Спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов четвертого порядка в вырожденном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Сидельникова Наталья Анатольевна

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА В ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ

01.01.02. -дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Султанаев Я. Т.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мукминов Ф. X.; кандидат физико-математических наук, доцент Фазуллин 3. Ю.

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 17 декабря 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077 г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, к. ф.-м. н.

Попенов С В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

Актуальность темы. В теории сингулярных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с изучением спектральных свойств оператора в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Под спектральными свойствами понимают качественный характер спектра, индексы дефекта и спектральные асимптотики оператора.

Первые результаты, связанные с качественным исследованием спектра оператора Штурма-Лиувилля в зависимости от поведения потенциальной функции, были получены еще в начале XX века Г.Вейлем. Дальнейшие исследования в этом направлении были стимулированы развитием квантовой механики. Различные результаты как для оператора Штурма-Лиувилля, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка и операторов в частных производных были получены в работах [1-17,20-22,24-26].

Известно (см. [11]),что самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка имеет следующий вид

(1)

где р1 {х),] = 0,и - вещественные функции.

Квазипроизводные функции у, соответствующие выражению 1у определяются формулами

здесь

Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что

Мы будем считать, что выражение ¡у имеет смысл для данной функции у, если все квазипроизводные у до -го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном по-

дынтервале [от,/?] интервала (й,й)

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение

где к = \,п - дважды непрерывно-дифференцируемые вещест-

венные функции, (х0 > 0) . Введем в рассмотрение пространство

¿2[*0,°о), (х0 > О) . Дифференциальное выражение 1у , рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при х > Л , Л > 0 (выбор И, вообще говоря, различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через ¿0.

Оператор называется минимальным оператором, порожденным дифференциальным выражением Сопоставим уравнению

Ь**У (3)

следующий многочлен по Уравнение

будем называть характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному выражению

Известно, ([11], стр. ^02-203), что индексы дефекта оператора порожденного самосопряженным дифференциальным выражением с вещественно-значимыми коэффициентами, одинаковы и

удовлетворяют оценке

пйт<2п.

Ьеутадп [8], М.А. Наймарк [11], И.М. Рапопорт [12] и М.В. Фе-дорюк [20] внесли большой вклад в развитие аналитических методов исследования индексов дефекта обыкновенных дифференциальных операторов. Основу этих методов составляет нахождение асимптотических формул при для фундаментальной системы решений

уравнения 1у = ку.

Заметим, что случай суммируемых коэффициентов хорошо изучен, и основную трудность представляет случай растущих коэффициентов дифференциального выражения 1у.

Изучению асимптотического поведения решений уравнений (3) при в случае одинакового роста корней характеристического

уравнения (4) посвящен целый ряд работ [10,11,16,20,21].

Случай, когда корни уравнения (4) ведут себя при х—¥<х> по-разному: часть растет, часть убывает - называется вырожденным и является наиболее сложным.

В работе Ц] рассматривалось дифференциальное выражение четвертого порядка в вырожденном случае

а>2,а *0 ,Ь*0 - константы.

В статье [б] получены асимптотические формулы при для

Более трудной является задача нахождения асимптотик решений уравнения по некоторым кривым в комплексной плоскости, равномерных по

Наличие этих асимптотических формул позволяет решить задачу получения спектральных асимптотик дискретного спектра самосопряженных расширений минимального оператора

Изучению асимптотического поведения решений (3) при больших значениях параметра в случае одинакового роста корней характеристического уравнения (4) посвящены работы [3,4,16,26].

Исследование вырожденного случая было проведено в статье [24] при условии, что коэффициент при неизвестной функции у в уравнении (3) равен нулю.

Цель работы. В настоящей работе исследуются спектральные

свойства минимального дифференциального оператора порожденного в пространстве дифференциальным выражением четвертого порядка следующего вида

Ку = УМ -а{х°у) + Ьх°~гу, X е [х0,со),х0 > о,

решений уравнения 12у = Лу, где /гу = у(4) - а (хау ) + Ьх"у, при а> ,р<2а ,р*а-2,а * 0,6*0-константы.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

1.Получены асимптотические формулы при х -> оо для решений уравнения

где р(х), д(х) - вещественные функции, Я -комплексный параметр.

Приведены соответствующие примеры функций р (х), д (х).

2.Доказана теорема об индексах дефекта дифференциального оператора порожденного в пространстве дифференциальным выражением (5).

3. Построены асимптотические формулы для уравнения (6) при

Л->+оо, ЛеГ,

равномерные по

4. Получены асимптотические формулы для функции - плотности собственных значений расширения оператора

Методика исследования. В работе применяются методы спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов, асимптотической теории дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в асимптотической теории дифференциальных уравнений, спектральной теории дифференциальных операторов.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре по дифференциальным уравнениям в Башкирском государственном университете, на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», Уфа, 2000 г., на региональной школе-конференции для студентов-аспирантов по математике и физике, Уфа, 2001 г., на семинаре « Дифференциальные уравнения» Института математики УНЦ РАН. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора

[1Н5].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых наЮ пунктов и списка литературы, содержащего 40

наименований.

Общий объем диссертации -102 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Глава 1 настоящей диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения решений уравнения

где р(х), д(Х)- вещественные функции, Я -комплексный параметр.

Для нахождения асимптотических формул для решений урав-

нения (6) необходимо свести (6) к L-диагональной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому введем в рассмотрение следующий вектор-столбец

и уравнение (6) перепишем в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка

1у = Ху,

¥' = А(х,Я)¥, ' 0 1 0 04 0 0 10

(7)

0

0 -1

0 0 0

/

/,(х,Л) = а (X,Я)///"'(дг, Я), /4/(дг,Я) = ау (х,ЛЩ(X, Я)(2р(х) я))

(dF(x,A,M )'

где fi О, Л) корни уравнения F(x, Л, р) = 0, а (*, Я) = -—

\ 8Р j = 1,2,3,4, i = 1,2,3 Затем приходим к системе

и' = (Л(*,Я)-С(дс,Д))», (8)

здесь С(х, X) = Т'\х, Л)Т'(х, Л) .причем ее элементы определяются со-

отношениями

сЛх,А) = 0„

а,(х, Я )aJ (х, Я) (-2 р '(*)//, (*, У + й '(-у))

Uj = 1.2,3,4,

при i * j,

А(Х,Л) = diag{/4l^x,x),p1^x,л),fí¡^x,л),f^t^x,л)}.

Система (8) не является £ -диагональной.

Поэтому в системе (8) произведем еще одну замену и = В(х,Л)г, Л) О

где В(х,Л) =

О I + G(x,A)

S(x,A) =

Сп(хЛ)

с,г(*Д)

+ //,(*,Я)

D,(*. А)+ /*,(*■ А) 1

U, 2(*,Я) = г, A) ,

G(x,A) =

О

с43( х,Л)

Сц(х,Л)

Я)-//,(* ,Я) X

Ц^х.Х)- ftt(x,X)

О

/

jtij - растущий при х оо корень уравнения F(x,A,fx) = 0,tt,=-ti,,

О - нулевая матрица, I - двумерная тождественная матрица и получим I -диагональную систему

г = diag{vl,u1,ti),ftt}z-B-lC2Bz-B~1B'z-

(о О

О (/+G)'C,G

г,

здесь С, =

Го о

Vе, Oy

.<Н

о с, Л

Л о.

Далее справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть существуют положительные постоянные а,/7, с, а, ,6,, а1,Ь1 такие, что для любого х > 1 выполняются следующие условия

1) Нт|/>(х)| = +»;

х-+ае

2) Нт|^(дг)| = +оо;

3)

lim

= 0 •

р{х)

4) если Ит Л р] - с,22| = const, то const *■ 0 (где /J, -

Г-++00

убывающий при х -> » корень уравнения F(x, A,/i) = 0, М, = Jp~ \j р1 + Л-q , при условии lim р(х) = или (ix = у р + у] р2 + Ä-q , при условии lim р{х) = ,

5) при х -> +оо

|p«(,)|»ejp(x)|4(i+e(i))f

где к = 1,2;

6) \д(х)\ = с\р\^(1 + о(1)),при х-»-к»;

2

7) а -2а + (2б' -¿)С " = 0 ярм/? = а - 2 ;

Тогда уравнение (б) имеет 4 линейно-независимых решений у/ (х,Л), / = 1,2,3,4 таких, что при х-их справедливы следующие асимптотические формулы

У'1 - (ахц[ + а2хим2) ехр ^ |и, (г, Л)Ж у\,] ~ («,//, (2р-м!) + аМ (гр-^ехр^, (t,Л)dtj,

у[к] ~(аХ +«лХ)ехр(к(и)<л)' у™ ~ (2+ (2р-Лг))ехр^}У2 (/.Л)*},

У? ~ («А (2Р-^г) + «АЛ (2Р~ К )) ехр ^ О, А) ей

~ (а,/'! + ) ехР^/А« 0> Л^ •

где А = 0,1,2 , 512, з21-элементы матрицы 5 . £„ -элементы матрицы й.

Асимптотические формулы теоремы 1.2. позволяют в ряде случаев находить индексы дефекта минимального дифференциального оператора Ьо, порожденного дифференциальным выражением (5). Полученный результат сформулирован в виде следующей теоремы.

10

Теорема 1.3. Пусть ß>\a-l\. Тогда при Km р (х) = -н» t lim q(x) = +оо ши Нт/>(х) = -оо, lim^(x) = +00,0 < а < у% индек-

Х-ЮО х-»« х-*сс / «?

сы дефекта оператора L0 равны (2,2). В случае, когда lim р(х) = +оо (lim^(x) = -оо ши а> V Ит/>(*) =-оо, lim q (л:) = -оо оператор Ь0 имеет индексы дефекта (3,3). Если а > , lim р(*) = -ос, Пт<?(х) = +°о, то индексы дефекта

оператора £ равны (4,4).

Если а > 2, ß <а-2, то при lim р(х) = -но индексы дефекта оператора La равны (2,2), при lim р(х) = -со оператор имеет

индексы дефекта (3,3).

Пусть а >2, ß = a-2. Если lim р(х) = +оо и

-2с +

< ^ (а - 2)'

e.+Ä.c'-

> --—, то индексы дефекта оператора

а

L0 равны (2,2). Если lim р(х) = -оо,

с ( 1 V'

-2с +

\ ^ п

(а-2)2 , .

> --— или ит=+оо,

а2

/

-2с +

0<-

а, +йс2-"

-2с + | ej+V2-"

<0, или limр(х) = +оо,

JC-»+«0

1 (.-iy

< --—, то оператор L0 имеет ин-

аг

дексы дефекта (3,3). Если lim р (х) = -оо

-О

■2с +

a1+blc2- <0 или

а\

' ( J-Л2) (а-2)г

-2с + a+bc2'" I 'V '

,то оператор 1„ имеет ин-

дексы дефекта (4,4),

И, наконец, рассматривается в качестве примера уравнения (6), в случае, когда р (jt) = dx°', q (лг) = / • х"', где d, /, а,, ßt - вещественные постоянные, причем

2/ 2 d *0,f *0,а, >0,/?, >0,ßi < 2а,,—

d

В качестве примеров можно также рассмотреть следующие функции

и т

1) а) р(х) = Y,akx,q(x) = где

»-о /-0

а, >0,А = 0,и,6> >0,j = Q,m,m<2n;

п м

ь) м*)«мгде

Ц.О /-0

— — 26 at >0,k=0,n,bj<0,j = 0,m,m<2n, —-*-(л-1) ;

а.

2) /К*) = Jfl.i'e"' ,<?(*) = , где

»•о /-о

а, > О, Л = 0, л, ¿>7 >0,y = 0,m,m<2«,j<0,r<0>£i*0,¿)?'0;

я ж

3) />(*) = акх' + в* s'n х> ?(*) = X Ь*1 + Ьх' sin х, где

i-О /-0

а > О, b > 0, ак > 0, к = О, п, b¡ > О, j = 0, т, т < 2п, 0 < s < п, 0 < г < т.

Во второй главе получены асимптотические формулы для уравнения (6) при Я —> +оо , X е Г,

Г = {я = ст + /г,г = <r\0 < у < l}, равномерные по х, дге[1,оо) в случае более жестких условий, наложенных на функции р(х) и q(x). Справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия: для достаточно больших х > 1 существуют положительные постоянные

12'

a,p,c,at,bt,avbv причем p*a-2 и справедливыуслсвия I), 3)- 6), 8) теоремы 1.2 и lira q (х) = -<хз.

Тогда уравнение (б) имеет четыре линейно-независимых решения yi / = 1,2,3,4 таких что при А 6 Г, Л -> -ко справедливы асимптотические формулы (9), равномерные по х, хе[1,°о),

В третьей главе, используя асимптотические формулы при Я е Г, Л -> +оо равномерные по х, х е [1,») теоремы 2.1, мы получаем асимптотику функции Грина k{x,jj,A) вещественного расширения

£„ оператора ¿0 при ГэД->оо , равномерного по x,t]

(l < дг < +00,1 < 77 < »).

В четвертой главе получены асимптотические формулы для функции N (л) - плотности собственных значений расширения

оператора La. Результат сформулирован в виде двух теорем.

Теорема 4.1. Пусть выполнены следующие условия 1") Шр(х) = -сс,а>1/, f}>\a-2\;

*-+« / J

2°) limp(x) = -^,a>2J<a-2;

г-* я

Тогда при А-*±х> справедливы асимптотические формулы

dx

p +СГ-Р

Теорема 4.2. Пусть выполняются следующие условия 1°) \тр{х) = лъ,р>\а-2\;

2?) \\тр{х) = *с,а>2,р<а-2;

гчае

Тогда при Л ±х> справедливы асимптотические формулы

Заключение. Основные результаты диссертации опубликованы в открытой печати: оператора

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Жибер Н.А.(Сидельникова) Асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения четвертого порядка при х —> +оо .//Тр. Межд. конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», т. 3, Уфа, 2000, с. 91-95.

Жибер Н.А.(Сидельникова) Асимптотика решений обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка при больших значениях параметра//Вестник БашГУ, Уфа, №1, 2001, с.9-14.

Жибер Н.А.(Сидельникова) Асимптотическое поведение решений уравнения , при Л +ао //Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов, молодых ученых по математике и физике. Тезисы докладов ч. I. Математика. Уфа, 2001, с. 36.

Сидельникова Н.А. Об индексах дефекта сингулярного дифференциального оператора, порожденного выражением

//Мат.зам.

2003. т. 73. ;1, с. 148-151.

Сидельникова Н.А., Султанаев ЯЛ. Об асимптотике спектра дифференциального оператора четвертого порядка в вырожденном случае//ДАН РАН, 2003, т.393, №2. с. 1-3.

Автор выражает благодарность в подготовке диссертации своему научному руководителю профессору Султанаеву ЯЛ.

Литература.

[1] Аникеева Л.И. Об асимптотическом поведении решений уравнения 1у = У4) -а(х°у) +Ьх"' при дг->+х// Вестник Московского университета. Серия математической механики. 1976, №6. с. 44-52. .

[2] Аткинсон Ф.В. Дискретные и непрерывные граничные задачи.-М.: Мир. 1968.

[3] Аленицын А.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лицвилля в случае предельного круга.//Дифференциальные уравнения, 1976. т. 12. №93. с. 428-437.

[4] Белогрудь В.П., Костюченко А.Г. О плотности спектра оператора Штурма-Лиувилля.//Успехи математических наук.1973. т.28, №2 с. 227-228.

[5] Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов.-М.: Наука 1963.

[6] Devinatz A. The deficiency index of certain fourth-order ordinary self-adjoins differential operators.- Quart. J.Vath., 1972, 23№91, p. 267-286.

[7] Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных зна-чений.-М.: Наука, 1979.

[8] Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:ИЛ, 1958.

[9] Левитан Б.М. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов.//В.Сб.:Междунар. конгресс математиков в Ницце. 1970. М.: Наука. 1972. с. 145-157.

[10] Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию.-М: Наука. 1970.

[11] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.-М.: Наука. 1969.

[12] Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений.//Киев: Из-во АН УССР. 1954.

[13] Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра сингулярных дифференциальных операторов в неопределенном случае.// Вестник Моск. ун-та, сер. матем., мех. 1975, №3. с. 21-30.

[14] Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра обыкновенных дифференциальных операторов в вырожденном случае//Цифф. ур-я. 1992. т. 18. №10. с. 1694-1702.

[15] Султанаев Я.Т. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнения в вырожденном случае.// Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1988. Вып. 13. с. 36-55.

[16] Султанаев Я.Т. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вект-функций.//Дифференциальные уравнения. 1974. т.Ю. №9. с.1673-1683.

[17] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир. 1970.

[18] Садовничий В.А. Теория операторов.-М.: Высшая школа. 1999.

[20] [21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.: ИЛ. 1962.

Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Наука. 1983. Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов.// Труды ММО. т. 15.1966. с. 296-345.

Eastham M.S.P, Grudniewicz C.G.M. Asymptotic theory and deficiency indices for the higher-order differential equations.//J.London Math. Soc. 1981.2-d ser. vol. 24. part 2. p. 256-271. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.-М.: Гостехиздат, 1948.

Султанаев Я.Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных дифференциальных операторов//Дифференциальные уравнения, 1974, т. 10, №11. с.2010-2020.

Султанаев Я.Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных сингулярных операторов в неопределенном случае//Изв. АН Каз. ССР, серия физ.-матем., 1975, №3, с. 86-88. Федорюк М.В. Асимптотика дискретного спектра оператора

Сидельникова Наталья Анатольевна

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА В ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 12.11.2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл.печ.л. 1.03. Уч.-изд.л. 0,96. Тираж 100 экз. Заказ 796.

Редакционно-издательский отдел Башкирского государственногоуниверситета 450074, РБ, г. Уфа,ул.Фрунзе, 32.

Отпечатанонамножительномучастке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.

»2 68 3 8

Введение.

Исследование асимптотического поведения

Глава 1 фундаментальной системы решений уравнения 1{у) = Лу при 16 х -> оо. Индексы дефекта оператора L0.

1.1 Введение.

1.2 Преобразование уравнения (1.1).

1.3 Асимптотика решений уравнения (1.1) при х —> оо.

1.4 Исследование индексов дефекта оператора LQ.

1.5 Примеры.

Исследование асимптотического поведения

Глава 2 фундаментальной системы решений уравнения 1у = Лу при

Л е Г, Л —> оо.

2.1. Введение.

2.2. Асимптотика решений уравнений !у = Лу, при ^ ЛеГ,А->ао.

Глава 3 Асимптотика функции Грина.

3.1 Резольвента оператора L0.

3.2 Асимптотические формулы для функций asl (Л) при ^ ЛеГ,Л->оо.

Глава 4 Асимптотическое распределение собственных значений.

В теории сингулярных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с изучением спектральных свойств оператора в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Под спектральными свойствами понимают качественный и количественный характер спектра, индексы дефекта и спектральные асимптотики оператора.

Первые результаты, связанные с качественным исследованием спектра оператора Штурма-Лиувилля в зависимости от поведения потенциальной функции, были получены еще в начале XX века Г.Вейлем. Дальнейшие исследования в этом направлении были стимулированы развитием квантовой механики. Различные результаты как для оператора Штурма-Лиувилля, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка и операторов в частных производных были получены в работах [1-17, 20-22, 24-26]. Дадим необходимые в дальнейшем определения.

Известно, что (см. [11]) самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка имеет следующий вид где pj (jc) ,j = 0,n - вещественные функции.

Квазипроизводные функции у, соответствующие выражению 1у определяются формулами

1)

V["] = D (x\£y. VM-D (x\d у у PoW^y -PkK*)^ ^{y здесь k = \,n.

Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что j [2л1

Мы будем считать, что выражение 1у имеет смысл для данной функции у, если все квазипроизводные у до (2я-1) -го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном подынтервале [«,/?] интервала (а, Щ.

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение

Ь=(-1)" у{1"]+EH* [pn-t M/'f (2) к=О V ) где рк{х)к = \,п - дважды непрерывно-дифференцируемые вещественные функции. Введем в рассмотрение пространство Ь2[х0,оо), (х0 >0). Дифференциальное выражение 1у, рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при x>R,R> 0 (выбор R, вообще говоря, различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через L0.

Оператор L0 называется минимальным оператором, порожденным дифференциальным выражением 1у в L2[x0,oo),[x0 >0). Сопоставим уравнению

1у = Лу (3) следующий многочлен по ju к=1

Уравнение

F(x,A,ju) = 0 (4) будем называть характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному выражению 1у. Система дифференциальных уравнений первого порядка

Y' = (Л(х)+М(х)), рассматриваемая на некотором промежутке [х0,оо),(х0 >0) называется L-диагональной, если матрица А является диагональной, причем ее элементы локально суммируемы, разность их действительных частей знакопостоянна, а все элементы матрицы М-суммируемые на [х0,со) функции.

Пусть L-симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н, Л-произвольное комплексное число, причем такое что 1т Л Ф 0. Обозначим через Rx и R^ области значений операторов {Ь — Л1) и (Ь—Л1), где I-тождественный оператор. Очевидно, что Rx и подпространства Н, причем необязательно замкнутые.

Ортогональные дополнения NA=H-RA и N^=H—R^ называются дефектными подпространствами оператора L.

Известно, что при любом комплексном Л из верхней полуплоскости dim Na = dim Nt, dim N\ = dim Nt.

Положим т = dim Nf,k = dim Nt. Пара чисел (m,k) называется индексами дефекта симметрического оператора L.

Известно, ([11], стр. 202-203), что индексы дефекта оператора LQ, порожденного самосопряженным дифференциальным выражением с вещественно-значимыми коэффициентами, одинаковы (т,т) и удовлетворяют оценке п<т<2п.

Levinson [8], М.А. Наймарк [11], И.М. Рапопорт [12] и М.В. Федорюк [20] внесли большой вклад в развитие аналитических методов исследования индексов дефекта обыкновенных дифференциальных операторов. Основу этих методов составляет нахождение асимптотических формул при х —>+оо для фундаментальной системы решений уравнения 1у = Яу.

Заметим, что случай суммируемых коэффициентов хорошо изучен, и основную трудность представляет случай растущих коэффициентов дифференциального выражения 1у.

Изучению асимптотического поведения решений уравнений (3) при jc —> оо в случае одинакового роста корней характеристического уравнения (4) посвящен целый ряд работ [10, 11, 16, 20, 21].

Случай, когда корни уравнения (4) ведут себя при х—»оо по-разному: часть растет, часть убывает - называется вырожденным и является наиболее сложным.

В работе [l] рассматривалось дифференциальное выражение четвертого порядка в вырожденном случае l2y = - а (х°у)' + bxa~2y, а>2,аФ0 ,ЬфО - константы.

В статье [б] получены асимптотические формулы при х—>со уравнения 12у = Лу, где 12у = у^ -а{хау'} + Ъхру, при

Далее Э. Т. Титчмарш первым строго обосновал асимптотическую формулу распределения собственных значений полуограниченных операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера. После работ Э. Т. Титчмарша, а также исследований Б.М. Левитана, усовершенствовавшего его метод, вопросам распределения собственных значений было посвящено значительное число работ. При этом в них не только совершенствовались методы исследования, но и значительно расширился класс рассматриваемых операторов. Вместе с оператором Штурма-Лиувилля рассматривались обыкновенные дифференциальные операторы произвольного порядка, операторы в частных производных.

В этих работах в качестве вспомогательных получены результаты об асимптотическом поведении решений уравнения (3) при Л-> оо по некоторым лучам или кривым в комплексной плоскости, асимптотике функции Грина оператора L0.

Изучению асимптотического поведения решений (3) при больших значениях параметра в случае одинакового роста корней характеристического уравнения (4) посвящены работы [3, 4, 16, 26].

Исследование вырожденного случая было проведено в статье [24] при условии, что коэффициент при неизвестной функции у в уравнении (3) равен нулю.

В настоящей работе мы рассматриваем минимальный дифференциальный оператор L0, порожденный в 1,оо) дифференциальным выражением четвертого порядка следующего вида ly = у1У -2[р(х)у')' + q(x)y ,\<х< +оо, (5) где p(x),q(x) -вещественные функции, причем р(х) не обращается в нуль для любого хе[1,оо), Я-комплексный параметр.

1. Аникеева Л.И. Об асимптотическом поведении решений уравненияверситета. Серия математической механики. 1976, №6. с. 44-52. 2. Аткинсон Ф.В. Дискретные и непрерывные граничные задачи.-М.: Мир.

2. Аленицын А.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лицвилля в случае предельного круга.//Дифференциальные уравнения, 1976. т.12. №93. с. 428-437.

3. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве М.: Наука, 1966.

4. Белогрудь В.П., Костюченко А.Г. О плотности спектра оператора Штурма-Лиувилля.//Успехи математических наук.1973. т.28, №2 с. 227

5. Белогрудь В.П. Об одной тауберовой теореме.// Мат. зам. 1974. т. 15. №2. с. 187-190.

6. Белогрудь В.П. Асимптотика собственных значение неполуограничен-ных дифференциальных операторов.// Тр. Моск. энерг. ин-та. 1975. Вып. 260. с. 11-22.

7. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов.-М.: Наука 1963.

8. Devinatz A. The deficiency index of certain fourth-order ordinary self-adjoins differential operators.- Quart. J.Vath., 1972, 23№91, p. 267-286.

9. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений.-М.: Наука, 1979.Вестник Московского уни1968.228.

10. Костюченко А.Г., Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лицвилля.//Функц. анализ и его приложения, 1967, т. 1, №1, с. 86-96.

11. Костюченко А.Г. Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов.// ДАН СССР. 1966. т. 168. №1-№2. с. 276-279.

12. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов.// В кн. Четвертая матем. школа. Киев. 1968. с. 42-117.

13. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:ИЛ, 1958.

14. Левитан Б.М. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов.//В.Сб.:Междунар. конгресс математиков в Ницце. 1970. М.: Наука. 1972. с. 145-157.

15. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.-Л. Гостехиздат. 1950.

16. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию.-М.: Наука. 1970.

17. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.-М.: Наука, 1965.

18. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.-М.: Наука. 1969.

19. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений.// Киев: Из-во АН УССР. 1954.

20. Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра сингулярных дифференциальных операторов в неопределенном случае.// Вестник Моск. ун-та. сер. матем., мех. 1975, №3. с. 21-30.

21. Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра обыкновенных дифференциальных операторов в вырожденном случае.//Дифф. ур-я. 1992. т.18. №10. с. 1694-1702.

22. Султанаев Я.Т. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнения в вырожденном случае.// Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1988. Вып. 13. с. 36-55.

23. Султанаев Я.Т. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вект-функций.//Дифференциальные уравнения. 1974. т. 10. №9. с.1673-1683.

24. Султанаев Я.Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных дифференциальных операторов.//Дифференциальные уравнения, 1974, т. 10, №11. с.2010-2020.

25. Султанаев Я.Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных сингулярных операторов в неопределенном случае.//Изв. АН Каз. ССР, серия физ.-матем., 1975, №3, с. 86-88.

26. Садовничий В.А. Теория операторов.-М.: Высшая школа.1999.

27. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир. 1970.

28. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.: ИЛ. 1962.

29. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Наука. 1983.

30. Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов.// Труды ММО. т. 15. 1966. с. 296-345.

31. Федорюк М.В. Асимптотика дискретного спектра оператора со"(х)-Я2р(х)со(х) .//Матем. сб., 1965, т. 68, №1, с. 81-110.

32. Eastham M.S.P, Grudniewicz C.G.M. Asymptotic theory and deficiency indices for the higher-order differential equations.//J.London Math. Soc. 1981. 2d ser. vol. 24. part 2. p. 256-271.

33. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.-М.: Гос-техиздат, 1948.

34. Келдыш М.В. Об одной тауберовой теореме.//Тр. Матеем. ин-та АН СССР, 1951, т. 38, с. 77-86.

35. Жибер Н.А.(Сидельникова) Асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения четвертого порядка при х -» +оо .//Тр. Межд. конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», т. 3, Уфа, 2000, с. 91-95.

36. Жибер Н.А.(Сидельникова) Асимптотика решений обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка при больших значениях параметра.//Вестник БашГУ, Уфа, №1, 2001, с.9-14.

37. Сидельникова Н.А. Об индексах дефекта сингулярного дифференциального оператора, порожденного выражением ylv -2а{хау'^ + Ъх^у//Мат.зам. 2003. т. 73. ;1, с. 148-151.

38. Сидельникова Н.А., Султанаев Я.Т. Об асимптотике спектра дифференциального оператора четвертого порядка в вырожденном случае.//ДАН РАН, 2003, т.393, №2. с. 1-3.