Метод нормальных форм для нелинейных сингулярно возмущенных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

✓У

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

САЗОНОВ Валерий Федорович

МЕТОД НОРМАЛЬНЕЙ ФОРМ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИНШЯРЮ ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

( Специальность 01.01.02- дифференциальные уравнения )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.95

МОСКВА - 1989

\

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции энергетическом институте.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор БУТУЗОВ В.Ф.

- чл.-корр. АН Узб.ССР, доктор физико-математических наук, профессор ШАГОВ А.Н.

- чл.-корр. АН УССР, доктор физико-математических наук, профессор

шкидь н.и.

Ведущая организация - Институт математики АН УССР

Защита состоится "_"_ 19 г. в 15 час

30 мин. на заседании Специализированного Совета Д 053.05.37 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернентшш, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМ и К МГУ.

Автореферат разослан "_"_ 19 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических X*//ы/гм/

наук, профессор СМОИСЕЕВ Е.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми, В задачах, описывающих явление погранично слоя, возникает проблема приближенного интегрирования диф-зренциальных уравнений с малым параметром при старших производ-хх. Известные методы численного интегрирования дают хорошие ре-¡гльтаты при решении уравнений вдали от границы области, в кото->й они рассматриваются. В окрестностях ке граничных точек эти зтоды малоэффективны. В приграничной зоне решения указанных )авнений имеют большие градиенты изменения, поэтому методы, ос-)ванные на дроблении шага интегрирования, требуют для реализа-т длительной вычислительной процедуры.

Начиная с сороковых годов ведутся интенсивные исследования, щеленные на разработку методов асимптотического интегрирования шгуляряо возмущенных уравнений, описывающих явление погранично слоя. Эти методы позволяют аппроксимировать решения как вну-:и области, так и в окрестностях граничных точек. У истоков раз-гтия математической теории сингулярных возмущений стояли как залежные, так и отечественные математики. Исключительную роль в (звитии этой теории сыграли работы А.Н. Тихонова и В. Вазова. 1ачителен по своему содержанию вклад в теорию сингулярных воз-щений Л.С. Понтрягина, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, <5. Мищенко, В.П. Маслова, М.И. Вишика, Л.А. Люстерника, А.Б. юильевой, В.Ф. Бутузова, С.А. Ломова, Н.Х. Розова, А.Н. пилава, Н.И. Шкиля, A.M. Самойленко, В.И. Рожкова, М. Иманалиева, А. Касымова и др. Усилиями этих ученых и их учеников созданы фективные методы асимптотического интегрирования сингулярно змущенных уравнений.

Однако по мере развития алгоритмов асимптотического интег-рования возникали и некоторые проблемы их применимости. Так год пограничных функций Васильевой^ применим к задачам с экс-ненциальным пограничным слоем, метод усреднения Крылова-Бого-Зова-Митропольского2^- к уравнениям, правые части которых до-зкают существование конечного среднего по времени. Все это соз -эт определенные трудности при применении указанных алгоритмов

Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уразнений.-М: Наука,1973.-272 с. Боголюбов H.H., ^итропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.-М: Наука, 1974.- 504 с.

к конкретным прикладным задачам.

С начала шестидесятых годов предпринимаются попытки ослабления ограничений, при которых развивались методы. Существенное ограничение - ограничение на спектр предельного оператора (точнее, на его расположение относительно мнимой оси)- снимается в методе регуляризации"^, разработанном С. А. Ломовым и его учениками. Асимптотические ряды, получаемые с помощью этого метода, обладают следующими преимуществами: они единственны в определенном классе функций, допускают применение в задачах колебательного и неколебательного типов, при некоторых ограничениях на исходные данные задачи могут сходиться не только асимптотически, но и в обычном смысле. Последнее свойство регуляризованных асимптотических рядов свидетельствует не только о высокой точности метода, но и открывает возможности развития аналитической (по малому параметру) теории сингулярно возмущенных задач.

Однако метод регуляризации развивался в основном для линейных систем. Обобщение его на нелинейные задачи нетривиально и сопряжёно с принципиальными трудностями, основная из которых заключается в описании сингулярной зависимости решений от малого параметра. В нелинейных задачах возникают сложные эффекты, вызвана! наличием тождественных и нетовдественных резонансов, резонансов, порожденных нестабильностью спектра предельного оператора, малыми знаменателями и т.д. Они определенным образом влияют на формирование в решениях новых типов сингулярностей, не поддающихся исчерпывающему описанию (как это было в линейном случае) в терминах спектра предельного оператора. Математическим средством учетг резонансов являются нормальные формы^ . Однако теория нормальных форм развивалась для дифференциальных уравнений, не содержащих ш. лые параметры или содержащих их регулярным образом. Кроме того, рассматривались в основном автономные системы (А.Д. Брюно^ и егс ученики), а имеющаяся весьма немногочисленная литература для неавтономных систем посвящена либо периодической (или почти-периодической зависимости) правых частей от времени, либо предполагает приведение к нормальным формам, исключающим мономы, векторные показатели которых отвечшот нетождественному резонансу (В.В. Костш см. .например, работу Последнее обстоятельство делает пробле-

3) Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.-М.: Наука, 1981.- 400 с.

4) Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциалы« уравнений.-М.: Наука, 1979,- 254 с.

5) Костин В.В. Нормальная форма неавтономных систем // ДАН УССР. сер. Д.- I973.- Т.8.- С. 693-696.

латичным применение результатов по теории тождественно резонансна нормальных форм к весьма широкому классу нелинейных сингуляр-ю возмущенных задач с нетождественным резонансом и с нестабильном спектром предельного оператора, имеющим непосредственные аналоги в прялояениях (см., например, задачу о движении звезды в Га-тактике в §2 гл.1 диссертаций. Именно такие задачи исследуются в 1астоящей работе. Их исчерпывающий асимптотический анализ можно тровести, используя нормальные фрмы с нетождественными резонансными мономами. Однако свойства последних практически не изучены. 1е известны и их приложения для регуляризации нелинейных сингулярно возмущенных уравнений. Исследование этих вопросов актуально; этветы на них, полученные в настоящей работе, позволили выработать единый подход к проблеме регуляризации сингулярно возмущенных задач и развить эффективные алгоритмы асимптотического интегрирования последних.

Цель работы определяется актуальностью темы. Конкретное ее содержание заключается в следующем:

а) разработать математическую теорию асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных задач, которая позволила бы ( при некоторых ограничениях на их исходные данные ) получать не только приближенные, но и точные (т.е. аналитические по параметру) решения этих задач;

б) разработать алгоритмы асимптотического интегрирования на основе регуляризации с помощью нормальных форм с переменными коэф-фициенами; применить их к сингулярно возмущенным задачам с нетождественным резонансом и с нестабильным спектром предельного оператора ;

в) разработать алгоритм нормальных форм для сильно нелинейных сингулярно возмущенных задач'в критическом случае устойчивости;

г) разработать алгоритм нормальных форм для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в банаховом пространстве с ограниченным и неограниченным предельными операторами;

д) провести математическое обоснование развитых алгоритмов ( в частности, развить теорию нормальной и однозначной разрешимости итерационных систем в частных производных в условиях нетоя-дественного резонанса и нестабильности спектра предельного оператора, доказать асимптотическую сходимость формальных решений к точным).

Нчтчная новизна. Впервые идея регуляризации с помощью нормальных форм применяется-'для выделения особенностей (по малому параметру) в решениях нелинейных сингулярно возмущенных задач. Для выделения особенностей и для асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных уравнений с нетождественным резонансом раз' работай метод нормальных форм. Этот метод позволяет рассмотреть новый цикл задач, не изученных ранее: задачи с нестабильным спек ром предельного оператора, сильно нелинейные задачи в критическом случае устойчивости (две точки спектра - чисто мнимые и комплексш сопряженные), задача с точечным резонансом (в частности, задача о движении звезды в Галактике).общие задачи с нетождественным резс нансом. При этом не различаются колебательный и неколебательный случаи (т.е. спектр предельного оператора может находиться как на мнимой оси, так и слева от нее). Метод позволяет рассмотреть трудную проблему теории сингулярных возмущений - задачу о построении точных (т.е. аналитических по сингулярно входящему параметру) решений. В диссертации впервые решена задача о построении точных решений для некоторого класса нелинейных сингулярно возмущенных систем как в резонансном, так и иерезонансом случае . Основные вдеи метода переносятся и на нелинейные сингулярно возмущенные уравнения в банаховом пространстве, что позволяет применить метод к уравнениям в частных производных.

Методика исследований. Метод нормальных форм, разработанный в диссертации, сочетает идеи локального метода нелинейного анализа дифференциальных уравнений (А.Д. Брюно) и вдеи метода регуляризации (С.А. Ломов). Для обоснования асимптотической сходимости формальных решений к точным применяется аппарат модифицированного метода Ньютона в форме Л.В. Канторовича. При развитии алгоритма нормальных форм на задачи в критическом случае используется техника К.Л. Зигеля, примененная им при доказательстве теоремы Ляпунова о существовании семейства периодических решений нелинейной автономной системы при наличии не зависящего от времени аналитического интеграла.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации алгоритмы применены к асимптотическому анализу системы двух нелинейных осцилляторов с точечным резонансом, описывающей движение звезды в Галактике, с помощью метода нормальных форм построены асимптотические решения нелинейных уравнений теплопроводности и диффузии. Эти применения указывают на возмокность использования результа-

в настоящей работы для асимптотического анализа уравнений мате-.тической физики, небесной механики, теории гироскопов и др. об-.creft естественных наук.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на есоюзных конференциях по асимптотическим методам (Фрунзе, 1975 г., ма-Ата, 1979 г.), на Всесоюзном совещании-семинаре по "Математи-скому моделированию" (1983 г.), на Всесоюзной конференции "Сов-меннне проблемы радиотехники в народном хозяйстве" (Москва,1977 ), на Всесоюзном научном совещании "Методы малого параметра'Ч На-чик, 1987 г.), на П Всесоюзной конференции "Новые подходы к рению дифференциальных уравнений "( Дрогобыч, 1989 г.), на научно-¡снических конференциях МЭИ, на семинаре академика А;Н. Тихонова, семинаре под рук. профессоров А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова ГУ), на семинаре профессора М.М. Хапаева {МГУ), на семинаре про-зсора В.И. Роккова (УДН), на семинаре по "Теории возмущений"про-зсора С.А. Ломова, на семинаре по дифференциальным уравнениям I рук. профессоров Ю.А. Дубинского, O.A. Ломова и чл.-корр.АН ЗР профессора С. И. Похояаева (!.Ш).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 работ. В листанию включены результаты 20 статей, выполненных автором в остом самостоятельно . Необходимые разъяснения по поводу совмес-[X работ и о научном вкладе каздого из соавторов приводятся в :иске из протокола заседания кафедры CKBÀ1 МЭИ, на которой работ диссертант.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, ти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 191 яаз-ия. Работа изложена на 300 стр. машинописного текста.

СОДЕРКАНИЕ РАБОТЫ

В настоящей работе развивается метод нормальных форм, являга-1я основой излагаемой в диссертации теории асимптотического ин-эирования нелинейных сингулярно возмущенных задач. Метод Кориных форм, в отличие от ранее известных методов, позвляет эфхфек-ю строить приближенные ( а в некоторых случаях и точные) реше-нелинейных резонансных задач и задач с нестабильным спектром, юцессе построения алгоритмов нормальных форм исследуются проб! разрешимости в целом нелинейных сингулярно возмущенных урав-:й. Результаты работы опубликованы в статьях [l-I4], [l7-2Ôj . Ицей-сторону метода поясним на следующей нелинейной сингулярно воз-нноЯ задаче:

при следующих предположениях на спектр] Л/т предельного операто'

раД : 1 ^

1а) , Ц = 1,и ; 16)

1в) существует прямая (п), проходящая через нуль комплексно плоскости (X .такая,что все числа Ои ленат по одну сторону от нее и на ней нет чисел (X^ у ^ —

Будем, кроме того, предполагать, что£(^)= {т^,...,^^ при надлежит классу О вектор-функций, аналитических по и в^ некотором полищишндреП = -[ч : |Ч:)<!?>|=^,причем£(Ь)=<ч) , ^ (о)= Регуляризацию задачи 1,1) произведем с помощью вектора и= [к "ч^п.} г удовлетворяющего нормальной форме

ек = Аи + ^ ЛВД 1 и(о,0=1, (2)

в которой

,а нелинейная фунт представляет собой сумму резонансных мономов: ,

гдеб^—-единичный орт в СП , а Т^ -множества

резонансных мультииндексов. "Расширенной" системой по отношенш к задаче (I) будет система

Связь системы (3) с .задачей (I) очевидна: если -репи

ние системы (3), то его сужение (т.е. функция ч.(Ч:,гл='ч^Ь;1<.(£>£),* на векторе и = .удовлетворяющем нормальной форме (2), явля ся точным решением задачи (I). При Ь-> +0 система (3) вырожда ется в систему

г а* '

которая (в отличие от системы — А^-— 0 , .соответст

ющей (I) при£= 0 ) имеет решение, подчиненное начальному уело вию ^-оФД)—О • Такая ситуация типична для регулярно возму щенных задач, поэтому переход от задачи (I) к системе (3) назш регуляризацией исходной сингулярно возмущенной задачи (I).

Регуляризацию задачи (I) мояно произвести различными способ

п. Можно было бы рассмотреть, например, регуляризацию с помощью равнения £гь= о,г) = 0 , которая фактически участвует в меде пограничных функций Васильевой ( см. сноску ). Однако, та-1я регуляризация привела бы к появлению в реиениях итерационных астем секулярных членов типаit^e"1^и («•=+/£ ,к,т>0) , эторые сделали бы невозможным применение соответствующего алгорит-а для построения асимптотического решения задачи ( I) при наличии эчек спектра £ й Л оператора А , ледащих на мнимой оси. В лизином случае итог в случае отсутствия резонанса в нелинейных зада-ах можно применить регуляризацию с помощью нормальной формы

Ail ,U(o,î)=I( регуляризацию по спектру предельного опе-атора А ). Такая регуляризация, применяемая в методе Ломова ( см. тоску ), позволяет избежать секулярных членов. Однако ценность згуляризации по спектру состоит не столько в устранении секулярных ненов, сколько в точном описании сингулярной зависимости решений г малого параметра. Последнее обстоятельство приводит к тому , что зкмптотические ряды, в которых сингулярная зависимость от с зисывается с помощью решений нормальной формы fit ~ Кн. , 1£(Ь,§)= ; I , могут сходится не только асимптотически, но и в обычном числе.Заметим, что любая другая регуляризация описывает сингу-ярную зависимость решений от £ лишь приближенно, поэтому эответствующие асимптотические ряды будут, как правило, расходящейся.

Простейшие примеры резонансных сингулярно возмущенных задач оказывают, что точное описание сингулярной зависимости решений г в не возможно без учета резонансов. Еелая получать сходя-гсеся разложения ( в тех случаях, когда решения задачи (I) их дотекают) , мы должны включить в регуляризирующую систему информацию резонансах. Такая информация содержится, в регуляризирующей нор-эльной .(Торме. ( 2), где коэффициенты fy^ резонансных моно-

эв подбираются из условий разрешимости соответству-

цих систем в некотором классе функций Ц" ( см. ниже теорему 2). абор нормальных форм в качестве регуляризации сингулярно возму-знных задач обусловлен тем, что они концентрируют в себе все не-тейные эффекты, связанные с резонансами и индуцируемые наличием зобой точки £ = О .С другой стороны, нормальные формы ( 2) эоще исходных уравнений ( I), так как они всегда допускают пониже- '

I В.И. Качалов, С.А. Ломов. Об аналитических свойствах решений дифференциальных уравнений с особыми точками '// дАН СССР. -[909.-Т.ГЮ4, 'Я.-С. 22-24.

ние порядка (см. ^ , стр. 148), а в случае, описанном условием 1в), они имеют треугольный вид, и потому интегрируются в квадратурах, что делает жх асимптотический анализ более простым, чем анализ исходных уравнений (I).

Решение "расширенной" задачи (3) будем определять в ввде ряда N 00 V , N

= Д<5>

Для коэффициентов и.1 (■Ь,'") этого ряда получим (при 0 ) итерационную задачу (4) и (при ^^ 1 ) итерационные задачи типа

п-Щ V нн' ^(6'

где гст"= их и^, ^сС^- известный постоянный вектор, 'еО .

Решения этих задач будем определять в пространстве и ' степенных рядов

№ ' . с"), О

сходящихся абсолютно и равномерно по в полицилин-

дре С} = [и.: 1+ о ) у— , причем все резонансные моно

мы рядов (7) предполагаются ортогонализованными :

(8)

(здесь с1; ==• - собственный_вектор оператора А*;

соответствующий собственному значению !Х = ;, 1=1,и. ). Обо-

значим через V" пространство степенных рядов ^ с теми же свойствами, что и элементы пространства \7 , но для которых может быть не выполнено требование (8). Нормальная и однозначная раз решимость задач формулируется следующим образом (см. теоремы 1.1 -- 1.5, 2.4 в тексте диссертации).

Теопема I. Пусть спектр (X; ) оператора А удовлетворяет требованиям 1а)-1в) и А = Соя^ . Тогда система (5) имеет тзешение в пространстве и .представимое в ваде суммы

где с- -собственный вектор оператора А , соответствующий собственному значению ^ , "Цл .

ы

7) Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений// Тр. Моск.магем.об-ва.-1971.-Т.25.-С.119-262.

Теорема 2. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы и числа О • Пусть, кроме того, функция -и.© .входящая в правую часть системы (6), принадлежит пространству V • Тогда справедливы следующие утверодения: ^

1. Существуют единственные числа Ч>. £ С такие, что имеет

место включение Hin =

4 j imj?o , тт

2. Система (6) при условш1 HluJ ^ U разрешима в U тогда и только тогда, когда к

3. При nWc и .условиях С9) и дополнительных условиях

< - ^ + Г »&«) , J: «, > = 0 ,

гдеи^бС^ЕодЗ^С ^-известная (п.хп) -матрица.и^^Е1*/" -известная вектор-функция, система (6) однозначно разрешима в "[J

С помощью теорем I и 2 строим ряд(5) о коэффициентами ^(fc^c £ U . Частичная сумма этого ряда :

ззятая на сужении гс—и(Ь,£) .удовлетворяющем нормальной форме(2) горядка Vn-ti = Jj+L , при выписанных выше условиях на спектр ^^ оператора А и нелинейность i(^) будет удовлетворять оце-ше (см. теорему 1.6 в тексте диссертации)

?де постоянная С^/> 0 не зависит от £ при достаточно малых 6 '. 0< )• Для построения всего ряда (5) потребуется нормаль-

!ая форма (2) бесконечного порядка ( т-=°о ). Будет ли ряд (5) :ходиться в обычном смысле? Уточним, что тлеется в ввду под обыч-юй сходимостью.

Точка £—0 является особой для задачи (I), поэтому она порок-[ает в решениях задачи (I) наряду с регулярной зависимостью и су- ■ зественно особые сингулярности по £ . Проблема обычной сходи-

3) Домов С.А., Елисеев А.Г. Асимптотическое интегрирование сингу-

лярно возмущенных задач// ИН.-1988.-Т.43.вип.З( 2GI) .-С.3-53.

мости ряда (5) (при гь—и.^х) ) состоит в том (см., например, чтобы описать сингулярную зависимость решения задачи (I) от б так, чтобы при некоторых А и ряд (5) наследовал свойство

аналитичности оператора — Ач- — по £ Щ?11 фиксирован-

ных значениях скнгулярностей по £ , входящих в (5). В нашем случае сингулярная зависимость от £ полностью выделяется нормальной формой (2), поэтому проблема состоит в том, чтобы описать условия, при которых ряд (5) на сужении является рядом Тейлора в

некоторой окрестности точки £=0 при фиксированных значениях син-гулярностей, входящих в решение нормальной формы (2). Эта проблема решается следующим образом (см. теоремы 2.3 и 2.5 в диссертации).

Теорема 3. Пусть .выполнены условия 1а)-1в) и чис-

ла 0 , . Тогда существуют постоянные 0 ир*>0

такие, что при всех 4-° из некоторого полицилиндра ТГ0 — ^РЗД задача Ъ) (гдет=о°) !МОет решение в виде ряда (5), су&,1а которого = % (у., ъ) аналнтична по Си*&) в неко-

торой области { (к,г): | «^Ч| ц-Л < ^ . I ь | -< } . Сужение ряда (5 ) на векторе и— , удовлетворяющем нормальной форме

(2) порядка , является точным решением задачи (I) ,

Из результатов работы ^ Брюно А.Д. следует, что правая часть нормальной формы (2) аналитически зазисит оти и £ . Дополнительные исследования, проведенные в диссертации (см. §2.2 гл. 2), показывают, что репение нормальной Формы (2) имеет вид

-некоторые многочлены по ~Ь с коэффициентами, аналитически зависящими от £ и ч-0 з некоторой окрестности точки

(0,о) , причем^ 0 при равномерно от-

носительно 4: € [О,Т] . Подставляя выписанное решение нормальной формы (2) в ( 5) и фиксируя значения сингулярностей (е / /£| ¿-¿^^ £.*>0) получил, что при 1р0еИо сумма образованного таким образом ряда будет аналитической функцией по £ в некоторой облаоти{.£: I £|< £°3 , где £с?"0 -достаточно мало.

Метод нормальных форм мы изложили на примере автономной системы (I). В этой системе не могут возникнуть нетождественные ре-

9) Качалов В.И., Ломов С.Л. Об аналитических свойствах решений диф ференциальных уравнений с особыми точками// ДАН СССР.-1939.-

Т. 304,№1.-С.22-24.

10) Брюно А.Д. Нормальная форма дифференциальных уравнений с ма-

лым пар'аметром//Мат. заметки.-1974. -Т Л 6, вш.З. -С. 407-414.

зонансы, таи как спектр предельного оператора А постоянен. Интерес представляет как раз задачи с нетождественным резонансом. Основные идеи, которые мы продемонстрировали на задаче (I), могут Йыть реализованы и для неавтономных систем вида

г^ = АЩ + гТ(^-Ь) + Щ , > (Ю)

спектр { предельного оператора которых переменный. Здесь могут возникнуть нетождественные резонансы, которые описываются следующим образом. Р

Итак, пусть -спектр оператора А(Ь) . Будем говорить,

что в системе (10) наблюдается резонанс, если существуют "Ьс[0,ТЗ > мультштядексы Щ'' = (т.£,..., пг1^) высоты 1 т-Ч- 2. и индек-

сы ь&п-} такие, что имеют место соотношения

«Ч)) = = \c-fc) . (П)

Если соотношения (II) выполняются при всех ^ £ и мультииндексы (п1- не зависят от 4:€[0,Т1 ,то говорят, что в системе (10) наблюдается тождественный резонанс; в противном случае резонанс (II) называется нетотдественным.

Случай тождественного резонанса рассматривался нами подробно в работе. [41 . Было показано, что сингулярная зависимость решения задачи (10) полностью описывается в терминах спектра £ ^(^предельного оператора А(+) . Однако уже в простейшем случае нетождественного резонанса, когда соотношения (II) выполняются лишь в одной точке то£[.0,Т] (см. §1.2 гл.1 текста диссертации), существенно особые сингулярности по £ уже невозможно описать в терманах спектра. Как отмечалось выше, в этом случае структура сингулярностей по £ в решении задачи (10) зависит от точки Ъ0 , в которой наблюдается резонанс.

Для описания сингулярной зависимости решения от £. мы привлекаем информацию о резонансах (II). Эта информация, как а в случае задачи (I), содержится в регуллризирутацей нормальной форме

С к ? и(о,е)= I} (12)

которая,в отличие от формы (2), является неавтономной. "Расширенная" система, соответствующая задаче (10), имеет вид

а + Щ-и. «=1 т'-еГ 0К- <- V' 1 ^ '

а итерационные задачи для коэффицентов ряда (5) принимают

вид нестационарных систем уравнений в частных производных:

где "^.(Ь,") -известная вектор-функция пространства

V .а

скалярные функции класса .подлежащие определению.

Для систем (14) такке развивается теория нормальной и однозначной разрешимости в пространстве "Ц" (см. теоремы 1.1-1.5 в тексте диссертации). Условия влокения в Ц правой части системы (14) позволяют однозначно найти функции , входящие в нормальную

форму (12), а условия ортогональности типа (9) - доказать существование в пространстве 17 решения задачи (14). Однозначная разрешимость системы (14) в ХГ обеспечивается дополнительными ограничениями типа п.З теоремы 2, сформулированной выше.

Принципиальным является вопрос, связанный с обоснованием абсолютной и равномерной сходимости формальных решений системы (14), предстазимкх рядами типа (7). В диссертации выделяются условия (см. теорему 1.4), при которых указанные ряды будут сходиться. Фактически - это условия отсутствия "малых знаменателей", йс можно ослабить допустив "малые знаменатели" типа Зигеля (см..например, ^ ).

Задачи с нетождественным резонансом, как упоминалось выше, встречаются в приложениях. В §2 гл.2 диссертации исследуется подробно сингулярно возмущенная задача для двух осцилляторов с точечным резонансом. Эта задача описывает движение звезды в Галактике и рассмотрена в одной из работ12' Кеворкяна. Для построения асимптотического решения указанной задачи Кеворкян использует процедуру многих масштабов . Эта процедура связана с разбиением временного отрезка на три зоны: дорезонансную, резонансную и послерезонан-сную. В каждой из зон строится свое асимптотическое разложение, затем эти разложения сращиваются. Трудности такой методики налицо: кроме утомительной процедуры вычисления асимптотик и их сращивания, полученное асимптотическое решение является составным. Метод нормальных форм, разработанный в диссертации, позволяет не только избегать громоздкой вычислительной процедуры, связанной с разбиением

11) Зигель К.Л. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия/АЛатематика.-1561.- Т. 5,.'?2.-С. 119-128.

¿ХаигХц, Ч-пляищ, ■рал.^пх.Ь.'и, // -¿^¿ии. '(ХпИ ПаА1. - ХЭ/О. - V. %2Я £>¿3-6 7-.

на зоны и сращиванием асимптотик, но и получать асимптотическое решение, задаваемое единой формулой на всем рассматриваемом промежутке времени.

Третья глава диссертации посвящена трудной с точка зрения асимптотического интегрирования сильно нелинейной задаче

г* = (15)

в которой матрица А первой вариация правой части (на предельном решении 0 ) имеет пару чисто мнимых комплексно-сопряженных собственных значений + ( ). Система (15) (по терминологии, принятой в теории устойчивости ) является критической (или нейтральной). Исследование устойчивости таких систем затруднительно и требует привлечения весьма тонкого математического аппарата. Наши исследования лежат в стороне от проблемы устойчивости. Однако вряд ли подлежит сомнении тот факт, что задачу об асимптотическом интегрировании системы (15) следует рассматривать при наличии устойчивости точки покоя = 0 укороченной системы = = Последнее требование будет обеспечено, если укороченная

система имеет не зависящий от ~Ь аналитический интегралТ(^) В этом случае существует преобразование ^ = в (к) .приводящее укороченную систему (мы будем обозначать ее (15*) ) к нормальной форме

£й1= [- 1Ю + I ^ ? (0,1) - У-1 г

& = [+1« - I >аГ0 (иг У-г) 1 и^ 5 (0, &) (16)

где -сходящийся в С^ скалярный ряд с дей-

ствительными коэффициентами (-1 р ") , к ^ 1 . Этот факт бцл доказан Зигелем К.Л.

Алгоритм нормальных форм для исходной системы (15) состоит в следующем. Сначата строится преобразование .приводящее

укороченную систему (15') к нормальной форме (16), затем это не преобразование используется для приведения исходной системы (15) к слабо нелинейной задаче. Точнее: справедлив следующий результат (см. теорему 3.1 и § 3.2 в тексте диссертации).

Теорема 4. Пусть функции и принадлежат массу О

13) Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости.-М. :Наука, 1936.

14) Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости дви:?.епия//Акад. А.Ы. .Ляпунов. Собр.соч.-М.-Л. :Иэд-во АН ссср.1956.-Т.П.-С.7-233.

15) Зпгель 1С.Л. Лекции по небесной механике.-М.: -'¡Я, 1359.

аналитических по вектор-функций (равномерно

по-Ье[0,-Т] ) .допускающих разложения в степенные ряды по ^ .с действительными коэффициентами. Пусть, кроме того, -р(о)= 0 , 0 , и укороченная система (15') имеет не зависящий от"Ь аналитический интеграл 3*0Р > а система (15) -интеграл ^"Ф"1"

,где -некоторая действительная скалярная

функция. Тогда преобразование ^— 3 (х) переводит систему (15) в слабо нелинейную систему

£ а - Л % 2хех - иГ0 + (17)

где -скаляшая функция, определяемая из уравнения

^ >г +««г»" =^^^ »^г ^ ^ ^

(предполагается, что - действительная функция классаО-^О/Т] ).

К системе (17) можно применить наши результаты, опубликованные в работе [ 4] , и построить ее регуляризованное асимптотическое решение. Однако поскольку предельный оператор системы (17) к®-ег чисто мнимый спектр, возникает вопрос о разрешимости нелинейных условий ортогональности (см. [4] ) для первой итерационной задачи. Оказывается, что наличие интегралов и обеспечивает разрешимость нелинейных условий ортогональности в целом на отрезке [ОД1!] (см. теорему 3.2 в тексте диссертации).

Применив технику работы [41 , построим регуляризованное асимптотическое реконие порядка Г для системы (17). Образуем функцию ^-(-Ь)^ 3 (%£,.($).тае ^ - ^ (■") -преобразование, переводящее

укороченную систему (15') в нормальную форму (16). Нетрудно показать, что эта функция будет асимптотически решением г-го порядка для исходной системы (15),т.е. при достаточно малых отклонени-ях|1^°|) и прц условиях теоремы 4 задача (15) разрешима на'отрезке Цо,Т'] к имеет место оценка («) (где //—г ).

!? четвертой главе диссертации рассматриваются линейные и нелинейные сингулярно возмущенные системы с нестабильным спектром предельного оператора (см. сноску3^,стр. 186-196). Для линейных сис-

тсм = + Щ , *е[о;г] ( у (<>,£) = (18)

исследуются два случая нестабильности спектра

а) случаи дискретной необратимости оператора А(Ф( Л, (+)'-

Г" S •

= ^(-b)TT <0 V-t€[0,T] (S^ 0 -четные числа ) ;

$) случай континуальной необратимости оператора АОг) .выражающийся в том, что одно или несколько собственных значений A-L(-t) обращаются в нуль на подмножествах В.сг[0,Т] положительной меры

К&О •

И в том и другом случае регуляризация задачи ( 18) производится с помощью вектора и— {т^,...,^} .удовлетворяющего линейной нормальной форме*) Го

ZXL = Лфч + ,2о£> > Чо,£)=1,

где lP^-некоторые скалярные фу^шции, определяемые в процес-

се построения решений соответствующих итерационных задач. В работе подробно изучается теория нормальной и однозначной разрешимости итерационных систем в условиях нестабильности спектра j А-(Ь}( см.

1 Q J

теоремы 4.1-4.5, 4,8-4.11 в тексте диссертации). Интересным оказался характер предельного перехода в задаче (18). Если неоднородность 1гС9 скстемы ( К) удовлетворяет условиям

4т (uxv=0 '

и одна точка спектра имеет дискретные нули (случай а) ), а остальные лежат в открытой полуплоскости !Х< 0 точное решение ^(-t^) задачи .(18) стремится (при г—>+0) к гладкому предельному решению системы 0= + равномерно на любом_ отрезке [8_,Т]с=. (О/Т] (заметим, что в случае а) система 0=А(£)^Т n.(t) имеет при условиях (19), кроме гладкого решения.еще и бесчисленное множество разрывных решений ). Однако в окрестностях точек нестабильности спектра [ ^j-®} наблыдается"всплеск" (т.е. отход точного решения от предельного) величины порядка £*( Ы. —

' ç^) ). и стремление точного репення к предельному несколько замедляется.

Картина предельного перехода в системе ( 18) становится еще более сложной в случае континуальной необратимости оператора A(t) (случай б) ). Оказалось (см. теорему 4.13 в тексте диссертации), что предельный переход (при £—>-г0) точного решения задачи (1о) к гладкому предельному имеет место лишь на отрезках <=

х) верхний индекс суммирования Г0 равен числу нестабильных точек спектра .

Г- _

е=(0,т1 , лехадих вне множества. и В^ континуальной необратимости оператора А® . На тожествах В; точное решение отходит от гладкого предельного на величину А (+) С. эта величина вычисляется в диссертации; см. раздел 4.2.4 ), а в окрестностях граничных точек мнокеств В^ решение совершает резкий переход к предельному. Таким образом, в случае нестабильности спектра предельного оператора А(У в системе (18) возникают внутренние пограничные- слои.

Для слабо нелинейных систем типа (10) рассмотрен случай дискретной необратимости оператора А("Ь). Разработка алгоритма нормальных форм для этого случая нестабильности спектра осложняется тем, что нестабильность спектра {^Л порождает одновременно и неток-дественнын резонанс ( в тех точках отрезка [0,Т1 , в которых оператор А("Ь) необратим }. 3 диссертации выделен случай "слабого" резонанса, характеризуемого равенствами

имеющими, место в точках "Ъ— нестабильности спектра (здесь , -целые неотрицательные числа,

). Предполагается, что других резонансных соотношений между точками спектра.нет. В этом случае регуляризирующая нормальная форма будет иметь ввд

^=№

где свободные члены сХ^-у и ^ отвечает "нулевому" резонансу возникающему в точках нестабильности спектра. Первое уравнение в нормальной форме (20) является существенно нелинейным; если известно его решение, то остальные уравнения (20) вычисляются в квадратурах. Следовательно, асимптотический анализ нормальной формы (20) будет исчерпан, если будет показана разрешимость-в целом на отрезке {О,Т] первого уравнения (20) и указана асимптотика его решения при е-?-г 0 . В работе показано (см. раздел 4.3.4 текста диссертации), что разрешимость первого уравнения нормальной формы (20) тесно связана с условием (19) на неоднородность исходной задачи (18). Например, скалярная Форма

еи-.= + *(+-!)-си2; и(о,Е)=1^4:е[0,тЗ (21)

не является разрешимой на отрезке[0,ТЗ , еслиТ^! • Здесь условие (19) не выполнено. Имеет место следующий результат, доказанный в работе (см. теорему 4.20 вгтексте диссертации). .

Теорема 5. Пусть ^«теЮ.ТЗ , функ-

ции-^®,^^ ^^С^ непрерывны на отрезке! О,Т1! и неоднородность ^(-{г) исходной системы (10) такова, что для нее выполнены условия (19). Тогда в нормальной форме (20) функция0 (У£е[0,т1) и при достаточно малых £. ( 0<£<::£о) первое уравнение (20) разрешимо в целом в Сх[0,Т] ; при этом имеет место асимптотическая формула (в метрике С[0,Т1 )

Для других компонент (2,я ) решения нормальной фор-

мы (20) справедливы асимптотические формулы (такга в метр икс СХО/Т1!! )

= 0(е) (с-^ + 0).

Заметим, что алгоритм нормальных форм, развитый в четвертой главе диссертации,позволяет рассмотреть и более общие случае нетождественного резонанса при наличии нестабильности спектра предельного оператора Аф . Мы ограничились рассмотрением "слабого" резонанса с тем, чтобы не перегрунать содержание работы хотя и трудоемкими, но непринципиальными выкладками.

В пятой главе рассмотрен многоточечный резонанс в сильно нелинейной систему

т.е. такой резонанс, который описывается условиями

Щ _ ¡х^) э ф.С^® йI( 23)

где^Л^)^ -спектр матрицы А(Ь) первой вариации,- функцшф.^ф^ ^ОУ^фЗ 1=1,11. )• Предполагается, что спектр|д

стабилен на отрезке [0,Т] и что множества Т^ • резонансных муль-тииндексов , удовлетворяющих (23), не более чем счетно. Последнее требование будет выполнено, если имеет место условие 1в) при всех4:б[0,Т](з этом случае множества Т^ будут конечными ) .

Регуляризация задачи (22) производится с помощью нормальной Форм» г- . гч _ с'

£й = Л6Ы + ^Ч^е,], и(,г> ¿,(24)

Здесь 5-^0 -четные числа, ¡.^Гг- если-Ь = 0 ,то в качестве Л « ' '

можно1 взять лкйое неотрицательное целое число.

которая также будет сильно нелинейной. При этом возникают два типа итерационных задач. Первая задача является нелинейной:

г.*.. ^-глвн * & Д Л Л -те, 2Я

= *„(оД) = *°

а остальные - линейные: . .

где -некоторые вектор-функции (они известны, если вычислены решения ^к-1 предыдущих итерационных задач).

Решение итерационной задачи (25) определяется (локально по начальным данным ) в классе рядов (7) с ортогояализован-ными резонансными мономами, решения задач (26)-в том же классе!! ; при этом ряды-решения сходятся в той ке области, в которой сходятся ряды-коэффициенты системы (26) (т.е. для линейных систем (26) доказывается глобальная разрешимость). (хлУ)^ \

В нелинейной задаче скалярные функции (.V выбираются в виде

,где

-некоторые полиномы Лагранна-

Сильвестра, оС(Ь)-известная вектор-функция с компонентами, не обращающимися в нуль на отрезке [О,Т1 (см. теорему 5.1 в тексте диссертации) . в -линейных задачах (26) функции выбираются в ввде

,где У^ф-некоторая линейная комбинация полиномов Лагранка-Сильвестра (см. теорему 5.5 в тексте диссертации). Подробно рассмотрена проблема нормальной и однозначной разрешимости систем (25) и (26) и исследован вопрос о разрешимости в целом нормальной формы (24) (см. георемы 5.1-5.6 в тексте работы). Приведем осноеной результат главы 5. ,

Теорема 6. Пусть функции $>(*:) € С М([0,Т1,ИТ¡7Г& О

(V 0,1,2,,.. ) .выполнены условия (23) дискретного резонанса и спектр{ ^(О^операторй А СО при каадом "Ь^О/Г] удовлетворяет требованиям 1а)-1в). Пусть, кроме того, числа (^"^(о)) таковы,

что

вектор принадлежит конусу

без вершины 3 ~ 0 .лежащему в области { Э'— (З^,...,^„.) ^ЗХ} вместе со своим замыканием '(С , а фундаментальная матрица решений задачи,- , . л ч

равномерно ограничена при Т ,Ее(Ь,£(Л ( Гд© £о>0 -

достаточно мало. Тогда существует полицилиндр П,,^^0: Р>

так°й» чт0 задача (22) имеет решение на отрезке[о,ТЗ

и для каждого г— 0,1,2,...справедлива оценка

где -формальное решение, построенное с помощью алгоритма

нормальных форм, Сг>0 -постоянная, не зависящая от •

Заметим, что условие равномерной ограниченности матрицы

вызвало наличием чисто мнимых точек спектра Если

последние отсутствуют, то это условие можно снять.

Шестая глава диссертации посвящена развитию метода нормальных форм на сингулярно возмущенные эволюционные уравнения в банаховых пространствах. В класс таких уравнений можно включить многие сингулярно возмущенные задачи параболического типа. В работе рассмотрены два типа задач: сингулярно возмущенное уравнение теплопроводности »1 Л2,, ,

^ = Д— > =

с нелинейными источниками тепла и уравнение диффузии

£ = ^ (х-5> - 5 4C(s)ds- + f ооч

т„ (28)

I m n /г, W

+ г 2 u(W)= и°(*) , *,s6TM= F ,

описывающее эволюцию плотности гс(х/с,у однородной среды из диффундирующих частщ. Эти задачи укладываются в схему исследования общей начальной задачи

£ = Агс+ £ = < -t6L0,T]f (29)

в которой А -производящий оператор (который может быть и неограниченным) сильно непрерывной полугруппы l^} , -нелинейный оператор с областью определенияТ)э Sf\X>A ( S -некоторая окрестность нуля банахова пространства "Ц , X) -область определения оператора А ).

В работе рассматриваются только такие операторы ф(к.) , которые допускают разложения в ряды

DO .

= ( V ъе S(о,я) <=: 1ТА)

с майорантными рядами

f к =2 ll^ll^i, сходящимися прир

(здесь Ф^С^,..., и^ - к-линейный симметрический оператор, порождающий к -степенной Ф^и^ ) • Предполагается также, что в пространстве 11д существует базис {fj} из собственных векторов ^ оператора А и что этот базис является абсолютным (см. условия г)-ж) в § 6.1 текста диссертации), причем выполнены следующие условия на спектр -[^Л опеоатора А :

2а) ; 26) OtyeZ) ;

2в) существуют постоянные Со>0,с>0 и натуральное число такие, что

В силу условия 2й) в системе (29) отсутствует резонанс, поэтому регуляризацию задачи (29) производим с помощью линейной нормальной формы

£ Аяс , v(O,E)= (SO)

в которой V = -вектор дополнительных регуляризирующих

переменных ( здесь: UA -банахово пространство{ueX>A : l|ii||y =

э|1Аи.||у![ f "ZL -множество целых чисел, V0 -некоторый фиксированный элемент пространства ). Форма (30) легко интегрируется. Ее решение имеет вид Q, -КЛ

- ,,

где -коэффициент Фурье элемента ггс6 ид по системе \ \rKj .

Центральным (после проблемы регуляризации ) является вопрос о разрешимости итерационных задач алгоритма нормальных форм, развиваемого в диссертации. Эти задачи имеют вид

= ^A-r-A^lC^uCo^u0. (3D

Решения этих задач определяются в пространстве "V^ операторов и (у), представимых (для каждого V= ^„Vj, V: € S(o,r-)csU. ) рядами

«о* = ДчСфч« +12

» , П (32)

= 2 2. у-1 у от» 2 ^.„„р г— О

пег ^г л г, (с=а пег ^....^ег 71 г,г- " г*. ,

. для которых )| ОТ у,. Ц< ро (Уг = и

+ ¿ГД^М/г^ ^Д

сходится при 6С0/!(здесь ^ 0 -постоянная, причем

Введем функционалы {Р^1: Уг —> (¡Л (У е 21) .действующие по закону (р\<у) — ,где-й(|/)-элемент (32) класса^ .

Сформулируем результат о разрешимости уравнения (31) в классе Л^, (см. теорему 6.1 в тексте диссертации).

Теорема 7. Пусть = ^(у) и выполнены условия 2а) -2в).

Тогда для разрешимости уравнения (31) в классе необходимо и достаточно, чтобы

1(у) =0 (уле2). (33)

Однозначная разрешимость итерационных задач (31) изучается в классе операторов (тг°) элементов (32), в которых независимая переменная подчинена ограничению \тк\ $ (Уп-вХ.) (более точно см. определение 6.2 в тексте диссертации). Условие (33) вместе с условиями теоремы 7 обеспечивает разрешимость задачи (31) в классе \'г-('^с)(см. теорему 6.2 в тексте диссертации), причем решение будет определяться однозначно..Применив теорию нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач типа (31), построим формальный ряд 'к — и^ (V) .удовлетворяющий рас-

к =о

ширенной задаче

Произведем в построенном ряде сужение на решении (30') нормальной формы (30). Тогда частичная сумма ^е^и^О^полу-

ченного ряда будет асимптотическим решением задачи (29) (см. теорему 6.3 в тексте диссертации), т.е.

где "И- 0 -точное решение задачи (29), ЕеГо,801, £о>0 -достаточно мало, а постоянная не зависит от£€(0^о]»-

В заключение отметим, что метод нормальных форм, разработанный в диссертации, колет быть применен и к другим задачам, не нашедшим отражение в диссертации (к сингулярно возмущенным задачам с медленными и быстрыми переменными, к задачам, спектр которых монет изменять знак,т.е. переходить из области устойчивости в область неустойчивости, к краевым сингулярно возмущенным задачам и т.д.). Перспективы развития метода нормальных форм мы связываем со следующими двумя направлениями: I) с разработкой аналитической (по параметру) теории нелинейных сингулярно возмущенных задач с переменным оператором, 2) с развитием теории асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных (более общих, чем представленных в диссертации). Формализм применения метода нормальных форм здесь достаточно ясен, но остаются проблемы его обоснования в нелинейном случае.

Публикации автора по теме диссертации насчитывают 28 работ. На защиту выносятся результаты следующих 20 работ.

1. Сафонов В.Ф. Аналитические решения одной задачи нелинейной теории метода регуляризации/Др.Моск.энерг.ин-та.- 1976.-Вып. 292.-С. 103-107.

2. Сафонов В.Ф. 'Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений//' ДАН CCCP.-I977.-T.235,№5.-0.1274-1276.

3. Сафонов В.Ф. Асимптотическое решение сингулярно возмущенной нелинейной задачи'с нулевой точкой спектра предельного опера -тора//Тр.Моск. энерг.ин-та.-1978.-Вып. 357.-С.95-97.

4. Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для систем со • слабой нелинейностью в резонансном случае// Матем.заметки.-1979.-Т.25,вып.6.-С.371-389.

5. Сафонов В.Ф. Разрешимость одной задачи нелинейной теории метода регуляризации в классе равномерно сходящихся рядов// Матем. заметки.-1979*.-Т. 25, вып. 4.-С. 573-583.

6. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации и асимптотические решения систем с медленными и быстрыми переменными// Всесоюзная конф. по асимптотическим методам.-Алма-Ата: Изд-во"Наука" Каз.ССР,1979.-Ч.1.-С.77-79.

7. Сазонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений//Изв. АН СССР.Сер.матем.-19 79.-Т.43,№3.-С.628-653.

8. Губин Ю.П., Сафонов В.Ф. Нелинейная регуляризация резонансных задач// Тр.Моек.энерг.ин-та.-1980.-Выл. 499.- С.73-77. •

9. Губин Ю.П., Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Точечный резонанс в системе двух осцилляторов// Прикл.матем. и мех.- 1932.-Т. 46,ЖЗ.-

' С. 389-396.

10. Губин Ю.П., Сафонов В.Ф. Нормальные дифференциальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмущенных задач//Тр.Моск. энерг.ин-та.-1982.-Вш. 566.-С.18-22.

11. Губин Ю.П., Сафонов З.Ф. Точечный резонанс в осцилляторе типа Дуффинга// Тр. Моск.энерг.ин-та.- 1982,- Вып. 573.- С.97-102.

12. Губин Ю.П., Сафонов В.Ф. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач со слабой нелинейностью в случае нетокдест-венного резонанса// Диф.уравн.-1984.-Т. 20,№6.-0.930-941.

13. Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Регуляризация и асимптотические решения сингулярно возмущенных задач с точечными особенностям:! спектра предельного оператора//Укр.матем.яурн.-1284.-Т.36,52.-

С.172-180.

14. Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Алгоритм нормальных форм в нелинейных сингулярно возмущенных задачах с нестабильным спектром// Укр.матем.яурн.-1986.-Т.38,;«4.- С. 453-464.'

15. Губин Ю.П., Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Асимптотическая теория дифференциальных систем и связь метода регуляризации с методом усреднения// Иссл. по интегро-диф.уравн.-Фрунзе: "Илим",1987,-Вып. 20.-С. 146-=160.

16. Губин Ю.П., Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Связь метода регуляризации с методом усреднения для систем в стандартной форме// Иссл. по интегро -диф.уравн.- Фрунзе:"Клим,,,1387.-Был. 20.-C.I33-145.

17. Сафонов В.Ф. Многоточечный резона, з сильно нелинейной сингулярно возмущенной системе дифференциальных уравнений// Диф. Уравн.-1Э87.-Т.23,й3.- С.529-530.

18. Сафонов В.Ф., Румянцева М.А. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач с нарушением стабильности спектра на множествах 'положительной меры// Спектральная теория в задачах матем.физики. Сб.науч.трудов.-М.: Моск.энерг.л:г-т,1987.- .'¿141.-С. 86-88.

19. Сафонов З.Ф. Алгоритм нормальных форм для сингулярно

возмущенного уравнения диффузии// Спектральные разложения и их применение в задачах математической физики. Сб.науч.трудов.-М.: Моск.энерг.ин-т,1989.-№192.- С.77-80.

20. Сафонов В.<5. Нормальные формы и регуляризация сингулярно возмущенных эволюционных уравнений//Диф.уравн.-1989.-Т.25,М.-С. 627-635.

Подписано к печати Л — /О 4

'кч -1 / 7¿Г Ти(,„ж /С>0 Заказ Б1.спл'г

Типография МЭМ, Красноказарменная, 13.