Задачи реконструкции входов в системах с последействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Основные обозначения

ГЛАВА I. ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ

1. Постановка задач. Метод решения

2. Реконструкция пары "управление- траектория" в системах, описываемых обыкновенным и дифференциальными уравнениями

3. Реконструкция пары "управление-траектория" для систем с последействием

4. Динамический метод невязки

5. Динамический метод сглаживающего функционала.

6. Результаты численных экспериментов.

ГЛАВА II. ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ РЕКОНСТРУКЦИИ ВХОДОВ В СИСТЕМАХ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

1. Реконструкция экстремального входа.

Случай бесконечномерных моделей.

2. Реконструкция экстремального входа в системе с последействием. Случай конечномерных моделей

3. Результаты компьютерного моделирования

Во многих научных и прикладных разработках возникают задачи восстановления неизвестных входных воздействий (управлений, возмущений) в динамических системах. Подобные задачи вкладываются в проблематику обратных задач динамики управляемых систем, состоящих в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода. Система может описываться обыкновенным дифференциальным уравнением, дифференциальным уравнением в частных производных, дифференциально-функциональным уравнением и т.д. Роль неизвестного входа могут играть внешние силы в математических моделях динамики механических систем, колебаний и сплошных сред; источники, потоки и внешние потенциалы в моделях тепломассопереноса; источники в задачах кинетики и пр. Поэтому область практических приложений обратных задач динамики весьма многообразна. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. В настоящее время интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.

Первые публикации, посвященные динамическим обратным задачам, о тносятся к середине 60-х годов. В работах Р. Брокетта, М. Ме-саровича [55], Л. Силвермана [82] и других авторов (см. [59, 81, 83]) для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости входов, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. В .литературе, вышедшей в 90-е годы, вопросам восстановления входных воздействий посвящены монографии [79, 44, 57, 35, 74]. Если информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики, вообще говоря, становятся некорректными, и вопрос пос троения их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов (алгоритмов). Для линейных идеально наблюдаемых систем регуляризирутощий алгоритм, восстанавливающий начальное состояние, был предложен в [39]. В [10, 11], при условии слабой замкнутости оператора "вход — выход", указаны регуляризирующие алгоритмы аппроксимации (в метрике Хаусдорфа) компактного образа множества всех решений задачи. Существенный вклад в развитие теории некорректных и обратных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов. М. М. Лаврентьев, А. Б. Куржанский, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусь-ко, В. В. Васин, В. И. Агошков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсенин и др. [1-7, 11-14. 20. 27-30, 36 38. 46-53, 68].

Отмеченные исследования нелинейных задач относятся к апостериорной (программной) постановке: искомые регуляризирующие алгоритмы обрабатывают историю измерений выхода целиком. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [40, 23]. Там же приведен ¿метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в "реальном времени" полного вектора состояния аффинной по управлению (входу) системы. В [79] дана общая теория для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основу теории положено сочетание принципа позиционного управления с моделью, развитого Н. Н. Красовским и его школой в рамках теории гарантированного управления [17-19] и методов теории некорректных задач. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, "отслеживает" неизвестный вход. Разрешающий алгоритм строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, учитывающих поступающую информацию в конечном числе временных узлов. Для случая измерения части координат вектора состояния, при определенных предположениях на систему, подобные алгоритмы сконструированы в [24. 66. 71. 79]. Вопрос об устойчивой позиционной аппроксимации множества всех допустимых входов помимо [79] изучался в [26]. Ряд постановок и решений обратных задач динамики в классах динамических регуляризпрующих алгоритмов исследовался в работах [8. 24, 31, 41-43. 62, 66. 67] для систем обыкновенных дифференциальных уравнений; в работах [76, 21, 33.35, 61, 72] для систем с последействием; в работах [15, 16, 22, 32, 35, 44, 47, 64, 65, 69, 70, 73, 75, 77, 78, 80] для уравнений математической физики. Абстрактная постановка задачи динамической регуляризации, а также метод ее решения, основанный на привлечении функций Ляпунова, рассматривались в [41].

Первая глава настоящей работы выполнена в рамках указанного позиционного подхода к постановке и решению обратных задач динамики.

Во второй главе диссертации предлагается апостериорный метод решения задачи нахождения экстремального входа линейной системы с запаздыванием. В основе исследования лежит модификация принципа экстремального сдвига Н. Н. Красовского [17-19], предложенная в [25] в качестве метода решения задач выпуклой оптимизации. Позднее данный метод был развит и обощен в [22, 60, 63, 64, 56] (в части этих работ он назван метол,ом агрегирования ограничений).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

1. Агошков В. И. Обощенные решения л-равнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

2. Алифанов О. М.„ Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задан. М.: Наука. 1988.

3. Аииконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978.

4. Арсенин В. Я., Гончарский А. В. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестник МГУ. Сер. Вычисл. математ. и кибернет. 1981. У" 3. С. 13-17.

5. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

6. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных 'задач. М: Наука, 1981.

7. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука. 1993.

8. Вдовин А.Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. Сборник научных трудов "Задачи позиционного моделирования". Свердловск. 1986. С. 3-11.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

10. Гусев М. И. Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохастическая оптимизация. Международная конференция. Киев. Тезисы докладов. Ч. 1. 1984. С. 72-74.

11. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. В кн.: Механика и научно-технический прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

12. Жевнин А. А., Колесников К. С., Крицепко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгорп i мое, терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1985. № 4. С. 29-35.

13. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

14. Кабанихин С. И. Проекционно-разностпые методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука, 1988.

15. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1989. № 6. С. 35-41.

16. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. выс. учеб. заведений. 1998. № 11 (438). С. 109-120.

17. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

18. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

19. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1984.

20. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

21. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математ. и мех. 1983. Т. 47. № 6. С. 815-825.

22. Кряжимский А. В. Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196-211.

23. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивое решение обратных задач динамики управляемых систем. Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. Математ. института им. В. А. Стек лова. Москва. 1988. Т. 185. С. 126-146.

24. Куржаиский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

25. Куржанский А. В., С-ивергина И. Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем // ДАН. 1998. Т. 1. № 2. С. 31-36.

26. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

27. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. СО, 1980.

28. Максимов В. И. Позиционное моделирование неограниченных управлений для нелинейных систем с диссипацией // Автоматика и телемеханика. 1988. К2 4. С. 22-30.

29. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. I // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2059 -2067. II // 1991. Т. 27. № 4. С. 597-603.

30. Максимов В. И. Позиционное моделирование некоторых параметров дифференциально-функциональных систем// Сборник научных трудов "Некоторые методы позиционного и программного управления". Свердловск. 1987. С. 84-106.

31. Максимов В. И., Позиционное моделирование управлений и начальных функций для систем Вольтерра// Дифференциальные уравнения. 1987.

32. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН. 2000.

33. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973.

34. Марчук Г. П., Агошков В.И., Шутяев В.П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

35. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

36. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 7. № 4. С. 631-638.

37. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннотации докл. 5-го Всесоюзн. съезда по теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР. 1981. С. 214.

38. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

39. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О моделировании параметров динамической системы // Задачи управления и моделирования в динамических системах. Свердловск, 1984. С. 47-G8.

40. Осипов К). С. Кряжимский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск. 1989. С. 53-56.

41. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препринт ИММ УрО АН СССР. 1991. 104 С.

42. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

43. Петров Б. Н., Крутько П. Д., Попов Е. П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики // ДАН СССР. 1979. Т. 247. № 5. С. 1078-1081.

44. Розенберг В. Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183-202.

45. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

46. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

47. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики. Бюлл. Московского юс. унив-та. (А). Т. I. М.: ГОНТИ. 1939. 25 С.

48. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

49. Черноусько Ф. Л. Гарантированные оценки неопределенных величии при помощи эллипсоидов // ДАН СССР. 1980. Т. 252. № 1. С. 198-207.

50. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

51. Baras J. S., Kurzhanskii А. В. Nonlinear filtering: the set-membership (bounding) and H^ approaches // Proceedings of the IFAC NOLCOS conference. Tahoe. CA. Plenum Press. 1995.

52. Brockett R. W., Mesarovich M. P. The reproducivility of multivariable control systems //J. Math. Anal, and Appl. 1965. Vol. 11. N. 1-3. P. 548-563.

53. Ermoliev Yu. M., Kryazhimskii A. V., Ruszczynsldi A. Constraint aggregation principle in convex optimization // Mathematical Programming. 1997. Vol. 76. P. 353-372.

54. Isalcov V. Inverse source problems. Providence, R.I.: AMS, 1990.

55. Ito Iv., Ivappel F. A uniformly differential approximation scheme for delay systems using splines//J. Appl. Math. Optim. 1991. Vol. 23. N. 3. P. 217-262.

56. Hirshorn R. M. Invertibility of nonlinear control systems // SIAM J. Contr. and Optim. 1979. Vol. 17. N. 2. P. 289-297.

57. Kappel F., Maksimov V. I. Robust dynamic input reconstruction for delay systems// Int. J. Appl. Math, and Сотр. Sci., 2000. Vol. 10. N. 2. P. 283-307.

58. Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I., Osipov Yu. S. Reconstruction of boundary-sources through sensor observations. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-96-97. 1996.

59. Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I., Samarskava E. A. Estimating fencing functions for parabolic systems of equations. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria, WP-95-75. 1995.

60. Kryazhimskii A. V. Osipov Yu. S. On positional calculation of normal controls in dynamical systems // Probl. Control and Inform. Theory. 1984. Vol. 13. N. 6. P. 425-436.

61. Kurzhanskii A. B., Ivhapalov A. Yu. On the state estimation problem for distributed systems. Analysis and Optimization of systems // Lecture Notes in Control and Informational Sci. Springer-Verlag. 1986. Vol. 8-3.

62. Maksimov V. I. On dynamical reconstruction in nonlinear parabolic systems // Lecture Notes in Control and Informât, Sci. Springer Verlag. 1992. Vol. 180. P. 404-413.

63. Maksimov V. I. Inverse problems for variational inequalities // Internat. Series of Numerical Mathematics. 1992. Vol. 107. P. 275-286.

64. Maksimov V. I. On the reconstruction of a control through results of observations // Proceedings of the Third European Control Conference. Rome, Italy. 1995. P. 3766-3771.

65. Maksirnov V. I. Problems of robust control and dynamical input reconstruction for time delay systenis//Proc. CD 5th European Control Conf. Karlsruhe, 1999.

66. Mendel .J. M. Maximum-likelihood deconvolution: a journey into model-based signal processing. N.Y. Springer Verlag, 1990.

67. Osipov Yu. S. Control problems under insufficient information // Proceeding of 13th IFIP Conference "System modelling and Optimization". Tokyo. Japan. 1987. Springer. 1988.

68. Osipov Yu. S. On reconstruction of a parameter of dynamical system // Proceeding of the International Symposium "Functional-Dif. Equations'". Kyoto. Japan. 1990. P. 309-317.

69. Osipov Yu. S. On the reconstruction of a parameter for hyperbolic system. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-91-54. 1991. 32 P.

70. Osipov Yu. S., Ivorotkii A. I. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems. Ill-posed Problems in Natural Sciences. VSP-TVP. Tokyo. Japan-Moscow. Russia. 1992. P. 108 117.

71. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

72. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V., Maksirnov V. I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters //J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. Vol. 4. No. 4. P. 267-282.

73. Sain M. К., Massey J. L. Invertibilitv of linear time-invariant dynamical systems//IEEE Trans. Automat, Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 141149.

74. Silverman L. M. Inversion of rnulti variable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1965. Vol. AC-14. P. 270-276.

75. Willsky A. S. On the invertibility of linear systems//IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. AC-19. P. 272-274.

76. Близорукова M.C. Об одном алгоритме динамического моделирования в системах с последействием// Тезисы междунар. конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск. 1997.

77. Близорукова М.С. Об одной итерационной процедуре решения задачи оптимального управления для системы с последействием// Тезисы IV Крымской междунар. мат. школы "Метод функций Ляпунова и его приложения". 1998. С. 14-15.

78. Близорукова М.С. Задача динамического восстановления управления в системе с запаздыванием// Тезисы XII междунар. конференции "Проблемы теоретической кибернетики". Нижний Новгород. 17-22 мая 1999 г. С. 24.

79. Близорукова М.С., Максимов В.И. О реконструкции экстремального входа в системе с последействием// Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. 1997. № 4. С. 51-60.

80. Близорукова М.С., Максимов В.И. О реконструкции пары "управление-траектория" в системе с последействием// Проблемы управления и информатики. 1999. X2 4. Р. 37-48.

81. Близорукова М.С1., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений// Теория и системы управления. Известия АН. 1998. № 2. С. 5G-61.

82. Blizorukova M.S. On reconstruction of disturbances in a system with hereditary// Proceedings of 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos". St. Peterburg. 2000. P. 126-127.

83. Близорукова М.С. О моделировании входа в системе с запаздыванием/ / "Прикладная математика и информатика". Труды факультета ВМиК МГУ им. Ломоносова. М.: МАКС Пресс. 2000. С. 105-115.