Оптимальные регуляризирующие операторы К-го порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Рк-операторы и влияние процедуры регуляризации для интегральных уравнений I рода типа свертки

§ I. О некоторых обратных задачах математической физики.

§ 2. Регуляризирущие операторы для уравнений типа свертки.

§ 3. Асимптотические оценки уклонения регуляризовэнного решения от точного

Глава II. Оптимальные Рк-алгоритмы поиска приближенных решений

§ I. (С,| )-оптимальный выбор параметра регуляризации.

§ 2. Оптимальные регуляризованные решения и фильтры, определяемые интегральными операторами свертки.

§ 3. Определение вероятностных характеристик сигнала и шума для оптимальных

Рк-решений.

§ 4. Последовательное оценивание решений и статистическая регуляризация

Глава III. Рй-операторы в обратной задаче гравиметрии для нескольких контактов

§ I. Оценка числа контактных поверхностей

§ 2. Определение параметров геометрически подобных контактных поверхностей

Диссертация посвящена разработке численных методов решения обратных задач математической физики, сводящихся к линейным интегральным уравнениям I рода, и созданию эффективных алгоритмов решения таких уравнений.

Актуальность исследования обусловлена тем,что рассматриваемые задачи возникают цри моделировании важных для научно-технического прогресса проблем восстановления сигналов, искаженных приборами или окружающей средой, идентификации линейных систем,интерпретации геофизических наблюдений и зд.

Функциональная связь между характеристиками изучаемого объекта ^ и результатами наблюдений и* задается оператором А таким образом, что математическая модель об -ратной задачи описывается уравнением I рода Я , (I) где решение j и правая часть ^ принадлежат заданным метрическим пространствам: J е г Sr Y; (t*l/<= V; А : Y —> V.

Во многих случаях задача решения уравнения (I) является некорректно поставленной. Основы общей теории и методов решения некорректных задач были заложены в трудах А.Н.Тихонова 18 ], развиты в работах М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова и многих других советских ученых. Подробная библиография приводится в монографиях \tt, 19, тЛ, rs-, щ Ц fo, Щ

В частности, упомянутые задачи сводятся к линейным интегральным уравнениям Фредгольма I рода

Г*

А} = (2) и их важному подклассу - линейным интегральным уравнениям I рода типа свертки

ОО

3)

Аг н г ю(1).

V - ©О

Поиск решения J уравнения (I) в случае, когда цра -вая часть и известна приближенно, связан с рядом труд -ностей.Так, приближение к J , найденное по U> клас -сическими численными методами (типа наименьших квадратов) , может как угодно сильно отличаться в заданной метрике про -странства У от точного решения, вследствие чего возникает проблема устойчивости приближенного решения относительно малых изменений исходных данных. Отсутствие в реальных задачах большой априорной информации для построения прибли -женных решений с оптимальными характеристиками (необходи -мой, например, для метода винеровской фильтрации) требует исследования возможностей уменьшения а также наиболее полного использования такой информации. Наконец, программная реализация автоматической обработки результатов наблюдений в условиях большого объема данных и многократного повторения процедуры вычислений при разных значениях параметров вызывает необходимость создания регуляризирующих алгоритмов для уравнений (1-3), эффективных по использованию вычислитель -них ресурсов - памяти ЭВМ и времени счета.

Научная новизна и структура диссертационной работы

Б работе предложены и исследованы новые регуляризируто-щие операторы к-го порядка для некорректно поставленных задач (1-3), изучены их свойства и построены эффективные устойчивые алгоритмы, реализованные в виде программ для ЭВМ .

Заключение

За последние годы значительно расширился круг проблем, решаемых с помощью метода регуляризации. В связи с этим разрабатываются как общие, так и конкретные, приспособлен -ные к специальным классам задач, регуляризирующие алгоритмы. Они являются необходимой составной частью автоматизации обработки данных эксперимента, и создание таких алгоритмов представляет многообещающую область исследований.

В диссертации построены регуляризирующие операторы к-го порядка и применены для численного решения некорректно поставленных задач. Основные выводы работы заключаются в следующем:

1. Показана эффективность использования предложенных Рк-операторов для численного решения некоторых обратных задач математической физики, нахождения приближенных решений интегральных уравнений I рода и их конструктивность для программной реализации на ЭВМ.

2. Установлены асимптотические свойства процедуры ре -гуляризации к-го порядка для важных классов уравнений типа свертки и изучены основные характеристики получаемых Рк-ре -шений.

3. Проанализировано влияние порядка "к" на оптимальное значение параметра регуляризации цри поиске оптимальных приближенных решений. Доказано, что полученные результаты позволяют активно использовать априорную информацию при решении задачи оптимальной линейной фильтрации, а цри статистической регуляризации - уменьшить число необходимых измерений.

4. Показано, что Рк-алгоритмы позволяют существенно уменьшить объем вычислений (по сравнению со случаем к = 0) при циклических обращениях к ним.

5. Предложен и исследован новый способ устойчивого определения числа, глубин и форм контактных поверхностей с использованием Рк-операторов в задаче гравиметрии.

6. Разработан и внедрен комплекс программ для числен -ного решения интегральных уравнений I рода типа свертки с помощью Рк-алгоритмов.

Регуляризирующие операторы к-го порядка могут быть широко использованы в системах полной автоматической обработки наблюдений.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям: П.Н.Заикину и И.Ф.Дорофееву за руководство работой, а также А.Х.Пергамент за плодотворное обсуждение ряда вопросов, Б.Г.Филатову за полезное обсуждение геофизических постановок задач, М.В.Уфимцеву за внимание и помощь при тестировании программ и оформлении программной документации.

1. А л б е р т А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивалие.-М.,"Наука",1977.

2. Арефьева М.В. Асимптотические оценки точности оптимальных решении уравнения типа свертки.-ЖВМ и МФ , 1974, 14, Jfe 4.

3. Арефьева М.В. Решение уравнений типа свертки методом регуляризации с применением быстрого преобразования Фурье и критерия невязки.-В кн.:Вычислительные методы и программирование,35,М.,МГУ,1981.

4. Аронов В.И. Методы математической обработки гео -логических данных на ЭВМ.-М.,"Недра",1977

5. Арсенин В.Я., Иванов В.В. Восстановление фо рмы сигнала, свободной от искажений, обусловленных аппаратурой и каналом передачи.-Измерительная техника , 1969, 65, ЖЕ.

6. Арсенин В.Я., Иванов В.В. Об оптимальной регуляризации.-ДАН СССР, 1968, 182, ЖЕ.

7. Арсенин В.Я., Иванов В.В. О решении неко -торых интегральных уравнений I рода типа свертки мето -дом регуляризации.-ЖВМ и МФ, 1968, 8, Ш.

8. Арсенин В.Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток . -Труды ШШ СССР, 1973, 133.

9. Арсенин В.Я., 3 я б р е в Н.Б. Об оптимальных приближенных решениях вырожденных и плохо обусловленныхсистем линейных алгебраических уравнений и операторных уравнений 1-го рода.-М., ИПМ АН СССР, 1977.-Препринт № 127.

10. А р с е н и н В.Я., 3 я б р е в Н.Б. О построении приближений к оптимальной фильтрации.-М., ИПМ АН СССР, 1978. -Препринт М.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М., "Наука", 1973.

12. Беллман Р. Введение в теорию матриц.-М., "Наука", 1976.

13. Б е н д а т Дж., П и р с о л А. Измерение и анализ случайных процессов.-М.,"Мир", 1974.

14. Б е р е з к и н В.М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа.-М., "Недра", 1973.

15. Вайнштейн Л. А., Зуб а к о в В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех.-М.,"Советское радио", I960.

16. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов . -М.,"Советское радио",1979.

17. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных за -дач.-М., "Наука" ,1981.

18. В е р л а н ь А.Ф., С и з и к о в B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ.-Киев,"Нау-кова думка", 1978.

19. Винокуров В. А. Два замечания о выборе параметра регуляризации.-SBM и МФ,1972,12,№2.

20. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.-М., "Наука", 1977.

21. Г л а с к о В.Б., 3 а и к и н П.Н. О программе регуля-ризирующего алгоритма для уравнения Фредгольма первого рода.-Вычислительные методы и программирование, 1966, вып.5 .

22. Г л а с к о В.Б., Остромогильский А. X., Филатов В.Г. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации.-ЖВМ и МФ, 1970, 10, т.

23. Г л а с к о В.Б., Володин Б. А., Мудрецов Е.А., Нефедова Н.Ю. 0 решении обратной задачи гравиразведки для контактной поверхности на основе метода регуляризации.-Физика Земли, 1972, 5.

24. Г л а с к о В.Б., Саваренский Е.Ф. Метод регуляризации и проблемы единственности при исследова -нии региональных плоско слоистых структур.-Физика Земли, 1977, I.

25. Гончарский А.В., Леонов А.С., Я г о л а А.Г. Некоторые оценки скорости сходимости регуляризовэнных приближений для уравнений типа свертки.-ЖВМ и МФ , 1972, 12, №3.

26. Гончарский А.В., Леонов А.С., Я г о л а А.Г. Конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач.-ЖВМ и МФ, 1974, М, ЖЕ.

27. Гончарский А.В. ,Черепащук A.M. ,

28. Я г о л а А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики.-М.,"Наука", 1978.

29. Г р е н а н д е р У. Случайные процессы и статистические выводы.-М.,изд. Иностранной литературы, 1961.

30. Д и х т я р В.И. 0 статистической регуляризации алгебраических систем уравнений.-В кн."Современные задачи в точных науках",М.,изд.УДН, 1976.

31. Д и х т я р В.И. Об устойчивых алгоритмах для интегральных уравнений I рода типа свертки с экспоненциальным яд-ром.-В кн."Современные задачи в точных науках",М., изд . УДН, 1976.

32. Д и х т я р В.И., Пионтковская С.Г. Приме -нение быстрого преобразования Фурье для численного решения интегральных уравнений I рода типа свертки.-В кн."Современные задачи в точных науках",М.,изд.УДН, 1977.

33. Д и х т я р В.И. Об определении некоторых вероятностных характеристик сигнала и шума.-В кн.'Численные методы решения задач математической физики и теории систем", М., изд.УДН, 1978.

34. Д и х т я р В.И. Об одном способе разделения потенци -альных полей.-В кн."Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики",М.,изд.УДН, 1983.

35. Дихт яр В. И. 0 (C,f )-оптимальном выборе параметра регуляризации.-В кн. "Дифференциальные уравнения и функциональный анализ",М.,изд.УДН, 1983.

36. Д и х т я р В.И. Рк-решения уравнений типа свертки и выбор параметра регуляризации.-В кн." Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики",!.,издУДН, 1983 .

37. Дмитриев В.И. (ред.) Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике.Справочник геофизика. -М.,"Недра", 1982 .

38. Дорофеев И.Ф. О погрешности некоторых регуляри -зованных алгоритмов.-ЖВМ и МФ, 1976,16,И.

39. Дорофеев И.Ф., Д и х т я р В.И. 0 погрешности регуляризованных алгоритмов для уравнений первого рода типа свертки.-В кн."Труды семинара по теории дифферен -циальных уравнений с отклоняющимся аргументом",т. 10. М., изд.УДН, 1977.

40. Дорофеев И.Ф., Д и х т я р В.И. Об оптимальной регуляризации для интегральных уравнений I рода типа свертки.-Вестник московского университета,сер.Вычисли -тельная математика и кибернетика,1978, №3.

41. Ж и д к о в Е.П. ,Нгуен Монг, Федоров А.В. Уточнение регуляризованных решений системы линейных алгебраических уравнений.-Препринт ОШИ 5-81-595 , 1981 .

42. Жуковский E.I. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений.-ЖВМ и МФ, 1972,12, Н .

43. Жуковский Е.Л., Морозов В.А. 0 последовательной байесовской регуляризации алгебраических систем уравнений.-ЖВМ и МФ, 1972, 12, №2.

44. Ибрагимов И.А., Роз а н о в Ю.А. Гауссовские случайные процессы.-М.,"Наука", 1970.

45. И в а н о в В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода.-Дифференциальные уравнения,1967,т.3, КЗ .

46. Иванов В.К., Васин В.В., Т а н а н а В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., "Наука", 1978 .

47. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода.-ДАН СССР,I960,133, №.

48. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г. О пос -тановке некоторых некорректных задач математической фи -зики.-Сиб.мат.журн.,1966,т.7, №3.

49. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Ш и ш а т -с к и й С.П. Некорректные задачи математической физикии анализ а.-М.,"Наука",1980.

50. Л а н ц о ш К. Практические методы прикладного анализа.-М. ,Физматгиз, 1961.

51. Марченко Н.А., Пергамент А.Х. Некоторые вопросы теории приближений и задачи фильтрации.-М., ЖИЛ АН СССР, 1979, препринт Jfc 178.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М., "Наука", 1977.

53. Морозов В. А. 0 принципе невязки при решении one -раторных уравнений методом регуляризации.-ЙВМ и МФ, 1968, 8, № 2.

54. М о р о з о в В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи. Итоги науки и техники. Математический анализ,II.-М., ВИНИТИ, 1973.

55. Мороз ов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач.-М., изд.МГУ, 1974.

56. Муравьева М.В. Об оптимальности и предельных свойствах байесовского решения системы линейных алгебра -ических уравнений.-ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 4.

57. Мудрецова Е.А., Г л а с к о В.В., Филатов В.Г. 0 разрешающей способности метода регуляризации и определении участка характерного изменения формы контактной поверхности.-Физика Земли, 1974, Л> 6.

58. Остромогильский А.Х. 0 единственности ре -шения обратной задачи теории потенциала.-ЖВМ и МФ, 1969 , 9, 5.

59. Пергамент А.Х., Тельковская О.В. Метод регуляризации и метод максимального правдоподобия при решении интегральных уравнений I рода.-М.,ИПМ АН СССР , 1979, препринт III.

60. Рахматуллина А.Х. Некорректно поставленные задачи и методы их решения.-М., ИПМ АН СССР,препринт ЖЕ, 1972 .

61. Савелова Т.Н. О решении уравнений типа свертки с неточно заданным ядром методом регуляризации.-ЖВМ и МФ, 1972, 12, ЖЕ.

62. Савелова Т.Н. О применении одного класса регуля-ризирующих алгоритмов к решению интегральных уравнений первого рода типа свертки в банаховых пространствах . -ЖВМ и МФ, 1974, 14, Л°2.

63. Савелова Т.И. Проекционные методы решения линейных некорректных задач.-ЖВМ и МФ,1974,14, №4.

64. Сербуленко М.Г. Линейные методы разделения потенциальных полей.-В кн."Приложение некоторых методов математики к интерпретации геофизических данных", Новосибирск, "Наука", 1967.

65. Старо стенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии.-Киев,"Наукова думка", 1978.

66. Страхов В.Н. 0 решении некорректных задач магни-то и гравиметрии, представляемых интегральными уравне -ниями типа свертки.-Физика Земли, 1967, 4, № 5.

67. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений.-М.,"Наука", 1981.

68. Тихонов А.Н. 0 решении некорректно поставленных задач.-ДАН СССР, 1963, 151, № 3.

69. Тихонов А.Н. 0 регуляризации некорректно поставленных задач.-ДАН СССР, 1963,153, ЖЕ.

70. Тихонов А.Н., Г л а с к о В.Б. 0 приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода. -ЖВМ и МФ, 1964, 4, 3.

71. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения.-ДАН СССР,1965,18, № 6.

72. Тихонов А.Н., А р с е н и н В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.,"Наука", 1979.

73. Тихонов А.Н., 3 а и к и н П.Н. ( ред. ) Библиотека программ по обработке и интерпретации физических экспериментов.-М.,изд.МГУ,t1983.

74. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов .В.В., Я г о л а А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация.-М.,"Наука", 1983.

75. Ф е д о р ю к М.В. Метод пер ев ал а.-М., "Наука", 1977.

76. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных.-Новосибирск,"Наука", 1982.

77. Филатов В.Г. О единственности некоторых обратных задач гравиразведки.-Физика Земли, 1974, № II.

78. Zk. Соо&у X , Тику J. № Jn cUjoiiJ-h}* ^ог. ik.vf Нш^сг- W-6-*, rMabk. Coyi^HZ, 1В, ВО.8S. Л.Б., §иси Я,. vW ЧиисЖь о^Сllwy.-llMob.AbMEj.eabie. Еу.^ЭИП2>.ft. РкШрь D-I. ^iwU^ Ьг. гlie, ^

79. Ut^^e 'уиъ'И^ Xw.-J. JW. CfHMtud.1. Mfl*L.t Oil 9, I 1 /1. S-XB. EiieU ei y , ,

80. J. di. ^Ec+tz. W^htW.t ctiUtr^ /^Г. H. 1'гиилм S. TJIC tJ- км.**сг1е4с£ p-CU-*^ ^

81. W KW^S bilk ^litMCc-ton, appliedMii A/.T