К спектральной теории дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I . ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА /о^

Построение специальных решений

§ I §

Построение.резольвенты и.сопряженная. задача

Изучение спектра. Условие конечности дискретного спектра. Условие отсутствия спектральных особенностей. Условие.от-^ сутствия дискретного спектра.

Вывод формулы разложения.по.собственным функциям.

ГЛАВА П. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ

ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА L^

Теоремы о равносходимости разложения функций из £jj(0Joo) по собственным функциям оператора в случаeJCfx)sO[fflso.

Теоремы о равносходимости разложения функции из £tj(Ojoo) по собственным функциям оператора Ij^ в случае 0[(х)фо.

Известно, что при решении многих задач математической физики возникает необходимость в разложении произвольной функции по решениям дифференциального уравнения второго порядка, конкретнее, в ряд (или интеграл) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувшгля. Так например, к такого рода вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего данным начальным и краевым условиям. Поэтому дифференциальные операторы привлекают большое внимание и имеется много работ, посвященных к изучению дифференциальных операторов. Дифференциальный оператор называется регулярным если область его задания является конечным интервалом и коэффициенты непрерывны. Регулярный случай задачи Штурма-Лиувилдя изучен уже сравнительно давно и обычно подробно излагается в руководствах по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.

Спектральный анализ дифференциальных операторов, т.е. исследование спектра и разложение по собственным функциям дифференциального оператора является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики. При этом запросы квантовой механики требуют детального исследования так называемых сингулярных дифференциальных операторов. Такие операторы могут иметь вообще говоря не только дискретный, но и непрерывный спектр. В связи с чем разложение по их собственным функциям в общем случае представляется в виде интеграла типа Стильтьеса.

Теоретической основой как регулярной, так и сингулярной задачи является общая спектральная теория линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Однако эта теория проливает свет далеко не на все вопросы теории линейных дифференциальных операторов.

Начало обще теории одномерных линейных дифференциальных операторов было заложено Г.Вейлем [2], который свел проблему к спектральной теории самосопряженных ограниченных интегральных операторов.

Большую роль в привлечении внимания математиков к спектральной теории дифференциальных операторов сыграла монография Е.Ч.Титчмарша [28], в которой дан новый подход к теории сингулярных операторов второго порядка и поставлен, решен целый ряд новых задач. Отметим, что в этой работе доказана теорема о равносходимости разложения по собственным функциям самосопряженного регулярного оператора Штурма-Лиувилля.

В Советской монографической литературе первое изложение спектральной теории для сингулярных самосопряженных операторов второго порядка было дано в работе Б.М.Левитана [13], который тоже предложил новый метод обоснования этой теории. Исследование же спектра и разложение по собственным функциям сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов с непрерывной частью спектра началось сравнительно недавно.

В основополагающей работе М.А.Наймарк [19] получил разложение по собственным функциям оператора, порожденного скалярным уравнением и граничным условием

П) оО

Je I pwjolx < оо .При этом выявив предположении, что от лись так называемые спектральные особенности на непрерывном спектре - полюсы резольвенты, которые не являются собственными числами оператора. Их влияние на разложение полностью исследовали В.Э.Лянце [14] и Б.С.Павлов [2lj,[22j .

Результаты М.А.Наймарка обобщались на различные обыкновенные дифференциальные операторы, порожденные конечной системой уравнений любого порядка на полуоси [ооо) . В.А.Марченко [l7] рассмотрел граничную задачу (1)-(П) при единственном предположении, что функция р(Х) локально интегрируема и доказал, что каждой такой задаче отвечает некоторая обобщенная спектральная функция над пространством четных целых функций экспоненциального типа, суммируемых на вещественной оси, и является аналогом спектральной функции для самосопряженных задач. Обобщение теории В.А.Марченко на бесконечные системы дифференциальных уравнений второго порядка было получено в работе Ф.С.Рофе-Бекетова [26], который распространил результаты В.А.Марченко на граничные задачи (1)-(П), когда рСоС) и h являются ограниченными операторами в некотором сепарабельном пространстве.

В работе М.Г.Гасымова [4], [б] теория В.А.Марченко распространена на случай, когда функция р(Х) имеет особенность вида I (1+ .

Имеется ряд работ, посвященных изучению различных классов несамосопряженных дифференциальных операторов [5], [7J . Отметим, что класс краевых условий, порождающих несамосопряженные операторы, обладающие даже достаточными закономерными спектральными свойствами, является существенно более широким, чем класс самосопряженных краевых условий.

В работах А.М.Кралл [9],[lO],[ll] изучает оператор /j , порожденный в дифференциальным уравнением (I), и граничным условием вида оО $K(x)ytx)olx-py(oH* (Ш) где 1р1*>0 •

А.М.Кралл исследовал спектр и получил разложение по собственным функциям и нашел вид сопряженного Jj* к оператору

L .

Исследованию спектра и разложению по собственным функциям несамосопряженного сингулярного дифференциального оператора высокого порядка с интегральными краевыми условиями посвящены работы Ф.Г.Максудова и других. Отметим, что в работах [20], [23],[24] изучается спектр и исследуется разложение по собственным функциям для уравнения второго порядка с разрывными весовыми коэффициентами, а в работе [6] был исследован вопрос сходимости разложения по собственным функциям регулярной задачи Штурма-Лиувилля с разрывной весовой функцией.

Таким образом, в теории сингулярных дифференциальных операторов много важных результатов. Однако, эта теория еще далека от завершения.

В настоящей диссертации исследуется спектр и разложение по собственным функциям сингулярного несамосопряженного дифференциального оператора Lj^ » порожденного в (0j>oo) дифференциальным уравнением

-y+qwy =угх% J о&х<*> CD с краевым условием оо

Ц'со) + cfjktt) ЦШо(Ыо (2) о в следующих предположениях: и КIX) комплекснозначные функции, которые непрерывны на [о и удовлетворяют условиям оО оо о в коэффициент имеет разрыв в точке

Г Ol

Jtx)-' j> 0 ^

4) где о( - вещественное число.

Далее, исследуется характер сходимости разложения по собственным функциям краевой задачи (1)-(2).

В первом параграфе главы I построены специальные решения дифференциального уравнения (I).

Обозначим через ф(х?к) » Q (Xjk) Фундаментальную систему решений уравнения (I).» удовлетворяющих начальным условиям

Далее, если выполнены условия СЗ), то при Tnjjnk^Q уравнение (I) имеет решение вида ikx rZ. ж

С5)

Кроме того, цри х—уравнение (I) имеет решение -/j (Xjk) с асимптотикой вида равномерно относительно k в каждой области Ikl^y , iw k Ь L У О » а ПРИ k > О , k оо решение имеет вид

7) равномерно относительно х, .

В § I исследуется асимптотическое поведение построенных решений.

В § 2 построено ядро резольвенты паевой задачи (1)-(2), которое имеет вид i

Zik Wk) 0 oo h IbtiJкъюШоЬ] Gcxjfrtos

8) где ziik

Эти построения позволяют найти вид сопряженной задачи к задаче (1)-(2);, которая имеет вид

-??+qi})2-<xl{cf)Z(o) =кУ Z-j) z7o;=o. С9)

В § 3 изучен спектр краевой задачи (1)-(2), дано условие конечности дискретного спектра, найдены условия отсутствия спектральных особенностей и условие отсутствия дискретного спектра. Структура спектра граничной задачи (1)-(2) описывается следующими теоремами.

ТЕОРЕМА I.3.I. Краевая задача (1)-(2) не имеет положительных собственных значений.

ТЕОРЕМА 1.3.2. Для того, чтобы "^ф о было собственным значением краевой задачи (Т)-(2) необходимо и достаточно, чтобы оо s п

ТЕОРЕМА 1.3.3. При ^ = k,1 и при больших значений h задача (1)-(2) не имеет собственных значений.

ТЕОРЕМА 1.3.4. Задача (1)-(2) имеет не более чем счетное множество комплексных собственных значений с возможными предельными точками на полуоси Coj>°o) •

ТЕОРЕМА 1.3.5. Пусть Gj(x) $ К(Х) определены и непрерывны на [о joo) е^ШС^ (OjoQ) J ^Kfxjei^ (Ojo*)j £>0

Тогда спектр задачи (1)-(2) состоит из конечного числа собственных значений А, = . и вещественных спектральных особенностей.

ТЕОРЕМА 1.3.6. Все числа Я вида ^ = , d*nk,>Q и W(Юфо принадлежат резольвентной^ множеству задачи

1)42).

ТЕОРЕМА 1.3.7. Для каждого К>0 существует Сг >0 . что

IIBJ > с г

ЫкИйк J сп) для всех k из области £,>0 . } kj ^ Г •

ТЕОРЕМА 1.3.8. Непрерывный спектр задачи (I)—(2) совпадает o £o j oo) .

ТЕОРЕМА 1.3.9. При достаточно больших It с {/wk>0 существует число С>0 такое, что

В § 4 в предположении отсутствия спектральных особенностей найден вид спектрального разложения по собственным функциям краевой задачи (Т)-(2) методом контурного интегрирования.

Заметим, что имеются условия отсутствия спектральных особенностей.

ТЕОРЕМА. I.4.I. Пусть функция f(x) tytx)£.£)z(0j>ob)j>tylx) является финитной в окрестностях точек Х=-0 , х=:оО и имеет непрерывную производную второго порядка. Тогда справедливо равенство оо ОО о i ut

Ы(к) О где

- ядро резольвенты краевой задачи (1)-(2). „ Отметим, что равенство (13) можно записать в виде оО Ы,шфШ)4= + fyfe • (14) о k

ТЕОРЕМА 1/4.2. Пусть задача (1)-(2) не имеет спектральных особенностей. Тогда имеет место следующее разложение по собственным функциям граничной задачи (Т)-(2) оо лоО

П Г

W(k)WHe)

- 12 2Lcn Ux, M (I5)

Y)-1 где

U (oCsk) = f(Xjk)W(-k)j

OG

SL, Ifrfj&ft, lbk)Klt)olt+ О oo Щ ь if ЛЬ n - Ч(Ыеп)№)тШ .

Шп)

В главе П рассмотрен вопрос равносходимости разложения по собственным функциям краевой задачи (1)-(2).

В первом параграфе главы П доказано, что в случае fc(X-) разложение произвольной функции ZfS(x) из ^ COjob) по собственным функциям краевой задачи (1)-(2) равносходится с разложением в ряд Фурье,

Более того, имеют место следующие теоремы. ТЕОРЕМА 2.1 .Г. Пусть^ 1jf(X) €. (.Oj>ob) j>

16) о

Тогда Л

-Ом { иIX,k) 2p(khkdlt-Й.(х)\-(17)

V WCkM-Ю ^ Л J где 1 i 4 о fell jX-1 г

JWtfMf

В § 2 доказана теорема о равносходимости разложении по собственным функциям задачи (Т)-(2) в случае

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть ^ (сь°о), is)

Тогда к Г

W(k)zk dk- о.

17 ) где f)A(X) определяется по формуле (18).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах j^3oJ,[3lJ,jj32] и неоднократно докладывались на семинаре член-корр.АН Азерб.ССР М.Г.Гасымова (АТУ, Баку), а также на У Республиканской научной конференции аспирантов вузов Азербайджана в декабре 1982 года и на конференции молодых ученых Азербайджана в декабре 1983 года.

Автор глубоко благодарен член-корр.АН Азерб.ССР, профессору М.Г.Гасымову за постановку задач и руководство работой.

1. АГРАНОВИЧ З.С., МАРЧЕНКО В.А. Обратная задача теории рассеяния. Изд-во Харьковск.ун-та, IXO.•beuJLHV/eyl Н).< Ueber OjewMiche Ditfere dialyleic-huno/eft /fiit einyuloMitaten uhd otie Zuo/ehonqeh EnlWiCKlumen WilUCUrlicher ГинКИоиеиММЛии ШШЛШ-Ui.

2. ГАСЫМОВ М.Г. Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов с непрерывной частью спектра. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1970, № 1-2.

3. ГАСЫМОВ М.Г. Некоторые вопросы теории самосопряженных и несамосопряженных краевых задач для дифференциального уравнения с особенностью в нуле. ДАН СССР, 1965, т.165, № 2, 261-264.

4. ГАСЫМОВ М.Г. Некоторые вопросы теории самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных операторов. Диссертация, Москва, 1967.

5. ИЛЬИН В.А. О сходимости разложении по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора. Матем.заметки, 1977, т.22, 16 5, 679-698.

6. КАБАНОВА В. О разложении по собственным функциям несамосопряженных систем 2-го порядка. ДАН СССР, 1958, т. 121, J& I, 30-33.

7. ЛЕВИН Б.Я. Преобразование типа Фурье и Лапласа при помощи решении дифференциального уравнения второго порядка.ДАН СССР, 1956, т.106, № 2, 187-190.

8. ЛЕВИТАН Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. Гостехиздат, 1950.

9. ЛЯНЦЕ В.Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями, I . Матем.сб., 1964, т.64(106), №4, 521561; П, Матем.сб. 1964, т.65(Т07), № I, 47-103.

10. МАРЧЕНКО В.А. Некоторые вопросы теории дифференциальных операторов второго порядка. ДАН СССР, 1950, т.72, № 3.

11. МАРЧЕНКО В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка. Тр.Московск. матем.общ-ва, I 1,1952, 327-420 и 1953, № 2, 3-82.

12. МАРЧЕНКО В. А. Разложение по собственным функциям не самосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка. Матем.сб, 1X0, т.52(94), № 2, 739-788.

13. МАРЧЕНКО В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Изд-во Наукова думка, Киев, 1977.

14. НАЙМАРК М.А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка на полуоси. Тр.Моск.матем.общ-ва, 1954, № 3, 181-270.

15. НАЙМАРК М.А. Линейные дифференциальные операторы. Наука, 1969.

16. ПАВЛОВ Б.С. О несамосопряженном операторе — ^^ на полуоси. ДАН СССР, 1961, т.141, £ 4, 807-810.

17. ПАВЛОВ Б.С. К спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов. ДАН СССР, 1962, т.146, JS 2, 12671270.

18. ПАШАЕВ Р.Т. К теории обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами. Диссертация, Баку, 1981.

19. ПЕТРОСЯН С.К. Спектр и разложение по собственным функциям линейного дифференциального оператора второго порядка с разрывным коэффициентом на полуоси. Деп.ВИНИТИ, № 740-82, 23 стр.

20. ПЕТРОСЯН С.К. О несамосопряженном линейном дифференциальном операторе второго порядка с разрывными коэффициентами на полуоси. Деп.ЬзИНТИИ Я 72Д-83, Аз. 29 стр.

21. РОФЕ-БЕКЕТОВ Ф.С. Разложение по собственным функциям бесконечных систем дифференциальных уравнений в несамосопряженном и самосопряженном случаях. Матем.сб., I960, т.51(93), № 3.

22. СМИРНОВ В.И. Курс Высшей математики, том 1У, Наука, 1981.

23. ТИТЧМАРШ ЗЛ. Разложение по собственным функциям, связанным с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.1 изд-во иностр.лит-ры, Москва, I960.

24. ХАЛИЛОВА Р.З. Асимптотика спектральной функции полу ограниченного самосопряженного расширения спектра, порожденного системой обыкновенных дифференциальных выражений. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-матем. и техн.наук, 1965, № 5.

25. АДЕЛЬ АБДЕЛЬ ФАТТАХ ДАРВИШ. О спектре одной краевой задачи с нелокальным краевым условием. Тезис докладов У Республиканской научн.конф. аспирантов вузов Азербайджана» Азерб.Институт народного хозяйства им.Д.Буниатзаде, Баку, 1982.

26. АДЕЛЬ АБДЕЛЬ ФАТТАХ ДАРВИШ. О разложении по собственным функциям одной краевой задачи с нелокальным краевым условием. Труды 1У Республиканской научн.конф. молодых ученых, посвященной 60-летию образования СССР. Баку, 1983, I книга.

27. АДЕЛЬ АБДЕЛЬ ФАТТАХ ДАРВИШ. Теоремы о равносходимости разложения по собственным функциям одной сингулярной граничной задачи. АЕУ им.С.М.Кирова, Баку, Рукопись деп. в АзНИИНТИ 23 июня 1983г., № 96, Аз-Д83.