Спектральные характеристики нелинейных операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ НОРМИРОВАННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ВЕСОВОЙ

ФУНКЦИЕЙ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ

§ 1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

§2. Доказательства основных теорем

§3. Критерий равномерной ограниченности нормированных собственных функций в случае линейного оператора Штурма-Лиувилля.

ГЛАВА II. О РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ НОРМИРОВАННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В СЛУЧАЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

§ 1. Случай неограниченной весовой функции неограниченной вариации.

§ 2. Случай ограниченной весовой функции неограниченной вариации.

§ 3. Случай непрерывной весовой функции неограниченной вариации.

ГЛАВА III. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ

§ 1. Формулировка результатов. Подготовительные леммы и вспомогательные утверждения.

§ 2. Доказательство теоремы 3.1.1.

§ 3. Доказательство теоремы 3.1.2.

§ 4. Доказательство теоремы 3.1.3.

ГЛАВА IV. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ГЛАДКОСТИ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ

§ 1. Формулировка результатов. Подготовительные леммы

§ 2. Доказательство первого утверждения теоремы 4.1.

§ 3. Доказательство второго утверждения теоремы 4.1.

§ 4. Изучение скорости роста нормированных собственных функций нелинейного оператора Штурма-Лиувилля для уравнений частных производных в ^мерном кубе.

ГЛАВА V. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НОРМИРОВАННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

§ 1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

§2. Доказательство теоремы 5.2.1.;.

§3. Доказательство основных теорем.

Многочисленные проблемы теории колебаний пространственно-распределенных систем приводят к необходимости изучения собственных значений и соответствующих им собственных функций дифференциальных операторов, а также к вопросам, связанным с изучением различных функционалов от собственных чисел и собственных функций.

Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа, когда выяснилось, что спектральный анализ самосопряженных дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении задач квантовой механики.

Как известно, многие задачи математической физики, механики, теории упругости, оптимального управления приводят к задаче изучения спектра дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям такого оператора. Классические результаты в этом направлении принадлежат Ж.Лиувиллю [86], Ж.Штурму [87], В.А.Стеклову [67]-[68], Г.Д.Биркгофу [83]-[84], Я.Д.Тамаркину [70], М.Г.Крейну [46]-[47].

Не меньшее значение имеет изучение и общих эллиптических операторов [25], [22]-[23], спектральных краевых задач для таких операторов при различных краевых условиях.

Хотя к настоящему времени самосопряженные спектральные задачи изучены довольно хорошо [21], [32], [63] и общую теорию их можно считать завершенной, однако непосредственное применение этой теории к конкретным задачам в ряде случаев затруднительно. Поэтому представляет интерес изучение таких задач. Кроме того, многие классические результаты получены при очень жестких ограничениях на гладкость коэффициентов, в то время как коэффициенты задач, возникающих в современных приложениях, в большинстве своем не удовлетворяют требуемым условиям гладкости. К тому же многие классические результаты в общем случае неверны. В связи с этим возникла практическая и теоретическая необходимость в изучении задач с негладкими коэффициентами и рассмотрении их решений в обобщенном смысле:

Пусть функция р(х)б С[0;/] и удовлетворяет на сегменте [#;/] условию р (х)>т>0. (0.1)

Рассмотрим спектральную задачу Штурма-Лиувилля -у"(х) = А.р(*М*) (0<х<1) (0.2) у(0) = у(1) = 0 (0.3) 1 р(х)/(*>£с = / (0.4) о

Известно [20], [44-45], [54], [56], что спектр задачи (0.2)-(0.3) дискретен и состоит из положительных однократных собственных чисел А-Й(р) (п = 1,2,.), причем при п -» оо имеет место асимптотическая формула и 1 1 Х2 — |л/р (x)dx по j п2. (0.5)

Собственные функции спектральной задачи (0.2)-(0.3) ортогональны на сегменте [0,1] относительно весовой функции р(*).

Обозначим через ^„(дс.р) собственную функцию задачи (0.2)-(0.4), соответствующую собственному числу Х,„(р).

Предположив, что р(х)е Ж.Штурм и Ж.Лиувилль еще в 1836 году выяснили, что supmaxjyn (л:,< С0 < со. (0.6)

В дальнейшем оценки (0.6) будем называть классическими. В 1967 году Якубовым В.Я. была получена оценка тах\упЦ<С(р)Х% (0.7)

0<Х<:1 и показано, что в классе суммируемых коэффициентов она неулучшаема, им же в работах [81]-[82] указаны различные классы весовых функций, для которых справедлива оценка (0.6), а в классе непрерывных весовых функций доказано, что оценка (0.6) неверна [28].

Затем М.М.Гехтманом [29] было доказано, что существует всюду плотное в С[0 /] множество весовых функций р(х), для ассоциированных с которыми нормированных собственных функций уп(х) спектральной задачи (0.2)-(0.4) справедливы следующие утверждения:

1. Если р(дг) е С[0, р(;с) > 0, то тах\уп(х,р\

Ит°~х-11и1 ч =0 (п ->оо) (0.8)

2. Для любого е > 0, существует р0(л;,б) е С^0д такая, что

Нт

Уп I

--Е +оо (и-»°о) (0.9) к (р)

Диссертационная работа примыкает к рассматриваемому кругу вопросов, к подробному изложению которых мы и переходим.

Пусть 0 <т <М <оо - фиксированные числа. Обозначим через С^ 7] множество всех непрерывных функций р(х) на сегменте [0,1], удовлетворяющих условию т<р(х)<М. (0.10)

На множестве рассмотрим обычную С - метрику.

В дальнейшем такие функции будем называть весовыми функциями. Пусть р> 1, тогда по определению будем полагать г)рЩр-'*1§пг = \2\р-22. (0.11)

Рассмотрим задачу Коши

0<х<1,\>0, (0.12) ах у у{х0) = а0, у'{х0)=Ъ0, а20 х0 е[0,1]. (0.13)

Решение задачи (0.12)-(0.13) [85], [75], [35] существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных, параметра А, и весовой функции рЫ

Обозначим через решение задачи (0.12)-(0.13), чтобы подчеркнуть зависимость от весовой функции и параметра X. Будем также пользоваться обозначениями и если непосредственно ясно, о какой весовой функции или параметре идет речь.

Представляется целесообразным рассмотреть более общую спектральную задачу, чем задача (0.2)-(0.4), которая возникает в ряде задач, связанных, прежде всего, с проблемами колебаний неоднородной среды, а также - с вопросами приближения гладких классов функций [71], [57], [50], [65].

Рассмотрим спектральную задачу

-¿(/М), = А,р(*ХИ*))р (0<х<1), (0.14) у(0) = у(1) = 0 (0.15) 1 / (0.16) о

Спектральная задача (0.2)-(0.4) является частным случаем (р = 2) задачи (0.14)-(.0.16).

Л.А.Люстерник [52]- [53] показал, что штурмовская теория собственных значений может быть в большей мере перенесена на спектральную задачу (0.14)-(.0.16). В работе [85] было выяснено что спектр задачи (0.14)-(0.16) дискретен, состоит из простых собственных чисел и асимптотически при А->оо

Хк~Сркр,(Ср>0).

Обозначим через ук (я) собственную функцию, соответствующую собственному числу Хк (к = 1,2,.). Условимся говорить, что совокупность собственных функций ук(х) (к = 1,2,.) ассоциирована с весовой функцией р(х) спектральной задачи (0.14)-(0.16).

Разными авторами ранее приводились теоремы, указывающие достаточные условия равномерной ограниченности нормированных собственных функций для линейной задачи Штурма-Лиувилля (0.2)-(0.4). Нами в первой главе диссертационной работы впервые доказан критерий равномерной ограниченности совокупности нормированных собственных функций нелинейной краевой задачи (0.14)-(0.16) для весовых функций р(д;)еС[оф откуда при р = 2 доказывается, что полученный критерий справедлив для класса суммируемых весовых функций на \0,l\. Введем следующие обозначения:

N = N(f(x)) - число нулей функции f(x) на интервале (0,1) (/(х)-произвольная функция),

Zj = Zj(f(x)) (j = 1,2,.,N) - j-тый нуль функции f(x) на (0,l) в порядке возрастания значений этих нулей.

Пусть i = 1,2,N(y(x, X, р)) -1 и zi=zi{y(x,X, р)), введем еще обозначения: mi = min р(х), х е [zt, zi+I ],

Mi = тах р(*), х g [z,-, zi+] ], hi = тах\у(х,Х,р\, хе\г1ггм], $j=y\zjX р), j = 1,2,., N(y(xX p)).

Если у(0,Х,р) = 0 или y(l,X,p) = 0, то будем пользоваться обозначениями z0 = 0 и zN+1 — 1, соответственно.

Прежде чем перейти к изложению результатов первой главы, предварительно отметим, что получению оценок вида (0.6) и (0.7) посвящены работы [40]-[42] В.А.Ильина, И.Йо, И.А.Шишмарева, В.В.Жикова [37], Якубова В.Я. [78]-[82].

В первой главе диссертационной работы доказаны следующие теоремы:

Теорема 1.2.1. Пусть р(х) е С\0д, keN, тогда справедливы оценки р max J3, I 9 p max P, L OZjik-l 1 .P и / W 3M 0<jik-l /Л1-ч

---—<---xk, (0.17)

M p n {p-l)" Yfil m p nJp-l)" Etf рУ ' i=0 ' i=0 где it =2% psin—.

IP

Теорема 1.2.2. Пусть p(x)eC^7j. Для того, чтобы совокупность всех нормированных собственных функций ук (х) спектральной задачи (0.14)-(0.16) была равномерно ограничена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f \ max В^

0<,j<k-l J к-1 2

Ifi'

С0< оо, для всех к е N. (0.18)

V 1=о

Теорема 1.2.3. Пусть р(х) е С^0д и является функцией ограниченной вариации. Тогда нормированные собственные функции задачи (0.14)-(0.16) равномерно по к ограничены.

Пусть р-2, тогда спектральная задача (0.14)-(0.16) переходит в линейную задачу Штурма-Лиувилля (0.2)-(0.4).

Обозначим через Q- множество суммируемых на [0,1] функций р(х), удовлетворяющих условию:

0<т<р(х)<М <оо (0.19)

Справедлива следующая

Теорема 1.3.1. Пусть р(x)eQ, кеИ, тогда для всех хе[0,/]справедливы оценки

5А таха2 ЗА т 0<1<,кчах В. ,/ , ?МУ2 max J3, у/

0.20)

М3 " %т

ЕЯ 10У о ]=0

Теорема 1.3.2. Пусть р(х)е(), кеЫ, хе[0,1]. Для того, чтобы совокупность нормированных собственных функций ук(х) спектральной задачи (0.2)-(0.4) была равномерно ограничена, необходимо и достаточно выполнение условия (0.18).

Заметим, что теорема 1.3.2. в линейном случае задачи Штурма-Лиувилля как критерий равномерной ограниченности всех нормированных собственных функций ук{х) имеет место для класса суммируемых весовых функций ().

Доказательства теорем данной главы в нелинейном случае опираются на следующую:

Лемма 1,1.1. Имеют место следующие неравенства: А0^рХ р -г; <Аи%рХ р,

А0) • • X р < • р (в данном неравенстве Ру можно заменить на Ру+/), л р < < ыи Ру т.

-т^рА30^]Х р < ¡Р{х)у2{хХр)ах<М^рЛ1&1 где Аоу = р-1

V М, \ } 1 р-1

V ^ У и %р =

2п я рБШ — Р

В случае р-2 вместо леммы 1.1.1 используется Лемма 1.3.1. Пусть р(х)е(), а Хк - собственное число спектральной задачи (0.2)-(0.4). Тогда для всех номеров / = 0,1,.к-1 справедливы неравенства:

1) 1 й 1 . л/Г

71 ш и Н где = ш/р(х); 7] = * е = 7,.- 7;

Результаты, установленные в I главе диссертационной работы, примыкают к кругу вопросов, относящихся к известной проблеме В.А.Стеклова об условиях ограниченности (в терминах весовой функции р(х)) ортонормированной системы многочленов на всем интервале ортогональности или ее части [69], где р(х)>0. В последнее время значительно возрос интерес к этой проблеме. Сравнив результаты работ [26], [62] и [19], легко заметить аналогию в асимптотическом поведении общих ортонормированных многочленов Р„(х,р) и нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Поэтому было бы интересно выяснить, справедливы ли утверждения теорем в случае общих ортонормированных полиномов. Заметим, что и ортонормированные полиномы и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (0.2)-(0.4) обладают свойством ортогональности. В диссертационной работе доказывается, что асимптотические свойства собственных функций не связаны непосредственно с ортогональностью, а обусловлены специальным характером колеблемости решений дифференциального уравнения, величина же максимально возможного роста последовательности нормированных собственных функций определяется только нормировочным условием (0.16).

Теорема 1.2.3 показывает, что для весовых функций ограниченной вариации выполнено условие критерия, и потому имеет место условие равномерной ограниченности.

А в классе весовых функций неограниченной вариации условие критерия может как выполняться, так и не выполняться.

Во второй главе диссертационной работы впервые указаны классы весовых функций неограниченной вариации, для которых в случае линейной краевой задачи Штурма-Лиувилля доказывается равномерная ограниченность нормированных собственных функций, то есть справедливость оценок (0.6). ш

Пустьр - фиксированное натуральное число, а х] (/ = 0,1,.,р) - фиксированные числа, причем

0 = х0 <х1 <.хр =1.

Будем говорить, что функция р(;с) принадлежит классу весовых функций ()р, если выполнены следующие условия:

1) р(х) > т > 0 для всех х е [0,1];

2) р(х) суммируема на [0,1\,

3) сужение функции р(дг) на множестве [х^.х^ (/ = 0,1,2,.,р) представимо в виде причем г(х) - функция ограниченной вариации, а функция g(x), монотонно возрастающая (не в строгом смысле) на \х11, х1) и

Ит g(x) = Ri (о<^< оо).

ДС—>Д'¡д

В первом параграфе II главы рассмотрен класс весовых функций ()р, не ограниченных сверху, и таких, что для собственных функций спектральной задачи (0.2)-(0.4), ассоциированных с весовой функцией р(х) е ()р, справедлива оценка (0.6). Справедлива

Теорема 2.1.1. Пусть р(х)е(} , тогда для собственных функций уп(х) (п = 1,2,.) спектральной задачи (0.2)-(0.4) справедлива оценка (0.6). у

Пусть 0<д<1 и 5>0,причем 5<-, х.- = 7 - д' и = 1,2,~\ Ч х0 = 0, х{ = -8 • (* = 1,2,—)

Определим на отрезке [0,1] весовую функцию р0(лг,^,5) следующим образом:

Р о(х.Я>Ь) =

00 Г \ т, если х е1][х2(к-1)>Х2к-1]> к=1 со

М, если х еи^ыДл). к=1

00

М - т , ч I ¡г— \ т + г 2к~1 Vх ~Х2к-1). если X €Е ^ [Х 2кфХ 2к}), од к=1

00

М~Т~2т(Х~Х2к)> есшх *{)[х2к>х2к)> о-д к=1 ш, если х—1.

Имеет место следующая

Теорема 2.2.1. Существует 0<д0<1, такое, что для собственных функций спектральной задачи (0.2)-(0.4), ассоциированных с весовой функцией р0 (х,д, б), имеет место оценка (0.6), если д^д0

Заметим, что указанный класс весовых функций р0(х,д,8) является классом разрывных в точке х = 1 функций.

В § 3 главы II показано, что существует класс непрерывных весовых функций неограниченной вариации, такой, что для собственных функций спектральной задачи (0.2)-(0.4), ассоциированных с ним, справедлива оценка (0.6)

Пусть {М1 произвольная последовательность чисел, удовлетворяющая неравенствам ш < М1 < М (г = 1,2,.)

Рассмотрим последовательности } и где числа х, и хг определены в условии теоремы 2.1.1.

По этим последовательностям определим новые последовательности } и ^^ следующим образом:

2г~х21> г —0,1,2,., - V Я „2i-l M ~Mi - i -у

M - m т « 2i M-M> . , „

M -m

2i-l ~ x2i-l> 1,2,. Определим теперь функцию посредством формулы

Р/ММ/}) = т, если х е \J^2{k-i)'l2k-i\ 00

Мк, еслих e\J[l2k.j,l2k), к=1 m + f 2™i{x-t>2k-i)> если X е |J [l2k-i^2k-i)> b-q М -т

М~~Т1г{х-^2к\ еслих e\J[$2k£2k). я „2к ö-q т, если х=1. к=1

Заметим, что если lim М( = т и {М Л монотонно убывает, то функция

->00 1 > рДхДм,}) непрерывна.

Если при этом М i убывает достаточно медленно, то данная функция имеет неограниченную вариацию. Имеет место следующая

Теорема 2.3.1. Пусть числа q и 5 определены по теореме 2.2.1, тогда существует монотонно убывающая последовательность |MZ |, такая, что

1) М i -> т (/->оо),

2) - функция неограниченной вариации,

3) для собственных функций задачи (0.2)-(0.4), ассоциированных с весовой функцией рДлг^М,}), имеет место оценка (0.6).

В 1990 году в работе [24] Ву Куок Тханя для нелинейного случая частично обобщен результат, полученный Гехтманом М.М. о возможной скорости роста собственных функций, ассоциированных с весовыми функциями из класса непрерывных, положительных на [0,1] функций. Однако заметим, что результат, полученный им, устанавливая показатель порядка роста собственных функций - Хрп , тем не менее не является неулучшаемым.

В третьей главе диссертационной работы исследовано асимптотическое поведение не только нормированных собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма-Лиувилля, но и задачи Коши в зависимости от параметра X. Причем исследование асимптотического поведения собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма-Лиувилля проводится, исходя из асимптотического поведения решения задачи Коши. Доказанные теоремы дают неулучшаемые оценки для норм собственных функций в классе весовых функций р{х)е С[0д.

Пусть а(Х)>0 непрерывная на (0,со) функция, стремящаяся к нулю при X -» оо, а Ф),(р) функционал, определенный соотношением фя(р) =

1 > \0

1 ' 2

Имеет место следующая

Теорема 3.1.1. 1) Для любой весовой функции p(x) g С^0д справедливо равенство 1

ИтХ2рФк{р) = 0.

2) В любом шаре из С[0д существует весовая функция р0(х), такая, что

Нта~1(Х)Х 2рфк(р0) = со,

А,-*»

Ввиду того, что а(Х) может быть выбрана произвольно, то теорема 3.1.1 устанавливает точные оценки (асимптотические) для Ф^(р) в классе весовых

ФУНКЦИЙ ИЗ (фу].

Рассмотрим теперь спектральную задачу (0.2)-(0.4). Имеет место следующая

Теорема 3.1.2. 1) Пусть р(*)е С\0д, тогда справедливо равенство ИтХ~^(р]\уп(х,р]\=0.

И—>00

2) В любом шаре из С^0д существует весовая функция рДх) такая, что Ита' (Х„ (р0 ))Хп~Ц (р0 |у„ (х, р01 = оо п—>со °

Как и в случае теоремы 3.1.1, данная теорема 3.1.2 устанавливает точные (неулучшаемые) асимптотические оценки для |у„ (*>р)||с

Для собственных функций спектральной задачи (0.2)-(0.4) с весовой функцией ограниченной вариации р(д:) имеет место теорема 1.1.4. Оказывается, аналогичная теорема справедлива и для решения задачи Коши -(0.12)-(0.13), а именно имеет место следующая

Теорема 3.1.3. Пусть функция р(^)еС^7] является функцией ограниченной вариации. Тогда функционал Ф^(р)равномерно по всем Х>0 ограничен.

В главах I и III показано, что в случае весовых функций, имеющих непрерывную производную, нормированные собственные функции задачи

0.2)-(0.4) равномерно ограничены, а в случае весовых функций из собственные функции могут расти (на некоторой последовательности номеров), как у п(р)• Х2пр, где у п(р)->0 при п->оо.

Поэтому естественным образом возникает необходимость изучения асимптотических свойств собственных функций спектральной задачи (0.2)-(0.4) в зависимости от гладкости весовой функции.

В частности, представляет интерес вопрос об асимптотическом поведении производная функции р(х).

В четвертой главе диссертационной работы исследуется поведение нормированных собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма-Лиувилля в зависимости от гладкости весовой функции.

Выявлен наиболее узкий класс весовых функций, для которых возможен максимально быстрый рост нормированных собственных функций. То есть, в указанном классе весовых функций скорость роста такая же, как и во всеобъемлющем классе С^].

Более того, из полученных в четвертой главе результатов следует (теоремы 4.1.1 и 4.1.2), что нарушение непрерывности первой производной в одной точке влечет за собой нарушение равномерных оценок (0.6), и при этом достигается максимально возможная скорость роста нормированных собственных функций, как и в классе

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 4.1.1. Имеют место следующие утверждения: собственных функций в случае, если в каждой точке х е [0;1] существует

2) Пусть р(х)еС^], тогда в любой С-окрестности р(х) существует весовая функция р0 (х,а) е С^0д П С^/) такая, что

Здесь а(Х)> 0 функция, стремящаяся к нулю при X -» оо I Нт а(Х) = 0 ).

Из теоремы 4.1.1. следует, что в классе бесконечно дифференцируемых на функций по спектральному параметру X такая же, как и во всем объемлющем классе С[0д. Поэтому возникает вопрос о зависимости асимптотического поведения собственных функций от гладкости весовой функции р(лг) в некоторой точке, в частности в точке х = 1.

Заметим, что вместо точки х = 1 можно взять любую точку х0 е [0,1], точка х = 1 рассматривается лишь для определенности выкладок при доказательстве теоремы. Справедлива следующая

Теорема 4.1.2. Пусть р(лг - вещественное число. Тогда имеют место следующие утверждения:

1) В любой С - окрестности весовой функции р(х) существует весовая функция Ро(лг) = р0(х,а,г)е С[0д П такая, что р'0(1) = г и

Следствие 4.1.1. Порядок роста нормированных собственных функций спектральной задачи (0.14)-(0.16) в классе весовых функций, имеющих первую производную, в метрике С такой же, как и во всем объемлющем классе ¡у

В § 4 главы IV исследована максимально возможная скорость роста нормированных собственных функций нелинейного оператора типа Штурма-Лиувилля для уравнений в частных производных в И-мерном кубе.

Пусть П - Ы- мерный куб, т.е. О = {0<хг <1, I = 1,2,.,Ы}, а Гповерхность этого N-мерного куба. Обозначим также

0,1) весовых функций максимально возможная скорость роста собственных

2) В любой С - окрестности весовой функции р0{х,а)еС^0д П С\0д такая, что p0(jc) не дифференцируема в точке х = 1 и

Q' = {ö <xi <1, i = 1,2,.,N}, Q = {O<xj <1, i = 1,2,.,N], x = {xJtx2,

Функции непрерывные на Q и удовлетворяющие условию 0<т<р(х)<М<со (т и М- заданные числа) будем называть весовыми, соответствующий класс функций будем обозначать через CJ.

Пусть Р0 - точка RN, все координаты которого равны 1 (одна из вершин куба Q). Через Cq- обозначим множества весовых функций, бесконечно дифференцируемых по каждой из своих переменных на \0,l), а через С^ множество весовых функций, имеющих первую производную по каждой из своих переменных (непрерывность первых производных не требуется).

Пусть а(Х,) - произвольная положительная функция, удовлетворяющая условию limа(Х) = 0, А,-»со. Рассмотрим оператор n

А/>мМ=Е д ди(х) 8х{ при р = 2, очевидно, данный оператор р

1=1 совпадает с оператором Лапласа £ш{х)) и спектральную краевую задачу типа Штурма-Лиувилля - АРм(дг) = Ар(д;Хи(*))р (х е О) г =0 (А) р(х) • = 1. п

Обозначим через А,„(р) и ип(х,р) собственное число и соответствующую собственную функцию задачи (А).

При N = 1 данная задача переходит в одномерную задачу на сегменте \0,1\. Нам удалось указать возможную скорость роста нормированных собственных функций задачи (А). Имеет место Теорема 4.4.1. Справедливы утверждения:

1) Существует весовая функция р(х) е П С^ П С& такая, что справедливо соотношение цт-а. = 00 (и^оо) (В)

2) Существует весовая функция р(х) е , не дифференцируемая ни по одной из своих переменных в точке Р0, для которой имеет место соотношение (В).

Пятая глава диссертационной работы посвящена изучению асимптотического поведения нормированных собственных функций эллиптических операторов рассмотренного ранее в работах [48], [73], [74].

Получению равномерных оценок для модулей нормированных в Ь2собственных функций ип(х) эллиптических операторов посвящены работы [66] Х.Л.Смолицкого, [76]-[77] Д.М.Эйдуса, [39]-[41] В.А.Ильина и И.А.Шишмарева, [49] О.А.Ладыженской, [79] В.Я.Якубова, [36] Егорова Ю.В., Кондратьева В.А. В отличие от одномерного случая, здесь, кроме гладкости коэффициентов, не меньшую роль играет гладкость и вид границы. Проблема состоит в нахождении наименьшего показателя а, при котором в замкнутой области В = (р + Г) справедлива равномерная по х оценка где константа С зависит лишь от области I) и коэффициентов эллиптического оператора.

Заметим, что вышеперечисленными авторами рассматривались эллиптические операторы, где весовая функция р(х) = 1.

В главе IV при исследовании зависимости асимптотического поведения собственных функций от гладкости весовых функций было выяснено, что уже в классе весовых функций, имеющих первую производную непрерывную во всех точках сегмента [0,1], кроме одной точки, классические оценки для собственных функций не имеют место для одномерной задачи.

Возникает вопрос о поведении собственных функций многомерной задачи в случае гладкости весовых функций во всей рассматриваемой области, кроме одной точки. Из результата §4 главы IV следует возможность нарушения классических оценок для задачи на Ы- мерном кубе в классе весовых функций гладких во всем кубе, кроме некоторых его граней. В данной главе показано, что для задачи на N -мерном шаре в классе весовых функций гладких, кроме одной точки (центра шара), нарушаются классические оценки. Кроме того, получены некоторые новые верхние оценки для специальных классов весовых функций.

Пусть Одг - шар из Км с центром в начале координат и радиусом Я = 1, 5дг - поверхность шара . Рассмотрим краевую задачу

- Ам(дг) = А,р(|д:|)и(д:),д: (0.21)

М^ = °> (0-22) р1\х^\х)йан=1,где\х\ = г = {х1 + х1+. + х0, р(г)еС£>у]. (0.23) Если перейти к сферическим координатам, то данная задача примет вид д2и N -1ди 1 ^ дг2 г дг г2 ^ qj Бти 7 1 юу Эсоу. и(],<о) = 0. 1 ди Л

Эа>у, Хр(г)и. (0.24)

0.25) (0.26)

0 5, лг где qI = 1 ,qí ~ (ш©; 5шсо2.5ш©у/)2,у > 2.

Будем искать решение задачи (0.24)-(0.26) методом Фурье в виде м(г,ю) = /(г)У(ш).

Тогда после разделения переменных получим два уравнения: г2 Г (г)+(М- 1)г/'(г)+[Хг2р(г) - к]г{г) = 0,

N-1

8тп'н ю, дУ кУ( со), jí¡qj Бтп * 1 <оу. дв>] где к - некоторая постоянная.

Известно [55], что второе уравнение имеет непрерывные на сфере 5 решения только при к = п(п +М-2),(п = 0,1,2,.), и каждому такому значению соответствует knN =(2n + N-2)Решений = называемых сферическими функциями.

Подставляя значение к = + N - 2) в первое уравнение, получим г2 f "(г)+(N- l)rf'(r) + [у 2p(r) - п(п + N- 2)]f(r) = 0. (0.27)

Условие (0.25) приводит к краевому условию для /(г)

СМ. \ ди(г, а) а условие непрерывности и\г,со) и —-—- в точке г = 0 приводит к условию дг f(0) - ограничено.

Функция /(г) должна удовлетворять уравнению (0.27), а Y(co) = Y$(co ),(/ = 7,2,.,*).

Тем самым, если fk n (г) есть собственная функция задачи г2 f\r) + (N- l)rf'(r) + [%r2p(r) - п(п + N - 2)l/tr) = 0, (0.28) f(l) = о, f(0) - ограничено, (0.29) p(r)f2(r)dr = l, (0.30) о то функции ck n jfk n(r)Fn^(co) = uknJ(rim) являются собственными функциями задачи (0.24)-(0.25) при соответствующем выборе констант cknj из нормировочного условия (0.26). Определим константы ck n J:

1-\ ¡fcKMbl&bti'"-'**»=

0sn f \(l \

-c2

J^Wf*. Jp WUry-'dr o отсюда

Ck,n,j ~ 'ifi jH(®)F*> jp (r)fi(rV-'dr

J VO

Следовательно, нормированные собственные функции задачи (0.24)-(0.25) имеют вид л» у{Л(<»)

Uk,n,M®) = 1

У2

0.31)

JP WLkV-'dr d* j u

Если p(r) = p0 = const, то задача (0.28)-(0.30) решается в явном виде и ее у собственные числа определяются формулой Хкп =—Zk(jv)} а так как

Р о т<р(г)<М, то для собственных чисел задачи (0.28)-(0.30) справедливы оценки jjZ2k(jv)<\ktn<±Z2k(jv), т

0.32) где Zk(Jv) - нули функции Бесселя.

Для решения задачи (0.28)-(0.30) справедливы теоремы, аналогичные теоремам 4.1.1, 4.1.2, для доказательства которых нам понадобится ряд вспомогательных утверждений и лемм.

Наряду с уравнением (0.27), для сравнения, рассмотрим еще два уравнения: г2/¡{г)л-{И- 1)г/;(г) + [Хг2М -п(п + Ы-2)1/*(г) = 0, (0.33) г2/;(г)+(ЛГ - 1)г/;(г)+[хг2т -п(п + Ы- 2)^{г) = 0. . (0.34)

Все решения этих уравнений определяются формулами г)=саМ

2(г) = C2rn~vZv[^|Xmr), где С] и С2 произвольные постоянные, N-2 v = п + и Zv - цилиндрическая функция порядка v.

Ограниченные в нуле решения получаются, если в качестве цилиндрических функций взять функции Бесселя Jv:

W = С^-^ХШг), f2(r)= C2rn-vJv[jhnr\ (0.35)

Из этих формул, деля на г" и переходя к пределу при г -» 0, получим: v lim r~nl{r) = С| ., (0.36) limr~nf2{r)=C2

Хт) V I

J2yi 2Vr(v +1)' где Г(х)-гамма функция.

Пусть Zj(f) - первый из нулей решения уравнения (0.27). Исследуем решение уравнения (0.27) на участке Известно, что решение уравнения (0.27), ограниченное в нуле, единственно и в случае п > 0 имеет в точке г = 0 нуль порядка п, а при п-0 f(0)*0. Кроме того, f'(0) = 0 для любого п>0.

Если нормировать решения уравнений (0.27),(0.33) и (0.34) условием lim f{r)r~n = lim fj{r)r~n = lim f2(r)r~" = f0>0, то известно, что r-»0 r-»0 r->0 fj(r)<f(r) на [ö,*,(/,)], f(r)<f2(r) на [0,z,{/)]. Из формул (0.35) следует, что а так как то

Аналогично

IXrn

Поэтому

0.37)

Из условий нормировки и формул (0.36) следует, что м)~2 (\т)~2 Следовательно, учитывая формулы (0.35), справедливы неравенства на [ом

ХМ)1

0-38) на [0,г,(Г)\

Хт):

Для дальнейшего исследования решений уравнения (0.27) введем новую

1-И функцию и(г) условием /(г) = г 2 Тогда относительно и(г) получим уравнение

2п + N - 2)2 -1 и "(г) +

4Г и (г)=0

0.37) или

А-р(г)

4у -1 4г2 о (г) = 0, где V = п +

N - 2

Так как коэффициент при и(г) является непрерывной функцией на любом сегменте [г0, г} ], (0<г0 < г1), то на таком сегменте решение уравнения (0.37) существует и всякое решение этого уравнения ограничено.

Ввиду того, что коэффициент при о(г) может быть неограниченным в нуле, то могут существовать неограниченные в нуле решения уравнения (0.37).

Каждому ограниченному решению /(г) уравнения (0.27) соответствует ограниченное решение уравнения (0.37) (в окрестности точки г = 0).

Нули функций /(г) и и(г) на интервале (0, со) совпадают, так как

1-Ы г 2 > 0 при г > 0.

На любом сегменте \г1 (/),«] функция и (г) имеет конечное число нулей, так как по теореме Валле-Пуссена [72] расстояние между двумя соседними нулями ограничено снизу. Следовательно, на сегменте [0,а] функции и(г) и /(г) имеют конечное число нулей (а > 0 произвольное).

Так как р(г) - функция ограниченная, то поведение коэффициента при и(г) в основном зависит от знака числа (4у2 - /) (в окрестности точки г = 0).

Возможны три случая: 1) у = 0; 2) у = —; 3) у>— .

2 2

Пусть а(\)>0 непрерывная на (0,<х>) функция, стремящаяся к нулю при А,—>оо„ Справедлива

Теорема 5.2.1. Пусть р(г)еС^(/], / - вещественное число. Тогда имеют место утверждения:

1) В любой С-окрестности весовой функции р(г) существует весовая функция

Ро М = Ро (г>а> 0 е С[оА п С(0д такая, что р'0 (0) = * и Иг>Ро1м

1гт-гт-^- = оо;

Ш4

2) В любой С-окрестности функции р(г) существует функция Ро(г)~ Ро(г>а)6 с[о,1\ П такая, что р0(г) не дифференцируема в точке г-0 и И'-.РоИд,,,)

Ьт-7/^ - 00'» а(Х)Х{4

3) lim-¡7^ = 0,

Ak

Пусть Zj = Zj(f), тогда имеют место следующие леммы:

Лемма 5.1.1. Если /(г) ограниченное в нуле решение уравнения (0.27), то справедливы неравенства l/tfyjrтах Ь-vj тах f(r)

Г7 Mil rnax lxn-vJv(x)}> max /(г).

Для оценки производной и'(г) на участке между соседними нулями в случае, когда коэффициент при и(г) на этом участке может принимать отрицательные значения, нам понадобится следующая лемма.

Пусть решение задачи y{z') = 0, y'(z') = y'0i где g(x) - непрерывная функция на всей оси, удовлетворяющая неравенству g(*)| < G для всех значений независимой переменной, a z',z" - два последовательных нуля этого решения, и G - некоторое вещественное положительное число.

Лемма 5.1.2. Имеют место следующие неравенства:

2) е-^''""! < И

УМ

Пусть 21 =г|(о) = г/(/) первый из нулей функции и(г) (ограниченному решению /(г) уравнения (0.27) соответствует решение и(г) уравнения (0.37)), не меньших чем (/2) Оценим функции и(г) и и'(г) на участке

Пусть 5 > 0 и удовлетворяет неравенству 5 < min го 1-г0

8 8

Ро{г)еС{оД П С$д и РоИ = РоМ~

4v -1

41 2 г2 г2 \ 0 г ) ге\г0 -2Ъ,г0 +25]; у (г) - решение задачи г2 Г {г) + 1)гГ{г) + [Яр (г) -п(п +М- 2)]Г(г) = О, /(1) = 0,/'(1)=1, n-j

0/W = r 2 f,(r), ®L(p)> аЩ Jp(r)o](r)dr

Jo

I/ l/4

2{г) - решение задачи г2 Г (г) + 1)г/'(г) + [Хр(г)г2 - п(п + N - 2)1/(г) = 0, /(О) - ограничено n-1

2H = r 2 f2{r), Ф1 (р) =

1/ У4 если

Основными утверждениями, на которые опирается доказательство теоремы 5.2.1, являются следующие леммы и их следствия:

Лемма 5.2.1. Множество функционалов (р), определяемое условием X > Х0, не ограничено на множестве функций р(г)е £(р0,е), удовлетворяющих условию р(г) = р0 (г), если г > г0 + 25.

Пусть ф(г) > 0 непрерывная на \0,1\, монотонно стремящаяся к нулю при

РвИ-РоДО г -» 0, такая что ф(г) при 0<г<1, где / = р'0{0).

Лемма 5.2.2. Пусть

Ро{г)-Ро(0) { ф(г) (г>0). Тогда множество функционалов Ф" (р), определяемое условием Х>Х0, не ограничено на множестве функций р(г)е5(р0,8), удовлетворяющих условиям: р(г) = р0(г), если г <г0 -28,

РМ-Р(0) , ф(г) (г > О, I - действительное число).

Следствие 5.2.1 (из леммы 5.2.2). Пусть ? - действительное число, тогда множество функционалов (р), определяемое условием Х>Х0, не ограничено на множестве функций р(г)е5,(р0,е), удовлетворяющих условиям: р(г) = р0 (г), если г е [б, г0 - 25], р'{0) = 1.

Следствия 5.2.2. Пусть 8>0, 8>0 малые действительные числа, РоМеС^ПС^ф г0 е(0,1), р'0{6) = г (/ - действительное число),

4Х

1 1

2 2 \го г J если ге\г0-28,г0 + 28].

Пусть также ср(г) построена по лемме 5.2.2, тогда последовательность функционалов

КМкл П а(Х)Х% |р(г)о*(г,р)/г

40

У, не ограничена на множестве функций, удовлетворяющих условиям: р(г)е£(р0,е), р(г) = р0(г),если г £ [г0 - 28, г0 + 25] и

РИ-Р(0) г ф(г).

Следствие 5.2.3. Пусть е>0, 8>0 малые действительные числа, А,»/, р0(г)еС[о/]ПС(о/], г0е(0,1), (/ - действительное число),

4у2-1'

4Х

Кго г , если г е \г0 - 28, г0 + 25]. Тогда последовательность функционалов ФА.(р) не ограничена на множестве функций, удовлетворяющих условиям: p(r)e£(p0,e), p(r) = p0(r), если г z[r0-28,г0 + 26] u[0.b] и р'(0)=t.

Теорема 5.3.1. Пусть г>0, ?0{r)eC[oj\^c(oj\- Тогда имеют место следующие утверждения:

1) Для любого действительного t и заданной функции а(Я,) существует функция p(r,a,i)eS(p0,e)nCjJ/]f|Cgf/j такая, что р'{Ö) = t и ( '

2) Существует не дифференцируемая в точке г = 0 функция р(г)е £(р0,б)П С[о у] П CjJ,/] такая, что имеет место соотношение (0.38).

Теорема 5.3.2. Для любого р(г)е С^0д имеет место соотношение

1Ы*'Р(И)1С

Um N/ =0- (0-39)

-»00 - 'у4

Теорема 5.3.3. Для любой весовой функции ограниченной вариации p(r) е С[0 7] имеет место соотношение

IM*-p(N))L lim (0.40)

Хк л

Замечание. Из теоремы 5.3.3 следует, что для любой весовой функции p(r) е С[0 7] ограниченной вариации имеют место оценки n-1

На защиту выносятся следующие научные положения: 1. В главе I впервые доказан критерий равномерной ограниченности совокупности нормированных собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма-Лиувилля. С помощью критерия доказана справедливость классических оценок (0.6) для некоторых классов весовых функций для линейной и нелинейной краевых задач Штурма-Лиувилля (теорема 1.2.3, следствия 1.2.2, теорема 1.3.2).

2. В главе II указаны впервые классы весовых функций неограниченной вариации, для которых в случае линейной краевой задачи Штурма-Лиувилля доказывается равномерная ограниченность нормированных собственных функций, т.е., доказано, что имеют место оценки (0.6) (в общем случае для любых весовых функций неограниченной вариации классические оценки (0.6) не имеют место).

3. В главе III рассмотрено асимптотическое поведение по спектральному параметру X нормированных собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма-Лиувилля и решений задачи Коши. Доказанные теоремы 3.1.1, 3.1.2 дают неулучшаемые оценки в классе весовых функций д.

4. В главе IV рассмотрено асимптотическое поведение по спектральному параметру X нормированных собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма-Лиувилля в зависимости от гладкости весовых функций. Выявлен наиболее узкий класс весовых функций, для которых возможен максимально быстрый рост нормированных собственных функций, и доказано, что в указанном классе весовых функций скорость роста такая же, как и во всеобъемлющем классе

С[оД

5. Установлено (теоремы 4.1.1 и 4.1.2), что нарушение непрерывности первой производной в одной точке влечет за собой нарушение классических оценок и при этом достигается максимально возможная скорость роста нормированных собственных функций, как и в классе

CjJ/]. Причем все это доказано для линейной и нелинейной краевой

32 задачи. И здесь доказанные теоремы дают неулучшаемые оценки в указанных классах весовых функций.

6. В главе V впервые доказано, что на Ы-мерном шаре в классе весовых функций гладких, кроме одной точки, (центра шара) нарушаются классические оценки (0.6).

7. В многомерном случае также получены верхние оценки для нормированных собственных функций в классе весовых функций ограниченной вариации, которые при N=1 совпадают с классическими оценками (0.6).

Основные результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах, руководимых академиками В.А.Ильиным, В.А.Садовничим, профессорами Е.И.Моисеевым, И.А.Шишмаревым, АГ.Костюченко, А.А.Шкаликовым.

Полученные результаты работы докладывались также на Первой Международной научно-практической конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям в Санкт-Петербурге (3-5 декабря 1996 г.), на Международной конференции, посвященной 75-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д.Кудрявцева в г.Москва (1998 г.), на Северо-Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Махачкале и опубликованы в работах [2]-[18].

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979.

2. Айгунов Г.А., Гехтман М.М. К вопросу об оценке нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке. //Успехи математических наук. -М., 1995. Т.50. Вып. №4. С.157-158.

3. Айгунов Г. А. Об одном условии равномерной ограниченности совокупности нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. //Известия вузов.Северо-Кавказский регион. Естест. науки. Ростов-на-Дону. 1996. №1. - С. 15-17.

4. Айгунов Г.А. К вопросу о собственных функциях одного класса операторов Шредингера с потенциалом нулевого радиуса. //Известия вузов.Северо-Кавказский регион. Естест. науки. Ростов-на-Дону. 1996. №1. -С.80-81.

5. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса операторов Штурма-Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке. //Успехи математ. наук. М., 1996. Т. 51. Вып. 2. - С. 143-144.

6. Айгунов Г.А. К вопросу об оценках типа С.Н.Бернштейна для собственных функций дифференциальных операторов. //Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Ростов-на-Дону. 1996. №2. -С.3-6.

7. Айгунов Г.А. Об одном критерии равномерной ограниченности нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке. //УМН. М., 1997. Т.52, вып.№2. - С.149-150.

8. Айгунов Г.А., Гехтман М.М. К вопросу о максимально возможной скорости роста системы собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с непрерывной весовой функцией на конечном отрезке. //УМН.- М., 1997. Т.52. №3.-С.161-162.

9. Айгунов Г.А. О максимально возможной скорости роста решений задач Коши и нормированных собственных функций для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля. //Вестник ДГУ. Естест. науки. Вып. 1.1997.- С.143-146.

10. Айгунов Г.А. К вопросу об асимптотике нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. //УМН. М., 1997. Т. 52№6.-С. 147-148.

11. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке в зависимости от гладкости весовых функций. //Известия вузов.Северо-Кавказский регион. Естест. науки. 1998. №4. С.3-17.

12. Айгунов Г.А. Об асимптотическом поведении решений задачи Коши нелинейного оператора типа Штурма -Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке.// Вестник ДГУ, Естественные науки., 1998. Вып.№1.-С. 86-91.

13. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций оператора типа Штурма -Лиувилля для уравнений в частных производных в Н-мерном шаре.// Матем. Заметки. М., 1999. Т.65. №4. -С.

14. Амброладзе М.У. О возможной скорости роста многочленов, ортогональных с непрерывным положительным весом. //Матем. сб. 1991. Т. 182. №3. С.322-332.

15. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М. Изд. «Мир», 1968.

16. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

17. Бирман М.Ш. К теории общих краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений. //ДАН СССР. 1953. Т.32. № 2. С.205-208.

18. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений. //Труды Моск. мат. об-ва. 1952. Т.1. С. 187-246.

19. By Куок Тхань. Обобщение теоремы М.М. Гехтмана для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля. //Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. и механика. 1990. №3. С.89-92.

20. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об общем простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. //ДАН СССР. 1953. Т.88. С. 593-596.

21. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. М.: Физматгиз, 1958.

22. Гехтман М.М. О принципе предельной амплитуды. //ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С.20-23.

23. Гехтман М.М., Загиров Ю.М., Якубов В.Я. Об асимптотическом поведении собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля. //Функц. анализ и его приложения. Т.17. Вып. 3,1983. С.71-72.

24. Гехтман М.М. Об асимптотическом поведении нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Мат. сб. Т.133(175), №2, 1987. С.184-199.

25. Гехтман М.М. (мл.) К вопросу об оценках нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами. //ДАН СССР. Т.319, №4,1991. №798-800.

26. Гехтман М.М., Загиров Ю.М. О максимально возможной скорости роста ортонормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с непрерывной положительной весовой функцией. Успехи мат. наук. Т.47, вып. 3(285), 1992. С.157-158.

27. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963.

28. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963. - 1100 с.

29. Грей Э. и Мэтьюз Г.В. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: ИЛ, 1953.

30. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.

31. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. О некоторых оценках собственных функций эллиптического оператора. //Вестник МГУ. Сер.1. Матем. мех. 1985, №4.

32. Жиков В.В. Об обратных задачах Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т.31. Вып. 5. С.965-976.

33. Ильин В. А. О системе классических собственных функций линейного самосопряженного оператора с разрывными коэффициентами. //ДАН СССР. 1961. Т.137. № 2. С. 272-275.

34. Ильин В. А. О разложении по собственным функциям произвольных неотрицательных самосопряженных расширений некоторых эллиптических операторов. Международный конгресс математиков в Ницце 1970 г. М.: Наука, 1972. - С 102-110.

35. Йо И., Ильин В. А. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса. //Дифф. уравнения. 1979. Т. 15. №7. С. 1164-1174.

36. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

37. Костюченко А.Г., Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля. //Функц. анализ и его приложения. 1967. Т.1. Вып.1. С.86-96.

38. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. -М.: Наука, 1979.

39. Крейн М.Г. Об обратных задачах для неоднородной структуры. ДАН СССР. Т.76, №3,1951. С.345-348.

40. Крейн М.Г. Определение плотности неоднородной симметричной струны по спектру ее частот. ДАН СССР. Т.82, №5,1952. С.669-672.

41. Курант Р., Гильберт Д. //Методы математической физики. Т.1. М.: Гостехиздат, 1951.

42. Ладыженская O.A. Метод Фурье для гиперболических уравнений. //ДАН СССР. Т.74, №3. 1950. -С.417-420.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

44. Лидский В.Б. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений. //ДАН СССР. 1954. Т.95. № 2. С.217-220.

45. Люстерник Л.А. Об одном классе нелинейных дифференциальных уравнений. //Мат. сб. 44.1937. С.1143-1166.

46. Люстерник Л.А. Обобщение уравнения типа Штурма-Лиувилля. //ДАН СССР. 1937. Т.15. С.235-238.

47. Маслов В.П. О критерии дискретности спектра уравнения Штурма-Лиувилля с операторным коэффициентом. //Функц. анализ и его приложения. 1968. Т.2. Вып.2. С.63-67.

48. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

49. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

50. Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.

51. Орочко Ю.Б. О достаточных условиях самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля. //Матем. заметки. 1974. Т.15. № 2. С.271-280.

52. Павлов Б.С. О полноте набора резонансных состояний системыдифференциальных уравнений. //ДАН СССР. 1971. Т.196. № 6. С. 12721275.

53. Печенцов A.C. Асимптотическое разложение решений линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр //Дифф. уравнения, 1981. Т.17. №9. С.1611-1620.

54. Плотников В.И., Якубов В.Я. Об одномерной обобщенной проблеме Штурма-Лиувилля. //Изв. вузов. Мат. 1968. №12 (79). С. 70-81.

55. Рахманов Е.А. О гипотезе В.А.Стеклова. //Матем.сб. 1981. Т. 114. № 2. -С.269-298.

56. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд. МГУ, 1979.

57. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Нагорный A.B. Асимптотика спектральной функции дискретного оператора. //Дифф. урав. 1989. Т.25. №8. С. 1340-1344.

58. Самарский A.A. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объёмов. //ДАН СССР. 1948. Т.63. № 6. С.631-634.

59. Смолицкий Х.Л. Оценки производных фундаментальных функций. //ДАН СССР. 1950. Т. 74. №2. С. 205-208.

60. Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня. Сообщ. Харьков, матем. об-ва, 1896.

61. Стеклов В.А. Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка и их применение к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. Харьков: Изд-во ХГУ, 1956.

62. Суетин П.К. Проблема В.А.Стеклова в теории ортогональных многочленов. М.: ВИНИТИ, математический анализ, 1977. Т. 15.

63. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

64. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-воМГУ, 1996.

65. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962. - 351 с.

66. Хёрмандер Л. Спектральная функция эллиптического оператора. //Математика. Сб. переводов. 1968.12. № 5. С.91-130.

67. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. //Изд-во МГУ. 1979. 184 с.

68. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. //Функц. анализ и его приложения. 1982. Т. 16. Вып.4. С.92-93.

69. Эйдус Д.М. Некоторые неравенства для собственных функций. //ДАН СССР. 1956. Т. 107. № 6. С. 796-798.

70. Эйдус Д.М. Оценки модуля собственных функций. //ДАН СССР. 1953. Т. 107. № 6. С. 973-974.

71. Якубов В.Я. Оптимальный нагрев неоднородного стержня. //Тезисы докладов конф. молодых научных работников. Секция физ.-мат. наук. Горкий, 1966.

72. Якубов В.Я. Оценки для нормированных в Ь2 собственных функций эллиптического оператора. //ДАН СССР. Т.274. №1.1984. С.35-37.

73. Якубов В.Я. Различные порядки роста нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с непрерывным весом. //Дифф. урав. 1993. Т.29. № 6. С. 982-989.

74. Якубов В. Я. Точные оценки для собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. //ДАН России. 1993. Т. 331. №2. -С.148-149.

75. Якубов В.Я. Ограниченность нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиуввия при минимальных ограничениях на гладкость коэффициентов. //Дифф. уравн. 1994. Т. 30. №8. С. 1465-1467.

76. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the Solutions of certain linear differential equations containing a parameter. //Trans. Amer. Math. Soc. 1908. 9. P.219-231.227

77. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations. //Trans. Amer. Math. Soc. 1908. 9. P.373-395.

78. Elbert A. Qualitative theory of differetial eguations. Amsterdam, 1981. V.30 -P. 153-180.

79. Sturm C. Sur les equations différentielles du second ordre. //J.Math. Pures Appl. 1(1). 1836.-P.106-186.