Стабилизация систем с последействием нейтрального типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ.

§1.1. Операторная форма регулируемых систем с последействием нейтрального типа.

§ 1.2. Характеристическая функция.

§1.3. Некоторые свойства характеристической функции.

§ 1.4. Сопряженные уравнения. Свойства собственных векторов сопряженных операторов

§ 1.5 Каноническое преобразование регулируемых систем с последействием.

§ 1.6 Эквивалентная каноническая система дифференциальных уравнений для обобщенных координат.

ГЛАВА II. СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

§2.1. Исходная задача.

§ 2.2. Основное равенство.

§ 2.3. Стабилизация решений уравнения с последействием нейтрального типа.

§ 2.4. Пример устойчивости уравнения с последействием.

§ 2.5. Задача стабилизации уравнения с последействием нейтрального типа.

§ 2.6. Перемещение корней характеристической функции в заданные точки комплексной плоскости.

ГЛАВА III. СИНТЕЗ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ,

ОБЛАДАЮЩИХ ЗАДАННЫМ СПЕКТРОМ.

§ 3.1. Основная задача.

§ 3.2. Устойчивость уравнения с последействием нейтрального типа.

§3.3. Рекуррентные формулы.

§ 3.4. Ряды, близкие к рядам Фурье.

§ 3.5. Уравнение запаздывающего типа.

§ 3.6. Основная лемма.

§ 3.7. Разложение функций в ряд по собственным решениям уравнения (3.5.1).

§ 3.8. Устойчивость уравнений с последействием запаздывающего типа.

§ 3.9. Применение процедуры перемещения характеристического корня к уравнениям с последействием нейтрального типа.

ГЛАВА IV. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

§ 4.1. Механико-математическая модель вибрационных процессов при точении.

§ 4.2. Основные задачи стабилизации процесса точения конструкционных материалов.

§ 4.3. Механико-математическая модель крутильных колебаний сверла.

§ 4.4. Основные задачи исследования вибраций в процессе сверления конструкционных материалов.

Дифференциальными уравнениями с последействием называются такие уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента. Например,

Подобные уравнения приходится рассматривать в тех случаях, когда в рассматриваемой физической или технической задаче силы, действующие на материальную систему, зависят от скорости и положения тел этой системы не только в данный момент времени, но и в некоторые моменты, предшествующие данному.

Наличие последействия в технической системе зачастую оказывает существенное влияние на изучаемый процесс. Например, причиной неустойчивости горения топлива в жидкостных ракетных двигателях является наличие достаточно большого времени запаздывания, необходимого для превращения топливной смеси в продукт сгорания. Кроме того оказалось, что явление последействия эффективно влияет на интенсивность вибраций, сопровождающих механическую обработку (точение, сверление, шлифование, выглаживание и др.) конструкционных материалов (различных сталей и сплавов). Вибрации, сопровождающие процессы механической обработки, оказывают решающее воздействие на стойкость и надежность работы инструментов, производительность труда, а также на качественные и эксплуатационные характеристики изделий (точность геометрической формы, волнистость и шероховатость поверхности наклепа, величину и знак остаточных напряжений, сопротивление усталости и т.д.).

Исследование динамики относительных перемещений детали и инструмента на базе теории обыкновенных дифференциальных уравнений часто не дает удовлетворительного результата. Это обусловлено последейс1х(() Ж Д/,*(/),*(* - ТЬ ,т> 0. сИ ствием сил резания, зависящих как от относительных перемещений детали и заготовки в данный момент времени t так от перемещений в предыдущие моменты времени t — т , где т — последействие.

Впервые уравнения с последействием рассматривались в работах математиков 18-19 вв. - Кондорсе (1771 г.), И. Бернулли, JI. Эйлера, П. Лапласа, С. Пуассона. Однако их систематическое изучение началось лишь с середины 40-х годов 20 в., когда выяснилась та большая роль, которую играют эти уравнения в различных вопросах механики, физики, биологии, технических и экономических наук.

Начиная с работ А.Д. Мышкиса в России и Е.М. Райта за рубежом, дифференциальные уравнения с последействием привлекают внимание многих ученых. Различным вопросам этой теории посвящен ряд монографий, как, например, А.Д. Мышкиса [35], Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина [50], Э. Пинни [40], H.H. Красовского [15], Р. Беллмана и К. Кука [7], Е.М. Маркушина [31]. Методы исследования систем с последействием развиты в работах Ф.Л. Черноусько [45], [46], [47] , С.Н. Шиманова [33], [48], [49], Ю.С. Осипова [38], [39], А.Б. Куржанского [18], [19], [20] , Н.В. Азбелева [1], [2], Э.Г. Альбрехта [3], [4] и др.

Ежегодно появляются многочисленные публикации, посвященные теории и приложениям дифференциально-разностных уравнений [5], [51], [52], [53], [54] . Несмотря на достигнутые успехи в развитии, в целом эта теория еще далека от завершения. Большой интерес представляет разработка различных методов исследования систем с последействием. Одной из центральных проблем, возникающих при исследовании, является проблема устойчивости. Серьезные трудности возникают при решении задач стабилизации систем с последействием. Это связано с особенностями поведения корней характеристических функций.

Большое количество регулируемых систем с последействием описывается линейными уравнениями нейтрального типа [33], [44] dxAt) "г , ^ ч dxJt-т) at k=i at s = 1,2,.,п. где £(t) — управление, ms — постоянные коэффициенты. Нули характеристической функции

Д(Л) = | Л1-а-Ье~Ят-аЛе~Лт - ]c(v)eAvdv-f P{v)XeXvdv (2)

-г -т где а = {ask }, Ъ = {bsk }, а = }— постоянные матрицы, ф) = {^¿(v)}, /?(v) = {A,(v)}- интегрируемые функции, v Е [—г,0], г = const > 0 — последействие, / - единичная матрица, предполагаем простыми, расположенными в порядке возрастания мнимых частей.

Наличие последействия существенно осложняет исследование динамических процессов в регулируемых механических системах, так как характеристическая функция (2) может содержать корни с положительной действительной частью. Это обстоятельство приводит к необходимости формирования управляемых воздействий.

Целью работы является разработка методов стабилизации систем с последействием нейтрального типа. Развиваемый в диссертации метод исследования переходных процессов линейных систем с последействием опирается на идею перехода к спектральной канонической системе обыкновенных дифференциальных уравнений dqjjt) dt " '~JJ J ^/,(0 + ^(0,7 = 1,2,. (3)

При этом решение х(7 + V) = {ху (/ + V)}, V е [— г,0] исходных уравнений представляется в виде ряда

00 х(( + у)= Е/ДО^-М , (4)

7=1 где Уу (¿) — канонические переменные, (у) — собственные решения уравнений (1) при отсутствии управляющих воздействий [31].

Переход от уравнений (1) к спектральной системе (3) будет допустим, если ряд в правой части (4) сходится.

Содержащиеся в диссертации исследования развивают методы решения рассматриваемых задач стабилизации систем с последействием нейтрального типа [32], [48]. Представляет значительный интерес разработка метода решения задачи перемещения корней характеристической функции системы с последействием в любые наперед заданные точки комплексной плоскости, которая является основной для данной работы. Защите подлежат:

1. Исследование систем нейтрального типа сведением к счетной канонической системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Метод перемещения корней характеристической функции системы с последействием в любые наперед заданные точки комплексной плоскости.

Материал диссертации разбивается на четыре главы. Первая глава посвящена сведению системы уравнений с последействием (1) к счетной системе обыкновенный дифференциальных уравнений. С этой целью рассматривается пространство С|г 0] непрерывных на отрезке последействия п — мерных вектор-функций со скалярным произведением [32], [44], определяемым равенством 1 ш (5)

-г -г Ъл хк (I + у)к о+ т + у)Оу+] )[рл (V) +

Т V Ж с$к (у)хк (( + а )}у3 (t + а - у)(1о(1у} , V е [- т,0], где х1(у) = х(г + у),у*(-у) = у(1-у).

Во второй главе рассматриваются задачи, решение которых приводит к перемещению корней характеристических функций уравнений с последействием нейтрального типа (1) в заданные точки комплексной плоскости. Для задачи передвижения корней Х^ в положение [Лу , — 1,2,.к выбрано управляющее воздействие с,{1) [31] в виде линейной комбинации обобщенных координат с постоянными коэффициентами к к £(0 = Е Р ]Я г (0 > где Р] = Оу - к] ) П

7=1 '=1

Г 3 Л Л 1,2,.А,

-./у а функции fJ (/) строятся с помощью скалярного произведения (5). Построен пример устойчивости уравнения с последействием. Для уравнения х(0 = х(( - 2я) + £(/) (6) решена задача стабилизации. Сформировано управляющее воздействие о

30] вида £(/) = |/(у)х(/ + у)с1у , где /(у) — некоторая интегрируе

-2 п мая функция, V е [—2я",0], обеспечивающее уравнению (6) асимптотическую устойчивость.

В третьей главе рассматриваются задачи синтеза уравнений с последействием, обладающих наперед заданным спектром. Задача стабили9 зации состоит в том, чтобы найти постоянные а5к и функции схк (V), /Зхк (V) , V е [—г,0], при которых корни характеристической функции (2) имеют отрицательные действительные части. С этой целью разработана процедура перемещения характеристических корней в любые наперед заданные точки комплексной плоскости. Установлены рекуррентные соотношения, позволяющие перенести к корней характеристической функции в левую комплексную полуплоскость. Предлагаемый способ синтеза опирается на одно из свойств скалярного произведения решений сопряженных уравнений с последействием [32]. Изложенная процедура переноса корней характеристических функций предлагается для уравнений запаздывающего типа

Развитая теория иллюстрируется конкретными примерами.

В четвертой главе предложены механико-математические модели процессов точения и сверления, содержащие уравнения с последействием нейтрального типа. В рамках предложенных моделей сформулированы основные задачи стабилизации процессов обработки конструкционных материалов. Ж

-г

Заключение.

Резюмируя содержание диссертационной работы, следует отметить основные результаты.

1. Дается применение метода С.Н. Шиманова и Е.М. Маркушина к исследованию систем с последействием вида (1.1.1), в основе которого лежит переход к канонической счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Разработана методика синтеза линейных систем нейтрального типа.

3. Разработанный метод перемещения характеристических корней в любые наперед заданные точки комплексной плоскости распространен для уравнений запаздывающего типа.

4. Предложены механико-математические модели, учитывающие последействие сил при механической обработке материалов. Указана возможность эффективного применения уравнений с последействием для описания процессов вибрации технологических систем.

1. Азбелев Н.В. О нулях решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.// ДУ, 1971, Т.7, №7, с. 1117-1157.

2. Азбелев Н.В., Сулавко Т.С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.// ДУ, 1974, Т.10, №12, с.2091-2100.

3. Альбрехт Э.Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем.// ПММ, 1961, Т.25, №5, с.836-844.

4. Альбрехт Э.Г., Шелементьев Г.С. Лекции по теории стабилизации. -Свердловск: Свердловский университет, 1972.

5. Благо датских В.И., Ндии П. О выпуклости семейства решений дифференциального включения с запаздыванием.// Труды Математического института. РАН , 1998, с.45-48.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

7. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

10. Ю.Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: ГОНТИ, 1939.

11. П.Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом. ДАН СССР, 1958, Т.120, №4, с.697-700.

12. Колмановский В.Б. Точные формулы в задаче управления некоторыми системами с последействием. ПММ, 1973, Т.37, №2, с.228-235.

13. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

14. Красовский H.H. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системах с запаздыванием времени.// ПММ, 1962, Т.26, №1, с.39-51.

15. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.:Физматгиз, 1959.

16. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

17. Красовский H.H., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования.// Техническая кибернетика, 1963, №6, с.3-15.

18. Куржанский А.Б. Об аналитическом конструировании регулятора в системе с помехой, зависящей от управления.// ДУ, 1965, Т.1, №2, с.204-213.

19. Куржанский А.Б. К задаче об управлении для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.// ПММ, 1966, Т.30, №6, с.1121-1124.

20. Куржанский А.Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием.// ДУ, 1967, Т.З, №12, с.2094-2107.

21. Латыпова Н.М. Об одной задаче стабилизации уравнения с последействием нейтрального типа. В сб.: Разработка и исследование математических моделей технологических систем железнодорожного транспорта. Вып. 8, Самара, 1993, с.42-44.

22. Латыпова Н.М. об условиях устойчивости уравнения с последействием.// Математическое моделирование технологических процессов железнодорожного транспорта. Вып. 9, Самара, 1994, с.35-37.

23. Латыпова Н.М. Об устойчивости уравнений с последействием нейтрального типа.// Международная научная конференция. Самара, 1997, с. 114.

24. Латыпова Н.М., Маркушин Е.М. О синтезе уравнений с последействием, обладающих заданным спектром.// Разработка и исследование математических моделей технологических систем железнодорожного транспорта. Вып. 8, Самара, 1993, с.45-60.

25. Латыпова Н.М., Маркушин Е.М. Об одном разложении функций в экспоненциальный ряд.// Вопросы научно-технического прогресса на железнодорожном транспорте. Вып. 14, Самара, 1998, с.122-124.

26. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976

27. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов.// Автоматика и телемеханика, 1960, Т.21, №4,5,6, с.436-442, 561-568, 661-665.

28. Летов A.M., Красовский H.H. К теории аналитического конструирования регуляторов.// Автоматика и телемеханика, 1962, Т.23, №6, с.713-720.

29. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

30. Маркушин Е.М. Об одной задаче стабилизации уравнений с последействием.// ДУ, 1986, Т.22, №4, с.713-714.

31. Маркушин Е.М. Оптимальные системы автоматического регулирования с запаздыванием по времени. Саратов: Саратовский университет, 1971.

32. Маркушин М.Е. Основы спектральной теории переходных процессов систем с последействием. Дисс. доктора физ.-мат. наук. Самара, 1989.

33. Маркушин Е.М., Шиманов С.Н. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для систем с запаздыванием.// Автоматика и телемеханика, 1968, Т.28, №3, с. 13-20.

34. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипери одические колебания систем с запаздыванием. Киев. Изд-во "Высшая школа", 1979.

35. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием аргументов. М.: Наука, 1972.

36. Мышкис А.Д., Эльсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.// УМН, 1967, Т.22, №2, с.21-57.

37. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

38. Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием.// ДУ, 1965, Т.1, №5, с.605-618.

39. Осипов Ю.С. О стабилизации систем с запаздыванием.// УМН, 1966, Т.21, №1, с.193-198.

40. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

41. Титчмарш Е. Теория функций. М.: ГИТТЛ, 1951.

42. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Пирченко Ю.П., Сотниченко H.A. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1981.

43. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М. Наука, 1969, Т. 1-3.

44. Харьковский С.И. Оптимальная стабилизация линейных систем нейтрального типа.// Исследование математических моделей технологических систем железнодорожного транспорта. Вып. 6, Самара, 1992, с.8-15.

45. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

46. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.

47. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

48. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием.// ДУ, 1965, Т.1, с.102-116.

49. Шиманов С.Н. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений.// Устойчивость и нелинейные колебания. Уральский гос. Университет,1991, с.95-98.

50. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

51. Freedman H.I., Kuang Yang. Some global qualitative analysis of a single species neutral delay differential population model. Rocky Mount. J. Math., 1995, Nol, p.201-215.

52. Hu Guang -Da, Hu Guang -Di. Stability of neutral delay-differential systems: boundary criteria. Appl. Math, and Comput, 1997, No2-3, p.247-259.87

53. Louiseil James. Stability criteria with a symmetric operator occurring in linear and nonlinear delay differential equations. - Differ. Equat., Dyn. Syst., and Contr. Sei.: Festschrift Honor Lawrence Markus, New York etc, 1994, p.159-172.

54. Sekine Koji. Sufficient conditions for oscillation of first order neutral delay differential equations. Math. J. Toyama Univ., 1995, p.79-83.