Задачи динамической реконструкции входа при измерении части координат тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

МАРТЬЯНОВ Александр Сергеевич

ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ВХОДА ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ЧАСТИ КООРДИНАТ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук /

Екатеринбург — 2005

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

В.И. Максимов.

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН

А.В. Кряжимский,

доктор физико-математических наук Ю.И. Бердышев.

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится "05 " Остакт-З 2005 года в 15.00 час. на заседании специализированного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН (620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан _" августа 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук, с.н.с.

А.А. Успенский

tooe^JL

\Чо2-Ъ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В исследованиях различных динамических процессов и явлений возникают задачи восстановления неизвестных характеристик изучаемых объектов по доступной, зачастую неполной информации о пространственных координатах, скоростях или других количественных характеристиках движения (траектории), поступающей в процессе специально организованных наблюдений. Такие задачи вкладываются в класс обратных задач динамики управляемых систем и возникают при изучении тех свойств объектов и процессов, которые недоступны или труднодоступны для прямого измерения и о которых приходится судить по косвенным проявлениям. Хотя отдельные классы обратных задач давно рассматривав ются в науке и практике, широкое исследование началось сравнительно недавно, что связано с прогрессом в соответствующих областях. Существенную роль в становлении теории обратных задач сыграло интенсивное развитие теории неустойчивых (некорректных) задач. Зачастую измерения результатов наблюдения сопровождаются неизбежными ошибками. Это обстоятельство затрудняет применение обычных методов для поиска решения обратных задач и требует привлечения специальных методов, наг зываемых методами регуляризации. Последние разрабатываются в рамках теории некорректных задач, основа которой заложена в работах А. Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, В. К. Иванова, В.В. Васина1>2'3. Существенный вклад в разработку методов решения некорректных задач внесли также В. И. Агошков В. Я. Арсенин, А. Б. Бакушинский, Ф. П. Васильев, А. В. Гончарский, В. А. Морозов, В.П. Танана и многие другие ученые. Подходы к решению обратных задач динамики управляемых систем развиты в работах А. Б. Куржанского, Б. Н. Петрова, Ф. А. Черноусько и ряда других авторов.

Большинство исследований обратных задач динамики управляемых систем связано с их апостериорной (программной) постановкой, когда уже закончены все измерения и известна вся информация о проведенных наблюдениях. В данной работе основное внимание уделяется так называемым позиционным регуляризирующим алгоритмам. Эти алгоритмы применяются в тех случаях, когда требуется восстанавливать неизвестные характеристики в динамике, синхронно с развитием наблюдаемого' процесса.

аврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. СО, 1980.

'Тихонов А.Н.. А р с е

нин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

'Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория пидейдык некорректных задач и ее

приложения. М.: Наука, 1978.

i БИБЛИОТЕКА

ST3W

KMjt

Разрешающий алгоритм строится в классе конечношаговых алгоритмов, учитывающих информацию, поступающую в заданные дискретные моменты времени. При этом на каждом шаге работы алгоритма для определения текущего приближения восстанавливаемой характеристики используется лишь те измерения которые уже имеются в распоряжении. Таким образом, эти алгоритмы обладают свойством вольтеровости, или, как часто называют, свойством неупреждаемости, или свойством физической ощутимости. Это свойство крайне важно в тех случаях, когда решение обратной задачи динамики используются в системах с обратной связью, в системах автоматического регулирования, в ситуациях, когда восстанавливаемые в режиме реального времени значения входных параметров системы немедленно используются в процессе управления.

Вопрос о построении таких динамических алгоритмов регуляризации обратных задач динамики для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осилова и А. В. Кряжимского4,5. Там же предложен подход к их решению, который с идейной точки зрения основан на сочетании принципа позиционного управления с моделью, развитого Н. Н. Красовским6,7 й его школой, и методов теории некорректных задач. В рамках указанного подхода процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной сйязи вспомогательной управляемой системой (моделью). При этом, бо-первых, конструируется некоторый оценочный функционал, из малости значений которого на движении модели следует близость модельного управления к искомому входу в смысле подходящей метрики. Во-вторых, управление в модели выбирается так, чтобы стабилизировать упомянутый функционал. Отметим, что работа выполнена в рамках указанного подхода к постановке и решению обратных задач динамики.

Для случая измерения части координат вектора состояния системы, подобные алгоритмы сконструированы в работах A.B. Кряжимского и Ю.С.

4Кряжимский А.В , О с и п о в Ю.С. О моделировании управления в динамической системе// Изв. АН СССР. ТЬсн. кибернетика. 1983. No 2 С. 29-41.

s0 s i р о V Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

'КрасовскийН. H., Субботин А. И Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1984.

тКрасовскийН. Н. Управление динамической системой. М : Наука, 1985.

1 ' г -»; и' ,

. 1 4

Tit W 51'» '

Осипова5'8, А.И. Короткого9, В.И. Максимова10, М.С. Близоруковой11 и др.

Цель работы. Построение новых регуляризирующих алгоритмов для задачи динамического восстановления пары "траектория — управление" при измерении части координат фазового вектора динамической системы, описываемой нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Исследование скоростей сходимости (установление верхних и нижних оценок точности, а также получение условий, когда эти оценки имею одинаковый порядок) ранее известного и новых регуляризирующих алгоритмов.

Методы исследования. Методы исследования опираются на принципы теории позиционного управления и теории некорректных задач. В диссертации используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, линейной алгебры, математической теории управления.

Научная новизна. Основные результаты.диссертации:

1. Решена задача динамической реконструкции пары "траектория — управление" (при измерении части координат фазового вектора) для нелинейной по фазовым переменным управляемой системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, в случае отсутствия мгновенных ограничений на управление. Указано два разрешающих позиционных алгоритма, которые основаны на сочетании принципа управления с моделью и методов теории некорректных задач: первый — метода сглаживающего функционала, второй — динамического варианта метода невязки.

2. Работа алгоритма реконструкции пары "траектория — управление", основанного на методе сглаживающего функционала, апробирована на примере, в котором восстанавливаются динамические характеристики летательного аппарата.

3. Для предложенного в работе12 алгоритма реконструкции входа (при измерении всего фазового вектора системы) получены верхние и нижние оценки точности, имеющие одинаковый порядок скорости сходимости.

4. Проведен анализ сходимости алгоритма восстановления пары "траек-

8КряжимскийА. В., Осипов Ю. С.Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196-211.

9К о р о т к и й А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. выс. учеб. заведений. 1998. № 11 (438). С. 109-120.

10М а к с и м о в В. И. Реконструкция входных воздействий при измерении части координат //В кн. "'Итоги науки и техника. Современная математика и ее приложения", М..ВИНИТИ, 2002. С. 137-171.

ПБ л и з о р у к о в а М. С., Максимов В. И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2, с 56-61.

12М а к с и м о в В. И., П а н д о л ф и Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах. // Прикладная математика и механика. 2001. Т.65. №3.

тория — управление" (в случае измерения части координат), основанного на методе сглаживающего функционала. Установлены оценки скорости сходимости, совпадающее по порядку.

Результаты диссертационной работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации дополняют теорию обратных задач динамики управляемых систем, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. В работе рассмотрена задача динамической реконструкции пары "траектория — управления" при измерении части координат в случае, когда входное воздействие (управление) является неограниченным. Предложенные разрешающие алгоритмы расширяют сферу приложения задач динамического обращения, а также допускают реализацию в режиме "реального времени" на вычислительных устройствах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 92 наименования. Общий объем работы составляет 105 страниц'машинописного текста.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, МГУ, 2003 г.), конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004 г.), VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004 г.), региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004 г.); на семинарах в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (факультет ВМК, кафедра оптимального управления 2005 г.) и в Институте математики и механики УрО РАН (2002-2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8]. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, приводятся истори-ко-библиографические справки, сведения о публикациях.

В диссертации рассматриваются задача динамического восстановления пары "траектория — управление" при измерении части координат фазового состояния управляемой системы и при отсутствии информации об априорных ограничениях на значения управляющих воздействий. Система описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Содержатель-

но суть рассматриваемой проблемы может быть сформулирована следующим образом. Имеется динамическая система функционирующая на промежутке времени Т = [¿о, Ее траектория x{t) = {y(t), z(t)} £ R(9+r\ y(t) = y(t]t0,y0,Z0,u{-)) G M9,z(f) = z{t-,to,yo,zoM-)) e Кr,t e T, зависит от начального состояния xq = {j/o, ¿o} и изменяющегося во времени неизвестного входного воздействия и(-) из множества "допустимых управлений" Ut ~ L2(Г, Еп). На промежутке Т взято равномерное разбиение Д = {т,}™о с шагом 8, т0 = t(¡, ri+1 = r¿ + S, rm = t9. В моменты г, производятся замеры части координат фазового вектора системы

y(t) = Cx(t) € IT,

где

С = ^ q ^ — (? х (<7 + г))-мерная матрица. (1)

Здесь 1д— единичная матрица размерности [q х q). Выход измеряется с ошибкой. Результаты измерений — вектора rft el5 - неточны и удовлетворяют неравенствам

\ni-y{n)\<h («= 0, (2)

где h — величина информационной погрешности.

Требуется построить алгоритм, который по текущей информации rjh{-) в темпе "реального времени" восстанавливает неизмеряемую компоненту z(-) фазового вектора и некоторое управление и(-), порождающее выход у(-). Так как их точное восстановление невозможно (из-за неточности измерения т]и дискретности замеров), то фактически необходимо, чтобы алгоритм синхронно с развитием процесса формировал некоторую пару "траектория — управление" {го^(-),uft(-)}, которая должна быть "близка" к паре (z(-), «(■)} в соответствующей метрике. В случае, когда измеряются все координаты (т.е. С = 1д), естественно ставить вопрос о восстановлении только управления uh(-), являющегося аппроксимацией некоторого входа и(-), порождающего траекторию ж(-).

В первой главе рассматривается описанная выше задача для случая, когда Е описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида

y(t) = y{t), z{t)) + <p2(t, y{t), z(t))u(t), (3)

z{t) = ^(í, y{t),z(t)) + V2(f, y(t), z(t))u(t), (4)

y{to) = У0, z(t0) = z0, teT= [t0,1?].

Векторные функции <pi(-), V-'i(') отображают декартовое произведение Т х М? х Ег соответственно в 1' и Rr, матричные функции y>2(-)i ^г(') — в пространства (q х п)- и (г х п)-мерных матриц. Функции <pi(-), v>2(-)> 4>\{-), ФЖ) удовлетворяют условию Липшица по совокупности аргументов. Решение этой системы, отвечающее начальному условию х(<о) = %о = {уо, zq} и управлению и(-) € L'î(T] К"), понимается в смысле Каратеодори, то есть как абсолютно непрерывная функция, при почти всех t € Т удовлетворяющая (3), (4) соответственно. Будем обозначать это решение символом я(') = (î/0), *(•)}> у{~) =У(-;*о,Уо,2о,и{-)), z(-) = z(-;t0,y0,z0,u(-)).

В § 1 первой главы дана строгая постановка рассматриваемой в диссертации задачи. Описывается подход к ее решению, предложенный в работе [3]. В соответствии с этим методом задача реконструкции пары "траектория — управление" заменяется задачей управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой M (моделью), движение wh(-) которой при фиксированном начальном состоянии Wq является решением подходящим образом выбранной системы дифференциальных уравнений

кусочно-постоянных функций т]н{-): т/1^) — т}^, < £ {, = [Т|,т,+1), удовлетворяющих (2).

Размерности фазового вектора и управления {7Л(^ в модели априори не оговаривается, и в каждом конкретном случае они свои. Закон формирования управления {7Л(-) в модели отождествляются с парами

Д/> = {тмКИо. тМ = *о, Tkti+ï-rh}l + S(h), rKmh = т?, (6) Uh — функция, ставящая в соответствие каждой четверке

sh = (ah,uh),

где Д(, — разбиение отрезка Т на полуинтервалы [т^,, Tflii+1):

ÏW(-) = Ки rii-ь ^h(rhii)} (г = 0,1,..., mh - 1)

(7)

называемой позицией, вектор

(8)

Таким образом, тройка (Ад, M,Uh) при каждом h € (0,1) определяет некоторый алгоритм Dh на множестве измерений г;Л(-) £ Б(у(-), h), формирующий выход

= (ю)

где wh(-) = {Wz(-), Wi (•)}, причем w^(-) : Т Rr — часть координат модели, "аппроксимирующая" неизмеряемую компоненту z(-) фазового вектора системы Е, Wi(-) : Т Ег — некоторая вспомогательная часть модельной траектории. Аналогично, Uh(-) = {иЛ(-), где uh(-) :Т -+Шп служит

приближением входа u«(-), a uj(•) : Т Мр — вспомогательное управление в модели.

Работа алгоритма Dh протекает по следующей схеме. До начального момента времени фиксируются величина h € (0,1) и разбиение Д = Да = {ггЖо- Алгоритм Dh разбивается на m — 1 однотипных шагов. Очередной, г-й, шаг выполняется на промежутке времени = [т*, ц+1). В течение этого шага осуществляются следующие операции. В момент г, замеряется (с ошибкой) реализовавшийся выход у(тг), то есть находится вектор т/f со свойством (2). После этого по правилу (8)-(9) определяется управление в модели (5), под действием которого модель переводится из фазового состояния tyh(rl) в новое состояние u>h(r1+i). Вся процедура заканчивается в момент д.

Для каждого выхода у(-) зададим множество совместимых с ним входов

U(y{-)) = {«(О е ит : 2/(0 = Сх{-, to, «о, «(•)) при п-в. t € Г} . .

В случае измерения части координат, в диссертации всюду предполагается, что это множество одноэлементно, т.е. U(y(-)) = {«»(•)}- Введем

Определение 1. В случае измерения части координат фазового вектора системы Е семейство алгоритмов Dh : E(y(-),h) —у С (Т; х L2 у(-) € С(Т, R9), будем называть регуляризирующим, если выполняются следующие условия:

а) limsup {И') - w*(-;2/(-))k(T;R») «7*0 € 2(у(-),Л)} = О,

б) limsup {КЛ(-) - г(-;<о,®о,и.(-))1с(г^т) : ПН(') € Н(у(-),Л)} = 0.

В случае, когда замеряются все координаты (т.е. С = Iq), вышеуказанное определение трансформируется в следующее

Определение 2. Семейство алгоритмов Бь : Н(х(-), К) —> 11т, х(-) € С(Т, К9) называется регуляризируюгцим, если выполняется условие

Ншзпр {|иЛ(-) - и.(-;х(-))и2(г;к") : *?"(•) е Н(х(-), Л)} = О,

О

где «,(•) = аг§тт{|и(-)иг(т;к») : «(■) € £%(•))}■

В § 2 главы 1 для системы (3)-(4) указывается семейство алгоритмов решения задачи реконструкции пары "траектория — управление", основанных на методе сглаживающего функционала. Описанная выше задача решалась в работе Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского13, где был предложен алгоритм вычисления г(-) и «(•) , когда на входное воздействие наложено мгновенное ограничение, т.е. задано ограниченное и замкнутое множество Р С К" такое, что «(£) € Р при * € Т. В настоящей работе этот алгоритм модифицируется таким образом, чтобы было возможно восстановить неограниченное управление и(-) € Ьг(Т; К"). При обосновании этого алгоритма используются конструкции ранее цитированной работы В. И. Максимова и Л. Пандолфи.

Приведем основной результат этого параграфа. Пусть Еу и Ег — ограниченные подмножества пространств К9 и Мг такие, что траектория х(<) = (у(г), *(«)} € Еу х Ег при г е т.

Условие 1. Ранг матрицы угО) на Т х Еу х Е2 равен п, ип < д.

Модель М задается системой дифференциальных уравнений

4(0 = (п)

= ^) + Мъл, - <Р1(п,г, £,")], (12)

(О = + Сг) ■ Л*) + А*), (13)

I € [тл,!,тл11+1), г = 0,1,... ,ГПЙ — 1. с начальным условием

= Уо, и>г{*о) = 20, «^(¿о) = Уо-

Здесь для краткости записи принято обозначение = ю^}, = ги^(т^). Тройка ги£(г) € М9, 6 МГ и «;£(*) е Ж« составляет фазовый

вектор модели юА(-) = «£(•), «>£(•)}.

«К ряжимскийА В.,ОсиповЮ С Об устойчивом позиционном восстановлении управления по измерениям части координат - Сб науч трудов Свердловск: УрО АН СССР. 1989 С. 33-47

Закон формирования управления в модели ¿4 каждой позиции вида

91Ч-) = К- Лг-Ь^ЫМЫ} (» = 1, 2, . . . , - 1) (14) ставит в соответствие управление следующей структуры

согласно правилу

«о = 0, й};= Т1' Т1'-1 , ¿>1, (15)

Тн,1 - тК,г-1

^(т*,,, гД «,*)(„* - «¿К,)), (16)

= ^ - ^Ы), (17)

= «*(*) = «?» ""(*) = при ¿еК,,^!),

где с» > 0 — некоторая константа, вид которой можно выписать явно, штрих означает транспонирование.

Выберем функцию а(К) (параметр регуляризации) и диаметр разбиения ¿(Л) таким образом, чтобы при Л -4 О выполнялись условия:

Здесь А > 0, «г, > 0 — константы. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. При выполнении условий (18) семейство алгоритмов моделирования Эь, вида (6), (11)-(17) является регуляризирующим в смысле определения 1.

В § 3 главы 1 указан другой алгоритм решения рассматриваемой задачи, который основывается на динамическом варианте метода невязки. Данный метод для поставленной задачи ранее не применялся. Пусть выполняется условие 1. Введем постоянные с[у], с[го], (к — 1,2) такие,

что

Iу(**) - »(«01 < с[уу\г-ц, МО - «,,(*.)! < с[юУ\г-и\,

Ы{иу,г)\<Ь[(рк), \ч>2&У,г)\<ь[ч> г!» \~Фк^,у, г)\ < Ь[фк], где <р%(£, у, г) — псевдообратная матричная функция к у, -г)-

11

Модель м задается управляемой системой вида:

= + Мч,„ ФъЧЪг, - ^{тКи £)], (20)

г £ [7>ц„ Гк>1+1), г = 0,1,..., ти - 1,

с начальным условием

■и>у{к) = Уо, и>*(<0) = ¿о-

где йн(-) еЕ?- управление в модели. Пара 6 1' х Г со-

ставляет фазовую траекторию модели юк(-).

Закон формирования управления Ы^ ставит в соответствие каждой позиции вида

<г(,)(-) = Н<, Г)1 Лг-1, (»■ = 1,2,. . . , - 1) (21)

управление следующей структуры

£^(0 = {«*(*), «*(<)},

вычисляемое по правилу

4 = 0, = , г > 1, (22)

Т/1,,- — Тй,,-!

{агб1шп{|«| : и 6 Ц*}, если ^ ф 0,

(23)

0, в противном случае, йк{€) = и!1, инЦ) = и* при * € [тк>г, тЛ)1+г) (г = 0,1,..., тн - 1). Здесь

П* = {и е 5(Й(Л)): Ып^^и - | < и(к,5{К),й{К))},

5(й(/г)) = {и € М" : |ы| < <1{Ь)} — шар радиуса ¿(Л), ¿(К) • М+ -> — скалярная положительная функция,

л/» С7?? — Ч?-г) /, „ь ...л

¿(Л)

^(/1,¿(Л), Й(Л)) = ^у + к{сЫ + сН<*(/1)) (/г + у/Щ) , (24)

К = 1 4- с[у] + с[и>] + К

/Г. = Зехр (А?- 40)) + ф] + с[ш])у/д - ¿о + 3(ф] + 1)5[г]),

¿х = + с[91])^-Ь0 + с[д2}^2Щ, %] = |9(-)||а(г1Е.).

сЫ = сШЬЫ] + 4<рЩф2], ф!] = ф^^ЬЬЛ + С^МН-

5[г] = Ь[д2] + с[д2](-в - 10). Пусть функции 6(к), ¿(И): —> Я+ таковы, что при К 0

<*(л) 77ГТ -»• 0, ¿(Л) +ос, ¿{к)у/Щ 0. (25)

Имеет место

Теорема 2. При выполнении условий (25) семейство алгоритмов моделирования вида (6), (19)-(23) является регуляризирующим в смысле определения 1.

В § 4 приведены результаты модельных расчетов, иллюстрирующие ре-гуляризирующий алгоритм, описанный в § 2, применительно к задаче динамического восстановления управления и траектории летательного аппарата (ЛА) по результатам неточного измерения части координат фазового вектора. Динамика полета ЛА описывается нелинейной по фазовым переменным дифференциальной системой в пространстве Е7. При этом измерения фазового состояния проводились по одной фазовой координате, соответствующей горизонтальной скорости летательного аппарата.

В главе 2 устанавливаются оценки характеризующие, скорости сходимости некоторых алгоритмов динамической реконструкции. Так, в § 1 второй главы рассматривается описанный в работе12 алгоритм реконструкции неограниченного управления для системы динамика которой описывается нелинейным дифференциальным уравнением

№ = /Ш) + Вф), «б[0 ,Т\, уф) = 2/0,

где у € В — (д х п)-мерная матрица, /(•) — ^-мерная вектор функция, удовлетворяющая условию Липшица, и(<) € К" — управление. Замеры г/А(г/1),) е М9 производятся по всем координатам фазового вектора системы. Множество допустимых управлений Их совпадает со всем пространством Ь2(Т; Е"). Элемент «,(•) = и*(-; у(-)) е и{у{-)) минимальной нормы в £г(Т; Мп) единственный.

Модель м в данном случае имеет вид

= /(ч?) + Вик(1) + ШЛ(0) = Уо, (26)

< £ [тк,и {г = о, 1,..., тпн - 1).

Здесь гиЛ(£) = гин £М.9 — фазовая траектория модели. Закон формирования управления в модели Ын ставит в соответствие каждой иозиции вида

9(,)0 = к„тД ™н(тК{)} (г = 0,1,... ,шл — 1) (27)

управление следующей структуры

согласно правилу

а

а*'

< € [тлд,гл,,+1) (г = 0,1,... ,тд — 1), где а = а(Л) : (0,1] —> — параметр регуляризации. Условия согласоват ния имеют вид

А-40, ¿(А)->0, а(к) 0, -» 0. (30)

а{к)

В диссертации для этого алгоритма получены верхние и нижние оценки скорости сходимости, равные по порядку. При этом установлены следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (30) и управление «*(■) является функцией ограниченной вариации на [0, Т]. Тогда имеет место следующая верхняя оценка скорости сходимости алгоритма: т

I И*) - и,(г)|2сй < ¿3 («(Л) + ^р) • (31)

о

Теорема 4. Пусть выполнены условия согласования параметров (30). Тогда существует число /г 6 (0,1] такое, что для любого к € (0, К] справедлива оценка

т

! |ин{Ь) - и„ |2сЙ > (Ца(Н). (32)

о

В § 2 второй главы для алгоритма, описанного во втором параграфе первой главы (регуляризованного по методу сглаживающего функционала при измерении части координат), получены оценки точности сверху и снизу совпадающие по порядку в метрике пространства ¿2 (Г; R"). Здесь установлены следующие теоремы.

Теорема 5. Пусть выполнены условия согласования параметров (18). Управление «*(•) является функцией ограниченной вариации на То-

гда имеет место верхняя оценка (31) скорости сходимости алгоритма.

Теорема 6. Пусть выполнены условия согласования параметров (18). Тогда существует число h € (0,1] такое, что для любого h € (0, h] относительно выхода алгоритма справедлива оценка (32).

В силу теорем 3-6, имеет место

Следствие. Пусть a(h) — h1^2, S(h) = h, тогда (см.(31), (32)) верхняя и нижняя оценки скорости сходимости для каждого из рассмотренных алгоритмов имеют одинаковый порядок: /11/4.

В § 3 второй главы 2 получены верхние оценки скорости сходимости для алгоритма реконструкции пары "траектория — управление" регуляризованного с использоавнием динамического варианта метода невязки (описанного в третьем параграфе первой главы). Установлена следующая теорема.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (25) и и*(-) является функцией ограниченной вариации, тогда справедлива следующая оценка скорости сходимости алгоритма

■в

I |uft(t) - u*(t)\2dt < а, у + d(h) ('h + ч/Щ)) •

to

Если положить 6(h) — Л3/4, a d(h) — то верхняя оценка скоро-

сти сходимости алгоритма, основанного на динамическом варианте метода невязки, будет иметь порядок h1^.

Список опубликованных работ

1. Мартьянов A.C. О реконструкции управлений по измерению части координат // Известия РАН. Теория и системы управления, 2004, Л'« 4, с. 52-60.

2. Мартьянов A.C. Динамический метод невязки в задаче реконструкции входов при

неполной информации // Журнал вычислительной мат. и мат физики, 2005, том

45, .V 2, с. 224-232.

3. Мартьянов А С Об одном алгоритме восстановления управления // Тезисы VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва. 2003. С. 44.

4. Мартьянов А С Реконструкция управления и траектории летательного аппарата // Нелинейная динамнка и управление под ред. C.B. Емильянова и С.К Коровина М. Физмаглит, 2005, №5, с. 254-261.

5. Мартьянов A.C. Реконструкция в реальном времени управления и траектории летательного аппарата // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". Екатеринбург, 2-6 февраля, 2004 г С 193194.

6 Мартьянов A.C. О моделировании неизвестных характеристик летательного аппарата h Тезисы докладов VI Международной конгресса по математическому моделированию. Нижний Новгород, 20-26 сентября, 2004 г. С. 102.

7. Мартьянов A.C. О реконструкции управления нелинейной динамической системы // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-Й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург, 26-30 января, 2004 г. С. 250-255.

8. Мартьянов A.C. Численное моделирование задач реконструкции интенсивности точечных источников по результатам сенсорных наблюдений // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции Екатеринбург, 30 января - 4 февраля, 2005 г. С. 284-288.

I

( I

r

г

I *

i

Подписано в печать 29.08.2005 г. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать на ризографе. Гарнитура Тайме Тираж 100. Заказ 168.

Уральская академия государственной службы 620148, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта, 66

ИИ/3 23 ,15 3 24

РНБ Русский фонд

2006-4 14023

У.

Введение.

Основные обозначения

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ

1. Постановка задачи. Метод решения

2. Алгоритм реконструкции пары "траектория—управления", основанный на методе сглаживающего функционала

3. Алгоритм реконструкции пары "траектория—управления", основанный на динамическом варианте метода невязки

4. Вычислительный эксперимент

ГЛАВА 2. ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМОВ РЕКОНСТРУКЦИИ

1. Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции при измерении всех координат фазового вектора системы.

2. Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции, основанного на методе сглаживающего функционала при измерении части координат

3. Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции, основанного на динамическом варианте метода невязки при измерении части координат

В исследованиях различных динамических процессов и явлений возникают задачи восстановления неизвестных характеристик изучаемых объектов по доступной, зачастую не полной информации. Подобные задачи вкладываются в класс обратных задач динамики управляемых систем, состоящих в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода. Система может описываться обыкновенным дифференциальным уравнением, дифференциальным уравнением в частных производных, дифференциально-функциональным уравнением и т.д. Уравнение, задающее динамику системы, предполагается известным. Входом являются факторы однозначно определяющие движение системы, им может служить либо управление (как функция времени), подаваемое на систему, либо начальное состояние системы, либо в общем случае пара: управление и начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, часто (это соответствует практической ситуации) такой информацией является некоторый сигнал о текущей траектории системы. В настоящее время интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.

Первые публикации, посвященные динамическим задачам, появились в середине 60-ых годов. В работах Р. Брокетта, М. Месаровича [64], JI. Силвер-мана [84] и других авторов [66, 83, 85] для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости управлений, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. В монографической литературе, вышедшей в 90-е годы, вопросам динамического восстановления входных воздействий посвящены монографии [41, 51, 65, 75, 80]. Если информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики, вообще говоря, становятся некорректными, и вопрос построения их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов (алгоритмов). Для линейных идеально наблюдаемых систем регуляризирующий алгоритм, восстанавливающий начальное состояние, был предложен в [45]. В [13, 14], при условии слабой замкнутости оператора "вход — выход", указаны регуляризирующие алгоритмы аппроксимации (в метрике Хаусдорфа) компактного образа множества всех решений задачи.

Существенный вклад в развитие теории некорректных и обратных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агошков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсенин и др. [1-4, 7, 8, 10, 14-17, 25, 33-36, 42-44, 54, 57-59 62, 71]. Отмеченные исследования по регуляризации относятся к программной постановке задачи: регуляризирующие алгоритмы обрабатывают историю измерений выхода целиком (имеют апостериорный характер). Вопрос о построении позиционных (вольтерровых) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [28, 47]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в "реальном времени "полного вектора состояния аффинной по управлению системы. В основу алгоритма положено сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитой Н. Н. Красовским и его школой [22-24] и идей теории некорректных задач [10, 16, 60]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, "отслеживает" неизвестный вход. Разрешающий алгоритм строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, учитывающих поступающую информацию в конечном числе временных узлов. Для случая измерения части координат вектора состояния, при определенных предположениях на систему, подобные алгоритмы сконструированы в [5, 19, 20, 29, 31, 40, 50, 55, 68, 72, 76, 80]. Вопрос об устойчивой позиционной аппроксимации множества всех допустимых входов изучался в [32]. Ряд постановок и решений обратных задач динамики в классах динамических регуляризирующих алгоритмов исследовался в работах а) [11, 29, 37, 48-50, 67-69] — для систем обыкновенных дифференциальных уравнений; б) [26, 41, 77] — для систем с последействием; в) [18, 27, 38, 41, 51, 73, 78, 79] — для уравнений математической физики. Общая постановка задачи о динамической регуляризации в конечномерных системах (включающая, в частности, вопрос о регуляризации обратной задачи динамики), а также метод ее решения, основанный на привлечении функций Ляпунова, рассматривались в [48, 69].

Выделим общие для всех алгоритмов принципы выбора вспомогательной управляемой модели. Во-первых, конструируется некоторый оценочный функционал, из малости значений которого на движении модели следует близость модельного управления к искомому входу в смысле подходящей метрики. Во-вторых, управление в модели выбирается так, чтобы стабилизировать упомянутый функционал. Отметим, что работа выполнена в рамках указанного подхода к постановке и решению обратных задач динамики.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер главы, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 105 страниц машинописного текста.

1. Агошков В. И. Обощенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

2. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

3. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978.

4. Арсенин В. Я., Гончарский А. В. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестник МГУ. Сер. Вы-числ. математ. и кибернет. 1981. № 3. С. 13-17.

5. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2, с. 56-61.

6. Бочкарев А.Ф., Андреевский В.В., Белоконов В.М. Аэромеханика самолета: Динамика полета: Учебник для авиационных вузов/2-е изд. — М.: Машиностроение 1985.

7. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1981.

9. Васильева Е.В. Нижние оценки скорости сходимости алгоритмов динамической реконструкции для систем с распределенными параметрами // Мат. заметки. 2004. Т. 76. вып. 5. С. 675-678.

10. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

11. Вдовин А.Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. Сборник научных трудов "Задачи позиционного мо-' делирования". Свердловск. 1986. С. 3-11.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

13. Гусев М. И. Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохастическая оптимизация. Международная конференция. Киев. Тезисы докладов. Ч. 1. 1984. С. 72-74.

14. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. В кн.: Механика и научно-технический прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

15. Жевнин А. А., Колесников К. С., Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1985. № 4. С. 29-35.

16. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

17. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука,1988.

18. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика.1989. № 6. С. 35-41.

19. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. выс. учеб. заведений. 1998. № 11 (438). С. 109-120.

20. Короткий А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 1. С. 21-24.

21. Короткий А.И., Цепелев И.А. Верхняя и нижняя оценки точности в задаче динамического определения операторов // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург. Т. 4. С. 227-238.

22. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

23. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

24. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1984.

25. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

26. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математ. и мех. 1983. Т. 47. № 6. С. 815-825.

27. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1997. Т. 37. № 3. С. 119-125.

28. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1983. № 2. С. 29-41.

29. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196-211.

30. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О методах позиционного моделирования управления в динамических системах. / в кн.: Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений и управляемы систем. Свердловск: УрО АН СССР, 1988.

31. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Об устойчивом позиционном восстановлении управления по измерениям части координат. -Сб. науч. трудов. Свердловск: УрО АН СССР. 1989. С. 33-47.

32. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивое решение обратных задачIдинамики управляемых систем. Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. Математ. института им. В.А.Стеклова. Москва, 1988. Т. 185. С. 126-146.

33. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

34. Куржанский А. Б., Сивергина И. Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем // ДАН. 1998. Т. 1. № 2. С. 31-36.

35. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

36. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. СО, 1980.

37. Максимов В. И. Позиционное моделирование неограниченных управлений для нелинейных систем с диссипацией // Автоматика и телемеханика. 1988. № 4. С. 22-30.

38. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2059-2067, II // 1991. Т. 27. № 4. С. 597-603.

39. Максимов В.И., Пандолфи Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах. // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. №3.

40. Максимов В. И. Реконструкция входных воздействий при измерении части координат //В кн. "Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения", М.:ВИНИТИ, 2002. С. 137-171.

41. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН. 2000.

42. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973.

43. Марчук Г. И., Агошков В.И., Шутяев В.П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

44. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

45. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 7. № 4. С. 631-638.

46. Овсеевич А.И., Трущенков B.JL, Черноусько Ф.Л. Управления непрерывного гарантированного оценивания состояния динамических систем // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика, 1984, JVM.

47. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннотации докл. 5-го Всесоюзн. съезда по теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР. 1981. С. 214.

48. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

49. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О моделировании параметров динамической системы // Задачи управления и моделирования в динамических системах. Свердловск, 1984. С. 47-68.

50. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск, 1989. С. 53-56.

51. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препринт ИММ УрО АН СССР. 1991. 104 С.

52. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Динамические обратные задачи для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 5. С. 579-597.

53. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

54. Петров Б. Н., Крутько П. Д., Попов Е. П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики // ДАН СССР. 1979. Т. 247. № 5. С. 1078-1081.

55. Розенберг В. Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991.

56. Розенберг В. Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183-202.

57. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

58. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

59. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики. Бюлл. Московского гос. унив-та. (А). Т. I. М.: ГОНТИ. 1939. 25 С.

60. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

61. Черноусько Ф. JI. Гарантированные оценки неопределенных величин при помощи эллипсоидов // ДАН СССР. 1980. Т. 252. № 1. С. 198-207.

62. Черноусько Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

63. Baras J. S., Kurzhanskii А. В. Nonlinear filtering: the set-membership (bounding) and H^ approaches // Proceedings of the IFAC NOLCOS conference. Tahoe. CA. Plenum Press. 1995.

64. Brockett R. W., Mesarovich M. P. The reproducivility of multivariable control systems // J. Math. Anal, and Appl. 1965. Vol. 11. N. 1-3. P. 548-563.

65. Isakov V. Inverse source problems. Providence, R.I.: AMS, 1990.

66. Hirshorn R. M. Invertibility of nonlinear control systems // SIAM J. Contr. and Optim. 1979. Vol. 17. N. 2. P. 289-297.

67. Kryazhimskii A. V. Optimization of the ensured result for the dynamical systems // Proceedings of the Internat. Congress of Mathematics. Berkley. 1986. P. 1171-1179.

68. Kryazhimskii A. V., Osipov Yu. S. On positional calculation of normal controls in dynamical systems // Probl. Control and Inform. Theory. 1984. Vol. 13. N. 6. P. 425-436.

69. Kryazhimskii A.V., Maksimov V. I., Osipov Yu.S. Reconstruction of boundary-sources through sensor observations. IIASA Working Paper. Lax-enburg. Austria. WP-96-97. 1996.

70. Kurzhanskii А. В., Khapalov A. Yu. On the state estimation problem for distributed systems. Analysis and Optimization of systems // Lecture Notes in Control and Informational Sci. Springer-Verlag. 1986. Vol. 83.

71. Maksimov V. I. On the reconstruction of a control through results of observations // Proceedings of the Third European Control Conference. Rome, Italy. 1995. P. 3766-3771.

72. Maksimov V. I., Pandolfi L. Dynamical identification of inputs for linear retarded systems and partial observations, Proceedings of IFAC Workshop on Linear Time-Delay Systems, Ancona, Italy, 11-13 September 2000, P. 4147.

73. Mendel J. M. Maximum-likelihood deconvolution: a journey into model-based signal processing. N.Y. Springer Verlag, 1990.

74. Osipov Yu. S. Control problems under insufficient information // Proceeding of 13th IFIP Conference "System modelling and Optimization". Tokyo. Japan. 1987. Springer. 1988.

75. Osipov Yu. S. On reconstruction of a parameter of dynamical system // Proceeding of the International Symposium "Functional-Dif. Equations". Kyoto. Japan. 1990. P. 309-317.

76. Osipov Yu. S. On the reconstruction of a parameter for hyperbolic system. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-91-54. 1991. 32 P.

77. Osipov Yu. S., Korotkii A. I. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems. Ill-posed Problems in Natural Sciences. VSP-TVP. Tokyo. Japan-Moscow. Russia. 1992. P. 108-117.

78. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

79. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. Vol. 4. No. 4. P. 267-282.

80. Pandolfi L., Maksimov V. I. Dynamical Reconstruction of Unbounded Controls in Nonlinear Dynamical Systems // CD Proc. Fourteenth Internat. Symposium "Math. Theory of Networks and Systems". Perpignan, France, June 19-23, 2000.

81. Sain M. K., Massey J. L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems//IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 141-149.

82. Silverman L. M. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1965. Vol. AC-14. P. 270-276.

83. Willsky A. S. On the invertibility of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. AC-19. P. 272-274.

84. Мартьянов А.С. О реконструкции управлений по измерению части координат // Известия РАН. Теория и системы управления, 2004, 4, с. 52-60.

85. Мартьянов А.С. Динамический метод невязки в задаче реконструкции входов при неполной информации // Журнал вычислительной мат. и мат. физики, 2005, том 45, № 2, с. 224-232.

86. Мартьянов А.С. Об одном алгоритме восстановления управления // Тезисы VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва. 2003. С. 44.

87. Мартьянов А.С. Реконструкция управления и траектории летательного аппарата // Нелинейная динамика и управление под ред. С.В. Емилья-нова и С.К.Коровина. М. Физматлит, 2005, №5, с. 254-261.

88. Мартьянов А.С. Реконструкция в реальном времени управления и траектории летательного аппарата // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". Екатеринбург, 2-6 февраля, 2004 г. С. 193-194.

89. Мартьянов А.С. О моделировании неизвестных характеристик летательного аппарата // Тезисы докладов VI Международной конгресса по математическому моделированию. Нижний Новгород, 20-26 сентября, 2004 г. С. 102.

90. Мартьянов А.С. О реконструкции управления нелинейной динамической системы // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург, 2630 января, 2004 г. С. 250-255.