Теоремы равносходимости для интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Резольвента простейшего оператора.

1.1 Преобразование граничного условия обратного оператора.

1.2 Формула для резольвенты дифференциально-разностного оператора L0.

1.3 Оценки резольвенты R0^.

Глава 2. Резольвенты R\ л и Ял.

2.1 Связь Яо я и Я1Я.

2.2 Связь Ru и Яя.

2.3 Оценки R\txf.

2.4 Оценки Rxf.

Глава 3. Теоремы равносходимости.

3.1 Равносходимость разложений функции /(х)по собственным и присоединенным функциям оператора L0 и оператора А.

3.2 Равносходимость разложений функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора L0 и в тригонометрический ряд Фурье.

3.3 Равносходимость разложений функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора А ив тригонометрический ряд Фурье.

Дополнение. Обращение оператора А при произвольном п.

Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов. Спектральный анализ таких операторов включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций (СПФ), разложения произвольной функции в ряд по СПФ, вопросы полноты и базисности СПФ, равносходимости разложений по СПФ и по известным системам функций и т.д. Интерес к спектральной теории велик, а успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.

Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по СПФ для одного класса интегральных операторов и в обычный тригонометрический ряд Фурье.

Впервые теорема равносходимости разложений по СПФ и разложений в тригонометрические ряды Фурье была установлена в работах В.А. Стеклова [1], Е.В. Гобсона [2] и А.Хаара [3] для оператора Штурма- Лиу вил ля. Затем Я.Д. Тамаркин [4] и М.Н. Стоун [5] распространили этот результат на произвольный дифференциальный оператор:

1[у] = уЫ + ^рк{х)у{к\рк{х) е ЦОД] (0.1) к~ 0 с произвольными краевыми условиями:

Uj(y) = nfxajky{k\0) + bjk/k\\)] = 0(j = 1 ,.,п) , (0.2) к=0 удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], стр.66-67), которые заключаются в отличии от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в Uj(y) (после приведения их к нормированному виду ([6], стр 65-66). Дадим формулировку этого результата.

Теорема 0.1. Для любой функции f (х) е //[0,1] имеет, место: lim||Sr(/,x)-c7r(/,*)||c[^] = 0 (0.3) п где 8 - любое число из 0, — , Sr (/, х) — частичная сумма ряда Фурье по v 2у собственным и присоединенным функциям оператора (0.1) - (0.2) для тех собственных значений, для которых \Xk\ < rn;crr(f,x) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье для тех к, для которых ктг < г. Условия регулярности снять, вообще говоря, нельзя. a) A s j (x,t) = 7-77-7 A(x,t), (s,j = 0,.,n) - непрерывны при t < x и лиувиллевского типа получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций и этот метод приводит часто к результатам окончательного характера, и исследования A.M. Седлецкого (см., например, [11]) об операторе дифференцирования с размазанными граничными условиями.

С точки зрения интегральных операторов теорема (0.1) дает равносходимость спектральных разложений для операторов вида: 1

Af= \A(x,t)f(t)dt, (0.4) о когда А(х, t) является функцией Грина дифференциальных операторов. Для интегральных операторов общего вида вопрос о равносходимости исследовался впервые А.П.Хромовым ([12],[13] ). Он ввел следующие требования на ядро А(х, t): ds+j dxs8tJ t>x ,

6) A~l существует,

B) A^s С*»0 t=x~ Axs (x>t)\t=x-o ~ 4xs CM)|*=*+() = 8s,n-i> s = 0,., n; Ssk - символ Кронекера.

В работе [13] обосновывается существенность всех этих требований для выполнения теоремы 0.1. Отметим, что условие в) задает канонический вид интегральных операторов, для которых имеет место теорема 0.1. Начиная с 1998 года (см.[14]), стали исследоваться интегральные операторы, ядра которых имеют скачки п -1 - ой производной не только на линии t = х, но и t = 1-х. Эти операторы мы рассматриваем в виде: 1 Af = ах \Ах (x,i)f{i)dt + a2 \A2(x,t)f(t)dt+ 0 *

1-х 1 а3 jA3(l-x,t)f(t)dt + а4 jA4(1 -х,t)f(t)dt , (0.5)

О 1-х где ctj - комплексные константы, и выполняется условие:

Э*

Aj{x,t) t=x=S (s = 0,.,п). (0.6)

8xs

Для двух частных случаев оператора (0.5) - (0.6), в первом из которых а\ ~ аъ ~ а4 ~ 0' а во втором а2 = ал = 0; Ax(x,t) = A3(x,t) теоремы равносходимости были получены А.П. Хромовым [15] и совместно А.П. Хромовым и В.В.Корневым [16].

Целью данной работы является получение теорем равносходимости для оператора (0.5)-(0.6) с произвольными константами а, и произвольными ядрами (jc, f)> * = 1>—>4 в наиболее простом случае п = 1, а также получение формул обращения оператора (0.5)-(0.6) для п> 2, что открывает возможность обобщения теорем равносходимости и на случай произвольного п, но не входит в рамки настоящей работы.

Метод получения теорем равносходимости основывается на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора (0.5)-(0.6) по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.

Диссертация содержит 115* страниц, состоит из введения, трех глав, разделенных на 10 параграфов, дополнения и списка литературы.

1. Е. W. Hobson. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions// Pros. Land. Math. Sos., 1908, 6, pp 349-395.

2. A.Haar. Zur Theorie des ortogonalen Funtionen systeme// Math. Ann., 1910, 69, pp 331-371; Math. Ann., 1911, 71, pp 38-53.

3. Я.Д. Тамаркин. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, Петроград, 1917.

4. M.N. Stone. A comparison of the series of Fourier and Birkgoff // Trans. Amer. Math. Soc., 1926, V28, 4, pp 695-761.

5. M.A. Наймарк. Линейные дифференциальные уравнения, М, Наука, 1969, 528с.

6. В.А. Ильин. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка Келдыша обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов// ДАН СССР, 1975, т. 225,3, С. 497-499.

7. В.А. Ильин. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье//ДАН СССР, 1975, Т.223, 3, С. 548-551.

8. В.А. Ильин. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных уравнений// ДАН СССР, 1976, Т.227, 4, С.796-799.

9. В.А. Ильин. О приближении функций биортогональным рядом по собственным и присоединенным функциям дифференциальных операторов// Теория приближения функций: сб., 1974, С.206-213.

10. A.M. Седлецкий. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // Успехи матем. наук, 1982, 37, вып. 5(227), С.51-95.

11. А.П.Хромов. Интегральные операторы с ядрами типа функций Грина// Деп. 1972, № 4841-72.

12. А.П. Хромов. Теоремы равносходимости интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб., 1981, 144(156), 3, С. 358-450.

13. А.П. Хромов. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях//Матем. заметки, 1998, 64, вып.6, С. 932942.

14. А.П. Хромов. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования// Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: сб., посвященный 70-летию П.Л. Ульянова, М, изд. АФЦ, 1999, С. 255-266.

15. В.В.Корнев. А.П. Хромов. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях.

16. Е.В. Назарова. Задача точного обращения некоторого класса интегральных операторов с разрывными ядрами// Современные проблемы теории функций и их приложения : Тезисы докл. 10-й Сарат. зимн. школы, Саратов, изд. Сарат. ун-та, 2000, С. 96-97.

17. Е.В. Назарова. О резольвенте интегрального оператора с ядром, разрывным на диагоналях// Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докл. 11-ой Сарат. зимн. школы, Саратов, изд. Сарат. ун-та, 2002, С. 141-143.

18. Е.В. Назарова. К теореме о равносходимости одного класса интегральных операторов с разрывными ядрами // Сб. научных статей. Часть 1.- Химия, техника, математика, Саратов: изд-во Сарат. военного института РХБЗ, 2002, С. 194-200.

19. Е.В. Назарова. О резольвенте одного класса интегральных операторов// Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании: труды Междунар. науч. конференц., Саратов-Энгельс, изд. Сарат. гос. технич. ун-та, 2002, С. 110-111.

20. Е.В. Назарова. Задача об обращениии одного класса интегральных операторов с разрывными ядрами// Деп. ВИНИТИ № 233-В2002, Москва, 2002, 11 стр.

21. Е. В. Назарова. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Математика. Механика. Сб. научных трудов, вып. 4, Саратов, изд. Сарат. ун-та, 2002, С 102-105.тем roc ;- ■