Развитие метода регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений Вольтерра с произвольным вырождением ядра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Шапошникова, Дарья Алексеевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ШАПОШНИКОВА ДАРЬЯ АЛЕКСЕЕВНА
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ЯДРА
01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
йог т ^ I
Москва — 2014
005548140
Работа выполнена на кафедре Высшей математики ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ".
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,
доцент Елисеев Александр Георгиевич Официальные оппоненты: Денисов Игорь Васильевич
доктор физико-математических наук. Тульский государственный педагогический университет, факультет Математики, физики и информатики, профессор кафедры Алгебры, математического анализа и геометрии
Букжалёв Евгений Евгеньевич кандидат физико-математических наук, МГУ им. М.В. Ломоносова, Физический факультет, ст. преподаватель кафедры Математики
Ведущая организация: Московский физико-технический
институт (государственный университет)
Защита диссертации состоится 18 июня 2014 г. в 16.00 в ауд. М-710 на заседании диссертационного совета ДМ 212.157.17 при ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ" по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 13.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ" (http://ntb.mpei.ru/).
Автореферат разослан СиуЭ-висЯ^ 2014 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Перескоков А.В.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. При выполнении следующих условий на ядро интегрального оператора Вольтерра и правую часть уравнения:
3) К(Ь,з) имеет вырождение (п — 1) -го порядка на диагонали; рассматриваем скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода при стремлении малого параметра к нулю:
г
В данной диссертации изучается скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода (1) при стремлении малого параметра к нулю с вырождением ядра предельного интегрального оператора произвольного порядка. Целью работы является построение регуляризованной асимптотики для уравнения (1) при выполнении условий 1)—3), которые порождают различные особенности поведения решения при е->+0 в зависимости от порядка вырождения.
Асимптотическое интегрирование для простейших линейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем и линейных интегро-дифференциальных уравнений были получены С.А. Ломовым1.
С позиции метода регуляризации С.А.Ломова задача асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения решена в работах А.Г.Елисеева2'3. Метод регуляризации в условиях стабильности спектра на линейные системы ОДУ впервые развит В.Ф. Сафоновы!^.
1 Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. —М.: Наука, 1981, 400 с.
2 Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора. // Изв. АН СССР, сер. Матем. 1984, т. 48, вып. 6, с. 1171-1196.
3 Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора. // Матем. сб., 1986, т. 131(173), № 4, с, 544—557.
4 Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. // Изв. АН СССР, сер. Матем., 1979, т. 43, № 3, с. 628-653.
1) к(г, з) е с°°(о < э <t <т,с)\
2) Л(4) б С°°([0,Г],С);
(1)
о
Построению асимптотических решений для интегро-дифференциальных уравнений с быстро изменяющимися ядрами посвящены работы как В.Ф. Сафонова5, так и его учеников6.
Так же в работах A.A.Бободжанова, В.Ф.Сафонова7'8 исследуются сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения с диагональным вырождением ядра высокого порядка.
В диссертации рассматривается скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода при £ +0 с вырождением ядра предельного интегрального оператора произвольного порядка. Следует заметить, что в данной постановке задача (1) с условиями 1)—3) относится к наиболее трудным задачам асимптотического интегрирования — к задачам со спектральными особенностями предельного оператора.
В данном случае предельным оператором является жорданова клетка с тождественно нулевым собственным значением, возмущенная интегральным оператором Вольтерра, который порождает ветвление нулевого собственного значения порядка п.
Кроме того, при п = 2 разветвление собственного значения является чисто мнимым. Выше изложенные особенности задачи не позволяют пользоваться методами, изложенными в работах9'10,11,12.
5 Сафонов В.Ф., Туйчиев О.Д. Регуляризация сингулярно возмущенных интегральных уравнений с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотика. // Дифф. урав., 1997, т. 33, вып. 9, с. 1199—1210.
° Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные нелинейные интегро-дифференциальные системы с быстро изменяющимися ядрами. // Матем. заметки, 2002, т. 72, вып. 5, с. 654—664.
7 Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональным вырождением ядра. // Дифф. урав., 2001, т. 37, № 10, с. 1330-1341.
8 Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения с диагональным вырождением ядра высокого порядка. // Матем. методы и приложения. Тр. XX матем. чтений РГСУ, 2011, с. 3-12.
9 Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. —М., Наука, 1973, 272 с.
10 Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. —М.: Высшая школа, 1990, 208 с.
11 Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. —М.: Наука, 1989, 336 с.
12 Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. —М.: Наука, 1977, 384 с.
Постановка задачи, предложенная в диссертации, ранее не исследовалась.
Цели и задачи работы.
1. Установление существования и единственности решения уравнения (1) с описанными выше условиями. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
— исследование свойств ядра предельного интегрального оператора в зависимости от порядка вырождения;
— установление разрешимости и нормальной разрешимости интегральной / интегро-дифференциальной системы для уравнения (1);
— получение оценок по норме С решений интегральных / интегро-дифференциальных систем для уравнения (1).
2. Выявление характера предельного перехода при е —> +0 на всем промежутке времени [0, Т]:
— получение условий на, неоднородность исходного уравнения (1);
— решение задач инициализации.
Методы исследования. В работе применяется метод регуляризации А.С.Ломова и его модификации, разработанные на интегральные уравнения А.Г. Елисеевым и развитые автором для данных задач, а так же методы теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В работе получены новые результаты, основные из них состоят в следующем.
1) Для сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода с вырожденным ядром интегрального оператора произвольного порядка, построена эквивалентная сингулярно возмущенная интегро-дифференциальная матричная система.
2) На основе анализа свойств ядра предельного оператора выявлены три принципиально различных случая поведения решения при е —» +0.
3) Установлена нормальная и однозначная разрешимость интегральных / интегро-дифференциальных систем для уравнения (1) для каждого из трех случаев. При этом произведена полная регуляризация системы, в том числе и интегрального слагаемого.
4) Построено формальное решение задачи (1) для трех выявленных случаев и доказана асимптотическая сходимость этих формальных решений к точным.
5) Выявлены условия на неоднородность исходного уравнения (1), при которых осуществляются различные типы сходимости к предельному решению.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях сингулярно возмущенных задач как интегральных, так и интегро-дифференциальных. Она может служить теоретической основой для исследования задач автоматического регулирования, обработки экспериментальных данных, для исследования стратегий обновления генерирующих мощностей в электроэнергетике.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на следующих научных семинарах:
• семинар "Теория сингулярных возмущений" кафедры ВМ МЭИ под руководством проф. В.Ф.Сафонова, проф. A.A.Бободжанова (2009-2013 гг., неоднократно);
• семинар "Дифференциальные уравнения" кафедры ММ МЭИ под руководством проф. Ю.А.Дубинского, проф. А.А.Амосова.
Результаты работы были доложены на научных конференциях:
• школа "Математические методы и приложения" (РГСУ, 2009—2013, неоднократно);
• международная конференция по Математическому моделированию, Саратов, 2009;
• Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 25.01—1.02.2011).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
В статье Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. "Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра" ("Вестник МЭИ", № 6, 2010, с. 34—47) постановка задачи (с. 34) принадлежит Елисееву А.Г. Дальнейшее исследование и решение уравнения (1) при выполнении
условий 1)—3), регуляризация и формализм метода, оценка остаточного члена, теорема об оценке остаточного члена (с. 35—36) принадлежит Шапошниковой Д.А.
В статье Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. "Асимптотическое решение сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра в случае простой точки поворота первого порядка" ("Вестник МЭИ", № 6, 2011, с. 155—158) постановка задачи (с. 155) принадлежит Елисееву А.Г. Дальнейшее исследование и решение уравнения (1) на конкретном примере, выявление сингулярностей, описание итерационных задач, получение главного члена асимптотики принадлежит Шапошниковой Д.А. (с. 156-158).
В статье Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. "Анализ регуляризованной асимптотики интегрального уравнения Вольтерра в случае невырожденного ядра" ("Вестник МЭИ", № 6, 2012, с. 57—64) постановка задачи (с. 57) принадлежит Елисееву А.Г. Дальнейшее исследование и решение уравнения (1) при выполнении условий 1)—4); регуляризация задачи, построение асимптотического решения (теоремы 1, 2); оценка остаточного члена, предельный переход (теоремы 3, 4, 5); построение асимптотических и точных решений уравнения Вольтерра на конкретном примере (с. 58—64) принадлежит Шапошниковой Д.А.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных в общей сложности на 12 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации составляет 112 страниц. Список цитированной литературы включает 129 наименований.
Определения и обозначения
Определение 1. Функция K(t,s) имеет вырождение n-го порядка на диагонали, если Vt € [0, Т]
к s=t dt s=t dt-'
00
Определение 2. Ряд ^£ngn(i,£) называется асимптотически
71=0
сходящимся к g(t, е) при е -> +0 равномерно по t £ [О, Т], если
= 0,
d^Kit, s)
s=t
dtn
т^О.
N
g(t,e)-Y,engn(t,e)
n=0
< Cn£N+1, где С не зависит от е.
С[0,Т]
Определение 3. Вектор-функция Z{t, т, е) принадлежит пространству
U=\z Z(t,T) = ^xt(t)e^+y(f), Xi{t\y{t)€C°°([О.П.С"),
t
п "if —_
с нормой ||Z||=53l|®fc||o + ||l/||o и Г,- = - / \i{s)ds = ^j-, i = l,n. k=1 15
Определение 4. Интегральный оператор K(t, s) невырожден на
диагонали, если K(t, t) Ф 0.
Определение 5. Интегральный оператор K(t, s) имеет вырождение
at
¿0.
1-го порядка, если K{t, t) = 0,
а—с.
Определение 6. Функция u(i,e) стремитсяк y(t) при е —)■ +0,если
||u(i,e)-y(i)||c[o,T] £->+0i
где y{t) — решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода t
J K(t,s)y(s)ds = h(t).
Определение Т. Функция u(t, г) стремится к y(t) в слабом смысле
при е +0, если V/(t) е С°°[0,Т\ т
0.
/
/(s)(u(s,e) - y{s))ds
+0
Определение 8. Под решением задачи инициализации для исходного сингулярно возмущенного интегрального уравнения будем понимать определение класса Е правых частей /г^), при которых в решении отсутствуют экспоненциально растущие по £ слагаемые.
Введем обозначения:
1 д
i = 1,п;
е
1) дифференциальный оператор A(s) = д.^ qs>
2) Tk{t)Z(t,T,e) = |>*00 (—¡B(t,a)xi{s))
-ÈAWtITSMW) , A; = îTôô;
t t 3) T(t) = A(t) - J B{t, s) ■ ds; 4) I(t) = J B{t, s) • da.
о о
3
5) J*kx(t) = Dk{s) I k(t, s)x(s)ds .
J s=t
0
Постановка задачи
Рассматривается скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода при стремлении малого параметра к нулю
t
su(t, е) + У K(t, s)u(s, e)ds = h(t) (e -s- +0). (1)
о
Исследование данного уравнения в рамках метода регуляризации проведем при выполнении следующих условий:
1) K(t, s) G 0 < 5 < t < Т, С); 2) h(t) 6 С°°([0, Т], С); 3) K(t,s) имеет вырождение (п - 1)-го порядка на диагонали.
Краткое содержание диссертации
Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна, описана методика исследования, показана теоретическая ценность, представлены выносимые на защиту результаты.
Первая глава состоит из трех параграфов.
§1.1 посвящен постановке задачи, выявлению особенностей задачи, из анализа выявляются три принципиально различных случая. Следует заметить, что особенности задачи напрямую связаны со свойством вырождения ядра интегрального оператора K(t, s).
Для скалярного сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода
t
luit, е) + j K{t, s)u{s, e)ds = h{t) (1)
о
строится соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система
t
r^^:)- = A(t)z(t,e)- [ B(t,s)z(s,s)ds + Hn(t), at J
^ z(0,e) =z°(e),
где z(t,e) = (u(t,e),ul(t,e),...,un-i(t,e))T, что доказано в лемме 1.1.1 (дисс. с. 24), с предельным оператором
/ о 1 о ... О \
A(t)nxn —
V
о о
d"~lK(t,s)
st"-1
О 1 ..
о о .. 0 0..
0
1
о
s=t
отвечающим за формирование сингулярностей в данной задаче, и
( 0 ... 0 \
B(t, s)nxn =
\ &__
St™
и начальным условием, напрямую зависящим от неоднородности исходного уравнения
/*(0)
___ о )
"°(е) = —
4 ' сп
0
1
е
( 0
\ к^Щ
Спектр матрицы A(t) имеет следующую структуру при w=e^, fc=0, n - 1:
m = ? -
дп-хк{г, s) ■J дп-Т-КЦ, а)
dtn~l - ' V дь"-1 a=t
— Xo(t)u)k,.
принципиально различных случая.
1) n = 1. Рассматривается скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра. Ядро интегрального оператора K(t, s) невырождено. Для существования решения, устойчивого по е потребуем выполнение условия: Vi € [0,Т] ReA(i) = -K(t,t) < 0.
2) n = 2. Для исходного уравнения строится соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система 2-го порядка. Ядро
интегрального оператора K(t,s) имеет вырождение 1-го порядка. Для
существования решения, устойчивого по е, возможен лишь следующий
вариант для собственного значения матрицы A(t) :
Vt е [0,Т] ReAi,2(i) = 0, Ai,2(î) = ±tw(i).
3) п > 3. Для исходного уравнения строится соответствующая
эквивалентная интегро-дифференциальная система n-го порядка. Ядро
интегрального оператора имеет вырождение n-го порядка. В данном
случае из-за свойств ядра интегрального оператора K(t, s) в общем случае
не существует устойчивого решения по е.
§1.2 посвящен полной регуляризации, в том числе и интегрального
слагаемого, соответствующей эквивалентной интегро-дифференциальной
системы и построению формального решения исходного уравнения в общем
случае. В силу стабильности спектра матрицы A(t), регуляризующие
t
функции eTi, где п = ^ J Ai(s)ds = , i = 1, п.
о
Полностью регуляризованная задача имеет вид:
LbZ{t,T,e)=em^e) +¿(-1 )ke^Tk(t)Z(t,r,e) - Hn(t),
т k=Q С3)
Z{О, О, е) = z\e) = + ... + Jtfn-i,
где Lo s è (¿(t) - A,(t)) ^ + T(t)n0(t) и i=l
n
L0Z(t,T,e) = ~ W)xi(t)en + T(Mt)-
t=i
Решение задачи (3) ищем в виде ряда
п 00 ОО
Z(t,Т,е) = £е* £ еЧ(0 + Е
1=1 fc=-n fe=-n
Подставляя (4) в (3), получаем серию итерационных задач, каждая из которых имеет вид системы:
L0Z(t,T) = H(t,T). (5)
Исследуется нормальная и однозначная разрешимость в пространстве U. Доказывается следующий результат.
Теорема 1.2.1 (о нормальной разрешимости) (дисс. с. 36). Пусть выполнены условия 1)—5) (дисс. с. 29) и H(t,r) имеет вид
п
H(t, t) = J2 Hty + ho[t) e и. ¿=i
Тогда уравнение L0Z(t,T) = H(t,r) разрешимо в пространстве U тогда
п д
и только тогда, когда P0(t)H(t,T) = 0, где Po{t) = ^ ~
t=i 1
проектор на ядро оператора Lq .
Теорема 1.2.2 (однозначная разрешимость) (дисс. с. 38). Пусть выполнены условия теоремы 1.2.1 и условия:
1) № + WW, т)) = 0; 2) Z(0,0) = 0.
Тогда уравнение LoZ(t,r)=0 имеет единственное решение Z{t,r) г 0, г<?е T0(t)Z(t,r) = ¿щВ^^М^-¿Щ^ММО).
В §1.3 решаются итерационные задачи, начиная с шага -п. Найден главный член асимптотики решения задачи (1.1.4) дисс. (с. 24). Он имеет
« «(«.»)-+ - + Ш)
£ " V '4/е V V л/1У
Вторая глава состоит из четырех параграфов. В §2.1 рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода в случае невырожденного ядра интегрального оператора (п = 1)
£u{t,e) + J K(t, s)u(s, e)ds = h(t)
(5)
при условии:
1) K{t, s) e C°°(0 < s < t < T, C); 2) h(t) G C°°([0, T], C);
3) ReK(t,t) > 0;
4) K(t,t) ^ 0 при Vi 6 [0,T] (условие невырожденности). Продифференцируем уравнение (5) и получим задачу Коши
t
+ Kb t)u(t, е) + / e)da = h(t),
и
u(0,e) =
<*■ { т (в) Л( 0)
Соответствующая интегро-дифференциальная система имеет вид
t
+ /££Mz(w)<!» = *(<). (7)
где A(i) = -K{t,t)) для функции Z(t,T,e), удовлетворяющей условию расширения Z{t,r,e) =u(t,e). Проводится полная регуляризация
соответствующей эквивалентной интегро-дифференциальной системы. Полностью регуляризованная задача имеет вид:
£aZft'r'e> _ X(t)m'T,E) + A(t)Z{t,r,e) - J(t)Z(t,r,e) = h(t), dt от
ад o..,-!f.
Решение задачи (8) ищем в виде:
оо оо
Z(t, т, е) = skXk(t)eT + J2 (9) fe=—х fc=-i Подставляя (9) в (8), получим серию итерационных задач, каждая из
которых имеет вид системы:
t
LQZk(t,r) = -A{t)dZk£T) + A(t)Zk(t,r) + Jk(t,s)y{s)ds = F(t,T), (10)
о
где k{t, s) = к = -1,оо. Доказаны следующие результаты.
Теорема 2.1.1 (дисс. с. 47). Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть F(t, т) = + € U. Тогда уравнение (10) нормально разрешимо
в пространстве U тогда и только тогда, когда
= = t е [0,Т].
Теорема 2.1.2 (дисс. с. 48) Пусть выполнены условия 1)—4),
8Z(t,T) t д . . т, _ . условия теоремы 2.1.1 и условия: 1) (--^--¿(ijTjje / = и;
2) Z(0,0) = z°. Тогда задача
Г ь0г{г,т) = Г&т),
имеет единственное решение в пространстве С/.
В §2.2 находятся решения итерационных задач и их оценки \\ZkW < Ск||Ь||с»+ь гДе к — итерационный шаг.
В § 2.3 проводится оценка остаточного члена и изучается предельный переход при е +0. Доказан следующий результат.
Теорема 2.1.3 (дисс. с. 54). Пусть выполнены условия 1)—4). Тогда задача (6) однозначно разрешима в пространстве С°°([0,Г],С) и для ее решения справедлива оценка
u(t, е) - uN (t,
<p(t)
< CNeN+1\\h\\c»+b N = -1,0,...
где См > 0 не зависит от е £ (0, £о].
Главный член асимптотики решения задачи (5) имеет вид:
»(м) =
-Л(0)е°
, h(о) №0)Н0)\Шь
+ {-Щ+ Л»(0) у
t /
+ I е о
1 д fc(a,ai)g-i(ai) А (a) dsx A(si)
ds
e e +
+T-\t)
M 1 .fc(¿,0)/i(0)
A(t) A(0)A(t)
Изучается предельный^переход при е +0. Доказан результат.
Теорема 2.1.4 (дисс. с. 59) Пусть в уравнении (5) неоднородность h{t) такова, что ft(0) = 0, и выполнены условия 1)—4), 5) ReA(i) < 0 при t £ [0,Т]. Тогда имеет место предельный переход
||«(i,e)-w>(i)llcii,Tl £ +о где ¡/о(i) — решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода:
->0
J K(t,s)ya(s)ds = h(t).
и
Из теоремы следует, что в случае й(0) = 0 предельным решением уравнения (5) на [<5,Т] является решение уравнения Вольтерра 1-го рода
J K{t,s)yQ(s)ds = h{t).
Теорема 2.1.5 (дисс. с. 59). Пусть в уравнении (5) неоднородность такова, что Н(0) = 0, и выполнены условия 1)—<4), 5) ЯеЛ(<) < О при 4 б [0,Т]. Тогда имеет место предельный переход в "слабом смысле", т.е. У/(4) е С°°[0,Т]
/
/(s)(u(s,e) -y0{s))ds
+0
-»О
где yo(t) — решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода:
/
K{t, s)y0{s)ds = h{t).
Главный член асимптотики решения задачи (5) имеет вид:
~h(t)
и \ ( т с-шА , T-U+,
Urn(t,s) = ( Л(0У Г ' +Т {t)
m
Теорема 2.1.6 (дисс. с. 61) Пусть в уравнении (5) неоднородность h(t) такова, что h(0) = 0 и h(0) = 0, и выполнены условия 1)—4), 5) Re A(t) < 0. Тогда имеет место предельный переход
u(t,E)-y0(t)
с[о,п
е -> +0
0.
Из теоремы следует, что в случае Ь(0)=к(0)=0 предельным решением уравнения (5) на [О, Т] является решение уравнения Вольтерра 1-го рода
J K(t, s)y0{s)ds = h(t).
Теорема 2.1.7 (дисс. с. 63), Пусть в уравнении (5) неоднородность /г(4) такова, что к(0) ^ 0, и выполнены условия 1)—4), 5) КеА(г) < 0. Тогда имеет место предельный переход
||и(*,е) -уо(*)||ср,т] —
где уо{Ь) — решение интегрального уравнения
/г(0)
+0
+ 0,
J K(t,s)y0(s)ds = h(t)-^K(t,0).
В § 2.4 в качестве примера рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра с ядром интегрального оператора,
имеющего вид K(t, s) = a(t)b(s) при выполнении условий 1)-4). Строится асимптотическое и точное решение этого уравнения. Третья глава состоит из двух параграфов.
В главе рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода^с вырожденным ядром 1-го порядка
(П)
su(t, е) + J K{t, s)u(s, e)ds = h(t)
и
при выполнении условий:
1) K(t, s) € С°°(0 < 5 < t < Т, С); 2) h{i) G С-([0, Т], С);
3) Re
K&s) dt
s=i
Соответствующая
= 0 Vi G [0,T]; 4)
эквивалентная
ÔK(t,s)
VÎG[0,T].
система:
" dt ~
dt s=t интегро- дифференциальная
z(t,e)~
z(s,e)ds + H(t),
(12)
В §3.1 проводится регуляризация данной задачи и строится формальное асимптотическое решение. Решение задачи ищем в виде:
Z(t,T,e)= ХУадт), (13)
где Zk(t, т) G U, т.е. Zfc(t,r) = 4(t)eT4- a&t)^ + yfc(t).
Подставляя (13) в полностью регуляризованную систему, получаем серию итерационных задач, каждая из которых имеет вид:
w,r)sA + (14)
+7QZfc(i,r) = F(i,r) при к= -2,00.
Теорема 3.1.1 (дисс. с. 74). Пусть выполнены условия 1)-4) и пусть F(t,r) = Fi(i)en + F2(i)e^ + F0(t) G £Л Тогда нормальной разрешимости уравнения (14) в пространстве U необходимо и
16
достаточно, чтобы
(F(i,T),^(i)eTJ)-0 Vi 6(0,71, j = 1,2. (15)
Здесь ( , ) — обозначение скалярного произведения в пространстве ц. _ собственные векторы матрицы A*(t), соответствующие
собственным значениям Jj(t), j = 1,2. Причем собственные векторы <Pi(t) и t) матриц A(t) и A*(t) берутся дуальными, т.е.
{ipi{t),i^(t)} = ô{ — символ Кронекера. Теорема 3.1.2 (дисс. с. 74). Пусть выполнены условия!)—А), условия
теоремы 3.1.1 и условия 2
(16)
1) =0 у*е[0,Т], 3 — 1,2;
2)2(0,0)=0. (1?) ГогЛг уравнение Ь0г(г,т) = 0 имеет единственное решение
¿?(4,г) = 0 в пространстве и.
Теорема 3.1.3 (дисс. с. 76). Пусть выполнены условия 1)—4). Тогда система (12) однозначно разрешима в пространстве С([0,Т],С2) и для ее решения справедлива оценка
z(t,e)-ZN{t,^,e
С[0,Т)
где См > 0 не зависит от е € [0, ео]-
В §3.2 проводится решение итерационных задач и изучается
предельный переход в задаче (11).
Главный член асимптотики решения задачи (12) имеет вид:
_i(m m-i» ~ £2 \ 2 V Ш
1
L Ai(t) J
21Й1 , е = +
+ 2 Va2(t)e
i
A2(Î)
W(t) ) , 1
e' Ге
+
«Î-2(Î)
2Ai(i)(Ai(i) - A2(î)) V H Ai(î) У
1
L A2(Î) J
+ Ki(t)
. a2(t) .
+
2Aa(i)(A2(i) - Ai(i)) 17
1
Ai(t)
e e +
1
Ai СО
+
яС) e « —
- - A~l(t) j B(t, s)ds) A-\t)B(t, 0) i ^
sl-sjO) (0)
L MO J
+
+
xl2(0)
Aa(0)
1
L m
+ Z0[t,
j
Теорема 3.1.4 (дисс. с. 88). Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть неоднородность h(t) в уравнении {11) такова, что Л(0) = Л(0) = Л(0) = 0. Тогда имеет место предельный переход:
£ +0
•»0;
||2(t,e)-î/o(t)||c[o,T]
Il«(i,e)-îé(i)llo[o,3l £ +0 5 0;
t
где yQ(t) - решение A(t,s)y0(t) + J B(t,s)yQ(s)ds =-H(t),
° t
Voit) ~~ решение интегрального уравнения JK(t, s)yl(s)ds = h(t).
о
Теорема 3.1.5 (дисс. с. 89). Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть неоднородность h(t) в уравнении (11) такова, что h(0) = h(0) = 0, Л(0) ф 0. Тогда имеет место предельный переход на [0,Т] в "слабом
смысле ": сл.
1) z(t,e) e-nV Vo(t),
где
2) u(t,e) е-ц-05 Vo{t\ yl(t) — решение интегрального уравнения j K(t,s)yl{s)ds - h(t).
Замечание. u(t, s)
сл.
£->+0 T
■» y](t) означает, что
V/(i) e <?°°[0, T] : J f{t)(u{t, e) - yl(t))dt 0 при e +0.
Главный член асимптот имеет вид:
aw Jm -l^
' ' — 2Af(0) у Ai(i)
1
Л i(t)
21Ш е < +
h( 0) /л2(0 ) -/ffft*
^2Л|(0) V A2(i)
1
Aa(t) J
e « +
Теорема 3.1.G (дисс. с. 90). Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть неоднородность h(t) в уравнении (11) такова, что h(0) ^ 0. Тогда имеет место асимптотическая сходимость:
z{t,s) - гТЛ (t, £
<еСЫ|Л||с»_
с[о,г] £.
+0
■> 0.
Четвертая глава состоит из трех параграфов.
Анализируется и устанавливается класс {/),(£)} правых частей, приводящих к экспоненциально ограниченному решению сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра с диагональным вырождением произвольного порядка ядра интегрального оператора.
Как было отмечено в § 1.1 в спектре предельного оператора появляются точки с Ие Х(Ь) > 0, т.е. в асимптотическом разложении решения уравнения (1) появляются экспоненциально растущие по £ —» +0 слагаемые. По теореме 1.1.1 (дисс. с. 26) и теореме 1.1.2 (дисс. с. 26) следует, что точное решение ие) уравнения (1) представляется в виде
u(t
п ОО 00 1 /*
, е) = ет< £ки*(0 + 2 где п=е1 Л^s)ds, * =
1=1 к=-п к=-п+1 0
В §4.1 описывается структура проекторов Р^Ь). В §4.2 вычисляются слагаемые итерационных уравнений. В §4.3 решается задача инициализации. Доказан следующий результат.
Теорема 4.1.1 (дисс. с. 99). Пусть выполнены условия 1)—3) для уравнения (1) и неоднородность е т.е. = 0, к = 0,оо.
Тогда
С[0,Г]
< CN£N+I\\h\\cn+N, где
\ £ У к=0 ^
T-\t) = ( I-A~\t) J B(t,s)ds\ A~\t)~.
Теорема 4.1.2 (дисс. с. 100). Пусть выполнены условия теоремы
4.1.1. Для того, чтобы существовал равномерный note. [0, Т] предельный
переход ||u(i,£) — ïï(î)||c[o,t) 0 пРи £ ~~* +0> необходимо и достаточно,
чтобы h(k\0) = 0, к = 0, оо. Здесь ñ(t) — решение интегрального
t
уравнения Вольтерра 1-го рода: J K(t,s)ñ(s)ds = h{t).
о
Автор выражает благодарность научному руководителю доценту А.Г. Елисееву за постановку задач, постоянное внимание к работе, за многочисленные обсуждения и ценные рекомендации.
Публикации по теме диссертации
1. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Решение сингулярно возмущенной задачи в
случае предельного оператора Вольтерра. // Тезисы 2-й международной научной конференции. Саратов, 2007.
2. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика интегралов-функций "всплеска"
при больших значениях аргумента. // Тезисы XXI международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математические модели". Воронеж, 2007.
3. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра. // Труды XII МКЭЭЭ. Алушта, 2008, с. 339—340.
4. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика сингулярно возмущенного
интегрального уравнения Вольтерра. // Вестник МЭИ, 2010, № 6, с. 34—47.
5. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотическое решение сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра в случае простой точки поворота 1-го порядка. // Вестник МЭИ, 2011, № 6, с. 155—158.
6. Елисеев А.Г., Коняев Ю.А., Шапошникова Д.А. Асимптотический анализ одного класса сингулярно возмущенных начальных задач с нестабильным спектром предельного оператора. // Кавказские научные записки, 2011, № 2, с.199—201.
7. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Анализ регуляризованной асимптотики интег-
рального уравнения Вольтерра в случае невырожденного ядра. // Вестник МЭИ, 2012, № 6.
8. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотическое решение сингулярно
возмущенного интегрального уравнения Вольтерра в случае простой точки поворота 1-го порядка. // Труды XXI математических чтений РГСУ "Математические методы и приложения", 2012, с. 38—42.
9. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенного уравнения Вольтерра в случае спектральной особенности 1-го порядка. // Тр. XXII мат. чтений РГСУ "Матем. методы и прил.", 2013, с. 77—84.
Подписано в печать Зак. m Тир. JOO П.л. lió"
Полиграфический центр МЭИ, Красноказарменная ул., д.13
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»
На правах рукописи
04201457951
ШАПОШНИКОВА ДАРЬЯ АЛЕКСЕЕВНА
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ЯДРА
01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель — кандидат физико-математических наук,
доцент Елисеев А.Г.
Москва - 2014
СОДЕРЖАНИЕ
Введение............................................................................................ 4
Глава I. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра.................................. 22
§1.1. Постановка задачи............................ .......................................... 22
§1.2. Регуляризация и формализм метода................. ........................ 30
§1.3. Решение итерационных задач..................... ................................ 39
Глава II. Построение регуляризованной асимптотики
решения сингулярно возмущенного уравнения Вольтерра 2-го рода в случае невырожденного
ядра (п = 1) ................................................................... 44
§2.1. Регуляризация задачи (2.1.2). Построение асимптотического решения................................................................. 44
§ 2.2. Решение итерационных задач (2.1.8i),..., (2.1.8&)
и оценка их решений................................................................. 49
§ 2.3. Оценка остаточного члена. Предельный переход
при г —у +0................................................................................ 54
§2.4. Построение асимптотических и точных решений
уравнения Вольтерра............................................................... 63
Глава III. Решение сингулярно возмущенного
интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода с вырождением ядра 1-го порядка
и его свойства ............................................................. 69
§3.1. Регуляризация задачи. Построение формального
асимптотического решения................................................ 70
§3.2. Решения итерационных задач и предельный переход
в задаче (3.1.1) .................................................................... 81
Глава IV. Задача инициализации сингулярно
возмущенного интегрального уравнения
Вольтерра 2-го рода с диагональным
вырождением в случае п > 3........................................................................91
§4.1. Структура проекторов ............................................................................................................91
§4.2. Вычисление слагаемых итерационных уравнений ......................................93
§4.3. Решение задачи инициализации ................................................................................................95
Литература..............................................................................................................................................................................112
ВВЕДЕНИЕ
В данной диссертации проводится асимптотический анализ сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода при стремлении малого параметра, входящего в уравнение, к нулю.
Асимптотический анализ помогает исследователю выявить существенные особенности изучаемой проблемы. При описании того или иного физического процесса специалист оценивает, влиянием каких параметров можно пренебречь, не теряя ценной информации об основных закономерностях изучаемого процесса.
Еще в начале XX века JI. Прандтль в работе [87] обращал внимание, что при изучении уравнения пограничного слоя малой вязкостью следует пренебрегать не в уравнениях, а в решении.
Основное внимание к проблематике сингулярных возмущений было привлечено работами А.Н. Тихонова в конце сороковых годов прошлого века [102,103].
К пятидесятым годам прошлого века на основе различных методов асимптотического интегрирования сформировались следующие математические школы: М.И.Вишика — A.A. Люстерника [19,20], Н.Н.Боголюбова — М.Н.Крылова — Ю.А. Митропольского [2,53,73— 75], Л.С. Понтрягина - Н.Х.Розова - Е.Ф.Мищенко [76,77,82-84],
A.Б.Васильевой - В.Ф.Бутузова - Н.Н.Нефедова [9,10,14—18],
B.П. Маслова — М.В. Федорюка [69-71], A.M. Ильина [41-42], С.А. Ломова [57-66].
Следует отметить, что регулярная теория возмущений окончательно была оформлена в трудах А.Пуанкаре [88]. Важная роль в ее развитии принадлежит А.М.Ляпунову [67]. Дальнейшее развитие она получила в работах Т. Като, К. Фридрихса, М. Рида и Б. Саймона [47].
Сингулярно возмущенные задачи так же являлись объектом изучения многочисленных математических школ. Каждая школа предлагает свою теорию по решению сингулярно возмущенных задач. Метод усреднения разработан школой H.H. Боголюбова — М.Н. Крылова —
Ю.А. Митропольского. Метод погранфункций — школой A.B. Васильевой — В.Ф. Бутузова. Метод сращиваемых асимптотических разложений — школой А.М.Ильина. Общий подход для решения сингулярно возмущенных задач, по мнению А.Н.Тихонова, представлен методом регуляризации, в котором осуществляется переход в пространство большей размерности, индуцируемое с исходной задачей. Дальнейшее развитие метода регуляризации осуществили ученики и последователи С.А. Ломова, что находит отражение в их работах.
Сингулярно возмущенные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения с быстро и медленно меняющимися ядрами, продолжительное время являются объектом исследования М.И. Иманалиева, A.C. Омуралиева, В.Ф. Сафонова, A.A. Бободжанова [3—5,39,40,80, 81,97—101].
Исследованию сингулярно возмущенных задач со спектральными особенностями посвящены работы А.Г. Елисеева [35,36].
Как уже отмечалось выше, в работе рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода с вырождением ядра произвольного порядка, что ранее не исследовалось.
С помощью сингулярно возмущенных уравнений описываются нелинейные задачи, возникающие в гидродинамике, квантовой механике и химической кинетике; нестационарные процессы, связанные с наличием в изучаемой системе тел, обтекаемых неустановившемся потоком жидкости или газа.
Интегральные модели традиционно используются в задачах автоматического регулирования, обработки экспериментальных данных, обратных задачах теплопроводности, вычислительной томографии.
Там же интегральные модели применяются для исследования стратегий обновления генерирующих мощностей в электроэнергетике [68].
Интегральные уравнения Вольтерра 2-го рода с регулярной особенностью являлись объектом изучения И.В.Сапронова [96].
Слабо сингулярное интегральное уравнение Вольтерра используется в
реологических моделях вязкоупругой среды. Работа А.Н. Тынды, А.Е. Романова предлагает численный метод решения таких уравнений [106].
Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах исследуются в работах М.В. Фалалиева [108].
Интегральные уравнения Вольтерра 2-го рода со спектральным параметром, ядра интегральных операторов которых имеют особенности, изучались в работах Д.М. Ахмановой, М.Т. Джелалиева [1].
Скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода при стремлении малого параметра к нулю с вырождением ядра предельного интегрального оператора произвольного порядка ранее не исследовалось.
Произвольность вырождения ядра интегрального оператора Вольтерра приводят к различным особенностям поведения решения при е —У 0 в зависимости от порядка вырождения. Решение этих вопросов разработки методов асимптотического интегрирования, исследование предельного перехода и описание класса сингулярностей сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра для построения устойчивого по малому параметру решения является актуальным как в теоретическом, так и в практическом плане.
Перейдем к краткому изложению диссертации. Работа состоит из четырех глав.
Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна, описана методика исследования, показана теоретическая и практическая ценность, представлены выносимые на защиту результаты.
Первая глава состоит из трех параграфов.
§1.1 посвящен постановке задачи, выявлению особенностей задачи, из анализа выявляются три принципиально различных случая. Следует заметить, что особенности задачи напрямую связаны со свойством вырождения ядра интегрального оператора б).
Для скалярного сингулярно возмущенного интегрального уравнения
Вольтерра 2-го рода
г
+ У К^, s)г¿(s, е)с1з = о
(мл)
строится соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система
е)
е-:—
¿г
<0 ,е) = 2Р(е),
= А(Ь)г(г, Е) - J Е)(18 + #„(*),
(1.1.4)
где
е) = Е),Пг{г, г),..., Е))т,
что доказано в лемме 1.1.1, с предельным оператором
/ 0 1 0 ... О \
О 0 1 ... О
^.(^)пхп —
о
д
О О ... 1
о о ... о
/
отвечающим за формирование сингулярностей в данной задаче, и
з)пхп —
О ... О ^
дпк{г,з
\ дЬ
... О
/
и начальным условием, напрямую зависящим от неоднородности исходного уравнения
Ле)
1
(/1(0) N
-п
\ 0 /
/
1
£
О
\
V
/^(О)
Спектр матрицы А(£) имеет следующую структуру
/
а=Ь
д^К^Б)
= А0
8=Ь
где ш = е», к = и,п— 1.
Из структуры спектра матрицы А(£) можно выявить три принципиально различных случая.
1) п = 1. Рассматривается скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра. Ядро интегрального оператора К(Ь, я) невырождено. Для существования решения, устойчивого по е потребуем выполнение условия: Vt Е [О, Т] 11еА(/:) = —К^^) < 0.
2) п = 2. Для исходного уравнения строится соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система 2-го порядка. Ядро интегрального оператора в) имеет вырождение 1-го порядка. Для существования решения, устойчивого по £, возможен лишь следующий вариант для собственного значения матрицы А(Ь):
X
или
У*€[0,Т] ИеА1)2(£) = 0, Л1,2(*) =
>
3) п > 3. Для исходного уравнения строится соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система п-го порядка. Ядро интегрального оператора имеет вырождение п-го порядка. В данном случае из-за свойств ядра интегрального оператора я) в общем случае не существует устойчивого решения по е.
§ 1.2 посвящен полной регуляризации, в том числе и интегрального слагаемого, соответствующей эквивалентной интегро-дифференциальной системы и построению формального решения исходного уравнения в общем случае.
В силу стабильности спектра матрицы A(t), регуляризующие функции етг, где
t
1 /* w ч , <Pi(t) -з— П = - / Ai(s)ds =-, г = 1, п.
£ J £
О
Полностью регуляризованная задача имеет вид:
LoZfr г, +£(-1)*^ (t)Z(t, г, е) - Яп(0,
dt fcÎ (1.2.2)
Z(0, 0, е) = zQ(s) = 1я0 + ... + -Яп_1,
£
где
L0 = £ (A(i) - М*)) ПОПоМ
¿=i ОТг'
и
п
L0Z(t, г, г) = £ (А(£) - Аг-(*)) + Т(%(*).
г=1
Решение задачи (1.2.2) ищем в виде ряда
п оо оо
Z(t, т, е) = £ еТг Е W + ЕW- (L2-3)
г=1 к=—п к=—п
Подставляя (1.2.3) в (1.2.2), получаем серию итерационных задач, каждая из которых имеет вид системы:
L0Z(t,r) = H(t,r). (1.2.5)
Исследуется нормальная и однозначная разрешимость в пространстве U. Доказывается следующий результат.
Теорема 1.2.1 (о нормальной разрешимости). Пусть выполнены условия 1)—5) и H{t, т) имеет вид
п
#(*, т) = ^2 + МО е и.
2=1
Тогда уравнение т) — т) разрешимо в пространстве II тогда
и только тогда, когда
Р0(1)Н(г,т) = о,
п д
где Ро(<0 = / РМ)—— — проектор на ядро оператора Ьи.
¿Г ^
Теорема 1.2.2 (однозначная разрешимость). Пусть выполнены условия теоремы 1.2.1 м условия:
1) т)
2) £(0,0) = 0.
Тог<9а уравнение LoZ(t,т)=0 имеет единственное решение Z{t,т) = где
П 1 П
т) = (¿К* - Е
7 — 1 Ъ —-1
В §1.3 решаются итерационные задачи, начиная с шага —п. Найден главный член асимптотики решения задачи (1.1.4). Он имеет вид:
ггл(г, е)=(г, ш)+...+т)+(, ш)
или
Вторая глава состоит из четырех параграфов.
В §2.1 рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода в случае невырожденного ядра интегрального оператора (п = 1)
t
eu(t,e) + J K(t,s)u(s,£)ds = h{t) (2.1.1)
о
при условии:
1) K(t, s) <= C°°(0 < s < t < T, C);
2) h(t) E C°°([0, T], C);
3) ReK(t,t) > 0;
4) K{t,t) ^ 0 при Vi G [О,T] (условие невырожденности). Продифференцируем уравнение (2.1.1) и получим задачу Коши
t
е^Л + K(t,t)u(t,£) + [ ^¿Au{s,£)ds = h(t),
dt
u( 0,e) =
dt
MO)
о
(2.1.2)
Соответствующая интегро-дифференциальная система имеет вид f £d_Z^r1£) _ mdZ(t T,e) + Tj
dt
дт
+ I 9KУ' sS)Z(s,T,£)ds = h(t),
Z( 0,0, e)
dt 40)
(2.1.4)
(где A(t) = —K{t, t)) для функции Z(t, т, e), удовлетворяющей условию расширения
Z(t,r, e)
= n(i, 5).
Проводится полная регуляризация соответствующей эквивалентной интегро-дифференциальной системы.
Полностью регуляризованная задача имеет вид:
f g9Z(t т,е) _ x(t)dZ(t T,e) + ri £) __ J{t)z^ т> £) = ^
£
Решение задачи (2.1.6) ищем в виде:
ОО 00
Z{t^£) = £ e*a;fc(f)er + £ efcyfc(i). (2.1.7)
fc=-l к=-1 Подставляя (2.1.7) в (2.1.8), получим серию итерационных задач, каждая
из которых имеет вид системы:
t
L0Zk(t,r) = -X(t)dZk^TK\(t)Zk(t,r) + Js)y(s)ds = F(t, t) , (2.1.9)
о
,, ч dK(t,s) 7 _
где k(t, 5) = ———, к = -1, oo.
Доказаны следующие результаты.
Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть F(t,r) = = F\(t)eT + -Fg(i) £ U. Тогда уравнение (2.1.9) нормально разрешимо в пространстве U тогда и только тогда, когда
(^(*,т),ег)=*\(*) = 0, t € [О, Т].
Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия 1)—4), условия теоремы 2.1.1 и условия
1) + 2) Z(0,0) = z°. Тогда задача
' L0Z(i,r) = F(i,r), Z(0,0) = ^°
имеет единственное решение в пространстве U.
В § 2.2 находятся решения итерационных задач и их оценки:
\\гк\\<ск\\н\\с^,
где к — итерационный шаг.
В § 2.3 проводится оценка остаточного члена и изучается предельный переход при е —> +0.
Доказан следующий результат.
Теорема 2.1.3. Пусть выполнены условия 1)—4). Тогда задача (2.1.2) однозначно разрешима в пространстве С°°([0,Т],С) и для ее решения справедлива оценка
/ \ ( Ч>{1) \ U[t,£) ~UN\t, J
<CNeN+l\\h\\CN+2, N = -1,0,...,
где Сдг > 0 не зависит от е £ (0, £о]-
Главный член асимптотики решения задачи (2.1.1) имеет вид:
А(0) + А»(0) )
п I
е° +
t
+ Je. о
1 д k(s, si)a;_i(si)
Л(s) dsi
A(Sl)
ds
SI=S
e £ +
+T~\t)
h[t)
-k(t,0)h(0)
A (t) A(0)A(i)
Изучается предельный переход при s —+0. Доказан следующий результат.
Теорема 2.1.4. Пусть в уравнении (2.1.1) неоднородность hit) такова, что /г(0) = 0, и выполнены условия 1)—4), 5) ReA(i) < 0 при t £ [0, Т]. Тогда имеет место предельный переход
1К*,е) - yo{t)\\C[s,T} £ +Q > 0 где yo(t) — решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода:
Kit, s)yois)ds = hit).
Из этой теоремы следует, что в случае /г(0) = 0 предельным решением уравнения (2.1.1) на [5,Т] является решение уравнения Вольтерра 1-го рода
г
У = ад-
Теорема 2.1.5. Пусть в уравнении (2.1.1) неоднородность /г(£) такова, что /г(0) = 0, и выполнены условия 1)—4), 5) ЫеА(£) < 0 при Ь £ [0,Т]. Тогда имеет место предельный переход в "слабом смысле", т.е. У/(£) € С°°[0,Т]
г
f(s)(u(s,e) - yo{s))ds
£ -> +0
■>0
где yo(t) — решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода:
t
I K(t, s)yo(s)ds = h(t).
Главный член асимптотики решения задачи (2.1.1) в этом случае имеет
вид:
ur„(t,e) =
МО) /
А(0)
ео
fc(s,s) A (s)
ds
v(t) е е
ш
X (t)
Теорема 2.1.6. Пусть в уравнении (2.1.1) неоднородность hit) такова, что h(0) = 0 и h(0) = 0, и выполнены условия 1)—4), 5) Re X(t) < 0. Тогда имеет место предельный переход
u(t,e) - y0(t)
С[0,Т]
£ -> +0
0.
Из этой теоремы следует, что в случае /г(0) = к{0) = 0 предельным решением уравнения (2.1.1) на [0,Т] является решение уравнения Вольтерра 1-го рода
/
K{t,s)y0(s)ds = h(t).
Теорема 2.1.7. Пусть в уравнении (2.1.1) неоднородность такова, что /г(0) ^ 0, и выполнены условия 1)—■4), 5) КеЛ(/;) < 0. Тогда имеет место предельный переход
\u(t,e)-y0(t)\\c[6,T\ --г^О,
£ —> +U
где yo(t) — решение интегрального уравнения
t
J K(t,s)y0(s)ds = h(t)-}^)K(t, 0). о
В § 2.4 в качестве примера рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра с ядром интегрального оператора, имеющего вид:
K(t, s) = a(t)b(s)
при выполнении условий 1)—4).
Строится асимптотическое и точное решение этого уравнения. Третья глава состоит из двух параграфов.
В третьей главе рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода с вырожденным ядром 1-го порядка
t
£u(t,£) + J K(t,s)u(s,e)ds = h(t) (3.1.1)
о
при выполнении условий:
1) K(t, s) e C°°(0 < «s < t < T, C);
2) адеС°°([0,Т],С);
K{t,s)
3) Re
4)
dt dK(t, s)
= 0 Vi E [0, T];
s=t
dt
¿0 \/t E [0, Т].
s=t
Соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система
имеет вид:
г)
/
V
о
<Ж(М)
дг
о
•/ ^ гйкм + #(*),
(3.1.2)
КО) о
1
+ -
£
О
КО)
В §3.1 проводится регуляризация данной задачи и строится формальное асимптотическое решение. Решение задачи ищем в виде:
00
(3.1.5)
к=-2
где е и, т.е.
г) = 4(*)еТ1 + + 2/*М-
Подставляя (3.1.5) в полностью регуляризованную систему, получаем серию итерационных задач, каждая из которых имеет вид:
ь0гк&Т) = Ах«^^ + - т)+
дп дт2 (3.1.7)
т) = т) при к = —2, оо. Доказаны следующие результаты.
Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть т) — — ^(¿)еТ1 + F2(í)er2 + .£о(£) € II. Тогда для нормальной разрешимости уравнения (2.2.7) е пространстве II необходимо и достаточно, чтобы
(^(*,т),^'(*)ег') = 0 ^£[0,Т], ^ = 1,2. (3.1.8)
Здесь ( , ) — обозначение скалярного произведения в пространстве II; ф3(Ь) — собственные векторы матрицы А*(Ь), соответствующие собственным значениям у = 1,2. Причем собственные векторы
у?г(£) и ф3^) матриц А(Ь) и А*(£) берутся дуальными, т.е.
Ф1^)) = ~ символ Кронекера.
Теорема 3.1.2. Пусть выполнены условия 1)—-4), условия теоремы 3.1.1 и условия
1) ^Е[0,Т], э = 1,2; (3.1.9)
2)2(0,0) = 0. ' (3.1.Ю)
Тогда уравнение Ь0г(г,т) = 0 имеет единственное решение Z(t,т) = 0 в пространстве V.
Теорема 3.1.3. Пусть выполнены условия 1)—4). Тогда система (3.1.2) однозначно разрешима в пространстве С([0,Т],С2) и для ее решения справедлива оценка
z(t,£)-ZNít,^,e
<sN+1CN¡¡hl¡c^s,
C[0,T]
где См > 0 не зависит от е Е [0, но].
В §3.2 проводится решение итерационных задач и изучается предельный переход в задаче (3.1.1).
Главный член асимптотики решения задачи (3.1.2) имеет вид:
2,
■гл
[t'£> e*{2\l\1(t)e
Ai (í) J
vi W e * +
/i(o) /л2(о)е-;^
Ht)
i
L a2« J
y2(*) \ 1 i i 1 / ,\
+ -I l«-iW
2AÍ(í)(Ai(Í) - A2(í))
L A2(Í) J
1
AiM
e e 4-
+
+ «2-iW
1
A2(í) J
2A2(Í)(A2(Í) - Ai (i
