Разложение по собственным функциям дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов на геометрических графах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Бурлуцкая Мария Шаукатовна

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФАХ

01 01 02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2007

003068749

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Хромов Август Петрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Задорожний Владимир Григорьевич

Защита состоится 29 мая 2007 г в 15 40 на заседании диссертационного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212 038 05, доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович

Ведущая организация Самарский государственный университет

профессор

Гликлих Ю Е

Общая характеристика работы

Актуальность темы В последние 25-30 лет получила интенсивное развитие теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрических графах (пространственных сетях) Работы зарубежных математиков (J von Below, G Lumer, S Nicaise и др ), в основном, посвящены обоснованию разрешимости краевых задач на графах, исследованию структуры спектра этих задач, асимптотики спектра, получению оценок резольвенты В настоящее время в нашей стране наиболее активные исследования проводятся творческой группой Ю В Покорного (основные результаты которой отражены в монографии1) исследованы спектральные и качественные свойства решений краевых задач, построена теория неосцилляции, изучена функция Грина, активно исследуются волновые процессы на сетях

В настоящей диссертационной работе рассматриваются задачи о разложении произвольных функций в ряд по собственным и присоединенным функциям (с п ф ) дифференциальных операторов и функционально-дифференциальных операторов (ФДО) с инволюцией, заданных на графах

Исследование подобных вопросов для различных классов (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных) операторов имеет важное значение во многих областях (например, в граничных задачах математической физики, квантовой механике и т п ) В том числе, большое внимание уделяется вопросам равносходимости разложений по с п ф и разложений по известным системам функций Начиная от работ В А Стеклова, Е Гобсояа, А Хаара для оператора Штурма-Лиувилля, и на базе фундаментальных исследований Г Биркгофа об асимптотике решений дифференциальных уравнений, проблемы равносходимости активно разрабатывались (Я Д Тамар-кин, М Н Стоун), разрабатываются и в настоящее время Большой вклад в развитие этих вопросов внесли отечественные математики В А Ильин, А М Седлецкий, А П Хромов, А А Шкаликов, и др В данной работе также основное внимание уделяется вопросам равносходимости Кроме того, в случае оператора дифференцирования исследуются условия равномерной сходимо-

1 Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю В Покорный (и др ] - М Фиэматлит, 2004 - 272 с

сти ряда Фурье к функции f(x) (аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов)

Наряду с традиционными операторами дифференцирования и Штурма-Лиувилля, заданными на графах, рассматриваются функционально-дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией вида

Ку) = ау'(х) + ßy'{ 1 - х) + pi{x)y(x) +р2(х)у{ 1 - х) (1)

Изучение таких операторов представляет значительный интерес Их исследование имеет давнюю историю (Babbage, 1816 г) и активно проводится в настоящее время (А А Андреев, Ch G Dankl, С С Платонов и др ) Наиболее полно эти операторы, возникающие в различных спектральных задачах, изучены А П Хромовым и его учениками В частности, такие операторы возникают при изучении разложений по с п ф интегральных операторов, ядра которых имеют разрывы на диагоналях Главная часть lo(y) = ау'(х) + ßy'( 1 — х) оператора (1) обладает тем свойством, что 1^{у) = (а2 — ß2)y"(x) Таким образом, оператор (1) выступает как обобщение квадратного корня из оператора у"{х) Добавление потенциалов Рк(х) значительно усложняет задачу Другое достоинство оператора I в том, что он сводится к оператору Дирака Помимо вопросов равносходимости для ФДО на графах, в работе также исследуются вопросы о сходимости для таких операторов средних Рисса вида2

/ 9(\r)RxfdK (2)

|А|=г

которые обобщают исследованные М Стоуном средние по Риссу спектральных разложений вида

|А|=г

Из работ, наиболее близких к вопросам, рассматриваемым в диссертации, можно отметить работы J von Below и работы воронежских математиков М Г Завгороднего, В В Провоторова. Их исследования, в основном, связаны

2Гуревнч А П , Хромов А П Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов//Днфференц уравнения -2001 - Т 37 N*6 - С 809-814

с оператором Штурма-Лиувилля на графе получены результаты о разложении истокопредставимых функций в ряд по корневым функциям

Цель работы Исследование вопросов о разложении произвольной функции в ряд по с п ф дифференциальных операторов и функционально-дифференциальных операторов различных классов, заданных на графах получение теоремы равносходимости и аналога теоремы Жордана-Дирихле для оператора дифференцирования, получение теоремы равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля, получение теорем равносходимости и исследование вопросов суммируемости по Риссу для некоторых классов функционально-дифференциальных операторов первого порядка с инволюцией

Методика исследования. Основной метод, применяемый в работе — метод контурного интегрирования резольвенты оператора по расширяющимся контурам комплексной плоскости При этом широко используются результаты из теории функций вещественной и комплексной переменной, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты диссертации являются новыми

1 Для оператора дифференцирования, действующего в пространстве непрерывных на геометрическом графе функций, доказано, что для регулярности краевых условий необходимо, чтобы граф имел структуру цикла В случае графа-цикла установлена теорема равносходимости разложений по с п ф с тригонометрическим рядом Фурье

2 Исследован вопрос о структуре графа, на котором может быть рассмотрен оператор дифференцирования, и на таком графе получен аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов

3 Установлена теорема равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на графе-пучке

4 Доказана теорема равносходимости для ФДО первого порядка с инволюцией на простейшем графе из двух ребер, одно из которых образует петлю

5 Доказана теорема равносходимости для ФДО первого порядка с инволюцией на графе-цикле из трех ребер, причем на одном из ребер рассматри-

вается оператор дифференцирования Найдено необходимое и достаточное условие на функцию f(x), обеспечивающее равномерную сходимость к ней на всем графе обобщенных средних Рисса вида (2) этого класса операторов Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений на сетеподобных структурах, в спектральной теории операторов

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе (2006 г), Воронежской зимней математической школе (2007 г), на научной сессии Воронежского госуниверситета (2006, 2007), на научном семинаре "Качественная теория краевых задач" под руководством Ю В Покорного

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах Из совместных работ [2], [7], [8] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, часть из которых делится на подразделы, и списка цитируемой литературы из 55 наименований Общий объем диссертации — 146 страниц

Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения, дается обзор результатов по главам

Первая глава посвящена оператору дифференцирования (Ьу)(х) = у'(х), заданному на геометрическом графе Г, отвечающему краевым условиям, включающим условия непрерывности у(х) во внутренних вершинах графа

В § 1 1 вводятся необходимые в работе понятия и обозначения Используя векторный подход, порождаемое оператором Ь дифференциальное уравнение Ьу = Ху + f сводится к краевой задаче в пространстве вектор-функций

Краткое содержание работы

у' = А Иу + Я/, у = (уиу2, , уп)Т, Щу) = РоУ(0) + Р1У(1) = 0,

(3)

(4)

где f(x) = (fi(x), , /„(х))т (T — знак транспонирования), п — количество ребер графа, D = diag(di, d2, , dn), dk > 0 — коэффициенты, характеризующие длину ребер графа, Рц, Р\ — квадратные (п х п) матрицы коэффициентов в краевых условиях Сам оператор L принимает вид

Ly = D~ V, U{y)= 0, у=(уи ,Уп)т

Здесь же доказывается, что для регулярности краевых условий (в нашем случае условие det Po det Р\ ф 0) необходимо, чтобы граф имел структуру цикла

В § 1 2 рассматривается оператор дифференцирования на графе-цикле из п ребер (случай регулярных по Биркгофу краевых условий) Для резольвенты R\ = (L — \Е)~1 оператора L строится краевая задача (3)-(4), решение которой у{х) — (R\f){x) выписывается в явном виде Для получения теоремы равносходимости в рассмотрение вводится оператор Lq Loy — Ug(y) = y(0) — 2/(1) = 0, резольвента которого имеет вид, аналогичный R\ Удалением из комплексной плоскости нулей некоторых аналитических функций вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса ö0 построена область Ss0, в которой получены необходимые оценки для у = R\f и у = R°f Используя эти оценки, с помощью метода контурного интегрирования, основанного на соотношении ST(f,x) = — ^ J (R\f )(x) d\,

|A|=r

где Sr(f, сс) — частичная сумма ряда Фурье функции / по с п ф оператора L (включающая слагаемые, отвечающие собственным значениям А к, для которых |Afc| < г), доказана

Теорема 1.3 (теорема равносходимости) Для любой функции f(x) с компонентами из L[0,1] и любого S 6 (0,1/2) имеем

hm ||5Г(/, х) - ВД, я)Ц^^ = 0, (5)

где Hr(f,x) = (<rrdl(/i,a;), , ardn(fn, х))Т, (тГ]{/3,х) частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции fj(x), включающая слагаемые, для которых ¡2тг&| < г}

§ 1 3 посвящен оператору дифференцирования, заданному на графе произвольной структуры, когда краевые условия оказываются нерегулярными, и возникают трудности, связанные с экспоненциальным ростом резольвенты при больших значениях спектрального параметра Получены достаточные условия сходимости ряда Фурье к функции /, которые являются аналогом известной теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов В п 13 1 приводится новое доказательство этой теоремы с использованием метода контурного интеграла

Далее исследуется случай простейшего графа из двух ребер, одно из которых образует петлю (п 13 2) На таком графе оператор Ь принимает вид

Доказано, что для любой функции /(х) = {^{х), /г(а;))т частичная сумма Зг(/, х) не зависит от функции /г(ж) Поэтому за счет ее выбора можно добиться ограниченности резольвенты, что приводит к следующему результату

Теорема 1 6 Пусть /г(х) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на отрезке [0,1] и= Л(1), а/2(г) = Л(<1х-з), гдехе ^сТ1, О + ^сГ1], 3 = 1,Я0 Тогда функция /(х) = (Л(ж),/г(х))Т разлагается в равномерно сходящийся на всем отрезке [0,1] ряд по собственным функциям оператора Ь

Наконец, в п 13 3 полученный результат обобщается на случай произвольного графа из N ребер Сначала обосновывается, что для корректной постановки краевой задачи для оператора дифференцирования необходимо, чтобы граф содержал один цикл (причем единственный)

Пусть Ь — оператор дифференцирования Ьу = 0~1у\ 17(у) = 0 (ориентация на Г вводится следующим образом ребра, входящие в цикл, ориентируем в круговом направлении от одной из вершин (например, по часовой стрелке), все остальные ребра ориентируются в направлении "от цикла")

Ьу = 01у', у = (уиу2)т, 1/1(0) = У1(1) = 2/2(0)

Теорема 1.7. Если функция /(х) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на цикле, то f(x) разлагается в равномерно сходящийся на цикле ряд по собственным и присоединенным функциям оператора Ь

Теорема 1.8 (аналог теоремы }Кордана-Дирихле) Пусть Г — подграф Г, Г = Г1 иГг, где 1\ — цикл, Г 2 — цепочка последовательно соединенных ребер графа, выходящих из какой-либо вершины цикла Если 1) функция /(ж) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на Г1, 2) при скаляриза-ции соответствующей Г векторной краевой задачи функция /(х) продолжается с Г1 на Гг также как в теореме 1 6, то /(г) разлагается в равномерно сходящийся на Г ряд по собственным и присоединенным функциям оператора Ь

Здесь при доказательство используется скалярный подход, когда векторная задача сводится к скалярной путем введения новой неизвестной функции, значения которой определяются значениями у\{х), , уп{х) При этом цикл "вытягивается" в отрезок с замкнутыми концами (те в "петлю"), а цепочка ребер — в одно ребро Таким образом, задача сводится к задаче, рассмотренной в п 1 3 2

Во второй главе исследуется вопрос о равносходимости разложений произвольной функции в ряд по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля, заданного на геометрическом графе Г, и в тригонометрический ряд Для упрощения выкладок в качестве Г рассматривается граф, состоящий из трех ребер, связанных одной общей вершиной (граф-пучок)

В пространстве функций, непрерывных на Г и дважды дифференцируемых внутри каждого ребра, рассматривается оператор Штурма-Лиувилля у"(х) + д(а~)у(х), хеГ, отвечающий условиям Дирихле в граничных вершинах и условию трансмиссии во внутренней вершине Предполагаем, что д(х) суммируема на Г В § 2 1 строится соответствующая этому оператору краевая задача в пространстве вектор-функций

у" + д(®)Яу = ХОу + ИНх), У = {УъУ2,Уз)Т, х € [0,1], (6) иМ = Ргу( 0) + Р2у'(0) = 0, и2(у) = Оу{ 1) = 0, (7)

где f{x) = (h(x)J2(x)J3(x))T, D = diag «d22,d32),

q{x) = diag(gi(x),g2(x),g3(x)), Pi, P2, Q — матрицы из коэффициентов в краевых условиях Рк = (р£)^=1> р3п = рг21 = -р^ = ~v\3 = 1- Р31 = ^о, p|j = atj, 3 = 1, 2,3, остальные = О, Q = Е (Е — единичная матрица) Пусть L — оператор, порожденный задачей (6)-(7)

L Ly(x) = D~ly"{x) + q(x)y{x),

Uk(y) = 0, 1,2 Изучение резольвенты оператора L осложняется наличием потенциала — функции q(x) Поэтому ее асимптотическое поведение сравнивается с поведением резольвенты более простого оператора

L0 L0y(x) = D-У (г), ВД = 0, А = 1,2, что позволяет установить равносходимость разложений по с п ф операторов L и Lo Вп 212 построена формула для у = Pa/j ГДе -^л — резольвента оператора Lo Далее проводится оценка элементов R°xf При этом в явном виде выписываются условия регулярности по Биркгофу для данной задачи a\d\ + + 03^3 ф 0 Удалением из комплексной плоскости нулей некоторого квазиполинома вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса 6о образуется область Ss0, в которой справедливы оценки ЮИс[о,ц = ОМН/Нь ||Щс[о,1] = 0{р~2), для любой функции f{x) с компонентами из L[0,1] и функции xMi компоненты которой есть характеристические функции отрезков

В § 2 2 устанавливается соотношение между резольвентами R\ и Р®, которое позволяет доказать, что Рд есть интегральный оператор с ядром, пред-ставимым в виде равномерно сходящегося ряда, оценка элементов которого приводит к следующему результату

Теорема 2.3. Для любой функции f(x) = (fi{x),f2(x),fz{x))T с компонентами из L[0,1]

где ST{f,x), S®(f,x) — частичные суммы рядов Фурье функции / по с п ф

операторов L uLq соответственно, || ||c[o,i] ~ норма в пространстве непрерывных на [0,1] вектор-фупщий размерности 3

В § 2 3 вводится дифференциальный оператор

Ъ0 Loy(x) = D~ly"(x), у = (уиу2,уз)т, х € [0,1],

им = у{0) - у(1) = 0, и2{у) = уЩ -1/(1) = о,

с помощью оценок и свойств резольвенты которого устанавливается равносходимость разложений по с п ф оператора Lo и тригонометрического ряда Фурье на отрезке [5,1 — <5] С [0,1] Согласно теореме 2 3 равносходимость имеет место и для оператора L, а именно, справедлив следующий результат

Теорема 2.5 (теорема равносходимости). Для любой функции f(x) — (fi{x), /2(2), /з(х))т с компонентами из L[0,1] и любого 5 £ (0,1/2)

Jim ||ЗД*) - Er(/,x) Hc^j = 0,

где £r{f,x) =

Третья глава посвящена функционально-дифференциальным операторам с инволюцией вида (1)

В § 3 1 рассматривается случай простейшего графа Г из двух ребер, одно из которых образует петлю В соответствии с векторным подходом реализацией ФДО на Г является следующий оператор L, действующий в пространстве вектор-функций

Ly = (h(yi),l2{V2)f, У = {УиУ2)Т, й(0)=1/1(1) = 1й(0),

где 1к{Ук) = аку'к{х) + ßky'k{\~x) + рк(х)ук(х) + рк(х)ук(1-х), х 6 [0,1],

а1 ßh Pij(x) е С1^! l]i а краевые условия в (8) — это условия непрерывности у(х) во внутреннем узле Г

Как уже отмечалось, оператор L выступает как обобщение квадратного корня из оператора у"{х) Одно из его достоинств в том, что краевые условия являются регулярными по Биркгофу, в то время как для оператора чистого дифференцирования у'(х) на таком графе они нерегулярны

В п 3 1 1 для построения резольвенты оператора L вводится вспомогательная задача

Qz'(x) + P{x)z{x) = \z(x) + т(х), (9)

M0z( 0) + MlZ{ 1) = 0, (10)

где Q = diag(Qb Q2), P(x) = diag(Pj(a:), P2(x)), Qk = (ak ркф = ( PklW Pk2^

\ßk -ak/' \Pia( 1-х) ры(1-х)

тп{х) = (■m1(x),Tn2{x),Tns(x),Tni(x))T¡ mi(x) = fi(x), m2(x) = /i( 1 - z), m3(x) = /2(г), m4(x) = /2( 1 - s), Mk = (M,X=i (A = 0,1), Aft = M3° = -Mfa = —M33 = 1, M\i = ÍW42 = -Mj^ = = 1, остальные Mk = 0

Устанавливается, что если z(x) = (zi(x),z2(x), 23(2:), Z4(x))T удовлетворяет (9)—(10), и соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение, то резольвента R\ оператора L существует, и (.R\f)(x) = {уг{х),у2{х))т, где уг{х) = zi(x), у2{х) = z3(x)

В п 3 1 2 проводится L-диагонализация системы (9) Сначала с помощью

(1 ЬЛ

преобразования z{x, А) = Ви(х,Х), где В — diag(Bi, В2), Вк = I I,

\Ьк 1/

h = ßkl [гл/Зк + ak], dk = ß\ — a\, задача (9)-(10) сводится к диагональному виду, далее используя преобразование и{х) = Н(х, X)v(x), где Н(х, А) = Н0(х) + Х^Н^х), к виду

v'{x) + Р{х, X)v(x) = XDv(x) + m(x, А), (11)

MOAv(0) + Mnv(l) = 0 (12)

Здесь Р(х, X) = Х~1Л~1(х, Х)[Щ(х) + Р{х)Нг(х)},

Р(х) = diag (Рг{х), ?2{х)), Рк{х) = B^1Qj¡1Pjt{x)Bk, D = diag(I>i, ДО, Dk = diag (г/л/4, -г/у/Щ,

тп(х,Х) = H~1(x,X)m(x), т{х) = diag^f^Qj"1, B¡lQ21)m(x),

Мох — МоВН(0,Х), Mix = MiBH(l,X), Hq(x) — диагональная матрица,

компоненты которой есть ht(x) = exp ^ — jp„(í) dí^ и рп(х) — диагональные элементы матрицы Р(х), Щ(х) = diag (Нп(х), Ни(х)), где Hik(x) (к =

1,2)— кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения

Щк(х) + Рк(х)Нок(х) + {Н1к{х)Ок - ОкН1к{х)) = О В п 3 1 3 для исследования решения задачи (11)—(12) рассматривается решение краевой задачи

и)'{х) = 1лОи)( х) + тп(х), (13)

Щу>) = Мод^(О) + М1хь>( 1) = 0, (14)

где тп = (^11,7722,7713,7714), т, = тг(х) € £[0,1], О = —1, -££), й =

\Jd\fd2 > 0, /л = гХ/у/Зх, (т е А.0 = цИ), которое имеет вид

ги(х,/х) = Н1Мт{х) = -У{х,(1)А~1()л)и(д11т(х)) + д/1т(х)

Здесь У(х,ц) = dlag (е^, е""*, е"^), Д(/х) = и{у(х,ц)), 1 1

д^т(х) = ! д(х,г,ц)т{Ь)<И, и(д^т(х)) = ! их{д{х,Ьф))т($)<И, о о

t, м) = г, ц),д2(х, I, ^),д3(х, г, Ь, /л)) ,

где t, ц) выбираются так, чтобы они были ограничены при больших значениях ¡¿¿|

Далее, строится область в комплексной плоскости, в которой имеют место оценки ЦЛ^тЦ«, = 0(||т||1), Цй^уЦ«, = О (¿Г1), где || ||ет (|| Ц0 -норма в пространстве Ь00 {Ь{), а <р(х) — вектор-функция, каждая компонента которой есть функция ограниченной вариации

Вп 3 14с помощью этих оценок получены необходимые асимптотические оценки для решения у(х,Х) задачи (11)—(12), что позволило установить следующий результат

Теорема 3 2 (теорема равносходимости). Для любой вектор-функции /(я) = {}\{х), ^{х))Т с компонентами /¡(х) из Ь[0,1], и любого е € (0,1/2)

Ьт || Зг(/,х) - (сгГд(/ьх),<тГг(/2,х))Т Цс1С:1_£] = 0,

где гк = г/у/З^, к = 1,2

В § 3 2 на графе из трех ребер, образующих цикл, рассматривается оператор

(Ь1У)(х) = Ыуг),12(у2),1з(уз))т, У = (УиУ2,Уз)т, х g [0,1], (15)

У1(0) = у3(1), ш(0) == t/i(l), у3(0) = у2(1), (16)

где h(y{), ¿2(2/2) — те же, что и в предыдущем случае, а Ь(?/з) = 2/'(ж) + р(х)у(х) Достоинство этого оператора в том, что на двух ребрах графа мы имеем оператор Дирака, а на третьем — обычный оператор дифференцирования, причем краевые условия имеют естественную природу, так как порождены условием непрерывности решения Здесь также получена теорема равносходимости

Теорема 3 4 (теорема равносходимости). Для любой вектор-функции f(x) — (fi(x), /2(2:), /з(х))Т с компонентами fг(х) из ¿[0,1], и любого е £ (0,1/2)

^ II sr(f,x) - {сГгЛ1их),аГ2(/2,х),Ог{1з,х))Т ||с[£,1_£] = °> где n = r/y/Ti, r2 = гД/Зг

Наконец, в § 3 3 для оператора Li найдены необходимые и достаточные условия на функцию f{x), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида

Л(/,2:) = —^ J g(ß, r)Rxf(x) dX,

W=rv/d7

где R\ — резольвента оператора Li, а функция g(/n, г) удовлетворяет следующим условиям а) g(ß,r) непрерывна по ß в круге ]ß\ < г и аналитична по ß в < г при любом г > 0, б) существует С > 0 такая, что \g{ß,r)\ < С при всех г > 0 и |/i| < г, в) существуют положительные ß и h такие, что д{ге«г, г) =0(\ч>~ фР), при \<р - ф\ < h, где ф = {0, тг, ±тг/2}, г) г) 1, при г —» оо и фиксированном ¡л, Примерами таких функций могут служить функции вида д(р, г) = gi{ß, r)g2(ß, г), где

9l{ß,r) = (1 - f)01 (1 + f)h (l - f ^ _ E ei(arg d+ir/2)^

9гЬ,г)= П (1-]Щ))7к. ¿=1,2, , /3j>0llk>0, fe=1 4 ' fk(n) целые по ¡jl, Mr(f) = max|/(/i)|

H=r

Теорема 3.6. Если f(x) — вектор-функция с непрерывными компонентами, удовлетворяющая краевым условиям (16), то

hma\\f{x)-Jr{f,x)\\oo = 0

Теорема 3 6 дает необходимые и достаточные условия равномерной сходимости Jr(/, х) к f(x)

В заключение, автор выражает сердечную признательность своему научному руководителю профессору А П Хромову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также большую благодарность профессору Ю В Покорному и сотрудникам его семинара за полезные обсуждения

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 06-0100003 07-01-00397

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Бурлуцкая M Ш Аналог теоремы Жордана-Дирихле для оператора первого порядка на графе / M Ш Бурлуцкая // Вестн Воронеж гос ун-та Сер Физика, математика - 2006 - №2 - С 165-168

[2] Бурлуцкая M Ш Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией / M Ш Бурлуцкая, В П Курдюмов, А С Луконина, А П Хромов // Докл РАН - 2007 - Т 414, №4 - С 1309-1312

[3] Бурлуцкая M Ш О равносходимости разложений по собственным функциям дифференциального оператора первого порядка на графе / M Ш Бурлуцкая // Труды мат фак-та - Воронеж, 2006 - Вып 10 - С 31-41

[4] Бурлуцкая M Ш Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов первого порядка на графе-цикле / M Ш Бурлуцкая, Воронеж гос ун-т - Воронеж, 2006 - 17 с - Деп в ВИНИТИ 19 07 06 № 975-В2006

[5] Бурлуцкая M Ш Теорема равносходимости для дифференциальных операторов первого порядка на графе-цикле / M Ш Бурлуцкая //Современ-

ные методы теории краевых задач материалы Воронеж весен мат школы - Воронеж, 2006 - С 30-31

[6] Бурлуцкая М Ш Теорема равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе / М Ш Бурлуцкая // Современные методы теории краевых задач материалы Воронеж весен мат школы - Воронеж, 2006 - Доп вып - С 4

[7] Бурлуцкая М Ш Теорема равносходимости для функционально-дифференциального оператора с инволюцией на графе из двух ребер, содержащем цикл / М Ш Бурлуцкая, А П Хромов // Современные методы теории функций и смежные проблемы материалы Воронеж зимн мат школы -Воронеж, 2007 - С 42

[8] Бурлуцкая М Ш Теорема равносходимости для функционально-дифференциальных операторов первого порядка на графе-цикле / М Ш Бурлуцкая, А П Хромов // Современные методы теории функций и смежные проблемы материалы Воронеж зимн мат школы - Воронеж, 2007 - С 43

Работы [1], [2] соответствуют списку ВАК РФ

Подписано в печать 23 04 2007 Формат 60x84/16 Уел печл 1,0 Тираж 100 Заказ 237 Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 394006, г Воронеж, Университетская площадь, 1, ком 43, тел 208-853 Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ

Введение

1 Теоремы равносходимости для оператора дифференцирования

§ 1.1 Постановка задачи в пространстве вектор-фуикций.

Регулярные краевые условия.

§ 1.2 Равносходимость разложений поп.ф оператора Ь и тригонометрического ряда Фурье на графе-цикле.

§ 1.3 Случай оператора с нерегулярными краевыми условиями.

Аналог теоремы Жордана-Дирихле.

1.3.1 Теорема Жордана-Дирихле в скалярном случае

1.3.2 Аналог теоремы Жордана-Дирихле для оператора дифференцирования на простейшем графе . . •

1.3.3 Теорема о разложении для оператора дифференцирования на произвольном графе.

2 Теорема равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе

§ 2.1 Резольвента оператора Ьо и ее свойства.

2.1.1 Краевая задача для резольвенты оператора Ьо

2.1.2 Формула для резольвенты оператора Ьо и ее асимптотические свойства.

§ 2.2 Равносходимость спектральных разложений оператора

Штурма-Лиувилля и оператора Ьо

§ 2.3 Равносходимость разложений поп.ф. оператора Ь и тригонометрического ряда Фурье.

3 Функционально-дифференциальные операторы первого порядка на графах

§ 3.1 Функционально-дифференциальный оператор первого порядка на простейшем графе из двух ребер, содержащем цикл

3.1.1 Построение краевой задачи для резольвенты оператора Ь

3.1.2 Преобразование системы (3.8)-(3.9).

3.1.3 Исследование решения задачи (3.28)—(3.29)

3.1.4 Асимптотические свойства решения задачи

3.8)—(3.9).

3.1.5 Теорема равносходимости.

§ 3.2 Функционально-дифференциальные операторы первого порядка на графе-цикле.

§ 3.3 О сходимости средних Рисса разложений по собственным функциям оператора Ь\.

В последние 25-30 лет получила большое развитие теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрических графах (пространственных сетях). Начало исследований было положено в работах отечественных (B.C. Павлов [1], Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин ([2], [3]) и др. ) и зарубежных (J. von Below ([4], [5]), G. Lumer [6], S. Nicaise [7]) математиков и касалось задач, описывающих различные модели: диффузии, колебаний упругих сеток, распространения нервного импульса и др. Работы зарубежных математиков, в основном, посвящены обоснованию разрешимости краевых задач на графах, исследованию структуры спектра этих задач, асимптотики спектра, получению оценок резольвенты. В настоящее время в нашей стране наиболее активные исследования проводятся творческой группой Ю.В.Покорного (A.B. Боровских, К.П. Лазарев, О.М. Пенкин, B.J1. Прядиев, С.А. Шабров), основные результаты которой отражены в [8] (см. также библиографию в [8]). Исследованы спектральные и качественные свойства решений краевых задач, построена теория неосцилляции, изучена функция Грина, рассматривались многие другие проблемы. В последние годы активно исследуются волновые процессы на сетях ([9], [10], [11]).

В настоящей диссертационной работе рассматриваются задачи о разложении произвольных функций в ряд по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) дифференциальных операторов и функционально-дифференциальных операторов с инволюцией, заданных на графах.

Исследование подобных вопросов для различных классов (дифференциальиых, интегральных, интегро-дифференциальных) операторов имеет важное значение во многих областях (например, в граничных задачах математической физики, квантовой механике и т.п.). В том числе, большое внимание уделяется вопросам равносходимости разложений по с.п.ф. и разложений по известным системам функций. Впервые теоремы равносходимости были получены в работах В.А. Стеклова [12], Е. Гобсона [13], А. Хаара [14] для оператора Штурма-Лиувилля. Позже эти результаты, на базе фундаментальных исследований Г. Биркгофа ([15], [16]) об асимптотике решений дифференциальных уравнений при больших значениях спектрального параметра, были распространены Я.Д. Тамарки-ным [17], М.Н. Стоуном [18] на произвольный дифференциальный оператор п-го порядка с произвольными краевыми условиями, удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([19], с. 66-67). Это условие заключается в отличии от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов в краевых условиях. В последующем, проблемы равносходимости активно разрабатывались, разрабатываются и в настоящее время. Большой вклад в развитие этих вопросов внесли отечественные математики В.А. Ильин ([20], [21], [22]), A.M. Седлецкий [23], А.П. Хромов ([32], [33], [36]), A.A. Шкаликов [24], и др.

В данной работе основное внимание также уделяется вопросам равносходимости. Наряду с традиционными операторами дифференцирования и Штурма-Лиувилля, заданными на графах, рассматриваются функционально-дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией (порождающей оператор отражения) следующего вида

1{у) = ау'{х) + ßy'{ 1 - х) + Pi(x)y(x) + р2(х)у(1 - х). (0.1)

Изучение таких операторов представляет значительный интерес. Их исследование имеет давнюю историю [25] и активно проводится в настоящее время (например, [26], [27], [28]). Наиболее полно эти операторы, возникающие в различных спектральных задачах, изучены А.П. Хромовым и его учениками ([30]-[37]). В частности, такие операторы возникают при изучении разложений по с.п.ф. интегральных операторов, ядра которых имеют разрывы на диагоналях. Главная часть /д (у) = осу'(х) + (3у'(1 — х) оператора (0.1) обладает тем свойством, что 11(у) = (а2 — (32)у"(х). Таким образом, оператор (0.1) выступает как обобщение квадратного корня из оператора у"(х). Добавление потенциалов рь(х) значительно усложняет задачу. Другое достоинство оператора I в том, что он сводится к оператору Дирака.

Помимо вопросов равносходимости для функционально-дифференциальных операторов на графах, в работе также исследуются вопросы о сходимости обобщенных средних Рисса для таких операторов.

Для интегрального оператора, ядро которого является функцией Грина дифференциального оператора п-го порядка с регулярными по Бирк-гофу краевыми условиями, М. Стоун [18] исследовал средние по Риссу спектральных разложений вида и доказал, что на каждом [а, Ь] С (0,1) имеет место их равносуммируе-мость с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье. Позже, этот результат был распространен А.П. Хромовым в [29] на случай, когда условия регулярности не выполняются, но ядро Л) резольвенты при больших |А| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. В [38] В.В. Тихомировым данный результат был перенесен на случай некоторых классов дифференциальных операторов. В [39] А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым были найдены необходимые и достаточные условия на /(х), обеспечивающие равномерную сходимость

0-2)

А|=г к ней на всем отрезке [0,1] средних вида

Ь / (0.3)

А|=г которые являются обобщением средних Рисса вида (0.2).

Из работ, наиболее близких к вопросам, рассматриваемым в диссертации, можно отметить работу J. von Below [5] и работы воронежских математиков М.Г. Завгороднего ([41], [42]), В.В. Провоторова [43]. Их исследования, в основном, связаны с оператором Штурма-Лиувилля. Так, например, в [42] для оператора Штурма-Лиувилля, заданного на графе, с условиями типа Дирихле в граничных вершинах и определенными условиями связки во внутренних вершинах, получена теорема о разложении истокопредставимой функции в равномерно сходящийся ряд по корневым функциям соответствующей краевой задачи. Теоремы о разложении истокопредставимых функций для оператора с более общими краевыми условиями установлены в [5]. Также в [5] получены теоремы о разложении непрерывных на графе функций по корневым функциям оператора Штурма-Лиувилля по специальной норме.

Цели диссертационной работы: получение теорем о разложении по с.п.ф. оператора дифференцирования на графе (теоремы равносходимости и аналога теоремы Жордана-Дирихле); получение теоремы равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на графе-пучке; получение теорем равносходимости и исследование вопросов суммируемости по Риссу для некоторых классов функционально-дифференциальных операторов на графах.

В работе используется метод контурного интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам комплексной плоскости.

Диссертация содержит 146 страниц, состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, часть из которых делится на подразделы,

1. Павлов Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б.С. Павлов, М.Д. Фаддеев // Теор. и мат. физика. - 1983. - Т. 55, № 2. - С. 257-269.

2. Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах / Ю.В. Покорный // Успехи мат. наук. 1987. - Т. 42, №4. - С. 128-129.

3. Пенкин О.М. О краевой задаче на графе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Дифференциальные уравнения. 1988. - Т. 24, №4. - С. 701-703.

4. Von Below J. Classical solvability of linear parabolic equations on networks / J. von Below //J. Differential Equation. 1988. - V. 72. - P. 316-337.

5. Von Below J. Sturm-Liouville eigenvalue problems on networks / J. von Below // Math. Metli. Appl. Sc. 1988. - V. 10. - P. 383-395.

6. Lumer G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G. Lumer // Lect. Notes Math. 1980. - V. 787. - P. 219-234.

7. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve impuls transmission / S. Nicaise // Lect.Notes Math. №1771. - Berlin, 1985. - P. 532-541.

8. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.] М. : Физматлит, 2004. - 272 с.

9. Покорный Ю.В. Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети / Ю.В. Покорный, B.JI. Пряди-ев // Успехи мат. наук. 2004. - Т. 59, вып. 3. - С. 115-150.

10. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research. 1994. - V. 80.

11. Hobson E.W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions / E.W. Hobson // Proc. London Math. Soc. 2. 1908. - Vol. 8. - P. 349395.

12. Haar A.T. Theorie des ortogonalen Funktionen systeme / A.T. Haar // Math. Ann. 1910. - Vol. 69. - P. 331-371; - 1911. - Vol. 71. - P. 38-53.

13. Birkgoff G.D. On the asymptotic charaster of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter / G.D. Birkgoff // Trans. Am. Math. Soc. 1908. - 9 - C. 373-395.

14. Birkgoff G.D. Boundary value and axpansion problems of ordinary linear differential equations / G.D. Birkgoff // Trans. Am. Math. Soc. 1908. - 9 - C. 219-231.

15. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений / Я.Д. Тамаркин. Петроград, 1917.

16. Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. - Vol.28, № 4. - P. 695761.

17. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Най-марк. М. : Наука, 1969. - 528 с.

18. Ильин В.А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье / В.А. Ильин // Докл. АН СССР. 1975. - Т. 223, № 3. - С. 548-551.

19. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.1./ В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. -1980. Т. 16, № 5. - С. 771-794.

20. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.1. / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т. 16, № 6. - С. 980-1009.

21. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и эк-поненциальной апроксимации / A.M. Седлецкий. М. : Физматлит, 2005. - 504 с.

22. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях / A.A. Шкаликов // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1983. - Т. 9. - С. 190-229.

23. Babbage Ch. An essay towards the calculus of functions / Ch. Babbage // Philosophical transactions of the Royal Society of London. 1816. -V. 11. - P. 179-226.

24. Андреев A.A. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом / A.A. Андреев // Дифференциальные уравнения. -2004. Т. 40, №5. - С. 1126-1128.

25. Dankl Ch.G. Differential-Difference Operators Associated to Reflection Groups /Ch.G. Dankl // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. - V. 311, №1. - P. 167-183.

26. Платонов С.С. Разложение по собственным функциям для некоторых функционально-дифференциальных операторов / С.С. Платонов // Тр. Петрозавод. гос. ун-та. Сер. мат. 2004. - Вып. И. - С. 15-35.

27. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов на конечном интервале / А.П. Хромов // Докл. АН СССР. Т. 146, № 6. -1962. - С. 1294-1297.

28. Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях / А.П. Хромов // Мат. заметки. 1998. -Т. 64, №6. - С. 932-949.

29. Хромов А. П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием / А.П. Хромов // Докл. РАЕН. 2004. - М. - С. 80-87.

30. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов / А.П. Хромов // Мат. сб. 1981. - Т. 114(156). - № 3. - С. 378-404.

31. Корнев В.В. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Мат. сборник. 2001. - Т. 192, №10. - С.33-50.

32. Курдюмов В.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования / В.П. Курдюмов, А.П. Хромов // Мат. заметки. 2004. - Т. 76, М- С. 97-110.

33. Корнев B.B. Абсолютная сходимость разложений по собственным функциям интегрального оператора с переменным пределом интегрирования / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Изв. РАН. Сер. мат. -2005. Т. 69, JH. - С. 59-74.

34. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломанных линиях / А.П. Хромов //Мат. сборник. 2006. - Т. 197, № 11. - С. 115-142.

35. Тихомиров В.В. О средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора / В.В. Тихомиров // Мат. сборник. -1977. Т. 102, № 1. - С. 33-55.

36. Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37, №6. - С. 809— 814.

37. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений / И.М. Рапопорт. Киев: Издат. Академии Наук Украинской ССР, 1954. - 287 с.

38. Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графах / М.Г. Зав-городний // Успехи мат. наук. 1991. - Т. 46, № 6. - С.199-200.

39. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе / М.Г. Завгородний // Докл. РАН. 1994. -Т. 335, № 3. - С.281-283.

40. Провоторов B.B. Полнота системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с особенностями / В.В. Провоторов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. школы "Понтрягинские чтения-XVII". Воронеж, 2006. - С. 143-144.

41. Гуревич А.П., Хромов А.П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Мат. заметки. 1994. - Т. 56, вып. 1. - С. 3-15.

42. Хромов А.П. О резольвенте оператора дифференцирования на простейшем графе из двух ребер, содержащем цикл / А.П. Хромов //Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен. мат. школы "Понтрягинские чтения-XVII". Воронеж, 2006. -С. 192.

43. Расулов M.JI. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений /М.Л. Расулов. -М. : Наука, 1964. 464 с.

44. Бари Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари М.: Физматгиз, 1961. - 936 с.

45. Бурлуцкая М.Ш. Аналог теоремы Жордана-Дирихле для оператора первого порядка на графе / М.Ш. Бурлуцкая // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2006. - №2. - С. 165-168.

46. Бурлуцкая М.Ш. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией / М.Ш. Бурлуцкая, В.П. Курдюмов, A.C. Луконина, А.П. Хромов // Докл. РАН. 2007. - Т. 414, №4. - С. 1309-1312.

47. Бурлуцкая М.Ш. О равносходимости разложений по собственным функциям дифференциального оператора первого порядка на графеМ.Ш. Бурлуцкая // Труды мат. фак-та. Воронеж, 2006. - Вып. 10. - С. 31-41.

48. Бурлуцкая М.Ш. Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов первого порядка на графе-цикле / М.Ш. Бурлуцкая; Воронеж. гос. ун-т. Воронеж, 2006. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.07.06 ДО975-В2006.

49. Бурлуцкая М.Ш. Теорема равносходимости для дифференциальных операторов первого порядка на графе-цикле / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. школы. Воронеж, 2006. - С. 30-31.

50. Бурлуцкая М.Ш. Теорема равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. школы. Воронеж, 2006. - Доп. вып.- С. 4.