.4.3. Оператор L (четного порядка) имеет чисто непрерывный спектр, который совпадает с положительной полуосью. На непрерывном спектре возможны спектральные особенности первого порядка в точках > ^ = ••• •

Отметим, что для оператора - t^-f утверждение теоремы 1,4,3 остается в силе, если Cj,(3£) - равномерная почти-периодическая функция, удовлетворяющая условиям (б;.(см.теорема 1.4.4). Это усиливает результат Гасымова М.Г. [б] Пусть = S0'=ff: 0<at2f><£. } ,

2 3Г t m

C QZ-Cjj} <t J • ^0ГДа также доказывается, что приХ=Р , р £ S„ U S" резольвента является интегральным оператором ядром £

ZI^s ffafukye (r,j>u)s) f ос Я [ ~ , TF >X a

20+4 при €. Sj ^^Ifep^^ftj^O)^, 0С>Л при р £ gj' (см.теорема 1.4.6). Имеет место

ТЕОРЕМА 1.4.7. Оператор L (нечетного порядка) имеет чисто непрерывный спектр, который заполняет вещественную ось.

В § 1.4 для ядра резольвенты оператора L (нечетного порядка; получено следующее интегральное представление: оо

Далее используя (7) в § 1.5 доказана

ТЕОРЕМА 1.5Л. Пусть ^(00.) дважды непрерывно дифференцируемая финитная функция на (- оо, оо) . Тогда -^(эс.) разлагается по собственным функциям непрерывного спектра оператора L (нечетного порядка) по формуле: о®

2с х)=— j ) , (в;

ОО < — оо где интеграл сходится равномерно по Х€ (- 00 > .

В этом же параграфе формула (8) распространяется на функции ^(З:") € оо) ; при этом сходимость интегралов в (8) следует понимать в смысле метрики пространства 00; В § 1.5 доказана следующая теорема о равносходимости. ТЕОРЕМА 1.5.3. Пусть ^ДО € L. Тогда при X

- оо с эс^ + оо разложение по главным функциям оператора (нечетного порядка) ведет себя в отношении сходимости так же как и обычный интеграл Фурье. В частности, оно сходится .~ -4- y^fctvcOj. если (32) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки X.

В главе 2 изучается возмущение периодического оператора 2IV -го порядка из рассматриваемого в главе I класса с экспоненциально убывающим потенциалом.

Отметим, что периодический оператор 2т -го порядка, коэффициенты которого удовлетворяет условиям (2),(3) при olh =h изучен Гасымовым М.Г. [71 , а возмущение периодического оператора Штурма-Лиувилля с финитным потенциалом исследована Керимовым Я.Р., Соловьевым А.Н. [l3] . Возмущение спектра самосопряженных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами изучались в работе Рофе-Бекетова Ф.С. [24] .

Глава 2 состоит из двух параграфов. В § 2.1 изучается спектр и резольвента оператора Т , поровденного выражением в L 2 <*>) » где п т (2Ш-) (Ю а (^(Х) непрерывная функция, удовлетворяющая условию

-е/се/

С Л . о

Здесь 0о , £ - некоторые положительные константы, a 0, О, I, . . ,2/71-2. удовлетворяет условиям (2),(3) прио/н=/1. Очевидно, что Т является несамосопряженным оператором и может быть самосопряженным только тогда, когда РуС^С.) = 01 о,1, . ,2/71-2, С^/о:) вещественная. Обозначим через Т0 оператор, порожденный выражением , ф - оператор умножения на (^(СС.) . Если GeC3C,IfjO ядро резольвенты оператора Т0 , то уравнение

-Г 2YY) Р

Для , JD € $о = -f р ; эквивалентно следующему y + G0Cf)Qy = G0(f>f, (9) где (т0Гр) - интегральный оператор с ядром ,

Пусть Е = {о, j-, /1 = 4,2,.]. и - множество точек р - плоскости, отстоящих от точек множества на расстояние, меньшее, чем fyz Г^Р).

Для £о>0 обозначим через L2 g СЮ пространство измеримых функций ^(ОС.*) с нормой v о ос» £,

2 -г0/ос/, ^ /2 lift = -t- снэ

2,в0 f

Пусть далее Оео(R} - пространство непрерывных функций определенных на оси = , с нормой

-4°/ад l£oCK) cceR а (?£ Cfi ) ~ пространство непрерывных функций с нормой + ло .

Наряду с уравнением (9) рассмотрим уравнение g + GjfbQy =ч> сю) для любой У £ • Оказывается, что G0 Q при каждом Е является компактным оператором в или С eo(R) голоморфно зависящим от р , если 0< <Г< <=< е G-0Cj>") Q может иметь полюсы первого порядка в точках р = hcdi • h £ Л/ ив нуле полюс (2/^-1) -го порядка. Применяя 2 к уравнению (10) теорему типа М.В.Келдыша, находим, что существует дискретное множество Э в »?£ такое, что при ре \ («9 (JE) существует единственное решение этого уравнения из

2,6 о СЮ Г для ЛЮб0Й WX)€ U,sSR\ [WVZQC®]

Далее, не трудно видеть, что при |3 £ $0 справедливо

2 Уг) ^ —4

CT-f l)=0+Go(p>Q)Go(p.

Имеет место следующая

ТЕОРЕМА 2.1.4. Каждая точка \=р , jd € П <) является собственным значением оператора Т •

Далее доказывается, что каждая точка положительной полуоси, за исключением конечного числа точек, принадлежит непрерывному спектру оператора Т » а конечное число точек может принадлежать точечному или остаточному спектру. Множество собственных значений оператора Т может иметь предельную точку только в бесконечности (см.теорема 2.1.5,теорема 2.1.6).

В § 2.1 доказывается,(см. теорема 2.1.7), что при кавдом Х^р2101, р q ^ \ резольвента оператора Т является интегральным оператором в Zg^^*00") с ядром удовлетворяющим условиям г, i2|

Ядро является решением уравнения

Далее доказывается, что G (ОС, является мероморфной функцией по р в S^ с полюсами вU Е , при этом достаточно большие по модулю полюсы из являются простыми и находятся в ^/2. ~ окрестностях точек или ; ft =4,2,. Кроме того, в окрестностях точек или п ^ существует полюс тогл О

Cm) ^ да и только тогда, когда &hn О . Обозначим их через Р и

I J ti

JCJ соответственно. Тогда для них сораведливы формулы

J* 2 ' ' Ь 2 ' о и

Если р полюс ядра > лежащий на границе 3&

2УП > > не является собственным значением оператора, то он является спектральной особенностью в смысле М.А.Наймарка.

В § 2.2 выводится интегральное представление ядра резольвенты и формула разложения по собственным функциям оператора Т Пусть О * . Тогда существует hoCfi такое, что полюсы ядра Q(/OC)j/jS) из Sf » модули которых не меньше чем р — ZL0 А расположены в - окрестностях точек

Jo 2 ^ I или t ( h ^ hЛ. При этом соответствующие полюсы р и

Jh простые. Существует конечное число полюсов ядра G (ce,J,ji) из , модули которых меньше, чем р . Пусть из них ц <i д < . . • ^ Д ~ лежащие на положительной полуоси, а р +d' /р +2 ' ''' * /р ~ принадлежащие . Пусть далее 6~h * С ЬъПо) выбраны следующим образом: G~h если pj 4 Я или , J^' € "5 SQ или р € , a (v, если

Я0 или £ £ Э S0 , ф 30 . Пусть оу^ L. таково, что круг Ipi ^Ц не содержит ни одного отличного от нуля полюса ядра G- С се, „ Выберем и сГг так, что O^cfJ^cT , о ^ 6~г ^ ftnin С (Г,Д} , Пусть

Обозначим через контур, полученный из полуоси ,+ЛО) заменой отрезка ломаной с вершинами в точках Д - L , р> £ с^ » р и заменой диаметров окружностей радиуса с центром в точках Л/2 , ft ^ полуокружностями I р-£|=£ » |з < о , ('Угп^Ъо) . При этом полуокружности расположены в нижней (верхней) полуплоскости, если (Ууу - , (6~h —") . Через обозначим контур, полученный из Г поворотом вокруг нуля на угол ^У/п в положительном направлении. Область с границей Г U U С^ обозначим через 8( Г) . Далее будем считать, что dj выбрано так, что область 3 С Г) не содержит в себе отличных от , /г1 " ' '/р • f'1^полюсов ядра 6" fee, . Обозна-главную часть ядра (г fee, Т^) в окрестности Д* через

С » а в окрестности п0) через

Имеет место

ТЕОРЕМА 2.2.1. Если £ $>(Г) отлично от полюсов ядра чим

Q то справедливо интегральное представление:

J Pi ос j d J <pn о 7

4 С + I

4-—J --— аз - (id

Г 22hl/m m f J>m-4

5ГС J -22m n2W ^ 2 "f I г Cf2 , 2 где +и \Д являются решениями интегральных уравнений: оо

•оо оо

V+ №,2) = Ц»fee, ii) - J Ga (Т,г)с/т оо при гс Г из Cj-(Fl) . Рады и интегралы в (II) сходятся в смысле метрики пространства С^- С R2) . Пусть

Д- cL'k ОВД

-- ^ 2(п 2Ш\ К fm-<5jztn

JB ;№*/>) = где ly порядок полюса JJj , djK (T^l) некоторые коэффициенты, a XjCOc.') , (3d) являются решениями уравнений i [ Xj Сх)] = %гт X,- fx) , t (*>] = ^ 2W ^ «>.

Далее, используя (II) доказана теорема о разложении. ТЕОРЕМА 2.2.2. Если J.(X) дважды непрерывно дифференцируемая функция И ^e^CRXp^^b^^^L/R^ то справедливо разложение ew? I <j~n°

Jr J [U+(X,i><tyC2,f) + lL(X,&<k&,f)]cl% - (12)

Sri Cr -eo eo Og где Ф+ C^,^") - ] V+ (эс,Щ(ас)с1^геГ. Ряды и интеграл по Г сходятся в метрике

CrCft).

Как видно, в (II) и (12) входит некоторый интеграл по Если ядро G в нуле имеет полюс порядка не выше чем

2/77-1 , то переходя к пределу при >0 в (II) и (12) избавимся от этого члена.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах £34 35 , 36 , 37] и неоднократно докладывались на семинаре чл-корр. АН Азерб.ССР проф.М.Г.Гаеымова (АГУ,Баку),на семинаре акад. АН Азерб.ССР Ш.Г.Максудова (ИММ), конференции аспирантов вузов Азербайджана в 1981г.,а также в УП Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, 1982).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю чл. корр.АН Азерб.ССР,проф.М.Г.Гасышву за ценные советы и постоянное внимание к работе.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Оруджев, Ашраф Давуд оглы, Баку

1. Ai>roh с/ audi Sim oh B. A£hios>-L pezioJic Schzodincjet opetcttozs. J, Limit paziodicpohtiiioh, Corntnuh. Maih. Phgs,: 82(Ш4) ,d0d-i2o.

2. Av-zoh У ahol Sihnon 8. StfujuPab Continuous Spaaitam ^oi a c£ass o^ almost periodCc. Засок mctiiLczs., BuiMln of -ihe. AwuccLh JUobLh, Sos>,, /£i,d9£2, p.Sd-&S.

3. BMUaid 3 ahd Simon CoLhioz spzc-Ltuiv fit ihe. A2mos>l Ma-bhieu z^nctUoh, %ouznaloF^unciiohai dh<ziijsL$>y (19&2) .

4. ВЕЛИЕВ О.А. Одномерный оператор Шредингера с периодическими комплекснозначным потенциалом, ДАН СССР, 250, 6, 1980,с. 1292-1296.

5. ВЕЛИЕВ О.А. Спектральное разложение дифференциальных операторов с периодическими комплекснозначными коэффициентами, ДАН Азерб.ССР, т.ХШ, № б, 1980.

6. ГАСЫМОВ М.Г. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка, Функ. анализ, т.31, вып.1, 1980, с.14-19.

7. ГАСЫМОВ М.Г. Спектральный анализ одного класса обыкновенных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами, ДАН СССР, 252, 2, 1980, с.277-280.

8. ГАСЫМОВ М.Г. Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов с непрерывной частью спектра, Известия АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и мат.наук, 1970, № 1-2, 19-39.

9. ГЕЛЬФАЦЦ И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. ДАН СССР, 73, б, 1950,с. III7-II20.

10. ДА®ОРД Н., ШВАРЦ Дж., Линейные операторы, т.2,"Мир",М., 1966.11. даНАБУРГ Е.И., СИНАЙ Я.Г. Об одномерном уравнений Шредингера с квази-периодическим потенциалом. Функ.анализ, т.9, № 4, 1975, с.8 21.

11. Humр R, А ЫпдиРог Sounolo^ \ya£u.t рго^Агт fot OL nohsz^aJjoih-b di^exariUaP. ope.tCLio'z.,CcihcLcl. # NobLh. iO, з (dQtt), ЧМЧ-Мв2.

12. КЕРИМОВ Я.Р., СОЛОВЬЕВ A.H. О структуре спектра финито-возму-щенной периодической задачи, Спектральный анализ операторов (Тематический сборник научных трудов, Изд-во А1У им.С.М.Кирова, Баку, 1982, с.53-58.

13. ЛЕВИТАН Б.М. Почти периодические функции, М., Изд.техн.-теор. лит., 1953.

14. МАКСУДОВ Ф.Г., ВЕЛИЕВ О.А. Несамосопряженные дифференциальные операторы в пространстве вектор-функций с периодическими коэффициентами, ДАН СССР, 1981, т.258, № I,с.26-30.

15. МАКСУДОВ Ф.Г., ВЕЛИЕВ О.А. Спектральный анализ оператора Дирака с периодическими комплекснозначными коэффициентами,ДАН Азерб.ССР, 1981, т.37, № 2, с.3-7.

16. McGoio-zy £>. RaprzeszhlcLiLoh -ihzoizmstmaih. ahciiysLZ ahol appi.M (dQ62)t 366-440.

17. MeGawey £). opztaiots wUh pztiodic coe^^CcUnh in Lp (-<*>, o^ma-th. ahd appP. di (№5), 56M-596,

18. McGato^y 9. PeziutScLtion vzzul-kzp^t iodic di^exdhiiai оргш±ог<?>, У. of mathanalysis* and app2t 12 (£965), 234.

19. МАРЧЕНКО А.В. О спектре оператора Штурма-Лиувилля с почти периодическим потенциалом. Функциональный анализ и его приложения, т.II, вып.2, 1977, 85-86.

20. A^oset Ah ojcctmp^ о£ cl ScJitoc/ihgetopttoL-bo*. aimos-L pz>uodi£ pohniiai andnourhzte dostsd zpzcdbum, Cormmun. Mcbth.1.diuh

21. НАЙМАРК M.A. Линейные дифференциальные операторы, M., "Наука", 1969.

22. НАЙМАРК М.А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси. Тр. Моск.матем.о-ва, 3(1954), 181-270.

23. РОФЕ-ЕЕКЕТОВ Ф.С. О спектре несамосопряженных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. ДАН СССР, 152, б, 1963, с.1312-1315.

24. РОФЕ-БЕКЕТОВ Ф.С. Признак конечности числа дискретных уровней, выносимых в лакуны непрерывного спектра возмущениями периодического потенциала, ДАН СССР, 156 , 3(1964),с.515-518.

25. РИД М., САЙМОН Б. Методы современной математической физики, т.4, Мир, М., 1982.

26. СЕРОВ М.И. О некоторых свойствах спектра несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР, 131, I, I960, с.27-30.

27. СЕРОВ М.И. О спектре одного несамосопряженного оператора, Уч.зап.Елабуж, пед.ин-та, т.УШ, I960.

28. ТИТЧМАРШ Е.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2, М., ИЛ, 1961.

29. ТКАЧЕНКО В.А. К спектральному анализу одномерного оператора Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом, ДАН СССР, т.155, № 2, 1964, с.289-291.

30. ФУНТАКОВ В.Н. О разложении по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора произвольного четного порядка на полуоси. Изв. АН Азерб.ССР, сер.физ-техн.и мат.наук, I960, № 6, 3-19.

31. ЧУЛАЕВСКИЙ В.А. О возмущениях оператора Шредингера с периодическими потенциалом. УМН, т.36, № 5(1981), с.203-204.

32. ШУБИН М.А. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами, УМН, т.34, вып. 2(206), 1979, с.95-135.

33. ОРУДЖЕВ А.Д. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов высокого порядка, ДАН Азерб.ССР, т.ХХХУП, № 2, 1981, с.8-И.

34. ОРУДЖЕВ А.Д. Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов нечетного порядка, спектральный анализ операторов (Тематический сборник научных трудов), Изд~во АГУим.С.М.Кирова, Баку, 1982, с.74-79.

35. ОРУДЖЕВ А.Д. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами. Школа по теории операторов в функциональных пространствах (4-И июля 1982) тезисы докладов, Минск,1982, с.141.