Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Каденова Зууракан Ажимаматовна

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

01.01.02 —тшффере.нпия пьные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, Ош - 2005

Работа выполнен?, з Ошско!"* технологическом университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Асанов Авыт

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кэбзнихин Сергей Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович

Ведущая организация:

TyíwrTMTVT W ММ'ЯиМЬ*« Р A Í4 /V Ссотаплп,Л1'пг\ .........J .................................v. . «.^..»Л^ду, ¡

Защитя состоится H¿>J¡F/u( 2005 г. в iSüC на заседании диссертационного совета Д 212.174,02 при Новосибирском i осударственном университете по адресу 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан «_2_» 005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д-р физ.-мат. наук

0е—Н.И. Макаренко

^Общая характеристика работы

Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов регуляризации и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Актуальность работы. Среди Математических задач выделяется клан; задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, принадлежат к классу некорректно поставленных задач. Один из классов таких некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма первого рода.

Новое понятие корректности в работах А.Н.Тихонова [6], М.М.Лаврентьева [4] и В.К.Иванова [3], отличное от классического, дало

г>поттг»ч'и/~» тттт«т тхллпагглпогто ттатулплат^тттг IV по тгптт тт лттипгтшлип ттл тт<гл«лл у

л. ¿л,*их д ¿«/^ж^^ц^^ишт шш/у ^цци д и VI гш х IV

интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.

К ним приводится большое число прикладных задач, в том числе, задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, используются решения, получаемые методом регуляризации.

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Цель работы. Построение регуляризирующих операторов для решения интегральных уравнений и систем уравнений Фредгольма первого рода, доказательство теорем единственности и получение оценки устойчивости для таких уравнений в разных семействах множеств корректностей.

Основные результаты.

- Доказаны теоремы единственности интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма первого |о§9.с- национальная

'НАЯ » БИБЛИОТЕКА „/ СПстсейуг р

о» 30$ «&?/ 1 ■-«■■ я*

-Построены регуляризируюшиеуравнения в пространстве 1.г\а,Ъ\. - Получены оценки устойчивости в разных семействах множеств

\ ' ' J 'V_ 1\ X uuv 1W1.

- w иОмишлу разложения и ряд vypbe ядра интегрального уравнения Фпегтгопкмя первого рода типа свертки доказана теорема единственности я построены регуляризирукяцие операторы в пространстве L2 [О, я\.

Методы исследования. Для получения сформулированных в диссертации результатов используются методы функционального анализа и метод Фурье.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Pix достоверность устанавливается доказательствами, иллюстрируются примерами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные теоретические результаты могут быть применены в различных областях науки и техники.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международных и российских конференциях: Международная научная конференция «Проблемы математики и информатики в XXI веке», г. Бишкек (2000), Международная конференция «Актуальные проблемы современной науки», г. Самара (2004), Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара (2004). Результаты диссертации доложены также на семинарах: Ошского технологического университета «Проблемы и задачи магематики» под руководством д.ф.-м.н., профессора Алыбаева К.С. (2004), Ульяновского государственного университета (семинар Ульяновского филиала Средневолжского математического общества) под руководством д.ф.-м.н., профессора Горбунова В. К. (2004), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» под руководством академика Монахова В.Н., чл.-корр. РАН Плотникова П.И.

(2005) , Института математики им. С.Л.Соболева СО PAII «Условно-

корректные задачи» под руководством академика Лаврентьева М.М. (2005). Материалы диссертации опубликованы в следующих изданиях:

1. Асанов А., Каденова З.А. Об одном классе интегральных уравнений Фредгольма первою рода./'/' Труды межд. научни-иракь конф.. «Проблемы образования, науки и культуры в начале XXI века». Вестник ОшГУ, серия ф-м.н.-Ош: Билим, 2001.-№4.-С.59-67.

2. Асанов А., Каденова З.А. Об одном классе систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.-Бишкек: Илим, 2002.- Вып.31.- С. 172-182.

3. Асанов А., Каденова З.А. О единственности решения для одного класса интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // 'Груды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи».

/->-------—т~тлг тт о г ni туе.

v^omapa. \_-шуи i j , ¿uu-т.- i ¿.v.

4. Каденова З.А. О единственности решения для одного класса линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода типа свертки. // Труды межд. научной конф,- «Проблемы математики и информатики в XXI веке».-Бишкек: КГНУ. 2000,- Вестник КГНУ.-Вып.4.-С.123-127.

5. Каденова З.А. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода типа свертки с двумя независимыми переменными. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.- Бишкек: Илим, 2000.-Вып.-29.-С.143-147.

6. Каденова З.А. О единственности решения для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды межд. научн,-теортической конф. «Проблемы экономики, мат.-мод. и авт. инф. процессов»-Ош: Вестник ОшГУ.-2003 .-Вып.№7.-С.75-79.

7. Каденова З.А. О единственности решений систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». -Самара: СамГТУ.-2004.-Ч. 1,2.-С.61-66.

Структура к объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы и списка литературы.

Рабиха изложена на 93 страницах машинописного текста. Перечень литературы содержит 81 наименований.

Аотлп ■от.тгю^алг гтгиЛ/уичлл Яггат,лтт«тт1г%гт*. 1ТОТЛС1ХХГ»Х/Г\; гчл/хтчхгп ттит** тттг\

д.ф.-m.il, профессору А. Асанову за постановку задач и внимание к работе.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы, изложено краткое содержание диссертационной работы.

В первой главе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода. В § 1.1. рассматривается линейное интегральное уравнение вида ъ

Ки = = /(/), I е \а, Ь] >

где

v 7 [5(^.4 a<t<s<b-

(1)

(2)

данные функции, u(t)- искомая функция. С помощью метода, примененного в работе [1], доказывается теорема единственности решения уравнения ( 1 ) в классе L2 \a,b\. Обозначим

Введём новую функцию M(t, s) следующим образом , , a<s<t<b\

Известно, что

<=1 Л!

где /1,Д2,... характеристические числа ядра М(!,з), расположенные в порядке возрастания их модуля, и <ру(?)>«р2{{),...~соответствующие

ортонормиропаииые собственные функции.

Теорема 1.1.1. Пусть полное ядро и 0<Я, <Я2 <.... Тогда

решение уравнения (1) в пространс1ке 1-2 единственно.

При доказательстве единственности решения уравнения (1) рассматриваются вопросы о регуляризации решения и построении регуляризирующихуравнений в пространстве Ь2\а,Ь\.

Случай 1. Семейство множеств корректностей м а, зависящее от параметра а,

ь

где с>0, 0<а<со, и = ('=12,-).

а

Будем предполагать, что /(^е К(Ма). Тогда уравнение (1) имеет решение и{г) е Ма и справедлива оценка

_1 -О-

и(() < с2+'а ■ , о < а < ОО. (5)

Таким образом доказана

Теорема 1.1.2. Пусть ядро положительно определено,

К(Ма)а Ь2[а,Ь] - образ Ма при отображении К. Тогда на множестве К\Ма ) оператор К обрах ный к. К, равномерно непрерывен с гбльдеровым

показателем -сх—, т.е. справедливо (5).

2 + а

При этом решение уравнения ь

(- = /(/), / е (а,Ь), е > О (6)

а

будет регуляризирующим для равнения (1) па множество М а . Если и(0е Ма - решение уравнения (1), то получена оценка

3 а(НЗа) а

I. \ ! \ . о л

и\1,ъ)— и\1) ь с- • я, ' "' • е * и < а < со.

Таким образом, доказана

Теорема 1.1.3. Пусть ядро А/(/,.у) положительно определено,

/(')е-ФО, м(?) - решения уравнения (1) и(¡,е) решение уравнения (6). Тогда справедлива оценка (7).

Замечание. Если /(*)е К(м1), то в силу неравенства

2 д

1=1 л,

Ч 1=1 у

можно улучшить оценку (7), тогда при а = 1 получим:

к(г,£-)-и(/) £ С4

/ \,

а

VI /

Случай 2. Будем считать, что ядро положительно определено.

Семейство множеств корректностей Ма/3 выделено следующим образом:

Мар = (и(/)б Ь1[аМ-. \\uitf < А?Н2 < с],

1=1 1=1

а

где с0 > 0, с > 0, 0 < а < да,-< /? < оо,

1 + а

а

Предположим, что

а/з)- Тогда уравнение (1) имеет решение

м(/) е Мар и справедлива оценка

«(О

<

■> 1+а

_На Р+аР-а

а

/(^Р+ар-а

(8)

д. V* Ж V« 1.1*1 иирсич/хч) ,Ци1\ШШ1и

Теорема 1.1.4. Пусть ядро положительно определено,

К{Ма/5)сг 12[а,Ь}- образ ^ ар при отображении К. Тогда на множестве ) существует равномерно непрерывный оператор К~', обратный к К, т.е. справедлива оценка (8).

В § 1.2. предполагается выполнение следующих условий: имеют производные всех .5 е б = {(/, $)/ о < $ < / < Ь};

б) Н(Ь,а)> О, #;Ы<0, я;(Ь,5)> 0, я;,(м)<0;

в) выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) //;(?,а) < 0 при почти всех Г е [а, б],

Д/'Са П ~—-------.. = Гл А1

у арп пицц оь^л " ^ I ' ^

3) Я", (/,«) < 0 при почти всех

Методом, предложенным в [2], доказывается

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия а), б) и в). Тогда решение уравнения (1) единственно в классе Ь \а, Ь\.

В §1.3. рассматривается следующее уравнение с разностным ядром

\cify - >& = /(^0 < I < К . (9)

О

Предполагается, что а(?) и /(0 являются непрерывно дифференцируемыми функциями на [о. я-1. Дополним определение данной функции четным образом так, чтобы при -Я" < 0 было а^)=а(- ?). Тогда будем иметь

[а(/), о<?<яг;

¿(0 = 1 / л ^ (10)

О

Разложим функцию Ь (/) в ряд Фурье на [— Ж, 7г],

Ь 00 >.М_ ^ V А

2 ' ^ "" I " '" .с

где

2*. 2 я Ь0 = - \Ь{{)Л, ь„=~ \ъ{?)с08 . (13)

Л ^ л

2 , 2 "г

о

Доказывается

Теорема 1.3.1. Пусть * 0, /= 0,1,2,..., где определены в формуле (13).Тогда решения уравнение (9) единственное в пространстве Ь2 [0, тг].

Интегрируя по частям в формулах для коэффициентов Фурье Ьп, получаем

2

т

"о

Пусгь а - тт|а'(^)-а'(о)(,|«'(лг)-г<2'(о)|}. (14)

Сформулируем следующие условия

(а'{х)-а'(0)*0, \а'{х) + а'{0)фО,

1 "г 1 "г ^^

а > \ат^)Ж> - ^"(фт пГ<#, б) я { п $

для любых П 6 ЛГ.

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены условия а) и б). Тогда коэффициент

Фурье Ъп имеет значение отличное от нуля, для всех п = 0,1,2,.....Поэтому

решение уравнения (9) единственно в пространстве ¿2[0, к\.

ю

f

В § 1.4. раССМаТрИВаЮТСЯ ИНТ61 раЛЬКЫб ураВКСНИЯ С р 23 ПОСТНЫМ И ЯДраМй п я

f Иt - \x - y)dsdy = f{t,x\(/,x)&\o,n}x fо,л\ С16)

•f j

о о

Предполагается, что a(t,x) и /(Л*) являются непрерывно дифференцируемые функции по t и по х на [о,.т]*[£>,.т]. Решение u(t,x) ищется в ¿2([0,ж]х[о,л-]).

Дополняя a(t,x) в области [-п.о]у \к,о\ [о.п\х [-л.о\ [-я,о]х[-получим b(t,x).

Используя разложение в ряд Фурье

jy 1 50 1 00 «О 00

b(t,x)= 00 + ~Yjbk0 cos kt+ ^b0l cosIx ^bk! cosfocosIx,

4 2t=1 2/=1 M (17)

(t,x)e[o,7i]x[o,n\

4.

¿00 = — \\a{t,x)dtdx,

n 0 0 4 * *

bt0 = —- J Гa(t, x)cos ktdtdx,

K oo 4 * *

b0( = —- J \a(t, x)cos lxdtdx,

Л 0 0 4 Jr jt

=—- Г |a(i.x)cos fo cos lxdtdx.

я a

доказываем следующее утверждение.

Теорема 1.4. Пусть b„ # 0, i = 0,1,2,..., J = 0,1,2,... где Ьц определены в формуле (18). Тогда решение уравнения (16) единственно в пространстве

Вторая глава посвящена вопросам единственности и регуляризации решений системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

В § 2.1. изучается вопрос о единственности решения системы уравнений Фредгольма первого рода

(18)

а

где

известные пхп -

мерные матричные функции.

- п- мерные соответственно искомые

и известные вектор-функции.

Введем новую матричную функцию

\#(.м), а< t < s <h. где H(t, s) = A(t, s) + B'(s, t), в'- сопряженная матрица к матрице В. В силу замечания 9.1 [5] справедлива формула

. К«) V=1 Ur«J

Из условия а) следует, что все А„ положительны и Л, > Л^ >... Предположим выполнение следующего условия: а) Все собственные значение Л, матричного ядра M(t,s) положительны. Теорема 2.1.1. При выполнения условия а) решение системы (25) в просгранстве (["' Еп ) единственно (здесь Еп-п-мерное вещественное евклидово пространство).

В § 2 2. Наряду с (20) рассматривается следующая система уравнений ь

eu(t,e)+jK(t,s)u(s,£)ds = f(t\ te(a,b),£> 0 ^l)

a

Случай 1. Выделим семейство множеств корректности, зависящее от параметра a, следующим образом:

Ма = |и(Ое£2(МК) :ZKYv)\2

c>Ol 0<a<üQ г/"! J'Xt)] = ib/Л ^"VaU La

l WM WH, jn/>r V/J—> r-v-"V WJ / рл'/г, V/.

а p=l

В диссертации получена с педующая оценка устойчивости

Hl2ic^.\\f(tl^,0<a<« (22)

где М1 ={± )\и(ф(], |М(/)|

V <=1 а у /-1

Таким образом, доказана

Теорема 2.2.1. Пусть оператор М, порожденный матричным ядром положительный. Тогда решение системы (19) в Ь2§а,Ь\Еп) единственно. Кроме того, на множестве К[Ма\ (К(Ма)- образ Ма При отображении оператором К) оператор К'1, обратный к К, равномерно непрерывен с

гёльдеровым показателем —, т.е. справедлива оценка (22).

2 + а

Показано также, что решение системы (21) будет регуляризирующим для системы (19) на множестве Ма 5 т.е.

1 а(2а+\) а

-И'Ч 0 < а < оо (23)

Доказывается

Теорема 2.2.2. Пусть оператор М порожденный матричным ядром Мп^) положительный и /(О6 К(Ма). Тогда справедлива оценка (23), где решение системы (21), решение системы (19).

Случай 2. Выделив семейство множеств корректностей ^ар следующим образом:

=\u{t)eLAa,b\En):\u{tf <с0£\«^\2 ,±К°Ш2 < Л

I V=\ V=1 J

а

^ттл Г. > П Л П О <■ ГГ ГГ\ ------

„ - - - - >1 + а Л" -

u{v) = \u{t).m{v4t)\,__ (V = 1,2,,,,).

Получена следующая оценка устойчивости

1+а

ml

1

fit afi-a

0+afi-a

(24)

Доказана

Теорема 2.2.3. Пусть оператор М, порожденный матричным ядром M(t,s), положительный, К{Ма() образ Мар при отображении К.

Тогда на множестве К {м„„ ) существует паяномегто нрппрпыпнктй ппрпятпп

—г • » * X 1 II"

К-1, обратный к К, т.е. справедлива оценка (24).

В § 2.3 предполагается выполнения следующих условий:

a)ti{t,s) имеет производные Я, (t,a), Я 1{b,s\Hи (t,s) и (H(t,a))' = H(t,a), (H's(t,s))' =H's(t,s), где Я'-сопряженная матрица к матрице Я.

Л, Л

б) [H(b,a)u,ul>0,Vu =

е£» т.е. Н{Ъ,а)1> 0;

V"» J

Н, (t,а)и,и <,0,УиеЕп х.е. н,'(t,а)<0;

J П

Hs (b,s)u,u > 0, Vm е Еп х.е. я/(б,л)> 0;

- п

Hsl (t,s)u,и <0,Vue Е„ х.е. H„"{t,s)< 0,

в) выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) н, (*,а)ц,и < 0Уи е Е„,и * О т.е. Я,'(г,а)<О при почти всех / е [а,Ъ\

Г ' 1

2) \Н, > 0, Уи еЕп,и±0 х.е. Н,'(Ь,5)>0 при почти всех / е [а,/>];

~ п

3) < О, У и е Ел,и Ф 0 т.е. #„"(/,*)< о при почти всех

J п

{^з)е[а,Ь]х[а,Ь].

С помощью метода, примененного в работе [2], доказывается следующая теорема единственности.

Теорема 2.3.1. Пусть выполняются условия а), б), и в). Тогда решение системы (19) единственно в Ь2(\а,Ь\Еп).

ТТитрпятлтя -----г-^г-

1. Асанов А. Об одном классе систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода.// Функциональный анализ и его приложения., 1983.-Е.17, Вып.4.-С.73-74.

2. Асанов А. О единственности решения операторных уравнений Вольтерра.//Известия АН Киргизской ССР, 1988.-№1.-С.13-18.

3. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах.// Дифференциальные уравнения.-1968.-№2.-С.61.

4. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск: Издательство СО АН СССР. - 1962.

5. Талдыкин А.Т. Векторные функции и уравнения. -Л.: Издательство Л1 У, 1977.

6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач, М.: Наука, 1979.

1*20 90 8

РНБ Русский фонд

2006-4 18492

Подписано в печать 7.10.05. Тираж 100 экз. Объем 1 пл. Заказ № 0376. Бумага офсетная

Отпечатано в типографии Ошского технологического университета г. Ош, ул. Н.Исанова, 81

Введение.

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА.

§ 1.1. Об одном классе линейных интегральных уравнений

Фредгольма первого рода.

§1.2. О единственности решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

ГЛАВА 2. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА.

§ 2.1. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

§ 2.2. Регуляризация и устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

§ 2.3. О единственности решений для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Теория интегральных и операторных уравнений первого рода как область теории некорректных задач возникла и развивалась за последние десятилетия.

Интегральные и операторные уравнения Фредгольма возникают в теоретических и прикладных задачах. К ним сводятся различные обратные задачи для дифференциальных уравнений [2], [35], [48] [52] [55], [56], [60], [77] и большое число прикладных задач (задачи об изучении спектрального состава светового излучения, задачи обработки экспериментальных данных связанных с диагностикой сферической или оссиметрических плазменных образований [47], задачи автоматического регулирования [64], исследования отражения волн от прямолинейной границы [62], задачи акустики, кинематики и сейсмики [35], [40], [41], [58], [70], [71], задачи электродинамики [42], в том числе задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах [29], [32]).

Новое понятие корректности постановки таких задач в работах А.Н.Тихонова [66], [68], [69], М.М.Лаврентьева [51], [52], [55], и В.К.Иванова [33], [34], [35], отличного от классического, дало средство для исследования некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.

Долгое время математики уходили от обсуждения задач такого типа, считая их лишенными физического смысла.

Впервые на примере обратной задачи теории потенциалов, имеющей непосредственное приложение в геофизике, А.Н.Тихонов [65], переосмыслив известные требования Адамара [1], предъявляемые к задачам математической физики, предложил для восстановления устойчивости сузить область решений до некоторого компакта.

Физическим оправданием такого подхода служило то наблюдение, что на практике, как правило, об искомом решении имеется несколько больше информации, чем это отражено в уравнении.

Так часто, если решение ищется, скажем, в С[0д, то из физических соображений известно, что U

С[0,1] т и' г - т > с [0,1 J а это уже есть компакт в С[0и т.п.

В математическом же отношении обоснованием такого сужения области определения с целью возвращения к задаче устойчивости служит следующая теорема из общей топологии.

Теорема 1. Взаимнооднозначное непрерывное отображение А компакта К <zX в хаусдорфово пространство Y есть гомеоморфизм, т.е. отображение

А'1 тоже непрерывно.

Применительно к банаховым пространствам X,Y и оператору А (вообще говоря, нелинейному), отображающему компакт К с X непрерывно и взаимнооднозначно на АХ с Y, теорему надо переформулировать в следующем виде.

Теорема 2. Существует непрерывная в нуле функция й>(г),бу(0) = 0 такая, что для всех u{,u2 еКимеет место оценка и, - и2\< со (jj Аи [ - Аи 2|), где !! i, - нормы в пространствах X и Y соответственно.

В связи с этой теоремой естественно ввести следующее: Определение 1. Задача

Аи = f,A: D(A) -> Y,D(A) с X называется условно корректной (или корректной по Тихонову) на множестве К с D(A), если существует непрерывная в нуле функция co{s),s> 0,со{0)= О

Здесь А - произвольный, вообще говоря, нелинейный оператор с областью определения D(A)qX;X,Y- банаховы пространства.

Множество К, на котором выполнена оценка (*), называется множеством корректности (или классом корректности).

Определение корректной по Тихонову задачи введено М.М.Лаврентьевым [51]. такая, что

Наиболее полное изложение теории и приложений некорректных задач содержится в работах [24], [25], [26], [34], [35], [46], [51], [53], [54], [55], [57], [59], [60], [66], [69], [70], [71], [74], [76], [77], [78], [79], [80], [81], [82], [83].

В настоящее время бурно развивается теория и приложения некорректных задач.

В развитие теории и приложений некорректных задач весомый вклад внесли ученые М.М.Лаврентьев, А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин, В.К.Иванов, В.В.Васин, В.П.Танана, В.Г.Романов, Ю.Е.Аниконов, С.П,Шишатский, В.А.Морозов, А.Л.Бухгейм, А.М.Денисов, Н.С.Габбасов, С.И.Кабанихин, М.И.Иманалиев, А.С.Апарцин и др.

Остановимся на некоторых моментах развития теории обратных задач.

Построена теория обобщенных решений интегральных уравнений первого рода и их аппроксимации при помощи методов теории сингулярных возмущений, разработан и применен к аппроксимации экспериментальных данных метод доказательного глобального поиска. (М.И.Иманалиев, П.С.Панков, С.Н.Алексеенко).

Вопросы регуляризации решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода в пространстве непрерывных функций изучали М.И.Иманалиев, А.С.Апарцин, А.Л.Бухгейм, А.М.Денисов, С.И.Кабанихин, А.Асанов, А.Сражидинов и др.

Один из классов некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма первого рода. К ним приводится большое число прикладных задач, в том числе, задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, берется регуляризация решения, т.е. решения получаемые методом регуляризации.

Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов регуляризации и единственности решений интегрального уравнений Фредгольма первого рода.

Вопросы регуляризации для операторных и интегральных уравнений исследованы в работах многих авторов, например [4], [5], [6]-[12] [17]-[22], [25], [26], [30], [37], [49], [53], [54], [61], [63], [65], [69], [67], [73], [74], [75], [82].

Различные вопросы для интегральных уравнений Фредгольма первого рода рассматривались в [17], [18], [33], [36], [49], [50], [67].

Первые результаты по регуляризации уравнения Вольтерра было получено в [32]. Вопросы регуляризации, единственности и существования решений интегральных уравнений Вольтерра исследованы в [3], [4], [12], [31], [37], [38], [39], [63], [72], [73], [75], [82].

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризация и единственности решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Научная новизна работы и ее основные результаты заключаются в следующем.

1.Доказаны теоремы единственности линейных интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

3.Получены оценки устойчивости в разных семействах множеств корректностей.

Исходные данные некорректно поставленных задач, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при построении приближенных решений и при оценке их погрешности, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.

В диссертации развивается метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач.

Полученные теоретические результаты могут быть применены в различных областях науки и техники.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Диссертация состоит из двух глав.

В первой главе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

В §1.1. рассматривается линейное интегральное уравнение вида

2.Построены регуляризирующие операторы в пространстве L2[a,b]. ь а где

A(t,s), a<s<t<b, [B(t,s\ a<t<s<b.

Предполагается, что данные функции, u(t)~ искомая функция. Используя метод примененный в работе [7] доказана теорема единственности решения уравнения (1) в классе L2[a,b],

В силу (2) уравнение (1) запишем в виде / ь

J A(t, s)u(s)ds + JB(t, s)u(s)ds = f(t) q) a I

Умножая обе части (3) на u{t) и интегрируя по t в пределах от а до b, получим

Ь t ь ь ь

J s)u(s)u{t)dsdt + | jB(t, s)u(s)u(t)dsdt = J f(t)u{t)dt (4) a I

Применяя формулу Дирихле, из (4) имеем b I b s b

J JA{t,s)ii{s)ii(t)dsdt+ J JB(t,s)u(s)ii(t)dtds = ^f(t)u(t)dt, a 0 т.е. ь t

I s)+B(s, t)]i(s)u(t)dsdt = ^f(t)u(t)dt

Обозначим

Тогда

2 ^H(t,s)u(s)u(t)dsdt = J f(t)u(t)dt. (5) о a a

Ниже предполагаем, что ядро H{t,s) интегрируемо с квадратом по области, а < t,s <Ъ т.е. подчинено условию

Ь 1

J JH2{t,s)dtds = B2 <+оо

Введём новую функцию M(t,s) следующим образом

6) v (H(t,s), а< s <t <b\ ММ = \НМ a<t<s<b. ™

Ясно, что

M(t,s) = M(s,t).

Нетрудно убедиться в справедливости равенства ь ь

M(t,sfdsdt = 2B2 <оо. а а

Тогда, известно, что ы\ л где Л1,Л2,. - характеристические числа ядра M(t,s), расположенные в порядке возрастания их модуля, \ЛХ | < \Л2 \ <. и (рх (t\(р2 (/),. - соответствующие ортонормированные собственные функции.

Теорема 1.1.1. Пусть M(t,s)~ полное ядро и 0 < Л, < Л2 <. Тогда решение уравнения (1) в пространстве L2[a,b] единственно.

Доказывая единственность решения уравнения (1), рассматриваются вопросы о регуляризации решения и построении регуляризирующих уравнений в пространстве L2[a,b],

Случай 1. Семейство множеств корректностей Маь зависящее от параметра а,

Ма = 1 u{t)eL2[a,b]\YJ^c!\4l\ ^с 1 где с>0, 0<а<оо, щ = [uit^it^jdt, (/=1,2,.)

Ясно, что если u(t)eMa, то щ2 < V /, Яа

Будем предполагать, что f(t)e К(Ма). Тогда уравнение (1) имеет решение i{t)eMa и справедливо со 1

Zj

1 Ai о о ^f(t)u(t)dt.

Отсюда

1 л,

9)

С другой стороны

2+a L — т.е. u{t) i- < с- f(t) >+a .

Отсюда справедлива следующая оценка устойчивости:

1 л. u(t) <c2+a '\f(t)* ", 0 < а < со . (10)

Доказана

Теорема 1.1.2. Пусть ядро s) положительно определено, К(Ма)а Ь2[а,Ь] - образ Ма при отображении К . Тогда на множестве К(ма) оператор К\ обратный к К, равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем ——, т.е. справедливо (10). 2 + а

При этом решение уравнения ь su(t,s)+ jK(t,s)u(s,s)ds = f{t\ t g (a,b), £>0 (11) a будет регуляризирующим для уравнения (1) на множестве Сделав следующую подстановку в уравнении (11) n(t,s)= u(t)+ где u(t)e Ма - решение уравнения (1), и применив неравенство Гёльдера получим оценку з а(1+3а) U t,e)-u(t)<c*-Л, 8(1+а) 0 <от < со

12) и доказана

Теорема 1.1.3. Пусть - решения уравнения (1) u(t,s) решение уравнения (11). Тогда справедлива оценка (12). Замечание. Если К(М1), то в силу неравенства

СО ' ои 1 1

V 1=1

00 Лг

1 Л

V ' У можно улучшить оценку (12), тогда при а = 1 получим: u(t,s)-u(t) < с4 и С\1 I j

Случай 2. Будем считать, что ядро M(t,s) положительно определено. Семейство множеств корректностей Мар выделено следующим образом:

Мар =

00 00

О^гмгКО! ^oLKMXW -с\>

•=1 /=1 а где сп > 0, с > 0, 0 < а < °о,-< В < со,

1 + а и

О* = 1,2,.»). а

Предположим, что /(/) е £ (Ма/?). Тогда уравнение (1) имеет решение n{t)eMap и справедливо

Отсюда имеем u(t) <

1+а 1 с0с,+а

Р+аР-а а (14)

Таким образом, доказана

Теорема 1.1.4. Пусть ядро M(t,s) положительно определено, к{Мар)а L2[a,b]~ образ Мaf} при отображении К. Тогда на множестве к[Мар) существует равномерно непрерывный оператор А"1, обратный к К, т.е. справедлива оценка (14).

В § 1.2. предполагается выполнение следующих условий: а) #(/, я) = A{t, s)+B(s, t) имеют производные

H\(t,a), H's{b,s), я;;(м)при всех t,s eG = {{t,s)l а < s<t<b\ б) H{b,a)> 0, H[{t, а)< О, H%s)> 0, H"st(t,s)< 0; в) выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) H[{t,a) < 0 при почти всех t е [a, b\

2) H's(b,s)> 0 при почти всех s е [a,b],

3) Н"st(it,5)<0 при почти всех (t,s)eG.

Используя метод, предложенный в [10] доказывается

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия а), б) и в). Тогда решение уравнения (1) единственно в классе L [a,b].

Вторая глава посвящена вопросам единственности и регуляризации решений системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Различные вопросы для систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода рассматривались в работах [7], [9], [11], [12], [38], [73], [82].

Введем нормы матрицы [23].

Совокупность матриц, действующих в Еп, обозначим через М, где - Еп, ^-мерное вещественное евклидово пространство. Множество М является гильбертовым пространством, если скалярное произведение [Л, В]Х{ его элементов Л = [а у) и В = [by) и норма \А\ определяются формулой

М.и=12>А> И2=к4 м ;=1

Множество сильно измеримых [64] операторных функций

K(t,s),((t,s)e(a)b)x(a>b)-co <а <Ь <со) таких, что K{t,s)eM почти всюду и

Ъ b dsdt< оо, а а обозначим через L2([a,b]x[a,b]\M). Определяя скалярное произведение элементов K(t,s), F(t, s) е L2 ([а, b] х [a, b]; М) формулой b b

K(t,s),F(t,s)]= ^[K(t,s),F(t,s)\,dsdt^ получаем гильбертово пространство.

Это скалярное произведение приводит к определению нормы элемента

K(t,s) е L2([a,b]x[a,b]',M) по формуле Ь b

ДМ)||= \\\K(t,sfdsdt а а

Множество сильно измеримых векторных функций u(t), (te[a,b]) таких, что u{t) eR" почти всюду и о u{tfdt

00

16) обозначим черезL2([a,b]',En). Определяя скалярное произведение элементов u(t),3(t) е L2([a,b];En) формулой ь и(о,ад]= \[ms{t)idt а получаем гильбертово пространство. Это скалярное произведение приводит к определению нормы, |||и(/)||| элемента u(t) е L2([a,b];En) по формуле fb

OIL ,= JI"(o| 2dt a ii ^ j , где [и,v]„ (/>,(/)> И =Yaun " = ("/). V = <>/)• i=1 i=1

В § 2.1. рассматривается линейная система D

Ku = = f(t), t e [a,b],

17) где

K(t,s)

A[t,s), a < s < t <b, B(t,s), a <t < s <b.

18)

K(t,s) = {Ktj(/,*)) A{t,s)= (4(t,s)\ B(t,s) = (5,s)\ K{t,s)eLAa,b] x[a,b],M), u(t)={ui[t)\f(t)={fi(t))eLAa,b\En).

Вводим новую матричную функцию H(t,s), а < s <t <b,

M(t,s) =

H{s,t), a <t < s <b. где H(t, s) = A(t, s) + В (5, /), В*- сопряженная матрица к матрице В.

В силу замечания 9.1 [64] справедлива in

V=1

V}(oN p(:\t) p\v\s).<p(;\s)\ m< 00, где

Л2|>.

Предположим выполнения следующего условие: а) Все собственные значение Лу матричного ядра M(t,s) положительны. Теорема 2.1.1. При выполнения условия а) решение системы (17) в пространстве Ь2([а,Ь],Еп) единственно.

В § 2.2. Наряду с (17) рассматривается следующая система уравнений о su(t,s)+ = /(/), t е (a,b), s > 0 (19) a

Случай 1. Выделим семейство множеств корректности, зависящее от параметра а, следующим образом:

Ma=\u{t)eL2i[a,b\En) :|j^H^f < с J, где c>0, 0<а<оо, u[v) =\ilt),(p{v){t\(v= 1,2,.). Так как

U{v) = \u{t),(p^)\dt t а

Ясно, что если u{t)e то u(t]r <сЯ

I Z-2

Получена следующая оценка устойчивости 1 f)|L <с2+« <оо (20) и доказана

Теорема 2.2.1. Пусть оператор М порожденный матричным ядром M(t,s) положительный. Тогда решение системы (17) в L2i\a,b\En) единственно. Кроме того, на множестве К(Ма ) [к{Ма ))- образ Ма при отображении оператором К) оператор К'1, обратный к К, равномерно непрерывен с X гёльдеровым показателем-, т.е. справедлива оценка (20).

2 + а

Показано, что решение системы (19) будет регуляризирующим для системы (17) на множестве Ма, т.е.

1 a(2or+l) а

Iu{t,s)-u{t\ 0 <а <оо (21)

Доказывается

Теорема 2.2.2. Пусть оператор М порожденный матричным ядром M(t,s) положительный и f(t)e К(Ма). Тогда справедлива оценка (21), где u(t,s)~ решение системы (19), u{t)~ решение системы (17).

Случай 2. Выделив семейство множеств корректностей следующим образом:

Г 00 2 00

V=1

И' ос где со > с > 0, 0 < а < со,-< р < со,

1 + а

Ц^),^)], (к = 1,2,.).

Так как а

Предположим, что f(t)eK(Ma/}). Тогда система (17) имеет решение u{t) е Мар и справедливо

Отсюда справедлива следующая оценка устойчивости

1+а U с0с 1

1 \а р+ар-а

Доказана

Теорема 2.2.3. Пусть оператор М порожденным матричным ядром M(t,s) положительный, к{Ма/])с L2([a,b\Еп)- образ Мар при отображении К.

Тогда на множестве К{Ма/3) существует равномерно непрерывный оператор

К~1, обратный к К, т.е. справедлива оценка (22).

В § 2.3 предполагается выполнения следующих условий: a)H(t,s) имеет производные Ht{t,a),Hs{b,s),Hst (t,s) и (H(t,a))* = H{t,a), (H's(t,s))* =H's{t,s), где Я*-сопряженная матрица к матрице Я. ф [н(Ь,а)и,и]п >0,Vw = и-,

Vйп J еЕ" т.е. н(ь,а)><у,

Н, (/, а)и, и < О, У и £ £„ т.е. Я,'(/,а)< 0;

Я5 (b,s)u,u

0, т.е. tf/(6,5)>0;

Я5, (t,s)ii,u 0, Vw е Еп т.е. //sv"(/,5)< 0, в) выполняется хотя бы одно из следующих условий:

2)

3)

Ht(t,a)u,u < 0,Vw g En,u Ф 0 T.e. Ht{t,a)< 0 при почти всех t g [a,b\

-in

Hs(b,s)u,u >0,\/ueEn,u*0 т.е. я/(b,s)> О при почти всех t e [a,b\

Hsl (t,s)u,u

0,\/ueEn,u*0 T>e. Hsl {t,s)< 0 при почти всех

Используя метод примененный в работе [10], доказана теорема единственности решения системы (17) в классе L2([a,b],En). А именно,

Теорема 2.3.1. Пусть выполняются условия а), б), и в). Тогда решение системы (17) единственно в L2 ([a, b\ Еп).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13]-[16], [43]-[45].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф-м.н, профессору А. Асанову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также академику М.М. Лаврентьеву за полезные советы при обсуждении работы.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978.

2. Аниконов Ю.Е. Некоторые вопросы интегральной геометрии.// Труды Всесоюзного симпозиума по вычислительной томографии. Новосибирск, 1983.-С.9-11.

3. Апарцин А.С. О полилинейных уравнениях Вольтерра I рода. //Автоматика и телемеханика. 2004. -№2 - С Л18 - 125.

4. Асанов А. Регуляризация и достаточное условия единственности решения для интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Урысона. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1979.- Вып.12.-С.165-176.

5. Асанов А. Об одном классе интегральных уравнений Вольтерра первого рода. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1981.-Вып. 14.-С.227-234.

6. Асанов А. Регуляризация и единственность решений уравнений Вольтерра первого рода. Диссертация канд.физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1982, 91 л.

7. Асанов А. Об одном классе систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода. // Функциональный анализ и его приложения., 1983.- Т. 17, Вып.4.- С.73-74.

8. Асанов А. Один класс операторных уравнений Вольтерра. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1983.-Вып. 16,-С.269-276.

9. Асанов А. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на полуоси. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1985.- Вып. 18.- С. 17-20.

10. Асанов А. О единственности решения операторных уравнений Вольтерра.// Известия АН Киргизской ССР, 1988.- №1.-С. 13-18.

11. Асанов А. О системе линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на полуинтервале. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1989.- Вып.21.-С.130-139.

12. Асанов А. Операторные уравнения Вольтерра первого рода в шкалах гильбертовых пространств. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1991.- Вып.23.-С.67-80.

13. Асанов А., Каденова З.А. Об одном классе интегральных уравнений Фредгольма. первого рода.// Труды межд. научно-практ. конф.: «Проблемы образования, науки и культуры в начале XXI века». Вестник ОшГУ, серия ф-м.н. Ош: Билим, 2001.-№4.-С.59-67.

14. Асанов А., Каденова З.А. Об одном классе систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Бишкек: Илим, 2002,- Вып.31.- С. 172-182.

15. Асанов А., Каденова З.А. О единственности решения для одного класса интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: Сам ГТУ, 2004.-Ч.З.-С.122-126.

16. Арсенин В.Я., Иванов В.В. О решении некоторых интегральных уравнений первого рода типа свертки методом регуляризации. // ЖВМ и МФ.-1968.-8.-№2.

17. Арсенин В.Я., Савелова Т.И. О применении метода регуляризации к интегральным уравнениям первого рода типа свертки. // ЖВМ и МФ.-1969.-9.- №6.

18. Бухгейм A.JI. Об одном классе операторных уравнений Вольтерра первого рода. //Функциональный анализ и его приложения., 1972.- Вып. 1,-С. 1-9.

19. Бухгейм A.JI. Один класс операторных уравнений Вольтерра первого рода. //В кн.: Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1978.-С.45-50.

20. Бухгейм A.JI. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств. // Докл.АН СССР.-1978.-Т.242,№2.-С.272-275.

21. Бухгейм A.JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

22. Бицадзе А.В. Уравнение математической физики. М.:Наука, 1976.-296с.

23. Васин В. В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач. Математические заметки, 1970, 7, № 3.

24. Воронин А. Ф. Теоремы единственности для интегральных уравнений в свертках 1-го и 2-го родов на отрезке. // ДАН, 2004,-т. 236.-№1.-С.12-14.

25. Воронин А. Ф. Полное обобщение метода Винера-Хопфа для интегральных уравнений в свертках на конечном интервале с интегрируемыми ядрами. //Дифференциальные уравнения, 2004.-Т. 40. №9.-С. 1190-1197.

26. Владимиров B.C. Уравнение математической физики.- М.: Наука, 1971.

27. Гантмахер Д.Р. Теория матриц,-М: Наука, 1988.

28. Горбунов В. К. Редукция линейных интегральных уравнений с равномерный погрешностью в правой части. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. - т. 25, №2. С. 210-223.

29. Денисов A.M. О приближенном решении уравнения Вольтерра первого рода, связанного с одной обратной задачей для уравнения теплопроводности. // Вест. Моск. Университета. Сер. 15.- Вычисл. матем. и киберн.,1980.- №3.-С.49-52.

30. Иванов В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода.// Дифференциальные уравнения.-1967.-№3.

31. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. // Дифференциальные уравнения.-1968.- №2.-С.61.

32. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

33. Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. Фрунзе: Илим, 1981,144 с.

34. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.- Фрунзе: Илим, 1988,-Вып.21.-С.3-38.

35. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. // ДАН СССР.-1989.-Т.309., №5.,-С. 1052-1055.

36. Кабанихин С. И. Схема второго порядка точности решения нелинейного операторного уравнения Вольтера. // Методы решения некорректныхматематических задач и проблемы геофизики. АН СССР. Сибирское отделение ВЦ. Новосибирск, 1984. С. 66-75.

37. Кабанихин С. И. Обратные задачи акустики. Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Екатеринбург, 26 февраля 2 марта 2001г. С. 33.

38. Кабанихин С.И., Шишленин М.А. Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики. //Труды XII Байкальской международной конференции., 2001, Т.У, С. 120-125.

39. Кабанихин С.И., Романов В.Г., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. // АН СССР. Сиб. Отд-ние. ВЦ. Новосибирск, 1984. С. 201.

40. Каденова З.А. О единственности решения для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды межд. научн.-теортической конф.«Проблемы экономики, мат.-мод. и авт. инф. процессов»-Ош: ОшГУ.-2003. Вестник ОшГУ. Вып.№7.-С.75-79.

41. Каденова З.А. О единственности решений систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды 5-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». -Самара: СамГТУ.-2004.-Ч.1,2.-С.61-66.

42. Каденова З.А. Регуляризация и устойчивость линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды 1-го международного форумаАктуальные проблемы современной науки».- Самара: Сам ГТУ. -2005. -4.1,2.-С.51-56.

43. Кожанов А. И. Неклассические уравнения математической физики. -Новосибирск, 2002. 250 с.

44. Кузнецов Э.И., Щеглов Д.А. Методы диагностики высокотемпературной плазмы. М.: Атомиздат, 1974.

45. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа.// Изв. АН СССР., сер. мат. 1956.-20.- С.819-842.

46. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР.- 1959.-Т. 127, № 1.-С. 31-33.

47. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР.- 1960.-Т. 133, №2.51 .Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.// Новосибирск: Издательство СО АН СССР. -1962.

48. Лаврентьев М.М. О постановке некоторых некорректных задач математической физики. // В кн.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1966.-С.258-276.

49. Лаврентьев М.М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода. // В кн.: Международный Конгресс математиков в Ницце 1970. М.: Наука, 1972.-С.130-136.

50. Лаврентьев М.М. Регуляризация операторных уравнений типа Вольтерра. // В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977.- С. 199-205.

51. Лаврентьев М.М. , Романов В.Г. , Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

52. Мартышок А.А., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наукова Думка, 1979.

53. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: МГУ.-1974.- Ротапринт.

54. Петрашень Г.И., Нахамкин с.А. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки. Ленинград, 1979.

55. Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979. С. 263.

56. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1984.

57. Саадабаев А. Конечномерная аппроксимация решения операторного уравнения первого рода. //Исследования по интегро-дифференц. уравнениям. Бишкек: Илим, 1991.-Вып.23.-С152-155.

58. Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики. М.: Наука. 1971.

59. Сражидинов А. Регуляризация интегрального уравнения первого рода типа Вольтерра с неточными данными. // Исследования по интегро-дифференц. уравнениям.-Фрунзе: Илим, 1988.-Вып.21.-С.57-68.

60. Талдыкин А.Т. Векторные функции и уравнения. JT.: Издательство ЛГУ, 1977.

61. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. // ДАН СССР, 1943.-39.-№5.-С.195-198.

62. Тихонов А.Н. О методах решения некорректно поставленных задач. // В кн.: Тезисы докладов, Международный конгресс математиков.- М., 1966.

63. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // ЖВМ и МФ.-1964.-4.-№3.

64. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Думова А.А., Майоров Л.В., Мостовой В.И. Новый метод восстановления истинных спектров. // Атомная энергия .-1965.-18.-№6.

65. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

66. Anikonov Y. Е. Inverse Problems for Kinetic and Other Evolution Equations. -Utrecht The Nethelands: VSP, 2001, 270 p. (in English).

67. Anikonov Y. E., Nazarov V. G., Prokhorov L. V. Poorly Visible Media in x-ray Tomography. Utrecht, The Netherlands: VSP, 2002, 294 p. (in English).

68. Apartsyn A.S. Nonclassical Linear Volterra Equations of the first kind. Utrecht, The Netherlands: VSP, 2002, 294 p. (in English).

69. Asanov A. Regularization, Uniqueness and Existence of Solutions of Volterra Equations of the First Kind. Utrecht, The Netherlands: VSP,-1998, 272p.(in English).

70. Asanov A, Atamanov E. R. Nonclassical and Inverse Problems for Pseudoparabolic Equations. Utrecht, The Netherlands: VSP, - 1997, 152 p. (in English).

71. Bughegeim A. L. Volterra Equations and Inverse Problems. Utrecht, The Netherlands: VSP, 1999, 204 p. (in English).

72. Bukhgeim A. L. Introduction to the Theory of Inverse problems. Utrecht, The Netherlands: VSP, 2000, 232 p. (in English).

73. Kabanikhin S. I., Lorenzi A. Identification Problems of Wave Phenomena Theory and Numeric. Utrecht, The Netherlands: VSP, 1999, 342 p. (in English).

74. Kabanikhin S. I., Satybaev A. D., Shishlenin M. A. Direct methods of solving multidimensional inverse hyperbolic problems. Utrecht, The Netherlands: VSP, -2005, 180 p. (in English).

75. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht The Netherlands: VSP, 1999,170p.

76. M. M. Lavrent'ev Managing Editor: S. L. Kabanikhin. Ill Posed and Non-Classical Problems of Mathematical Physics and Analysis. Utrecht, The Netherlands: VSP, - 2003, 260 p. (in English).

77. Romanov V. G., Kabanikhin S. I. Inverse Problems for Maxwell's Equations. Utrecht, The Netherlands: VSP, - 1994, 250 p. (in English).

78. Shishatskii S.P., Asanov A. and Atamanov E.R. Uniqueness Problems for Degenerating Equations and Nonclassical Problems. Utrecht, The Netherlands: VSP,-2001,178 p. (in English).

79. Vasin V. V., A. L. Ageev A. L. Ill Posed Problems with Priori Information. Utrecht, The Netherlands: VSP, - 1995, 254 p. (in English).