Методы регуляризации и нормальных форм для сингулярно возмущенных задач со спектральными особенностями и для задач с быстро изменяющимися ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Интегральные уравнения Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование.

1.1. Эквивалентная интегродифференциальная система. Частичная регуляризация задачи.

1.2. Полная регуляризация задачи.

АЗАазрешимость итерационных задач.

1.4. Корректная разрешимость интегродифференциальной системы.

1.5. Обоснование асимптотической сходимости формальных решений.

1.6. Предельный переход в системе (1.2).

1.7. Пример.

Глава 2. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональным вырождением ядра.

2.1. Интегральные уравнения с диагональным вырождением ядра в скалярном случае.

2.1.1. Регуляризация задачи. Разрешимость итерационных задач

2.1.2. Асимптотическая сходимость формальных решений.

2.1.3. Пример.

2.2. Системы интегральных уравнений с диагональным вырождением ядра.

2.2.1. Регуляризация задачи.

2.2.2. Разрешимость итерационных задач.

2.2.3. Обоснование асимптотической сходимости.

2.2.4. Предельный переход в задаче (2.69).

Глава 3. Регуляризация нелинейных интегрод ифференциал ь-ных систем с быстро изменяющимися ядрами.

3.1. Регуляризация задачи.

3.2. Полная регуляризация задачи.

3.3. Разрешимость итерационных задач.

3.4. Асимптотическая сходимость формальных решений.

3.5. Пример.

Глава 4. Внутренний переходной слой в линейной задаче оптимального управления с быстро изменяющимся ядром функционала.

Теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач, рассмотрению которой посвящена настоящая работа, представлена трудами как российских, так и зарубежных исследователей. Свое первоначальное развитие эта теория получила еще в работах Лиувил-ля [93], Биркгофа С.Д. [15], Л.Шлезингера [181], Прандтля [130]. Однако только в конце сороковых годов настоящего столетия проблемами сингулярно возмущенных задач стал интересоваться широкий круг математиков. Благодаря работам [158,159] А.Н.Тихонова, посвященным исследованиям предельного перехода в сингулярно возмущенных уравнениях с медленными и быстрыми переменными, начинается систематический этап развития математической теории асимптотического интегрирования. В конце пятидесятых годов для линейных задач разрабатывается метод Вишика-Люстерника [31,32], а для нелинейных задач- метод Ва-сильевой(см.например, [25-30]). Эти методы стали основой исследования пограничного слоя в задачах, решение которых стремится к предельному с экспоненциальной скоростью (когда возмущение стремится к нулю). Существенные результаты, обобщающие и развивающие метод Вишика-Люстерника-Васильевой, были получены В.Ф.Бутузовым (см.например, [9-14]). Рассматривая сингулярно возмущеные задачи в областях с негладкой границей, он приходит к идее углового пограничного слоя, на основе которой создает эффективный метод исследования как линейных так и нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. К этому же направлению примыкают и исследования A.B. Нестерова, развивающие идеи метода погранфункций на задачи с более сложными краевыми условиями в неограниченных областях с негладкой границей (см., например, [118-119]). Развитие идей метода пограничных функций для интегродифференциальных уравнений проводилось в основном в работах М.И.Иманалиева (см., например, [71,72]). Эти же уравнения, но рассматриваемые с позиций метода усреднения[112-114], явились объектом изучения работ А.Н.Филатова и его учеников [169,170].

Сингулярно возмущенные уравнения возникают и при изучении периодических процесссов. При рассмотрении дифференциальных уравнений с большими параметрами Дородницын A.A. разрабатывает теорию асимптотического интегрирования, в основе которой лежат идеи, отличные от идей теории пограничного слоя. Желая исключить в асимптотических решениях секулярные (вековые)члены, Дородныцын A.A. разрабатывает метод эталонных уравнений и на его основе проводит глубокое исследование релаксационных колебаний, описываемых уравнением Ван-Дер-Поля (см., например, [56]). Общая теория релаксационных колебаний с точки зрения построения асимптотических решений разработана в трудах Понтрягина Л.С,Мищенко Е.Ф. и Розова Н.Х.(см., например,[И5-И7], [127,128]). Теория асимптотического интегрирования получила развитие и в работах Ханаева М.М.(см., например, [177-180]), посвященных проблеме устойчивости в критических случаях. Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления были рассмотрены М.Г. Дмитриевым [см., например,24-25]. Теория метода погранфункций оргинально трансформируется им в применении к задачам управления. Изучая возможности метода погранфункций при исследовании оптимальных процессов, М.Г. Дмитриев фактически разрабатывает новую теорию оптимального управления сингулярно возмущенных задач, обогащенную идеями метода Вишика-Люстерника-Васильевой.

Существенные трудности возникают при исследовании сингулярно возмущенных задач, содержащих в качестве множителей при производной не только малый параметр е, но и некоторую матричную функцию, определитель которой при е = О обращается тождественно в нуль. Такое "двойное вырождение" сложным образом влияет на существование решений, их количество и на структуру асимптотических решений. Эти проблемы явились объектом изучения Г.С. Жуковой. В ряде ее работ (см., например, [43,68,69]) предложен эффективный метод исследования указанных задач, позволяюпщй во многих случаях исчерпывающе решить эти проблемы. В зарубежной литературе теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач представлена работами Вазова[19], Лангера[91,92], Дж. Коэла [81], Ван Дайка [36], Чанга К.[182] и других исследователей.

В конце пятидесятых и начале шестидесятых годов С.А, Ломов, изучая модельное уравнение Лайтхилла, приходит к идее регуляризации сингулярных возмущений путем перехода в пространство большей размерности. Эта идея глубоко развивается им в последующих работах (см., например, [8, 97-104]) и приводит к созданию метода регуляризации, наиболее полно изложенному в его монографиях [95,96]. Метод регуляризации позволяет строить асимптотические решения в виде рядов по степеням е, сумма которых псевдоаналитична. Это означает, что регуляризованные ряды сходятся не только асимптотически, но и в обычном смысле в некоторой кольцевой окрестности О < {£:| < точки £ = 0. Впервые в теории дифференциальных уравнений наметилось новое направление, связанное с развитием аналитической теории сингулярных возмущений(см., например,[89]). Результаты С.А. Ломова по псевдоаналитичности были обобщены на уравнения в частных производных В.И. Прохоренко [133] и на нелинейные уравнения В.Ф.Сафоновым [154], который впервые применил для изучения псевдоаналитичности регуляризацию с помощью нормальных форм(см.[148-156]).

Настоящая работа посвящена развитию методов регуляризации и нормальных форм на некоторые (ранее не изученнные) классы сингулярно возмущенных задач. Основное содержание диссертации составляет разработка алгоритмов построения регуляризованных асимптотических решений для интегральных уравнений Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами, для нелинейных сингулярно возмущенных ин-тегродифференциальных уравнений, для интегральных систем с диагональным вырождением ядра, а также для задач оптимального управления с быстро изменяющимися ядрами функционалов и задач с точкой поворота.

Первое применение метода регуляризации к интегродифференциаль-ным уравнениям мы находим в работе С.А, Ломова (1970), посвященной системам типа Вольтерра вида бЩ-= А{1)у+ I К{1,8)у{з,€)аз + ад, 2/(0, а) = / , L 6 [О, Т] (0.1) в условиях стабильности спектра {АА(А)} оператора А{1) :

1а) Л,(а) ф О, Лг(0 ф АДО, г 7а а, г, ; = М ( е [0,Т] ) . В отличие от работ школы М.И. Иманалиева здесь предполагается, что КеЛА(А) <л г ф Зч г-, о = 1,п (У£ Е [0,Т]), т.е. допускаются чисто мнимые точки спектра. Основная трудность, которую пришлось преодолеть в этом случае, - это регуляризация интегрального члена 6

1у = I К{г,з)у{з, е) (1з ,

Если дифференциальная часть задачи (0.1) допускает довольно очевидное расширение при введении регуляризирующих переменных rJ = 1} ХАтО Л л = (0.2) то интегральная часть 1у при введении указанных переменных приобретает вид

1у = Г Щ1,8)у(з,Ч*е)с1з, о А и ее расширение по независимым переменным rj становится проблематичным. Именно это послужило причиной тому, что довольно длительное время метод регуляризации не обобщался на интегро- дифференциальные уравнения.

Выход из положения был найден самим С.А. Ломовым. Рассматривая простейшие примеры, он заметил, что пространство 11 (см. ниже) безрезонансных решений, инвариантное относительно дифференциального оператора Ь = Ej-l Xj{t) — А(£) • , остается инвариантным но на сужении г = л ) и относительно интегрального оператора /, если в и допустить регулярную зависимость элементов от параметра е. Поясним сказанное простейшим примером.

Пусть (0.1) - скалярная задача. Тогда пространство С/, инвариантное относительно дифференциального оператора Ь, имеет вид и = {y{t.r) : y = у,{)Л-У1{)е\у,{) ,y,(t)e С-[0,Т]}.

Образ элемента у{1, т) Е 11 интегрального оператора / будет таким:

1у = I К{г,з)ул(8)(18 + I K(t,s)yl(s) ехр(- / Х(в)(1в]а8. о о А0

Производя здесь многократное интегрирование по частям, 1у можно представить в виде оо

1У = I К(1,8)у,(8)а8 + Е (-1)"Л"л+. [{1-К(1,8)у,(8)),=,У< т = 0 хехр{- J X{e)de}ds - (IAK(t,s)yi{s)),=, л 0 где = I'A = A(s)ils -лл'лл m > 1. Стоящий здесь ряд сходится при е -ч- +0 ) асимптотически к образу 1у, если выполняются условия:

K(t,s) е с°°(о < s < t < T,&),x(t) = A(t) e [o,r],

ReA(t) < 0, X{t) фО (Vt G [0,T]).

Таким образом, класс U будет асимптотически инвариантен относительно интегрального оператора / (см.[95, стр. 62]). Этот важнейший факт позволил сдвинуть с " мертвой точки" процесс обобщения метода регуляризации на интегродифференциальные системы типа (0.1). В начале семидесятых годов метод регуляризации был полностью распространен на линейные интегродифференциальные системы типа Вольтерра в случае стабильности спектра, а в конце семидесятых годов были рассмотрены и полностью изучены интегродифференциаль-ные системы типа Фредгольма [123-124]. И, как не странно, с этих пор интерес к интегродифференциальным уравнениям ослаб. В течение десяти лет (1979 -1989 ) не выходит ни одной работы, в которых получила бы отражение идея регуляризации интегродифференциальных систем. И только в 1990 г. в связи с изучением связи между методом регуляризации и методом эквивалентного соответствия Ларионова интерес к интегродифференциальным системам снова возрос, правда, в несколько иной плоскости. Если до сих пор рассматривались интегральные операторы с медленно изменяющимися ядрами, то интегродифференциаль-ные системы метода эквивалентного соответствия : dy т dr = Ay + ej K{T-s)y{s,e)ds + Цет), y(0,s) = (03) рассматриваемые на асимптотически большом промежутке времени (г 6 О, A]), при замене г = |, 5 = I приводятся к сингулярно возмущенным интегродифференциальным системам t а= У-А JR{'-Ipmf е)ав + h0), У(0,е) = te[0,T] с быстро изменяющимися ядрами — |) (здесь у{Ь,е) = у[А] е)).

Такие системы в теории сингулярных возмущений ранее не рассматри-вались.Чтобы установить связь между методами Ломова и Ларионова, надо было прежде всего распространить метод регуляризации на ин-тегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами.

Ясно,что в общей ситуации произвольного ядра К{т — й) такое обобщение вряд ли удасться быстро сделать,хотя бы потому,что то или иное поведение ядра (при г Ч-О ) может вызвать такие изменения в решениях соответствующих интегродифференциальных уравнений, которые невозможно будет достаточно удовлетворительно проанализировать с помощью существующих асимптотических методов.Поэтому задача была упрощена и конкретизирована для ядер с экспоненциальным изменением:/С(г — в) = е'лл'л~лл (1А < О -постоянная) . Такие ядра часто встречаются в прикладных задачах. Исследование этого простейшего случая натолкнуло на мысль рассмотреть более общую задачу t л t dy s . =A(t)y -Ь / ехр{- f /d(e)de}K{t,s)y(s,s)ds -Ь dt J £ i h(tl 2/(0, s) = y\ (0.4) где /j,{t) - скалярная функция ( ее называют спектральным значением ядра интегрального оператора) .

Поскольку при /j,{t) = О мы получаем систему (0.4) с медленно изменяющимся ядром K{t,s), то алгоритм метода регуляризации [95-96 для таких систем является обобщением известного алгоритма метода регуляризации, развитого С.А.Ломовым в 1970 г.Примеры систем (0.4) с вырожденными ядрами (K(t,s) = ki{t)k2{s)), которые заменой

L 1

Z = j k2(s) ехр{- j fj,(e)dO} y(s,£) ds

0 А s приводятся к дифференциальным системам dy e~'= A(t)y + h{t)z + h{t), y{0,£) = y\ dt d?

S-=f,it)z+ £k2(t)y, Z{0,£) = Z\ (0.5) позволили высказать гипотезу , что сингулярности в решениях задачи (0.4) порождаются спектром {Xj(t)} оператора А(1) и спектральным значением fJ,[t) ядра интегрального оператора. Эта гипотеза подтвердилась Сафоновым В.Ф. и Калимбетовым Б.Т.,которые в 1990 г. обобщили алгоритм Ломова на системы типа ( 0.4 ) с быстро изменяющимися ядрами. Заодно они установили связь метода регуляризации с методом эквивалентного соответствия для систем (0.3 ) с ядром типа ехр{уи(г — й)} К{ет, ев), где /I < О - постоянная. Оказалось, что для таких систем оба метода приводят к одинаковым результатам на уровне главного члена асимптотики; далее результаты отличаются друг от друга. Однако в случае конкретной задачи, описывающей колебания вязко-упругого стрежня, метод регуляризации приводит к точному решению ( т.е. к рядам,сходящимся в обычном смысле ), тогда как метод Ларионова дает приближенное решение.

После того, как алгоритм метода регуляризации был обобщен на ин-тегродифференциальные системы с нестабильным спектральным значением ядра интегрального оператора, стало возможным его перенесение и на другие случаи нестабильности.

В первой главе настоящей работы методика, развитая для систем типа (0.4) ,обобщается на интегральные системы

У{А,£) = Е / Щ(1,8)ехр{- I 1лА(е)ае}у(8, е)с1з + к{Ь) (0.6) с г спектральными значениямиfAl{t), • • /J,r{t) ядра интегрального оператора (здесь:?/ = {г/ь • • •, Уп], = {Ни • • •, К}, А{Ь, 5), • • •, /гл(£, а) - матрицы размера п х п.) Для получения расширенной системы соответствующей размерности введем функции t t

2;у(л, е) = 1 8)ехр{- ] a,a{9) йО]у(8, е)(18з = 177. (0.7) о л 3

Получим интегродифференциальную систему с1г 111 е — = А{1)г + Е / / 11А(9)6,0} ЕАЩ, 5)2(5, е)й8Л1 Е / / fAjWd9} Я,(£, 8) (18 + д{г), г{0, е) = О, (0.8) где z = {zi, • • Zr}, Zj — векторы размерности n x 1, матрицы A(t), Ej{t), k{t, s) и вектор-функции H{t), Hj{t, s),g{t) имеют вид

A ki{t, t) + fj,i{t) In ki{t,t) ki(t, t) k2(t, t) k2{t, t) + lX2(t)In . . . k2{t, t) A(t) = kr(t, t) . . . kr(t, t) -b yLr{t)In g ki(t, s) . ki(t, $)

0, 0, In, 0, •••,0 единичная (n x n)— матрица), H{s) = {h{s), h(s), h(s)}, g{t) = {ki(t, t)h(t), ., kr{t, t) ад), t, s) = Ej k(t, s) Ej H(s).

Ясно, что решение y{t, e) исходной системы (0.6) связано с решением z{t, е) = {zi, " Zr} системы (0.8) соотношением еу = zi + • • • + Zr + h(t).

Введем, как и в методе Ломова, регуляризирующие переменные

F. J F. где Aj(£) = Мг(0, г = 1, г; {Ay(£)}(j = г -h 1, (п -Ь 1) г) - спектр оператора А(£). Системе (0.8) поставим в соответствие систему dz ("±Л)А . . ч 55 Е / / A,(A)ciA}E,fc(t, s)2(s, £)ds + i=i о A A A Е / / Xj(e)d9}Hj{t, s)ds -Ь g{t), z(0, О, е) = 0. (0.9)

Здесь:2 = 2 г , е), т = (п, • • •, Г(„+1)А), -0 = (Фи • •', '0(п+1)г)- Очевидно, что если г = г, е) - решение системы (0.9), то вектор -функция 2 = г(Ь, е) является решением системы (0.7). Однако систему (0.9) нельзя считать полностью регуляризованной, так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена г j I Л{1, г, £) = Е / ехр{-х

X j Xj{e) de} Ej k{t, s)z{t, e)ds s A

-\-J2j exp{- J Xj(e)de}Hj{t, s)ds. i=i 0

Как и в случае системы (0.1), введем пространство U, описываемое следуюш;им образом.

Определение 1. Будем говорить, что вектор - функция z(t, т) = {zi, • • •, Znr} принадлежит пространству U, если она представима в виде суммы п+1)г Е yk{t)e'"' + yo(t) (0.10) k=l

С коэффициентами yo{t), yk(t) e ([0, T], C"*"), к = 1, nr.

В качестве класса Mg, асимптотически инвариантного относительно оператора J, можно взять класс Mg = U\r= ^ • Подставим теперь сумму (0.10) в JZ] будем иметь j, t 1 Л J{z{t,r)) = E f / Xj(e)de}Ejk(t, s)x n+l)r i s x( E yk{s)exp{- / Xk(e)de} + ygi(s))ds + t = i а

J. t -t t E / / >Aj(0)de} Hj(t, s)ds = i=i 0 r {n+l)r i; 1 Л 1 « ее/ / A,(A)tAA + - / Xk{e)d9} kjk(t, s)ds + j=l k=l,kAj 0 a s ao г л t t Е ехр{- I Xj{e)de} I kjj{t, s)ds + i=i л 0 0 E / exp{- I Xj(e)de} [kjQ(t, s) + Hj{t, s)]ds, (o.ii) где обозначено: кАк{Ь, в) = ЕАк(1, 8)ук{8), А = 1, г, /г = О, (п + 1)г. Нетрудно показать(см.стр. 57-60), что стоящие здесь интегралы

ЬА = I ежН- / >Aj{0)de -Ь - / Xk{e)de}kjk(t, s)ds =

А 1 * ехр{- 1 Xj(e)de} 1 ехр{- 1 (Хк{е) - ХА{в)) de} kjk(t, s)ds, j = 1,г; к = 1, (п + 1)г, к ф j ;

Jjo(£, Л) = f ехр{~ j Xj{e) dO] kjQ(t, s)ds = exp{- x t t s

X I Xj{e)de} I exp{—J Xj{e)de}kjo(t, s)ds,j = T77; 0 0 Л 0

Jj{t, e) = exp{- I Xj(e)de} Jexp{— J Xj(e) dO}Hj{t, s)ds,j = Y77, разлагаются при условиях:

1) hit) G C°a([0, T],C"), kjit, 5) G C°"(0 < 5 < £ < Г, CA'), Xjit) = fzjit) G C-([0, Г], Ci), 1 = T77;

2) Xjit) = fZj(t) фО,Vte [0, T], 1 = l,r; /i,-,(i) = Xk{t) --Xj{t) фОА = 1 ,г, a = 1,{п + 1)г,кф г,

ЩeXkit) < О, А; = 1, (п-Ы)г, С [О, Т в асимптотические ряды по степеням малого параметра. Используя методику, описанную выше, получим, что

JЛt.e) = Е {-l)'AeAA'[(If,kjk(t,s))s=,exp{- / Xk(e)de}т = 0 Л п

0.12) оо 1 г га=0 л

-(/]л%0(£,5))а=л], 7 = 1,л, (0.13) 1 А ллю = Е л" + Ч(/.ля,-(£,5), = 0еа.я- / Чл)ле}т = 0

-(/]гЯ,(£,5)), = ,],л = 1,г, (0.14) где введены операторы

О = £ 7-1 /го A л 7-0 5

Теперь можно записать окончательно систему, расширенную по отношению к исходной (0.7). Она имеет вид

L,z{t, т,е) - т,£) - д{1), 2(0, О, е) = О, (0.15) где

П+1)Г о СЮ

Л(1, г, е) = ЗТ.л'Ук(1ч г) к=0 оо л (Е Е Rr-sYs(t, г)),

Г=0 5=0,Г-5>0

Еог(г, г) = Е / Щз(Ь,з)й8, (0.16)

3=1 о

2(£, г) л (-1) - Е ' [(/;л Ал-, (£, s))s^t е^' 3=1 к=1,кфз a z{t, r, e) -ряд itf, л, г) = E k=o л r) r) G и.

0.17)

Для коэффициентов этого ряда получим следующие задачи:

Loyo - Royo = 9{t), 2/0(0, 0) = 0; дуо

Loyi - Royi dt i л i л , Ш(0,0) = 0;

ЬоУ2 - Roy2 Jlia/i + Л22/0, 2/2(0, 0) - 0;

0.18o) (O.I81)

O.I82)

LoVk - Royk

E Rk-sys. Ук(0, 0) = 0; (0.18A,)

Каждая из итерационных задач имеет вид

Lo - RA)y(t, т) = P(t, r), 2/(0, 0) = О,

0.19) где LQ = Е^лл*л xjiA) a ~ л(о^ л оператор Ло(как и все операторы Rm) описан выше (см,(0.16)).

Для формулировки условий нормальной разрешимости системы (0.18) в пространстве U нам понадобится скалярное (при каждом t G [О, T]) произведение в U: y{t,T),w{t,T)> п+1)г Е ykit)e-"'-{к=1 п+1)г (п+1)г yo(t), J: wk{t)e-"' + wo{t)> Ш a {ykit),Wkit)), k=l k=o где (, ) - обычное скалярное произведение в прстранстве С"л. До сих пор не требовалось, чтобы спектр {Xj{t} {j = r + 1, (n + l)r) матрицы A(t) был простой. Для дальнейшего важно, чтобы выполнялись условия:

4) Xi{t) ф О, ф \{1),г a 5,г, 5 = г + 1, (п + 1)г,У£ Е [О, Т].

Обозначим через {¥'^(01 a {хДА)} системы собственных векторов матриц А{1) и А*(£) соответственно, причем возьмем эти системы би-ортонормированными, т.е. где символ Кронекера, г, a = г + 1, (п + 1)?".

Доказаны следующие теоремы о нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач (0.18А)

Теорема 1 (см.стр. 64). Пусть выполнены условия 1) - 4) и правая часть п+1)г

ПААг) = Е РА(1)еАА + Ро(0, (0.20) принадлежит пространству С/. Тогда для разрешимости системы (0.19) в и необходимо и достаточно, чтобы P{t, т), xk(t) еАА > = О, А; = гЧ- 1, (п + 1)г, Vi G [О, Г]. (0.21)

Теорема 2(см.стр. 68). Пусть выполнены условия 1) - 4) и P{t, т) G и удовлетворяет условиям ортогональности (0.21). Тогда задача (0.19) при дополнительном условии ду

Н- -Ь Q{t, т),хАА)е"А>= О У£ е [,Т],; - г-Ы, (п-Ы)г,

0.22) где <5(А? т) е С/ - известная вектор-функция, однозначно разрешима в пространстве 11.

Доказана также следующая теорема об асимптотической сходимости формальных решений к точным.

Теорема 3(см.стр. 79). Пусть выполнены условия 1) - 4). Тогда задача (0.8) однозначно разрешима в классе СА([0, Г], саа) и для ее решения г{1, е) справедлива оценка z{t, е) - ZeN{t)\\c%'r\ < CNSN+1 (0.23) где Z£N{t) - сужение ТУ-ой частичной суммы ряда (0.16) при г = а постоянная > О не зависит от е при е Е [О, е()]{ео > О— достаточно мало).

Во второй главе рассматривается интегральное уравнение t елу = fit - s)K(t, s)y(s, e)ds + h(t), t G [0, T], (0.24) в котором £ > о -малый параметр,а ядро {1 — з)К{Ь,з) обращается тождественно в нуль при 5 = 1{К{1,1) ф ОШ е [О, Г]).Желая построить асимптотическое решение уравнения (0.24) (при е -ЬО),сведем его к интегродифференциальному (дифференцированием по £): / т , s) + {t- зЩЫз, e)ds + т У{0, е) = ЩА (0.25)

Получено интегродифференциальное уравнение,которое при е = О вырождается в интегральное уравнение Вольтерра первого рода l*lKit,s) + (t - s)AAA]y(,)d3 + h(t) = 0.

Уравнения типа (0.24) с позиций метода регуляризации ранее не рассматривались. Интегральные уравнения с вырожденным ядром мало изучены с позиций и других методов.

Нам будет удобнее вместо исходного уравнения (0.24) рассматривать задачу (0.25). Алгоритм построения регуляризованного асимптотического решения уравнения (0.24) будем развивать в предположении,что ядро K(t,s) и функция h(t) удовлетворяют требованиям:

1) K{t,s) G С°°(0 <s<t< T,RA), h(t) G C°°([0,T],Ci);

2) ii:(£,£)<0(V£G[0,T]).

Введем регуляризирующие функции где Ai = —iy/—K(t, t), A2 = iJ—K[t, t). Тогда для функции у = y{t, г, s) переменных t,T = (Ti,r2) и s естественно поставить следующую задачу: е'А + sLy - IG(t, s)y{s, 8)ds = h{t), y{0,0, s) = (0.26) где обозначено: ф(1) = (ф,&,ф2(0).

Задачу (0.26) нельзя считать "расширенной" по отношению к исходной (0.25), так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена

1у = }0{Ь, 8)у{8, 8) с 18.

Определение 2. Будем говорить,что функция y{t, з) принадлежит классу и, если она представима в виде суммы у(£,г) = ш(Ф"Л + 2/2(Ф"л + г/о(л). (0.27) с коэффициентами уА £ с°л([0, Г], CA)J = 0,1,2.

Как и выше, в качестве класса возьмем сужение класса 11 при г = Класс и A4>(t) инвариантен относительно интегрального оператора I. Действительно, подставляя (0.27) в 1у, будем иметь

Iy(t,T) = I G{t,8)yi(8)eo ds+l G(t,8)y2{8)eo d8+lGit,s)yQ{8)d8.

0 0 0

Стоящие здесь интегралы,содержащие экспоненты,представим в виде рядов по степеням е ,используя операцию интегрирования по частям:

Mt,e) a }G(t,s)y,(syl"""ds = e[AAeA - <M)j

Г2глл/1.ЫММ£)\ ATj1 (д G{t,s)yj{s)A 1 (0.28)

- Г \j{t)yds \j{s) )s=tл Aj(0)V5s \j{s) ;s=Oji ё (-l)-e- + i[(/f (G(i,5)y,-(5)),.,e^ - p*(G(t,8)yj{8)\=,

77Ъ—О где т = л , а операторы имеют вид

1 д

ПЧ 1Г\ т>1, i = l,2.

5 A-i--\i{8) д8 л

Нетрудно показать,что полученный ряд сходится асимптотически к интегралу Jj{t,e) при е —+0. Это и означает,что класс асимптотически инвариантен относительно оператора 1у. Построим теперь расширение оператора /.

Пусть дан ряд оо

0.28') к=~2 с коффициентами yk(t,r) G U. Применяя к нему формально оператор/, будем иметь

1у= Л еЧук(1,т)= ё sA[}G(t,s)yAA\s)ds+ к=-2 к=-2 О

Используя формулы (0.28) запишем образ ly в виде ly = g e*[lG(«,s)!/«(s)d.+ g S{(/]»(G(i,.)2,y(s)) .=<е»Л+ k=-2 0 m=0 j=l

Jf(G(t,5)2/,(5)).=o)= ё е\Пф,т)Л- Y: блПту(Ь,т)1 Ш' k=-2 m=l ~"

Здесь введены операторы Rm : U U (операторы порядка),действующие по закону

Royit, г) = fG{t, s)yo{s)ds,

Rm^iy(t,T) = (-1Г h((IJЛ{G(t,s)y,(s)\лteЛJ - (ЛG(t,s)y,{s)),=o){m > 0) для каждой функции (0.27) пространства U. Представим Iy{t, г, s) в виде оо г

Iy{t,T,e)= Е £'( Е Rr-sysit,r)) л^х {*) r=-2 s=-2

Определение 3. Назовем оператор оо

1у{Ь,т,е)= Е Е Rr-sYs{t,r) г=-2 5 = -2,г-з>0 расширением интегрального оператора /.

Теперь можно записать задачу,расширенную по отношению к исходной задаче (0.24).Она имеет вид ef + sLy - ly = h{t), y{0,0,s) = л. (0.29)

Подставим ряд (0.28') в систему (0.29) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е; получим задачи

-Ло2/-2 = 0, 2/2(0,0) = /1(0); (0.30)

-Roy-i - Riy-2 + LyA2 = О, y-iiO, 0) = 0; (0.31)

-Royo - RiV-i - R2y-2 + Lyi + а = (0.32o)

-Royi - Rm - R2y— \ - Rzy-2 + a + ^2/0 = 0,

У,(0,0) = 0,1 =-1,0,1,.

Сформулируем общий результат, касающийся разрешимости итерационных задач в пространстве U. Рассмотрим три уравнения

-Royit, т) = H(t, г), 2/(0,0) = у\ (0.33)

-Roz(t, т) = R,y{t, т) - Ly(t, т) + P(t, г), (0.34)

-Row(t,T) = -а + Riz(t,T)-Lz(t,r) + R2y(t,T)AQ{t,T), (0.35) где P(t,T), H{t,r), Q(£, г)—известные функции,??/а— известное число.

Теорема 4.(см.стр. 91.) Пусть выполнены условия 1 и 2 и функции H{t,r), Р{1,т), Q(t,T) G и. Тогда для разрешимости задачи (0.33) необходимо и достаточно,чтобы H{t,T),eAA >= О, j = l,2,Vi G [О,Г], < Я(£,г), 1 > |,=о = 0. (0.36)

Задача (0.33) при дополнительных условиях Riy{t, г) + P{t, г), 1 > U - О, (0.37) R2(t, г) -Ь Q(t, г), >= О, j = 1,2, имеет единственное решение в пространстве U.

Заметим,что в (0.36),(0.37) участвует скалярное (при каждом t G

О,Г]) произведение:\/2/(£,г) = Е yj{t)e''A, 'Az{t,T) = Е Zj{t)e^ (tq = 0) :

У,г>=ЕУААМА)

Теорема 5(см.стр. 99). Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда уравнение (0.24) имеет единственное решение у[Ь, е) Е С[0, Т] и справедлива оценка y(t, е) - Уе,мШс[аАт] < см£АА\п = -2, -1, О, •••), где Уем{А) - сужение Ы- ой частичной суммы ряда, постоянная с^г > О не зависит от £ (при достаточно малом £ : е Е (О, Т]).

Результаты, полученные для скалярного случая, обобпдены на системы интегральных уравнений с диагональным вырождением ядра еАу = J(t - s)K(t, s)y(s, £)ds + ад. (0.38) где йе1К{1,1) ф ОШ Е [О, Т]. Будем считать выполненными следующие условия:

1) к{1, з) е с°°(о < 3 < 1 <т, К"'), Цг) е сОЛ([о, т], сл);

2) спектр {Xj{t)} {п X п)— матрицы K(t, t) удовлетворяет требованиям: а) Xi{t) < 0,{ = ТТп, \/1 е [О, Г]; б) ф Л,(£), г ф л, г, j = IT/4, У£ е [О, Т Вместо задачи (0.38) рассмотрим задачу /G{t, 3)z(s, s)d3 + g{t), z(0, e) = 0, (0.39) dt где обозначено: G{t, з) = K{t, 3)-\-{t - s) g{t) = }G{t, з) Цз) d3.

Решение системы (0.38) связано с решением системы (0.39) равенством у = e~A(z -Ь h{t)). Поэтому, построив асимптотическое решение системы (0.39), легко вычислим асимптотическое решение системы (0.38). Вводим регуляризирующие переменные

0.40) где

X2i-l(^) = -isj-j{t), fl2j{t) = +iy/-Xj{t), j = 1, n. (0.41)

При этом ЛЦ]Щ = \J'2j{t) = Xj{t) € [о, Т]), j = 1, п. Для расширенной функции г = г(1, т, £)(т = (г1, • • •, ггА)) получаем следующую задачу: дг

6Л — + еЬг - 10(1, з) 2(8, е)^ 8 = д(1), 5(0, О, е) = О, (0.42) где обозначено: t2 = Е,л1Аа,(0а = ЕЛ=1[(-г ал,-(£))а|-4-(гу'-ЛДА))А], ^0(£) = {ф1, • • • Ф2п)- Задачу (0.42) нельзя считать полностью регуляризованной по отношению к задаче (0.40), так как в ней не произведена регуляризация интегрального оператора

Для регуляризации последнего надо ввести класс Ма, асимптотически инвариантный (при е —-|-0) относительно оператора 7. Б качестве Ме возьмем класс г'Дб пространство С/ вводится следующим образом.

Определение 4. Будем говорить, что вектор-функция т) =

21, • • •, 22гг} принадлежит пространству и, если она представима в виде суммы

2п г) - ЕА.(А)е"А + г,{1), (0.43) с коэффициентами 2Л(£) е С°°([0, Т], С"), j = 072п.

Для того чтобы показать, что класс и\лф(Г1 является асимптотически инвариантным относительно оператора J, надо доказать, что образ J2(i, г) представляется в виде ряда по степеням е, асимптотически сходящегося к 7г(1,т) при £ —> -}-0. Подставляя (0.43) в 1 г(1,т) и используя методику, описанную раннее, получим, что

Jj{t, е) = 1 ехр{~ I *1*(е)ав}в{1, 8)хА(з)с[8 =

7i=0

0.44) где введены операторы: при этом, как нетрудно показать, ряд (0,44) сходится асимптотически (при е —> +0) к функции Jj{t, s)).

Теперь нетрудно записать задачу, регуляризованную по отношению к задаче (0.38). Она имеет вид dz еА— + eLz - Jz = g(t), 5(0, О, е) = О. (0.45) где J расширение оператора J (оно имеет вид (*) и строится аналогично тому, как это делалось ранее). Подставляя ряд оо z(t, т,е) = y: e*zk(t, г), zk(t, т) е U (0.46)

В задачу (0.45) и производя приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях е, получим следуюпдие системы для коэффициентов Zk{t, т) этого ряда:

-ЯоЛо = ло(0, 0) = 0; (0.47)

-До21 = -izo -Ь A1A0, 2i(0, 0) = 0; (0.47i)

-R0Z2 = - LziA-RiziA- R2Z0, 22(0, 0) = 0; (0.472) dZk-2 RQ Zk =-A7-L zk-l + Rl Zk-l + R2 Zk-2 + * • • dt RkZQ, Zk(0, 0) = 0,k > 2. (0.47fc)

Показывается(см.стр. 113-122), что любые три последовательные итерационные задачи (0.47A;) определяют решение первой из них в пространстве U однозначно. Каждая упомянутая тройка итерационных задач имеет вид

-До zit, т) = H{t, г), 2(0, 0) = О, (0.48)

- Д о а д г) = -Lz + Riz + P(t, г),

0.49)

-Row{t, т) ----Lu + Riu + R2Z + Q{t, r), (0.50) где H{t, r), P(t, r), Q{t, r)- известные вектор-функции класса U: 2n 2n

3=1 3=1

2n

0.51)

3=1

Для формулировки условий разрешимости задач (0.48) - (0.51) введем следующие обозначения. Через {(pj{t)} и {xj{t)},KaK и прежде, обозначим системы собственных векторов матриц K{t, t) и K*[t, t) соответственно, т.е.

K(t, t)cpj{t) = Xjit)Ajit), K*{t, t)xj(t) = A,(Ox,(i), где Sij— символ Кронекера, i, j = 1, 2n; через ej обозначим j - й орт в С" : ej = {О, • • •, О, 1, О, • • •, 0}. Имеют место следующие утверждения.

Теорема 6(см.стр. 118). Пусть выполнены условия 1) и 2) и вектор-функция H{t, т) G и. Тогда для разрешимости системы (0.48) в пространстве и необходимо и достаточно, чтобы H(t, г), ej > \t=o = OJ =1, n, (0.52)

H{t, r),eieAA >= 0,Vi G [0, T ,г = 1, nj = 1, 2n. (0.53)

Применение теоремы 6 к системе (0.49) несколько конкретизирует вид вектор-функций Zj(t), но не определяет их до конца. Более точно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 7(см.стр. 119). При выполнении условий 1), 2), (0.52), (0.53), а также дополнительных ограничений

Riz + P{t, г), ej > \t=o = 0,i = Т;Л, (0.54) -Lz + Riz + P{t, т), Ci e"A > = Ш e [0, Т],г = ТТТг, P{t, r), Xk(t) eAAA- > =0, < P(t, r), xk(t) eA- > = 0

Vt e [0, T],k = l,n (0.55) система (0.48) имеет решение в виде функции п п л) = Е /K2k-i{t)e"'-' + j: Z2kit) е'лл'' + 2o(i) k=l k=l в которой ZQ{t) - функция t

ZQ{t) = - IR(t, s) K-\s, s) EQ{S) ds - K-\t, t) Ho{t), 0 a Z2k-i{t) и Z2k{t) имеет вид

Z2k-i{t) = ak{t)<pk{t) + Z2k-iit), Z2kit) = (5k(t)ipk(t) + Z2k{t), (0.58) где otk[t)-! Pk{t) G C°°([0, T], CA)— произвольные функции, удовлетворяющие условию n

E22fc-i(o) + E 22A(0) = -2o(o) - K-\o, о)я(о). (0.59) а 22A;-i(£) И Z2k{t) G CA([0, T], C") - известные вектор-функции, Л(£, s) - резольвента ядра —K~A[t,

И наконец, условия разрешимости системы (0.50) (в пространстве и) позволяют определить решение задачи (0.48) в пространстве [/однозначно.

Теорема 8(см.стр. 122). Пусть выполнены условия 1),2),(0.52)-(0.54), (0.55). Тогда система (0.48) при дополнительных условиях

- + R2Z + Q(t, г), Xk{t) ел"-' > = О V£ G [О, Г], (0.60)

Qz

---Ь R2Z + Q{t, г), Xk(t)e"" >- О е [О, Т], к=1,п однозначно разрешима в пространстве U.

Пусть ZeN{t)- сужение N - ж частичной суммы ряда (0.46) (при г = А) с коэффициентами Zk(t, т) G U, удовлетворяющими задачам (0.47), • • •, (0.47jfe). Имеет место следующее утверждение.

0.56)

0.57)

Теорема 9(см.стр. 132). Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда задача (0.39) однозначно разрешима в классе СА([0, Т], СА) и для ее решения z(t, е) имеет место оценка

0.61) где постоянная сАЧА > О не зависит от е при е Е (О, 5о](Ао > О— достаточно мало).

В работе изучается также предельный переход в системе (0.38). Доказан следующий результат.

Теорема 10(см.стр. 135). Пусть выполнены условия 1), 2) и Н{0) = к{0) = 0. Для того чтобы решение у{1, е) задачи (0.38) сходилось при е —> -Ь О к решению у = у{1) предельной системы

О = /{1-8) К(1, 8) у(8) г8 + к{1) (0.62) равномерно по £ Е [О, Т]), необходимо и достаточно, чтобы Н (0) = 0.

В третьей главе диссертации рассматриваются нелинейные системы вида д//У-= А(г)ул-1 ехр -/ Аг(в)(1е К{1,8)у{8,е)(18г!{у,1) + Н{1), i1

2/(0, г) = 2/°,£Е[0,Т] (0.63) с быстро изменяющимися ядрами. Здесь скалярная функция 1л{€), называемая спектральным значениям ядра интегрального оператора, может не обращаться в нуль на отрезке [0,Т]. Она индуцирует в решении задачи (0.63) дополнительные быстро изменяющиеся компоненты. Даже в случае медленно изменяющихся ядер (/х(£) = 0) задача (0.63) при наличии чисто мнимых точек спектра {АДА) } оператора А{1) представляет определенный интерес, так как ранее она не изучалась. Здесь впервые предпринимается такая попытка. При этом предполагается, что 1л{1) ф 0\/1 Е [0,Т]. Однако развиваемый ниже алгоритм очевидным образом модифицируется на случай //(/:) = 0.

Систему (0.63) будем рассматривать при следующих предположениях:

1) л„+1 = 1А(1) е [о,т], к(г,з) е с°°(о < а < а < г, С"'), аде С°а([0,Г],Са), А(г)е С°°([0,Г],С"'), /(а, £)-многочлен по у :

2/, о = Е /А"АНОг/А"А

0<|т|</ с коэффициентами/(А)и £ С°°([ОТ]С"), О < |т| < / < со;

2) Xi{t} ф Л- [1) г ф 3, \г (£) 7а О (У£ е [О, Т], г , j - Таа + т);

3) КеЛА(£) < О, КеЛ„ + 1(£) < 0(\/£ 6 [О, Т], г = 1, п);

4) равенство (т, Л(£)) = гпх + • • • + т„ + 1 Л„+1(£) = при |т| > 2 и 7 Е {1,2, • • п + 1}) либо не имеет место ни при каком 1 Е [О, Т], либо выполняется при всех 1 Е [О, Т].

Следуя методу Ломова [95,96], вводим регуляризирующие функции

Для функции а(£, г, е), удовлетворяющей условию y(t, Т, б)\лл± = y(t, г, £){Т = {т1,--',Тп+1),ф = {фъ'", Фп+г), где у(Ь, е)- решение системы (0.63),получим следующую задачу: ду ду

1=1 ог, 1 ехр ~1 11{е)с1в (0.64) £/(у,£) + ад,А(о, о, е) =

Однако в (0.64) не произведена регуляризация интегрального члена

1у(1,е) = [ ехр - [ 11{в)(1в К{г,8)у(8,'А,е)(18. (0.65)

Для этой цели необходимо ввести класс ма,асимптотически инвариантный (при е —) -Ь 0) относительно оператора /. В линейном случае (/(у, £) = 0) в качестве такого класса выступает пространство вектор-функций, "натянутых" на единицу и экспоненты ехр порождаемые спектром {Лу(£)} предельного оператора А{1). В нелинейном случае это пространство должно быть существенно расширено, так как нелинейность f{y,t) индуцирует в решениях сингулярно возмущенных задач экспоненты ехр (т, А(£)) измерения т = Ш1+ • • • -Ь rrin+i выше первого (см., например, [150]).

Следуя [152], введем пространство U, описываемое следующим образом.

Определение 5. Будем говорить, что вектор-функция y{t, т) = {у1, ' , уп} принадлежит пространству U, если она представляется в виде суммы y{t, т) = yA'\t) + Е ' уН(л)еК-) (AN = Ny< оо) (0.66) l<\m\<N

С коэффициентами ТТЦ (i), У И (t) л С°°([0, Г], Сл), не содержащей резонансных экспонент, т.е. таких экспонент ехр[т, т) измерения \т\ > 2, для которых при некоторых j е {1,2,"-,п-Ь1}и£б [О, Т], выполняется равенство (т, \{t)) = mi \i(t) -Ь • • • +m„ + i A„+i(£) = \j(t) (факт отсутствия в (0.66) резонансных экспонент отмечен штрихом над суммой).

В качестве класса Mg возьмем прстранство U\AMt). Ниже будет показано, что образ Iy{t, г) произвольного элемента класса разлагается в ряд по степеням сходящийся асимптотически при г —> -ЬО. Это и будет означать, что класс асимптотически инвариантен относительно интегрального оператора (0.65).

Если ряд оо оо

Е у (0.67) к=0 k=Q \0 < \т\ < Nk / является асимптотическим (при е -> -ЬО) на сужении г = то его образ Iy{t, г, е) будут, очевидно, также асимптотическим рядом (при е л 4-0).

Назовем расширением оператора / оператор / оо \ оо г

1у{1, т,е) = 1 Е е'ук{1, г) = Е Е Rr-sys{t, т). л=0 / Г=0 8=0,Г-5>0 где

Roy{t, т) = ел»+л/ K{t, s)y'"AA{s)ds,

Теперь можно записать в окончательной форме систему, расширенную по отношению к исходной (0.63): Цу - Iy(t, г, е) - ef(y, t) = h(t), у{0, О, е) = у\ (0.68) dt где L,yy = 24=1 A,-(l) Л - А(£)у .

Для коэффициентов ряда (0.67) получим следующие задачи:

Lyo{t, т) = Ьоуо- Royo - h{t), уо(0, 0) = (0.69)

Lyi(t, т) = ду° + /(Уо (;, r),t) + Rxyo, yi(0, 0) = 0; (0.70) • dt

Ly2{t.r) = 7 - ЩЛУ1 + Rwi + Л2У0, 2/2(0, 0) = 0; (0.71) dt dy

Здесь значком " обозначена линейная операция вложения, ставящая в соответствие каждой резонансной экспоненте еА"А"'А\{тР, А(£)) = \jity) соответствующую экспоненту еАА первого измерения: елллллл = еА'.

Как и в предыдущих случаях, здесь развивается теория нормальной и однозначной разрешимости задач (0.б9)-(0.71) в пространстве С/. Обратим внимание на следующий факт. Система

K{t, t) <pjity x(£))

M)) - A,a) - A„+i(^) + {p(al\.,al-,t),xAi)) = O, (0.72) л^(0) = (А-\0)Н{0) + уАхАШз = Ап, (0.73) полученная из условий ортогональности правой части (0.70) ядру сопряженного оператора в резонансном случае является нелинейной системой дифференциальных уравнений, а значит ее разрешимость на отрезке о, Т] не гарантирована. Потребуем, чтобы система (0.72), (0.73) имела решение в классе С°°([0, Г], С"'). Тогда будет иметь место следующий результат.

Теорема 11 (см.стр. 148). Пусть выполнены условия 1) - 4) и задача (0.72), (0.73) разрешима на отрезке [О, Т]. Тогда все итерационные задачи (0.69), (0.70), (0.71). однозначно разрешимы в классе 11 (при их последовательном решении).

Асимптотическая сходимость формальных решений к точным доказывается с помощью метода Ньютона (для операторных уравнений ;79,145]).

В четвертой главе рассматривается линейная задача оптимального управления: ex = A(t)x{t,s) + B(t)u(t,e)-\-f{t), ж(0,г) = ж°, 0<t<T,

J^(u) = ~ I{x*Q(t)x + u*R{t)u) ехр - \(1{в)(1в i1, (0.74) где е > О - малый параметр, х[1,е), f{t)—n-мерные, и{1,е) — т-мерная вектор-функции, хл - постоянный п-мерный вектор, А(1) - матрица размерности пхп, B(t) - матрица размерности пхт, Q{t) - симметрическая положительно определенная матрица размерности пхп, К{1) - симметрическая неотрицательно определенная матрица размерности т X т, fA{t) - скалярная функция, £ Е [0,Т], ,,* " - знак транспонирования. Требуется перевести систему из заданного начального положение х{0,е) = х^ в положения х{Т,е) за фиксированное время Т < -Ьоо (х(Т,е) - не фиксируется) так, чтобы функционал 1е{и) принимал минимальное значение.

С целью получения асимптотических представлений для ж(£, е) и и (^5 е) в виде рядов по степеням е потребуем выполнения следующих условий:

1А Элементы матрицы Л(£), В(1), Q{t) и Л(£), а также компоненты вектора/(£) и скалярная функция/г(£) принадлежат С°°([0,Т], К).

Применяя принцип максимума Понтрягина Л.С. (см. например [142, стр. 261-273]), получим оптимальную систему вида

1 * л eA(t)x - B{t)R-\t)B*(t)exp — [ fi(e)de p + ef{t), х(0,е) = хА ер--eQ(t)exp ii{e)de X - A*(t)p,p(T, s) = 0. (0.75)

Выполнив последовательно зам\ ены ех = у, ехр -j 11{в)ав р = q, colon{y,q) = z,

0.76) приходим к следуюпдей сингулярно возмущенной краевой задаче со слабой неоднородностью и нестабильным спектром предельного оператора T(t): ez = T{t)z + £h(t), 0<t<T, Gz = Giz{Q,e)-\-G2z{T, s) = sa,

0.77) где

T(t) = a A{t) -B{t)R-\t)B*{t) -Q{t) -(A*{t) + Ai{t)I) матрица размерности 2n х 2n с элементами из класса [О, Т] ,

Gi = diag{l, 1,0,0), G2 = diag{0,0,1,1) , h{t) = colon (/, О, .0), а = colon (жл. О , 0 ) — 2п-мерные векторы. При этом оптимальное управление будет (см. [142,стр. 315] ) иметь вид 1 u(t) = --R-A {t)B* (t)q(t). (0.79)

Пусть cj{t), dj{t), j = l,2n, собственные векторы матриц Т (t) и T*{t), отвечающие собственным значениям Xj{t) и Xj(t) соответственно, причем {cj(t), dj{t)) = Sij - символ Кронекера. Предположим, что выполняется еще два условия:

2л. Спектр {Xj{t)} матрицы T(t) обладает свойствами: а) Xj{t) ф 0,j = 1,.,п, и -Ь 2,.,2п, G [О, Г]; б) Xn + i(t) = t4(t), l{t) л0, V£ G [0,Т]; в) Xi (t) ф Xjit), i ф j, i,j = 172л, V£ G [0, T]; г) ReXj{t) < О, j = 1, n, ReXj{t) > 0, j = n +1, 2n, e [0, Г];

R)ReXi(t) < ReX2{t) < ,.,< ЛеАзпл. 3«. det (dj • det {dj (T) Ф 0. (Здесь Cj = colon (cij , .,C2nj), j = l,2n). Введем регуляризирующие переменные

Tk = -jXk(s)ds =(pk\t,-j, k = l,2n, — . — tn — 0, tn+l — . — t2n — T\ 1 1/1

A ds = exp - J Xn+i{s)ds I exp ■ I Xn+i{9)de f 1\ 4 J\ - , г = 0,г - 1.

Переменная индуцируется нестабильностью спектра в точке

Обозначимте (т1,.,Г2„), (р = {(ри.,(р2к ),(a= (о-оо,-.,о-о,г-1), ф = (фо,.,фолг-г) 5 и рассмотрим новую функцию г = г(1,г,сг), для которой поставим следуюпхую расширенную задачу: Gii(Mo,£), +G2~z{Mi,e) sa. где

Мо Мо 0,л о, \ €/ ф[0, -],е] ,Мг = Мг Т,л Т -) . , ф Т, -] , е \ sj J \ \ ej \ sj J д ' X i д

In Q r-1 Q

Lo=E Ht)A + An+i(0 E *of л-t, {Koi , = 0 , r -1 } kAi oTk i=Q ao-Qi 1

-система полиномов Лагранжа- Сильвестра. Если г = г{1 ,т,а,е) - решение написанной выше расширенный задачи, то сужение г[1,е) = г{1, А, '0, е) будет решением задачи (0.77). Полученная расширенная задача регулярна по е, и поэтому её решение ищем в виде ряда оо z = Y.e'zi{t , г ,сг). (0.79')

ПО неотрицательным степеням параметра г. Для определения коэффициентов этого ряда получим следующие итерационные системы:

ЬоАо = О, = 0,Ьо21 =/г - ^ 1 а 0, Сг1 = а,

ЬоАг = А12:г1, = О, г =2, 3, .

Для того чтобы изучить разрешимость итерационных задач, рассмотрим общую итерационную систему

- Я(£,т, а).

Будем искать решение данной системы в пространстве функций

I к=1 г=0

Ш €С« = ([о,г]),с2"),А = о727Г,г = о;т:п:}, в котором введено следующее скалярное произведение при (каждом 1 е [0,Т]) :

2п г-1 тделк, Ы иСк , СЪг — коэффициенты элементов Имеют место следующие утверждения.

Теорема 12 (см.стр. 162). Если выполняется условия 1*а, 2'А(а,б,в) и Н{1 ,г, (т) е и, то для разрешимости системы (0.80) в пространстве и необходимо и достаточно, чтобы Я(£, г, а),4(£)еАА о, к = 1,2п Ще [0,Т], (0.80) Я(£, г, сг), dn+i{t)aQi >= 0,г = 0,г - 1 е [0,Т], (0.81)

H(t, r, a), dr,+i(t) >1=0 = 0,г = 0,r - 1 = —). (0.82)

Теорема 13(см.стр. 164). Пусть выполнены условия JA - 3*а, H{t, т, а) е и и удовлетворяет требованием (0.80) — (0.82). Тогда система (0.7) при краевых условиях = и дополнительных ограничениях

-LiC + 9(t), dkit)eA" >=0,к = 1,2п ,yte [0,Т] (0.83) - L i а + g{t), dn+i{t)aoi 0, г - 0, r - 1, Vi G [0, T], (0.84)

D' < -Ы + git), 4+1 (0 > F=0 = 0, г O y a , (0.84i) где g{t) G C°®([0,T], CA"") - известная функция, однозначно разрешима в и при е G (О, So] , где ео > О - достаточно мало.

Теорема 14(см.стр. 168). Если выполняются условия 1а — 3а, то задача (0.77) имеет при достаточно малых s > 0(0 < s < SQ) единственное решение zit,s) причем имеет место оценка zit,s) - z,N(t)\\c[o,T] < CAre,A+SiV = 0,1,2,., (0.85) где Z£N{t) - сужение М-й частичной суммы ряда (0.79') при т =

Во второй части четвертой главы рассматривается задача управления (0.74) в случае нестабильности спектра Т(£) а котинуальном по-множестве 5 С [О, Т].

Применив к задаче (0.74) принцип максимума Л.С. Понтрягина, а затем сделав преобразование р = £ е a q в полученной гамильтоновои системе

1 * \

S4 = sAit)x-Bit)R-\t)B*(t) exp — / fi{e)de p-^sf{t),x{0,s) = x\ J

1 * sp--sQ(t)exp fi{B)de x-A*it)p,piT,s) = 0, приводим ее к виду sz = T{t)z + h{t), 0 < t < T,Izit, s) = MziO, s) + Nz (T, s) = a, где h{t) = {f(t)] 0}, a = (жл, 0}, a матрицы T{t), M, N имеют вид nt) = A{t) -B{t)R-A{t)B*(t) M = In 0 ( 0 0

-Q(t) -(A *{t) + %t)I) ) ' 0 0 0

Здесь 1п -единичная матрица размерности п X п. Через {с{(Ь)}, {<ц(-<)/ обозначим системы собственных векторов матриц Т(£) и Т* (£) соответственно, т.е.

Т{1)ф) = Xi(t)ci{t),T*{t)dj(t) = = Aj{i)dj(t), (c^U), сгАй) л 5ij, г,; = 1, 2п, где % - символ Кронекера.

Будем предполагать выполненными следующие условия:

1) элементы матриц А(£), B{l), Q{t) и K{l), а также компоненты вектора /(£) и скалярная функция //(£) принадлежат классу С°°([0,Г], К).

2) а) Л,(£) фо,з + О = Т727 Л1 е [О, Г]; б) Хп + 1{1) = О, У£ € 5 С [О, Г], Хп+1{1) ф 0У£ е [о, Г]\5; в) {1) ф Хл{1), гф 2,г,2= Т72А, е [О, Т]; г) ЯеЛД*) < О, ; = Т7п, КеХА{1) > О, л = гг + 1, 2п, \/л Е [О, Г . Здесь 5 - некоторое подмножество отрезка [О, Г], причем 5 ф [0,Т].

3) йеЬ (Мс 1 (0),. •, Мс„(0)).сге£ (Жсп+1(Т), • • •, Жс2п(Т)) 7А 0. Здесь М = {In,0),N = (О, /„)— матрицы размерности п х 2п.

4) (ад, 4+1А) = 0(У£ € [0,Т]). в отличие от предыдущего случая, здесь нестабильность спектра наблюдается не в отдельной точке, а на континуальном подмножестве. Это порождает в решениях задачи (0.77) контрастные структуры, которые невозможно описать с помощью классического метода регуляризации [95]. Для исследования последних привлекается метод нормальных форм [43], суть которого состоит в следующем.

Введем вектор у = {г»!, - • •, У2П} регуляризирующих переменных, удовлетворяющих нормальной форме dy '"+-л • = A(t)y -Ь Е gj(t)enAulv = 1, (0.86) dt где A{t) = diag(Xi(t), A2n(t)), функции gj(t) G C°°([0,T],CA) находятся в процессе построения формального асимптотического решения задачи (0.77), е„+1 = {О, - • •, О, 1, О, • • •, О, • • •, 0} - (п + 1)— й единичный орт в СА". Тогда расширенная система будет иметь вид

3=1 К1),

0.87) lz(t,v,£) = Mz{0,v{0,s), е) + Nz{T,v{T, е), е) = а. Опредляя решения системы (0.87) в виде ряда оо

0.88) получим следующие итерационные задачи: dz

Lzo{t, v) = -Q^v - T(t)zo = h(t), k-zo a;

0.89o)

Lzi{t, V) =

- -Agi(t)en+i, li[zo -Ь szi] а;

0.89i) г к E dzQ dv

5'A;+l-i(i)en+b

0.89,+i)

4+1 [-Ao +

-b £л+-л2л+1] = a, /г > 2, где gkit) = 0 при к > m -j- 1, a граничные операторы 1Л определяются равенствами hz{i, V) = lz{t, v*''\t, €)) = Mz(0, v^'\0, e)) + Nz{T, v^\t, г)); через t'AAA(i, e)) обозначено решение нормальной формы (0.86) порядка т + 1 = к-\-1 : v^'\t, е) = v\t, е) + ev\t, г) -f • • • -Ь e'v\t, е).

Введем два пространства С/ и F вектор - функций H{t, v) {Hi, • • •, Н2п}'> описываемые следующим образом.

Определение 6. Будем говорить, что вектор - функция H(t, v) принадлежит пространству U, если она представима суммой

2п

H(t,v) = Е Hjit)vj + Ao(i), (0.90) в которой коэффициенты Hj(t) G (7°°([0,Т], СА"), j = О, 2п. При этом пространство V С U вектор - функций (0.90) будем называть пространством решений задач {0.89k), если в (0.90) свободный член ортоганализован:

Яо(0, dn+i{t)) = 0(At е [О, Г]). (0.91)

Показывается, что при выполнении условий 1) - 4) первая итерационная система (0.89о) имеет решение в пространстве V, представимое в виде zo(t, v) = zi'\t) -Ь Е 4\t) cj(t) vj, (0.92) где ZQA\t) = — HJAijAn+i (t) ifA{t), dj{t)) Cj{t). Условия разрешимости dzQ dzQ , , dz

81 ду лллл.л+i л л. < ллл3(л>л>л = 1, 2п (0.93) в пространстве V следующей итерационной системы (0.891) позволяют найти функции ос'р (t) в виде aft) = af'\0) ехр{-/ (с,-(А), ^(0)) г9}, з = Т72А. (0.94)

И наконец, подчиняя функцию (0.92) граничному условию IQZQ — а вычислим значения аДО, е) функций (0.94) в точке а = 0. Если при этом выполняется требование

5) 1<Ап+1(05А)1 а <5Ао > ОУе 6 (О, ео](<Ао- постоянная, не зависящая от е(£о > О— достаточно мало), то решение (0.92) итерационной системы (0.89о) будет полностью найдено. Тем самым доказан следующий результат.

Теорема 15(см.стр. 184). Пусть выполнены условия 1) - 5). Тогда для достаточно малых £:(0 < е < ео) задача (0.89о) при дополнительных условиях (0.93) однозначно разрешима в пространстве V.

Заметим, что в ходе вычисления решения (0.92) первой итерационной задачи (0.89о) будет однозначно построена и регуляризирующая нормальная форма (0.86) первого порядка (т +1 = 1), причем в ней функция д1{Ь) будет найдена в виде gl{t) = -(«Й1(*))-'(4°'(*),й»+1(*))

Аналогичный результат имеет место и для последующих итерационных задач (0Я9к)(к > 1) (см.стр. 179-185).

Для обоснования асимптотической сходимости формального решения

ZeN{t) = SN{t,vA-''\s) = Е гк(г, У к=1 к точному е)(здесь уАА\ъ, е) — решение регуляризирующей нормальной формы (0.86) порядка т + 1 = N+1) надо доказать разрешимость произвольной краевой задачи dz = T{t)z -Ь ад, iz{t, е) = / (0.95) при выписанных выше условиях 1) - 3) и дать оценку ее решения через и /г(А)||. Доказан следующий результат. Теорема 16(см.стр. 198). Пусть T{t) G С\[0, Т], СА"'), Д(а) G G С([0, Т], СА"") и выполнены условия 2а) - 2г) и 3). Тогда краевая задача (0.95) имеет при е G (О, еоКАо > О - достаточно мешо) единственное решение z{t, е) и для него справедлива оценка

Ко z{t, £)\\с[о,т] < Кг + h с[о,тъ (096) где Кх > О и К2 > О- постоянные, не зависящие от е при е Е (О, Ао]. Используя оценку (0.96), легко доказать следующее утверждение. Теорема 17(см.стр. 199). Пусть выполнены условия 1) - 5) Тогда краевая задача (0.77) при достаточно малых е > О (О < е < ео) однозначно разрешима в классе Са([0, Т], СА") и справедлива оценка z{t, е) - 2eiv(01lc[o,r] < CmSM+1 где CN > О - постоянная, не зависящая от £: G {О, SQ], z{t, е)— точное решение задачи (0.77), Z£N{t) = 8м{1, г) - построенное выше формальное асимптотическое решение.

Для изучения предельного перехода в задаче (0.77) потребуем выполнения условий 1) - 5) и условий

6) ReXi(t) < О V, е [О, Т], г = Т^;ЯеХг,+1(1) > О Ш е [ОТ] \ 5; КеХА{1) > 0У1 е [0,T]J = п + 2, 2п;

7) функция КеХп+1{Ь) строго возрастает на некотором интервале (бЛЛЛ-1, £л1+1 + л) справа от точки t = tnAl{S > 0).

Пусть Q = [а, /3]- любой отрезок, лежащий в {О, Т) и Qr\S = 0. Имеет место следующие утверждение.

Теорема 18(см.стр. 203,206). Пусть выполнены условия 1), 2а) -2в), 3) - 7). Тогда имеет место предельный переход е) - гА\ъ)\\с{А) О {е +0), г{1,е) - гЩ\сАз) О (е -ЬО), где х{1, е) - точное решение задачи (0.92) а - функция

0.97)

При этом предельный режим задачи (0.77) (при £ —> -|- 0) имеет вид

1 е [О, т] \ 5, г = 2U) = л+1

Он является разрывным (в точке = t„, если A{tn} ф 0) решением предельной системы О = Т{1)г + /г(^).

Из этой теоремы следует, что точное решение г{1, е), "обтекая" предельный режим Щ0, испытывает резкие скачки в точках Ь = О, t = 1п ш 1 = Т, образуя два пограничных слоя в окрестностях точек £ = О и 1 = Т ж внутренный переходный слой в окрестности точки 1 = 1п. При этом внутренный переходный слой имеет вид контрастной структуры (в частности это будет контрастная структура типа " ступеньки", если

A{tn) — A(An+i) > 0). Можно показать (см. [218]), что если S состоит из единственной точки, то в ее окрестности возникает контрастная структура типа "всплеска".

В пятой главе разрабатывается алгоритм построения асимптотического (при е -\-0) решения сингулярно возмуш,енной задачи

A(t)x + f{x) + еФ{х, у, t), ж(0, б) = хл е К\

0.98)

B(t)y + ед(х, у, t) + h(t),y% е) = y\t е [О, Т]

0.99) в критическом случае, т.е. в случае, когда спектр \j{t) матрицы первой вариации A{t), B(t) системы (0.113)-(0.114) содержит пару сопряженных чисто мнимых собственных значений AiA2 = — <А > 0).

Опишем условия, при которых будет рассматриваться задача (0.98)-(0.99). Как и в [156], будем предполагать, что правые части систем (0.98) и (0.99) являются функциями класса fi, т.е. они разлагаются в ряды ф^--'^\1)ХТ'ХГуГ Уп ? mi+m2 > 2

Ф(х,у,1) = Е mi+—+m„„ >0 ф(ТЬ-,Т„)ААА G СОА([0, Г], С 2)A

9(^,y,t) = Е "А"НО 2/Г Уп 5 miH—\-т„ > О а(ТЬ-,Т„)(АА € С°°([0,Т], С"-2), сходяпдиеся абсолютно и равномерно по а Е [О, Т] в областях и = {х : \хЛ\ <

1,2}, П= {(ж, у) : [а^1 < К, ул\ < Л, г = 1, 2, j = 3~п} соответственно. Кроме того, будем считать выполненными следующие условия:

1) двумерная матрица А является постоянной и действительной, и имеет спектр Xj{t) =— гси{ш > 0)а = 1,2; вектор-функция h(t) Е С7°°([0, Т], С");

2)(п — 2) X (п — 2) матрица ^j(t)}, удовлетворяющий требованиям имеет спектр г ф 3. Ь 3 = 3, п, е [О, Г]; 3)КеЛДА) < О, ; = 3, п, VA 6 [О, Т.

В дальнейшем будут наложены дополнительные условия, обеспечивающие существование решения задачи (0.98)-(0.99) и наличие ее асимптотического решения.

Рассмотрим укороченную систему е— = АхЛ- /(ж), ж(0, е) = х\ (0.100)

Из работы К.Зигеля [70] (см. также [5]) следует, что УжА € Паа П В? нормальная форма системы (0.100) имеет вид — = Ли -Ь т(ши2)ше1 -Ь iV2(rAlU2)u2e2, а(0, е) = г^а (0.101) здесь Щд = {х : [жх] < 610, |ж2| < Ао?<Ао > О— некоторое число).

К этой нормальной форме система (0.101) приводится с помощью нормализующего преобразования

X - 5(и) - Е хА'Аи', (хА'\ аА) = о, е г?, 3 = 1, 2. (0.102)

Здесь ГА— множества резонансных мультиндесов: г; = {5а = (5;, з\) : 8л = {к-А 1)е\ + ке\,к > 1},

Т1 = {5Л = (4, 4) : з'' = ке\ + {к + 1)6°, > 1}, где к- натуральное число; е\ = {1, 0}; = {О, 1}.

Поскольку преобразование х — переводит укороченную систему (0.101) к нормальной форме (0.102), то исходная система (0.98),(0.99) принимает вид Аг + 67А0(2122)2161 - г]Уо{21 22)22е2 -Ь еЕ(г, у, 1), 2(0, е) = 2А

Д = B(t)y + eE(z, у, t) + h(t),y(0, e) = y\ (0.103) dt где обозначено: dS

Л = dm9(-icc;, -Ьгси), A(z, t/, t) = (-А)-АЦ8(г), у, t), E(2;, t) = g{S{z), y, t), z' = S-\x').

В системе (0.103) первая подсистема является возмупденной нормальной формой. В [156] показано, что если на возмуп];ение F{z, у, t), не наложено никаких ограничений (кроме F{z, у, t) 6 О) то можно получить задачу, которая будет либо не разрешимой на отрезке [О, Г], либо ее решение будет не ограниченным при е —> -|- 0. Чтобы избежать этого, потребуем выполнения следующего ограничения.

Условие А. Система (0.98) имеет не зависящий от у интеграл JA{x, t), связанный с интегралом укороченной системы (0.100) соотношением

Г{х, t) = J(x) + J{x')xit), где xii) А С°°([0, Т], RA)— некоторая функция.

В [70] было показано, что при преобразовании z = S(z) интеграл переходит в интеграл оо

J4S{zy t)= Е wAAAA\z,Z2r + J{x')x(t), wAaaaa ф 0.

Этот интеграл сохраняет постоянное значение на траекториях системы (0.100),т.е. оо оо оо

0.104)

При достаточно малых \Zl\ это уравнение разрешимо (вообще говоря, неоднозначно) относительно произведения 212:2.

Условие Б. Среди решений уравнения (0.116) существует решение 2122 = xo(t) е с - ([ о. Г], кА).

Это условие позволяет от сильно нелинейной системы (0.98)-(0.99) перейти к слабо нелинейной системе Ai(t)z + еАо(2, у, t), 2(0, е) = г\ B{t)y + eE,{z, y, t) + ед,у(0, e) = y\

0.105) где Ki{t) обозначает диагональную матрицу diag{—iaj + iNQ{xQ{t)), -irioj - Л/о(х(А))), a через FQ{Z, у, t) ж EQ(Z, у, t) -вектор-функции, полученные из F{z, у, t) ж E{z, у, t) заменой zi zA на Xo(0-Следуя [95], введем регуляризирующие функции л о гдеЛ1(л) =j-iuj{t) + iNo{xG{t)),X2{t) = +iu(t) - eNo{xo(t)), Xj(t) = 3 = 3, n.

Тогда для расширения {z{t, т, s), y{t, т, e)) решения {z{t, r, e), y(t, r, задачи (0.106) получим следующую систему: dz " ~ dz

Tj = -[ ~Xj{s)ds,j = 1,71,

0.106) Е Ai(i) A

Ai(i)5 = eFo[z, у, t),z{0. О, s)

E А , ( 0 a - 5 ( 0 У = Kt) + eE,(z, y, t),y(0, 0, e)

0.107)

Определяя решение системы (0.107) в виде рядов оо оо

Z = Е e'zk(t, г),у=Е e^Vkit, г),

0.108) построим следующие итерационные задачи:

Lz, = Е Ai(t)A - Ai(£)2o = О, 2о(0, 0) = z\

0.109i)

0.109o)

Lzk A Fk-i{zQ, 2/0, • • •, 2jfei, ук-1, t), 2fci(0, 0) = 0,

Решения итерационных задач (0.109)5;) будем определять в пространстве и вектор функций {г{1, г), у(Ь, г)), представимых рядами г) = Е '2('")(Л)е('"'*),2И(Л) е (7°л([0, Г], С2), | т | >0 y{t. г)= Е у*'л\1)е^'\уЛА\1) е С-([0, Г], С--2), (0.110)

Н > о где штрих означает, что в соответствующей сумме отсутствуют резонансные экспоненты; ряды (0.110) предполагаются сходящимися абсолютно и равномерно по л Е [О, Т] в области 0А = {т : КетЛ- < А, л = 1, п, где А > О- некоторая постоянная.

Система (0.109о) имеет в пространстве и решение в виде вектор-функций,

2o (i, г) = а1(1)е\еАА + сх2е\еА\ где скалярные функции aj{t) Е С°°[0, Т] определяется из дополнительных условий ([95]) а + рА\го, уо, г), е]еАА >= О, л = 1, 2, 2о(0, 0) = г\ дуо + ЁА'\го, Уо, Ь), с[А(г)е-А>= О, j = 3, п, г/о(0, 0) - у\ (0.111)

- 31

Здесь {сЛ(л)}— система собственных векторов матрицы В{1), а — система собственных векторов матрицы В*[1). Имеет место следующий результат.

Теорема 19(см.стр. 215). Пусть выполнены условия 1)-2), вектор-функции^?/), Ф(ж, у, 1), д{х, у, t) е О, начальный вектор жо € Що П КЛ. Пусть, кроме того,имеют место условия А и Б, также условие В: спектр {ЛДЛ)} матрицы первой вариации системы (0.98)-(0.99) таков, что резонансные мультииндексы, порождаемые этим спектром, описываются множествами

Гх = {тА = (к + 1)е1 + ке2}, Гз = {тА = кег + {к + 1)е2}, рл- = {тА = + ке2 + еу}, У к Е N,3 = 3, п. е,- = {О, .,0, 1, О, .•.,0 } - 7-йортвСл).

Тогда дифференциальные уравнения , получаемые из условий ортогональности (0.111), однозначно разрешимы в классе С"л([0, Т],С'А).

Здесь таже доказывается асимптотическая сходимость формальных решений к точным.

В шестой главе рассматривается краевая задача с точкой поворота:

L,y = s'y" - хк(х)у = h(x),y(0, s) = q\y(l, s) = g', (0.112) где s > Q — малый параметр. Требуется построить регуляризованное асимптотическое решение этой задачи при следующих предположениях:

1) к(х) > О Уж G [О, 1], /г(0) ф 0;

2)к{х), Цх) е С°°[0, 1 .

Отметим сразу же специфику неоднородной задачи с точкой поворота: предельное решение w[x) = — этой задачи является разрывным, поэтому основной ряд (см.[95], стр. 200) не может быть получен с помощью обращения оператора х к{х) и последующим дифференцированием. Это приводит к тому, что в случае задачи с точкой поворота для построения ограниченных асимптотических решений начальные значения не могут быть выбраны произвольно. Как показано в работе [95], начальные значения в этом случае следует выбирать специальным образом, зависящими сингулярно от s.

Исследование краевой задачи (0.112) показало, что в ней краевые условия и q' могуть выбраны произвольно, т.е. выбор краевых условий не влияет на ограниченность получаемых асимптотических решений. В этом состоит основное отличие краевой неоднородной задачи с точкой поворота от аналогичной начальной задачи.

Регуляризация задачи (0.112) проводится с помощью функции

1 = 1 (3/2/v лагрлл. О

При этом расширенная система принимает вид

ЬеУ = EeAA'Ljy = Цх), у(0. О, s) = q\ у{1, s) = q', (0.113)

Так как основной оператор LQ является оператором типа Эйри и элементами его ядра являются линейные комбинации функции Эйри первого рода ui(t) и модифицированной функции Бесселя i62(jt) и их производных: y(x,t) = v{x)ui(t) v{x)u2(t) + \/€[w{x)u'i(t) + It) (ж) u'g (i)A

С коэффициентами, зависящими от fi = то решение расширенной задачи (0.113) следует искать в виде ряда у(х, t,s) = Е М yi-2{x, t) (0.114)

6=0 по степеням параметра // = л/е. Для коэффициентов у{-.2{х, t) этого ряда получим итерационные задачи, каждая из которых имеет вид уравнения Lo у{х, t) = /(ж, t), подчиненного некоторым граничным условиям, вытекающим из граничных условий (0.113) для ряда (0.114). т-ч и о

В диссертации развивается теория нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач в условиях, когда их правые части принадлежат классу Ц функций /(ж, t) (целых по а и бесконечно дифференцируемых по ж G [О, 1]), представимых рядами fr, t) = t А ( f c > 1), j=k асимптотически сходящимися при a —)• -^оо( равномерно по ж G [0,1]). В классе Ц выделяется подкласс До правых частей /(ж, t), для которых соответствуящая итерационная задача Ly = /(ж, t) имеет решение у{х, t) Е 0*(t—а/(ж, t)){t + о о). Асимптотическая сходимость формального решения

VsNix) = ЕШ'~'Уг-2(х,'А)

1=о S

К точному y[t, s) доказывается с помощью представления решения А (ж, е) краевой задачи

ТеА(х, е) = еАА"{х) - хк{х)А{х) = %,£), А(0,е) = А{1,б) = О через специальную фундаментальную систему решений {zi{x, е), Z2{x, е)} соответствующего однородного уравнения Tg А = 0. Имеет место следующий результат

Теорема 20(см.стр. 234). Пусть функция к(х), к(х) Е С°°[0, 1 Тогда задача (0.112) имеет при достаточно малых е > 0(6 Е (О, во]) решение у{х, е), для которого справедлива оценка у{х, е) - Уеи{х)\с[ол] < Civ(A/i)A+A УАА = О, 1, 2, • • •, где Civ > О- постоянная, не зависящая от £{£ Е (О, £о])

1. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической небесной механике // УМП. - 1963 - Т.18,вып .6(114).- - с. 91 - 192.

2. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Штарас А.Л. Метод осреднения для уравнений с частными производными и его применения . Итоги науки и техники. Соврем, проблемы матем. Фундаментальные направления. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1988. - Т. 34.-с. 215 - 240.

3. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

4. Болтянский И.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического програмирования // Изв. АН СССР, серия математическая, т,28, 3, 1964, с.481 514.

5. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1979, 254 с.

6. Богаевский В.Н.,Повзнер А.Я.Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений . М.: Паука , 1987. - 256 с.

7. Бобочко В. Н., Л омов С. А. Внутренний пограничный слой / /Тр. Моск. энерг. ин-та. 1980 . Вып. 499 . - С. 57 - 60.

8. Бабич В.М. Многомерный метод ВКБ или лучевой метод .Его аналоги и обобщения . Итоги науки и техники. Соврем, проблемы матем. Фундаментальные направления . М.: Изд-во. ВИНИТИ, 1988.-Т.34.-С.93-134.

9. Бутузов В.Ф. Об одном сингулярно возмущенном уравнении парабо-личесческого типа// Вест. Моск. ун-та.Сер вычис.матем. и киберн.-1978. 2. С. 49 - 56.

10. Бутузов В.Ф., Мамонов В.М. Сингулярно возмущенная краевая задача эллиптического типа в критическом случае // Диф. уравн. -1982.- Т.18. 6. С. 1056 - 1061.

11. Бутузов В.Ф.,Удодов Ю.П. Асимптотическое решение системы сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа с угловым погранслоем //Ж. вычисл.матем. и матем.физ.- 1981. Т. 21 , 3. С. 665 -677.

12. Бутузов В.Ф.,Никитин А.Г. Сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в прямоугольнике в критическом случае //Ж.вычисл. матем. и матем.физ.- 1984. Т.24, 9. - С.1320 - 1330.

13. Бутузов В.Ф. Асимптотика решений некоторых модельных задачхимической кинетике с учетом диффузии // ДАН СССР.-1978.-Т.242, 2. С. 268 - 271.

14. Бутузов В.Ф.,Васильева А.Б.,Нефедов Н.Н. Асимптотическая теория контрастных структур // Автомат, и телемех.,7 (1997), 3 32.

15. Birkhoff C D . On the asymptotic character of the solutiohs of certain linear differential equations containinq a parameter. Trans.Amer. Math. Soc- 1908. Y.9.- P. 219 - 231.

16. Валиев M.A. Метод регуляризации для сингулярно возмущун-ных дифференциальных операторных уравнений // ДАН СССР. 1971.-Т.220, 5. С.1008 1012.

17. Валиев М.А.,Ломов С.А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных задач в случае неограниченного несамосопряженного оператора //ДАН СССР.-1977. -Т.236, 1. С.11-13.

18. Валиев М.А.,Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве //Диф.уравн.-1981.Т.17,10.-С. 1792-1805.

19. Базов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:Мир, 1968.-464 с.

20. Wasow W. Asymptotic solutions of boundary value problems for the differential equation Duke.Vath.J. 1944.- V . 11 . - P.405 - 411.

21. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН. 1963.-Т. 18,вьш.(111).- С. 3-86.

22. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.-М.:Наука, 1973.-272 с.

23. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях . -М.: Изд-во МГУ, 1978.-106 с.

24. Васильева А.Б.,Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления . Математический анализ. Итоги науки и техники.- М.:Изд-во. ВИНИТИ АН СССР, 1982.-Т.20.-С. 3-77.

25. Васильева А.Б.,Дмитриев М.Г. Определение структуры обоб-щеного решения нелинейных задач оптимального управления //ДАН СССР. 1980.-Т.250, 3.-С.525-528.

26. Васильева А.Б.,Винокуров В.А.,Ломов С.А.,Митропольский Ю.А. Математическая школа "Метод малого параметра и его применения"УМН.-1978.Т.ЗЗ, 3.- С. 207-213.

27. Васильева A.B. О развитии теории критических случаев в сингулярно возмущенных системах. Всесаюзная конф.по асимптот.методам в теории сингулярно воз.уравнений.-Алма-Ата:Изд-во "Наука" Каз.ССР, 1979.-Ч.1.-С.8-9.

28. Васильева А.В.,Бутузов В.Ф. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Матем.заметки.- 1987,Т. 42, 6, с.831 841.

29. Васильева А.Б. О контрастных структурах переменного типа //Журнал вычисл. математики и математической физики. -1999.- Т. 39. 8. с.1296-1304.

30. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф.,Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах// Фунд. и прик.матем., 4 (3)(1998), 799-851.

31. Вишик М.И.,Люстерник А.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром . //УМН.- 1957.-Т. 12,вып.5.-с.З-122.

32. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями // УМН.-1960.-Т.15,вьга.4.-С.27-95.

33. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики.-М.:Изд-во МГУ, 1971.- 506 с.

34. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений //УМН.-1962.-Т. 13,вьга.6-С.З 126.

35. Волосов В.М.,Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.-М.:Изд-во МГУ,1971 .-506 с.

36. Ван -Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.:Мир, 1967.- 310 с.

37. Гребеников Е.А.,Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике .- М.:Наука,1978.

38. Гребеников Е.А.,Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.-М.:Наука, 1979.-432 с.

39. Гребеников Е. А.Метод усреднения в прикладных задачах.-М.:Наука, 1986.- 256 с.

40. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: ГИТТЛ, 1953.- 491 с.

41. Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения. Воронеж, 1972.194с.

42. Глезер В.Я., Дмитриев М.Г. Метод пограничного слоя в решении некоторых задач аналитического конструирования регулятора.//Всесоюзная конф. по асимптотическим методам. Тезисы докладов. Фрунзе. Илим, 1975.

43. Губин Ю.П. Метод регуляризации и разрешимость в целом укороченных уравнений метода усреднения// Укр. матем. жур.-1981.-Т.ЗЗ.З.-С. 297 303.

44. Губин Ю.П.,Сафонов В.Ф. Нелинейная регуляризация резонансных задач//Тр.Моск.энерг.ин-та.- 1980.-Вьга.499.-С.73-77.

45. Губин Ю.П.,Ломов С.А.,Сафонов В.Ф. Точечный резонанс в системе двух осцилляторов//Прикл.матем.и мех.-1982.-Т.46, З.-С.389-396.

46. Губин Ю.П.,Сафонов В.Ф. Нормальные дифференциальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмупденных задач//Тр. Моск.энерг.ин-та.-1982.-Вып.566.-С.18-22.

47. Губин Ю.П.,Сафонов В.Ф. Точечный резонанс в осцилляторе типа Дуффинга//Тр.Моск.энерг.ин-т.- 1982.-Вьш.573 .-С.97-102.

48. Губин Ю.П.,Сафонов В.Ф. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач со слабой нелинейностью в случае нетождественного резонанса//Диф.уравн.-19 84.-Т. 20,6.-С. 93 0-931.

49. Губин Ю.П.,Сафонов В.Ф. Асимптотика решений линейных систем с нетождественным резонансом //Использование спектральной теории при решении задач матем.физ. Межвуз. темат. сб. -М.:Моск.энерг.ин-т,1984.- 45. -С.106-109.

50. Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.-М.:Паука, 1970.- 536 с.

51. Далецкий Ю.Л. Асимптотический метод некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами //ДАН СССР.-1962.- Т.143,АГ 5.- С. 1026-1029.

52. Дзядык В.К. Некоторые специальные функции и их роль при решении неоднородных дифференциальных уравнений с точкой поворо-та.В кн.: Теория функций и ее приложения.-Киев: Наукова думка, 1979.

53. Дзядык СЮ. Исследование решений колебательного типа неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с точкой поворота. Препринт ИМ-73-7. -Киев, 1973.

54. Дородницын A.A. Асимптотичекое решение уравнения Ван-дер-Поля //Прикл.матем.и мех.- 1947.-T.il, 3.-С.313 328.

55. Дородницын А.А.Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка //УМП.-1952.-Т.7,вьш.- С. 3-96.

56. Джакалья Г.Б.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. -М.:Мир, 1979.- 320 с.

57. Дьдонне Ж. Основы современного анализа.- М.:Мир, 1964.- 431с.

58. Джураев A.M. Асимптотическое интегрирование краевой задачи с кратным чисто мнимым спектром// Спектральная теория в задачах математической физики. Сб. науч.трудов. М.: Моск.энерг.ин-т, 1987.141. - С. 30 - 34.

59. Елисеев А.Г.,Л омов С А.Теория возмущений в банаховом пространстве //ДАН СССР.- 1982.-T.264,iVl.- С 34 38.

60. Елисеев А.Г. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных уравнений с непрерывным спектром предельного оператора. Всесаюз-ная конф.по асимптот.методам в теории сингулярно возм. уравнений. -Алма-Ата : Изд-во "Наука" Каз.ССР, 1979.- 4.1. С. 69 -73.

61. Елисеев А.Г.,Каниев Г.С. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенной параболической задачи в ограниченной области// Спектральная теория в задачах математической физики. Сб.науч. трудов.-М.:Моск.энерг.ин-т,1987.- 141.- С.23-30.

62. Елисеев А.Г.,Ломов C A . Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора // Матем.сб. -1986. -Т. 131.(173) , 4. С.544 - 557.

63. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора, 11 //Изв.АП СССР.Сер. матем.-1984.-Т.48,АГ5.-С.999-1042.

64. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора. 111 //Изв.АП СССР. Сер матем.-1984.-Т.48,АГ6.-С. 1171-1196.

65. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений в случае негладкого спектра предельного оператора // Матем. сб.-1995.- Т. 186, N 7.-С.25-40.

66. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.- Минск: Наука и техника, 1970.

67. Жукова Г.С. Аналог метода диаграммы Ньютона для одного класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений//Дифферен: уравнения.-1990.- Т.26Д 9.-С. 1500-1509.

68. Жукова Г.С. Асимптотика решений одного класса линейных систем с вырожденной матрицей при производной.(препринт АН УССР, ин-т математики, 90;36).-Киев.-1990.- 24с.

69. Зигель К. Л. Лекции по небесной механике.-М. :ЕЛ, 1959.

70. Иманалиев М. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений.-Фрунзе. :Илим,1972.

71. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложения.- Фрунзе.:Илим, 1977.

72. Ильин A.M. Пограничный слой .Итоги науки и техники. Со-врем.проблемы матем. Фундаментальные направления,-М.:Изд-во ВИНИТИ,А Т.34.- С.175-214.

73. Ильин A.M. Задача Коши для одного квазилинейного параболического уравнения с малым параметром// ДАН СССР.-1985.-Т.283, N3.- С. 530 534.

74. Ильин А.М.,Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнения в прямоугольнике.//Матем.с6.-1975.-Т.96ДУ4.-С. 568 583.

75. Ионкин П.И. Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными кравевыми условиями // Дифференц. уравнения, 1979, Т. XV, N 7, -С. 1294-1295.

76. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В.Келдыша обыкновеннных дифференциальных операторов.//ДАН СССР, 1976, T.221,N 9, -С.796-799.

77. Калякин Л.А. Асимптотический распад одномерного волнового пакета в нелинейной диспергирующей среде//Матем.сб.-1987.-Т. 132 (174), АГ4.- С. 470-495.

78. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ .- М.:Наука, 1977.-744 с.

79. Касымов К.А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нелинейных уравнений ,содержащихмалый параметр//УМН.-1962.-Т. 17,вып.5.-С. 187-188.

80. Коэл Дж. Методы возмущений в прикладной математике.- М. :Мир, 1972.- 274 с.

81. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М. :Мир, 1972.740 с.

82. Костин В.В. Нормальная форма неавтономных систем //ДАН УССР. Сер.А.- 1973 .-Т.8.-С.693 696.

83. Коняев Ю.А. О новом подходе к исследованию сингулярно возмущенных задач при наличии тождественно кратных и мнимых точек спектра //Диф.уравн.- 1985.-T.21,iV10.-C. 1811-1814.

84. Коняев Ю.А. Конструктивные методы анализа многоточечных краевых задач // Изв. вузов. Сер, матем,- 1992, iV2, -С.57-61.

85. Кирпикова О.И.,Ращепкина Н.А.Регуляризованная асимптотика решения параболической задачи в случае спектральных особенностей //Спектральная теория в задачах матем. физики. Сб.задач науч. трудов.-М.:Моск 3Hepr.HH-T,1987.-iV141.-C.109-113.

86. Кобрин А.И.,Мартыненко Ю.Г. Асимптотическое решение слабо нелинейной системы //Диф.уравн.-1977.-Т. 13,7У' 6.- С.1008-1019.

87. Коддингтон Э.А.,Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:ИЛ, 1958.- 475 с.

88. Качалов В.И.,Ломов С.А. Гладкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно входящему параметру // ДАН СССР.-1988.- Т.299, N4.- С.805-807.

89. Крылов Н.М.,Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику.-Киев: Изд-во АН УССР, 1937.- 363 с.

90. Lanqer R.E. The asymptotic solution of ordinary linear differential equations of second order with special refrence to the Stokes phenomenon//Bull. Amer.Math.Ann.-1934.-V.63.-P.505-582.

91. Lanqer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of second order with special refrence to a turninq point//Trans. Amer. Math.Soc.-1949.-V,67.-P.461-490.

92. Liouville J Sur le developpement des fonctions ou parties en series dont les divers termes sont assujettes a satisfaire a une meme equation differentielle du second ordre contenant une parametre variable//J.Math.Pure Appl.-1937.-V.2.-P. 16-35.

93. Luke Y.L. Integrals of the Bessel functions. New York - Toronto1.ndon, 1962.

94. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.-М.:Наука,1981.-400 с.

95. Lomov S.A. Introduction to the General Theory of Singular Perturbation. Translations of Mathematical Monographs. Volume 112, American Mathematical Society,-1992.

96. Ломов С.A. 0 новой постановке задач,возникающих при построении регуляризованных асимптотических рядов //Тр.Всесаюзной конф.по уравн.с частными произв.,посвященной 75-летию со дня рожд.акад. И.Г. Петровского.-М.:Изд-во МГУ, 1978.-С. 145-148.

97. Ломов С.А. Метод возмущений для сингулярных задач//Изв.АН СССР, Сер.матем.-1972.-Т.36,АГЗ.-С.635-651.

98. Ломов С.А. Формализм неклассической теории возмущений//ДАН СССР. -1973.-Т.212,ЛА1.-С.ЗЗ-36.

99. Ломов С.А. Асимптотические решения в критическом случае//Тр. Моск.энерг.ин-т.-1971.-Въш.89.-С.З-10.

100. Ломов С.А.,Стрижков В.А. Обобщение теоремы Тихонова на случай чисто мнимого спектра //ДАН CCCP.-1983.-T.271,iV6.-C. 13171320.

101. Ломов С.А.,Холомай Б.В. Излучение релятивистских ферми-онов в периодическом магнитном поле.-Томск:Изд-во Томского ун-та, 1982.-АГ1-С.75-80.

102. Ломов С.А.,Елисеев А.Г.Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач//УМН.-1988.-Т.43,въш.З(261).-С.З-53.

103. Ломов С.А. Обычная сходимость асимптотических рядов при наличии нулевых точек спектра//Вести.Моск.гос.ун-та.Сер.матем.,мех.-1987.-7V6.-C.85-91.

104. Ломов И.С. Условия существования целых аналитических решений некоторых сингулярно возмущенных уравнений//Спектральная теория в задачах математической физики.Сб.научн.трудов.-М.гМоск. энерг.ин-т, 1987.-АГ141.-С.61-67.

105. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения //Академик А.М.Ляпунов.Собр.соч.-М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1956.-Т.П.-С.7-263.

106. Маслов В.П.Теория возмущений и асимптотические методы.-М.: Изд-во. МГУ, 1965.-554 с.

107. Маслов В.П.Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. -М.: Наука, 1977.- 384 с.

108. Маслов В.П.,Федорюк M.B. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.-М. :Наука, 1976.-296 с.

109. Маслов В.П.,Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообраз-ные решения уравнений с малой дисперсией//УМН.-198 1 .-Т.36,вып.З (219).- С. 63-126.

110. Моисеев H.H. Асимптотические методы в нелинейной механике.-М.: НаукаД981.- 400 с.

111. Митропольский Ю.А.,Лопатин А.К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики.-Киев:Наук.думка, 1988.-272 с.

112. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.-Киев:Наук.думка,1971.-440 с.

113. Митропольский Ю.А.,Филатов А.Н. Усреднение интегродиффе-ренциальных и интегральных уравнений//Укр.матем.журн. -1972.-Т.24, 1.-С. 30-48.

114. Мип1;енко Е.Ф. Асимптотическое вычисление периодических решений систем дифференциальных уравнений,содержащих малые параметры //Изв. АН CCCP.Cep.MaTeM.-1957.-T.21,iV 5.-С.627-654.

115. Мищенко Е.Ф.,Розов Н.Х.Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.-М.:Наука, 1975.-247 с.

116. Мищенко А.С.,Стернин Б.Ю.,Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора.-М. :Наука, 1978.-352 с.

117. Нестеров A.B. //ЖВМ и МФ, т. 30, N 9, 1991.- с.1320-1327.

118. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных//Матем.сб.-1952.-Т.3 1(73),7У1.-С. 104-117.

119. Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными с малым параметром и задача Коши для нелинейных уравнений в целом//УМН.-1955.-Т.10,вьш.З(65).-С.229-234.

120. Олейник O.A. Математические задачи теории пограничного слоя// УМН.-1968.-Т.23,вьш.З.-С.З-65.

121. Омуралиев А.С.,Салейдинов К.И. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений//Исследования по интегродиф- ференциальным уравнениям.- Фрунзе:Изд-во "Илим",1987.-ВЫП.20.-С.68-79.

122. Пугачев B.C. Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр // Изв.АП СССР.Сер.матем.-1941.-Т.5,ЛГ1.-С.75-84.

123. Понтрягин Л.С. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производных//Тр.Всесаюзного матем.съезда.-1956(1958).-Т.2.-С.93-95.

124. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных //Изв.АП СССР.Сер.матем.-1975.-Т.215.-С.605-626.

125. Понтрягин Л.С,Мищенко Е.Ф. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных//Изв.АН СССР.-Сер.матем.-1959. -Т.23,5.-С.643-660.

126. Пулькин С.С,Розов Н.Х. К асимптотической теории релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы.Х.Вычисление фазовой траектории//Вест.Моск.гос. ун-та. Сер. матем., мех.-1964.-2.-С. 7082.

127. Prandtl L. Uber Flussiqkeitsbewequnq ber senr kleiner Reibunq// Verk.d.III,Int.Math.Konqr.,neidelberq,1904.Teubener.-1905.-484-494.

128. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -М.:ИЛ, 1947.

129. Прохоренко В.И. Регуляризация сингулярно возмущенной гиперболической задачи Коши в случае необратимого предельного опера-тора//Спектральная теория в задачах математической физики. Сб.научн.трудов.-М.:Моск.энерг.ин-т,1987.-.У141.-С.79-82.

130. Рожков В.И. Об одном методе исследования периодических решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных //Диф.уравн.-1975.-Т. 11,7У8.-С.

131. Рожков В.И.,Иванова И.Л. Почти-периодические решения систем уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием в некритическом случае//Методы малого параметра.Тезисы докл. Всесюзного науч.совщ.-Пальчик:Изд-во Каб.-Балк.гос.ун-та, 1987.-С. 129.

132. Розов П.Х. К асимптотической теории релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы.П.Вычисление периода предельного цикла //Вест.Моск.гос.ун-та.Сер.матем.,мех.-1964. -ЖЗ.-С.56-65.

133. Рыжих А.Д. Асимптотическое интегрирование уравнения в банаховом пространстве//Тр.Моск.энерг.ин-та.-1980.-Вып. 499.-С. 159-161.

134. Рыжих А.Д. Асимптотическое решение линейного дифференциального уравнения с быстро осциллируюш;ими коэффициентами//Тр.Моск. энерг.ин-та.1978.-Вьш.357 -С.92-94.

135. Рабинович Ю.Д.,Хапаев М.М. Линейные уравнения с малым параметром в окрестности регулярно особой точки //ДАП СССР. -1959.-T.129,iV2.-C.268-271.

136. Рождественский Б.Л.,Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. -М.-Наука, 1978.-529 с.

137. Ращепкина H.A. Асимптотическое интегрирование краевой задачи при изменении характера спектра//Укр.матем.журн.-1982.-Т.4,ЛА6. -С. 789 792.

138. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.:Наука, 1971.396 с.

139. Румянцева М.А., Сафонов В.Ф. Контрастные структуры линейных сингулярно возмущенных задач с нестабильным спектром // Вестник МЭИ. -1995.-iV6. -С. 91-108.

140. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений//Под.ред.Холл Дж.,Уатт Дж.-Мир, 1979.-3 12 с.

141. Стрижков В,А. Некоторые вопросы разрешимости в целом сингулярно возмущенных нелинейных задач//Матем.заметки-1985. -Т.37,вып.6.-С.857-868.

142. Стрижак Т.Г. Асимптотические методы нормализации. -Киев,1981 .52 с.

143. Сафонов В.Ф. Многоточечный резонанс в сильно нелинейной сингулярно возмущенной системе дифференциальных уравнений//Диф.уравь 1987. -Т. 3.-С.529-530.

144. Сафонов В.Ф. Нормальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмущенных эволюционных уравнений//Диф.уравн.-1989.-Т.25, 4.- С.627-635.

145. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений// Изв.АН СССР. Сер.матем.- 1979.-Т.43, 3, -с.628-653.

146. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации и асимптотические решения систем с медленными и быстрыми переменными//Всесаюзная конф.по асимптот.методам в теории сингулярно возм.уравнений. -Алма-Ата:Изд-во "Наука" Каз.ССР, 1979.-Ч. 1.-С.77-79.

147. Сафонов В.Ф., Туйчиев О.Д. Регуляризация сингулярно возмущенных интегральных уравнений с быстро изменяющимся ядром и их асимптотика. //Дифференц. уравнения.- 1997 Т. 33,А7' 9, с. 1199-1211.

148. Сафонов В.Ф., Калимбетов Б. Метод регуляризации для систем с нестабильным спектральным значением ядра интегрального оператора. //Дифференц. уравнения. -1995 -Т. 31, N4, с. 696-706.

149. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравне-НИЙ//ДАН СССР -1987. -Т.235 ЛЛ6.-С.1274-1276.

150. Сафонов В Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных задач в критическом случае // Изв.высших учебных заведений. Математика. 1994. - N 5, 384.- С. 41-48.

151. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1981,144 с.

152. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра//Матем.сб.-1948-Т.22(64). -С.193-204.

153. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных //Матем. сб.- 1952. -Т.31(73), 3.- С.575 586.

154. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных уравнений и разложениях произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

155. Территин Х.Л. Асимптотическое поведение решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Математика. 1957. - Т.1, 2.- С.129 -159.

156. Trjitzinsky W. S. Analitic theory of Unear differential equations //Acta Math. 1934. - V. 62. -P. 167-226.

157. Trjitzinsky W. S.Theory of linear differential equations containing a parameter //Acta Math. 1936. - V.67. -P.1-50.

158. Треногий В.A. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика//УМН. 1970. -Т.25, вьш.4(154). -С.123-156.

159. Треногий В. А. Функциональный анализ. -М. :Паука, 1980.- 440 с.

160. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.-М. :Мир, 1977.-622 с.

161. Флэтто Л. Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем.//Математика. -1958.- Т.2, 2. -С.61-68.

162. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.- Киев: Наук. Думка, 1966. -252 с.

163. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и ин-тегродифференциальных уравнениях.-Ташкент: Фан, 1971.

164. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегродифференциальных уравнений.- Ташкент: Фан, 1974.214 с.

165. Федорюк М.В. Метод перевала. -М.:Наука, 1977.- 368 с.

166. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений.-М.:Наука, 1983.-352 с.

167. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.:Паука, 1987.- 544 с.

168. Horn J. Uber eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einen willkurHchen Parameter//Math. Ann. -1899. -Bd 52.-S.340-362.

169. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Мир, 1970.- 720 с.

170. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ)-М.:Мир, 1965.-238 с.

171. Ханаев М.М. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений// УМН. 1980.- Т.35, вып.1(211). -С.127-170.

172. Хапаев М.М. Обощение второго метода Ляпунова//Диф.уравн.-1973. -Т.9, 11.-С.2020-2028.

173. Хапаев М.М. Об исследовании на устойчивость в теории нелинейных колебаний//Матем.заметки.-1968.-Т.З,вып. З.-С.307-318.

174. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний: Учеб.пос.для вузов.-М.:Высп1ая школа, 1988.184 с.

175. Schlesinger L. Uber asymptotische Darstellungen der Losungen linearer Differential systeme als Funktionen eines Parameters//Math.Ann.-1907.-bd63.-S.277-300.

176. Чанг К.,Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения.-М. :Мир, 1968.-247 с.

177. Шишкин A.A. Асимптотика решений одноточечных и двухточечных задач с сингулярными возмущениями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений//Диф.урав.-1973.-Т.9,АГ6.-С. 1156-1160.

178. Эрдейи А. Асимптотические разложения.-М.:Физматгиз, 1962.с.

179. Юдина A.C. Регуляризованные асимптотические разложения функций Бесселя//Тр.Моск.энерг.ин-т.-1982.-Вып.573.-С. 106-111.

180. Юдина A.C. Асимптотическое решение задачи Коши для неоднородного уравнения Бесселя с мнимым параметром//Спектральная теория в задачах матем.физики.Сб.науч.трудов.-М.:Моск.энерг.ин-т,1987. -N 141.- С.105 109.

181. Бободжанов А.А.,Ломов CA. Асимптотические интегрирование задачи Коши в случае кратного спектра предельного оператора// Математические заметки. -1984.- iVl, -С.89 -110.

182. Бободжанов А.А.,Ломов CA. Асимптотические интегрирование сингулярно возмущенных задач с кратным спектром предельного оператора. //Дифференц.уравнения.-1984,7У12,-С 1236 1240.

183. Бободжанов A.A. Асимптотические аппроксимация решений сингулярно возмущенных задач.Тезисы Всесоюзного совещания по "Малому параметру".- Нальчик, 1987. -С.32.

184. Бободжанов A.A. Асимптотические аппроксимации решений сингулярно возмущенных уравнений.// Конференция молодых ученых Таджикистана. -Душанбе, 1989. -С.5-6.

185. Бободжанов A.A. Аппроксимация решениий сингулярно возмущенных уравнений с кратным спектром предельного оператора//Труды МЭИ.- 1989.-iV194, -С. 5-7.

186. Бободжанов A.A.,Ломов CA. Проблемы пограничного слоя//Уч.пос-Ленинабад, 1989.- 51 с.

187. Бободжанов А.А,Мусаева 3. Построение фундаментальной системы решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядке// Тезисы молодых ученых Таджикистана.- Ленинабад, 1990. -С.7.

188. Бободжанов А.А.,Бобоханов К. Построение асимптотики функции Грина в случае сингулярно возмущенной задачи// Тезисы конф. молодых ученых Таджикистана.- Ленинабад, 1990.-С.7.

189. Бободжанов A.A. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных уравнений// В сб: "Проблемы механики и математической физики" .Воронеж, 1992.-С.7.

190. Бободжанов А.А.,Бобоханов К.,Туйчиев О.Д. Регуляризация по нормальным формам в задачах с точкой поворота// В сб: "Исследование теории дифференциальных, интегральных и операторных уравнений" .-Худжанд, 1993. -С.5-7.

191. Бободжанов А.А.,Бобоханов К. Регуляризованное асимптотическое построение функции Грина//Алгебраическим структурам и теории сингулярных возмущений. -М.: Союз, 1993. -С.12-14.

192. Бободжанов А.А.,Румянцева М.А. Асимптотические аппроксимации решений сингулярно возмущенных задач с нестабильным кратным спектром// Математические модели и методы в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ. -М.:Союз, 1994. -С.47-48.

193. Бободжанов А.А.,Калимбетов Б.Т.,Туйчиев О.Д. Равномерноеасимптотика интегралов с нестабильной фазой.//Математические модели и методы в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ. -М.: Союз, 1994. -С.35-36.

194. Бободжанов А.А.,Туйчиев О.Д. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач с кратным нестабильным спектром// В сб: Современные проблемы механики и математической физики.- Воронеж, 1994.-С.49.

195. Бободжанов A.A. Асимптотические решение сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве Шдеп. .Дифференц. уравнения N 1854, В-94, 19.07.94 г., 20 с.

196. Бободжанов A.A. Асимптотические решение сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве 11//деп. .Дифференц.уравнения, ЛГ1855, В-95, 19.07.94 г., 10 с.

197. Бободжанов A.A.,Сафонов В.Ф. Регуляризованное асимптоти-чекое решение сингулярно возмущенных систем с запаздыванием// В сб:"Современные проблемы механики и математической физики".- Воронеж, 1995. -С.48.

198. Бободжанов А.А.,Туйчиев О.Д. Асимптотические решение сингулярно возмущенных систем типа Вольтерра в случае кратного спектра// В сб:" Современные проблемы механики и математической физики". -Воронеж, 1995. -С.50.

199. Бободжанов A.A.,Сафонов В.Ф.Алгоритм нормальных форм для нелинейных сингулярно возмущенных систем в критическом случае// Математические методы и их приложения.Труды третьих математических чтений МГСУ. М.:Союз, 1995.-C.4-9.

200. Бободжанов А.А.,Сафонов В.Ф.,Туйчиев О.Д. Исследование сингулярно возмущенных интегральных уравнений Вольтерра с вырожденным ядром// Математические методы и приложения. Труды четвертых математических чтений МГСУ. -М.: Союз,1996. -С.52-61.

201. Бободжанов А.А,Сафонов В.Ф.,Туйчиев О.Д. Исследования по сингулярно возмущенным интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям. Тезисы конференции "Методы малого параметра" ,посвященной 90 -летию академика А.Н.Тихонова.- Обнинск, 1996, с. 14.

202. Бободжанов A.A.,Сафонов В.Ф.Сингулярно возмущенные уравнения с запаздывающим аргументом в случае тождственного резонанса// Дифференц.уравнения и математическая физика. Тезисы Международной конференции.- Душанбе, 1996. -С.7.

203. Бободжанов A.A.,Сафонов В.Ф. Интегральные уравнение Воль-терра с быстро изменяющимся ядрами и их асимптотическое интегрирование// Вестник МЭИ, 1996, iV6, -С.37-48.

204. Бободжанов A.A., Туйчиев О.Д. Сингулярно возмущенные интегральные уравнения с вырожденным ядром // Дифференц. уравнения.-1997.- Т. 33, iVll, -С. 1537-1542.

205. Бободжанов А.А.,Кудин С.Ф.,Прохоренко В.И. Об исследовании интегро- дифференциальной систем с ядром Абеля// Математические модели и приложения. Труды пятых математических чтений МГСУ.-М.:Союз,1997. -С.1.

206. Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Асимптотика решений нелинейных сингулярно возмущенных систем в критическом случае// Вестник МЭИ, 1997,ЛА6, -С. 10-17.

207. Бободжанов A.A., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Корректная разрешимость сингулярно возмущенной двухточечной краевой задачи/ / Математические модели и приложения. Труды шестых математических чтений МГСУ. -М.гСоюз, 1998. -С.89-93.

208. Бободжанов А.А., Ращепкина H.A., Сафонов В.Ф. Регуляризация оптимальных сингулярно возмущенных систем с быстро изменяющейся функцией демпфирования//Вестник МЭИ, 1998, N б.-С. 18-26.

209. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризация нелинейных ин-тегродифференциальных систем с быстро изменяющимися ядрами// Вестник МЭИ, 1999, N 6.-С. 19-33.

210. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Контрастные структуры в задачах оптимального управления//Математические методы и приложения. Труды седьмых математических чтений МГСУ.-М.:Союз, 1999.-С.71-75.

211. Бободжанов А.А.,Туйчиев О.Д. Разрешимость в целом нелинейных сингулярно возмущенных задач//Математические методы и приложения. Труды седьмых математических чтений МГСУ. -М.:Союз, 1999. -С.76-77.

212. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Предельный переход сингулярно возмущенных интегральных системах с диагональным вырождением ядра// Воронежская весенная математическая школа. Современные методы в теории краевых задач. -Воронеж, 2000.-C.21.

213. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для оптимальных сингулярно возмущенных систем с быстро изменяющейся функцией демпфирования//Вестник ТГУ, 2000.- Т.4,вьш.4.-С.422-423.

214. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Внутренний переходной слой в линейной задаче оптимального управления//Дифференц. уравнения. -2001.-T.37.iV З.-С.ЗЮ -322.

215. Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Интегральные уравнения Воль-терра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование// Матем. сборник. 2001. Т. 192. N 8. С.53-78.

216. Бободжанов A.A. Предельный переход в сингулярно возмущенных интегральных системах и задачах оптимального управления// Докл РАН. 2001. Т. 379. N 6. С.727-729.