Сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами и с нулевым оператором дифференциальной части тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Бободжанова Машхура Абдухафизовна

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРОДНФФЕРЕНЦНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 МАЙ 2072

МОСКВА-2012

005015851

005015851

Работа выполнена на кафедре Высшей математики ФГБОУ ВПО НИУ МЭИ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сафонов Валерий Федорович

Официальные оппоненты:

Нефедов Николай Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор,

МГУ физический факультет, проф. каф. математики

Нестеров Андрей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, РГТЭУ, проф. каф. информатики и информационных технологий

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита диссертации состоится 2012 г. в 16 ч. 00 м.

на заседании Диссертационного совета ДМ.212.157.17 при ФГБОУ ВПО НИУ МЭИ

по адресу: 111250, Москва, ул. Красноказарменная, д. 13, ауд.М

710а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО НИУ МЭИ.

Автореферат разослан "2.6" кЛ^ С^р~Тй- 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ.212.157.17 кандидат физико-математических наук, доцент

Григорьев В.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сингулярно возмущенные уравнения исследовались многими авторами. Наибольший вклад в их изучение был внесен А.Н. Тихоновым, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым, В.П. Масловым, A.M. Ильиным, С.А. Ломовым, В.Ф. Сафоновым, Ю.А. Митропольским, А.Н.: Филатовым, М.М. Хапаевым, И.С. Ломовым, H.H. Нефёдовым, A.B. Нестеровым, Ю.А. Коняевым и другими. Широкий класс таких уравнений - сингулярно возмущенные интегральные и интегродифференциальные системы - уже продолжительное время являются объектом исследований М.И. Иманалиева и его учеников. Ими в основном завершена работа по созданию эффективных алгоритмов асимптотического интегрирования уравнений с медленно изменяющимися ядрами. Однако многочисленные задачи механики, физики и других прикладных наук приводят к системам с быстро изменяющимися ядрами. Теория таких систем ранее не разрабатывалась. В настоящей работе представлены интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами, в которых роль быстрых переменных играют экспоненты. Оказалось, что эти переменные существенно влияют на формирование сингулярностей в решениях рассматриваемых задач. Кроме того, отсутствие в этих задачах линейного оператора дифференциальной части делает описание сингулярностей проблематичной. Решение этого вопроса и последующая разработка алгоритмов асимптотического интегрирования, а также исследование предельного перехода в таких задачах актуальны как в теоретическом, так и прикладном плане.

Целью настоящей работы является исследование сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части, развитие для них соответствующих алгоритмов метода регуляризации и обоснование этих алгоритмов на основе разрабатываемой в диссертации теории разрешимости систем интегродифференциальных уравнений в частных производных с неполными (точнее: точечными) начальными данными. При этом. линейные системы рассматриваются в случае интегральных операторов с медленно или быстро изменяющимися ядрами, нелинейные уравнения исследуются в случае интегральных операторов с быстро изменяющимися ядрами.

Научная новизна. В работе впервые исследуются сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения с нулевой дифференциальной частью, для всех рассмотренных в диссертации задач разработаны алгоритмы построения регуляризованных (по Ломову) асимптотических решений. При этом получены следующие результаты;

1) построена эквивалентная интегродифференциальная система, спектр предельного оператора которой описывает все сингулярности в решении

исходного интегродифференциального уравнения;

2) произведена регуляризация интегрального члена и построено его расширение в классе функций, асимптотически инвариантном относительно интегрального оператора;

3) произведена полная регуляризация эквивалентной интегродифференциальной системы и изучена её нормальная и однозначная разрешимость соответствующих итерационных задач;

4) доказана теорема об асимптотической сходимости формальных решений к точным на основе полученного в работе результата о корректной разрешимости сингулярно возмущенной, интегродифференциальной системы в условиях, не исключающих наличие чисто мнимых точек спектра предельного оператора;

5) для. всех рассматриваемых в работе задач изучен предельный переход (при е -4 +0), выделен соответствующий асимптотический предельный режим, а при наличии чисто мнимых точек спектра указана функция, к которой при определенных условиях стремится (при е —» + 0) точное решение исходной задачи на всем рассматриваемом промежутке времени, включая и зону пограничного слоя (т.е. решена так называемая задача инициализации).

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять интерес для специалистов из МИ РАН, ПОМИ РАН, НМУ, МГУ, МЭИ.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались на семинаре МГУ по малому параметру (руководители: профессора А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, H.H. Нефедов), на семинаре МЭИ по теории возмущений (рук. проф. В.Ф. Сафонов), на семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям (рук.: проф. Ю.А. Дубинский, проф. A.A. Амосов), в школах " Математические методы и приложения" (РГСУ, 2009 - 2012 г.г.), на Международной конференции по Математическому моделированию, Саратов 2008, на Зимней математической школе Воронеж, 2011.

Методы исследования. В диссертации используется метод регуляризация С.А. Ломова и его модификация, разработанная применительно к задачам с нулевым оператором дифференциальной части В.Ф. Сафоновым и автором настоящей работы.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6, печатных работах [1-6], из них 4 статьи в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК. В статьях, написанных в соавторстве, научные вклады каждого участника равноценны.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка работ, включающего 143 наименования, и изложена на 145 стр.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность дисссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана теоретическая ценность полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные результаты.

В первой главе диссертации рассматриваются (скалярные) интегродифференциальные уравнения

t

= J fa (t, а) У (з, е) + еу' (в, е)) da+ h(t), у (0,е) = у0, (1) о

содержащие под знаком интеграла не только неизвестную функцию y(t,e), но и ее производную y'(t,e) по t. Строится соответствующая эквивалентная интегродифференциальная система

t

= A(t)w + J k(t,s)w(s,s)ds + H(t), w(0,e) = ± 4- , (2)

о

с ненулевым предельным оператором

= мм))' (3)

отвечающим за формирование сингулярностй в исходной задаче (1). Корни его характеристического уравнения det(\I — A(t)) = 0 образуют спектр (Aj(i)}, по которому и производится регуляризация задачи (1). Разработку алгоритма метода регуляризации будем проводить при следующих условиях:

1) h{t) 6 CTflO.TbR1), k0(t,s), ki(t, s) £ C°°(0 <s<t< T, R1);

2)Ai(i) ф A2(i), A0) ф 0(V£ e [0,71, j = 1,2);

3) Re Aj(t) < 0, (Vi e [0,T},j = 1,2).

Из условия 3) видно, что рассматривается не только "неколебательный случай" (Re Aj(t) < 0, (Vi G [0,T],j = 1,2), но и "колебательный" (Re A, (i) = 0.)

Производя регуляризацию задачи (2) с помощью переменных t

Ti = \j = М ¿ = 1,2, (4)

о

где A j (t) — функции (4), а затем регуляризацию интегрального оператора о о

эквивалентной интегродифференциальной системы (2), получим следующую регуляризованную задачу (w — (у,еу) = (у,г))1:

еЖ + Al(i)lr + ~ ~ J<b = 0) = {у°'

(5)

где w (t, = w (t,e) — решение интегральной системы (2), J— расши-

рение интегрального оператора J на рядах

оо

w(t,r,e) = ^ e*wk{t,T), (6)

fc=-i

с коэффициентами

щ (t, г) = w[k) (f) е7"' + wf (t) e* + w^ (t) (wf (i) € ([0, T], C2))

(пространство таких вектор-функций называется пространством решений итерационных задач и обозначается буквой U). Оно имеет вид

ОО V

Jw(t,r,e) = sv Rv-sWs(t,T),

I/=-l s=—1

где операторы Ti^, действуют на каждую функцию го* (t, г) = w(i) eTl + + (г) е7"2 (t) £ U по закону (индекс А; в Wk(t,r) опускаем):

f

i?ow(i,r) = J k(t,s)w0(s)ds, о

(i, г) = (-l)m ([/Г (A (i, 5) (s))]s=ieTl - [IT (к (t, s) щ (5))U) + + (-l)m (№ (k (i, s) w2 (S))]s=ieT= - [I? (k (t, s) w2 (S))]s=0) ,m> 0,

7? = 1 7" = 1 —I1?-1 u>l 1 = 12

(7)

Определяя решение задачи (5) в виде ряда (6), получим серию итерационных задач, каждая из которых имеет вид системы

t

L0w(t1r) = X1(t)^ + X2(t)p^-A(t)w- [ k(t1s)wo(s)ds = P(t,r). (8) ОТ\ OT2 J

1 Отметим, что здесь начальные значения бесконечно большие при е ~> 4-0. Это - следствие нулевого оператора дифференциальной части.

Исследуется нормальная и однозначная разрешимость этой системы в пространстве U. В главе 1 доказывается следующий результат2.

Теорема 1.1. Пусть P(t, т) = P\{t)eTi + P2(i)eT2 + P0{t) 6 Uu выполнены условия 1) и 2). Тогда для разрешимости системы (8) в пространстве U необходимо и достаточно, чтобы

< P{t>r)>Xj(t)eT' 0,Vi G [0,T], j = 1,2. (9)

Система (9) при дополнительных условиях

w(0,0,0) = wt,

r\

+ Riw + Q(t,T),Xj(t)eT' >= 0,j = 1,2, Vi € [0,7], (10)

где w» e С2 — известный постоянный вектор, Q(t, т) — Qi(t)eri + + Q2{t)eTl + Qo(t)— известная вектор-функция класса U, однозначно разрешима в U.

Здесь через <, > обозначено скалярное (при каждом t € [О, Г]) произведение в пространстве U, а через Xj{t)~ собственные векторы матрицы A*(t), соответствующий собственному значению Лj(t), j — 1,2; при этом системы и {Xj(t)} собственных векторов матрицы A{t)

и A*(t) соответственно берутся ортонормированными, т.e.(<pi(i), XjW) = = Sij— символ Кронекера (г, j = 1,2).

Применяя теорему 1 к итерационным задачам для коэффициентов wk{t,T) ряда (6), найдем однозначно их решения в пространстве U. Образуем сужение N— й частичной суммы ряда (6) при т = Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 1)-3). Тогда система (3) однозначно разрешима в пространстве С1 ([0, Т], С2) и для её решения справедлива оценка

IKt,e) -weN(t)\\cm < CNefr+1,N = -1,0,1,2,..., (И)

где CN > 0— постоянная, не зависящая от е при е G (0, £о] (ео > > 0— достаточно мало).

С помощью этой теоремы изучается предельный переход (е —¥ +0) в задаче (1), который рассматривается отдельно для случаев h(0) =0 и h (0) ф 0. В работе доказываются следующие результаты.

Теорема 1.3. Пусть в уравнении (1) неоднородность h{t) такова, что h(0) = 0, выполнены условия 1), 2) и условие

4)ReA,(i) < 0 (Vi € [0,T},j = 1,2).

23десь и всюду ниже нумерация теорем совпадает с нумерацией теорем по тексту диссертации.

Тогда имеет место предельный переход

Hy(t, е) - ^0)(i)||c[ä,T] 0 при е +0

где 5 S (О,Т)— произвольная фиксированная постоянная, а уд°\t)~ решение интегрального уравнения

t

j kQ(t,s)y(s)ds = -h(t). о

При этом ||£î/(î,£)||c[5,t] 0 при е +0.

Замечание 1. Из этой теоремы следует, что в случае /г(0) = О предельным решением у = y(t) задачи (1) является решение уравнения Вольтерра первого рода, полученного из (1) при е = 0. Это решение не зависит от k\{t, s) и начального условия у0.

Теорема 1.4. Пусть в уравнении (1) неоднородность h(t) такова, что h{0) ф 0, и выполнены все условия теоремы 1.3. Тогда имеет место предельный переход

Hy(t,e)~ z40) (t) 11 c[5,T\ 0 при e -> +0

где 5 € (0,T)—произвольная фиксированнная постоянная, a yo°\t)— решение интегрального уравнения

t

J k0(t, s)y{°\s)ds = -h{t) + A(f). (12)

0

При этом IIey(t, e)||c[i,T] 0 при e -» +0.

Здесь Д (i) — некоторая функция, однозначно определяемая исходными данными задачи (1) (см.формулу (1.36) в тексте диссертации).

Замечание 2. Сравнивая результаты последних двух теорем, делаем следующий вывод: в случае ft(0) ф 0 предельным решением для (1) не является решение вырожденного уравнения (т.е. уравнения, полученного из (1) формальной подстановкой е — 0); предельное решение у = ~ УоЧ*) в этом случае удовлетворяет уравнению (12), отличающемуся от вырожденного скачком A(t) в правой части.

И, наконец, отдельно рассматривается предельный переход (в метрике СМ) в "колебательном случае," т.е. в случае, когда оба корня Àj(t) являются чисто мнимыми. Этот случай имеет место, если в (1) k-y (i,t) s 0 и ко (t,t) < 0 (Vi € [0, Г]). Предельный переход в обычном смысле (т.е. в метрике С [5, Т] ) здесь не рассматривается, так как точное решение у (t, е) совершает при е —» +0 быстрые осцилляции, поэтому предельный переход

разумно рассматривать на всем отрезке [О, Т] (т.е. в метрике С [О, Т]). Ясно, что такой предельный переход существует не всегда. В работе доказывается следующий результат.

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия 1) и 2) и =

— (ш(Ь) > 0\Л € [0,Т]). Тогда для существования равномерного

(по £ € [О, Т]) предельного перехода

где у(Ь, г)— точное решение уравнения (1), а у = у^^) —решение

интегрального уравнения J ко$,з)у(з)с1з = —(вырожденного по

о

отношению к исходному (1)), необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства

Л(0) = 0, у0 + к0(0,0)Л(0) =0.

Рассмотренные в §1.4 диссертации примеры подтверждают полученные в первой главе теоретические результаты.

Во второй главе продолжается исследование интегродифференци-альных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части. Здесь рассмотрены уравнения вида

Л- г ^ у

г 1

е'^^Ко з) у (в, е)йа + Ь. (<), у (0, е) = у0, I е [0, Т] , (13)

с быстро изменяющимся ядром е « Ко (£, в). При ц[1) = 0 получаем задачу, рассмотренную в конце главы 1, поэтому интересен случай ц{Ь) Ф 0. Вводя еще одну неизвестную функцию

%

z ■

о

Г

/ е • К0{г,8)у(з,е)ав о

для вектор-функции IV = {у, г) получим задачу

йги Г Ч №№

е— = А + еА\ (£) и> + е / е • К в) ш (в, е) <1з+

+н(г), и) (0, е) = иг, (14)

где т = {у,г},Н{^ = {Л (*), 0}, V)0 = {у0,0}, а матрицы А (£), А\ (¿), К (¿, з) имеют следующий вид:

„(*))• 2)' = («4*1 о)'

При ¿¿(¿) Ф 0 € [0,Т]) матрица А имеет простую структуру и спектр {А., (£)} = {0, ¡л (£)}. Видим, что и здесь сказывается влияние нулевого оператора дифференциальной части: одно из собственных значений тождественно равно нулю. Регуляризация задачи производится по ненулевой точки спектра сг (А (¿)) :

гЛКм^т

о

Для расширения ад = {у (¿,т, г) е)} получаем следующую задачу:

д-ш , . дт . , . _ . , . _ е— + ц (г) — - А (г) ги - еА! (*) и>* 1 ' (15) - е У е''!-Ке)МКо в)« ^ йэ = Н (*), -гй (0,0, е) = ад0, о

Как и в предыдущей главе, регуляризацию интегрального оператора в (15) проводим в пространстве II вектор-функций вида

ад (*, г) = ьц (*) ет + («), (4), ьц («) е С00 ([0, Т], С2). (16)

Получаем следующее расширение интегрального оператора 3:

00

(¿, г) = До« (<, г) + ^ (Л т),

т—о

<

где (£> т) = еТ ¡К (4, в) ада (в) ¿в, Дт+гго (4, т) = о

= (-!)"№ (*. я) (*))),=, - (<, 5) «о (а)))_0еЧ, (17)

= -Лт!"^-1.* > 1 (4° = "Лт) ,т,и>1,.

На рядах

00

ад(г,т,е) = ^ £кгик{г,т), и)к{г,т)еи (18)

интегральный оператор J будет иметь следующее расширение:

00 V

Jw(t,T,e) = ^ г" Rv-sws(t,T),

v~—1 s—~ltv~s>0

а задача

duj q"

+ - A(t)w-eAl(t)w-eJiS^ H {t), w (0,0,e) = w° (19)

ot от

будет полностью регуляризованной по отношению к исходной задаче (13). При этом для коэффициентов u>k (t,r) ряда (17) получаем итерационные задачи, каждая из которых имеет вид

Lw (i, т) = ц (i) ^ - A (t) w = Р (t, т), Р (t,T) = Рг (i) ет + Р0 (i).

ОТ , S

(20)

Для системы (20) доказываются теоремы о нормальной и однозначной разрешимости, аналогичные теореме 1.1.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия 1), 2) и Р (t,r) £ U. Тогда система (20) разрешима в пространстве U в том и только в том случае, когда

(Рг (t), Х2 (t)) = О, (Ро (i), XI (*)) = о (vt е [О, Г]).

(21)

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия 1), 2) и правая часть P(t,r) £ U системы (20) удовлетворяет требованиям (21). Тогда система (20) при дополнительных условиях

w{0,0) = w'1 <-^+A1(t)w + R0w + Q(t,T), Х2 (t)eT >=0,

<-—-{-Ai(t)w + R0w + Q(t,T), xi (t) >=0 (Vie [0,11)

(22)

где Q(t,r) — Qi (i) eT + Qo (i) £ U—известная функция, однозначно разрешима в пространстве U.

Применяя теорему 2.1, получим решение системы (20) в форме

(P0(t),X2(t)).

е +

+

(23)

где ) VI (О — произвольные функции класса С°° ([0, Т], С1). Условия (22) приводят к системе

г

»(¿) 6 - (Ко (*,«) - А (*)) 6 + I дК°д{*'8\2 (а) <Ь + рц^о (*, ¿) +

о

+ / дк°£,з)рп (з) аз + м (0 (г), Х2 (4)), й (0) = К, Х2 (о)) + й>2 (о) , о

(24)

ц (*) щ = -Ко (4,4) 77! + (КЬ (4, £) - А й) Р02 (0 + /X (г) (д0 (0 . XI «)),

VI (0) = к, Х1(0))-Ри(0), где обозначено:

Л1(4) =-йо-' =--•

Видим, что в отличие от задачи, рассмотренной в. предыдущей главе, здесь условия ортогональности для произвольных функций £2 (¿) и г]1 (¿) записываются в виде системы интегодифференциальных (а не дифференциальных) уравнений. В этом также сказывается влияние нулевого оператора дифференциальной части при наличии быстро изменяющегося множителя при ядре интегрального оператора.

Введём обозначение (¿) для сужения N— ой частичной суммы ряда (18) при т = тр (¿) /е. Имеет место следующее утверждение об асимптотической сходимости формального решения к точному.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда система (14) при е 6 (0, £о](ео > 0—достаточно мало) имеет единственное решение и> (¿, е) е С1 ([0, Т), С2) и имеет место оценка

1М*,е)-юеИ«)||с[0,л < Сл'" (ЛГ =-1,0,1,...),

где постоянная Сц > 0 не зависит от £ 6 (0, ео].

Например, главный член асимптотики решения задачи (14) имеет вид

(¿) = е г * {У0+ р-1 (я) [(А'о (а, б) - А (*)) р® (в) -

о

- (К (з, з) еь XI (*)) &)]}е! - (*) (25)

где известная функция. Он не содержит функций пограничного

слоя, что является следствием нулевого оператора дифференциальной части в задаче (13).

В §2.3 главы 2 изучается предельный переход при е —> +0 в задаче (14). Доказан следующий результат.

Теорема 2.4. Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда справедливы высказывания:

а) для того чтобы имел место предельный переход

->0 (е-++0),

с[0,т]

необходимо и достаточно, чтобы h(t)~ 0 (Vi Е [0,Т]);

б) если h(t) ф 0 (Vi € [О, Т]), то задача (Ц) имеет равномерный по t € [О, Т] асимптотический предельный режил?

где

о

а функция 7?!°' (t) вычисляется по формуле (2.27) (см. §2.3 главы 2). Примеры, рассмотренные в главе 2, подтверждают наши выводы. В главе 3, в которой рассматривается уже общая система интегродифференциальных уравнений п— го порядка, отдельно исследуется случай ц (t) s 0, т.е. задача вида вида

t

е2% = J Ko(t,s)y(s,e)ds + h(t), y(0,e)=y°, t е [0,Т], (26)

о

которая приводится к эквивалентной системе i

£~ = A(t)w + J K(t, s)w(s, e)ds + H{t), w(0, s) = w°(e), (27) o

для вектор-функции w — {y, z} = {y, ey} , где обозначено:

A® = {w,t) = o)'

3Понятие асимптотического предельного режима впервые введено в работе Бободжанова А.А. и СафоноваВ.Ф.(см. Матем.сб.,2001.Т.192.^$.С.53-78).

y(t,e)-e » уи

Спектр {Xj(t)} матрицы Л^) образуют корни характеристического уравнения

йег{\I - АЦ)) = О ¿еЬ{\21п - Ка{Ь, *)) = 0.

Если обозначить через {¡¿¡{Щ спектр матрицы К0(Ь, то спектр

имеет вид = {±у^(г)}. Потребуем выполнение следующих

условий:

3) А(<) е С°°([0, Г], С"), К0&8) е С°°([0, Г], II"2);

4) спектр {¡'¿(О} (п х матрицы удовлетворяет требованиям:

а) !/_,(<) < 0, з = Т^п-, Ш 6 [0, Г]; _

б) Ф) ф г ф з, V* е [0, Т],г,з = 1, п. Спектр (А^)} матрицы А{£) занумеруем так:

= = г (4), э = I~п.

В этом случае все А;- (¿) являются чисто мнимыми и ненулевыми. Производя регуляризацию задачи (27) с помощью переменных

г

ъ = = ^-,3 = ттж,

о

получим следующую частично регуляризованную задачу:

2л (

дъи дъи Г хЬ ( ^

о

Регуляризацию стоящего здесь интеграла произведем в пространстве и вектор-функций вида

2 п

г) = Е из№еТ1 + Щ (<) е т]>с2п). 3 = №

В результате получим задачу

о ~ 2п „ ^ оо ^

3 V—-! 8=-1,1/-а>0

и>(0,0,е) = ги°(е)> (28)

полностью регуляризованную по отношению к исходной (27). Здесь введены обозначения:

оо

w(t,T,e) = £kwk{t,r), wk{t,r) eU,k>-1, k=-l t

Row(t, t) — / K(t,s)wo(s)ds, Rm+\w(t,T) =

о (29)

2 n

= £ мгкда*, «км W' - wmt, s)Wj{S))sj,m> o, j=i

/9 = —L_ jm —_i:__rm-i m > 1 _

J А,- (в) з Xj (a) da' ' 2 ' J " '

Подставляя ряд (29) в систему (28) и производя приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях параметра е, получим (с учетом (29)) итерационные задачи для коэффициентов этого ряда, имеющие вид

L0w(t,T) = У) - A(t)iu - / s)w0(s)ds = P(t.r), (30)

2n

где P(i, r) = £ Pj{t)eT= + P0(t) 6 U.

j=l

В главе 3, как и в предыдущих главах, развивается теория нормальной и однозначной разрешимости системы (30) в пространстве U, строятся решения итерационных задач и доказывается теорема об оценке остаточного члена. Отдельно изучается предельный переход в системе (26) и доказывается следующий результат.

Теорема 3.7. Пусть выполнены условия 3), 4)- Для того чтобы существовал равномерный по t £ [0, ТJ предельный переход

\\y{t>£) — y{t)\\c[o,T] 0 (е —+0),

необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства

л(о) = о, А(о) = -*о(о,о)гД (31)

Здесь: y(t, е)— точное решение задачи (26), у = y(t)— решение интегрального уравнения

t i -K0(t,t)y(t) - J dKft's)y(s)ds = h(t) J K0(t, s)y(s)ds = -h(t),

о 0

где Xj(t) — — г а/—= а собственные

значения матрицы ее собственные векторы, соответ-

ствующие собственньш значениям .7 = 1, п.

В четвертой главе диссертации рассматривается нелинейная сингулярно возмущенная задача

1 [ мае

: • Ко$,8)у(8,е)<Ь + е/{у,г), у(0,е) = у°, г 6 [О,Г]

(32)

с нулевым оператором дифференциальной части. Предполагается, что спектральное значение рь (£) ядра интегрального оператора не обращается в нуль на отрезке [О, Т]. В этом случае сингулярности в решении задачи (32) описываются только спектральным значением /л (£). Однако влияние нулевого оператора дифференциальной части сказывается на том, что в первом приближении асимптотика решения задачи (32) не будет содержать функций пограничного слоя, а сам предельный оператор будет вырожденным (но не нулевым). При этом условия разрешимости соответствующих итерационных задач, как и в линейном случае, будут иметь вид не дифференциальных (как это было в задачах с ненулевым оператором дифференциальной части), а интегродифференциальных уравнений (см. уравнения (4.21) и (4.22) в главе 4 диссертации), причем па формирование этих уравнений существенную роль оказывает нелинейность

/(у, О-

Будем предполагать выполненными следующие условия:

1) функции ц (4), Ко (г, 5) € С00 (0 < в < г < Т, С1) ;

2) Не дф) <0, ^ 0 V* 6 [0,Т];

3) функция / (у, Ь) является многочленом от у :

ЛЬ

/Ы) = /о(*) + 1>(*)2/Г

г=1

с коэффициентами /г (*) € С°° ([0,Т] .С1) , г = (Щь N0 < оо (/(у,*) взята в виде многочлена ради упрощения выкладок; можно считать, что / (у, Ь) аналитична по у). Вводя дополнительную неизвестную функцию

Г

' = / е ' Ко{г,з)у(з,е)й8,

г

о

получим интегродифференциальную систему

«

ди) Г

е— = А (¿) ги + еА\ (£)-ш + е е ' К^,з)ги (в, е) йв + еР (ю, Ь),

ги( 0,е)=гу°, (33)

для вектор-функции т — {г/, г} , где обозначено:

„(4))' (<--)= о)"

Регуляризацию задачи (33) произведем с помощью переменной

т = ! ц {в) ¿в о

Для расширения гй = {у (¿, т, е), т, е)} получим следующую задачу: дгй дги л ~ , /,% ~

- г У е'-^^К (£, в)гу е^ - е^ (ш, ¿) = 0, гй (0,0, е)

о

Регуляризация стоящего здесь интеграла производится в пространстве и вектор-функций вида

л«, __

ги г) = £ (¿) € С°° ([О, Т], С2) , к = О, ЛГЦ, < оо

¡ь=о

В результате получим задачу

+ М (*) тг^ — -А (0 й - (*)_ = 0 . й> (0,0, е) = ги°,

01 от ■

(34)

полностью регуляризованную по отношению к исходной (32). Здесь введены следующие обозначения:

оо

шк{г,т)еи, (35)

к=О

00 V

Л5 (Ь, т, е) = ^ X 'т) ■

1/=0 з=0 (

Л0гу (¿,т) = ету X й) гих (я) йв, Дт+^^.т) = о

я«,

= (-1)т Е К4т (К (*, 3) и,* (я))),=4е^ - (4т (ЯГ (4,8) У,к («)) тп> О,

= (ЗГ^ж ■■'' ^ = о^Ш 771 - 11 *!=1Мь

Определяя решение задачи (34) в виде ряда (35), получим для мзк{Ь,т) итерационные системы вида

д Кр ь™ («, т) = р(г)-£-А#)ь, = Р (£, т), Р (*, т) = £ Рк Ц)ект. (36)

Доказываются следующие утверждения, обосновывающие теорию нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач.

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия 1), 2) и Р{Ь,т) е 17. Тогда система (36) разрешима в пространстве 17 в том и только в том случае, когда

(Р1®,х 2 (*)) = (>, (Р0(*),Х1(4)) = 0 (ш е [О, Т]). (37)

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия 1), 2) и правая часть Р($,т) 6 II системы (36) удовлетворяет требованиям (37). Тогда система (36) при дополнительных условиях

дъи

и/(0,0) = «Л < + Аг^ш + Вош + <2 , *2(4)ет >= О, <-^ + А1(1)ш + 110ш + <Э(Ь,т), хг® >=0 (V* е [О, Г])

однозначно разрешима в пространстве 17.

В §4.2 главы 4 проводится обоснование асимптотической сходимости

формальных решений гиех (£) = £ екгик и, ^) к точному ю (¿, е). В

случае нелинейных систем это обоснование не является тривиальным. Сначала доказывается лемма о корректной разрешимости линейной интегральной системы

4 «

йш Г 1Г и(в)Л9

е-^ = А^)ю+еП{1,е)и) + е е- К#,з)м1{з,е)<1з+

о ■

+д(г,е),и}( 0,е) = 0, (38)

Лемма 4.1. Пусть выполнены, условия 1), 2). Тогда задача (38),

где матрица £>(*,е) € С ([О, Т], С2) такова, что (£, е)||с[ог) < б

постоянная, не зависящая от с €Е (0, £о]» ^о ^ 0— достаточно мало), имеет единственное решение ш (¿,е) в классе С1 ([0,Т], С2), для которого справедлива оценка

IV

где постоянная й> > 0 не зависит от е € (О, Ео].

Затем, используя известный результат Срубщика Л.С. и Юдовича В.И. (см. в списке литературы диссертации ссылку [62 , стр. 244]), доказывается, что уравнение

ь 1 1

Рс (и) = е~ - А (¿) и - еАх (£)ч-е ^е' ¡^ К (¿, з) и {з, е) йз-

о

г 4

-е^ (и+ «/>,<)—А^иР-еАгЦ)™*-!е^^ДТ (¿, з) Л = 0, (40)

о

однозначно разрешимо в пространстве!^ = С7[0,Т] = = {и (¿) € С [О, Т] : V (0) = 0} и имеет место оценка |[м» — шо|(В1 < < слг_1£ЛГ_1, где и = щ— начальное приближение к точному решению и — и* уравнения (40). Если взять начальное приближение в виде щ = (£) — и>0, то полученный результат будет означать, что исходная задача (32) имеет единственное решение ги (¿, е) и имеет место оценка

ММ)-^(г)||с[0>т!< Ся-г-е"-1 (ЛГ = 0,1,2,...).

Далее, записав эту оценку для частичной суммы ш£>лг+2 (£), получим обычную оценку

|И^£)-№еЯ(*)!1с[0,т]< ся-ъ-е**1 (ЛГ = 0,1,2,...).

Отметим следующее важное обстоятельство. При построении решения первой итерационной задачи, которое вычисляется в виде

скалярные функции (2), т/^ (¿) приходится искать из нелинейной задачи

м (<) т,® = -Ко (*, 4) ^ + ^ И / , (0) = 2/°,

М Ю Й0) = [ЯЬ (4,4) - А (4)] ^ + / (в) Л, ^ (0) = 0. (41)

о

Второе уравнение этой системы имеет тривиальное решение (¿) = = 0. Первое же уравнение является нелинейным, поэтому вопрос о разрешимости его в целом на отрезке [0,Т] является проблематичным. В конце главе 4 описываются условия, при которых система (41) разрешима

в целом на отрезке [О, Т]. В действительном случае (т.е. когда функции Яо (£, Ь) ¡Г1 (£) и / (у, ¿) действительны) условие

3) существует постоянная 7 такая, что при всех (¿, у) е [О, Г] X Д1 выполняется неравенство

обеспечивает разрешимость в целом системы (41) на отрезке [О, Т]. Однако это условие является достаточным, поэтому при нарушении его вопрос о разрешимости в целом остается открытым.

В главе 4 также рассматривается проблема предельного перехода в задаче (32). Здесь она решается довольно просто: поскольку главный член ги0 ^^ не зависит от ^ (т. е. главный член не содержит функцию пограничного слоя), то решение у (¿,с) задачи (32) стремится при е -> +0 к решению 77® (¿) первого уравнения системы (41).

В заключении выражаю благодарность научному руководителю проф. Сафонову В.Ф. за постановку задач, обсуждение полученных результатов и ценные советы.

По теме диссертации опубликовано 6 работ. Основные результаты изложены в следующих работах.

1. Сафонов В.Ф., Бободжанова М.А. Предельный переход в сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнениях с нулевым оператором дифференциальной части //Вестник МЭИ, 2006, № 6. С.91-100.

2. Бободжанова М.А. Сингулярно возмущенные интегродиффе-ренциальные системы с нулевым оператором дифференциальной части// Вестник МЭИ, 2010, №6. С.63-72.

3. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами// Математические методы и приложения. Труды девятнадцатых математических чтений РГСУ М.: АПК и ППРО, 2010. С. 26-34.

4. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Нелинейные интегродиф-ференцальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами и с нулевым оператором дифференциальной части// Математические методы и приложения. Труды двадцатых математических чтений РГСУ М.: АПК и ППРО, 2011.С. 12-21.

5. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Асимптотический анализ сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем с нулевым оператором дифференциальной части //Дифференциальные уравнения, 2011. Т. 47,№ 4. С.519-536.

6. Бободжанова М.А. Обоснование метода регуляризации для нелинейных интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части// Вестник МЭИ, 2011, №6. С.85-95.

Подписано в печать^, о5~ /АГ.Зак, и Тир. /СО Пл. / А!)

Полиграфический центр МЭИ(ТУ)

Красноказарменная ул.,д.13

61 12-1/794

ФГБОУ ВПО Национальный Исследовательский Университет

«МЭИ»

На правах рукописи

Бободжанова Машхура Абдухафизовна

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ-мат. наук,

профессор Сафонов В.Ф.

МОСКВА, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .................................................3

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ ........................30

§1.1. Регуляризация задачи (1.1). Построение асимптотического решения (31) §1.2. Предельный переход в задаче (1.1) (39) §1.3. Случай чисто мнимых собственных значений (45) §1.4. Примеры (48)

ГЛАВА 2. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГР О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ ......54

§2.1. Регуляризация задачи (2.1). Разрешимость итерационных задач (55) §2.2. Обоснование асимптотической сходимости формального решения к точному (63) §2.3. Предельный переход в задаче (2.1) (66) §2.4. Примеры (69) Пример 2.1 (69) Пример 2.2 (72) Пример 2.3 (73)

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ ....................................................82

§3.1. Регуляризированная асимптотика решения задачи (3.1) в случае ¡i{t) ф 0(83) §3.2. Предельный переход в задаче (3.1) при fi(t) ^ 0 (94) §3.3. Регуляризированная асимптотика решения задачи (3.1) в случае /i(t) = 0 (98) §3.4. Предельный переход в задаче (3.1) при ¡i{t) = 0 (106) §3.5. Пример (111)

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ .....117

§4.1. Регуляризация задачи (4.1). Разрешимость итерационных задач (118) §4.2. Обоснование асимптотической сходимости формального решения к точному (127) §4.3. Предельный переход в задаче (4.2) (131) §4.4. Пример (132)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................134

ВВЕДЕНИЕ

Теория сингулярных возмущений, основные идеи которой были сформулированы в работах Шлезингера [132], Биркгофа [12], Лангера [58], Лиувилля [60], Тамаркина Я.Д. [ИЗ], Тихонова А.Н. [111,112], Трджинского [115,116], Территина Х.Л. [114], Пугачева B.C. [87], получила свое дальнейшее развитие в конце пятидесятых - начале шестидесятых годов прошлого столетия в многочисленных трудах как зарубежных, так и отечественных математиков. Были созданы различные методы асимптотического интегрирования, сконцентрировавшие вокруг себя школы различных направлений. Самыми заметными из них стали школы Вишика-Люстерника [20-21], Боголюбова-Крылова-Митропольского [3,24-27,77-79,122,123], Понтрягина-Розова-Мигценко [80-82,88-91], Васильевой-Бутузова-Нефедова [10,11,15-19,83,94,95], Маслова-Федорюка [73-75,124,125], Ильина [45-47], Ломова [62-71,4-6,9,30-32,52,53,85,86„96,97,100,101,103-110,135], Нестерова [83], Коняева [52]. Современные зарубежные исследования представлены трудами Вазова [13-14], Ван-Дайка [23], Джакалья [35], Коула [50], Уизема [119], Чанга и Хауэса [133] и др. Заметим, что теория сингулярных возмущений тесно связана с теорией устойчивости решений дифференциальных уравнений (см., например, работы [112,16], где используются критерии устойчивости присоединенной системы). Здесь уместно отметить работы М.М. Хапаева [128-131], в которых получены эффективные критерии устойчивости, развивающие и дополняющие известные результаты A.M. Ляпунова [72]. В основе каждого из перечисленных выше методов лежит своя идея построения асимптотических решений сингулярно возмущенных задач. Например, в методе Васильевой-Бутузова-Нефедова лежит идея аппроксимации решения в приграничной зоне функциями пограничного слоя; при этом оценка остаточного члена призводится либо сведением исходной задачи к эквивалентному интегральному уравнению и применением к нему метода последовательных приближений, либо построением барьерных функций и оценке норм соответствующих верхних и нижних решений. Настоящая работа примыкает к методу

регуляризации С.А. Ломова [62,63,70] и в своей основе широко использует теоретические концепции этого метода, поэтому будет не лишним напомнить основные идеи метода регуляризации. В шестидесятых годах прошлого столетия в теории асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных уравнений появилось предпосылки развития метода, позволяющего рассмотреть различные типы уравнений с общих позиций. В основе этого метода (получившего впоследствии название метода регуляризации Ломова [62,63,70]) лежали спектральная теория переменных линейных операторов и уточненное понятие асимптотического ряда. Не вдаваясь в подробности, отметим, что метод регуляризации позволяет получать в ряде случаев асимптотические ряды, сходящиеся в обычном смысле (см., например, [66]). Но не только в этом состоит ценность метода. Асимптотические ряды, получаемые с помощью метода регуляризации, одинаково пригодны как в колебательном, так и в неколебательном случае. Ранее эти случаи изучались раздельно, это создавало определенные трудности при рассмотрении конкретных прикладных задач. Поскольку объектом исследования настоящей работы является обобщение метода регуляризации на неизученные ранее сингулярно возмущенные системы интегродиффе-ренциальных уравнений, остановимся кратко на основных идеях метода применительно к таким уравнениям (см. [62,63,70]). Рассмотрим следующую задачу:

(

£М=Л^У + /+ 2/(0, е) =у\ (0.1)

о

где у = {у1,---,уп}- -4 (¿)—известная (п х п)— матрица, Н(Ь) — = {/г1,...,/г„} — известная вектор-функция, е > 0—малый параметр, £ £ [0,Т]. В методе регуляризации [62,63,70] показано, что если спектр {АД*)} оператора А(() стабилен, т.е. удовлетворяет условиям: 1') \3{1)ф\г{1), г ф г,] = ТТп, V* е [0,Г]; 2') Ф о, V* е [о. т], % =

то все сингулярности в решении задачи (0.1) описываются функциями

г

_ 1 Л/т^л-^)

'3

г,- = - / Л¿(в)с16 = 3 = 1,п, (0.2) '

е з е

о

выделяемыми спектром. Вводится функция у = у(Ь,т,е), удовлетворяющая необходимому условию регуляризации е) = у(Ь, е), ставится для нее следующая задача:

.7=1 О

У(0;0,£Г) = 2/°,

Однако эту задачу нельзя считать "расширенной" по отношению к исходной задаче (0.1), так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена. Для полной регуляризации вводится следующее пространство функций:

п

и = {у(г,т):у = ^у№ет>+уо(г), у3^) 6 С°°([0, Т], Сп), ] = 0^ }.

3 = 1

Формальное решение системы (0.3) находится в виде ряда

ос

1М.т,е) = ^кУк{^т) (0.4)

к=0

с коэффициентами у^,т) Е V. Этот ряд инвариантен относительно

п

оператора = ^ — (т.е. образ Ьоу снова является рядом

з=±

по степеням е с коэффициентами из пространства £7). Однако при действии на него интегрального оператора задачи (0.3) получается ряд, в котором будут участвовать интегралы вида

í

[ К&з)ук(з,^)(1з, к> 0. (0.5)

Здесь не выделены коэффициенты при экспонентах е * . Если выделить эти коэффициенты и произвести расширение Щр- = т, то интеграл (0.5) представится в виде формального ряда по степеням е с коэффициентами из пространства С/, то интегральный оператор (0.5) будет асимптотически инвариантным в пространстве II (см. [62, стр. 62]). Выделение коэффициентов при е « производится с помощью многократного интегрирования по частям в интегралах вида

í и Н^е

= у # й) з/, (в) ее ° , 3 = 1, п. о

После применения этой операции получается разложение

оо

с

т=0

{1?{К{1,з)У]{з)))$=/1

-(/;'(* (МЫ*));и

При этом производится окончательная регуляризация интегрального члена (0.3) и расширенная задача записывается в виде

сю V

ду

+ т) = МО, = у

где у (¿.г,е) — формальный асимптотический ряд (0.4) с коэффициентами из пространства [/. а : и —» [/—операторы порядка (см. формулы (1.13) в главе 1).

Для коэффициентов этого ряда получаем серию итерационных задач типа

Ьг (¿, г) = Ь0г - = Я (¿, т), г (0, 0) = (0.6)

где Roy (i, т) = R0( y0 (t) + £ Vj (t) eT>

\ j=o

дач (0.6) развивается теория нормальной и однозначной разрешимости в пространстве [/(см. [62, стр. 140-143]). Применяя эту теорию, находится однозначно решения ук (i, т) всех итерационных задач в пространстве U, а значит, строится единственным образом ряд (0.4). В [62] показано, что сужение этого ряда при г = является асимптотическим решением (при £ —} +0) исходной задачи (0.1). После того как мы вкратце пояснили основные идеи метода регуляризации Ломова, перейдем к изложению основных результатов нашей работы.

В диссертации рассматриваются интегродифференциальные уравнения типа (0.1) с оператором A{t) = 0. Такие задачи получили название "интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части". Непосредственно применить метод регуляризации к таким уравнениям не представляется возможным, так как не. ясно, спектр какого оператора выделяет сингулярности в решениях задачи (0.1). Дифференцируя по i уравнение (0.1) (где A(t) = 0), получим следующую интегродифференциальную задачу:

I.

о

у (0.5)= у\ ey(s,e) = h{0). (0.7)

Теперь видно, что регуляризирующими переменными являются функции (0.2), где Аj (t)- корни характеристического уравнения

А2/ - К (i, t) = 0 А = А (£) = ±yJfJLj(t), (0.8)

а {ßj (£)} — спектр оператора К (t,t). Поскольку изучается начальная задача (0.7), то (из соображений устойчивости решений1 при е —>• -Ь0)

Решение y(t,e) любого сингулярно возмущенного уравнения называется устойчивым при е -> +0 , если существуют m £ Z+ и £0 > 0 такие, что е'"у (£, г) равномерно ограничено при (t, е) в 6 [0,Т] х (0,ео].

f К (t, s) уо (s) ds. Для за-

0'

t

следует считать, что все (£) < 0 при £ £ [О, Т] . Это значительно сужает класс сингулярно возмущенных задач, для которых можно построить регуляризованное асимптотическое решение.

Поэтому в первой главе диссертации рассматриваются более общие (скалярные) интегродифференциальные уравнения: г

£

dy

(/с0 (£, s) у (s, £) + ekY(i, s)y' (s, £))ds + h{t), y (0, s) = y0,

dt

о

(0.9)

содержащие под знаком интеграла не только неизвестную функцию y(t,e)i но и ее производную у' (t,e) по t. В §1.1 показано, что регу-ляризирующие функции выделяются спектром оператора

A(t)=\ ° 1 ], (0.10)

т.е. корнями его характеристического уравнения

det(XI - A(t)) - 0 Л2 - hi(t, t)X - k0(t, t) =

о

Ai(i) = Uh{ttt) - v/fcp + ад),

(0.11)

Л 2(t) = Uh(t,t) + y/kj{t.,t)+4k0{t,t)). Для применения метода регуляризации надо потребовать, чтобы выполнялись условия:

1) h(t) Е С°°([0, Т], R1). k0(t,s), Mt,s) £ С°°(0 <s<t< Г, R1);

2) X1(t)^X2(t), Xj(t) ф 0(V£ Е [0,Т], j = 1,2);

3) Re Xj(t) < 0,(Vt б [0,T],j = 1,2),

поэтому может быть рассмотрен не только "колебательный случай" ReAj(i) = 0, но и "неколебательный случай" Re Xj(t) < 0, (V£ £ 6 [0,T],j> = 1,2). Производя регуляризацию задачи (0.9) с помощью переменных (0.2), где Xj (t) — функции (0.11), получим регуляризован-ную задачу (w = (у,£у) = (у, z))

£~ + Xl(t)^ + X2(t)p-A(t)w-Jw = U(t),w(0,0,0) = {у0, £-г/г(0)}, at oti ото

(0.12)

где J—расширение интегрального оператора

t

Jw = [ k(t, s)w(s, ^,e)ds

о

(обозначения см. в §1.1) w (¿, ^ ,£] = u> (t,s) - решение интегральной системы

e^ = A(t)w + j k(t, s)w(s, e)ds + tf (i), w(0, e) = -£ ^ j +

(0.13)

эквивалентной

задачи (0.9), A(t)— выписанная выше матрица (0.10),

= мУ •

(здесь будет уместно отметить, что влияние нулевого оператора дифференциальной части сказывается на начальных условиях эквивалентной интегродифференциальной задачи (0.13): они являтся бесконечно большими при е —> 0; ив этом также нетривиальность рассматриваемой задачи). Определяя решение задачи (0.13) в виде ряда

оо

w{t,T,e)= (0.14)

fc=-1

получим серию итерационных задач (см. задачи в §1.1 главы 1), каждая из которых имеет вид системы

t

Ow dw f

LQw(t,r)=Xi(t)— + X2{t)---A(t)w- / k(t,s)wQ{s)ds = P{t,r).

ot\ дт2 J

(0.15)

Исследуется нормальная и однозначная разрешимость этой системы в пространстве U вектор-функций

w{t,r) = w\{t)eTl + w2{t)eT* + w0(t), (0.16)

в которых коэффициенты Wj(t) G С°° ([0,Т],С2), j = 0,1,2. В §1.1 главы 1 доказывается следующий результат.

Теорема 1.1. Пусть P(t, т) = Pi(i)eTl + P2{t)eT2 + P0(t) G Uu выполнены условия 1) и 2). Тогда для разрешимости системы (0.15) в пространстве U необходимо и достаточно, чтобы

< P(i,r),Xj(i)eTj >= 0,Vi G [0,Т], j = 1,2. (0.17)

Система (0.15) при дополнительных условиях

Ц0,0,0) =w*, (0.18)

НИ)

< -— + Riw + Q{t,T),Xj{t)eT> >= 0,J = 1, 2, Vi G [0,T], (0.19)

где w* G С2—известный постоянный вектор, Q(t, т) = Q\{t)eTl + + Q2{t)eT2 + Qo(t)— известная вектор-функция класса U, однозначно разрешима в U. .

Здесь через <, > обозначено скалярное (при каждом t G [0, Т]) произведение в пространстве U (см., например,[62,70]), а через Xj{t)— собственные векторы матрицы A*(t), соответствующий собственному значению Xj(t), j = 1.2; при этом системы {<~Pi(t)} и {xj(t)} собственных векторов матрицы A[t) и A*(t) соответственно берутся ортонор-мированными, т.е. (<Pi(t), \j(t)) = символ Кронекера (г, j = 1,2). Применяя теорему 1.1 к итерационным задачам для коэффициентов ряда (0.14), найдем однозначно их решения = Wk{t, т) в пространстве U. Образуем сужение N-ïi частичной суммы ряда (0.14) при г = В §1.1 главы 1 доказано следующее утверждение.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 1)-3). Тогда система (1.3) однозначно разрешима в пространстве и для её решения справедлива оценка

IKi, е) - w£N(t)\\c*.T] < CN£N+\N = -1, 0,1,2,..., (0.20)

где CN > 0— постоянная, не зависящая от е при е G (0, еоК^о > 0— достаточно мало). С помощью этой теоремы в §1.2 изучается предельный

переход (е —У +0) в задаче (0.9), который рассматривается отдельно для случаев Л. (0) = 0 и h(0) ф 0. В §1.2 главы 1 доказываются следующие результаты.

Теорема 1.3. Пусть в уравнении (0.1) неоднородность h(t) такова, что h(0) = 0, выполнены условия 1), 2) и условие

4) ReAj(t) < 0 (Vi G [О, Т], j = 1, 2).

Тогда имеет место предельный переход

||3/(t,e) - y{o\t)\\cm ^ 0 при +0.

(5 Е (0,Т) — произвольная фиксированная постоянная), где yo°\t) — решение интегрального уравнения

t

J ko(t, s)y(s)ds = —h(t).

о

При этом \\ey{t, £)\\с[б,т\ 0 nPu £ +0-

Замечание 0.1. Из этой теоремы следует, что в случае h{0) = О предельным решением у = y{t) задачи (0.9) является решение уравнение Вольтерра первого рода, полученного из (0.9) при с = 0. Это решение не зависит от ki(t. s) и начального условия у0.

Теорема 1.4. Пусть в уравнении (0.9) неоднородность h(t) такова, что h{0) ф 0, и выполнены, все условия теоремы 1.3. Тогда имеет место предельный переход

\\y{t:E)-y{o){t)\\c[6,T}^0 прие-^+0

(д € (0,Т)~ произвольная фиксированнная постоянная), где решение интегрального уравнения

t

J ko(t.s)y^(s)ds = -h(t)+A(t). о

При этом \\ey(t, e)\\c[6.T] 0 при £ +0, где A (t) - некоторая функция (см. замечание 1.2 в §1.2 главы 1).

Замечание 0.2. Сравнивая результаты последних двух теорем, делаем следующий вывод: в случае h(0) ^ 0 предельным уравнением для (0.9) не является вырожденное уравнение (т.е. уравнение, полученное из (0.9) формальной подстановкой £ = 0); предельное решение у — в этом случае удовлетворяет уравнению (0.20), отличающемуся от вырожденного скачком А(t) в правой части. И, наконец, отдельно рассматривается предельный переход (в метрике С [0, Т]) в "колебательном случае", т.е. в случае, когда оба корня Аj (t) являются чисто мнимыми. Этот случай имеет место, если в (0.9) к\ (i, i) е 0 и fc0 (i,£) < 0 (Vi G [0,T]). Предельный переход в обычном смысле (т.е. в метрике С [5, Т]) здесь не рассматривается, так как точное решение у (t, s) совершает при е —> +0 быстрые осцилляции, поэтому предельный переход следует рассматривать на всем отрезке [0, Т] (т.е. в метрике С [0, Т]). Ясно, что такой предельный переход существует не всегда. В §1.3 доказывается следующий результат.

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия 1) и 2) и Х\= = ±iuj(t)(u(t) > 0Vi £ [0.Т]). Тогда для существования равномерного (по t £ [0, Т}) предельного перехода

y(te)-y{o\t)

0, £ +0,

С[0;Т]

где у(¿, е)— точное решение уравнения (0.9), а у = — реше-

ние интегрального уравнения/ ко(Ь,з)у(5)¿в = — /г(£) (вырожденного

о

по отношению к исходному (0.9)), необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства

/г(0) = 0. у0 - у? = у0 + >^о(0, 0)/г(0) = 0.

Рассмотренные в §1.4 примеры подтверждают полученные в первой главе теоретические результаты.

Во второй главе продолжается исследование интегродифферен-циальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части.

Здесь рассмотрены уравнения вида

t г ¿у [ - [ ц.Шв

= ] К0&з)у(з,е)<1з + к(г), у(0,е)=у°, [О ,Т] ,

(0.21)

с быстро изменяющимся ядром е » К0 (¿, 5) . При /х (£) = 0 получаем задачу, рассмотренную в конце главы 1, поэтому интересен случай /х(£) ф 0. Выявить (с помощью дифференцирования по ¿), какой оператор отвечает за сингулярности в решении задачи (0.21), а затем построить эквивалентную интегродифференциальную систему, можно, но неудобно, так как последняя система будет системой второго порядка и будет иметь довольно сложную структуру. Поэтому в диссертации вводят еще одну неизвестную функцию

t

Г А

г= / е Ко (¿, 5) у (й, г) ¿в

о

и для вектор-функции ии = {у, г} получаем следующую задачу:

е—= А(1)и) + £А1{1)ги + е / е * К (¿, з) ю (5, е)

о

+#(£), т(0,€) =ъи°, (0.22)

где ги — {у, г) , Н (£) = {/г (¿) , 0} , ги° = {г/°,0}, а матрицы А (¿), А\ (¿), А' (£, 5) имеют следующий вид:

А(Ь)=(° 1 ),*(»=( 0 °У

^ \о м(г)/ \Я"о(м) оу 0у1

При ¿¿(¿) ф 0 (\/£ <Е [0,Т]) матрица А(Ь) имеет простую структуру и спектр {А^- (£)} = {0, ¿¿(¿)|- Видим, что и здесь сказывается влияние нулевого оператора дифференциальной части: одно из собственных значений тождественно равно нулю. Регуляризация задачи производится по

ненулевой точки спектра о (Л (¿)) :

т = Нм(в)<и = Ш.

£ ] € О

Для расширения гй = {у (¿, т, е), 2: (£, г, е)} получаем следующую задачу:

дги . . <9гй л ~ ^ ~

еАг (г ю-

иЬ от

г г

- = (0.23)

О

гу(0,0,е) =

Как и в предыдущей главе, регуляризацию интегрального оператора в (0.23) проводим в пространстве вектор-функций вида

w (i, т) - W\ (t) ет + wQ (i) , wQ (t), wx (t) e