Оптимизация движений систем с последействием нейтрального типа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

од

2 5 ('¡^ 'ф^ пРавах рукописи

ХАРЬКОВСКИЙ Сергей Иванович

ОПТИМИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМ : ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО

ТИПА

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Самарском институте инженеров железнодорожного транспорта.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Маркушин Евгений Михайлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Морозов Виктор Михайлович

кандидат физико-математических наук Ананьевский Игорь Михайлович.

Ведущая организация - Институт математики и механики

УрО РАН.

Защита диссертации состоится " " г.

на заседании диссертационного совета Д 002.87.01. при Институте проблем механики Российской академии наук по адресу: 117526, Москва, просп.Вернадского, 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ РАН. Автореферат разослан " ^ " 1995 г#

Ученый секретарь

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность. Все более широкое применение в машиностроении получают высокопрочные конструкционные материалы. При механической обработке таких материалов возникают интенсивные относительные виброперемещения детали и инструмента, оказывающие решающие воздействие на стойкость и надежность работы инструментов, а также на качественные и эксплуатационные характеристики изделий (точность геометрической формы, волнистость и шероховатость поверхности, величину остаточных напряжений и т.д.).

Так, например, при сверлении отверстий малого диаметра в титановых сшивах выходит из строя вследствие поломок до 95$ сверл.

Исследование динамики относительных перемещений детали и инструмента на базе теории обыкновенных дифференциальных уравнений часто не дает удовлетворительного результата. Это обусловлено последействием сил резания, зависящих как от относительных перемещении детали и заголовки в данный момент времени, так и от перемещений в предыдущие моменты времени.

Большое количество регулируемых систем с последействием описывается линейными уравнениями нейтрального типа

= £ [ г«* х^« * ч

а х. к,*»»

-X

Формирование свойств, требуемых движению, описываемому уравнениями (I), приводит к решению конкретных задач теоретической механики: стабилизации и оптимальной стабилизации решений системы (I).

Наличие последействия существенно осложняет исследование динамических процессов в регулируемых механических оистемах. Это связано с тем, что решение уравнений, описывающих движение систем с последействием, не выражаются конечными комбинациями элементарных функций. Кроме того, характеристи ческая функция уравнений с последействием нейтрального типа

может содержать бесконечное множество корней с положительной действительной частью. Полученное в результате решения задач стабилизации управление представляет собой линейную комбинацию обобщенных координат системы, число которых при наличии последействия бесконечно. Это обстоятельство приводит к необходимости дополнительных исследований формируемых управляемых воздействий (ограниченности, сходимости и др.).

Цель работы. Целью работы является разработка методов стабилизации и оптимальной стабилизации систем с последействием нейтрального типа.

Научную новизну результатов представляют:

1) развиваемый в диссертации метод исследования переходных процессов линейных систем с последействием нейтрального типа, в основе которого лежит идея перехода к спектральной канонической системе обыкновенных дифференциальных уравнений;

2) метод синтеза систем, обладающих заданными свойствами;

3) решение задачи аналитического конструирования регулятора для линейных систем с последействием нейтрального типа.

Теоретическое и практическое значение работы.

Разработанные в диссертации механико-математические модели были использованы при исследовании динамических процессов, сопровождающих механическую обработку конструкционных материалов. На основе предлагаемых методов стабилизации и оптимальной стабилизации установлены режимы управления подачей при сверлении и точении твердых сплавов, обеспечивающие указанным процессам свойство устойчивости.

Апробация работы. Основные разделы работы обсуждались на семинарах акадЛерноусько Ф.Л. (г.Москва, Институт проблем механики РАН) и докт.физ.-мат,наук, проф.Альбрехта Э.Г. (г.Екатеринбург, Уральский государственный университет).

На защиту выносятся:

1) метод исследования систем нейтрального типа, состоящий в замене системы с последействием системой обыкновенных дифференциальных уравнений;

2) метод решения задачи перемещения корней характеристической функции системы с последействием в любые наперед заданные точки комплексной плоскости;

/

3) метод стабилизации переходных процессов систем с юследействизм;

4) метод оптимальной стабилизации систем нейтрального ;ипа.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из цюдисловия, пяти глав, заключения и описка литературы. Ра-5ота изложена на 109 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Предисловие к диссертации содержит краткую характеристи-су работы, в которой обоснована актуальность работы, приведены основные результаты, выносимые на защиту, определена шучная новизна и значимость проведенных исследований.

В первой главе осуществлено построение механико-матема-гических моделей процессов точения и сверления конструкцион-шх материалов.

Исследованию динамики процессов механической обработки инструкционных материалов посвящено большое число работ российских и зарубежных авторов. Однако, в большинстве этих работ описание относительных виброперемещений детали и инструмента базируется на теории обыкновенных дифференциальных сравнений. В ряде работ, опубликованных в последнее время, 1редлагаются модели,учитывающие последействие сил резания. 3 частности, в диссертации предложены модели, использующие да описания динамики сверления и точения уравнения с последействием нейтрального типа.

При малой толщине срезаемого слоя сила резания пропорцио-гальна толщине среза.

Рреь = к (ас + ^ К-т^ -

где к - коэффициент пропорциональности, си - заданная толщина среза, эсЛ-Ь) - относительное перемещение заготовки I резца в данный момент времени, т - время одного оборота [детали.

И917

В таком случае относительные виброперемещения детали и инструмента в слабоинерционннх системах о малым трением (а это имеет место при чистовом точении твердых сплавов на малых оборотах) описываются разностным уравнением нейтрального типа.

а^с(-Ь) + fccc.lt-г)

где ^ (Л) - управляющее воздействие на подачу. Аналогичное уравнение опиоывает также процесс безотрывного сверления.

В рамках предложенных механико-математических моделей сформулированы основные задачи стабилизации процессов обработки конструкционных материалов.

Во второй главе развивается общий метод исследования линейных систем нейтрального типа. С этой целью рассматривается пространство С,С-х,о1 непрерывных на отрезке последействия п -мерных вектор-функций со скалярным произведением, определяемым равенством

К.,4-»

О

+ С«

с« - фиХкЮЭУ^тл

-т.

о

(2)

В выбранном функциональном пространства уравнениям (I) соответствует операторное уравнение

II г » >

где

хЧе) сь+е)}

а операторы 1) и Я имеют следующий вид

а©

-гб©<0

+ +

5=(

+ 6=0

О , -X ¿©<0

т 7 6 = 0.

Собственные векторы оператора ^ и сопряженного оператора Т) соответствующие собственному значению Х^ выбираются в виде

ОО й'

Л'

где Д*«, (Л»Л - алгебраическое дополнение элемента, расположенного на пересечении к. -й строки и а -го столбца характеристического определителя А (.V) системы (I) при отсутствии управления.

Решение системы (I) представляются в виде разложения по собственным векторам

Х*(е) - £ (3)

и«»<

где обобщенные координаты являются решениями

канонической системы уравнений —— - (4)

р = £ Ак„ЛУО

При этом системы (I) и (4) будут эквивалентны, если ряд в правой части разложения (3) сходится.

В третьей главе исследована цроблема синтеза уравнений, обладающих заданными свойствами. С этой целью разработана процедура последовательного перемещения характеристических корней в любые наперед заданные точки комплексной плоскости. Решение указанной задачи построено для систем вида

а ^ ьм

к

Пусть система (5) при отсутствии управляющих воздействий обладает простым спектром

Х^, ... , . , ^¿щ ••• (6)

Рассматриваемая задача состоит в том, чтобы указать такое управляющее воздействие ^(Ъ1) с коэффициентами тк , при котором последовательность характеристических корней (6) переходит в последовательность

Х-,,, ^ , , . .

(7)

Теорема.

Для того чтобы последовательность характеристических корней (6) системы (5) при отсутствии управления переходило в последовательность (7), достаточно выбрать коэффициенты т« и управляющее воздействие ^ (. -Ь ") следующими:

Л ©

Ч (Л) = 3 ос, С-Ь) +

- + +

-с

+ 5+ е)е-|и^)^¿¿¿в)

Принципиальным

является то обстоятельство, что выбранное /правление не изменяет типа системы (5), что позволяет последовательно применять доказанную теорему для перемещения

произвольного числа корней. Это позволяет перенести все собственные значения из правой полуплоскости комплексной плоскости в левую, обеспечив, тем самым, решениям системы (5) свойство устойчивости;

В четвертой главе рассмотрены задачи оптимальной стабилизации уравнений второго порядка и слабо связанных линейных систем нейтрального типа первого порядка.

Задача оптимальной стабилизации для систем нейтральной типа заключается в том, чтобы найти такое управляющее воздействие ^ = , при котором решения уравнений

¿ъ - -(8)

о

+ Скьзс5(-1-х) + ¡^ьфачй+е^е) + ^Ди)

-■с

асимптотически устойчива, а интеграл

(9)

принимает наименьшее значение.

Предполагается, что спектр системы (8) является цростым причем нуль не входит в множество собственных значений.

В соответствии с результатами второй главы задача (8), (9) эквивалентна задаче о минимизации функционала

со

ХЧУ= И1 £ 12 У ^ (Ю)

со связями

я

Доследования аналогичных задач для систем запаздывающего сипа проводилось в ряде работ. Однако решение задачи (10), [II) обладает особенностями принципиального характера. Это связано с тем, что характеристические корни системы (8) располагаются вертикальными целями. В результате при опти-лально! стабилизации перемещаются не только отдельные харак-геристические корни, но и асимптоты характеристических кор-гай. Поэтому задача (10), (II) в отличие от систем с запазды-занием не допускает конечномерную аппроксимацию задачами иМ.Лвтова.

'ешение задачи (10), (II) строится в виде ряда

[ри наличии определенных ограничений на начальные возмущения х.°к(©) =ф1с(.ЭУ, -СббёО можно доказать сходимость »яда в цравой части выражения (12).

Коэффициенты оптимального управления выражаются в виде >есконечных произведений, содержащих в качестве множителей робно-линейные комбинации характеристических корней системы 8) ври отсутствии управления и с управлением (12)

Пятая глава посвящена исследованию процессов механичес-ой обработки конструкционных материалов. Предложенные в ервой главе механико-математические модели, содержащие урав-ения с последействием, исследуются с помощью методов,развитых о второй, третьей и четвертой главах. Построены управления одачей при сверлении и точении твердых сплавов. Указаны ре-имы, обеспечивающие рассмотренным процессам свойство устой-ивости.

(12)

Л**

Заключение содержит основные итоги и вывода по работе.

I. Предлагается метод исследования переходных цроцессов систем с последействием нейтрального типа. В основе метода дажит переход к канонической счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Разработан метод стабилизации линейных систем нейтрального типа. Предложенный алгоритм синтеза позволяет эффективно формировать системы, обладающие заданными свойствами.

3. Разработан метод оптимизации переходных процессов в системах с последействием. Показана необходимость привлечения аппарата теории обобщенных функций для построения регулирующего воздействия.

4. Предложены механико-математические модели, учитывающие последействие сил при механической обработке материалов. Найдены характеристики стабилизирующих управляющих воздействий.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Маркушин Е.М., Харьковский С.И. О стабилизации линейных систем с последействием. - Иссоедование математических моделей технологических систем железнодорожного транспорта. Самара: Самарский институт инженеров железнодорожного транспорта. 1992, с.4-7.

2. Харьковский С.И. Оптимальная стабилизация линейных систем с последействием нейтрального типа. - Исследование математических моделей технологических систем железнодорожного транспорта.- Самара: Самарский институт инженеров железнодорожного транспорта, 1992, с.8-16.

3. Харьковский С.И. О перемещении характеристических корней систем линейных уравнений второго порядка с постоянными" отклонениями аргумента.- Разработка и исследование математических моделей технологических систем железнодорожного транспорта.- Самара: Самарский институт инженеров железнодорожного транспорта. 1993, с.19-23.

4. Маркушин Е.М.»Харьковский С.И. Об одной задаче оптимальной стабилизации уравнений с последействием,- Разработка и исследование математических моделей технологических систем железнодорожного транспорта.- Самара: Самарский институт инженеров железнодорожного транспорта. 1993, с.24-33.