Прямые и обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

*}. А ^ .:

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ АН РОССИИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи КОРОТКИЙ Александр ИлларионоЕНЧ

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (01.01.02-- дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Екатеринбург 1992

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Института математики и механики Уральского отделения РАН

Официальные' оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор Ф.П.Васильев

академик Н.Н.Красовский

доктор йизико-математических наук, профессор В.П.Танана

Ведущая организация : Московский инженерно-физический

институт

Защита состоится " //" 1993 г. в час.

на заседании специализированного совета Д-002.07„01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН ( 620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской - 16 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН

Автореферат разослан ¿З-Н^-СХ^^Л 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат ^из.-мат. наук, с.н.с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе рассматриваются два тесно связанных мевду собой круга задач, относящихся к прямым и обратным задачам динамики управляемых систем с распределенными параметрами. Под прямыми задачами здесь понимаются задачи, в которых требуется найти управления, обеспечивающие определенное качество движения динамической системы или ее состояний. Под обратными задачами здесь понимаются задачи, в которых по наблюдаемым движениям динамической системы требуется определить априори неизвестные управления или какие-либо параметры системы, соответствующие наблюдаемому движению (такие задачи являются, как правило, некорректными).Эти задачи имеют своим источником многочисленные проблемы практики, они находят все более широкое применение при решении различных научно-технических и

народно-хозяйственных проблем. Это связано с расширяющимися • возможностями более адекватного моделирования реальных процессов, а также с разнообразием и глубиной теоретических разработок.

Актуальность этих задач, их большой теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие. теории оптимального управления и теории- обратных и некорректных задач. Существенный вклад в становление и развитие теории оптимального управления внесли Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Красовский H.H., Осипов Ю.С., КуржанскийА.Б., Субботин А.И., Габасов Р., Дубовицкий А.Я., Завалищин С.Т., Кириллова Ф.М., Крязкимский A.B., Милютин А.А, Никольский М.С., Петров H.H., Петросян Л.А., Пшеничный Б.Н., Тихомиров В.М., Ченцов А.Г..Черноусько Ф.Л. и другие авторы. Задачи управления в системах с распределенными параметрами активно разрабатывались в работах Бутковского А.Г..Васильева Ф.П., Егорова А.И., Литвинова В.Г., Лурье К.А., Плотникова В.И., Райтума У.Е., Сиразетдинова Т.К. и

многих других авторов. Из зарубежных авторов различными аспектами задач управления активно занимались Айзеке Р., Балакришнан А., БеллманР., Бенсусан А., Брайсон Д., Варга Дж., Калман P.E., Лейтман Дж., Ли Э.Б., Лионе Ж.Л., Маркус Л., Рассел Д., Сеа Ж., Фатторини X., Флеминг В., Фридман А., Хо Ю-Ши, Янг Л.

Существенный вклад в становление и развитие теории обратных и некорректных задач внесли Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Различные аспекты этак задач активно разрабатывались в работах Алифанова О.М., Аниконова Ю.Е., Арсенина В.Я., Артюхина Е.А., Бакушинского А.Б., Бухгейма А.Л., Васильева Ф.П., Васина В.В., Гапоненко Ю.Л., Гласко В.Б., Гончарского A.B., Крутько П.Д., Марчууа Г.И., Морозова В.А., Никитенко Н.И., Приленко А.И, Романова В.Г, Румянцева C.B., Степанова В.В., Страхова В.Н., Тананы В.П., Яголы А.Г, Яхно В.Г. Из зарубежных авторов отметим Брокета Р., Бэнкса X., Кюниша К., Латтеса Р., Лионса Ж.Л., Месаровича М., Сильвермана Л., Уайта Л.

В настоящее время по теории оптимального управления, обратным и некорректным задачам имеется весьма обширная литература. Однако нельзя утверждать, что она охватывает все стороны рассматриваемого направления в математике. Оно продолх:ает интенсивно развиваться как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Первый круг вопросов, которые рассматриваются в диссертации, связан с корректностью задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. Эти вопросы примыкают к исследованиям в теории экстремальных задач при приближенно заданных исходных данных. Некоторые исследования в этом направлении для динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, рассматривались в работах Васильева Ф.П., Дончева А.Л., Кирилловой Ф.М., Габасова Р., Петрова H.H., Крязкимского A.B., Сатимова Н.Ю., аналогичные вопросы для задач оптимального

управления, описываемых системами с распределенными параметрами, изучались в работах Васильева Ф.П., Егорова А.И., Латтеса Р., Лионса Ж.Л., Потапова М.М. Золеззи Т. и других авторов. В данной диссертации продолжается это направление исследований. Вопросы корректности рассматриваются для классов задач, в которых управляемая система описывается параболическими, гиперболическими, эллиптическими краевыми задачами при вариации начальных и граничных данных, правой части уравнения и коэффициентов соответствующего эллиптического оператора в их естественных пространствах (в которых формулируются соответствующие теоремы существования и единственности решения краевых задач). Предварительно исследуется характер зависимости обобщенных слабых решений краевых задач при вариации указанных параметров системы ( некоторые из полученных здесь. утверждений имеют самостоятельный интерес для теории дифференциальных уравнений с частными производными). Особенность изучаемых в диссертации задач состоит в выборе классов задач оптимального управления , в составе варьируемых параметров и способах их варьирования.

Второй круг вопросов, которые рассматриваются в диссертации, связан с решением обратных задач динамики управляемых системам с распределенными параметрами в классе конечношаговых динамических регуляризирующих вольтерровых алгоритмов. Отметим, что постановки и методы решения обратных задач динамики, как правило, имеют программный (статический или апостериорный) характер, когда алгоритмы решения обратных задач обрабатывают известную информацию целиком, без учета ее динамики во времени. При этом среди методов решения обратных задач широкое применение находят методы теории программного оптимального управления или методы решения экстремальных задач. Однако во многих инженерных и научных разработках возникает необходимость осуществлять восстановление

неизвестных характеристик интересующих нас явлений в динамике — синхронно с развитием этих явлений, или, как Иногда говорят, в реальном времени. При этом информация о данных для расчета может поступать только по ходу процесса и зависеть в настоящем от того, как проводилось восстановление интересующих нас характеристик в прошлом. С подобными задачами приходится сталкиваться в механике управляемого полета, при создании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации и многих других областях. Эти задачи можно трактовать как задачи о позиционном динамическом восстановлении неизвестных характеристик (или управлений) динамической .системы в темйе реального времени на основании поступающих в процессе движения данных о системе.

Поясним на содержательном уровне некоторые характерные моменты постановок задач о позиционном динамическом восстановлении неизвестных характеристик управляемых динамических систем. Искомые алгоритмы решения обратных задач динамики (с расчетом на возможность их практической реализации) должны строиться в классе позиционных конечношаговых алгоритмов, т.е. таких алгоритмов, которые учитывают поступающую текущую информацию о системе лишь в конечном числе узлов времени из заданного отрезка времени наблюдения, обрабатывая ее между узлами. Искомые алгоритмы должны быть динамическими, т.е. должны восстанавливать искомые характеристики в темпе реального времени, используя входную, информацию о системе по ходу процесса в соответствующие текущие узлы времени. Другим важным свойством алгоритма восстановления является его регуляризируемость, т.е. при малой погрешности в поступающих данных о системе и достаточно малом расстоянии между моментами поступления информации погрешность восстановления искомой характеристики должна быть малой. Вце одним важным свойством

г

алгоритма является его вольтерровость. Свойство вольтерровости алгоритма решения обратной задачи приобретает принципиальное значение, когда речь заходит об использовании решения обратной задачи в системах обратной связи, в системах автоматического регулирования, во всех ситуациях, в которых восстанавливаемые параметры тут же должны использоваться в'процессе.

Вопрос о построении позиционных динамических регуляризирующих вольтерровых алгоритмов решения обратных задач динамики для управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, был поставлен в докладе 1). В статье 2) приведены соответствующие алгоритмы восстановления минимального по норме управления в случае измерения полного вектора состояния конечномерной системы. Некоторые общие постановки задач и подходы к их решению рассматривались в 3). Найденный подход широко применялся при исследовании различных классов обратных задач динамики.

Те.постановки задач, о которых идет речь, а также методы решения 'задач с идейной точки зрения примыкают к теории позиционных дифференциальных игр, развитой Н.Н.Красовским и его школой. Подход к решению задач основан на сочетании методов теории позиционного управления и методов решения некорректных задач. Суть этого подхода состоит в следующем. Исходной динамической системе сопоставляется

1) Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннотации докладов V Всесоюзного съезда по теорет. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР, 1981, с.214.

2) Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании, управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн.киб-ка, 1983, N2,с.51-60.

3) Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР, 1983, т.269. N3, с.552-556.

специальным образом сконструированная управляемая динамическая система-модель. Управление этой системой-моделью осуществляется позиционным способом по принципу обратной связи в дискретной по времени схеме. По существу здесь идет речь о позиционном способе

управления моделью, известном в теории позиционного управления как

»

способ управления с поводырем 1). Оказывается, что для достаточно широкого круга задач саму систему-модель и закон управления ею можно выбрать так, что реализация стратегии управления будет в определенном смысле приближать искомые неизвестные характеристики в исходной системе, а сам алгоритм построения реализации стратегии будет удовлетворять условиям, о которых говорилось выше. Идея построения подходящего закона управления моделью заложена в известном способе экстремального сдвига 1), который локально регуляризируется одним из известных в теории ■ некорректных задач методом 2), 3) (например, методом сглаживающего функционала 2)). Рассматриваемые обратные задачи здесь фактически сводятся к прямым задачам теории позиционного управления системой-моделью, в которых требуется найти приемлемую стратегии управления.

Некоторые постановки обратных задач динамики и подходы к построению позиционных динамических методов их решения для систем с распределенными параметрами обсуждались в докладе Ю.С.Осипова "Управление и моделирование в многомерных системах" на общем собрании Отделения механики и процессов управления АН СССР в ноябре

1) Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

2) Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректны? задач.. М.: Наука, 1979.

3) Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных, некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

1984 года. Далее эти подходы развивались в работах самого Ю.С.Осипова, а также в работах В.И.Максимова, А.В.Кима и автора настоящей диссертации. В.И.Максимов и А.В.Ким занимались обратными задачами динамики для некоторых классов систем параболического типа. В данной работе рассматриваются задачи для классов систем параболического, гиперболического и эллиптического типов, причем основное внимание уделяется построению чисто позиционных динамических алгоритмов решения обратных задач, которые не используют информации о предыстории измерений движения динамической системы.

Цель работы. Цель работы состоит в исследовании корректности задач оптимального управления системами параболического, гиперболического и эллиптического типов при варьировании основных параметров этих систем (начальных и граничных данных, правой части уравнения и коэффициентов эллиптического оператора) в их естественных пространствах.

Следующей и основной целью является разработка и обоснование чисто позиционных конечношаговых динамических регуляризирумцих вольтерровых алгоритмов решения обратных задач динамики восстановления неизвестных параметров в системах с распределенными параметрами, списываемых различными классами параболических, гиперболических и эллиптических краевых задач.

Методы исследования. Методы исследования опираются на концепции и подходы теории позиционного управления и теории некорректных задач. Систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, приближенных методов решения уравнений, математической теории оптимальных процессов, теории расширения экстремальных задач, функционального анализа и линейной алгебры.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты дополняют существующую теорию оптимального управления системами с распределенными параметрами некоторыми новыми утверждениями о влиянии возмущений исходных данных и параметров систем на решение задачи оптимального управления, а также утверждениями о расширении экстремальных задач для систем эллиптического типа. Для широкого класса обратных задач динамики управляемых систем с распределенными параметрами построены конструктивные позиционные динамические алгоритмы решения. Среди полученных результатов отметим следующие.

1. Исследована корректность задач оптимального управления для достаточно широкого класса систем с распределенными параметрами, описываемых краевыми задачами параболического, гиперболического и эллиптического типов, при возмущении основных параметров систем (начальных и граничных данных, правой части уравнения и коэффициентов эллиптического оператора) в их естественных пространствах. Для некорректных задач указаны методы регуляризации и способы построения сильно сходящихся минимизирующих последовательностей.

2. Указан способ интегрального представления С-предельных эллиптических операторов по соответствующим мерам-управлениям и на его основе построено корректное расширение задачи оптимального управления коэффициентами эллиптического оператора при задании "слабой" топологии на коэффициентах.

3. Для классов систем о распределенными параметрами, описываемых линейными и нелинейными краевыми задачами параболического и гиперболического типов, построены конструктивные конечношаговые чисто позиционные динамические регуляризирующие вольтерровы алгоритмы восстановления неизвестных распределенных и граничных управлений, -а также коэффициентов эллиптического оператора в этих системах. Указаны оценки точности алгоритмов. Рассмотрены варианты

Ю

задач восстановления по результатам неполного измерения состояний систем (при точечных измерениях и измерениях конечного отрезка ряда Фурье).

4. Указаны способы конечномерной аппроксимации задач динамического восстановления, основанные на аппроксимации исходной динамической системы конечномерными динамическими системами методом Галеркина и методом' прямых. Приведены условия одношаговой регуляризации и оценки точности алгоритмов восстановления.

5. Построены динамические регуляризирующие алгоритмы восстановления местоположения и интенсивностей возмущений в системах параболического и гиперболического типов. Приведены некоторые условия восстановления местоположения источников в метрике Хаусдорфа.

6. Предложены динамические регуляризирующие алгоритмы восстановления управлений в системах, описываемых гиперболическими вариационными неравенствами.

7. При введении фиктивного времени разработаны динамические регуляризирующие алгоритмы восстановления значения эллиптического оператора по приближенно заданному аргументу и восстановления эллиптического оператора (или его коэффициентов) по его заданному значению.

Теоретическая и практическая значимость работы. Изложенные в диссертации методы и установленные результаты могут служить основой для дальнейших разработок в оптимальном управлении и обратных задачах динамики. Построенные алгоритмы решения обратных задач могут использоваться при решении конкретных, задач как в динамических, так и в апостериорных постановках. Возможно использование материалов диссертации в специальных курсах по оптимальному управлению и обратным задачам.

//

Апробация работы. Результаты диссертации докладывалиоь и обсуждались на IV и VII Всесоюзных конференциях "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск-1986, Рига-1989). Всесоюзной научно-технической конференции "Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами" (Одесса-1987). Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад-1990), Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование" (Ижевск-1990), VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск-1990), Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Волгоград-1990), Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Москва-1991), на семинарах академика Ю.С.Осипова в Институте математики и механики УрО АН России, на семинарах в Физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе АН России, Институте механики АН Украины, Московском государственном университете, Киевском госуниверситете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ 1 - 20 ]. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 209 наименований. Общий объем работы составляет 331 страницу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается общая характеристика рассматриваемого в диссертации круга вопросов, определяется цель работы, даются историко-библиографические справки, приводятся ссылки на основные работы и дается краткий обзор основных направлений, к которым примыкает

диссертация, сообщаются сведения о публикациях и апробации работы-. Кратко характеризуется основное содержание работы, описываются подходы к решению задач.

Первая глава состоит из 7 параграфов. Она посвящена прямым и обратным задачам динамики для систем параболического типа. В §1.1 описывается основной класс линейных параболических систем, для которых будут рассматриваться задачи. Приводятся определения обобщенных слабых решений этих систем, формулируются соответствующие теоремы существования и единственности решений, изучается характер зависимости решений от основных параметров систем. Предварительно изучается зависимость решений спектральной задачи для эллиптического оператора от коэффициентов этого оператора.

Пусть параболическая система описывается краевой задачей эу/э t= Ay + i в Q = 5 х Q

(Jj-3y/3N +а2-у = g-v на £ = T x Г • (1)

y(t0)=y0 вО,

где А - линейный коэрцитивный самосопряженный эллиптический оператор второго порядка

п

Ау = £ э(а. .-эу/ах. )/Эх, - а-у, а, (=а... i.j.i

Под решением краевой задачи (1) понимается обобщенное слабое • решение 1), 2). При соответствующих предположениях на область ßcRn (n ^ 1) и параметры краевой задачи формулируется теорема существования единственного решения из пространства L2(Q) л C(T;L2(Q)) и доказываются следующие утверждения.

1) Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука,1967.

2) Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

ТЕОРЕМА 1.1.1. Пусть crjk>- 0. а'к)- '1, Уок>-» У0 в 13(Q),

(к)_, v<0>

i'—' f'0' слабо в L2(Q), gtk>—' gi0> слабо в Ь2(Г), v *-слабо в L (Т), а!к)-* а."?' слабо в W^(fl) при г>п для =

СО 1 J » J ~

1,...,п, а<к)—' а(0> »-слабо в L (Q). Тогда для соответствующих

ю

решений ytk) краевой задачи (1) имеет место сходимость у'" -» у 0) в C(T;La(0)).

ТЕОРНИА 1.1.4. Пусть а{к)- 1, у0 В ba(Q), itk)— fi0)

слабо в L2(Q). g<k)— gt0) слабо в Ьа(Г), v£k)— vi0) слабо в L2(T), ol2k)~* a20> в R, aj°> в' LJfl) для ij = 1,...,n,

a(k>—» a(0) »-слабо в L (fi), Тогда для соответствующих решений

ОО

yU) краевой задачи (1) имеет место сходимость у(1°-» у(0) в C(T;L2(Q)).

В теоремах 1.1.2, 1.1.3, 1.1.5 доказываются аналогичные утверждения об условиях сходимости решений краевой задачи (1) в пространствах C(T;W'(ß)), W°;'(Q), Wa;J(Q), L2(T;W2<n)), L2(T;W2j0(fi)), W*;*(Q). O^iPibj.tO)). ' C(T;W2i0(ß)), wjj'^Q), 0((P:W2(fi)), W2(Q). Определения функциональных пространств можно найти в 1), 2) (см. ссылки на стр. 12) . Доказательства теорем ' опираются на интегральное тождество, определяющее решение, и на представление решения в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора А.

В §1.2 рассматривается задача оптимального управления

J( y(u,h) ) -» min : u е U, (2)

состоящая в минимизации выбором управления u = (w ,w ) € и значения J(y(u,h)) функционала качества J, определенного на движениях у = y(u,h) управляемой параболической системы

ay/at= Ау + f + b-Wj в Q

0,-ey/aN + с2-у = g-v + c-w2 на £ (3)

y(t0)= У0 в П.

Здесь будет важна зависимость решения у = y(u,h) краевой задачи (3) не только от управления и, но и от параметра h,

h = (a11,...,ann,a,ifg,v,y0) е Н. Пусть для определенности функционал J непрерывен на С(Т:Ь2(П)), U = UjX^, Ut— слабо компактное множество из b2(Q).

О В

и, — ограниченное множество из L (Т) и слабо компактное в Ь'Г(Т) при

о № в

О

0t= 0 или слабо компактное в L^(T) при Cj* О, Н = Ht при at= 0 и Н = Н2 при (Jj* 0, где Hj— некоторое подмножество функционального пространства

(W'(n))nxn х L (Q) х L (Q) х L (Г) х Ь (Т) х L.(Q),

Г 00 « « 05 в

Н2 — некоторое подмножество функционального пространства

(L (П))пхп х ь (Я) х L (Q) х L (Г) х L.(T) * b_(Q),

05 00 « « « в

для элементов этих подмножеств по первым пхп компонентам равномерно выполняется известное неравенство коерцитивности, а по следующей компоненте равномерно выполняется неравенство а г aQ = const > 0. Вектор-функции b е LP(Q) и о € Ь^(Г) заданы и фиксированы. Скажем,

СО 2

что последовательность { h(1<)} с Н сходится в Н к элементу h € Н при к-* со (и обозначим h( h), если компоненты вектор-функции

/ ь )

h сходятся к соответствующим компонентам .вектор-функции h как указано в, теореме 1.1.1 при at= 0 и теореме 1.1.4 при а^. 0. Функцию S(h) = inf { J(y(u,h)) : u € U } назовем функцией Беллмана (она определена в каждой точке h е Н). Скажем, что управление и является (h,e) - оптимальным (h е Н, £ а 0), если J(y(u,h)) s S(h) + г. Множество всех (h,e) - оптимальных управлений обозначим символом U(h,£).

Пропуская некоторые результаты о свойствах управляемой системы (3) и задачи (2), сформулируем утверждения • о корректности задачи (2) по отношению к возмущению параметра h.

Скажем, что задача (2) корректна по функционалу в точке h е Н, если каковы бы ни были последовательности {h'"'} с Н, {ек} с [0,ю),

11'"^-»-1г в Н, Е£*» 0, каждая последовательность (и^}, икс и(1г(1,),Е ), обладает свойством <1(у(ик,111к>)—>Б()1). Задача (2) обладает свойством £-оптимальности в точке Ь € Н, если каковы бы ни были последовательности Ш'"'} с Н. {ек> с [0,«), 11 в Н, ек-» О,

кавдая последовательность {ик}, и^е Щ>гс к',ек), удовлетворяет условию «Ку^.Ы) —> Б(11). Задача (2) является слабо корректной по управлению в точке е Н, если каковы бы ни были последовательности О1"0} с Н, {ек) с [О,»), й'"1-* Ь в Н, ~> 0, каждая последовательность {ий}, ик€ (КИ.'10 • £ц) > сходится к множеству

Б Л

и(11,0) слабо в В = Ьд(0) х Ь2(Т). Если последовательность {ик} сходится к множеству и(1г,0) сильно в В, то задача называется сильно корректной по управлению в точке .11 € Н.

Оказывается, что задача (2) корректна по функционалу, обладает свойством е-оптимальности и слабо корректна по управлению в каждой точке 1г € Н. Свойства сильной корректности по управлению у задачи (2), вообще говоря, может и не быть (на это указывают примеры 1.2.1 и 1.2.2).

Поскольку задача (2) может не обладать свойством сильной корректности по управлению, то возникает естественный вопрос о возможности построения управлений по приближенным данным, которые были бы близки в метрике пространства В ко множеству и(1г,0) оптимальных управлений исходной задачи с точными данными. Для решения этого вопроса можно воспользоваться методами регуляризации экстремальных задач (см. ссылки 2), 3) на стр. 7, а также *)). В работе регуляризация реализуется методом сглаживающего функционала.

В конце параграфа в замечаниях указываются некоторые обобщения рассматриваемых проблем.

*) Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

В §1.3 рассматривается задача о построении конечношагового позиционного динамического регуляризирующего вольтеррового алгоритма восстановления граничных V и распределенных и управлений в параболической системе

ду/э%- Ау + 1 + ь-и в О

О -ду/ЭИ + 02-у = g•w + о-у на £ ■ (4)

У(^)=У0 в П. .

Управления и и V стеснены ограничениями и е и и V е V, где и(У) — множество всех измеримых отображений Т —> 1>2(Я) (Т И'), которые при почти всех t & Г принимают значения из выпуклого ограни

п о

ченного замкнутого множества Рцс Ь2(Я) (Рус К). Множества Рц и составляют мгновенные ограничения на реализации управлений. При соответствующих предположениях на параметры системы (4), которые здесь опускаются для наглядности изложения основного материала, для любых и'е и и V е V существует единственное движение у = у(и,у), являющееся элементом пространства С(Т;Ь2(0)).

Пусть У = { у(и,у) : и е и, V е V } — множество всех возможных движений системы (4), У э у,— наблюдаемое (реальное) движение системы на отрезке времени Т, №(у„) = { (и,у) « и*У : у(и,у) = у,} - множество всех пар управлений (и,у) е и*У, которые порождают наблюдаемое движение у, (это множество непусто, вообще говоря, не одноэлементно выпукло и слабо компактно в 12(0) к Ьа(Т)). В каждый момент времени I « I возможно измерение текущего состояния у,(1) системы, и результат измерения £(1;) « Ъ2(0) связан с у„( Ь) соотношением

Задача состоит в построении алгоритма, который для любого возможного наблюдаемого движения у, € У по ходу процесса (в режиме реального времени ) по любым допустимым измерениям текущих фазовых

положений системы приближенно восстанавливает (в среднеквадратичном) одну из нар (u,v) е W(y„). Если множество W(y,) одноэлементно, то приближенно будет восстанавливаться та единственная пара управлений, которая порождает движение .у,. Восстанавливающий алгоритм должен обладать теми свойствами, о которых говорилось выше.

Решение задачи восстановления будем искать в классе конечношаговых динамических алгоритмов (КДА). Под КДА здесь понимается тройкь

D=( (т.);=0; (Е.О (Р,)"^ ), (6)

где m - натуральное число, (г, )™_0—разбиение отрезка Т точками г(, tQ = iQ < 11 < ... < тт = д, Е4— отображение 12(П)*Н в U[t,,т1+1)х xVttj ,т1_>1), Рi — отображение L2(Q)*H в H, H — некоторое гильбертово пространство (оно будет фазовым пространством вспомогательной управляемой системы-модели), ^[т^т;^) CVÏT.,TiM))" сужение U(V) на [t,,xui).

Для КДА (5) и функции Ç : Т —>- Ь (П) назовем (D,Ç) — реализацией пару управлений (u,v) е UxV, определенную по правилу u(t)=u,(t), v(t) = v.(t), t е [t.,T,+1), i = 0,...,m-1, где (Uj.v,) = E, (Çi-Ej ).Zj ), + (€(*ï} ).z, ), z0=Ç(tQ). Далее (Б,5)-реализацию будем обозначать символом D(Ç), она и будет выходом КДА.

Работа КДА (формирование D(ç)) протекает но времени по следующей схеме. До момента времени t выбирается и ' фиксируется разбиение (т j)0 отрезка. Т, каждая его точка tj будет началом очередного шага (такта) вычислений. В момент t = т. (i = 0,...,m-1) поступает информация (результат измерения состояния у»(т.)), на

основании этой информации и значения Zj вспомогательной переменной определяются управления u, е и[г.,т1 + 1) и v( е- V[t(,tu<) по правилу Е. и новое значение zUl вспомогательной переменной по

правилу Р(. К конечному моменту времени Ь = д будет сформирована (В,£)-реализация, которая и принимается за приближение к элементам множества

По своему построению КДА (6) является чисто позиционным и обладает свойством вольтерровости (если (г) - 52(т) при 11 т £ X, ТО и, (Т)= и2(1) при г0£ Т 5 ГД9 и,(-)= 0(^(0), и.,(-) =

1Н52(-)), I € Т), Обозначим через 3 (у,> множество всех функций £ ' Т -» Ь2(П), удовлетворяющих (5). СемейстЕО КДА №ь),,>0 назовем регуляризирующим в точке у,, если

вир { (1ь ( \iV.4Hy,) ) : 5 « Зл(ук) }->• 0 при И -» 0.

Семейство КДА (Вп)„>0 назовем нормально регуляризирующим в точке у,, если

аир { ^ ) : 5 € 2п(у.) }-»• 0 при Ь. О,

где и(у— элемент множества минимальной I - нормы (такой

элемент существует и единственный), (1 — расстояние в пространстве

12 = Ь2(Т;Ь^(Й)') « Ъ^Т-.К1).

Определим конкретное семейство алгоритмов условиями:

= С ^и-о' >■ <7>

при любых К > 0, 1 б ! 0,...,11[1-1 }, 5 6 Ь2(П), г е Н пара Е^.г) = = (и\У|)— точка минимума квадратичного функционала

= 2-< 2 - С?, | (З(з)и(з) + С(,9)у(Б))йз >ч +

т?

на множестве Щх^.т1^,) « VГт",х^^ 1) (такая точка существует и единственна),

Fj(bz) = z + + J (B(s)Ui(s) + C(s)v*(s))ds

tl

<z' *' .2 >H = E ßi:n) -n] . о < 0,-A.j < 1, к e {1.....4}, a € IN.

4 n

. h h „ _ „ . I

Z

1*1 1 - «I

s

где a = «(-.)— параметр регуляризации, A = diag (-Xj,-X2,— ),

B(s)u = (<b(t,-)u ^ fit, ),a,>, <bf t, • )u + i (t, •) ,u2>,..'.), C(s)v = (<cv + gw, П(и1)>Т1, <cv + gw, П(и2)>г,...),

a? = (<f,u1>, <§,о>а>,...),

iX., w : j e IN } — решл.ше в W*(ß) спектральной задачи для j j ^

оператора А, П(и.) = -а"1 -эс^/Ш при 0, П(и^) = а~ -w^ при 0^0, Н—гильбертово пространство числовых последовательностей z=(VV...) со скалярным произведением

, i 1 ) „ f 2 >.. _ £ n ~ < J > „ < 2 > с, / о 1Ь j = l

Отображение Е^ представляет собой регуляризированное правило экстремального сдвига из теории позиционного управления , отображение Р^ представляет собой правило перехода из одного состояния в другое вспомогательной системы-модели

z(t) = G?(T;.)Л + B(t)u(t) + C(t)v(t),

z(t0)= G|(t0), ij sts <rui, i = 0.....m-1.

Один из основных результатов этого параграфа состоит в доказательстве того факта, что семейство КДА (7) является искомым нормально регуляризирующим во всех точках множества Y семейством вольтерровых алгоритмов (теорема 1.3.1).

При соответствующих предположениях выводится оценка точности семейства алгоритмов (7), имеющая вид

sup d ( Dh(5),w(y,) ) s 7-(5(h) + e(h)/a(h))1уг, Sh(yJ 2

где £(h) = 7j ■ (•/"¿ThT+ h), 5(h) = 72-U(h) + «(h) + h2 + A(h))1/2, A(h) = max { + tj : i = 0,...,m -1 } — диаметр разбиения (ti),_0, 7, 7j, 72 — некоторые положительные константы,

го

определяемые по априори известным параметрам системы.

В замечаниях 1.3.1 - 1.3.10 рассматриваются различные модификации и обобщения. В частности, обсуждаются варианты "слабых" измерений фазового сортояния системы, варианты приближенной реализации правила экстремального сдвига и движения вспомогательной системы-модели, указывается на возможность восстановления управлений по результатам неполного измерения фазового состояния системы (точечные измерения и измерения конечного отрезка ряда Фурье), приводятся условия равномерной регуляризируемости алгоритмов восстановления.

В конце параграфа рассматриваются модельные примеры, результаты расчетов'отображены в таблицах.

В §1.4 проводится аппроксимация задач из предыдущего параграфа, основанная на конечномерной аппроксимации исходной динамической системы динамическими системами, построенными по методам Фурье, Галеркина и методу прямых (теоремы 1.4.1 - 1.4.6). Указываются условия одношаговой регуляризации построенных ' конечномерных алгоритмов и даются оценки точности этих алгоритмов.

В §1.5 рассматривается задача о восстановлении местоположения и мощности действующих на систему источников возмущений. Здесь речь идет об обратной задаче, состоящей в определении множеств СС'О с Д, 1; € Т, и функции 1 = ш.х), г е Т, х € 0(1;), по результатам приближенного измерения состояний у(1;,') динамической системы, которая описывается краевой задачей

эу/зг= АШу + Г(их)-х0(1;)(х) в 0 '

а1 -эу/эы + о2 -у = 0 на Е

У(г0)=у0 в п. .

Для решения этой задачи строятся соответствующие конечношаговые позиционные динамические регуляризирующие алгоритмы (теорема 1.5.1, замечание 1.5.1), указываются оценки их точности (теорема 1.5.2). В

замечаниях 1.5.2 и 1.5.3 указывается на возможность восстановления местоположения источников в метрике Хаусдорфа и восстановления граничных источников. В примере 1.5.1 демонстрируется восстановление местоположения источников различной конфигурации в. плоской области.

В §1.6 рассматриваются некоторые варианты динамического восстановления управлений в нелинейных параболических системах с нелинейным вхождением управлений в систему

rj

sy/at = £ за,(t,x,y,y )/эх,- a(t,x,y,y ) + î(t,x.y,u) в Q j*l ni *

tfj.-ay/aN + a2-y = g на z

yU0)= У0 в fi. .

В §1.7 строятся динамические алгоритмы восстановления эллиптического оператора в параболической системе

y(t) = A[u(t)]y(t) + i(t), t « T. y(t0) = y0.

В конкретных ситуациях эту задачу можно рассматривать как задачу динамического восстановления коэффициентов эллиптического оператора. В замечаниях указываются некоторые свойства построенных алгоритмов. В частности, указываются оценка точности и условия равномерной регуляризируемости алгоритмов восстановления.

Вторая глава состоит из 6 параграфов. ■ Она посвящена прямым и обратным задачам динамики для систем гиперболического типа. По своей структуре эта глава аналогична первой главе.

В §2.1 описывается основной класс линейных гиперболических систем, для которых будут рассматриваться прямые и обратные задачи. Приводятся определения обобщенных слабых решений из L2(Q) этих систем

,32y/3t2= Ay + î в Q

<7,-ay/dN +a2-y = g-v _ на £ y(t0)=y0, y(t0) = y5 в Q, .

формулируются соответствующие теоремы существования и

единственности решения, исследуется гладкость этих решений.

Указываются условия на сходимость параметров у0, уг , g, v, Г и

коэффициентов оператора А, обеспечивающие сходимость решений в

о о

пространствах C(T:W20(ß)), C(T;W*(fl)), C(T;12(Q)), C(T;W2(0)*),

С1 (T;W2(Q)), С1 (T;L2(Q)), c'iT; W2(ß)*), С1 (T:V»2 _ 0(П)"), (для

правой краевой задачи) и С(Т;Т?2(Ш), C(T;L2(fl)), C(T;W*([J)*),

О1 (T:I,2(ß)), С1 (T;W2(n)*) (для второй и третьей краевых задач).

В 52.2 рассматривается задача оптимального управления

J( y(u,h) )-*■ min : u = (wltw2) .e U = U,x U2,

32y/ät2- Ay + Г + b-w в Q 1

I

0i-3y/3N r(J2-y = g-v + c-w2 на Z }

y(t0)= y0, y(t0) = У, в Ü. J

Изучается корректность этой задачи по функционалу и управлению ■ по отношению к возмущению параметра системы

h = (a11,....arin,a,i.g.v,y0,y1). При соответствующих естественных предположениях показывается, что задача корректна по функционалу и слабо корректна по управлению, но может не обладать свойством сильной корректности по управлению (приводятся соответствующие примеры). Для некорректных задач указываются способы регуляризации, основанные ка методе сглаживающего функционала. В замечаниях обсуждаются н%которые возможные обобщения рассматриваемой задачи.

В §2.3 строятся нонечношаговке позиционные динамические регуляризирующие вольтерровы алгоритмы восстановления граничных v и распределенных и управлений в гиперболической системе з2y/at2= Ау ~ b-u + Г ь Q 1

ff -Эу/SN +J2-y = g-w + c-v на Z у

y(t0)-y„, y(tu)=y.

... I

J. 3

Исходной информацией для восстановления управлений служат результаты приближенного измерения скорости у(1;) системы. Указываются оценки точности построенных алгоритмов. В замечаниях 2.3.1-2.3.12 рассматриваются различные обобщения и модификации. В частности, обсуждаются варианты "слабых" измерений скорости системы, варианты приближенной реализации правила экстремального сдвига и движения вспомогательной системы-модели, приводятся результаты о восстановлении управлений по результатам неполного измерения скорости системы или ее фазового состояния, указываются условия равномерной регуляризируемости алгоритмов, решается задача о восстановлении источников возмущений в области и на границе, рассматривается вопрос о восстановлении управлений в некоторых классах нелинейных гиперболических систем с нелинейным вхождением управлений

э2у/аг2= Ау + г(г,х,у,у1,ух,и) в о о1 -а у/дЫ +о2-у = 0 на £

у(1;0)=у0, уи0) = у1 в й. .

В §2.4 проводятся конечномерные аппроксимации задач из предыдущего параграфа, основанные на приближении исходной системы методом Галеркина и методом прямых. Указываются условия одношаговой регуляризации конечномерных алгоритмов и даются оценки точности.

В §2.5 решается вопрос о восстановлении эллиптического оператора в гиперболической системе

у'ш = А[и(г)]у(г) + ГШ, г € т, У(г0) = У0, уи0)=у,. Строятся конечношаговые динамические регуляризирующие алгоритмы восстановления оператора А (или соответствующих ему коэффициентов или управлений) по результатам приближенных измерений текущих фазовых положений и скоростей системы.

В 52.6 при соответствующих предположениях на параметры гиперболического вариационного неравенства 1), 2)

< y'(t), y(t) - W >н + а( y(t), у(t) - w ) + p(y(t)) - <p(w) £

s < Bu(t) + I(t), y(t) - w > V w e V,

H

y(t0) = y0, y(t0) = y,, строятся конечношаговые динамические регуляризирующие алгоритмы восстановления неизвестного управления и(-).

Третья глава состоит из 5 параграфов. Она посвящена прямым и обратным задачам для систем эллиптического типа.

В §3.1 вводятся исходные понятия, относящиеся к эллиптическим системам

Ay = i в й, a1-ay/aN + <т2-у = g на Г, (8)

изучается зависимость обобщенного слабого решения этой системы от ее параметров f,g и коэффициентов оператора А. Исследуется гладкость решения и указываются условия, обеспечивающие сходимость решений в пространствах I.2(fi), W2(fi), w|(П) при соответствующей сходимости параметров системы.

Теорема 3.1.1. Пусть 0, <72к) = 1, afj1 -- а^' слабо в

W^.СП) для ij = 1.....n, а(к>—* а(0) * - слабо в Ь (0). Тогда

1) у^к)—> У;о) в Ь2(Я) тогда и только тогда, когда f<k>—» гсо) в W=i0(fl)*;

2) y2k) —» УдС> в L (0) тогда и только тогда, когда GCk)—>GC0) В W* (Q)*.

1) Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука,

1980.

2) Brezis H. Problèmes unilatéraux // J.Math.Pures et Appl., 1972,

v.51, W 1, p.1-168.

2,5

Здесь С!1<)- элемент №2 0(С)*, определенный равенством С<1<)(0) = 1 .йр/ая"1 '> , У^1*1— решение (8) с однородными краевыми

С к ) ( к ) (к )

условиями, у2 —решение (8) с нулевой правой частью, у = Уг + у'1" — решение (8) при соответствующий номеру к значениях параметров системы.

3 теореме 3.1.2 приводится критерий слабой в Ь2(0) сходимости решений.

Теорема 3-1.3. Пусть выполняются условия теоремы 3.1.1. Тогда

1) у|к)—> у!01 в \№2Ш) (слабо в Ш2(П)) тогда и только тогда, когда Г(1° Г<0) в У/2(0)* (слабо в №2(£2)*);

2) Уд"1—1 Уд01 в У?2(0) (слабо в К2(й)) тогда и только тогда,

(к) (О) ,,,1/2..-,, , „ ...1/2,^,4.

когда g —> ё в И, (,1\ (слаоо в (Г);.

Теорема 3.1-4. Пусть выполняются условия теоремы 3.1.1. Тогда

ч2 ( 2,0

1) у[к>—» У,01 слабо в У/2 (3) тогда и только тогда, когда

гг(0) слаб0 Б .

2) У2'°-' Уд01 слабо в тогда и только тогда, когда

£ — Ё слабо в Л2 ■(Г).

Теорема 3.1.5. Пусть о,(к1= о, а'"^ 1, а^.' а'"1 е у£(П)

1 1 J -Л I

л л ( к ) ( О ) ~ / \ т

для 1,5 = 1,...,п, а —> а в ь (Я). Тогда

со

1) У,10—^> У,01 в 0(П) тогда и только тогда, когда :Г<1<)—» Г<0> в 12(П);

2) У2к>—> У20)в И2(0) тогда и только тогда, когда gík)--> £(0> в

, „ , ! V. ) . . ( и ) . ( 0 ) ( к ) (0 )

Теорема 3. 1.ь. Пусть = 02 - ¡'^ , а . —» а в

Ь (П) для 1,;' = 1,...,п, а(к)— а<0) »-слабо в Ь (0). Тогда

со , о

1) У^"1—> У;о) сильно (слабо) в М2(Я) тогда и только тогда, когда Гы> сильно (слабо) в и!,(Й)*;

2) у2 —*► УР сильно (слабо) в тогда и только тогда,

(к) (О) , . . „, 1 ✓ 2 , _ *

когда £ ь сильно (слабо) в Я. |Г) .

ге

В замечании 3.1.2 рассматриваются некоторые приложения полученных результатов к проблеме управляемости в эллиптических системах.

В §3.2 изучается корректность задач оптимального управления по функционалу и управлению при возмущении параметров системы i, g и коэффициентов оператора А. Указываются условия, при которых корректность имеет место и не имеет места. В частности, показано, что .корректности по управлению может и не быть при "слабом" возмущении коэффициентов системы. Описывается способ регуляризации некорректных задач.

В §3.3 описывается расширение задачи оптимального управления эллиптической системой, когда в качестве управляющих воздействий принимаются коэффициенты эллиптического оператора со "слабой" топологией на них. Расширение основано на привлечении соответствующих классов обобщенных управлений-мер и используется далее для исследования вопросов разрешимости задач оптимального управления и их корректности (теоремы 3.3.2 - 3.3.5). Предварительно указывается способ интегрального представления G-предельных операторов по обобщенным управлениям-мерам (теорема 3-3.1). Это интегральное представление в свою очередь может служить хорошим инструментом для качественного исследования G-замыканий множеств эллиптических операторов.

Охарактеризуем кратко суть проблемы. Пусть относительно у € V задано операторное уравнение

A(u)y = f, (9)

в котором f — фиксированный элемент V*(V*— пространство, сопряженное к вещественному рефлексивному банахову пространству V), А(и) - некоторый оператор, зависящий от параметра ir е U. Во многих задачах усреднения дифференциальных операторов (см., например, Боголюбов H.H., Митропольский ¡O.A. Асимптотические методы в теории

нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974; Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984; Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A., Ха Тын Нгоэн. Усреднение и С-сходимость дифференциальных операторов // Успехи мат. наук, 1979, т.34, ы5, с.65-133), задачах оптимального управления системами с сосредоточенными и распределенными параметрами (см., например, Лионе Ж.Л. Оптимальное управление система?.®, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972; Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986; Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.:Мир,1977; Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1977; Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.:Наука, 1937; Лурье К.А., Черкэев A.B. Эффективные характеристики композитных материалов и оптимальное проектирование элементов конструкций // Успехи механики, 1986, т.9, м2, с.3-81; Райтум У.Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Рига: Зинатне, 1989), требуется описать все предельные точки множества решений уравнения (9)

У = { У = У(и) : и й U } и описать тс- операторные уравнения, которым удовлетворяют эти предельные точки. Другим;! словами, по терминолоши, принятой в теории усреднения дифференциальных операторов, требуется описать усредненные решения и усредненные операторы; по терминологии, используемой в теории управления, — все скользящие режимы и соответствующие уравнения, которым эти режимы удовлетворяют. Во многих случаях предельные точки описываются С-предельными операторами исходного семейства операторов

А(U) = { A(u) : U е U }.

га

Внутреннее описание С-замыкания множества А(Т1) представляет собой довольно трудную задачу (см. указанные ссылки). В диссертации описывается способ интегрального представления С-предельных операторов к А(и) в виде агрегатов

( [ (А(и))-1Ц(<1и) Г1 , В которых интегрирование ведется по подходящим мерам (I на и (интеграл от операторнозначной функции А{-)~1: и —» Ь(У*;У) понимается в слабом смысле). А именно, имеет место следующая теорема (при соответствующих необременительных предположениях на операторнозначную функцию А(•)).

Теорема 3.3.1. Для каждого оператора А з> с1( А(и), Тс) существует мера М е ТЕ(£) такая, что А = ( _Г(А(и))Д(с1и) )-1. Более того

С1( А(И), Тс) = ( { Х(А(и))_1й(йи) ) I М е ТЕ(2) } П )_!•

Здесь Р — множество всех обратимых операторов из Ь(У;У*); если М с Р, то М означает множество { А"1: А е М }; Тс—й-топология на Р, ТЕ( Л2) — подмножество Е(2), состоящее из всех неотрицательных нормированных конечно-аддитивных мер на а-алгебре а всех подмножеств множества и, принимающих -значения 0 или 1; Е(й) — множество всех конечно-аддитивных мер на % ограниченной вариации.

Указываются ситуации, в которых операторы вида /(А(и))"1й(йи) обратимы и имеет место более простая формула

С1( А(и), т0) = { ( /(А(и))"1М(<1и))"1 : И е ТЕС«) Ь Показано также, что даже в простейших ситуациях С - замыкание не может быть представлено прямым интегрированием I А(и)1>(с1и) по мерам 1> из некоторых стандартных классов счетно-аддитивных и конечно-аддитивных мер.

Используя факт изоморфности Е(£) и пространства линейных непрерывных функционалов над В(и) (В(и) — банахово пространство

гз

всех вещественнозначных ограниченных функций на U с sup-нормой, соответствующий изоморфизм осуществляется операцией интегрирования по мерам), само Е(£) можно наделить соответствующей »-слабой топологией г,. Множество TE(JЧ) есть компакт в ( ЕШ.г»), в этот компакт естественным образом вкладывается множество U (если каждой точке u € U поставить в соответствие меру Дирана 8и), замыкание множества { 6ц: u е U } в топологическом пространстве ( ЕШ.т») совпадает с ТЕ(£). Распространим операторнозначную функцию А(-) на множество U»= TE(J2) по формуле

А(Ю = ( ЛЛЫГ^сШ))"1 , И е U». Очевидно, для И = u е U, имеем

А(6ц) = ( /(A(u))-1iu(du))_1 = ( (A(u))"1)"1 = A(u).

Далее показывается, что задача оптимального управления

J(y(fO) -> min : И е U,, А(М)у = Г, (10)

во многих отношениях оказывается более регулярной, чем задача

J(y(u)) -> min : u e U, A(u)y = f. (11)

В частности, если задача. (10) может оказаться некорректной по управлению при возмущении Г и функционала J, то задача (11) оказывается корректной и по функционалу и по управлению. Приводятся также некоторые достаточные условия на структуру множества оптимальных управлений в задаче (11), при которых задача (10) заведомо будет корректной по управлению.

Некоторые из полученных в этом параграфе результатов распространяются на нелинейные операторы.

В §3.4 рассматривается классическая обратная задача, состоящая в вычислении значения эллиптического оператора по приближенно заданному аргументу. Для решения этой задачи вводится фиктивное время и применяется метод динамической регуляризации, который использовался в предыдущих главах для решения обратных задач

динамики.

В §3.5 рассматривается обратная задача о восстановлении эллиптического оператора (или его коэффициентов) по его заданному значению и приближенно заданному аргументу. Для решения этой задачи также вводится фиктивное время и применяется метод динамической регуляризации. В замечаниях приводятся различные обобщения и модификации. В примере 3.5.1 приводятся результаты расчетов по восстановлению коэффициентов эллиптического оператора в равномерной метрике.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Короткий А.И. Об управлении распределённой системой с возмущённым оператором //В кн.: Управление и оценивание в динамических системах. Свердловск: УВД АН СССР. 1982. С.17-24.

2. Короткий А.И. О коэффициентной устойчивости обобщённых решений

параболических систем и корректность задач оптимального управления // Деп. в ВИНИТИ 15.03.85, №1904-85, 25с.

3. Короткий А.И. О корректности задач оптимального управления

параболическими и гиперболическими системами // В кн.: Задачи позиционного моделирования. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1986. С.19-40.

4. Короткий А.И. О коэффициентной устойчивости решений эллиптических уравнений и корректность задач оптимального управления // Тез. докл. VI Всесоюз. конф. "Качественная теория диф. уравнений". Иркутск. 1986. С.97-98.

5. Короткий А.И. Коэффициентная устойчивость решений гиперболи-

ческих систем и корректность задач оптимального управления // В кн.: Некоторые методы позиционного и программного управления.. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1987. С.22-33.

6. Короткий А.И. Зависимость решений эллиптических уравнений от

коэффициентов и приложение к корректности задач оптимального управления // В кн.: Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений и управляемых систем. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1988. С.20-33.

7. Короткий А.И. К расширению экстремальных задач, связанных с

управляемыми эллиптическими системами // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. №9. С.1518-1522.

8. Короткий А.И. Интегральное представление С-предельных операторов и расширение экстремальных задач, связанных с вариационными неравенствами // Тез. докл.. VII Всесоюз. конф. "Качественная теория дифференциальных уравнений". Рига, 1989. с.131.

9. Короткий А.И. К интегральному представлению С-предельных операторов // Докл. АН СССР. 1990. Т.310. Кб. С. 1296-1299.

10. Короткий А.И. Задача об оптимальном распределении нагрузки //В кн.: Задачи оптимизации и устойчивости в управляемых системах. Свердловск: УрО АН СССР. 1990. С.47-53.

11. Короткий А.И. Восстановление некоторых характеристик возмущений по неполной информации о состояниях в параболических и гиперболических системах // Тез. докл. VII Всесоюз. конф. "Управление в механических системах". Свердловск, 1990. С.59-60.

12. Короткий А.И. О динамическом восстановлении коэффициентов в гиперболических системах // Тез. докл. Всесоюз. конф. "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" Ашхабад. 1990. С.175-176.

13. Короткий А.И. К восстановлению возмущений в квазилинейных параболических системах // В кн.: Устойчивость и . нелинейные колебания. Свердловск: Изд-во УрГУ. 1991. С.41-49.

зг

14. Короткий А.И., Цепелев И.А. Динамическое моделирование параметров в системе Гурса-Дарбу // В кн.: Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР. 1991. С.90-109.

15. Ким A.B., Короткий А.И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв.АН СССР. Технич. кибернетика. 1989. №6. С.78-84.

16. Ким A.B., Короткий А.И. О конечномерной аппроксимации обратных задач динамики // В кн.: Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР. 1991. С.64-89.

17. Km: A.B., Короткий А.И., Осипов ¡O.C. Обратные задачи динамики параболических систем // Прикл. матем. и мех. 1990. Т.54. К5. С.754-759.

18. Осипов Ю.С., Короткий А.И. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1991. №2. С.154-164.

19. Осипов Ю.С., Короткий А.И. О динамическом восстановлении параметров в эллиптических системах // Тез. докл. Мекдунар. конф. "Некорректно поставленные задачи в естественных науках'1 Москва. 1991. С.211.

Ю. Григорьев С.Л., Ким A.B., Короткий А.И., Цепелев И.А. О динамическом моделировании параметров некоторых тепловых процессов // Математическое моделирование. 1991. Т.З. К8. с.72-81.

Подписано в печать 1У.П.92. Формат 60 х 84/16- Бум. тип. № 2. СФАБИ. 620147 Екатеринбург, проезд Решетникова, 22