Разложения по собственным функциям функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

л

На правах рукописи

Луконина Анна Сергеевна

РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2009 003460868

003460968

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и прикладной математики механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Хромов Август Петрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Платонов Сергей Сергеевич кандидат физико-математических наук, доцент Тихомиров Сергей Алексеевич Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится« 19 » февраля 2009 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан « 15 » января 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент

В.В. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряжешшх операторов, т.е. исследованию спектра и разложению заданной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) оператора. В связи с развитием квантовой механики, при решении многих задач которой спектральный анализ является основным математическим аппаратом, в последние десятилетия интерес к спектральной теории велик, и в ее развитии достигнуты значительные успехи.

Большое внимание в спектральной теории уделяется вопросам равносходимости разложений по с.п.ф. операторов и по известным системам функций. Начало исследовагшй по равносходимости было положено в работах В.А. Стеклова, Е. Гобсона А. Хаара для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля; а также Я.Д. Тамаркина, М. Стоуна для дифференциального оператора произвольного порядка с произвольными краевыми условиями (на базе асимптотических формул для собственных значений и собственных функций, полученных Дж, Бирк-гофом). Большой в клад в развитие этих вопросов внесли отечественные математики В.А. Ильин, A.M. Седлецкий, А.П. Хромов. A.A. Шкаликов и др.

Данная работе также посвящена исследованию равносходимости разложений по с.п.ф. (с тригонометрическим рядом), а также исследуются равномерная сходимость разложений по с.п.ф. к разлагаемой функции (аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических

рядов) и вопросы сходимости средних Рисса вида1, 2

~¿¿ J sMRxJdX, (1)

|A|=r

(где R\f - резольвента рассматриваемого оператора, г такие, что на окружности |А| — г нет собственных значений рассматриваемого оператора), которые обобщают рассматриваемые М. Стоуном средние Рисса спектральных разложений

-¿ I к-^ыъ (f>°)-

|Л|=г

В настоящей диссертационной работе рассматривается оператор L, порожденный функционально-дифференциальным выражением

1{у) = /Зу'(х) + у'( 1 -х) + Pl(x)y(x) + рг(х)у(1 -х), X е [0,1], (2)

где 01 ф 1, Pj{x) 6 С1 [0,1] (j = 1,2), и интегральным граничным условием

i

Чу) = J Pit) y(t) dt = o, P(t) = O)

о

где 0 < а < 1, к(1) 6 С[0,1] П У [О,1] 3, и удовлетворяет

Щ0) - т2к2{1)) И 1) - 72fc2(0)) ¿0, 7 = Р ~ л/^7!-

'ífypest« А.П. Суммируемость по Ркссу разложений спектральных разложений одного класса интегральных операторов (Текст) / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Диффереац. уравнения. - 2001. - Т. 37, № 6. - С. 809-814.

21}/ревт А.П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов [Текст! / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Известия ВУЗов. Сер. Математика. - 2003. -№ 2(489). - С. 24-35.

З3десь и в дальнейшем запись k(t) € С[0,1] П У[0,1] означает, что функция k[t) непрерывна на

[0,1] и является на этом отрезке функцией ограниченной вариации.

Оператор (2) с общим красным условием U(y) = 0 относится к классу функционально-дифференциальных операторов с инволюцией t?(x) = = 1 — 1, которая порождает оператор отражения Sy(x) — у{1 — х). Операторы, содержащие оператор отражения, имеют давнюю историю и интенсивно исследуются в настоящее время (Ch. Babbage, Ch. Dunkl, A.A. Андреев, C.C. Платонов и др.) Наиболее полно эти операторы, возникающие в различных спектральных задачах (в частности, при изучении разложений по с.п.ф. интегральных операторов, ядра которых имеют разрывы на диагоналях и кодиагоналях4,5 ), изучены А.П. Хромовым и его учениками.

Рассматриваемый функционально-дифференциальный оператор (2) замечателен своими свойствами: выступает как обобщение квадратного корня из оператора у"(х) (главная часть рассматриваемого оператора lo{y) — ßy'(x) + у'(1 — х) обладает тем свойством что 1о(1о(у)) = = (S2 — 1) у"(х)); другое достоинство рассматриваемого оператора состоит в том, что он представляет собой интересный частный случай системы Дирака.

Граничное условие (3) было впервые введено и изучено A.M. Сед-лецким 6. A.M. Седлецкий рассматривал разложения суммируемой функции в ряд Фурье но системе 77д — j J j , где A = {A.J^lj -занумерованная в порядке неубывания модулей последовательность кор-

*Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях

(Текст) / А.П. Хромов // Матем. заметки. - 1998. - Т. 64, № 6. - С. 932-942.

5Корнев В.В О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрьгвы производных на диагоналях [Текст] / В.В. Корпев, А.П. Хромов // Матем. сб. - 2001. - Т. 192, № 10. - С. 33-50.

6Седлецкий A.M. О равносходимости и равносумммируемости негармонических разложений Фурье с обычными тригонометрическими рядами [Текст] / A.M. Седлецкий // Матем. заметки. - 1975. -Т. 18. - ДМ. - С. 9-17.

ней целой функции Ь{г) = / ег*<1а({), тп - кратность Ап. Порождающая

—а

мера ¿<т(£} имеет вид

М*) = , ыч«' Щ) = ' — - -

(а — ji))Q' w (а2 — t2)a' а е (0,1), var k(t) < оо, к (а - 0) ф 0, к (-а + 0) ф 0. Ранее в литературе этот случай не рассматривался, его исследование связано с преодолением значительных трудностей. С точки зрения спектральной теории операторов A.M. Седлецким была рассмотрена задача разложения функции из Ь\ [—о, о] в ряд Фурье по с.п.ф. оператора дифференцирования

а

с граничным условием f у(х) <1о(х) = 0. Граничное условие (3) заменой

—а

т = 1/2 — t приводится к виду, рассматриваемому A.M. Седлецким.

А.П. Хромовым7 был изучен оператор (2),(3) при pi (х) = рг (я) == = 0. Для него был получен аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов. Оказалось возможным добавить потенциалы (функции Pj(x), j = 1,2), которые создают значительные трудности при изучении сходимости разложений по с.п.ф.

Цель работы состоит в том, чтобы для функционально-дифференциального оператора (2) с интегральным граничным условием (3), весовая функция которого имеет степенную особенность, доказать теорему равносходимости разложений по с.п.ф. и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получить аналог теоремы Жордана-Дирихле и исследовать суммируемость обобщенных средних Рисса этого оператора.

Методы исследования. Основной метод, применяемый в работе, - это метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты рассматриваемого оператора по расширяющимся контурам в комплексной плоско-

1 Хромое А.П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с нтегральньш граничным условием [Текст| / АЛ. Хромов // Докл. РАЕН. - 2004. - № 4. - С. 80-87.

сти спектрального параметра. При этом широко используются результаты из теории функций вещественной и комплексной переменной, функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1) Сформулирована и доказана теорема равносходимости разложений произвольной суммируемой функции по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность, и разложений в тригонометрический ряд Фурье (внутри отрезка).

2) Получен аналог теоремы Жордана-Дирихле равномерной сходимости (на всем отрезке) разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора со степенной особенностью в граничном условии к разлагаемой функции.

3) Найдены условия на функцию /(х), обеспечивающие равномерную сходимость к ней (на всем отрезке) обобщенных средних Рисса функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применения в спектральной теории несамосопряженных операторов, при рассмотрении граничных условий со степенными особенностями.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), на Воронежских весенних

математических школах "Понтрягинские чтения -- XVI, - XIX" (Воронеж, 2005,2008), на 13й и 14й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 200С, 2008), на апрельских конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов, 2005, 2006, 2007, 2008).

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 7 научных работах (1]-[7|. Среди них 1 статья в научном журнале [6], 2 статьи в сборниках научных трудов [3], [5] и 4 тезиса докладов на международных конференциях [1|, [2], [4], [7]. 6 работ опубликованы без соавторов. В статье [6] результаты каждого автора имеют свой пункт и не перемешиваются, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту. Работа [6] соответствует списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая и вторая главы разделены на три и два параграфа соответственно. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации 117 страниц, из которых 6 страниц занимает список литературы, состоящий из 54 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, обозначаются направления и методы исследования, приводится обзор результатов по исследуемой теме, описывается структура и краткое содержание основных этапов работы.

Первая глава диссертационной работы посвящена рассмотрению резольвенты оператора Ь, порождаемого функционалыю-дифференци-альным выражением (2) и интегральным граничным условием (3).

В параграфе 1.1 нахождение резольвенты оператора L, скалярной функции Яд/ = (L — АЕ)~г f (Е - единичный оператор, Л - комплексный параметр), сводится к решению краевой задачи в пространстве вектор-функций размерности два:

Ви'(х) + Р(х)и(х) = \и(х) + F(x), х € [0,1],

1 (4)

U{u) — § N (т) и (г) dr = О, о

т (ß "Л

где и {х) = (ui {х), U2 (г)) (Т - знак транспонирования), В = I ) ,

V1 -ч

\Pa(l-i) Pi(l-ic) ) = diag (р (г), р (1 — г)). Система (4) есть система Дпрака частного вида.

Лемма 1.1. Если А таково, что R\f существует, то и(х) — = (ui (ас), «2 (а;))Т, где щ (х) = R\f, иг (х) = щ (1 — х), удовлетворяет системе (4). Обратно: если и(х) удовлетворяет (4) и соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то R\f существует и R\f = щ (х), иг (х) = щ (1 — х).

Далее проводится диагонализация матрицы В и преобразование и(х) = Qv(x), приводящее краевую задачу (4) к виду

v'(x) + P(x)v(x) = ADv(x) + F(x), U(Qv) = 0, где P(x) = DQ~1P(x)Q, F(x) = DQ_1F(x), Q = ( 1 7 I , D = diag («, -w),

v V

w = Затем проводится преобразование # (z, A) = Яо(г)+j#i(z),

/ 0 /ц2(х)\

Н0(х) = diag (Лц (т), I122 (z)), Н\(х) = - кодиагональ-

\h21{x) 0 j

ная матрица, hjj (1) = ехр /pjj (t) dtj (j = 1,2), hu{x) - ¿Р1г(х) ■

■ h22(x), h2i(x) = -^P2i(x)hn(x), Pij(x) (i,j = 1,2) - элементы матрицы P{x). Данное преобразование хорошо известно (для дифференциальных уравнений 8 и для систем Дирака э). После преобразования и(з:) = Н (х, А) w(x) краевая задача принимает вид

w'(x) + Px{x)w{х) = XDw{x) + Fx(x), Vx {w) = 0,

где Px(x) = jH'1 {x,X) \h[{x)+P{x)H,(x)} , Fx{x) = H'1 (x,X)F(x), U\(w) = U (QU (x,X)w). Заметим, что элементы матрицы Р\(х) допускают оценку O(j), что важно при исследовании асимптотического поведения решения краевой задачи.

Далее, в рассмотрение вводится вспомогательная краевая задача

z'(x) = XDz{x) + Ф(х), х € [0, lj, Ux (г) = 0, (5)

где 2(i) = Ых),г2(х))г, Ф(х) = (Vl(x),<p2(x)f,Vj(x) € Z^O,1] (j = 1,2). Пусть Л таково, что обратима матрица Д(А) = U\ (Z) := (U\ (Z\), U\ (Z2)), zj (x, Л) (j = 1,2)- столбцы матрицы z (x, Л) = diag (e^1, e_Aun:). Тогда решение (5) задается формулой:

Я\,хФ = j \)^{t)dt-Z{x,\)^~1WUx ^J go(x,t,X)9{t)dtj ,

где g0 (x, t, X) = diag (gt (x, t, X), g2 (x, t, X}), -e(i, при Re Aw > 0

9i (z, t, X) =

e(x,t)eXu^ при Re Aw < 0

6Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. [Текст] / И.М. Рапопорт. - Киев: Изд-во ЛН УССР, 1954.

9Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с переменными пределами интегрирования [Текст] / А.П. Хромов // Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень. - 2006. - Т. 6, 1. - С- 46-55.

ю

e{при IteAw > О

92 (*, t,X) = {

—e{t, при Re Aw < О

е(х, t) = <

1 при í < х

- функция Хевисайда.

О при t > х

В параграфе 1.2 с помощью метода, разработанного А.П. Хромовым и О.И. Амвросовой 10,11, приводится необходимое изучение некоторых интегралов при больших значениях параметра, базирующееся на асимптотике функции типа Миттаг-Леффлера. С опорой на эти исследования, в параграфе 1.3 получаются оценки второго слагаемого в формуле для #1,аФ при ¡А| —> оо. Справедливо утверждение

Лемма 1.24. В области S = S\ U S2 при больших значениях |А| имеют место оценки

l|ñi,A*lli = 0(х(А) ЦФУ, НЛ^дФНоо = o(!WIi),

где JI -J) i и )J - |foo понимаются как нормы в пространстве вектор-функций размерности два L¡ и L^ соответственно,

н( А) =

(1 _ le-*^) при Re Хш > О,

Si (Sí) - область, получающаяся из полуплоскости Re Хш > О (Re Аш < 0) удалением всех нулей функции ao+ai е_Лы+аг (¿o + h eAu> + Ьг е2Лы)

10Лмсросоаа О.И. Асимптотика собственных значений и теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях [Текст] / О.И. Агшросова Сб. "Функциональный анализ". // Ульяновск, 1983. - Вып. 21. - С. 3-11.

и Амвросова О.И. Теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях [Текст|: Автореф. дне. на соиск. учен. степ. капд. фяз.-мат. наук / О.И. Амвросова. -Саратов, 1985. - 13 с.

вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 5г (<52), где ао = Ац(1) (Р(1) - 72^2(0)), Ъ2 = (-1)2(°-1»а0) ах = Ь: = (—1)а_1(1 — у2)к(0)к(1) (1 + ^11(1)^22(1)), а2 - (-1)«^ Ьо = Ли(1) (*2(0)-72*2(1)).

В параграфе 1.3 получено представление для резольвенты Яд/. Теорема 1.1. Резольвента оператора (2), (3) является первой компонентой вектора (¿Н (х, А) Л/дД^д/'д, М\ = (Е + Я\,\Рх)1 ■

Вторая глава посвящена получению теоремы равносходимости разложений произвольной суммируемой функции по с.п.ф. функциональ-но-дифференциалыюго оператора (2) с интегральным граничным условием (3), весовая функция в котором имеет степенную особенность, и разложений в тригонометрический ряд Фурье (внутри отрезка).

В параграфе 2.1 с использованием оценок для Я^дФ проводятся вспомогательные рассуждения и доказывается

Теорема 2.1. Для любой функции ¡(х) £ [0,1] справедливо соотношение

Нш

Г-+ОС

У С}Н (х, Л) (мх Ях, д ^Д (х) - Яг, хЩ1 (х) (х)) й\

|А|=г

Данное соотношение является ключевым моментом при доказательстве теоремы равносходимости.

В параграфе 2.2 в рассмотрение вводится вспомогательная краевая задача с периодическим краевым условием:

г'{х) = ЛОф) + Ф(:г), хв [0,1], [/0 (г) = 2(0)-2(1)= 0, (6)

где г(х) = (21(х),22(х)):г,Ф(2:) = (<р1(а:),(р2(з;))г, <^(х) € ^[0,1] Ц = 1,2). Находится решение задачи (5):

Лемма 2.6. Для всех А, таких что Хи> ^ Ъкij, где i - мнимая единица, j 6 Z, краевая задача (6) однозначно разрешима и ее решение задается формулой

Д2,лФ = J 9о (*, t, А) ф (t) dt-z (х, А) До1 (A) U0 (j g0 (х, t, А) Ф (t) dt j

где До (А) = Uo(Z).

Заметим, что Я2,аФ = (й^ь ). гДе Щ, = (¿о ~ ~

резольвента оператора Loi порожденного у' и периодическим краевым условием у(0) - j/(l) = 0.

Теорема 2.2 (теорема равносходимости). Для любой функции / (а;) £ Li [0,1] и для любого 8 6 (0,1 /2) имеет место соотношение

Шп || Sr (f,x) - ffrM {f,x) Ц^^ = 0,

где Sr(f,x) - частная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора L для собственных значений, попавших в круг |А| < г, ar[u\[fix) ~ частная сумма тригонометрического ряда Фурье по системе экспонент {exp 2mjx}^° х для тех j, для которых 2ir\j\ <r|w|.

В третьей главе доказан аналог теоремы Жордана-Дирихле равномерной сходимости (на всем отрезке) разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора (2) с интегральным граничным условием (3) к разлагаемой функции.

Теорема 3.1. (аналог теоремы Жордана-Дирихле) Пусть

1

функция f(x) е С [0,1] Г) V [0,1] и U {f) = J"р (т) j (т) dr = 0. Тогда

о

выполнено соотношение

Km ||/(i)-5r(/,®) UqOi], = 0,

где Sr(f,x) ~ частная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора L для собственных значений, попавших в круг |А| < г.

В четвертой главе найдены условия на функцию f(x), обеспечивающие равномерную сходимость к ней (на всем отрезке) обобщенных средних Рисса вида (1), где R\f - резольвента оператора L. д (А, г) удовлетворяет следующим условиям: 1) <7 (А, г) непрерывна по А в круге |А| < г и аналитична по А в круге |А| < г при любом г > 0; 2) существует такая константа С > О, что |<? (А, г) | < С при всех г > 0 и |А| < г; 3) существует С > 0, что

4) д (А, г) -+ 1 при г —* оо и фиксированном А.

Для рассуждений, проводимых в этой главе, оценки, полученные ранее оказываются недостаточными. Следуя работам A.M. Седлецко-го 12,13, оценки получаются с помощью другого метода, базирующегося уже не на асимптотике фипкций типа Миттаг-Леффлера, а на применении аппарата функций свертки.

Теорема 4.1. Для функции f (х) £ С [0,1] и удовлетворяющей

граничному условию U (/) — /р(т) / (г) dr — 0 выполняется соотно-

12Седлецкий A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II. [Текст] / A.M. Седлецкий // Современная математика. Фундаментальные направления. - Т. 6, 2003. - 162 с.

13Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации [Текст] / A.M. Седлецкий. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 504 с.

где в = arg Aw.

о

шепие

Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.П. Хромову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 0601-00003.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Луконина A.C. О равносходимости разложений по собственным и присоединённым функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: В ГУ, 2005. -С. 149.

[2] Луконина A.C. Асимптотические оценки для решения одной краевой задачи с интегральным граничным условием {Текст] / A.C. Луконина // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XVI". - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 101-102.

[3] Луконина A.C. О сходимости разложений по собственным и присоединённым функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина Математика. Механика: Сб. науч. тр. // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. -Вып. 7. - С. 66-69.

[4] Луконина A.C. О суммируемости по Риссу спектральных разложений дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. - Саратов: "Научная книга", 2006. - С. 109.

[5] Луконина A.C. О суммируемости по Риссу спектральных разложений одного функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина Математика. Механика: Сб. науч. тр. // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. - Вып. 8. -С. 69-72.

[6] Бурлуцкая М.Ш. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией [Текст) / М.Ш. Бурлуцкая, В.П. Курдюмов, A.C. Луконина, А.П. Хромов // Доклады Академии наук. - 2007. - Т. 414, № 4. -С. 443-446.

¡7] Луконина A.C. Об асимптотике собственных значений функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понт-рягинские чтения - XIX". - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 131-132.

Подписано в печать 12.01.2009 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать RISO. Объем 1,0 печ. л. Тираж 120 экз. Заказ № 001.

Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство №3117 410600, Саратов, ул. Московская, д.152, офис 19, тел. 26-18-19, 51-16-28

Введение.

Глава 1. Резольвента функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием.

1.1. Преобразование краевой задачи в пространстве вектор-функций размерности два.

1.2. Исследование некоторых интегралов.

1.3. Резольвента оператора L.

Глава 2. Теорема равносходимости для функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием.

2.1. Вспомогательные предложения.

2.2. Равносходимость разложений поп.ф. оператора L и в тригонометрический ряд Фурье.

Глава 3. Аналог теоремы Жордана-Дирихле для разложений поп.ф. оператора L.

Глава 4. Суммируемость по Риссу разложений поп.ф. оператора L

Актуальность темы. Исторические сведения. Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов, т.е. исследованию спектра и разложению заданной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) оператора. Особенно возрос интерес к этой области в последние десятилетия в связи с развитием квантовой механики, при решении многих задач которой спектральный анализ является основным математическим аппаратом. Спектральный анализ самосопряженных и несамосопряженных операторов включает в себя задачи нахождения собственных значений и с.п.ф., разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., изучения полноты и базисности систем с.п.ф., исследования равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций и мн.др. Интерес к спектральной теории велик, и в ее развитие в последние десятилетия достигнуты значительные успехи.

Настоящая работа посвящена исследованию равносходимости разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность, и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получению аналога теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов для разложений по с.п.ф. данного оператора, а также вопросу суммируемости по Риссу спектральных разложений этого оператора.

Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я.Д. Тамаркина [4, 5], М. Стоуна [6] для дифференциального оператора произвольного порядка га—2

1[у] = у{п) + г е [0,1], рк(х) Е С [0,1], к = 0, (п — 2), (1) к=О с произвольными краевыми условиями п-1

Uj(y) = °) + W*}(!)] = 0. з = (2) к=О удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа [7, с. 66-67]. Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в U3(y) (после приведения их к нормированному виду [7, с. 65-66]).

Оператор (1), (2) при произвольном п впервые был исследован Дж. Биркгофом в 1908 году [8, 9]. При выполнении условий регулярности им были получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций и было доказано, что ряд Фурье по с.п.ф. всякой функции fix) ограниченной вариации сходится к {/ (а; -+- 0) + / (х — 0)} /2 в каждой точке х G (0,1), а в точках 0 и 1 он сходится к а/ (0 + 0) + bf (1 — 0), где а и 6 определяются граничными условиями. Я.Д. Тамар-кин [4, 5] для таких операторов нашел обобщение теоремы равносходимости разложений по с.п.ф. и в тригонометрический ряд Фурье, доказанной первоначально для уравнений второго порядка В.А. Стекловым [1]. Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина*.

Теорема. Для оператора (1) с регулярными краевыми условиями (2) существует такая последовательность номеров {h}, что для всякой f(x) 6 L[0,1] и люгде Sk(f) и &k{f) ~ частные суммы рядов Фурье функции f(x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов). Условия регулярности снять, вообще говоря, нельзя.

Результаты Дж. Биркгофа и Я.Д. Тамаркина были получены методом Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В.А. Ильин разработал новый подход получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций (основополагающие статьи [10]- [13]).

Если краевые условие регулярны, то М. Стоун показал [6], что имеет место равносуммируемость на любом отрезке [а, Ь] С (0,1) средних Рисса порядка ( (£ > 0) где R\ - резольвента оператора (1),(2), а контур |А| = г не проходит через собственные значения данного оператора, и аналогичных средних для обычного тригонометрического ряда Фурье произвольной функции / Е L [0,1]. Полное решение вопроса о равно

В [6] М. Стоуном получен схожий результат при Рк(х) G L[0,1]. бого 6 в (0,1/2) lim ||Sfcl(/) - сгг(/)||с[5дг] = 0,

Г—too

3)

4) л|=г мерной сходимости на всем отрезке [0,1] средних Рисса для спектральных разложений оператора (1),(2) дано в [14], [15], причем в [15] исследуется и сходимость средних в про-странствае Ст [1, 0] (т = 1,2,.).

Далее, в [16] А.П. Хромовым установлена равносходимость на каждом [а, Ъ] С С (0,1) средних Рисса для спектральных разложений оператора (1),(2) и разложений в тригонометрический ряд Фурье произвольной функции из L [0,1] при достаточно больших £ и в том случае, когда условия регулярности не выполняются, но ядро G(x,t,X) резольвенты при больших |А| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. Наконец, в работах [17], [18] В.В. Тихомировым данный результат перенесен на случай дифференциальных операторов, для которых основные требования не связаны с краевыми условиями, а формулируются в терминах ограничений на спектр и систему с.п.ф. такого же вида, что и в известных исследованиях В.А. Ильина по равносходимости спектральных разложений (в [17] рассматривается и случай полиномиального пучка).

А.П. Гуревич и А.П. Хромов при исследовании суммируемости по Риссу разложений по с.п.ф. интегральных операторов (см., например, [19]—[21]) вводили в рассмотрение обобщенные средние Рисса следующего вида где Ял/ ~ резольвента рассматриваемого оператора, г такие, что на окружности |А| = г нет собственных значений рассматриваемого оператора, д (А, г) удовлетворяет следующим условиям:

1) д(Х,г) непрерывна по А в круге |А| < г и аналитична по А в круге |А| < г при любом г > 0;

2) существует такая константа С > 0, что \д (А, г)\ < С при всех г > 0 и |А| < г;

3) существуют положительные Ci> h, такие, что где п - порядок обратного к рассматриваемому интегральному оператору интегро-дифференциального оператора;

5) а|=г о (мс) . И < h при п = 4q,

О (|<£> — 7г|с) , \<р — 7г| < h при п — Aq + 2, д{гег*,г) =

0{ 1<Р-|1С)> |¥>-!|<Лприп = 2д + 1, Ц <Лпри71 = 2дг + 1,

4) д (А, г) —> 1 при г —> оо и фиксированном Л.

В 1972 году в работе [22] В.А. Молоденков, А.П. Хромов рассмотрели дифференциальный оператор с краевым условием

L0y(x) = iy'(ж), X G [ 7Г, 7г] (б)

7Г / г/(ж) = 0, (7) где сг(х) - функция ограниченной вариации на отрезке [—7г, 7г] и имеет скачки в точках —7г и 7Г, и для ряда Фурье по с.п.ф. оператора (6), (7) получили аналог известной теоремы Жордана-Дирихле равномерной сходимости обычных тригонометрических рядов [23], а именно

Теорема. Всякая функция f(x) ограниченной вариации из С [—тг, 7г], удовлетворяющая условию (7) , есть равномерный предел на всем отрезке [—тг, 7г] некоторой последовательности частных сумм ряда Фурье.

В 1975 году в статье [24] A.M. Седлецкий рассмотрел разложения функции из L\ [—7г, 7г] в ряд Фурье по системе

Вл = {{Л^}™"0-1}~1, (8) где Л = {Ап}^=1 - занумерованная в порядке неубывания модулей последовательность

7Г корней целой функции L(z) = f elztda(t), тп - кратность Хп. Порождающая мера dcr(t)

7Г имеет вид k(t) dt

М*) = / La, 0 < a < 1, var k(t) < oo, k(тг-0)ф0, k (-тг + 0) ф 0. (9)

Ранее в литературе этот случай не рассматривался, его исследование связано с преодолением значительных трудностей. Для таких разложений была доказана равномерная внутри (—тг, тг) равносходимость и равносуммируемость с рядом Фурье по тригонометрической системе. С точки зрения спектральной теории операторов A.M. Седлецким была рассмотрена задача разложения функции из L\ [—7Г, 7г] в ряд Фурье по с.п.ф. оператора дифференцирования с граничным условием (7), в котором мера da(t) определяется (9).

Далее, A.M. Седлецкий исследовал вопросы сходимости и суммируемости разложений по системе экспонент вида (8) при k(t) dt da{t) = .|ча> 0 < а < 1, var k(t) < оо, к (а - 0) ф 0, к (-а + 0) ф 0 (а — |с|) см., например, [25], [26]) и при k(t) dt da(t) = а 2vtt, 0 < а < 1, var < оо, к (а - 0) ф 0, к (-а + 0) ф 0 (10) (а t ) см., например, [27], [28]).

В данной работе рассматривается оператор L, порожденный функциональнодифференциальным выражением l(y)=/3y'(x)+y'(l-x)+pl{x)y(x)+p2(x)y(l-x), же [0,1], (11) где (З2 ф 1, pj(x) G С1 [0,1] (j = 1,2), и интегральным граничным условием 1

U (у) = J Pit) y(i) dt = 0, p(i) = (12) о где 0 < а < 1, fc(t) 6 С[0,1] П V[0,1] и удовлетворяет к2(0) - 72^2(1)) (/с2(1) - 72&2(0)) ^0, 7 = Р ~ VP^l. (13)

Оператор (11) с общим краевым условием U(y) = 0 относится к классу функционально-дифференциальных операторов с инволюцией tD(x) = 1 — х, которая порождает оператор отражения Sy(x) = у( 1 — ж). Операторы, содержащие оператор отражения, имеют давнюю историю и интенсивно исследуются в настоящее время [29]—[34]. Оператор (11) возникает, в частности, и при изучении разложений по с.п.ф. интегрального оператора 1

Af = J t) f(t) dt, ядро A(x, t) которого имеет разрывы на линиях t = xut=l — х о см. [33]—[34]). Главная часть 1о(у) оператора (11), т.е. 1(у) при р\{х) = ръ{х) = 0, обладает тем свойством, что Iq (lo(y)) = (Р2 — 1) у"(х). Таким образом, оператор (11) выступает как обобщение корня квадратного из оператора у"{х). Отметим еще, что оператор (11) приводится к системк Дирака частного вида (см. ниже).

Граничное условие (12) заменой т = 1/2 — t приводится к виду (10):

1 1/2 1/2 [ № [ к( 1/2 - г) [ к( 1/2 - г)

J ta{1 t)a - J (1/2 r)- (1/2 + T)« - J ((1/2)2 — r2)" ~ 0 -1/2 -1/2 V ' рассматриваемому A.M. Седлецким Для оператора дифференцирования A.M. Седлецким [35, 36] были получены теорема равносходимости и аналог теоремы Жордана

Дирихле, а также установлена суммируемость по Риссу. А.П. Хромовым в работе [37]

Ьдесь и в дальнейшем запись k(t) е С[0,1] П V[0,1] означает, что функция k(t) непрерывна на [0,1] и является на этом отрезке функцией ограниченной вариации был изучен оператор (11),(12) при pi (х) = (х) = 0. Для него был получен аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов. Оказалось возможным добавить потенциалы (функции Pj(x), j = 1,2), которые создают значительные трудности в изучении сходимости разложений по с.п.ф.

Цель работы. Цель данной диссертационной работы состоит в том, чтобы для оператора (11),(12) доказать теорему равносходимости разложений по с.п.ф. и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получить аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов и исследовать суммируемость по Риссу спектральных разложений.

Методы исследования. Основной метод, применяемый в работе, - это метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты рассматриваемого оператора по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. При этом широко используются результаты из теории функций вещественной и комплексной переменной, функционального анализа.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVI" (Воронеж, 2005), на 13 и 14 Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2006 и 2008), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XIX" (Воронеж, 2008), на конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов, 2005, 2006, 2007, 2008).

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 7 научных работах [38]-[44]. Среди них 1 статья в научном журнале [43], 2 статьи в сборниках научных трудов [40, 42] и 4 тезиса докладов на международных конференциях [38, 39, 41, 44]. 6 работ опубликованы без соавторов. В статье [43] результаты каждого автора имеют свой пункт и не перемешиваются, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая и вторая главы разделены на три и два параграфа соответственно. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и

1. Hobson Е. W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions Текст] / E.W. Hobson // Proc. London Math. Soc. 2. 1908. - Vol. 8. - P. 349-395.

2. Haar A.T. Theorie des ortogonalen Funktionen systeme Текст] / A.Т. Haar // Math. Ann. 1910. - Vol. 69. - P. 331-371; - 1911. - Vol. 71. - P. 38-53.

3. Tamarkin I.D. Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires ordinaires et sur la generalization de la serie de Fourier Текст] / I.D. Tamarkin // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1912. V. 34. - P. 345-382.

4. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Текст] / Я.Д. Тамаркин. Петроград, 1917.

5. Stone М.Н. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. - Vol.28, № 4. - P. 695-761.

6. Наймарк A.M. Линейные дифференциальные операторы Текст] / A.M. Наймарк. -М.: издательство "Наука", главная редакция физико-математической литературы, 1969. 528 с.

7. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter Текст] / G.D. Birkhoff // Trans Amer. Math. Soc., 1908. V. 9. - № 2. - P. 219-231.

8. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary differential equations Текст] / G.D. Birkhoff // Trans Amer. Math. Soc., 1908. V. 9. - № 4. - P. 373-397.

9. Ильин В.А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье Текст. / В.А. Ильин // Доклады АН СССР. 1975. - Т. 223, № 3. - С. 548-551.

10. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I Текст] / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16, № 5. - С. 771-794.

11. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II Текст] / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16, № 6. - С. 980-1009.

12. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент Текст] / В.А. Ильин // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 273, № 4. - С. 789-793.

13. Freiling G. On uniform and I/p-convergence of eigenfunction expansions for indefinite eigenvalue problem Текст] / G. Freiling, F.-J. Kaufman // Integral Equations Operator Theoty. 1990. - V. 13, № 2. - P. 193-215.

14. Kaufman F.-J. Derived Birkhoff-series associated with N(Y) = XP(Y) Текст] / F.-J. Kaufman // Results in Math. 1989. - V. 15. - P. 255-290.

15. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов в конечном интервале Текст] / А.П. Хромов // ДАН СССР. 1962. - Т. 146, № 6. - С. 1294-1297.

16. Тихомиров В.В. О средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора Текст] / В.В. Тихомиров // Матем. сб. 1977. - Т. 102, № 1. - С. 33-55.

17. Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу разложений спектральных разложений одного класса интегральных операторов Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Дифферент уравнения. 2001. - Т. 37, № 6. - С. 809-814.

18. Гуревич А. П. О суммируемости по Риссу разложений разложений по собственным функциям интегральных операторов в пространстве Са 0,1] [Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // ДАН. 2002. - Т. 386, № 5. - С. 589-592.

19. Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Известия ВУЗов. Сер. Математика. 2003. - № 2(489). - С. 24-35.

20. Бари Н.К. Тригонометрические ряды Текст] / Н.К. Бари. М.: Физматгиз, 1961.

21. Седлецкий A.M. О равносходимости и равносумммируемости негармонических разложений Фурье с обычными тригонометрическими рядами Текст] /A.M. Седлецкий // Матем. заметки. 1975. - Т. 18, № 1. - С. 9-17.

22. Седлецкий A.M. Распространение сходимости квазиполиномов Текст] / A.M. Седлецкий // Известия АН СССР. Серия Математическая. 1980. - Т. 44, № 5. -С. 1131-1149.

23. Седлецкий A.M. О сходимости негармонических рядов Фурье по системам экспонент, косинусов и синусов Текст] / A.M. Седлецкий // ДАН СССР. 1988. - Т. 301, № 5. - С. 1053-1056.

24. Седлецкий A.M. О суммируемости и сходимости негармонических рядов Фурье Текст] / A.M. Седлецкий // Известия АН. Серия Математическая. 2000. - Т. 64, № 3. - С. 151-168.

25. Седлецкий A.M. Базисы из экспонент в пространствах LP (—7Г, 7г) Текст] / A.M. Седлецкий // Матем. заметки. 2002. - Т. 72. - Вып. 3. - С. 418-432.

26. Babbage Ch. An essay towards the calculus of functions Текст] / Ch. Babbage // Philosophical trans, of the Royal Soc. of London. 1816. - V. 11. - P. 179-256.

27. Dunkl Ch. Differential-Difference Operators Assosiated to Reflection Groups Текст] / // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. - V. 311, № 1. - P. 167-183.

28. Андреев А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом Текст] / А.А. Андреев // Дифференц. уравн. 2004. - Т. 40, № 5. - С. 1126-1128.

29. Платонов С. С. Разложения по собственным функциям для некоторых функционально-дифференциальных операторов Текст] / С.С. Платонов // Труды Петрозаводс. гос. ун-та. Сер. матем. 2004. - Вып. 11. - С. 15-34.

30. Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст] / А.П. Хромов // Матем. заметки. 1998. - Т. 64, № 6. - С. 932942.

31. Корпев В. В О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях Текст] / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Матем. сб. 2001. - Т. 192, № 10. - С. 33-50.

32. Седлецкий A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II. Текст] / A.M. Седлецкий // Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 6, 2003. - 162 с.

33. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации Текст] / A.M. Седлецкий. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 504 с.

34. Хромов А.П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с нтегральным граничным условием Текст] / А.П. Хромов // Докл. РАЕН. 2004. - № 4. - С. 80-87.

35. Бурлуцкая М.Ш. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией Текст] / М.Ш. Бурлуцкая, В.П. Курдюмов, А.С. Луконина , А.П. Хромов // Докл. Академии наук. 2007. - Т. 414, № 4. - С. 443-446.

36. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Текст] / И.М. Рапопорт. Киев: Изд-во АН УССР, 1954.

37. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям интегральных операторов с переменными пределами интегрирования Текст] / А.П. Хромов Математика. Механика: Сб. науч. тр. // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. - С. 130-133.

38. Голъдберг А.А. Распределение значений мероморфных функций Текст] / А.А. Гольдберг, И.В. Островский. М.: издательство "Наука", главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 592 с.

39. Джрбашян ММ. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной плоскости Текст] / М.М. Джрбашян. М.: издательство "Наука", главная редакция физико-математической литературы, 1966. - 672 с.

40. Дьяченко М.И. Мера и интеграл Текст] / М.И. Дьяченко, П.Л. Ульянов. М.: Факториал, 1998. - 160 с.

41. Мацаев В.И. Об условиях существования интеграла Стилтьеса Текст] / В.И. Ма-цаев, М.З. Соломяк // Матем. сб. 1972. - Т. 88 (130). - № 4(8). - С. 522-535.

42. Зигмунд А. Тригонометрические ряды Текст] / А. Зигмунд. Том I. - М.: Мир, 1965.

43. Duren P.L. Theory of Нр-spaces Текст] / P.L. Duren. N.Y.: Academic Press, 1970.