Спектральный анализ одного класса операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ У НИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063.61.07 по физико-математическим наукам

На правах рукописи УДК 517.43 "

Джабраилова Лейоа Мусаевна

Спектральный анализ одного класса операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала 1998

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063.61.07 по физико-математическим наукам

Hai правах рукописи УДК 517.43

Джабранлоаа Лейла Мусаеоиа

Спектральный анализ одного класса операторов типа Штурма-Лнувнлля с негладкими коэффициентами

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала -1998

Работа выполнена на кафедре теории функции II функционально анализа Дагестанского государственного университета.

Научные руководители - доктор физико-математических нау * ' профессор

М.М.Гехтман.

кандидат физико-математических . нау доцент ГА. Айгунов.

Официальные оппоненты; - доктор физико-математических нау

Профессор Вагабов А.И. доктор физико-математических нау .. профессор Жикор В.В. .

Ведущие учреяедения - Ростовский государственный университет

Защита диссертации состоится « Л.9 ъ и^СО?,_ 1998 г. в 14.0

на заседании специализированного совета К 063.61.07 в Дагестанско государственном университете (365025, Махачкала, Дзержинского И математический факультет, аудитория 3-70).

С диссертацией »южно ознакомиться в научной библиотеке ДП г. Махачкалы, Батырая 2.

Автореферат разослан «_ » _ 199Ег.

Учены» секретарь

специализированного

совета

№

Р.И.Каднев.

-t «J

Общая характеристика работы

Дцггу^льнобть темы. Пусть е - вещественное число, а функция 0(х) федслена формулой

50

VW \д(х). х >0

В этой формуле р(х) - вещественная непрерывная функция, 5ращающаяся в тождественный ««уль при x£x¡ (х, 5 0), a q(x) -•щесгвенная, непрерывная на полуоси х>0 функция, периодическая с :риодом, равным единице.

Рассмотрим a L2(-«o,oo) множество D(H(e)) функций fi[x), ювлетворяющих условиям (п= 1,2...),

= {/«;/(*) е ÍH22(R\N) f(n+0) - í<n -0) =» d{n)}

lia этом множестве определим в Ьг(-оо»оо) оператор Н(е) :

Н(е))/*-/'(х)+0(я)/(х) . («x)eD(H(í» .

Оператор Н(е) самосопряжен.

Определим обобщенный потенциал Q(k,c) равенством: р( х), xáO

Q(x,e)=

q(x)+ S(x ~ л), x > 0

я=1

на эвристическом уровне, следуя обозначениям, принятым в физических аботах, будем иногда записывать оператор Н(е) при помощи

бобщенного потенциала 0(х,е) формулой

. • Н(Ю/ = -/"(*)+ <}(*,*)/« Определение: Решением уравнения

~У(х)+(1(х,£Жх) = Ау(х) (|х|<00)

азовем непрерывную на всей оси функцию у0(х), удовлетворяющую при ^ п уравнению->>о(л) + 0{дг,е)>'в(*) = Яу(1{х)

при х=п (п=1,2...) условиям у'(а + 0) - у (п - 0) = еу{п)

При математическом описании ряда физических процессов, протекающих в области, содержащей разнородные среда и границу их раздела, возникает необходимость изучения спектральных характеристик оператора Н(е). Спектральный анализ оператора Н(е) предоставляет значительный интерес в теории дифференциальных уравнений, коэффициенты которых - обобщенные функции, а также в многочисленных задачах квантовой механики, в которых оператор Н(е) интерпретируется как гамильтониан точечных взаимодействий с рассеивающими центрами х„=п (п=1,2...) и с . дополнительным взаимодействием Q(x).

Целью реферируемой работы является спектральный анализ оператора Н(е).

Обшая методика псслслоаяппя. В работе используются методы функционального анализа (теория самосопряженных расширений симметрических операторов, спектральная теория неограниченных операторов), методы теории функций комплексной переменной, а также методы теории возмущений.

Изучили црпцзнр. В диссертации установлены следующие результаты:

1. Построена резольвента оператора Н(е).

2. Исследована природа спектра оператора Н(в). Указано уравнение для определения собственных чисел этого оператора.

3. Построено разложение единицы Е(Д) для оператора Н(е).

4. Получена формула Парсеваля-Стеклова.

5. Установлено экспоненциальное убывание . (при »)

собственных функций оператора Н(е).

Теоретическая и ярлктичсскаи знпчичоуть. Полученные в диссертации результаты представляют интерес в спектральной теории неклассических дифференциальных операторов. Эти результаты могут' быть использо&аны в теории поверхностных состояний (таммовскнх уровней) кристаллов п;чг. изучении электронного строения молекулярных систем, имеющих достаточно протяженные области регулярности, в

частности, при синтезе некоторых полимеров. Полученные результаты могут быть положены в основу спецкурса, читаемого студентам математического и физического факультета, специализирующихся в области математической физики.

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

А"робаит| работы. Основные результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинаре по спектральной теории в Даггосуниверснтете (1995-97 гт.) и на конференции молодых ученых в Даггосуниверситете.

Обг,ем п структура работу- Диссертационная работа изложена на 85 страницах машинописного текста и состоит из введения, 3 глав н списка литературы,, включающего 48 наименований, в том числе 8 на иностранных языках.

Содержание дитеертаиии.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, кратко характеризуются основные работы, относящиеся к теме диссертации, и приводится перечисление основных результатов работы.

В главе 1 изучаются спектральные характеристики оператора Н(е). Обозначим через 6 (хД ) решения задачи Коши - 9''(х, Х)+0(х)д(х,Х) = ХЩх, X) фс|< 00)

а через <р(х, Я) - решения задачи Коши

~<р"(х,Х)+0(х)ц>(х,Х) = Хц>(х,Х) (И<°°) Ф (0,Х) = 0 <р'(0.Х) = 1

Введем функцию

Г(Л) = 0(1,Л) + (1,Л) + £р(и)

УравненияF(Л) = ±2 имеют только вещественные корни. Обозначим их через Л^и //; (|=0,1,2...) соответственно и упорядочим в неубывающем порядке. Числа Я^н ^ удовлетворяют следующим

неравенствам:

и разбивают вещественную ось на отрезки Л/ н интервалы

2к

| МУ- (к-МД...)

(-<м,Я0)

[/*/-» = + 1 (к = 0,1,2...) = • (к-0,1 »2...)

положим Л = ид/, Т=иг, }}

Введем обозначения:

ц(Х)=ц>(х,,'к}созт1х х, -<?'(х,,хУ'"^.

\iifk) - б(дг, х,-вг^Г1^*'

л/Я

Определим функции ш, (X), (¿=1,2) V (Я)-ыЧ/Я^,(Я)

у(Я) + ¿л/ЯДЯ)

т ¿л) = +*(U)" 1)" - 4

(Я бЛ),

Обозначим через <р(хД) и решения уравнения

совпадающие йа сегменте {0,1] с функциями <р(х,А) иО(х,Я) соответственно.

Существование и единственность этих решений доказаны М.М.Гехтманом н И.В.Станкевичем. Введем функции (Л1Л, X * ау (р(\,<тj) = 0))

(i -1,2)

Функции ФХ*Л) являются решеттзт.;:» уравнения

-/W +• СН>,£)>(*)= (|х|<да) причем. f\(x,A) е ¿¡(-«¡.О), а

е

Теорема J .4.1.: Пусть Im Я. * 0, /<х) е Ц ( - ю, и) , Тогда резольвента оператора Н(е) определяется равенством.

RJ = ^(х.Л) j _Г(Л) dt + уг,(х.Л) ] dt

Теорема 1.1. Справедливы следующие утверждения:

1) Собственные числа оператора Н (е) совпадают с яупяМи функции W(X), принадлежащими множеству (- оо, 0 ) <"\ Т.

2) Собственные числа оператора Н(е) образуют'огравиченное множество.

II глава диссертации посвящена изучению непрерывной компоненты спектра оператора Н(е).

Пусть Q, - подпространство в L2( - со, оо), натянутое на собственные векторы оператора Н(е), a Qj - его ортогональное дополнение в L2 ( - <о, оо). Следовательно,

Lj(-oo,oo) = Qt© Qz В силу самосопряженности оператора Н(е)

Н(«) = Н,(е)Ф Hj(e), где Hj (е) (j = 1,2) - самосопряженные операторы, индуцируемые в Q, оператором Н(е).

Обозначим через Е (А) ( Д = { а,Э J ) - разложение единицы для операторы Н(е), а через ЕДД) (j = 1,2) разложение единицы для оператора Н,(е).

Тогда справедливо равенство Е (Л) = Е, (А) Ф Ej(A)

Это разложение соответствует разложению спектральной меры на разрывную и непрерывную компоненту. Для изучения непрерывной компоненты детально изучено разложение единицы Ег (Л).

Введем функции переменного О — <Х +7т, х)0)

gt(er)m limlrn——i——-т,(Л)-т, (Д)

1

gA<*)в 1'ш 1ш—' - „ т, (Я) - т, (Л)

g, o)=- lim Im-ii——»—— 2 '->»<» т,(Л)-м,(Л)

* «в

Теорема 2.2.1. Пусть /(*) е С, «). Справедливы утверждения

О, если Лс(-со,0); SdC\A-0, ДеГ Jg/^H'i'/}2^ .если. Ас^-оо,0),A<zA

.если Аа(*о,0)АсТ

и

в,, - множество всех собственных чисел оператора Н(е). '

Следствие 2.2.2. На множестве

((-<х>,0)г>А)и((0,а>)г>Т)

спектр оператора Н(е) абсолютно непрерывный и однократный.

Далее рассматривается случай двухкратного спектра оператора Н(е).

Если А. е Л, то функции ш, (о) н rrij (а) комплекснозначны.

Положим m¡(o)nД, + /Д2,Д2 <0 т2(о ; 2 /»Со; + i'gfa;, Q(a) > 0 Д 3(о)н(Д,-/>)г+(дг-б)г;

>) = aj/a; = Д ,0 + Р\А2\ a3¡(a)=Q(A,2+A/) + \¿i1\(P2+Q2)

В R1 введем матрйцу второго порядка Л =

<*2i<°) а^а))

Тогда (/^е С,(-®. «))

I *

♦ (ДсЛ)п(0,оо)

Теорема 2.3.1. На множестве (о, ®)пЛспектр оператора Н(е) абсолютно непрерывный и кратность его равна двум. •

Пусть ?l0 • нуль функции W (X), е (- да, о)п г.

Тогда

2яг{ *

В этой формуле у- окружность с положительным направлением обхода в плоскости А. с центром в точке Х„, целиком лежащая в резольвентном множестве оператора Н(е).

В главе II § 5 получена формула Парсеваля - Стеклова для разложения произвольной функции из £,(-«>, да) по обобщенным собственным функциям оператора Н(е).

(/■./)= 1.С*

+£ ¡ё,(о)\(/Ш2(х.<*1: (^/.^-^п

В этой формуле С, - вычет функции »^(д) а нуле /, «функции вектор

Рассмотрен частный случай оператора Н(е), когда д(х)■О,

В этом случае потенциал 1)(х,£ )злпксиаается формулой:

* . *

х£0

(*-*«> *>й ...... .

' I

{ -о. ^

Оператор с таким потенциалом обозначим Н, (е).

В этом случае •'

е sl'/г^/k-■JxJ 2со5л/Х+ б

-^--^ } . , кV

2 л'л V А

»

Теорема 2.5.1, Собственные числа оператора Н» (б) образуют разве что конечное множество и совпадают с нулями функции

принадлежащими множеству (-«, о).

Теорема 2.5.2. Непрерывная часть спектра оператора состоит из абсолютно непрерывной компоненты, совпадающей с уножестаом 5, =[о. ос), причем на множестве (о, ю)пА кратность спектра ргвна двум, а на множестве (0, «)гч Г - единице.

Ввиду сложности исследования реальных задач для качественных энергетических оценок часто используется одномерное уравнение

В этом уравнении neN - фиксированное число, L, * О - некоторые заданные вещественные числа.

В III главе диссертации рассмотрен простейший случай л = 1, соответствующий оператор обозначен Ца );

Пользуясь методами, развитыми в гл. I - II , установлена формула Пзрсевзля - Стеклопа и изучена природа спектра, оператора Ца) в зависимости от знака числа а.

Установлено, что спектр оператора Ца) (а г 0) абсолютно непрерывен, совпадает с множеством X i. О и при X > О двукратен.

Если а < 0, то дискретная компонента спектра оператора

а1

Ца ) состоит из одного простого собственного числа А, = ——.

Собственному числу X „ соответствует нормированная собственная функция g0(x).

л

Пользуясь случаем, хочу выразить признательность ч глубокую

I

благодарность моим научным руководителям [М. М. Гехтману и Г. А. Айгунову, которые привлекли мое внимание к кругу вопросов, рассмотренных в диссертации. •

» . * - .

Перечень публикаций автора по теме диссертации:

1. Джабраилова Л. М. Изучение спектра одного класса дифференциальных операторов Шредингера с потенциалами нулевого радиуса. - Вестник ДГУ, естеств. - тех. науки, вып. 1, Махачкала, стр. 65 - 68,1996 г.

2. Джабраилова Л. М. Спектральный анализ оператора Шредингера с . точечным потенциале»«. - Махачкала. 1995, 22 стр., Деп. в ВИНИТИ, 10.4.95, № 972 - В95.

3. Джабраилова Л. М. Исследование дискретной компоненты спектра операторов оператора Шредингера с обобщенным потенциалом. - Деп. в ВИНИТИ, № 3717 - В96,12 стр., 1996 г.

4. Айгунов Г. А. , Джабраилова Л. М. О спектре одного класса операторов Штурма - Лиувшшя с обобщенным потенциалом. -Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 1997 г., Ростов, № 1, стр. 1 -3.

5. Айгунов Г. А. , Джабраилова Л. М. О спектре одного класса операторов Штурма - Лиувшшя с обобщенным потенциалом. -Санкт - Петербург, 1996г., Тезисы I Международной научно-практической конференции "Диф. уравнения и их приложения", 2стр. (