Исследование задач динамической реконструкции с помощью метода управляемых по принципу обратной связи моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

□034ЬЬ4<£ г

КАДИЕВ Алексей Махаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА УПРАВЛЯЕМЫХ ПО ПРИНЦИПУ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

МОДЕЛЕЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2008

0 5 ЛЕН 2008

003456427

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

В.И. Максимов.

Официальные оппоненты: кандидат физико-математических наук,

Зашита состоится 10 декабря 2008 года в 11— час. на заседании специализированного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН (620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " ¡0 " ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Успенский

доктор физико-математических наук А.Н. Сесекин.

Ведущая организация: Вычислительный центр

имени А. А. Дородницына Российской академии наук.

доктор физ.-мат. наук

Н.Ю. Лукоянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время во многих теоретических и прикладных исследованиях различных явлений и процессов возникают задачи, связанные с восстановлением неизвестных характеристик динамических систем. Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем и состоят в нахождении неизвестного входа системы по результатам измерений ее выхода. Предполагается, что уравнение, задающее динамику системы известно, — им может быть обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, функционально-дифференциальное уравнение и т. д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, ими могут быть управление (как функция времени), подаваемое на систему, и начальное состояние. Выходом может являться любая доступная информация об управляемом процессе, часто такой информацией оказывается траектория системы. Интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.

Первые публикации по данной тематике появились в середине 60-х годов. В работах Р. Брокетта, М. Месаровича, Л. Силвермана и других авторов для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости входов, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. При неточном измерении выхода системы обратные задачи становятся некорректными, и для того, чтобы найти их приближенные решения, необходимо построить соответствующие регуляризирующие операторы (алгоритмы). Существенный вклад в развитие теории некорректных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агошков, Ф. П. Васильев, В. Я. Ар-сенин и др. Алгоритмы регуляризации в работах указанных выше авторов имеют апостериорный характер, поскольку для их реализации необходимо располагать всей историей изменения входа. Вопрос о построении по-

зиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Оси-пова и А. В. Кряжимского1'2. Там же были приведены методы устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в "реальном времени" как всего состояния системы, так и части ее фазового вектора. В основе этих методов лежит сочетание принципов теории позиционного управления с моделью, развитого H. Н. Красовским3,4 и его школой и методов теории некорректных задач. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. Алгоритм реконструкции строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, учитывающих поступающую информацию в конечном числе временных узлов и обрабатывающих ее между узлами, что допускает возможность его практической реализации. Указанный подход успешно применялся к решению задач реконструкции для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для систем с запаздыванием и для систем с распределенными параметрами В. И. Максимовым, А. И. Коротким, А. В. Кимом, И. А. Цепелевым, В. JI. Розенбергом, М. С. Влизорукоовй, Е. В. Васильевой и другими авторами.

Цель работы. Цель работы состоит в построении и обосновании сходимости ряда новых регуляризирующих алгоритмов для решения задач динамического восстановления входов управляемых систем, описываемых уравнениями с запаздыванием и уравнениями в частных производных.

Методы исследования. В основе методов исследования лежат принципы теории позиционного управления и теории некорректных задач. В диссертации используются понятия и методы теории дифференциальных

1Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 51-60.

2Osipov Yu. S. and Kryazhimskii A. V. Inverse problems for ordinary différentiel équations: dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995.

3Красовскпй H. H., Субботин A. И. Позиционные дифференциальные игры. M.: Наука, 1974.

4Красовский H. H. Управление динамической системой. M.: Наука, 1985.

уравнений, функционального анализа, линейной алгебры, математической теории управления.

Научная новизна. Основные результаты диссертации:

1. Для системы, описываемой нелинейным векторным дифференциальным уравнением с запаздыванием в случае отсутствия мгновенных ограничений на управление указаны два алгоритма восстановления входов, основанные на сочетании метода управления с моделью и динамическими модификациями методов невязки и сглаживающего функционала. Для алгоритма, основанного на методе невязки установлены оценки скорости сходимости.

2. Сконструирован алгоритм, решающий задачу динамического восстановления неизвестных входов, действующих на систему, описываемую дифференциальным уравнением в банаховом пространстве.

3. Для системы, описываемой параболическим вариационным неравенством, построены два алгоритма динамического восстановления входных воздействий при отсутствии информации об априорных ограничениях на значения входов. Для обоих алгоритмов установлены оценки скорости сходимости.

4. Построен устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения задачи динамического восстановления неизвестных характеристик нелинейной параболической системы, описывающей процесс отвердевания вещества. Приведена оценка скорости сходимости алгоритма.

Результаты диссертационной работы являются новыми.

Техническая и практическая ценность работы. Полученные результаты дополняют теорию обратных задач динамики управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием и дифференциальными уравнениями в частных производных. Предложенные алгоритмы восстановления входов в условиях неточного наблюдения траектории системы допускают компьютерные реализации и могут быть использованы для решения конкретных задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух

глав и списка литературы, содержащего 128 наименований. Общий объем работы составляет 118 страниц машинописного текста.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004 г.); на Международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби» (Екатеринбург, 2005 г.); на III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2006 г.); 14th International Workshop on Dynamics and Control (Zvenigorod, Russia, 2007); 9th IFAC Workshop «Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP'07)» (Saint Petersburg, Russia, 2007); на Второй международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, 2007); на 39-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2008 г.); на научной конференции-семинаре «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2008 г.); на Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2008 г.); в ВЦ РАН; в Институте математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, приводятся историко-библиографические справки, сведения о публикациях.

В диссертации рассматриваются задачи динамического восстановления входов для систем, описываемых уравнениями с запаздыванием и систем с распределенными параметрами. Содержательно суть этих задач может быть описана следующим образом. Имеется динамическая система S, функционирующая на ограниченном промежутке времени Т = [to,$]. Фазовая траектория системы х(-) = x(-;io, £<)>«(•)) 6 С(Х\Т) (X — банахово пространство) зависит от начального состояния Xq и изменяющегося во

времени неизвестного входного воздействия м(') € Ут (Цт ~ множество допустимых входных воздействий, трактуемых как управления). На промежутке Т выбрано равномерное разбиение Д = {т;}™0 с шагом 5, То = Тг+1 = ц+5, тт = 'д. В моменты т,- измеряется с ошибкой фазовое состояние системы 5. Результаты измерений — величины £-1 € X — удовлетворяют соотношениям

К?-*(г01х<Л, (1)

где /г — погрешность измерения; | • |х означает норму в банаховом пространстве X. Требуется по мере поступления информации о текущих координатах системы (т. е. «в режиме реального времени») восстановить некоторое управление "»(•), порождающее фазовую траекторию а;(-) системы. Так как точное восстановление и,(-) невозможно (из-за неточности измерений фазовой траектории и дискретности этих измерений), то необходимо построить алгоритм вычисления некоторого приближения и,(-). Это приближение должно быть тем лучше, чем меньше величина Л погрешности измерения а;(т;) и чем гуще сетка {т;}, взятая на промежутке Т.

Глава 1 посвящена задаче динамического восстановления неизвестного входного воздействия для систем с запаздыванием.

В первом параграфе главы 1 дается строгая постановка рассматриваемой задачи. Описывается общий подход к ее решению, предложенный Ю. С. Осиповым и А. В. Кряжимским. В соответствии с этим подходом задача реконструкции заменяется задачей управления по принципу обратной связи вспомогательной системой М (моделью). Алгоритм решения задачи реконструкции отождествляется с четверкой

где {ДЛ} — семейство разбиений интервала Т, зависящих от величины /г ошибки измерения:

= (^Км). П = ТМ, ™ = пгн, 7*+! = п + 6, 5 = 6{Н), (2)

М — модель, УУи — правило, согласно которому выбирается начальное состояние модели, — закон управления моделью по принципу обратной

связи. Процесс управления моделью организуется таким образом, чтобы при подходящем согласовании ряда параметров управление в модели являлось приближением функции «»(•) = ut(-;x(-)). Алгоритм Dh разбивается на т— 1 однотипных шагов. В течение каждого г-го шага, осуществляемого на промежутке времени [74, тц.i), выполняются следующие операции. В момент Т; замеряется (с ошибкой) фазовая траектория х(ц) системы. После этого согласно выбранному закону Uh определяется управление в модели un,Tj+i(') на отрезке [т^, Tf+i). Затем осуществляется формирование отрезка траектории модели wh{t) = wh(t;Ti,wh(Ti),^,v^uT.+1(-)), t € [74,74+1]. Вся процедура заканчивается в момент времени t). Результат работы алгоритма на отрезке времени Т есть функция vh(-) вида

vh(t) = vhTuTiJt), t £ [74,74+1). (3)

Таким образом, задача реконструкции трансформируется в следующие две задачи — задачу подходящего выбора вспомогательной системы (модели М) и задачу построения процедуры выбора закона формирования управления Z4- При решении этих двух задач существенную роль играют априорная информация о системе (в виде описывающего ее уравнения, свойств его решений и т. п.), а также структура множества допустимых управлений.

Пусть символ Н(ж(-), h) означает множество всех функций £л(-) £ Ет, удовлетворяющих соотношению (1), где 5j — множество всех кусочно-постоянных функций fft(-) :Т-+ X, £h(t) = t е [т<, 7*4+1), U{x(-)) С UT — множество управлений, порождающих движение ж(-), U — равномерно выпуклое банахово пространство, «*(•) = ut(-,x(-)) — минимальное в смысле /7)-нормы управление из множества U(x(-)). Введем

Определение 1 1,5 Семейство операторов Dh, h 6 (0,1), действующих из Ер в Uj, называется регуляризирующим, если оно обладает следую-

5Осипов Ю. С., Кряжимский A.B., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препринт Института математики и механики УрО АН СССР. 1991. 104 С.

щим свойством:

limsup {|ЛЛ£Л(0 - гх.(-;*0)1да) : fb(-) € Е(х(-), h)} = 0.

Во втором параграфе главы 1 конструируется семейство Dh для системы, описываемой нелинейным векторным дифференциальным уравнением с запаздыванием

x(t) = f{t,x(t),x(t-T)) + B(x(t),x(t-r))u(t), ter=[f0,tf], (4)

где х € X = R" — фазовый вектор системы, u(t) € U = RN — управление, / : Т х К" х R" —> Кп — векторная функция, удовлетворяющая условию Липшица по всем аргументам, (а:,у) —» В(х,у) € RnxJV — матричная лип-шицевая функция. Начальное состояние x(to + s) = xq(s) при s € [—т, 0] считается (для простоты) известным. Правило построения семейства Dh в этом параграфе основано на динамическом варианте метода невязки и приводится для двух случаев: «,(•) € Z/00(T,;RJV) и к„(-) 6 L2(T-,RN).

Фиксировав функцию ip(h) : (0,1) —» N со свойством ip(h) —* +оо при h —► 0+, считаем, что 5(h) = Tip~l(h). Модель М описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида

wh(t) = fs(t^U-),vh(t)), teT, (5)

'о, t € Мо + <5)> 5 = 6(h)

/fa-i, tf-i.&rf*)) + B((lb^{h))vh(t), t G 6{ = [rj,ri+i), Ti = Thj с фазовой траекторией w'1(-) = wh(--,to,wh(to),(,h(-),vh(-)), управлением vh(-) и начальным состоянием wh(to) = хо(0). Закон формирования управления в модели Uh отождествим с правилом, ставящим в соответствие каждой пятерке gW(-) = функцию

Uh = Uh(q«\-)) = v^J-), г е [1 : m - 1], (6)

«iUO) = (т» = Th,i, m = mh). (7)

fs(t,iU),vh(t)) =

Функции (•) вычисляются в моменты т; по правилу

Г 0, 0 или \Fit\n < е, S = 6(h),

(8)

I Pi(ai) в противном случае,

Phi = 6f(Ti-U Й-!, - X?), = «^(71) -

= af = г 6 [1 : m — 1]

Здесь £ > 0 — вспомогательный параметр, Fj^ = штрих означает транспонирование, а символ (•, •) означает скалярное произведение в К". Пусть взяты функция e(h) € (0,1) и семейство разбиений {Ад}, k € (0,1) (2), отрезка Т со свойствами

5(h)le3'\h) < 1, fc/J(ft) < e(h),

(9)

5(h) 0, е(Л) -»0 при h -> 0.

Имеет место

Теорема 1 При выполнении условий (9) семейство алгоритмов Dh, h 6 (0,1) вида (2), (3), (5)-(8) является регуляризирующим.

При дополнительных условиях установлена оценка скорости сходимости алгоритма для случая и»(-) £ Ь2(Т;ШМ).

Теорема 2 Пусть выполнено условие (9), п = N, В = I (единичная матрица), S(h) = h2!3, e(h) = h}!z, и управление и «(г) является функцией с ограниченной вариацией. Тогда справедлива следующая оценка скорости сходимости алгоритма: f |u,(i) — vh(t)\'jldt < ch1/8.

to

В третьем параграфе главы 1 для системы (4) конструируется основанный на методе сглаживающего функционала алгоритм динамического восстановления для случая, когда управления ut(-) являются элементами пространства функций, ограниченных по существу, т. е. и,(-) S Lx,(T;R).

Вспомогательная управляемая система М (модель) в этом случае взята в виде

wh(t) = + Bvh(t), t e [n, 7i+i), (10)

с начальным условием wh(to) = Wh((о) = £o и управлением г;Л G MN. Закон Uh формирования управления в модели отождествляется с правилом, ставящим в соответствие каждой тройке q^(-) = {Th,i,£i-,iuh(Th,i)} функцию

где

«¡Ua(0 = = аг8ппп{2(8,,В«) + a(h)\v\2N : v € 5(d(fc))}, (11)

S(d(h)) = {ueRN : |и|* < d{h)}, щ = wh(Ti) -

Пусть взяты семейство разбиений {А^} (2) отрезка Т, а также функции a(h) : (0,1) —> (0,1) и d(h) : (0,1) —> R+, удовлетворяющие следующим условиям:

5(h) -> 0, a{h) — 0, d(h) +оо,

(12)

d2(h)(h+5(h))/a(h) 0, h/5(h) < 1 при h 0.

Теорема 3 Пусть «*(•) 6 L^T;!^) и выполнены условия (12). Тогда семейство позиционных алгоритмов моделирования £>/,, h £ (0,1) вида (2), (3), (10), (11) является регуляризирующим.

В четвертом параграфе главы 1 рассматривается управляемая система, описываемая дифференциальным уравнением в банаховом пространстве (X, | • |х), вида

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + f{t), (13)

ier=[t0)tf], хЦо) = х0.

Здесь A — инфинитезимальный генератор сильно непрерывной полугруппы линейных ограниченных операторов X(t) : X —► X (¿6 Т), /(•) €

Li (T] X) — заданное возмущение, В — линейный непрерывный оператор (В G C(U;X)). Для этой системы указывается алгоритм построения регуляризирующего семейства £>д в предположении, что «,(•) 6 Ut =

МВД.

К уравнению (13) при определенных условиях можно свести, например, функционально-дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения в частных производных.

Слабым решением уравнения (13), отвечающим управлению u(-) G Loo{T; U) и начальному состоянию x(to) — хо, называется непрерывная функция x(t) : Т —* X, задаваемая равенством

t

x(t) = X(t - t0)x0 + J X(t- т){Ви(т) + f{r)} dr.

to

Будем обозначать в дальнейшем слабое решение символом x(--,to,Xo,u(-)). Модель описывается параболическим уравнением вида

w\t) = Aw\t) + Bvh(t) + /(<), wh(t0)=w%. (14)

Под решением (14), порожденным управлением vh(-) G LX(T\U) будем понимать функцию wh(-) = w(-;to,w0,vh(-)) G С(Т\Х) — слабое решение уравнения (14).. Закон выбора начального состояния W/, : X —> X модели имеет вид

=тф=& (is)

Введем два условия.

Условие IX— сепарабелъное гильбертово пространство.

В дальнейшем пространство X отождествляется с сопряженным к нему пространством X*: X = X*.

Условие 2 В пространстве X введена эквивалентная норме \ ■ \х норма

I * 12--

Ci| ■ ь < I ■ \х < С2| • с2 = const G (0, +оо),

б которой полугруппа Х(Ь) ш-диссипативна:

|ДГ(¿)х|2 < ехр(о;4)|а:]2 для любых х е X. Норма | ■ |г порождена некоторым скалярным произведением (•, -)2-Закон ¿4 формирования управления имеет вид

где

<п+1(') = а^тт{/](а,уТиЧ+1 (•)> : е (16)

П+1

= I {а(Н)\у{т)\2и + 2(ёг,Х(тм-т)Ву(т))2}с1т,

8{ = Х(тш - п)щ, = и,\п) - & (17)

Кь = {«(■) е ьЬ V): \и(г)\и < й при п. в. í € [а, д]}.

Пусть взяты семейство разбиений {Д^} (2) отрезка Т, а также функции а(Ь) : (0,1) (0,1) и : (0,1) —► удовлетворяющие следующим условиям:

5{Н) ->• 0+, а(К) 0+, <1{К) +оо, а{к)ё(Ь) -* 0+,

(18)

{5(к)й2(И,) + М(/г)}а_1(/г) 0 при Л0.

Теорема 4 Пусть и»(-) = и»(-;а;(-)) € 1/оо(Т;[7) и выполнены условия (18). Тогда семейство позиционных алгоритмов моделирования Иь, /г € (0,1) вида (2), (3), (14)—(17) является регуляризирующгш.

В пятом параграфе приведены результаты модельных расчетов, иллюстрирующих алгоритмы реконструкции управлений, описанных в § 2 и § 3 главы 1.

Во второй главе исследуется задача динамического восстановления неизвестных входных воздействий для систем с распределенными параметрами.

В первом параграфе главы 2 указывается алгоритм динамической реконструкции входов для системы, которая описывается параболическим вариационным неравенством

(x(t)-Bu{t)-f(t),x(t)-z)+(Ax(t),x(t)-z) + ip(x{t))-ip{z) < 0 (19)

при п.в! t € Т = {tо, г?] Vz в V, x(t0) = х0 G D{<p).

Здесь X = Я, V и Я — действительные гильбертовы пространства, пространство V вложено в пространство Н плотно и непрерывно: V С Я = Н* С У*. Символы (•,•) и (•,■) означают скалярное произведение в Я и двойственность между V и У* соответственно, А : V —> V* — линейный, непрерывный и симметричный оператор, удовлетворяющий (для некоторых с > 0 и ш € R) условию коэрцитивности

(Ау,у)+ш\у\2в>с\у\1,

/(•) € W1,2(:T; Я) — заданное возмущение, <р : V R+ = {г £ R : г > 0} U {+оо} — слабо полунепрерывный снизу выпуклый функционал, D(ip) = {х € V : у(х) < +оо} — область его определения, W^{T;H) = {х{-) € L2{T;H) : х(-) Е L2(T;ff)j, В - линейный непрерывный оператор, действующий из пространства U в пространство Я. Введем функционал <Ры{у) : Я —> R+

( 1/2{Ау,у)+и,/2\у\2н + <р(у), если у € D(<p), <Ра{у) = S

[ +00 в противном случае.

При выполнений соответствующих условий регулярности6 известно, что для любых «(•) € L2{T,U) и а;о 6 D(ip) существует единственное решение вариационного неравенства (19), т.е. существует единственная функция ж(-), удовлетворяющая (19) и обладающая свойствами:

1(0 = *(■; to, х0, u(0) е W,(T) = Ил1,2(Т; Я) П L2(T; Г),

■x(t) е D(<pu) Vi е т, t -> ipu(x(t)) е ЛС(Г).

6Barbu V. Optimal control of variational inequalities, Pitman Anvanced Publishing Program, London, 1984.

Здесь АС(Т) — пространство абсолютно непрерывных функций.

В этом параграфе рассмотрены два случая: в первом случае предполагается, что и,(-) € Lœ(T; (/), во втором — и,(-) £ ¿^(Т; U).

Модель описывается параболическим уравнением со штрафом wh(t) + Awh(t) + gr&dtp\(wh(t)) = Bt(wh{-), Çh{-))vh(t) + f(t)

(20)

при п.в. t £ T, wh(t0) = wh £ D(<p)

с траекторией wA(-) = wk(--,to,WQ,Çh(-),vh(-)) £ C(T; H), управлением vh{-) и начальным состоянием Wq = Wh(tf) £ {x € Xo : |£o — x\н < 2Л}. В уравнении (20) Л = A (h) < h2 — монотонно убывающая функция,

ipx{y) = inf{|* - у\н/2\ + v(y) : 2 € Я}.

Семейство операторов ¿?j(•):[/—» H имеет следующую структуру

Bt(eA(0. "ЧОИ«) = Bvh(t) - u'(wh(Ti) - £?)

(21)

при t e Si = [Ti, 7¿+1), г,- = 7b,i,

{0, если и < 0,

и + £ о в противном случае (го > 0). В первом случае (и,(-;х(-)) £ L<x¡{T\U)) закон выбора управления в модели имеет вид

Uh{TUílw\Ti)) = <Ti+i(.),

где

<ri+1W = агяшт{/(а,«,а0 : v £ S(d(h))}, (22)

l(a, v, Si) = 2(sí, Bv) + a(h)\v]b, щ = wh(n) - (23)

S(d{h)) = {«£[/: luit/ < d(h)}. Выбраны семейство разбиений {Д^} (2) отрезка T, а также функции a(h) : (0,1) —» (0,1) и d(h) : (0,1) —» R+, удовлетворяющие следующим условиям a{h) -> 0, 5(h) 0, d(h) -> +оо,

(24)

d{h){h + &{h))a-\h) 0, a(h)d2(h) 0 при h ->■ 0+.

Теорема 5 Пусть «»(•) = и*(-;х(-)) € Lœ(T-, U) и выполнены условия (24) согласования параметров. Тогда семейство позиционных алгоритмов моделирования Dh, h € (0,1) вида (2), (3), (20)-(23) является регуляризиру-ющим.

Введем

Условие 3 Функция <р дифференцируема, а оператор Сх = gradiр(х) : V —> V* — Липшицев.

В этом случае теорема 5 также справедлива, если в качестве модели взято параболическое уравнение

wh(t) + Awh(t) + Cwh(t) = Bt(wh(-), th(-))vh(t) + /(*) (25)

с начальным состоянием wh(to) = Wq.

Теорема 6 Пусть выполнено условие 3, модель имеет вид (25), U = V, В — оператор канонического вложения V в H и управление и,(-;х(-)) является функцией ограниченной вариации. Тогда справедлива оценка

МО - «*(■)!ЫТ;Л) < K{[d(h){h + 6(h)) + a(h)d2(h)}W + + a~1(h)d(h)(h + ô(h))}.

Во втором случае (и»(-) 6 U)) закон выбора управления в модели имеет вид

Uh(Ti,tt™h(n))=vhTi:TiJ-),

где

= argmin{i(Q,i;,Si) : v € U}, l(a, v, Si) = 2(Si, Bv) + a(h)\v\l, 8i = wh(n) -

т.е.

= -a^B'si. (26)

Символ В* означает оператор, сопряженный к оператору В. Пусть семейство разбиений {Д/J (2) отрезка Т и функция a{h) : (0,1) —> (0,1) обладают следующими свойствами

h&-\h)<C, 5(h)a~2(h) < С, a(h) —► 0, 5(h) —> О,

(27)

(h + 5(/i))a_1(/i) —► 0, при Здесь С = const > 0 — постоянная, не зависящая от h.

Теорема 7 Пусть и,(-) = и*(-;х(-)) € b¡{T; U) и выполнены условия (27) согласования параметров. Тогда семейство позиционных алгоритмов моделирования Dh, h € (0,1) вида (2), (3), (20), (21), (26) является регуля-ризирующим.

Теорема 8 Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда справедлива следующая оценка скорости сходимости алгоритма

к(-) - W) ^ + W2 + (h + S(h)h-l(h)}.

Во втором параграфе главы 2 рассматривается задача динамического восстановления входных воздействий для системы, моделирующей процесс отвердевания вещества, которая описывается так называемыми уравнениями фазового поля7. Переменными состояния системы являются параметр упорядочения <р (называемый также фазовой функцией) и температура вещества -ф. В отличие от классической задачи Стефана, которая моделирует процесс отвердевания вещества с четкой границей раздела твердой и жидкой подобластей, уравнения фазового поля применимы для расплывчатых, нечетких областей. Фазы вещества определяются посредством параметра упорядочения (р. Подбирая соответствующие коэффициенты, можно считать, что область {77 £ = 1} является жидкой областью, а область {г/ 6 Q\ip(r)) = —1} — твердой. Область раздела описывается точками rj € Ü, где параметр упорядочения принимает значения из интервала

7Cagina]p G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Archive for rational mechanics and analysis. 1986, Vol. 92, pp. 205-245.

(—1,1). Рассматривается система, состоящая из следующих дифференциальных уравнений в частных производных

^ф + l-^tp = кАьФ + и в iix(t0,tf], = const <+оо,

T^tP = + 9^ + ^ с граничными -J^ip = — 0 на Oil x (i0, tf] и начальными ф = фо, <p = ipo в D, условиями. Здесь Г2 G R" — ограниченная область с достаточно гладкой границей Ш, Al — оператор Лапласа, X = Я х Я, Н = Ь2{&), функция g(z) = az + bz2 — cz3 является производной так называемого потенциала G(z). Для простоты считаем к = ^ = т = с = 1.

Для этой системы строится алгоритм динамического восстановления величины и по результатам неточных измерений {ip, ф} в предположении, что. множество допустимых управлений имеет следующий вид:

UT = {«(•) G ¿2(Г; Я) : u{t) € Р при п.в. t € Т},

где Р С Я — заданное выпуклое, ограниченное и замкнутое множество.

Модель описывается системой уравнений

(28)

= Д^, г,) + <?(«#, V)) + V)

с граничными = д^ги^ = 0 на <9П х и начальными и?1 (Ц) — фо,

№2(^0) = уо в П условиями. Здесь символ ии= {»!(<), € Я х Я

означает фазовое состояние модели в момент Закон ¿4 формирования управления имеет вид

= <Т;+1(-),

где

= ^ (29)

vtft(1) = argmin{(z?,t;)F + a\v\% :ve P}, (31)

= a = a(h), (32)

г* == w^in) - $ + 1(и£(т,) - g), c, = const > 0.25/2.

Пусть взяты функция a(h) : (0,1) —> М+ и семейство разбиений {Д/J (2) отрезка Т со свойствами:

a(h) —> 0, 5(Л) —» 0, (h + S^a'^h) -» 0 при h 0. (33)

Теорема 9 Пусть I > |а + ы выполнены условия согласования

параметров (33). Тогда семейство позиционных алгоритмов моделирования Dh, h £ (0,1) вида (2), (3), (28)—(32) является регуляризирующим.

При некоторых дополнительных условиях, предъявляемых к функции и»(-), могут быть установлены оценки скорости сходимости алгоритма.

Теорема 10 Пусть щ(-) £ W1,2(T; Н)Г\Ь2(Т\ Нх(Щ. Тогда имеет место следующая оценка скорости сходимости алгоритма

Ы-) - vh{1)(-)ll(T;H) < Ko{(h + 6(h) + a(h)f'2 +(h + 5(h))a-\h)}.

В третьем параграфе главы 2 приведены результаты модельных расчетов, иллюстрирующих алгоритм реконструкции управлений, описанный в § 1 главы 2, применительно к параболической задаче с препятствием.

Публикации по теме диссертации

Статьи в реферируемых изданиях:

1. Кадиев А. М., Максимов В. И. Об одной обратной задаче для параболического вариационного неравенства // Журнал выч. мат. и мат. физики, 2004. Т. 44. № 11. С. 1983-1992.

2. Кадиев А. М., Максимов В. И. О восстановлении входа в параболической задаче с препятствием // Изв. Урал. гос. ун-та. 2006. № 46. (Математика и механика. Вып. 2). С. 60-68.

3. Кадиев А. М., Максимов В. И. О реконструкции управлений в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 2007, том 43, № 11, с. 1545-1552

4. Кадиев А. М., Максимов В. И. Обратная задача для системы уравнений с распределенными параметрами // Дифференциальные уравнения, 2007, том 43, № 3, с. 358-367.

5. Кадиев А. М. Численное решение задачи динамического восстановления входа для дифференциального уравнения с запаздыванием // Вестник Удмуртского университета, 2008, Вып. 2. (Математика. Механика. Компьютерные науки) С. 52-53.

Статьи в прочих изданиях:

6. Kadiyev А. М. and Maksimov V. I. Dynamical Discrepancy Method in an Input Reconstruction Problem for a Delay System // Functional Differential Equations. Vol. 14, 2007. No. 3-4. PP. 1-19.

7. Кадиев A. M. Об обратной задаче динамического восстановления в системе с запаздыванием // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007, вып. 2, с. 100-105

8. Близорукова М. С., Кадиев А. М. Программа RECON1 динамической идентификации неизвестных характеристик динамических систем // Труды III международной конференции «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO'04. Москва. 2004. С. 1959-1967.

9. Кадиев А. М. Численная реализация метода динамической регуляризации в параболической задаче с препятствием / / Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург: Уро РАН, 2008. С. 255-259.

10. Кадиев А. М., Максимов В. И. О моделировании управления и траектории параболического вариационного неравенства / / Тезисы докладов Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». Екатеринбург, 2-6 февраля, 2004 г. С. 168.

11. Кадиев А. М. Об одной обратной задаче для параболического вариационного неравенства // Тезисы докладов Международного семинара «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби». Екатеринбург, Россия, 22-26 июня, 2005 г. С. 80.

12. Кадиев А. М. О восстановлении входных воздействий в параболической задаче с препятствием. Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Абрау-Дюрсо, 4-10 сентября 2006.

13. Kadiyev A. M., Maksimov V.I. On some "inversion-control" problems for parabolic variational inequalities //Thesis of 14th International Workshop on Dynamics and Control, Zvenigorod, Russia, May 28 - June 2, 2007. P. 41.

14. Кадиев A. M. О моделировании управлений в параболическом уравнении// Тезисы докладов Второй международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании», 22-24 ноября, 2007, Екатеринбург, Россия. С. 31.

Кадиев Алексей Махаевич

Исследование задач динамической реконструкции с помощью метода управляемых по принципу обратной связи моделей

Автореф. дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук.

Подписано в печать 07.11.2008 г. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз.

Введение.

Основные обозначения

ГЛАВА 1. АЛГОРИТМЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМ (С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. Постановка задачи. Метод решения

2. Динамический метод невязки

3. Об одном варианте метода сглаживающего функционала для нелинейной системы с запаздыванием

4. Реконструкция входов в линейных системах

5. Результаты вычислительных экспериментов.

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1. Алгоритм динамической реконструкции входов для параболического вариационного неравенства

2. Алгоритм динамической реконструкции входов для уравнений фазового поля.

3. Результаты вычислительных экспериментов.

В настоящее время во многих теоретических и прикладных исследованиях различных явлений и процессов возникают задачи, связанные с восстановлением неизвестных характеристик динамических систем. Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем и состоят в нахождении неизвестного входа системы по результатам измерений ее выхода. Предполагается, что уравнение, задающее динамику системы, известно, — им может быть обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, функционально-дифференциальное уравнение и т. д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, ими могут быть управление (как функция времени), подаваемое на систему, и начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. Интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.

Первые публикации по данной тематике появились в середине 60-х годов. В работах Р. Брокетта, М. Месаровича [83], JI. Силвермана [111] и других авторов [92], [110], [112] для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости входов, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. В литературе, вышедшей в 90-е годы, вопросам восстановления входных воздействий посвящены монографии [107], [61], [91], [47]. Если выход системы измеряется неточно, то обратные задачи динамики переходят в класс некорректных, и построение их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов. Существенный вклад в развитие теории некорректных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанскип, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агош-ков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсенин и др. [1]-[4], [6], [8], [И], [16]—[19], [28], [36]—[39], [51]—[53], [65], [70], [72]-[76], [96].

Алгоритмы регуляризации в указанных работах обрабатывают всю историю изменения входа, т. е. имеют апостериорный характер. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [57], [31]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в «реальном времени» состояния аффинной по управлению системы. В [107] дана общая теория динамического обращения для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе алгоритмов лежит сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитого Н. Н. Красовским и его школой [25]—[27] и методов теории некорректных задач [74], [8], [18]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм реконструкции строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т. е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Указанный подход успешно применялся к решению задач реконструкции для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [12], [32], [42], [58]-[60], [94], [95], для систем с запаздыванием [29], [104], [44], [45], [47], [93], [101] и для систем с распределенными параметрами [20], [21], [30], [43], [47], [61], [69], [98], [99], [103], [105], [106], [108]. Абстрактная постановка задачи динамической регуляризации, а также метод ее решения, основанный на привлечении функции Ляпунова, рассматривались в [58].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер главы, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 119 страниц машинописного текста.

1. Агошков В. И. Обощенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

2. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

3. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978.

4. Арсении В. Я., Гончарский А. В. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестник МГУ. Сер. Вычисл. математ. и кибернет. 1981. № 3. С. 13-17.

5. Влизорукова М. С., Максимов В. И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2, с. 56-61.

6. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

7. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977.

8. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

9. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

10. Васильева Е. В. Нижние оценки скорости сходимости алгоритмов динамической реконструкции для систем с распределенными параметрами // Мат. заметки. 2004. Т. 76. вып. 5. С. 675-678.

11. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

12. Вдовин А. Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. Сборник научных трудов "Задачи позиционного моделирования". Свердловск. 1986. С. 3-11.

13. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

15. Гусев М. И. Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохастическая оптимизация. Международная конференция. Киев. Тезисы докладов. Ч. 1. 1984. С. 72-74.

16. Гусев М. И., Куржанский Л. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем// Механ. и научно-техн. прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

17. Жевнин А. А., Колесников К. С., Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1985. № 4. С. 29-35.

18. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

19. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука, 1988.

20. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1989. № 6. С. 35-41.

21. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. выс. учеб. заведений. 1998. № И (438). С. 109-120.

22. Короткий А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 1. С. 21-24.

23. Короткий А. И., Цепелев И. А. Верхняя и нижняя оценки точности в задаче динамического определения операторов // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург. Т. 4. С. 227-238.

24. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1959.

25. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

26. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

27. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

28. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

29. Кряжимский А, В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математ. и мех. 1983. Т. 47. № 6. С. 815-825.

30. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1997. Т. 37. № 3. С. 119-125.

31. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 51-60.

32. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196-211.

33. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О методах позиционного моделирования управления в динамических системах. / в кн.: Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений и управляемы систем. Свердловск: УрО АН СССР, 1988. С. 34-44.

34. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивое решение обратных задач динамики управляемых систем. Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. Математ. института им. В.А.Стеклова. Москва, 1988. Т. 185. С. 126-146.

35. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

36. Куржанский А. В., Сивергина И. Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем // ДАН. 1998. Т. 1. № 2. С. 31-36.

37. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

38. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. СО, 1980.

39. Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

40. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

41. Максимов В. И. Позиционное моделирование неограниченных управлений для нелинейных систем с диссипацией// Автоматика и телемехан. 1988. № 4. С. 22-30.

42. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2059-2067, II // 1991. Т. 27. № 4. С. 597-603.

43. Максимов В. И. Позиционное моделирование некоторых параметров дифференциально-функциональных систем// Сборник научных трудов "Некоторые методы позиционного и программного управления". Свердловск. 1987. С. 84-106.

44. Максимов В. И., Позиционное моделирование управлений и начальных функций для систем Вольтерра// Дифференциальные уравнения. 1987.

45. Максимов В. И. О динамическом моделировании неизвестных возмущений в параболических вариационных неравенствах// Прикл. мат. и мех. 1988. Т. 52. № 5. С. 743-750.

46. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: Изд-во Института математики и механики УрО РАН, 2000.

47. Максимов В. И. Метод функций Ляпунова в задачах реконстрзтсции входов систем с последействием // Современная математика и ее приложения. Т. 26(2005). С. 78-95.

48. Максимов В. И., Пандолфи Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах// Прикл. матем. и механ. 2001. Т. 65. № 3. С. 35-42.

49. Максимов В. И., Трольц Ф. Об одной обратной задаче для уравнений фазового поля // Доклады Академии Наук, 2004, том 396, №3, с. 309312.

50. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973.

51. Марчук Г. И., Агошков В. И., Шутяев В. П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

52. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

53. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 7. № 4. С. 631-638.

54. Овсеевич А. И., Тру щенков В. Л., Черноусько Ф. Л. Управления непрерывного гарантированного оценивания состояния динамических систем // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика, 1984, №4.

55. Осипов Ю. С. // ДАН СССР. 1971. Т. 196. № 4. С. 761-768.

56. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннотации докл. 5-го Всесоюзн. съезда по теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР. 1981. С. 214.

57. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

58. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О моделировании параметров динамической системы // Задачи управления и моделирования в динамических системах. Свердловск, 1984. С. 47-68.

59. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск, 1989. С. 53-56.

60. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи дииамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препринт Института математики и механики УрО АН СССР. 1991. 104 С.

61. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Обратные задачи динамики для параболических систем// Дифференц. уравн. 2000. Т. 36. № 5. С. 579-597.

62. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999.

63. Осипов Ю. С., Охезин С. П., К теории дифференциальных игр в параболических системах // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226. № 6. С. 1267-1270.

64. Петров Б. Н., Крутько П. Д., Попов Е. П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики // ДАН СССР. 1979. Т. 247. № 5. С. 1078-1081.

65. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала // Мат. заметки. 1974. С. 755-765.

66. Прилепко А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента при младшей производной в параболическом уравнении// Дифференц. уравн. 1987. Т. 23. № 1. С. 136-143.

67. Розенберг В. Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991.

68. Розенберг В. Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183-202.

69. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

70. Сьярле Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

71. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

72. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики. Бюлл. Московского гос. унив-та. (А). Т. I. М.: ГОНТИ. 1939. 25 С.

73. Тихонов A. PL, Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

74. Черноусько Ф. JI. Гарантированные оценки неопределенных величин при помощи эллипсоидов // ДАН СССР. 1980. Т. 252. № 1. С. 198-207.

75. Черноусько Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

76. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979.

77. Banks Н. Т., Kappel F. // J. Differ. Equat. 1979. Vol. 34. N 3. P. 406-522.

78. Baras J. S., Kurzhanskii A. B. Nonlinear filtering: the set-membership (bounding) and H^ approaches // Proceedings of the IFAC NOLCOS conference. Tahoe. CA. Plenum Press. 1995.

79. Barbu V.: Optimal control of variational inequalities, Pitman Anvanced Publishing Program, London, 1984.

80. Bensoussan A., Da Prato G., Delfour M., Mitter S. "Representation and Control of Infinite Dimensional Systems", Birkhauser, Boston, 1992, Volume 1.

81. Bernier C., Manitius A. // Canad. J. Math. 1978. Vol. 14. P. 897-914.

82. Brockett R. W., Mesarovich M. P. The reproducivility of mult.ivariable control systems // J. Math. Anal, and Appl. 1965. Vol. 11. N. 1-3. P. 548-563.

83. Brokate M. and Sprekels J. Hysteresis and phase transitions. Springer, New York, 1996.

84. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Archive for rational mechanics and analysis. 1986, Vol. 92, pp. 205-245.

85. Collins J. B., Levine H. Diffusive interface model of diffusion limited crystal growth // Physica Review B, 1985, 31, 6119-6122.

86. Fix G. Numerical simulation of free boundary problems using phase field models // In: The Mathematics of Finite Elements and Applications IV, MAFELAP, 1981, J.R. Whiteman, ed., Academic Press, London, New York, 265-279.

87. Heinkenschloss M., Troltzsch F. Analysis of the Lagrange-SQP-Newton method for the control of a phase field equation // Control and Cybernetics, 1999, 28, 2:177-211.

88. Hirshorn R. M. Invertibility of nonlinear control systems / / SI AM J. Contr. and Optim. 1979. Vol. 17. N. 2. P. 289-297.

89. Hoffmann K.-H., Jiang L. Optimal control problem of a phase field model for solidification, // Numer. Funct. Anal. 1992, 13, 11-27.

90. Isakov V. Inverse source problems. Providence, R.I.: AMS, 1990.

91. Hirshorn R. M. Invertibility of nonlinear control systems // SIAM J. Contr. and Optim. 1979. Vol. 17. N. 2. P. 289-297.

92. Kappel F., Maksimov V. I. Robust dynamic input reconstruction for delay systems// Int. J. Appl. Math, and Comp. Sci., 2000. Vol. 10. N. 2. P. 283-307.

93. Kryazhimskii A. V., Osipov Yu. S. On positional calculation of normal controls in dynamical systems // Probl. Control and Inform. Theory. 1984. Vol. 13. N. 6. P. 425-436.

94. Kurzhanskii A. B., Khapalov A. Yu. On the state estimation problem for distributed systems. Analysis and Optimization of systems // Lecture Notes in Control and Informational Sci. Springer-Verlag. 1986. Vol. 83.

95. Magenes E. Some typical free boundary problems, in Boundary value problems for linear evolution partial differential equations, Garnir (ed.). 1977. P. 239-312.

96. Maksimov V. I. On dynamical reconstruction in nonlinear parabolic systems // Lecture Notes in Control and Informat. Sci. Springer Verlag. 1992. Vol. 180. P. 404-413.

97. Maksimov V. I. Inverse problems for variational inequalities // Internat. Series of Numerical Mathematics. 1992. Vol. 107. P. 275-286.

98. Maksimov V. Dynamical inverse problems for parabolic variational inequalities // An. St. Univ. Ovidius Constanta, 1998, Vol. 6, No. 1, pp. 97110.

99. Maksimov V. I. Problems of robust control and dynamical input reconstruction for time-delay systems/'/Proc. CD 5th European Control Conf. Karlsruhe, 1999.

100. Maksimov V. I., Pandolfi L. Dynamical identification of inputs for linear retarded systems and partial observations, Proceedings of IFAC Workshop on Linear Time-Delay Systems, Ancona, Italy, 11-13 September 2000, P. 4147.

101. Osipov Yu. S. Control problems under insufficient information // Proceeding of 13th IFIP Conference "System modelling and Optimization". Tokyo. Japan. 1987. Springer. 1988.

102. Osipov Yu. S. On reconstruction of a parameter of dynamical system // Proc. Int. Symp. "Functional-Differential Equations". Kyoto, Japan. 1990. P. 309-317.

103. Osipov Yu. S. On the reconstruction of a parameter for hyperbolic system. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-91-54. 1991. 32 P.

104. Osipov Yu. S., Korotkii A. I. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems. Ill-posed Problems in Natural Sciences. VSP-TVP. Tokyo. Japan-Moscow. Russia. 1992. P. 108-117.

105. Osipov Yu. S. and Kryazhimskii A. V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995.

106. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. Vol. 4. No. 4. P. 267-282.

107. Pandolfi L., Maksimov V. Dynamical reconstruction of unbounded controls in nonlinear dynamical systems// CD Proc. Fourteenth Internat. Simposium "Math. Theory of Networks and Systems". Perpignan, France, June 19-23, 2000.

108. Sain M. K., Massey J. L. Invertibility of linear time-invariant dynamical syst,ems//IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 141-149.

109. Silverman L. M. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1965. Vol. AC-14. P. 270-276.

110. Willsky A. S. On the invertibility of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. AC-19. P. 272-274.

111. Кадиев A. M., Максимов В. И. Об одной обратной задаче для параболического вариационного неравенства // Журнал выч. мат. и мат. физики, 2004. Т. 44. № 11. С. 1983-1992.

112. Кадиев А. М., Максимов В. И. О восстановлении входа в параболической задаче с препятствием // Изв. Урал. гос. ун-та. 2006. № 46. (Математика и механика. Вып. 2). С. 60-68.

113. Кадиев A. M. Об обратной задаче динамического восстановления в системе с запаздыванием // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007, вып. 2, с. 100-105

114. Кадиев А. М., Максимов В. И. О реконструкции управлений в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 2007, том 43, № 11, с. 1545-1552

115. Кадиев А. М., Максимов В. И. Обратная задача для системы уравнений с распределенными параметрами // Дифференциальные уравнения, 2007, том 43, № 3, с. 358-367.

116. Kadiyev А. М. and Maksimov V. I. Dynamical Discrepancy Method in an Input Reconstruction Problem for a Delay System // Functional Differential Equations. Vol. 14, 2007. No. 3-4. PP. 1-19.

117. Кадиев A. M. Численное решение задачи динамического восстановления входа для дифференциального уравнения с запаздыванием // Вестник Удмуртского университета, 2008, Вып. 2. (Математика. Механика. Компьютерные науки) С. 52-53.

118. Близорукова М. С., Кадиев А. М. Программа RECON1 динамической идентификации неизвестных характеристик динамических систем // Труды III международной конференции "Идентификация систем и задачи управления", SICPRO'04. Москва. 2004. С. 1959-1967.

119. Кадиев А. М. Численная реализация метода динамической регуляризации в параболической задаче с препятствием // Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции " Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: Уро РАН, 2008. С. 255-259.

120. Кадиев А. М., Максимов В. И. О моделировании управления и траектории параболического вариационного неравенства // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". Екатеринбург, 2-6 февраля, 2004 г. С. 168.

121. Кадиев А. М. Об одной обратной задаче для параболического вариационного неравенства // Тезисы докладов Международного семинара "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби". Екатеринбург, Россия, 22-26 июня, 2005 г. С. 80.

122. Кадиев А. М. О восстановлении входных воздействий в параболической задаче с препятствием. Тезисы докладов III Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики". Абрау-Дюрсо, 4-10 сентября 2006.

123. Kadiyev А. М., Maksimov V.l. On some "inversion-control"problems for parabolic variational inequalities //Thesis of 14th International Workshop on Dynamics and Control, Zvenigorod, Russia, May 28 June 2, 2007. P. 41.

124. Кадиев A. M. О моделировании управлений в параболическом уравнении// Тезисы докладов Второй международной конференции "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании", 22-24 ноября, 2007, Екатеринбург, Россия. С. 31.