Спектральная теория периодических дифференциальных операторов и асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Кобычев, Кирилл Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
00501 э IV-
Кобычев Кирилл Сергеевич
Спектральная теория периодических дифференциальных операторов и асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений.
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 ШР ¿012
Воронеж - 2012
005015704
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель
доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович доктор физико-математических наук,
доцент Бичегкуев Маирбек Сулейманович
Ведущая организация: Липецкий государственный технический университет
Защита состоится "20"марта 2012 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан " /^5 " февраля 2012 г. Ученый секретарь
диссертационного совета Гликлих Ю.Е.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию геометрических (качественных) свойств решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и с постоянными коэффициентами.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время отражали известные монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве"« X. Массера, X. Шеффера "Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства", авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными:
"Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы". (Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн, стр. 12)
"... мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения А (в уравнении вида х + Ах = к - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы конечно, огромный интерес особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных". (X. Массера, X. Шеффер, стр. 11)
Важную роль в качественной теории решений дифференциальных уравнений играют оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений. Одним из методов получения оценок является оценка нормы обратного оператора, рассматриваемого в подходящем функциональном
пространстве. Значительную роль при оценках норм обратных операторов играют теоремы вложения Соболева. Важность оценок норм обратных операторов объясняется возможностью их использования при разрешимости нелинейных уравнений. При изучении качественных свойств решений дифференциальных уравнений (на их важность указывал А. Пуанкаре) важно получение формул их асимптотических представлений. Таким вопросам посвящена третья глава диссертации. Таким образом, тема диссертации является актуальной.
Целью работы является 1) получение точной оценки нормы оператора вложения пространства Соболева периодических функций в банахово пространство непрерывно ограниченных функций, 2) получение оценок ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, 3) получение необходимых и достаточных условий обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами, 4) нахождение функции Грина в задаче о периодических решениях, 5) получение асимптотического разложения ограниченных решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Методика исследования. Основными методами исследования являются методы дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методов гармонического анализа, методов теории функции и функционального анализа, спектральной теории операторов.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, четко сформулированными и строго доказанными. При использовании работ других авторов даны соответствующие ссылки. Наиболее существенные
результаты:
1. Получена точная оценка нормы оператора вложения пространства Соболева периодических функций в банахово пространство непрерывно ограниченных функций.
2. Получены оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
3. Доказана теорема об обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами;
4. Получена функция Грина в задаче о периодических решениях;
5. Получено асимптотическое представление ограниченных решении линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при исчезающей на бесконечности и медленно меняющейся на бесконечности правой части.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, полученные результаты представляют интерес для развития аналитических методов исследования ограниченных решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2008, 2010), на Международной конференции КРОМШ (Симферополь, 2010), на научном семинаре под рук. проф. Баскакова А.Г.
Публикации. Основные результаты опебликованы в работах [1]-[6]. Из совместной публикации [1] в работу вошли только принадлежащие Кобычеву К.С. результаты. Работа [1] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации 71 страница. Библиография содержит 70 наименований. Нумерация в автореферате совпадает с нумерацией в диссертации.
Краткое содержание работы
Во введении обсуждается актуальность рассматриваемой проблемы и кратко освящаются основные результаты диссертации.
В первой главе диссертации приведены основные понятия и используемые результаты. В частности, приводятся наиболее важные понятия из спектральной теории замкнутых операторов, теории векторных функций и теории банаховых алгебр. Особое внимание уделяется изложению теории полугрупп операторов.
Во второй главе диссертации на основе теоремы вложения С.Л. Соболева получены оценки нормы обратного оператора, действующего в одном из рассматриваемых пространств
Пусть X - банахово пространство, Епс1Х - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, Н - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (-,-). Через Тш = (К, X) будем обозначать одно из следующих функциональных пространств:
X), ре [1,оо], СЦК,Х).
(?,№, X) - банахово пространство непрерывных периодических периода и > 0 Функций, определенных на вещественной оси К со значениями в Х\ 1£,(К,л), р е [1, ос] - банахово пространство измеримых (по Бохнеру) суммир.усмых со степенью р € [1,оо) (существенно ограниченных при р = оо) периодических периода ш > 0 (классов) функций, действующих из К в X;
р ь [1, оо] -- пространство Соболева, состоящее из абсолютно непрерывных функций х £ АГ), для которых х £ Ь^(Ш,Х);
Я) - гильбертово пространство, состоящее из функций х £ Ь1(И&,Н) таких, что х - абсолютно непрерывна и х £ //) со
и
скалярным произведением < х, у >— J(x(t),y(t))dt + +/0"(а:(£),у(£))й£, х,у£\¥ЦШ,Н).
В банаховом пространстве /"„(й, X) рассматривается линейное дифференциальное уравнение
Сх = Стх = х - АЦ)г = /е7'Д4 (1)
где : ЩС?) с Ти - дифференциальный оператор с областью
определения О (С г) = {х £ Тш : х абсолютно непрерывна иже Тш} и А £ Ьц(К,Ет1АХ), если = р е [1, оо]. Если = то предполагается, что Л 6 Си(К, Еп(1Х).
Условия разрешимости уравнения (1) для любой функции f £ Тш и единственности решения этого уравнения эквивалентны обратимости оператора С?. В §2.1 доказана лемма, используемая для получении оценок нормы обратного оператора.
Лемма 2.1. Для любых /9 > 0 и х € И^^ДЕ, Я) верна оценка
Ысс < + <
р
1
где
/
причем С+(1.2тг) < 1.013.
В следующей теореме получена точная константа вложения пространства Соболева И'^^Е) в банахово пространство СИ(К). Теорема 2.1. Для любой функции х 6 И72^(К) верпа оценка
и эта оценка является точной. Равенство достигается на функции у €
вида: (р(Ь) = = (1 - ехр(-2ы))_1(ехр(-^ + exp(t - из)), 4 £
М.
В §2.2 доказываются теоремы об обратимости рассматриваемого дифференциальный оператора и его интегральном представлении. Оператор С — д/<И—А(Ь) обладает свойством: его обратимость в одном из рассматриваемых функциональных пространств периодических функций влечет его обратимость во всех остальных. Этот результат содержится в теореме 2.2, которая получена для более общего класса операторов, построенных по некоторому семейству эволюционных операторов. В частности, теорема 2.2 будет верна для дифференциального оператора С с неограниченными операторными коэффициентами А(Ь), А(Ь + ш) — Л(£), I 6 М, которые порождают корректную задачу Коши.
м» <
Пусть U : Др. -? EndX - сильно непрерывное и) - периодическое семейство эволюционных операторов, т.е. выполнены следующие условия:
1. U{t,i) = I,ie R;
2. U(t, s)U(s, т) = U{t, г) для всех т < s < t из R;
3. 8иро<(_т<и ¡¡И|| = М < со;
4. U(t + = U{t,s) для всех t,s € R ( условие периодичности семейства U).
Для заданного семейства эволюционных операторов U : Ar —> EndX символом F(i), i € [0, ы], обозначим оператор U(t +ui,t) е EndX.
Отправляясь от произвольного ш-периодического сильно непрерывного семейства эволюционных операторовU : Дк EndX, определим оператор Си : D(C) С Ти,{Х) Непрерывная ^-периодическая функция
а; € Ти(Х) относится к области определения оператораесли существует функция / б J^.(A') такая, что верны равенства
Отметим, что функция f единственна и при этом полагается Сцх = '/. В следующей теореме получено необходимое и достаточное условие обратимости оператора Сц в одном из пространств Та. Теорема 2.2. Для того, чтобы линейный оператор Си • D{Cu) С С РЫ(Х) —>■ Fu(X) был обратим, необходимо и достаточно, чтобы был обратим оператор - I -U(u,0) (т.е. 1 ^ а(И(ш,0))). Если оператор Ыы обратим, то обратимы операторы! — V(t), t € [0,w], и имеют место
оценки
IKZ-VWni^MWll. ie[0,o>l-
Интегральное представление обратного оператора Си1 с помощью функции Грина содержит
Теорема 2.3. Если оператор 1ЛШ обратим, то обратим оператор Си : D{Cu) С J-W{X) -> J~u,(X) и обратный к Си оператор определяется формулой
(¿и Л = Г G(t, r)/(r)dr, / € /да, Jo
где функция (Гриш) G : [0, w] х [0,w] EndX имеет вид
\ {U(t,t-u)-rrxU{t,T), 0 <r<t<u>, G {t,T)=<
[ (U(t,t-ш)- 1)~Щ,т-ы), t<T<w.
Пусть теперь X — H - гильбертово пространство. Основные результаты второй главы (§2.3, теоремы 2.6, 2.7) связаны с оценкой периодических ограниченных решений дифференциального уравнения (1) для ограниченной функции /, полученных с использованием нормы обратного оператора в пространстве Lf,(R, Я). Она, в свою очередь, может быть в некоторых случаях посчитана через более просто вычислимые числовые величины, связанные с операторной функцией А.
Рассматривается дифференциальный оператор С = -d/dt + A{t) : D{C) С ТЫ{Н) -)• JU{H) с функцией А е L™{R,EndH), если 7ЦЯ) = Z£(R, Я), 1 < р < оо, и А € СЦИ, EndH), если Ги{Н) = СЦМ, Я).
Теорема 2.6. Пусть оператор С = -d/dt + A(t) : D(C) = W^1 С L%(R,H) -)■ обратим. Тогда on обратим в Ь^(Ш,Н) (для А е
¿¿f (R, EndH)) и обратим в СЦК,Я) (для А € Cu(R,EndH)). При этом для любого 0 > 0 верна оценка
ll^lloc < с+(0,"М£-% + д(1 + 1ЮЫИЫ) = ф(0,ш,А),
где ||£-1||р - норма оператора С-1, рассматриваемого вТи{Н) = р £ [1,оо]. Для нормы решения х дифференциального уравнения (1) с / € Я) имеет место оценка : ||х||оо < A)|(/||oo-
Теорема 2.7. Пусть дифференциальный оператор С = d/dt — A(t) имеет постоянные коэффициенты A(t) — Aq G EndH и a(Ao)n(i^-Z) = 0. Тогда он обратим в СЫ(К, Я) и для любого ¡3 > 0 имеет место оценка
II» < ¡САР, ш){0maXneZ II(3S2/ - ЛоГ111+
+1(1 + тахпе2||(^/-ЛоГ1)|||И0||)).
В §2.4 проиллюстрированно использование полученных в предыдущем параграфе результатов для оценки ограниченного решения квазилинейного дифференциального уравнения.
Третья глава посвящена асимптотическому представлению ограниченных решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при исчезающей на бесконечности и медленно меняющейся на бесконечности правой части.
Пусть далее X - конечномерное нормированное пространство, символом J обозначим R или R+. CbM{J, X) - банахово пространство равномерно непрерывных ограниченных функций с нормой ||arЦоо — maxiej ||a;(i)||, я 6 СМХ). Замкнутое подпространство функций х из Cb,u(J,А'), обладающих свойством lim^o ||x(t)|| = 0, обозначим Со = Cq(J,X).
Определение 3.1. Функция х Е C^U(J, X) называется медленно меняющейся на бесконечности, если для любого a Е J, S(a)x — х € Cg(J, X), еде {S(a)x)(t) = x(t + а) - оператор сдвига функции х на а. Пространство таких функций обозначим символом Cs¡ = CS¡(J,X). Отметим, что имеет место включение Со С Cs¡. Символом обозначим
банахову алгебру комплексных суммируемых на R функций со сверткой в качестве умножения. Собственное значение Ао оператора А будем называть полупростым, если отсутствуют присоединенные векторы, отвечающие собственному значению Ао-
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:
х = Ах + /, (2)
где / 6 Cft,u(SL X), А Е EndX. Во всех теоремах третьей главы под решением понимается непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению (2).
§3.1 содержит некоторые свойства функций из пространств Co(R, X) и CS¡(K, АГ), используемые при доказательствах теорем. Эти свойства сформулированы в виде следующих лемм:
Лемма 3.1. Пусть х € CV„(R, X), непрерывно дифференцируема и х Е C0(R,X). Тогда xeCs¡(R,X).
Лемма 3.2. Пусть функция ip Е Cq(R,X), aje ¿1(R). Тогда свертка (<Р * f)(t) — Ir f(t ~ т)ц>{т)(1т, t G R, принадлежит Co(R, X).
Лемма 3.3. Пусть функция <p E CS/(R, X), a f E Ll(R). Тогда их свертка (/ * ¡p)(t) = JR /(t)i/j(í — r)dr, t E E, принадлежит С.,/(И, X). Лемма 3.4. Для того, чтобы функция ср € C{,iU(R, X) принад-
лежала подпространству Csj(R, X) необходимо « достаточно, чтобы f*tpe C0(R,X), для любой функции f е L'(R) с /(0) = 0.
Лемма 3.5. Если х € C7t,u(K, X) и непрерывно дифференцируема, причем х € Csi(R, X), то х 6 CS/(R, X).
Основные результаты об асимтотическом представлении ограниченных решений изложены в §3.2 и содержатся в следующих теоремах: Теорема 3.1. Пусть функция f принадлежит пространству Cq(M,X) <70(Л) = {iXk,k — l,..,m} - совокупность полупростых собственных значений оператора А, лежащих на мнимой оси. Если существует ограниченное решение уравнения (2), то оно представимо в виде
т
= J2 мь(0«ч>(»'А*0.4 е R, (з)
k=1
где ук е Csl{R,X).
Отметим, что представление решения (3) не является единственным. Если
m
k=i
ТО ук -уке С0(Ш, X).
Теорема 3.2. Пусть функция f принадлежит пространству Csi(U, X), <то(А) — {i\k,k — 1,.., т} - совокупность полупростых собственных значений оператора Л, лежащих на мнимой оси. Если существует ограниченное решение х уравнения (2), то оно имеет вид
т h=i
где yk е C7si(R, X), <р € C,i(R,*).
Теорема 3.3. Пусть функция / принадлежит X) и часть спектра оператора А, лежащая на мнимой оси, состоит изт собственных
значений сг0(А) = {г^к, к = 1,..,т}. Если существует ограниченное решение х уравнения (2), то оно имеет вид
т
где ук 6 С,,(К, X), р 6 Са|(К, X).
В заключении §3.2 приведено достаточное условие существования ограниченных решений уравнения (2).
Теорема 3.4. Пусть функция f из (2) принадлежит подпространству Со(К, X) П и пусть <то(А) = {г'А= 1, ..,т} состоит ш
полупростых собственных значений оператора А, лежащих на мнимой оси, тогда уравнение (2) имееет хотя бы одно ограниченное решение.
Публикации автора по теме диссертации
1. Кобычев К.С. Оценки оператора вложения пространства Соболева периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами./ А.Г. Баскаков, К.С. Кобычев // Дифференциальные уравнения - 2011 - т. 47, №5 - С. 611-620
2. Кобычев К.С. Оценки оператора вложения в пространства Соболева периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. / К.С. Кобычев // Вестник ПММ - ВоронежгВГУ,- 2010 г.- С.214-221
3. Кобычев К.С. Оценка ограниченных решений периодической краевой задачи /К.С. Кобычев// Воронежская зимняя математическая школа
С.Г. Крейна. Тезисы докладов,- Воронеж:ВГУ,- 2008. - С. 68
4. Кобычев К.С. Об условиях обратимости дифференциальных операторов / К.С. Кобычев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж : ВГУ.- 2010.- С. 81-83
5. Кобычев К.С. Оценки оператора вложения в пространства Соболева периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. / К.С. Кобычев // Международная конференция КРОМШ - 2010. Сборник тезисов.-Симферополь,- 2010,- С. 22
6. Кобычев К.С. Об асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений: Препринт НИИМ ВГУ № 42: Декабрь 2011 / К.С. Кобычев // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2011. - 17 с.
Работа [1] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК.
Подписано в печать 13.02.2012. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,1 Тираж 100 экз. Заказ №380
Отпечатано в типографии Воронежского ЦНТИ - филиала ФГБУ «РЭА» Минэнерго России 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 30.
61 12-1/641
ТЭ ТЭ ИТ "С1 "ЧТ/" ТУ ТД Т/Г 'П/^/^ЛГТТ Л ПГ^'Т'ПТТЧиТТ'Г ТТТ ЛГТТТДПТТ'ТЧ/ПТ^ГПГЛГР
На правах рукописи
Кобычев Кирилл Сергеевич $
Спектральная теория периодических дифференциальных операторов и асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений.
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ
Диссертация
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор Баскаков А. Г.
ВОРОНЕЖ - 2012
Оглавление
Список обозначений 3
Введение 5
1 Основные понятия и используемые результаты 15
§1.1 Некоторые сведения из теории операторов....... 15
§1.2 Некоторые сведения из теории векторных функций,
спектрального анализа и теории банаховых алгебр. . 19 §1.3 Сильно непрерывные полугруппы операторов. Производящий оператор............................................22
§1.4 Основные функциональные пространства................26
2 Оценки оператора вложения пространства Соболева периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. 27
§2.1 Оценки в теореме вложения пространства Соболева
для периодических функций............... 29
§2.2 Условия обратимости дифференциальных операторов. 32
§2.3 Оценки ограниченных решений............. 41
§2.4 Оценка периодического решения квазилинейного
уравнения.......................... 43
3 Об асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений 46
§3.1 Вспомогательные результаты.............. 47
§3.2 Доказательства основных результатов.......... 53
§3.3 Теорема о представлении решения на полуоси .... 60
Список обозначений
N - множество натуральных чисел; К. - множество вещественных чисел; С - множество комплексных чисел;
М+ = {* е К : г > 0};
Т — {Л € С : |Л| = 1} — единичная окружность;
Дк = б М х М : 5 < ¿};
X, У - комплексное банахово пространство;
Н - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (-,-);
ЕпйХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;
I - тождественный оператор в любом из рассматриваемых пространств; || Л || - норма оператора А Е ЕпйХ]
Б = О (А) - область определения оператора А : О(А) С Х\ —» Х% С(Л) - график оператора А : О (А) С Х\ —> КегА - ядро оператора А : О (А) С Х\ Х% 1т А - образ оператора А : О (А) с Х\ —>• Хч\ р(А) - резольвентное множество оператора А : И (А) С X -» X) А) : р(А) —ЕпйХ - резольвента оператора
Л Т~\ / Л \ _ 17- "17"
А : и (л) с_ X л; сг(А) = С \ р(А) - спектр оператора А; г(А) - спектральный радиус оператора А; А"1 - обратный оператор;
Ы : Ак —)■ Епс1Х - семейство эволюционных операторов;
С^М, X) - банахово пространство равномерно непрерывных
ограниченных функций;
Со(К, X) - замкнутое подпространство функций х из X),
обладающих свойством Нт^.^, ||ж(£)|| — 0;
С<,г(М, X) - подпространство X) медленно меняющихся на
бесконечности функций;
СШ(М, X) - банахово пространство непрерывных периодических периода и > 0 функций, определенных на вещественной оси Ж со значениями в X;
ЬР(М.,Х), р Е [1, оо] — банахово пространство измеримых (по Бохнеру) суммируемых со степенью р Е [1,оо) (существенно ограниченных при р = оо) периодических периода и > 0 (классов) функций, действующих из К в X;
X), р Е [1,оо] - пространство Соболева, состоящее из абсолютно непрерывных функций х Е X), для которых
хеЬР(Ж,Х)-,
^(Е.Я) - гильбертово пространство, состоящее из функций х Е Ьц(Ж,Н) таких, что х - абсолютно непрерывна и х Е
и>
Ь^(М, Н), со скалярным произведением < х, у >= /(х(£),у(Ь))<Ы +
Введение
Диссертация посвящена исследованию геометрических (качественных) свойств решений дифференциальных уравнений с периодическими (вообще говоря, неограниченными) коэффициентами и с постоянными коэффициентами.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время отражали известные монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве"и X. Массера, X. Шеффера "Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства", авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными:
"Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы". (Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн, стр. 12)
"... мы совершенно игнорируем возможность распространения
теории на случай, когда значения А (в уравнении вида х + Ах = Н - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы конечно, огромный интерес особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных". (X. Массера, X. Шеффер, стр. 11)
Важную роль в качественной теории решений дифференциальных уравнений являются оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений. Одним из методов получения оценок является оценка нормы обратного оператора, рассматриваемого в подходящем функциональном пространстве. Значительную роль при оценках норм обратных операторов играют теоремы вложения Соболева. Важность оценок норм обратных операторов объясняется возможностью их использования при разрешимости нелинейных уравнений. При изучении качественных свойств решений дифференциальных уравнений (на их важность указывал А. Пуанкаре) важно получение формул их асимптотических представлений. Таким вопросам посвящена третья глава диссертации. Таким образом, тема диссертации является актуальной.
В первой главе диссертации приведены основные понятия и используемые результаты. В частности, приводятся наиболее важные понятия из спектральной теории замкнутых операторов, теории векторных функций и теории банаховых алгебр. Особое внимание уделяется изложению теории полугрупп операторов.
Во второй главе диссертации на основе теоремы вложения С.Л. Соболева получены оценки нормы обратного оператора, дейст-
вующего а одном из рассматриваемых пространств ./"сДМ, Л).
Т
Пусть X - банахово пространство, Епс1Х - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих вХ. Через = .Т-ЦМ, X) будем обозначать одно из следующих функциональных пространств: Ц,{Ж,Х), р Е [1, оо], СЫ(М, X).
В банаховом пространстве (Ж, X) рассматривается линейное дифференциальное уравнение
где Ст : Б (С?) С —)■ - дифференциальный оператор с областью определения И(С^) — {х € : х абсолютно непрерывна и х е и А е Ь^{Ж,ЕпйХ), если Ты = ££, р £ [1, оо]. Если Рш — Си, то предполагается, что А £ Сш(Ш, Епс1Х). Для Т — Ц^, р £ [1, оо], оператор С? будет обозначаться через Ср.
Условия разрешимости уравнения (1) для любой функции / £ Т7^ и единственности решения этого уравнения эквивалентны обратимости оператора С?. Ключевое значение при получении оценок нормы обратного оператора играет следующая лемма. Лемма 2.1. Для любых /3 > 0 и х е И-^^М, Н) верна оценка
Сх = Стх = х- А{Ь)х = / е ^(М, X),
(1)
Ыоо < \{рс+(М|И|2 + ±С-(М\\х\\2) <
1
<-С+((3,итх\\2 + -\\х\\2),
1
1
где
причем С+(1,27г) < 1.013.
В следующей тбиреме получена точная константа вложения пространства СоболеваИ^1^^, Н) в банахово пространство CW(M, H).
Теорема 2.1. Для любой функции х G И^^М) веРна оценка
1 + е~ш
Моо <
и эта оценка является точной. Равенство достигается на функции ip G W^R) euda:ip(t) = ip\(t) = (1—ехр(—2cj))_1(exp(-i)+ exp{t-ш)), t G [0,w).
Рассматриваемый дифференциальный оператор С = d/dt—A(t) обладает свойством: его обратимость в одном из рассматриваемых функциональных пространств периодических функций влечет его обратимость во всех остальных. Этот результат содержится в теореме 2.2, которая получена для более общего класса операторов, построенных по некоторому семейству эволюционных операторов. В частности, теорема 2.2 будет верна для дифференциального оператора С с неограниченными операторными коэффициентами A(t), A(t + eu) = A(t), te Ж, которые порождают корректную задачу Коши (см. [3] и [11] ).
Пусть U : Ar -» EndX - сильно непрерывное и> - периодическое семейство эволюционных операторов, т.е. выполнены следующие условия:
1. U(t,t) = I,tE M;
2. U(t, s)U(s, r) = U(t, г) для всех т < s < t из M; 3- sup0<t_T<w ||W|| = M < oo;
4. U(t+uj, s-Kj) = U(t, s) для всех t,s ElR ( условие периодичности семейства U ).
Для заданного семейства эволюционных операторов U : Ar —>• EndX символом Vit), t £ [0,cj], обозначим оператор U(t + си, t) £ EndX.
Отправляясь от произвольного ^-периодического сильно непрерывного семейства эволюционных операторов U : Ar —> EndX, определим оператор Си : D(jC) С TW{X) —>• FU(X). Непрерывная w-периодическая функция х £ ТШ(Х) относится к области определения оператора Сц, если существует функция / £ Ти(Х) такая, что верны равенства
x(t) = U(t,0)x{0) - [ U{t,r)f{T)dr, t£[0,cu}.
J о
Отметим, что функция / единственна и при этом полагается — /■ В следующей теореме получено необходимое и достаточное условие обратимости оператора С в одном из пространств Теорема 2.2. Для того, чтобы линейный оператор Си : D(Cu) С С ^(Х) —у ^(Х) был обратим, необходимо и достаточно, чтобы был обратим оператор Ыш = I — Ы{си, 0) (т.е. 1 0 а(Ы(си,0))). Если оператор Ыш обратим, то обратимы операторы I — V(t), t £ [0,cj]; и имеют место оценки
\\{i-v{t))-l\\<M'\\u-% te[0M-
Интегральное представление обратного оператора Сц1 с помощью функции Грина содержит
Теорема 2.3. Если оператор Ыш обратим, то обратим оператор Си : D(Cu) С ТШ(Х) -> ТШ(Х) и обратный к Си оператор определяется формулой
(£uf)= Г G(t,r)f(r)dr, /еад,
JQ
где функция (Грина) G : [0,w] х [0,w] —» EndX имеет вид {U{t,t-u)-I)-lU{t,r), 0 <T<t<co,
G(t,r) = {
(U(t,t-w) - I)~lU{t,T -w), t<T<u.
Пусть теперь X — H - гильбертово пространство. Основные результаты второй главы (теоремы 2.6, 2.7) связаны с оценкой периодических ограниченных решений дифференциального уравнения (1) для ограниченной функции /, полученных с использованием нормы обратного оператора в пространстве Н). Она, в свою
очередь, может быть в некоторых случаях посчитана через более просто вычислимые числовые величины, связанные с операторной функцией А.
Рассматривается дифференциальный оператор С = —d/dt + A{t) : D(C) С ТШ{Н) ->■ ТШ{Н) с функцией А в L™(R, EndH), если ТШ{Н) = Ьрш(Ш,Н), 1 < р < оо, и А е Cu(R,EndH), если
Теорема 2.6. Пусть оператор С = —d/dt + A(t) : D{C) С Wj'1 С Я) —Ll(R,H) обратим. Тогда он обратим в
Ь™(Ш,Н) (для A G L™(R,EndH)) и обратим в Сш{Ш,Н) (для А Е СШ(М, EndH)). При этом для любого /3 > 0 верна оценка
II/:-1!!«, < C+(P,uj)(/3\\C-% + 1(1 + ll^llaPIloo)) = А),
I I /** 1|| Л I ЛОЛ I 1 Л /Л ГУ> Г) ПГ\П пгщ /~\ПГЛП С* 1 ГГЛ/1 л/1 ««Л т />*»/>/ /О /"» /Э ПЛОЛ ^ Р-7" ^ —
<5С || «О ||р ~ Пирк1УЫЬ и I ЬОри/П IV ри, А-/ ; ! Ьр И/ОЫ^Ми Си и ) -
р £ [1,оо]. Для нормы решения х дифференциального уравнения (1) с $ 6 имеет место оценка : ||#||оо <
Ф^,С0,А)\\/\\оо.
Теорема 2.7. Пусть дифференциальный оператор С = й/(И — А{1) имеет постоянные коэффициенты А{£) = А$ £ ЕгкШ и ст(Ао) П (г^й) = 0. ТогЛг ок обратим в СШ(Ж,Н) и для любого (3 > 0 имеет место оценка
1Ю100 < ±С+(/?,и;)(/Зтахпе2 - ЛоНК
В третьей главе получено асимптотическое представление ограниченных решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при исчезающей на бесконечности и медленно меняющейся на бесконечности правой части.
Пусть далее X - конечномерное нормированное пространство, символом 7 обозначим М или Сь,и{«Л X) - банахово пространство равномерно непрерывных ограниченных функций с нормой ||ж||оо = тах^ ||ж(£)||, х £ Съ,и(3,Х). Замкнутое подпространство функций х из X), обладающих свойством Нт^^оо ||а;(£)|| = О,
обозначим Со = С$(3,Х).
Определение 3.1. Функция х £ называется медленно
меняющейся на бесконечности, если для любого а £ 3, Б(а)х — х £ Со(7, X), где (3(а)х)(Ь) = х^ + а) - оператор сдвига функции х на а.
Пространство таких функций обозначим символом С8\ = X).
Имеет место включение Со С С^. Символом обозначим
банахову алгебру комплексных суммируемых на К. функций со сверткой в качестве умножения. Собственное значение Ао оператора А будем называть полупростым, если отсутствуют присоединенные векторы, отвечающие собственному значению Ао-
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:
х = Ах + /, (2)
где / 6 Со(М,Х), А £ Епс1Х. Во всех теоремах третьей главы под решением понимается непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению (2).
Следующие леммы содержат некоторые свойства функций из пространств Со (К, X) и С5г(М, X), используемые при доказательствах теорем.
Лемма 3.1. Пусть х £ Сь^М, X), непрерывно дифференцируема их £ Со(К,Х). Тогда х £ X).
Лемма 3.2. Пусть функция £ Со (К, X), а / £ Ь1(М). Тогда свертка (</? * /)(£) = /^/(^ ~ т)<р(т)с1т, £ £ М; принадлежит С0(М,Х).
Лемма 3.3. Пусть функция <р £ X), а / £ /^(Е). Тогда
их свертка (/ * </?)(£) = ~ т)<^т, £ £ М, принадлежит
Са^Х).
Лемма 3.4. Для того, чтобы функция (р £ Сь1И(М, X) принадлежала подпространству С^(Ж, X) необходимо и достаточно, чтобы /*(/?£ Со(М, X), для любой функции f £ 1/1(М) с /(0) = 0.
Лемма 3.5. Если х £ Сг,5М(Ж, X) и непрерывно дифференцируема,
причем х 6 X), то х с X).
Основные результаты о представлении решений содержатся в следующих трех теоремах.
Теорема 3.1. Пусть функция / принадлежит пространству Со(М,X) ао(А) = {гА^/с = 1,..,гп} - совокупность полупростых собственных значений оператора А, лежащих на мнимой оси. Если существует ограниченное решение уравнения (2), то оно представимо в виде
т
= м, (з)
к=1
где ук 6 С81(Ш,Х).
Отметим, что представление решения (3) не является единственным. Если
т к=1
то Ук — Ш £ С0{Ж,Х).
Теорема 3.2. Пусть функция / принадлежит пространству X), сг0(Л) = {¿А к,к = 1,..,т} - совокупность полупростых собственных значений оператора А, лежащих на мнимой оси. Если существует ограниченное решение х уравнения (2), то оно имеет вид
т
х0) = + <р{г),г е ж,
к=1
где ук € Са1{Ж,Х), <р е Св1{Ш,Х).
Теорема 3.3. Пусть функция / принадлежит X) и
часть спектра оператора А, лежащая на мнимой оси, состоит
из пь собственных значении иоуА) — — 1,..5?72.}. Если
существует ограниченное решение х уравнения (2), то оно имеет вид
т
= ^Ук^ехр^г) + е К, к=1
гдеукеСз1(Ш,Х),(реС81(Ж,Х).
Далее приведем достаточное условие существования ограниченных решений уравнения (2).
Теорема 3.4. Пусть функция / из (2) принадлежит подпространству Со(М,Х) П 1/1 (М,X) и пусть ао(А) = {г\к,к = 1,..,ш} состоит из полупростых собственных значений оператора А, лежащих на мнимой оси, тогда уравнение (2) имееет хотя бы одно ограниченное решение.
Глава 1
Основные понятия и используемые результаты
Приводимые в этой главе определения и результаты можно найти в монографиях [1], [10], [13], [14], [16], [17].
§1.1 Некоторые сведения из теории операторов.
Пусть X, У - комплексные банаховы пространства, Епс1Х - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, Н - гильбертово пространство со скалярным произведением (•,■).
Определение 1.1. Множество С а = {(х,Ах) е X х У : х € Б (А)} называется графиком оператора А. Оператор А называется замкнутым, если график С а является замкнутым подпространством X х У.
Множество замкнутых операторов, действующих в банаховом простраснтве X, обозначим символом £(Х). Множество значений оператора А обозначим 1тА, а множество его нулей (ядро) - КегА.
Определение 1.2. Линейный оператор А : О (А) с X —> У называется ограниченным, если ||Ас|| < М||ж||; я; 6 Б(А). Наименьшее число, для которого имеет место предыдущее неравенство, называется нормой оператора и обозначается через
\\А\\.
Теорема 1.1. (Банаха о замкнутом графике) Каждый замкнутый оператор с областью определения, совпадающей со всем пространством, ограничен.
Определение 1.3. Линейный замкнутый оператор А : Е(А) С X —у У называется обратимым, если выполнены следующие два условия:
КегА = {0}, 1тА = У.
Если оператор А обратим, то существует оператор В : У —» X, обладающий свойством ВА С АВ = I. Оператор В называется обратным к А и обозначается символом А~1. В силу теоремы 1.1 оператор В ограничен.
Определение 1.4. Резольвентным множеством р{А) оператора А называется совокупность чисел Л Е С, для которых обратим оператор XI — А. Операторозначная функция Л —>• Д(А, А) — (XI — А)-1 : р(А) —У ЕпйХ называется резольвентой оператора А.
Определение 1.5. Множество сг(А) = С\р(А) называется спектром оператора А.
Теорема 1.2. (Принцип сжимающих отображений)[16, стр.43] Пусть оператор А, переводящий элементы пространства X снова
в элементы этого пространства. Пусть, кроме того, для всех х и у из X
\\А{х) - А{у)\\ < а\\х - у\1
где а < 1 и не зависит от х и у. Тогда существует одна и только одна точка такая, что А(хо) = Хо.
Теорема 1.3. Всякий линейный функционал /(х) на гильбертовом пространстве Н единственным образом представим в виде
№ = (х,и), (1.1)
где и - элемент из Н. Обратно, всякий функционал вида (1.1) является линейным функционалом в Н, причем ||/|| = ЦиЦ.
Определение 1.6. Оператор Р е ЕпдХ называется проектором, если Р2 = Р.
Каждый проектор индуцирует разложение банахова пространства X в прямую сумму X = Х\ © Х^ (т.е. Х\, Хч~ замкнутые подпространства из X, Х1ПХ2 = {0}, и любой вектор х представим в виде х = х\ + Х2, х\ Е Х2 6 Х^ ). А именно, положим Х\ = 1тР, Х2 = КегР. Оператор 1—Р также является проектором, причем Х\ = Кег{1 — Р) и 12 = 1т{1 — Р). Следовательно,
X = Хх © Х2.
Обратно, если X — Х\ фХ2 - прямая сумма подпространств Х^, ] = 1,2, то существует проектор, осуществляющий это разложение. Следует положить Рх = х\, где вектор х\ однозначно определяется из представления х = х\ + Х2, х^ £ Х^, ] = 1,2. Оператор Р называется оператором проектиров�
