Некоторые задачи реконструкции и управления многомерными дифференциальными уравнениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Основные обозначения

ГЛАВА I. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ФУНКЦИИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

1. Функция быстродействия конечномерной системы

2. Непрерывность времени быстродействия конечномерной системы

3. Вычисление производных функции быстродействия конечномерной системы

4. Условия постоянства знака производной функции быстродействия

5. Функция быстродействия распределенной системы

ГЛАВА II. ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ПРАВОЙ ЧАСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

1. Постановка задачи и метод решения

2. Метод сглаживающего функционала для уравнения с памятью

3. Реконструкция неограниченных управлений

4. Динамический метод невязки для уравнения с памятью.

5. Нижние оценки точности операторов реконструкции

6. Результаты компьютерного моделирования

В диссертации рассматриваются задачи оптимального быстродействия для конечномерной и бесконечномерной систем, а также задачи динамической рекострукции управления в распределенных системах.

В теории оптимального управления особая роль принадлежит задаче быстродействия, которая заключается в нахождении оптимального управления, переводящего систему из начального положения на целевое множество за минимальное время. Задачу оптимального быстродействия изз^чали многие авторы, в т.ч. H.H. Красовский [27], Л.С. Понтрягин, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф Мищенко [54], В.Г. Болтянский [10], М. Атанс, П. Фалб [4], Э.Б. Ли, Л. Маркус [37], Ф.Л. Черноусько [61, 62], A.B. Куржанский [33], Ю.И. Бердышев [7, 8], Н.Л. Григоренко [16], Ю.Н. Киселев [24], E.H. Хайлов [59], С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов [1]. Функцией быстродействия называют время быстродействия как функцию начального положения системы. Функция быстродействия для задачи наискорейшего приведения системы в точку исследовалось во многих работах, среди них можно отметить [6, 23, 53, 64, 73, 81].

Первая глава диссертации посвящена исследованию локального поведения функции быстродействия (непрерывность, дифференцируе-мость, существование производных по направлениям) в случае, когда целевое множество является полупространством, а система линейна. Задачи подобного типа исследуются в рамках теории чувствительности оптимального управления и параметрической оптимизации [19]. В общем случае не существует явных формул для вычисления функции быстродействия. Известно лишь (см., например, [10, с.29]), что при дополнительных предположениях, обеспечивающих непрерывность и дифференцируемость, эта функция удовлетворяет уравнению Беллма-на (Гамильтона-Якоби). Однако функция быстродействия часто оказывается недифференцируемой и далее разрывной. Более простой задачей является задача вычисления значения времени быстродействия в одной точке, и для некоторых классов систем удается построить алгоритмы ее решения. Заметим, что для изучения чувствительности времени быстродействия необходимо, вообще говоря, знать функцию на некотором множестве (в окрестности точки). В диссертации изложены результаты, описывающие локальное поведение функции быстродействия, причем для их использования не требуется вычислять функцию быстродействия в окрестности исследуемой точки.

Рассмотрим возможную интерпретацию задачи чувствительности времени быстродействия. Пусть функция описывает состояние некоторой (экологической) системы в момент времени а управление ?/.(/) — неизвестное внешнее воздействие, например, интенсивность источника загрязнения. Предположим, что при попадании у{{) на целевое множество 5 система оказывается в критической ситуации (наступает экологическая катастрофа). При заданном начальном состоянии х значение времени быстродействия и)(х) можно интерпретировать как время до наступления катастрофы при наиболее неблагоприятном для нас внешнем воздействии гг(£). Пусть известно, что система перемещается в направлении вектора р. Если при этом функция ги(-) возрастает, то время до наступления катастрофы увеличивается, следовательно, это благоприятная для нас ситуация; в случае, если функция «;(■) убывает, ситуация неблагоприятна. Поэтому полезно знать значение производной по направлению дги/др(х)} а если этой производной не существует, то хотя бы возрастает или убывает ъи(-) в направлении р.

В диссертации также изучается задача динамической реконструкции управления. Эта задача относится к классу обратных задач динамики управляемых систем (реконструкции входа по измерениям выхода). Система может описываться обыкновенным дифференциальным уравнением, дифференциальным уравнением в частных производных, дифференциально-функциональным уравнением и т.д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы; обычно это управление, подаваемое на систему, и начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. Уравнение, задающее динамику системы, предполагается известным.

Если выход системы измеряется неточно, то обратные задачи динамики переходят в класс некорректных, и построение их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов. Существенный вклад в развитие теории некорректных и обратных задач внесли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, A.B. Куржанский, В.Г. Романов, В.В. Васин, В.И. Агошков, Ф.П. Васильев, В.Я. Арсенин, М.И. Гусев, И.Ф. Сивергина, А.И. Прилепко, Г.И. Марчук, В.П. Шутяев, О.М. Алифанов, А.Л. Бухгейм, С.И. Каба-т-тихин, A.B. Бакушинский, А.М. Денисов, В.А. Морозов и другие авторы [2, 3, 5, 11, 13, 17, 18, 20, 21, 34, 35, 45, 47, 55, 57, 58].

Отмеченные выше работы по регуляризации касаются операторной постановки задачи. В них регуляризующие алгоритмы охватывают всю историю измерения выхода, т.е. имеют апостериорный характер. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов ре гул яризации для конечномерных управляемых систем был поставлен Ю.С. Осиповым и A.B. Кряжимским в работе [29]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в "реальном времени" состояния аффинной по управлению системы. В [75] дана общая теория динамического обращения для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основу алгоритмов положено сочетание принципа позиционного управления с моделью, развитого Н.Н. Кра-совским и его школой [27, 28], и методов теории некорректных задач [13, 20, 58]. Процесс динамической реконструкции входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, "отслеживает" аппроксимируемый параметр. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Указанный подход успешно применялся к решению задач реконструкции для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [9, 30, 31, 32, 44, 49, 68, 78], для систем с запаздыванием [40, 70] и для систем с распределенными параметрами [22, 25, 26, 41, 42, 43, 50, 51, 52, 56, 60, 67, 74, 76].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер параграфа, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 114 страниц машинописного текста.

1. Аввакумов С.H., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина // Труды МИРАН. Наука, Физматлит, 1995. Т. 211. С. 3-31.

2. Агошков В.И. Обощенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

4. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

5. Бакушннский A.B., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

6. Белолипецкий A.A., Рябов А.Ю. Анализ особенностей функции Беллмана в линейной задаче оптимального быстродействия. В сер.: Сообщения по прикладной математике. Выч. центр АН СССР. Москва, 1987.

7. Бердышев Ю.И. Синтез оптимального по быстродействию управления для одной нелинейной системы четвертого порядка // Прикл. мат. и мех. 1975. Т. 39. Вып. 6. С. 985-994.

8. Бердышев Ю.И. Построение оптимального по быстродействию управления нелинейной системой в задаче обхода группы точек // Кибернетика. 1991. №6. С. 173-175

9. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Теория и системы управления. Известия РАН. 1998. №2. С. 56-61.

10. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

11. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

12. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977.

13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

14. Вдовин А.Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления // Задачи позиционного моделирования. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 3-16.

15. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

16. Григоренко Н.Л., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Пакеты прикладных программ для решения прямых и обратных задач управления // Сб.: Компьютерные технологии в высшем образовании. М.: МГУ, 1994. С. 346-364.

17. Гусев М.И., Куржанский А.Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. В кн.: Механика и научно-технический прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

18. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач: Учебн. пособие для вузов. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1994.

19. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987.

20. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

21. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука, 1988.

22. Ким A.B., Короткий А.И., Осипов Ю.С. Обратные задачи динамики для параболических систем // Прикл. математ. и мех. 1990. Т. 54. №5. С. 419-425.

23. Киселев Ю.Н. Асимптотика времени быстродействия в линейной задаче управления маятником при специальном возмущении (сглаживании) области управления // Вестн. Мое. ун-та. Сер. 15, Вычисл. мат. и киберн. 1986. №1. С. 57-62.

24. Киселев Ю.Н. Оптимальное управление. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

25. Короткий А.И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. выс. учеб. заведений. 1998. №11 (438). С. 109-120.

26. Короткий А.И., Цепелев И.А. Верхняя и нижняя оценки точности в задаче динамического определения операторов // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. Т. 4. С. 227-238.

27. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

28. Красовский H.H., Субботин Ю.Н. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1984.

29. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1983. №2. С. 51-60.

30. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т.1. С. 196-211.

31. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Устойчивое решение обратных задач динамики управляемых систем. Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. Математ. института им. В.А. Стеклова. Москва, 1988. Т. 185. С. 126-146.

32. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О методах позиционного моделирования управления в динамических системах. // Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений и управляемых систем: Сб. науч. трудов. Свердловск: УрО АН СССР. 1988. С. 34-44.

33. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

34. Куржанский A.B., Сивергина И.Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем // ДАН. 1998. Т. 1. №2. С. 31-36.

35. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, СО, 1980.

36. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

37. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

38. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

39. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972.

40. Максимов В.И. Позиционное моделирование управлений и начальных функций для систем Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23 №4. С. 618-629.

41. Максимов В.И. Позиционное моделирование неограниченных управлений для нелинейных систем с диссипацией / / Автоматика и телемеханика. 1988. №4. С. 22-30.

42. Максимов В.И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем // Дифференц. уравнения. I -1990. Т. 26. №12. С. 2059-2067. II 1991. Т. 27. №4. С. 597-603.

43. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2000.

44. Максимов В.И., Пандолфи JI. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65. №3. С. 35-42.

45. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

46. Минюк С.А. О точном решении задачи быстродействия в случае линейных стационарных систем с вещественным спектром // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. №8.

47. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

48. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999.

49. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. №3. С. 552-556.

50. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск, 1989. С. 53-56.

51. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами // Препринт ИММ УрО АН СССР. 1991.

52. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Динамические обратные задачи для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. №5. С. 579-597.

53. Петров H.H. Непрерывность обобщенной функции Беллмана // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. №2. С. 373-374.

54. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

55. Прилепко А.П., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Роте в обратных задачах для уравнения параболического типа // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №10. С. 1791-1799.

56. Розенберг В.Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183-202.

57. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях Volterra и их применениях к некоторым задачах математической физики. Бюлл. Московского гос. унив-та. (А). Т. 1. М.: ГОНТИ. 1939.

58. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

59. Хайлов E.H. О моментах переключения экстремальных управлений в линейной задаче оптимального быстродействия // Труды ИММ УрО РАН (Екатеринбург). Т. 4. С. 255-265.

60. Цепелев И.А. Динамическое восстановление множества параметров в краевой задаче Гурса-Дарбу // Тр. ИММ УрО РАН. Т. 5. С. 319-328.

61. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 14. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1977.

62. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

63. Barbu V. Optimal control of variational inequalities. Pitman. 1984.

64. Bardi M. A boundary value problem for the minimum-time function // SI AM J. Control and Optimization. 1989. Vol. 27. №4. P. 776-785.

65. Brezis H. Operateurs maximaux monotones et semigroupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Amsterdam-London-New York. 1973.

66. Grimmer R.C., Pritchard A.J. Analytic resolvent operators for integral equations in Banach spaces //J. diff. Eqns. 1983. Vol. 50. №2. P. 234-259.

67. Krjazhimskii A.V., Osipov Yu.S. On positional calculation of fi-normal controls in dynamical systems // Probl. Control and Inform. Theory. 1984. Vol. 13. №6. P. 425-436.

68. Lorenzi A., Sinestrari E. An inverse problem in the theory of materials with memory // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 1988. Vol.12. №12. P. 1317-1336.

69. Maksimov V.I., Pandolfi L. On a dynamical identification of controls in nonlinear time-lag systems // IMA J. of Math. Control and Information. 2002. Vol. 19. P. 173-184.

70. Mitidieri E., Vrabie I.I. Existence for nonlinear functional differantial equations // Hiroshima Math. J. 1987. Vol. 17. №. 3. P. 627-649.

71. Oka H. Abstract quasilinear Volt err a integrodifferential equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 1997. Vol. 28. №6. P. 1019-1048.

72. Olsder G.J. Time-optimal control of multivariable systems near the origin //J. Optim. Theory Appl. 1975. Vol. 16. №5/6. P. 497-517.

73. Osipov Yu.S. On the reconstruction of a parameter for hyperbolic system. IIASA Working Paper. Laxenburg, Austria. WP-91-54. 1991.

74. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

75. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V., Maksimov Y.I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters //J. Inv. Ill-posed Problems. 1996. Vol. 4. №4. P. 267-282.

76. Priiss J. On linear Volterra equations of parabolic type in Banach spaces // Transactions of the Am. Math. S. 1987. Vol. 301. №2. P. 691-722.

77. Pandolfi L., Maksimov V. Dynamical reconstruction of unbounded controls in nonlinear dynamical systems // CD Proceedings of the Fourteenth International Symposium "Mathematical Theory of Networks and Systems", Perpignan, France, June 19-23, 2000.

78. Vrabie I.I. Compactness methods for nonlinear evolutions. Pitman. 1987.

79. Vrabie I.I. The nonlinear version of Pazy's local existence theorem. // Israel J. Math. 1979. Vol. 32. №2-3. P. 221-235.

80. Wolenski PR., Zhuang Yu. Proximal analysis and the minimal time function // SIAM J. Control Optim. 1998. V. 36. №3. P. 1048-1073.

81. Казанцева E.B. О динамической реконструкции управления в дифференциальном уравнении с памятью // Тезисы докладов Молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: УрО РАН, 1997. С. 53-54.

82. Казанцева Е.В. О классификации локальных сдвигов по критерию достижимости // Понтрягинские чтения VIII. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1997. С. 64.

83. Е.В. Васильева. Динамический метод невязки для дифференциального уравнения с памятью. В сб. Проблемы математической физики: труды факультета ВМиК МГУ. М.: Диалог МГУ, 1998. С. 68-74.

84. Е.В. Васильева, В.И. Максимов. О динамической реконструкции управления в дифференциальном уравнении с памятью // Дифферент уравнения. 1999. Т. 35. №6. С. 813-821.

85. Васильева Е.В. О реконструкции неизвестного возмущения в уравнении с памятью // Тезисы докладов Молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 29.

86. Васильева Е.В. Одна задача чувствительности оптимального быстродействия // Тезисы докладов Молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С. 85-86.

87. Васильева Е.В. Об одной задаче классификации множества управлений для параболического уравнения // Изв. вузов. Математика. 2000. №1. С. 6-14.

88. Васильева Е.В. О чувствительности времени быстродействия линейной системы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. №3. С. 93-99.

89. Васильева Е.В. Локальное поведение функции быстродействия для конечномерной и распределенной систем // Материалы семинара "Прямые и обратные задачи оптимального управления". Планерное, 24-26 января 2001 г. С. 12-14.

90. Васильева Е.В. Непрерывная зависимость производной времени быстродействия от параметров системы // Труды 32-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 29 января 2 февраля 2001 г. С. 194-195.

91. Васильева Е.В. Об условиях постоянства знака производной времени быстродействия. В сб. Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМиК МГУ им.М.В.Ломоносова: №8. М.: МАКС Пресс, 2001. С. 127-134.

92. Васильева Е.В. Нижняя оценка скорости сходимости алгоритма динамической реконструкции // Труды 33-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 28 января 1 февраля 2002 г. С. 220223.

93. Васильева Е.В., Максимов В.И. О динамической реконструкции неограниченных управлений в параболическом уравнении // Дифферент уравнения. 2002. Т. 38. №12.