Спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов в вырожденном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

0.1 Основные понятия и определения.

0.2 Содержание главы

0.3 Содержание главы

0.4 Содержание главы

0.5 Содержание главы

1 Исследование асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ху. Случай медленнорастущей фукнции рпг(ж).

1.1 Введение.

1.2 Преобразование уравнения (1.1).

1.3 Асимптотика решений уравнения (1.1).

2 Исследование асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения 1у — А у. Случай быстрорастущей функции рп^(х).

2.1 Введение.

2.2 Преобразование уравнения (2.1).

2.3 Асимптотика решений уравнения (2.1).

3 Исследование индексов дефекта самосопряженных дифференциальных операторов.

4 О спектре дифференциальных операторов в вырожденном случае.

Введение.

0.1 Основные понятия и определения.

Одной из основных задач в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов является задача исследования их спектральных свойств в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Исследованию этой задачи посвящен ряд работ [1-17, 24-28]. Дадим необходимые в дальнейшем определения.

Как известно (см. [12]), самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка необходимо имеет вид: где з = 0,п - вещественные функции.

Определение

Выражение 1\у, рассматриваемое на конечном интервале (а,Ь) при а,Ь), называется самосопряженным регулярным дифференциальным выражением. В противном случае выражение 1у называется сингулярным самосопряженным дифференциальным выражением.

Определение

Квазипроизводные функции у, соответсвтующие выражению 1\у, определяются формулами: условии, что коэффициенты суммируемы во всем

Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что ку = г/Н

Мы будем считать, что выражение имеет смысл для данной функции у, если все квазипроизводные функции у до (2п — 1)-го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном подынетервале [а, /3] интервала (а, 6).

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение

У = (-1)+ Е (-^(р»-*^^, 0 < ж < оо, (2) где Рк{х)> к — 1,п - дважды непрерывно-дифференцируемые вещественные фукнции. Введем в рассмотрение пространство 1/2(0, оо). Дифференциальное выражение 1у, рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при х > Л, Я > 0 (выбор Я вообще говоря различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через

Определение

Оператор называется минимальным оператором, порожденным дифференциальным выражением 1у в Ь2(0,00).

Сопоставим уравнению

1у = А у (3) следующий многочлен по /

F(x, Л,/г) = /i2n + + (~1)п(Рп - А).

Определение

Уравнение

F{x, A,/i) = 0 (4) будем называть характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному выражению 1у.

Определение

Система дифференциальных уравнений первого порядка

У - (Л(®) + D(x))Y, рассматриваемая на некотором промежутке (0, оо) называется L-диагональной, если матрица Л является диагональной, причем ее элементы локально суммируемы, разность их действительных частей знакопостоянна, а все элементы матрицы D - суммируемые на (0, оо) функции.

Пусть L - симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н, и пусть Л - произвольное комплексное число, но такое, что ImA ф 0. Обозначим через R\ и R^ области значений операторов (L — XI) и (L — XI), где I - тождественный оператор. Очевидно, что R\ и Rj -подпространства Д", причем не обязательно замкнутые.

Определение

Ортогональные дополнения N\ = Н — R\ и Nj — Н — Rj называются дефектными подпространствами оператора L.

Известно, ([12],с. 165), что при любом комплексном Л из верхней полуплоскости сПтА/д = сПтАГг, с11тЛ/д = сИпиУ;.

Определение

Положим т = сНтЛ^, к =

Пара чисел (т,к) называется: индексами дефекта симметрического оператора Ь, а сами числа гп, к - его дефектными числами.

Известно, ([12],с.202-203), что индексы дефекта оператора > порожденного самосопряженным дифференциальным выражением с вещест-веннозначными коэффициентами, одинаковы (га,т) и удовлетворяют оценке: п < т < 2п.

Введенные понятия дефектных подпространств и индексов дефекта применяются для построения самосопряженных расширений симметрического оператора Ьд и анализа спектра этих расширений.

Для нахождения индексов дефекта оператора Ьо применяют два метода. Первый, используемый в основном английской школой Э.Ч.Титчмарша [17] , состоит в том, что квадратичная форма (1у,у) интегрируется по частям на полупрямой (0, оо) и исследуется поведение обынтегрирован-ных членов при х -» оо. Недостатком этого метода является то, что он применим только в случае т = п. Во всех остальных случаях он не дает точных индексов дефекта.

Второй метод состоит в исследовании асимптотического поведения при х —)■ оо фундаментальной системы решений уравнения 1у — Ху.

Этот метод берет свое начало в работах ^Ьеушзоп [9]. Затем указанный метод был существенно усовершенствован в работах М.А. Наймарка [12], И.М.Рапопорта [13] и М.В.Федорюка [25].

В работах ]М.Ьеут80п изучались регулярные дифферециальные операторы. В этом случае т = п. Заметим, что случай суммируемых коэффициентов хорошо изучен, и основную трудность представляет случай растущих коэффициентов дифференциального выражения 1у. Выражение Р(х, А,/х) можно переписать в виде

1 (Х~рп{х))к1п

А -Рп(х)у/^'

Последняя формула содержит неоднозначность в выборе корня из комплексного числа. Будем здесь и везде далее считать, что выбрано главное значение корня.

Асимптотика решений уравнения 1у = Ху исследовалась до нас в следующих ситуациях: рк(х) lim -:—.,, .- = 0, к = 1,п — 1. рп[х)\к/п

В этом случае говорят, что промежуточные коэффициенты pk(x) к = 1, п — 1 в смысле роста подчинены коэффициенту при нулевой производной рп(х). В этом случае дифференциальное выражение 1у при х —У оо эквивалентно дифференциальному выражению:

1у = (-1)пуАп +рп{х)у.

2. При х —> оо п . п ^ Ыж) 1 ^ Гг где 6*1, С*2 постоянные.

В этом случае все коэффициенты дифференциального выражения вносят одинаковый вклад в асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения (3).

3. Основной вклад в асимптотические формулы для решений уравнения (3) вносят промежуточные коэффициенты рк{%), к ф п, либо группа таких коэффициентов. Этот случай называется вырожденным и является наиболее трудным. В этом случае, в отличие от случаев 1) и 2), часть корней характеристического уравнения (4) являются растущими, а часть стремится к нулю при х —» оо.

В работе [16] исследовался вырожденный случай, когда рп(х) = О, рп-\{х) ф 0, при некоторых условиях регулярности на функции Рк(х), к = 1,п — 1 и при существенном ограничении на рост функции |рп1(ж)| < А ■ х2+е, где А > 0, е > 0 - постоянные. В работе [2] рассматривалось дифференциальное выражение у = у{2п) + (-1)1а.х°(у®) при условии а > ^ ■ В работе [1] рассматривалось дифференциальное выражение четвертого порядка в вырожденном случае

Iу = у(4) - а • ха(у')' + Ъ • ха~2у, а>0.

В настоящей работе мы рассматриваем минимальный дифференциальный оператор Ьо, порожденный в £2(0,00) дифференциальным выражением следующего вида:

1у = (-1 Ту(2п) + Е(-1 )кЬ>п-кШк)){к\ 0 < ® < оо. (5)

Ввиду того, что рп(х) = рп- 1(2) = . = рп-1+1 = 0, этот случай является вырожденным и обобщает случай, рассматриваемый в [16].

0.2 Содержание главы

Глава 1 настоящей диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения при х —^ оо фундаментальной системы решений уравнения

1у = А у, ЬпЛ ф 0 (6) в случае, когда коэффициенты дифференциального выражения являются "медленнорастущими" в следующем смысле. На коэффициенты уравнения (6) накладываются условия регулярности типа Титчмарша-Левитана, смысл которых состоит в том, что функции к =

1 ,п — I могут расти, но при этом не могут осциллировать. Также предполагается, что растущие корни характеристического уравнения в одну силу и разность действительных частей корней характеристического уравнения не меняет знак для достаточно больших х. На порядок роста функций рк(х), к = 1,п-/ накладываются некоторые условия под-чиненения функции рп^(х), в частности, функции Рк(х), к = 1,п — I могут расти не быстрее некоторой степени функции рп-1(х).

Медленнорастущими" будем называть функции, удовлетворяющие следующим условиям: при этом функция р'п1(х) не меняет знак для достаточно больших х. Очевидно, что последние условия выполнены, например для функций вида где а^ < к/(п — I) , апг < 2/, - постоянные.

Вводя столбец из квазипроизводных, уравнение (6) можно переписать в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Оказывается, что характеристическое уравнение для матрицы Л) совпадает с уравнением (4). Исследуя корни уравнения (4), получаем, что ровно 21 из них убывают при х —> оо (/хх,., /¿2г) > остальные же неограниченно возрастают при х —>• со (/¿гг+ъ . • • > /-¿2п) •

Известно, [12], что если систему дифференциальных уравнений 1-го порядка можно представить в Ь-диагональном виде ьи^)-р^1/2гмн о, 00 О I \

Рп-1{х) = А • ха, где А > О, 0 < а < 21 - постоянные, или же

Рк{х) = Ск ■ хак1пРкх,

У = А{х,\)У.

У = (А + Я) У, то асимптотика фундаментальной системы решений уравнения (8) в главном совпадает с фундаментальной системой решений уравнения таким образом, элементы матрицы В не вносят вклад в главный член асимптотики фундаментальной системы решений системы (8).

Чтобы привести систему (7) к Ь-диагональному виду требуется провести ряд замен переменной. После замены где Т(ж, А) - матрица, диагонализующая матрицу .А(ж,А), приходим к системе где С = Т~~1Т', которая еще не является Ь-диагональной, однако порядок роста элементов матрицы С ниже порядка роста элементов матрицы А, что позволяет стандартной заменой и = В г, где В —> I при х —> оо, I - тождественная матрица, получить ¿-диагональную систему. При выполнении описанных условий на коэффициенты дифференциального выражения /у, для фундаментальной системы решений уравнения (6) получены асимптотические формулы при х —> оо :

У = ЛУ,

Г = Ти и = (А — С), у[?+к](х, А) ~ сф, АК^(£,А) £ (-1 ГРк-т(х)х

Из данных асимптотических формул в частности видно, что элементы матрицы С (ж, Л) не влияют на главный член асимптотики фундаментальной системы решений системы (7). Заметим, что полученные асимптотические формулы имеют вид, аналогичный известным формулам в [25].

0.3 Содержание главы

Предметом рассмотрения данной главы диссертации ялвяется случай, когда условия медленного роста для функции не выполнены.

Если функция рп/(ж) удовлетворяет ограничению и функция р'п1(х) не меняет знак для достаточно больших ж, то очевидно, что

Такие функции будем называть "быстрорастущими". Очевидно, что таковыми являются, например функции вида рп-1(х) = А ■ ха, где А > 0, а > 21 - постоянные, или же рп-1(х)\ > А -х21+£, А> 0, е > О,

Рп-1(х) -Рп-1 "(з)|->+оо,

1+1/2/

Рк{х) = ск ■ хак^кХ, где о^, с*, > 0 - вещественные постоянные.

Основная трудность в рассмотрении данного случая состоит в том, что полученная после диагонализации матрицы А{х, А) матрица С(х, Л) содержит элементы, порядок роста зсоторых при х —> оо выше порядка роста элементов матрицы Л, а именно далее будет показано, что при выполнении описанных условий регулярности и подчинения для коэффициентов дифференциального выражения 1у в данном случае при х —оо справедливо соотношение

Цж, А) - ¿¿¿(ее, А) в силу чего для приведения системы к ¿-диагональному виду требуется производить иные, более сложные преобразования. При этом элементы матрицы С будут вносить вклад в главный член асимптотики для решений фундаментальной системы (7), соответствующих убывающим корням характеристического уравнения. А именно, справедливы следующие асимптотические формулы :

Ш I 21-2» + к] I 21-2г + 1\

Уг%-\{х, А) - аф, Х)^(х, Х)рп14' (ж), г — 1,1, к = 0,п,

Г I 7 1 г ^ п 21-2> + гп- О

1 — 1,1, к = 1,п — 1,

X) ~ а7;(ж, Х)^(х, Л) ехр J А)<з!£, г = 21 + 1,2 п, к = 0,п, ^(а, Л) ~ оф, Л)/2Г*(х, Л) £ Л) ехр А)сЙ, т=0 жо

2 = 2Г+ 1, 2гг, к = 1,72 — 1.

Асимптотические формулы теорем 1 и 2 позволяют в ряде случаев находить индексы дефекта минимального дифференциального оператора > порожденного дифференциальным выражением (5). Их исследованию посвящена

глава 3.

0.4 Содержание главы

В третьей главе диссертации исследуются индексы дефекта минимального дифференциального оператора 5 порожденного самосопряженным выражением (5) в ряде частных случаев. Пример 1.

Пусть Рп-1{х) - положительная дважды непрерывно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям 2) и 3) теоремы 1. Пусть для к = 1,п - I + Т

Рк{х) = ск •2С,г(ж)} где Ск ~ вещественные постоянные. Очевидно, что в этом случае выполнены условия 1) и 4)-6) теоремы 1.2. Полагая в := /л-рп (ж), уравнение (4) можно переписать в виде \з2М + Е(-1)*сь ■ = (-1г4г. (7)

I ^ ) Рп

Ровно 21 корней этого уравнения стремятся к нулю при х —У оо, а остальные корни ] = 21 + 1,2тг ведут себя при х —у со как решения уравнения с постоянными коэффициентами:

82(п-1) + ^ (1)*СА . Л2(п-1-к) = о^ (8) обозначим ИХ

Обозначим так же число чисто мнимых решений уравнения (9) через 2г . Справедлива следующая:

Теорема 3.1.

Пусть рк(х) = • Рп-? 1\х) и выполнены условия 2),3) теоремы 1. Тогда индексы дефекта минимального дифференциального оператора порожденного в Ь2[хо,оо) дифференциальным выражением (5) суть (п + г,п + г), если интеграл о? ап

РпТ21№ (9) сходится, и (гг,п), если этот интеграл расходится. Пример 2.

Пусть рп-1(х) - положительная, начиная с некоторого достаточно большого жо, быстрорастущая, дважды непрерывно-дифференцируемая функция, и пусть для & = 1, п — / -Ь рк(х) = ск где сь, - вещественные постоянные. Очевидно, что в этом случае выполнены условия регулярности и справедлива следующая теорема:

Теорема 3.2.

Индексы дефекта минимального дифференциального оператора Ьц, порожденного в Х-2[жо,оо) дифференциальным выражением (5) суть (п + г,п + г).

Замечание 1.

Аналогично рассматривается случай, когда х) - отрицательная, начиная с некоторого ж о, функция. Замечание 2.

Результаты теорем 3.1 и 3.2 остаются справедливыми, если предположить, что рпг(ж) - положительная дважды непрерывно-дифференцируемая функция, и для к = 1, п — / 4- 1 выполняется

-рпЦ1{х) = ск, где сь - вещественные постоянные.

Пример 3. Рассмотрим двучленное дифференциальное выражение у = (^ту2п + (-^)\рп-1{х)у[ч1) ■ (п)

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению

1у = Ху, имеет довольно простой вид: в2(п-0 + = о, Рпг(ж) >0, Я > 30,

52(га-г) + (-1)"~/+1 = 0, рп-1{х) <0, ® > ®о, и его нетрудно исследовать. Для дифференциального выражения (11) получены следующие результаты. В случае, когда рп-1(%) ~ положительная, начиная с некоторого жо, дважды непрерывно дифференцируемая: и для нее выполнены условия медленного или быстрого роста, индексы дефекта минимального дифференциального оператора , порожденного дифференциальным выражением (11) суть (п,п).

Пусть рп1(х) - отрицательная, начиная с некоторого жо» дважды непрерывно дифференцируемая и для нее выполнены условия медленного или быстрого роста. Тогда индексы дефекта минимального дифференциального оператора Х-о, порожденного дифференциальным выражением (11) суть (п + 1,п + 1), если интеграл (10) сходится и (п,п), если интеграл (10) расходится.

Из последних двух утверждений нетрудно получить следствие для следующего частного случая. Пусть рп/(ж) = а ■ ха , о; > 0. Тогда при а > 0 индексы дефекта оператора суть (и, п), при а < 0 индексы дефекта оператора Ь0 суть (п, п), если а < , и (п + 1, п + 1), если

Следующий пример 4 показывает, что существуют операторы, для которых уравнение (10) имеет чисто мнимые корни. Пример 4.

Пусть п = 5, / = 3, С2 = 4, с\ = — 5. В этом случае минимальный дифференциальный оператор ¿о, порожден дифференциальным выражением

1у = -у[Щ + Ыр1!\х)уМ)М - 4М%(3))(3)

Следовательно, при выполнении условий регулярности индексы дефекта оператора Lq равны (7, 7), если интеграл P~Ht)dt х сходится и (5,5), если данный интеграл расходится.

В примере 5 рассмотрен оператор четвертого порядка в вырожденном случае при условии, что функция р(х) является медленнорастущей. Выписаны асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения 1у — X у, исследованы индексы дефекта соответствующего минимального дифференциального оператора.

0.5 Содержание главы

В данной главе даны приложения результатов глав 1-3 к исследованию спектра самосопряженных расширений минимального дифференциального оператора и доказан ряд теорем. В случае примера 1:

Теорема 4.1.

Пусть выполнены все условия теоремы 1 и интеграл (10) сходится. Тогда если I - четное, то непрерывный спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора Lq , порожденного дифференциальным выражением (5) на отрезке [жд,оо) заполняет всю ось X, если I - нечетное} то непрерывный спектр заполняет ось X • signpni(x) < О, дискретный спектр находится на оси X • signpn-i{x) > 0.

Теорема 4.2.

Пусть выполнены все условия теоремы 1 и интеграл (10) расходится. Тогда

1) если I - четное, либо уравнение (9) имеет 2г чисто мнимых корней, то непрерывный спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением (5) на отрезке [жо, оо) заполняет всю ось А;

2) если I - нечетное, и уравнение (8) не имеет чисто мнимых корней, то непрерывный спектр всякого самосопряженного расширения Ьи оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением (5) на отрезке [жо,оо) заполняет ось Л - sign pn^i{x) < 0, а дискретный спектр находится на оси А • sign pn-i(x) > 0.

В случае примера 2:

Теорема 4.3.

Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора , порожденного дифференциальным выражением (5) на отрезке (0,оо) дискретен, резольвента R\ во всех точках регулярности Л является интегральным оператором с ядром Гильберта-Шмидта.

Автор выражает благодарность за помощь в подготовке диссертации своему научному руководителю проф. Султанаеву Я.Т.

1 Исследование асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения 1у = \у. Случай медленнорастущей фукнции pni(x).

Рассмотрим уравнение: ly = (-1)V2n) + E(-l)\Pn-,{x)y{k)f] = Ay, 0 < а? < оо. (1.1) k=i

Здесь и далее будем считать, что Л - фиксированный параметр, ImA ф 0.

Для вычисления индекса дефекта соответствующего минимального дифференциального оператора важно знать, сколько решений данного уравнения принадлежит пространству Lz(0, оо), в связи с этим особый интерес представляет задача нахождения асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения (1.1) при х —> оо. Введем следующие обозначения: п—1

F{x, А,/*) = м2п+ E(-l)kPk(x)fi2n-2k - (-1)»А. (1.2) к= 1

Будем называть выражение F(x,\,ji) характеристическим многочленом, соответствующим дифференциальному выражению /у, а уравнение F(x,\,p) = 0 - характеристическим. Предположим, что при х —> оо 2/ корней уравнения F(x,X,/i) = 0 стремятся к нулю, (обозначим их Hi(x, А),., ¡d2i(x, А)), а остальные корни неограниченно растут по абсолютной величине (обозначим их /H2i+i(x, Л),., А)). Предположим также, что выполнены следующие условия: для достаточно большого > 0 существуют положительные постоянные а, £>, с, /Ц, Вь такие, что для любого х > жо выполняется

1. Для любой пары г, .7, где г ф j и г,^ = 2/ + 1,2п имеет место оценка а <

1,1 (ж Л)

А) Ь;

2. —» +со при х —> оо;

3. При ж > жо функция р'п1(х) сохраняет знак и выполняется при х —» оо

СЮ оо;

4. Для к = 1, п — I — 1

4-1

А(х)\ < Ак - \Р'п^)\\Рп^ (®)|;

5. Для к = 1, п — I — 1

Г-2. вк ■ \Р£-1{Х)\\рп-Г(Я)\;

6. Ке(/иг-(ж,Л) — /¿¿(¡с, А)) не меняет знак при достаточно больших х для г, У = 21 + 1, 2?г, гфу.

Поясним характер условий 1) и 4),5). Условие 1) означает, что корни характеристического многочлена уравнения (1.2) с номерами 21 + !,., 2п имеют одинаковый порядок роста. Что касается условий 4),5), то они означают, что функции рк(%) имеют некое правильное поведение при х —» оо и фактически следуют из условий 1), 2) если, например, функции Рк(х) являются полиномами или функциями вида с к • хак1п^кх, ак > к/(п — I), < 21, где Ск,(3к ~ произвольные вещественные постоянные. Пусть функции Рк(х) - полиномы и рп-1,(х) = А • ха. Вырожденный случай для / = 1, а > 2 рассматривался в работе [16]. Из условия 3) следует, что в нашем случае а < 21. В работе [2] рассматривалось двучленное выражение

1у = у{ы] + (-\)1а-ха(у^ ч. 2п-21 -о при условии о; > г • В этом смысле данные результаты дополняют и обобщают результаты работ [16], [2].

1.2 Преобразование уравнения (1.1)

Произведем следующие преобразования. Заменим уравнение (1.1) системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем в рассмотрение вектор-столбец из квазипроизводных

Заметим, что введение понятия квазипроизводных позволяет рассматривать дифференциальную операцию 1у на более широком классе функций, а именно, достаточно требовать лишь существования вторых непрерывных производных функций рк(х).

Тогда уравнение (1.1) эквивалентно системе первого порядка:

У = Л(ж, А)У, (1.3) где

А(х, А)

О О 1 О 0 1

О рп-1(х) О

-Л о о

Р1(х) О -1 О о о у . - ,

Нетрудно убедиться в том, что собственные числа матрицы А(х, Л) суть корни уравнения = 0. Рассуждая аналогично [25] показывается, что можно найти матрицу Т(ж, Л) с элементами приводящую матрицу А(х, А) к диагональному виду, т.е. такую, что

Т~гАТ = diag{/¿ь ., М2п} - А.

Матрица следующего вида с^'/^ , {-1)тРг-1-т(х)$ тг=0

-1

2т 3 ' г = 1, п, ,7 = 1,2тг

1.4) приводит матрицу А(х, Л) к диагональному виду. Так как матрица Т(х, Л) состоит из собственных векторов матрицы А(х, А), то она определяется с точностью до умножения каждого столбца на ненулевую скалярную функцию а{(х, А) , г — 1,2п. Определим однозначно матрицу Т(х, Л) из условия

Т~1Т% = 0. (1.5)

Получим следующее выражение для функций «¿(ж, Л):

2/ дР(х, А, Цъ) дц

-1/2

1,2 п. (1.6)

Обозначим теперь матрицу Т~гТ' через С. Учитывая вид матрицы Т(х} А), а так же лемму 2.2 из [25], получим, что для элементов матрицы С справедливы формулы: с

Сц~ о,

Е(-1)Ч(№Г% Ь3 = 1,2п. (1.7) гу — г - Рз к= 1

Произведем в системе (1.3) замену:

У" = Ти. (1.8)

Получим систему: и = Аи — Си. (1.9) Представим матрицу С в виде суммы трех матриц:

С = С\ + С2 + С3, 24 где п Х о С12 . С1{21 о'1 =

1 Сх О ^ О О

О'! =

С21 О

С21Л С212

С2М О

7 о о х 0 у с% о С21+1,21+2

21+2,21+1 О с2тг,2Ш С2п,21+2

21+1,2п ¿21+2,2п О с2 = о о о

21+1,1 С21+2Л о ¿1,21+1 о с2,2г+1

О ¿21,21+1

21+1,21 О

21+2,21 О

2п,1 •• ¿2п,2 О

• ¿1,2 п

• С2)2 п

• С21,2п О о о

Введем в рассмотрение также матрицы

Л1 = <^{/¿1, . . . А2 = • • -?М2п}

Тогда матрицы С\(х,Х) с элементами

9и = О, и (?2(ж,Л) с элементами:

Й-О,

1.10)

1.11) удовлетворяют следующим матричным уравнениям:

Л1С1 — 61Л1 = С1, Л2(?2 — = С3.

Положим в (1.9) и — Вг.

1.12), где

1 I + вг О ^

В= . (1.13) О 1 + в2 )

Здесь I - тождественная матрица соответствующего размера. Подставляя (1.13) в (1.9) получим:

В'г + В г' = к гл \

Аг О О Ло

Вг - сгВг - с2Вг - С3Вг =

1 Лх О у О Л2/

1 + С1 о о / +

2 - СуВг - - С3Вг

А1 + С^! + Сг О

О Л2 + &2Л2 + С3

2 - схВх - С2Вг - СъВг

1 + о^аг о О (/ + С2)Л2

2 - с?вг Сгвг О ^ О С,С2 ) откуда 2 г-В"1С2Вг-В~1В'г

-1 о'.

М2гг / 26 (I Л-в^С^х О ^ г, (1.14)

У О (/ + С2)-1СзС2

1. Аникеева Л.И. Об асимптотическом поведении решений уравнения 1у — 2/(4) — а(хау')' + Ъха"2у при х —> оо. //Вестник Моск.ун-та. Сер. матем. мех. 1976. N6. с. 44-52.

2. Аникеева Л.И. Об индексе дефекта одного дифференциального оператора высшего порядка. // УМН. 1977. т.32. N 2, с. 179-180.

3. Аткинсон Ф.В. Дискретные и непрерывные граничные задачи.// М.:Мир. 1968.

4. Белогрудь В.П., Костюченко А.Г. О плотности спектра оператора Штрума-Луивилля.// Успехи матем.наук. 1973. т.28. N 2. с. 227228.

5. Березанский Ю.М. Обзор по спектральной теории самосопряженных дифференциальных и разностных операторов. // Тр. семинара по функц. анализу. Ин-т матем. АН УССР. 1970. вып.2. с. 3-135.

6. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов.// М.: Наука. 1963.

7. Исмагилов И.М. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вектор-функций.// Мат.заметки. 1971. т.9. N 6. с. 667-675.

8. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы).// М.: Наука. 1979.

9. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.// М.: ИЛ, 1958.

10. Левитан Б.М. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов.// В сб.:Междунар.конгресс математиков в Ницце. 1970. М.:Наука. 1972. с. 145-157.

11. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы).// М.: Наука. 1970.

12. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.// М.:Наука.19б9.

13. И.М.Рапопорт. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений.// Киев.:Изд-во АН УССР. 1954.

14. Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра сингулярных дифференциальных операторов в неопределенном случае.// Вестн.Моск.ун-та. Сер. матем., мех. 1975. N 3. с. 21-30.

15. Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра обыкновенных дифференциальных операторов в вырожденном случае.// Диф.ур-ия. 1982. т.18. N 10. с. 1694-1702.

16. Султанаев Я.Т. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений в вырожденном случае.// Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1988. Вып. 13. с. 36-55.

17. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка.// М.: Ин.лит.41. 1960, ч.2. 1961.

18. Уиттекер Э.Т.,Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа.// М.:ФМ.42. 1963.

19. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.//М.:Мир.1970.

20. Садовничий В.А. Теория операторов.//М.:Высшая школа.1999.

21. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая тео-рия.//М.:ИЛ. 1962.

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.//М.гНаука. 1967.

23. Ланкастер П. Теория матриц. //М.:Наука.1982.

24. Zettl A. Formally self-adjoint quasi-differential operators.//Rocky mount, journal of math. v.5. N 3. 1975.

25. Федорюк M.B. Асимптотические методы для линейных обыкновенных диффренециальных уравнений.// М.:Наука. 1983.

26. Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов.// Труды ММО. т.15. 1966. с. 296-345.

27. Paris R.B., Wood A.D. On the nature of the nth order symmetric differential equations and McLeods conjecture.// Procceedings of the Royals Society of Edinburg. 90A. 1981. p. 209-236.

28. Eastham M.S.P, Grudniewicz C.G.M. Asymptotic theory and deficiency indices for the higher-order differential equations./ / J.London Math.Soc. 1981. 2-d ser. vol.24. part 2. p. 256-271.

29. Назирова Э.А. Асимптотика решений ОДУ в вырожденном случае.// Вестн.БашГУ. 1999. N 2. С.7-12.

30. Назирова Э.А., Султанаев Я.Т. Исследование индексов дефекта сингулярных дифференциальных операторов.// в сб."Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании". Изд-во УГАТУ.Уфа. 1999. с .175-183.

31. Назирова Э.А., Султанаев Я.Т. Об индексах дефекта сингулярных дифференциальных операторов в вырожденном случае.// Мат.зам. 2002. т.71. N 1. с .182-184.

32. Назирова Э.А. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений в вырожденном случае. // Дифф.ур. 2002. т.38. N 3. с .1-6

33. Назирова Э.А. Об индексах дефекта сингулярных дифференциальных операторов в вырожденном случае.// Тез.докладов между нар.конф." Дифференциальные и интегральные уравнения". Че-ляб.госуниверситет. 1999. с .84.

34. Valeev N.F., Nazirova Е.А., Sultanaev Ya.T. Asimptotic theory of ordinary differential equation and its application to spectral theory of differential operators.// Dynamic of Multiphase Systems. Ufa. 2000. p.396-398.

35. Назирова Э.А. Асимптотика решений самосопряженного уравнения 5-го порядка в вырожденном случае.//Материалы межд.конф. "Методы функ.анализа и теории функций в различных задачах мат.физики". Уфа. 2000. с .37-42.

36. Назирова Э.А. Асимптотика решений сингулярных дифференциальных уравнений в вырожденном случае.// XXIII Конф. молодых ученых. МГУ. 2001.

37. Назирова Э.А. Об индексах дефекта сингулярных дифференциальных операторов.// Тр. матем.центра им.Н.И.Лобачевского, т.8 те-ор.функ., ее прил. и смежн. вопр. Матер.V Казанской межд. шк.-конф. Казань. 2001. с .171-172.

38. Назирова Э.А. О собственных значениях специальных кососиммет-рических матриц.// Регион.школа-конф. для студентов, аспирантов, молодых ученых по математике и физике. Тезисы докладов. ч.1. математика. Уфа. 2002.