Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН

На правах рукописи

г

г и

ДОЛГИЙ Орий Филиппович

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОШОНЯПЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1994

Работа выполнена в Уральском Государственном Университете им.А.Ы.Горького на кафедре теоретической механики.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н.В.Аз<5елев

доктор физико-математических наук, профессор Э.Г.Аль<Зрехт

академик РАН. профессор ШШрасовский

Ведущая организация - Московский государственный институт электроники и математики (технический университет).

л Защита состоится 1994 г. в У\./] часов на заседании специализированного совета Д 002.07.01

при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620066, Екатеринбург, ул.Софьи Ковалевской, 16 .

. С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " ' / ( г //¿^р 1994 г.

Ученый секретарь, кандидат физико-математических наУк МАГусев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В самых разнообразных областях современной нйуки и техники встречаются динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с последействием.

В математических моделях механики сплошных сред со сложной реологией в дифференциальные уравнения вводится последействие. Описание необратимых термодинамических процессов привело к построению математических моделей термодинамических систем с памятью. Учет конечности скорости электромагнитных взаимоцейстт вий ведет к необходимости при описании этих взаимодействий использовать запаздывающие потенциалы. Математические модели, учитывающие эффекты последействия динамических , процессов, встречаются в биологии и медицине. В общей теории динамических систем при построении реализаций отображений "вход-выход" появляются дифференциальные уравнения с последействием. В системах . автоматического управления необходимость учета последействия динамических процессов связана с кзнечностыо скорости распространения сигналов, а при наличии в системе вычислительных устройств требуется учитывать время, необходимое для расчетов. Дифференциальный уравнения с последействием описывают технологические процессы, связанные' с перекосом материалов и энергии.

Наличие последействия в математической модели динамической системы влияет на еа качественное поведение. Поэтому проблема качественного изучения дифференциальных уравнений с последействием привлекает к себе внимание многих исследователей. В • настоящее время наибольшие успехи достигнуты в построении теории

нелинейных периодических . колебаний. Здесь необходимо отметит: работы В.Б.Колмановского, О.М.Колесова. М.А.Красносельского Д.И.Ыартынюка, |].М.Митропольского, В.Р.Шсова, В.И.Рожкова ВЛР/баника, Ю.А.Ря<5ова, Дж.Хейла и С.Н.Шиманова. Важны» свойством периодических колебаний, требуемым для реализации их ] реальных технических системах, является свойство устойчивости При исследовании устойчивости периодических решени! дифференциальных уравнений по первому приближении мы приходим 1 проблеме исследования на устойчивость линейных периодически] дифференциальных уравнений с последействием. На сложность это! проблемы указывают трудности, которые имеют место в теорш устойчивости периодических •систем, описываемых обыкновенным! дифференциальными уравнениями. В нашем случае эта проблем: усложняется бесконечномерностью объекта исследования.

В теории устойчивости периодических дифференциальные уравнений с последействием развиваются различные направления Соответствующая библиография весьма обширна. Здесь еси возможность назвать лишь часть исследователей. Второй мето; Ляпунова получил развитие в работах НЛ.Красовского

B.ЕКэлмановского, ЕЛШаркуишна, В.Р.НЬсова, Д.Я.Хусаинова I (ЖШиманова. Метод преобразования Лапласа использовался I работах Р.Бэллмана и К.Г.Валеева. Метод производящих функци! применялся в работах ЗЛ.Рехлицкого, В.В.Мальгиной у

C.ВЛ1ильмана. Метод. использующий свойства монотонны! операторов, получил развитие ь работах Н.И.Азбелева Л.М.Береэанского и А.И.Домоишицкого. Подход, связанный < описанием динамической системы в терминах "вход-выход" и < последующим решением задачи о накоплении возмущений, развивался в работах Н-И.Азбелева, Е.А.Барбашина, В.Г.Курбатова

Д-Л.Массвра и В.А.Тшкевича. Аппроксимация дифференциальных уравнений с последействием обыкновенными дифференциальными уравнениями использовалась в задаче устойчивости в работах НЛ.Красовског6, А.ККурясанского н О.М.Репина.

Основы теории первого метода Ляпунова для линейных периодических систем с последействием заложены в работах А.М.Зверкина, А.Стокса, А.Халаная, В.Хана, Дж.Хейла и С.Н.Шиманова. Эта теория оказалась эффективной при разработке методов исследования квазигармонических систем. Для существенно нестационарных периодических систем с последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных видов уравнений. Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию первого метода Ляпунова для линейных периодических дифференциальных уравнений с последействием.

Цель работы. Цель работы состоят в развитии первого метода Ляпунова для линейных периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Центральным моментом здесь является разработка методов построения характеристического уравнения для оператора монодромии, учитывающих классификация этих операторов. Разбиение операторов на классы требуется для получения хороших конечномерных аппроксимаций операторов монодромии, которые используются при решении проблемы Рауса-Гурвнца (случай единичного круга). К этой проблема сводится задача устойчивости линейных периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Точность конечномерных алпрокимаций связана со скоростью убывания собственных значений оператора монодромии. Поэтому ставится задача нахождения асимптотики собственных значений оператора монодромии. Следующей целью является выделение отдельных классов периодических

дифференциальных уравнений с запаздыванием, в которых при изучении бифуркационной задачи устойчи1 сти используются методы возмущений самосопряженных краевых задач.

Методы исследования. Методы исследования опираются на достижения классических направлений науки: теории устойчивости движения, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функционально-дифференциальных уравнений и функционального анализа. В данной работе исследования используют концепцию Ляпунова устойчивости движения, которая развивается в Уральском университете на кафедре теоретической механики. Разумеется, при этом используются методы исследования и результаты из теории функционально-дифференциальных уравнений, развиваемые в других научных центрах, где ведутся аналогичные исследования.

В основе избранной концепции лежит понятие оператора монодромии, спектральные свойства которого определяют устойчивость или неустойчивость периодических линейных дифференциальных уравнений с последействием.

Научная новизна. Представляется, что полученные в диссертации результаты дополняют ■ существующую теорию устойчивости дифференциальных уравнений с последействием некоторыми новыми теоретическими утверждениями общего порядка и методами анализа устойчивости периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Среди таких результатов отметим следующие.

1. Предложена общая методика построения характеристического уравнения для периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

2. Построена специальная конечномерная аппроксимация степени оператора монодромии для уравнений запаздывающего типа.

3. Получены условия представимости степени оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов для уравнений запаздывающего типа.

4. Для уравнений нейтрального типа изучены спектральные свойства некомпактной составляющей оператора монодромии.

5. Найдена асимптотика собственных чисел оператора монодромии для дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

6. Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом построена специальная краевая задача для системы функционально-дифференциальных уравнений, к анализу распределения' собственных значений которой сводится проблема .устойчивости рассматриваемых уравнений.

7. Выделены специальные классы дифференциальных уравнений с запаздыванием, в которых при изучении бифуркационной задачи устойчивости используются методы возмущений самосопряженных сраевых задач.

Теоретическое и практическое значение диссертации заключайся в том, что изложенные в ней методы и установленные >езультаты создают теоретическую основу для разработки шгоритмов и программ для ЭВМ при решении задач устойчивости для • [ериодических дифференциальных уравнений с . отклоняющимся ргументом.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 3 ральской региональной конференции "Сункционально-ифференциальные уравнения и их приложения" СПермь, ,1988), 2 сесоюзной . конференции "Нелинейные колебания механических ис-гем" (Горький, 1990), 6 Всесоюзной Четаевской конференции по стойчивости движения, аналитической механике и управлению вижением (Казань, 1992), Украинской конференции "Моделирование

и исследование устойчивости систем" (Киев, 1993), Межгосударственной научной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация" (Минск, 1993Л Весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения - V" (Воронеж. 1994).

Результаты работы обсуждались на семинарах Уральского госуниверсигета, Бермекого политехнического института и Института математики и механики УрО РАН.

Публикации. Результаты, вошедшие в диссертацию, опубликованы в работах [1-201.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения,- пяти глав и списка литературы, содержащего 290 наименований. Диссертация содержит 24 параграфа. Общий объем диссертации 296 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении указаны области современной науки и техники, в которых встречаются математические • модели, описываемые дифференциальными уравнениями с последействием. Подчеркивается важное значение проблемы качественного исследования дифференциальных уравнений с последействием и , в частности, анализа решений рассматриваемых уравнений на устойчивость. Приводится обзор основных направлений исследований в теории устойчивости периодических дифференциальных уравнений с последействием. Формулируется общая постановка задачи, которая рассматривается в диссертации. Дается характеристика основнг^о содержания работы. Описанию содержания каждой главы предшествует обзор литературы, связанной с материалом рассматриваемой главы.

Содержание I главы

Первая глава состоит из 4 параграфов. В ней изучается линейное периодическое дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа

ЩР- - A(t) x(t) + D(t) x(t-x(t)) . (1.1)

где А и В - вещественные пхп-матрицы-функвди, периодические с периодом ш СшхЭ) ; элементы матрицы А суммируемы на отрезке (0,(0) , а элементы матрицы В суммируемы с квадратом на этом отрезке; запаздывание т - положительная аьпериодическая функция, абсолютно непрерьвная на отрезке 10,, на этом отрезке производная функции т ограничена в существенном и

удовлетворяет условию vrai sup x(t) < 1 .

ШО.ы)

Первая глава посвящена анализу общих свойств оператора монодромии и проблеме построения для него характеристического уравнения.

Фундаментальные результаты в . теории устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием получены в работах С.Н.Шиманова, А.Халаная, Д.Стокса и В.Хана. Центральным понятием созданной ими теории является оператор монодромии, спектральные свойства которого определяют устойчивость или неустойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием. Так для асимптотической устойчивости указанных динамических систем необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения оператора монодромии лежали на комплексной плоскости внутри единичного круга с центром в начале координат.

В работах СЛШимаиова и АЛ-Зверкина получены аналитические представления оператора монодромии для различных классов линейных периодических дифференциальных уравнений с последействием. Эти результаты показывают, что оператор монодромии можно представить в виде суммы конечномерного и интегрального операторов. Поэтому при' нахождении собственных значений оператора монодромии можно использовать соответствующую теорию для интегральных операторов. Этот подход применялся в работе А.М.Зверкина. Для периодических дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями, рационально соизмеримыми с периодом,' задача нахождения собственных значений оператора монодромии в работе ГЛ.Гасилова сводилась к проблеме нахождения собственных значений краевой задачи для - обыкновенных дифференциальных уравнений. С проблемой нахождения собственных значений оператора монодромии тесно связана задача нахождения характеристических показателей решений Флоке. Для периодических дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями, рационально соизмеримыми с периодом, -последняя задача решалась в работах ■ О.П.Германовича, А.М.Зверкина, В.ЕКолмановского, -И.В.Комленко. С.ИЛюбича, В.Р.Носова и В.А.Ткаченко.

В настоящей работе при нахождении собственных значений оператора монодромии- используется понятие характеристического определителя. &го понятие тесно связано с теорией симметрично-нормированных идеалов кольца линейных ограниченных операторов в гильбертовом ' пространстве. Последняя теория позволяет дать классификацию множества . вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве и на основе этой классификации ввести понятия характеристического определителя и регуляриэоьанного характеристического определителя. Классифи-

кация операторов монодромии использовалась также при нахождении асимптотики собственных чисел оператора монодромии. Последняя задача является сложной в связи с несамосопряженностью оператора монодромии. Полученные результаты обобщают результаты работы А.М.Зверкина. При их нахождении используется более универсальный метод.

Использование понятий характеристического определителя или регуляризованного характеристического определителя позволяет свести задачу нахождения собственных значений оператора монодромии к задаче нахождения нулей целой функции. Тогда проблема асимптотической устойчивости для периодического дифференциального уравнения с запаздыванием сведется к проблеме Рауса-Гурвица для целой функции (случай единичного круга), т.е. к задаче нахождения условий, при которых все нули целой функции лежат на комплексной плоскости вне единичного круга с центром в нуле. Проблема Рауса-Гурвица решена в случае, когда целая функция является полиномом. Для общего случая эта задача практически не исследована. Пэдход к исследованию асимптотической устойчивости периодического - ' дифференциального уравнения с запаздыванием, связанный с характеристическими показателями решений Флоке, приводит к проблеме Рауса-Гурвица для целой функции (случай левой полуплоскости), т.е. к задаче нахождения условий, при которых все нуди целой функции лежат в левой полуплоскости. Здесь нас ждет неприятность, связанная с тем, что целая функция может иметь бесконечный порядок роста. Нэ можно выделить частные классы уравнений, когда целая функция, определяющая характеристические показатели, будет иметь конечный порядок, а для некоторых классов уравнений будет представляться в виде квазиполинома. Последняя ситуация имеет место, в

частности, для стационарных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Проблема Рауса-Гурвица для таких функций и квазиполиномов исследовалась в работах Р.Беллмана, КЛЛука, НЛ-Меймана, Э.Пинни, Л.С.Понтр!. ина и НГ.Чеботарева. Приложение этих результатов позволило получить критерии асимптотической устойчивости для отдельных классов дифференциальных уравнений с запаздыванием. В настоящей главе при решении проблемы Рауса-Гурвица для целой функции (случай единичного круга) предлагается сводить ее к аналогичной проблеме для полинома с помощью теоремы Руше. Аналогичный прием использовался в монографии В.Б.Колмановского и В.Р.Носова для стационарных систем дифференциальных уравнений с последействием. В параграфе 1.1 вводится эволюционный оператор

Т(г,г0)(<р^) - ) , (1.2)

действующий из пространства с(1-ъ(%р),0];тп) в пространство

с((-та.).0];кп) , Здесь <р* - Ф+ ) - <рМп+0+ )

х0 хО гО 0

(¡о),О) . - элемент начальной функции; х^ - х^С^.ф^ )

" хх<*1Ао,Ъ0> " ха+^.^.ч)) . . * > t0 , -

элемент решения уравнения (1.1), соответствующий элементу

начальной функции ; ~ начальный момент времени.

Оператор

и = иа0> - т(г0+ы.г0) . г^ , (1.3)

называется оператором монодромии. Он действует в пространстве £(1-1(10),01;<кп) и является линейным непрерывным оператором.

12

Более того при ш ^ x(tQ) , где т - натуральное' число, оператор if^itQ) является вполне непрерывным. Спектр оператора монодромии состоит из его собственных значений и нулевой точки. При этом собственные значения оператора монодромии не зависят от выбора начального момента времени. При сделанных в параграфе предположениях оператор монодромии допускает расширение на гильбертово пространство (Н » (-x(tQ),0);^n) со скалярным

произведением f<p,i|>; - ф*(0)q(0) *■ J t|>*Cs;<pisJ йз .

-т<t0)

В параграфе 2.1 при различных р , 0 < р < <» , вводятся

классы £р ' вполне непрорывньк операторов в гильбертовом

пространстве. Класс , 0 < р < <а , состоит из всех вполне и ш

непрерывных операторов U , для которых J s?Ci/J < « . Здесь

М

3j(U). J > 1 , - s-числа оператора U .

Теорема 1.2.4. Пусть для любого ТХ) в уравнении

(1.1) элементы матрицы А принадлежат пространству ,

где I - натуральное число, элементы матрицы В принадлежат

пространству wlf1 Ю.Т] и запаздывание т . принадлежит ij.pi

пространству Wj? с10.Т) . Тогда для натурального числа п . m > (t0-h(1+2Ut0). оператор t/71«^ при р > 1/(1+1/2) . Здесь итерации , й >1 , определяются формулами: h^^(t)

hfh^-^Ct)) , П > 1 . h(t) - t-x(t) , t*R ,

Полученные в параграфе результаты используются при нахождении асимптотики собственных чисел оператора монодромии.

Теорема 1.2.5. Если элементы матриц А , В и запаздывание х являются бесконечно дифференцируемыми функциями на R , то в случае бесконечного множества собственных чисел оператора монодромии справедлива асимптотическая оценка

-(О/Т

^(U) = ОСП ю) , п ■* ш ,

где тв - -Ilm (h(l>(t0)sl) . О < tQ < ш .

В параграфе 1.3 вводятся понятия характеристического определителя, регуляризованного характеристического определителя и определителя возмущения. Обсуждаются методы их нахождения.

В параграфе 1.4 в терминах характеристического определителя, регуляризованного характеристического определителя и определителя возмущения доказаны утверждения об условиях

асимптотической устойчивости уравнения (1.1). Указанные

1

утверждения позволяют сводить проблему Рауса-Гурвица для целой функции (случай единичного круга) к аналогичной проблеме для полинома.

Содержание JI главы

Вторая глава состоит из 5 параграфов. Она посвящена нахождению представления оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов для периодического дифференциального уравнения с запаздыванием, рассматриваемого в первой главе. Возможность такого представления связана со специальной структурой интегрального оператора, входящего в аналитическое представление оператора монодромии. Для периодического дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием, соизмеримым с периодом, возможность такого представления отмечена в работе ГЛ.Гасилова.

В параграфе 2.1 строится конечномерная аппроксимация оператора iP1 - lP(tQ) . ш * x(tQ) , tff* . определенного в

пространстве c([h(t0).t0):Kn) формулой (iFtpH-O) -x(mj>m,tQ,(f) , ■Q*(K(tQ),tQ] . которая следует из определения (1.3). В основе конечн <ерной аппроксимации степени оператора монодромии лежит свойство частичной вырожденности ядра интегральной составляющей эволюционного оператора (1.2), которое проявляется при нахождении значений эволюционного оператора методом шагов.

Для построения конечномерной аппроксимации степени оператора монодромии зададим равнение начального полуинтервала Eq » Ih(tQ).tQ) на конечное число непересекающихся полуинтервалов е^ , Í < ( < N , открытых справа и покрывающих Eq . Указанное разбиение согласуется с полуинтервалами, получаемыми в методе шагов. С помощью матода шагов находятся значения оператора if1 . Рассматривается расширение оператора I?1 с пространства с([h(t0).t0]на пространство

М м

c(th(tQ).tQ];<* ) - пространство кусочно непрерывных справа на отрезке (h(tQ).tQl вектор-функций, имеющих разрывы первого рода только в точках пересечения отрезков ва , Í < а < Н . В этом пространстве введем норму |<р!~ « svp \<$(Ъ)\ ..Тогда имеет

место представление í/" » Uj * U2 . где конечномерный. оператор i/j определяется формулой

N Ыа)

(Uj<p)(t>) - Y у W^CV f^W . <*lh(t0).t0l . (2.1)

a интегральный оператор í/g - формулами:

■о

(U¡/f)(Q) - J R(4,3) <р(и(з)) ds

. ■û*ea , 1Ф4Л »

(2.2)

значения ( U¿p)(íq) находятся по непрерывности. Определения матриц-функций Н^ , 1 « р < pfa) , Г < а < JV . А и функционалов , 1 «í р S р(а) , Í < а < W , можно посмотреть в параграфе 2.1; uW - n(p(a))(tiw6) , Q*ea , 2 < а < N ; pía) » <И при еас(h(t0).t0) , р(а) - g при eacfW ; -h^'Q*1 - ш ; q - наименьшее натуральное число , при котором П(<})(м»г0) < t0; -бцвР. . í « a « N .

Т е о р е м а 2.1.2. Пусть для уравнения (1.1) выполнены условия параграфа 1.1 и wat sup |Bft;| » Bq < » . Тогда при

^о " ^ V спРавеДлива оценка

I< rflQ-l)'* vi ¡% .

а при -Qq > h(tQ) - оценка

"Ус* * ^ )(ч~2)'г я* Я1 w ш^Г'^

t

Здесь П. = vrai sup h(î) , vn - sup texp( Г |/Us}| ds)} , d -CitQ) u (КШ h(t)

диаметр разбиения полуинтервала Eq.

Получена также оценка точности аппроксимации оператора и"1

конечномерными операторами в пространстве w .

В параграфе 2.2 изучаются свойства взаимно однозначного

отображения Г , определяемого функцией и . полуинтервала Eq

ь себя. Отображение Г в общем случае является разрывным.

16

Ставится вопрос о существовании непрерывной степени отображения Г . Оказывается этот вопрос тесно связан со свойствами гомеоморфизма Б , определяемого функцией Л , если в рассматриваемом отображении отождествлять точки 1 и t+u) .

Теорема 2.2.1. Для существования непрерывной степени отображения Т необходимо и достаточно, чтобы начальный момент ^ являлся неподвижной точкой некоторой степени отображения Б.

Существование неподвижной точки некоторой степени

отображения 5 связано с рациональной соизмеримостью числа *

вращения гомеоморфизма с периодом и .'

В параграфе 2.3 в случае рациональной соизмеримости числа вращэния гомеоморфизма Б с периодом и строится специальное разбиение начального полуинтервала Ер , которое гарантирует вольтерровость оператора и,, •

В параграфе 2.4 построенная ранее конечномерная аппроксимация оператора О"1 используется для . нахождения характеристического уравнения на основе определителя возмущения О п (г) . •

В параграфе 2.5 представление степени оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов используется для нахождения асимптотики собственных чисел оператора монодромии.

Теорема 2.5.1. Пусть выполнены условия, наложенные при описании уравнения (1.1), а также запаздывание постоянно и рационально соизмеримо с периодом. В случае бесконечного множества собственных чисел оператора монодромии справедлива асимптотическая формула

XJU) - Q(n^) . n - .

Теорема 2.5.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.5.2. В случае бесконечного множества собственных чисел оператора монодромии справедлива асимптотическая формула

X,j(U) - О (п~1уе) , п ■> . для любого положительного числа е .

Содержание III главы

Третья глава состоит из 3 параграфов. Она посвящена исследовании устойчивости периодических дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием.

Задача нахождения условий асимптотической устойчивости для линейных периодических дифференциальных уравнений с переменным периодическим запаздыванием рассматривалась в работах А.И.Башкирова, К.Г.Валеева, В.БЛСолмановского, Э.БЛебе девой, В-РЛосова, ВЛЛалыгиной, С.А.Митропольского. ЗЛРехлицкого, СЛШманова, ФЛ).Щвеца, K-Cooke. J.Wiener и K-Copalsamy.

В параграфе 3.1, используя конечномерную аппроксимацию степени оператора монодромии и результаты параграфа 1.4, получены условия асимптотической устойчивости дифференциального уравнения (1.1).

В параграфе 3.2 для получения условий асимптотической устойчивости дифференциального уравнения (1.1) используются специальные краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений, приведенные в параграфе 2.4.

В параграфе 3.3 рассматривается уравнение

щр., н^г) хт * н2а) ха-^а)) , сз.п

где з^вР1 . ; Н] и Н2 - вещественные непрерывные (^периодические симметрические функции-матрицы; т - апериодическая положительная и непрерывно дифференцируемая функция; ц неотрицательный малый . параметр; ^ - кососимметрическая постоянная матрица специального вида.

Введем обозначение

и

а - — с* [ т(з) У^з.О) Н2(э) JZk х с J2tic ^

(Н^з) Н2(з)) У0(з,0) <3з с , (3.2)

где У0(з,0) - фундаментальная нормированная матрица (^д(О.О) -1^) невозмущенного канонического уравнения - (Ь) +

Н2(г)) х , р0 - собственное число матрицы И^Соо 0) с простыми элементарными делителями, с - собственный вектор матрицы У(у((1),0) , отвечающий собственному числу Рр • ■

Теорема 3.4.1. Пусть невозмущенное каноническое уравнение сильно устойчиво. Тогда для асимптотической устойчивости уравнения (3.1) при ц > О достаточно, чтобы для всех мультипликаторов рд канонического уравнения, соответствующие им числа а , определяемые формулами (3.2), имели отрицательные действительные части. Если существует мультипликатор р0 канонического уравнения, для которого соотвествующее число а , определяемое формулой (3.2), имеет положительную действительную часть, то уравнение (3.1)

неустойчиво при ц > 0 .

Пусть скалярное уравнение

* p(t) x(t-pt(t)) - О

dt*

сильно устойчиво при ц - О . Тогда при р. > О это уравнение

и

будет асимптотически устойчивым, если J f(a) р(а) ds < О .

О

Содержание IV главы

Четвертая глава состоит из 8 параграфов. Она посвящена исследованию устойчивости периодических дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием рационально соизмеримым с периодом. Так как свойство асимптотической устойчивости является грубым по отношению к малым изменениям запаздывания, то при исследовании на асимптотическую устойчивость периодических дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием можно, с учетом точности приближения, выбирать запаздывание рационально соизмеримое с периодом.

Задача нахождения условий асимптотической устойчивости для линейных периодических дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием рассматривалась в работах К.Г Фалеева, ГХГасилова, А.М.Зверкина, В.Б.Колмановского, В.Р.Носова, С.Н.Седоьой, С.В.Шильмана, J.Oontreras, W.Hahn. J.C.Llllo и М.Шапа.

В параграфе 4.1 строится специальная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая позволяет находить собственные значения оператора монодромии и формулировать в ее терминах условия устойчивости

дифференциального уравнения . с постоянным запаздыванием. В параграфе 4.2 полученные условия устойчивости конкретизируются для случая кусочно постоянных коэффициентов. В параграфе 4.3 достаточные условия асимптотической устойчивости

дифференциального уравнения с запаздыванием получаются пр'и изучении специального семейства краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В параграфе 4.4 достаточные условия асимптотической устойчивости дифференциального уравнения с запаздыванием связаны со свойством асимптотической устойчивости специального семейства обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими . коэффициентами. Для нахождения условий асимптотической устойчивости семейства обыкновенных дифференциальных уравнений в параграфе 4.5 используется метод функций Ляпунова.

Дифференциальное уравнение с запаздыванием 'теряет свойство асимптотической устойчивости, когда некоторое собственное значение специальной краевой задачи переходит ' через единичную окружность во внутрь единичного круга. В параграфе 4.6 рассмотрены уравнения, для которых можно определить возможные точки перехода. Для этих уравнений краевая задача в момент перехода собственного значения через единичную окружность становится самосопряженной. Последнее обстоятельство позволяет развить для таких уравнений методы исследования, характерные для периодических канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для скалярного уравнения

^ii + a(t) x(t-t) - О

с непрерывной £т-периодической положительной функцией а полу-

2т

чено следующее условие асимптотической устойчивости Ja(a)d3 <2.

. О

Для периодической системы с запаздыванием

Щр * A(t) x(t-uj - 0 . (4.1)

где xdRn , А - непрерывная ы-периодическая симметрическая положительно определенная матрица-функция на всей числовой оси. показано, если система (4.1) асимптотически устойчива при А » Aq , то она асимптотически устойчива для всех матриц А , A(t) < Aq(î) (чо<и+в>) . Здесь в качестве матрицы Aq можно взять постоянную матрицу, для которой задача асимптотической устойчивости уравнения (4.1) решена. Полученный результат позволяет выписать условия асимптотической устойчивости уравнения (4.1) для переменной матрицы А .

В рассматриваемом параграфе изучалась устойчивость системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

J = Hj(t) x(t) + ц H2(t) x(t-b» . (4.2)

где J - неособая постоянная кососимметрическая матрица,

Hj и Н2 - непрерывные апериодические симметрические матрицы-функции, ц - неотрицательный параметр, матрицы H2(t) положительно определены при всех t«R и матрица-функция Н2 не равна тождественно нулю на числовой оои. Для системы (4.2) справедливы утверждения.

Теорема 4.6.6. Если у системы (4.2) при ц » О найдется мультипликатор с модулем, отличным от единицы, то

система (4.2) будет неустойчивой при ц > 0 .

Теорема 4.6.7. Пусть система (4.2) при ц - 0 сильно устойчива. Если у системы (4.2) при. ц я 0 существует мультипликатор первого рода с положительной мнимой частью, то она будет неустойчивой при ц > О . Если у системы (4.2) при ц. = О все мультипликаторы с положительной мнимой частью являются мультипликаторами второго рода и нет мультипликаторов с нулевой действительной частью, то существует такое ц^ > О , что при О < \i < \Iq система (4.2) асимптотически устойчива, а при ц > \Iq неустойчива.

В параграфе 4.7 установлена неустойчивость скалярного дифференциального уравнения с запаздыванием

¿ЩР- + p(t) x(t-w) -О .

бХг

где р - ы-периодическая функция, ограниченная в существенном на отрезке Ю.ы] , отличная от нуля на множестве положительной меры. А также установлена неустойчивость системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

Г1 - H(t) x(t-w) ,

где I - / -1 , дас71 , G - неособая постоянная эрмитовая матрица, И - непрерывная (¿-периодическая эрмитовая положительно определенная матрица-функция на числовой оси.

В параграфе 4.8 разработанные выше методы применяются к изучению устойчивости линейной нестационарной модели фрезерования, описываемой скалярным дифференциальным уравнением с запаздыванием

Zlv * x(V - noft; (хСЬ-L) - Х(Ъ)) ,

где V . i , ц и Л - положительные числа, физические и геометрические параметры модели, v - кусочно непрерывная ¿-периодическая функция, определяемая формулой v(ti) « i - е соз(2Ъ+6) при О $ « < Д . где е и в - положительные числа.

Содержание V главы Пятая глава состоит из 4 параграфов. В ней изучается линейное периодическое дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом нейтрального типа

'1

- A(t) X(t) + B(t) ï-gfU + C(t) x(îl(t)) , . (5.1)

где х<зхп ; А , В и С - вещественные и-периодические

матрицы-функции; элементы матриц А и С суммируемы на отрезке

Ю.ы] , а элементы матрицы В являются абсолютно непрерывными

функциями на атом отрезке; h(t) » t - x(t) , t««u ;

запаздывание i - положительная иьпериодическая функция,

абсолютно непрерывная на отрезке Ю,ы) , на этом отрезке

производная функции г ограничена в существенном и

удовлетворяет условию vrai sup âft) < 1 , О < x(t) 4 U при

UtO.u)

UIO.U)] .

Пятая глава посвящена исследованию устойчивости

периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся

аргументом нейтрального типа. Основы общей теории периодических

дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

тйтрального типа заложены в работах Н-В.Азбелева, А.М.Ргеркина, З.Б.Колмановского. и Дж.Хейла. Устойчивость или неустойчивость таких уравнений определяются спектральными свойствами оператора «юнодромии. Так для асимптотической устойчивости указанных 1инамических систем необходимо и достаточно, чтобы радиус :пектра оператора .монодромии был меньше единицы. Для щфференциальных уравнений нейтрального типа оператор монодромии ¡е является вполне непрерывным. Он содержит некомпактную сомпоненту. Эта компонента 'является линейным ограниченным шератором специального вида, который называется оператором шутренней суперпозиции. Этот оператор возникает при ^следовании различных классов динамических систем. Его :войства, в том числе и спектральные свойства, исследовались в >аботах Н.В.Азбелева, А.Б.Антоневича, Л.М.Бэрезалского и !.Е.Драхлина. Наличие оператора внутренней суперпозиции в шераторе монодромии. приводит к появлению непрерывной части шектра у оператора монодромии. ■ С проблемой нахождения-юбственных значений оператора монодромии тесно связана задача ;ахождения характеристических показателей решений Флоке. Для ;ериодических дифференциальных уравнения . нейтрального типа с остоянным запаздыванием рационально соизмеримым с периодом оследняя задача решалась в работах ОЛЬГермановича • и .М.Зверкина.

В настоящей работе при изучении спектральных свойств ператора монодромии решена задача выделения непрерывной части го спектра. В основе этого решения лежит новый метод нахождения пектра оператора внутренней суперпозиции. Для нахождения эбственных значений оператора монодромии используется . понятие пределителя возмущения. Полученные результаты используются при

нахождении условий устойчивости периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом неЬ .рального типа.

В параграфе 5.1 вводится понятие обобщенных решений уравнения (5.1), которое позволяет ввести эволюционный оператор T(t,iQ)(ф^; * х^Ьф.у^^) , действующий из пространства с([-хао),0];ъп) ь пространство с/7-т(г),01;кп) . Здесь <р+ -\(\> " • ^ , - элемент начальной

Функции <р: хг • хt(t0,vto)'-х^Лрщ ) - ха+ъг.г0,у) ,

. í>t0 , - элемент решения уравнения (5.1), соответствующий элементу начальной функции ф^ ; tQ - начальный

момент времени. Оператор и » U(tQ) « Та^^Лд) » ^«к , называется оператором монодромии. Он действует в пространстве и является линейным непрерывным оператором. Спектр оператора монодромии не зависит от начального момента времени.

В параграфе 5.2 находится аналитическое представление оператора монодромии, определ мое формулой (Шр)^) * x(^l)^'6,tQ,<f>) , ■Оо[Ь.а0)Л01 . При получении этого представления начальный полуинтервал Е0 » разбивается на конечное

число непересекающихся полуинтервалов е^ , 1 < ( < N , открытых справа и покрывающих . Указанное разбиение согласуется с полуинтервалами, получаемыми в методе шагов. С помощью метода шагов находятся значения оператора и . Рассматривается расширение оператора У с пространства <с(ЩХ0),10];кп) на пространство c([h(t0),tQ];кn) /определенное в параграфе 5.2. Тогда имеет место представление и « и^ + и^ * .. Здесь некомпактный ограниченный оператор и^ определяется формулой

(l/jípjf'ñ) - D(4) (pfufVJ . ■ee(h(t0).t0l .

C5.2)

где матрица-функция D и функция и определены в параграфе 5.2: конечномерный оператор Ug определяется формулой

N р(а)

' «■Wt0;.t0í . (5.3)

где матрицы-функции И^ и функционалы, , í < р(а) , 1 < а < N . определены в параграфе 5.2; интегральный оператор £/¿ определяется формулами:

•fcea . 1 «Ja < N . (5.4)

где матрица-функция Я определена в, параграфе 5.2, значения (U3 <P)(Íq) находятся по непрерывности.

Представление оператора монодромии 'зависит от выбора разбиения полуинтервала Eq . В дальнейшем мы ограничимся изучением случая, когда число вращения гомеоморфизма, порождаемого функцией h , рационально соизмеримо с периодом. Тогда, используя результаты параграфа 2.3, ' выбирается специальное разбиение полуинтервала Eq , которое гарантирует вольтерровость оператора í/g . Это разбиение порождает специальные свойства оператора Uj и помогает выделить непрерывную часть спектра оператора монодромии.

Задача, выделения непрерывной части спектра оператора монодромии для переменного запаздывания связана с изучением

- Y

CW

"в

(U¿pW) = J лсв.э; фСиез;; ds ,

спектра оператора , действующего в пространстве , <п([■&],-6*};

. Указанное пространство и число р определены в параграфе 5.2. Возникающая проблема сводится к нахождению условий разрешимости функционального уравнения. Предложен метод нахождения решений, рассматриваемого в параграфе 5.3 класса функциональных уравнений. Он сводит задачу нахождения решения функционального уравнения к задаче нахождения решения дискретной разностной системы уравнений в банаховом пространстве. Решение дискретной системы определяет решение функционального уравнения на интервале (Ъ^/6. Условия существования непрерывного продолжения найденного решения на отрезок Гб^.-в^ дают условия разрешимости функционального уравнения. Анализ полученных условий разрешимости функционального уравнения позволяет описать спектр оператора и^.

В параграфе 5.4 с помощью найденного представления оператора монодромии выписывается характеристическое уравнение для нахождения собственных значений оператора монодромии. Выделение непрерывной части спектра позволяет свестг задачу нахождения условий асимптотической устойчивости периодического дифференциального уравнения нейтрального типа к требованию: все. корни характеристического уравнения по модулю больше ■ единицы. Рассмотрены примеры, в которых получены, как условия асимптотической устойчивости, так и неустойчивости дифференциальных уравнений нейтрального типа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Таким образом, основными результатами диссертации, которые на взгляд автора дополняют известную теорию первого метода

Ляпунова япя периодических дифференциальных уравнения с последействием, являются следующие результаты.

1. Предложена общая методика постро^'ия характеристического уравнения для периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

2. Построена специальная конечномерная аппроксимация степе -ни оператора монодромии для уравнений запаздывающего типа, учитывающая свойство частичной вырожденности ядра интегральной составляющей этого оператора. Для уравнений нейтрального типа выделена некомпактная составляющая оператора монодромии.

3. Получены условия представимости - степени оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов для уравнений запаздывающего типа. Для уравнений нейтрального типа изучены спектральные свойства некомпактной составляющей оператора монодромии.

4. Найдена асимптотика собственных чисел оператора монодромии для дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

5. Для дифференциальных уравнений с отклоняющимся _ аргументом доказаны общие утверждения об асимптотической устойчивости в терминах свойств корней характеристического уравнения.

6. Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом построена специальная краевая задача для системы функционально-дифференциальных уравнений, к анализу распределения собственных значений которой сводится проблема устойчивости рассматриваемых уравнений. .

7. Выделены специальные классы дифференциальных уравнений с запаздыванием, для которых получила дальнейшее развитие методика Ляпунова-Крейна исследования канонических дифференциальных уравнений, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

ПУБЛИКАЦИИ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Т. Долгий Ю.Ф., Шиманов С.Н. Устойчивость периодической системы дифференциальных уравнений нейтрального типа//Устой-чивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1982. С.32-39.

2. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодической системы нейтрального типа с постоянным запаздыванием//Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1983. С.35-46.

3. Долгий Ю.Ф. Неустойчивость аналога уравнения Хилла' с запаздыванием/устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1984. С.30-36.

4. Долгий Ю.Ф. Устойчивость одного уравнения нейтрального типа с переменным запаздыванием//Дифференц. уравнения. 1985. Т.21, N.9. С.1480-1489.

5. Долгий Ю.Ф. Неустойчивость аналога гамильтоновой системы с запаздыванием//Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1986. С.13-21.

6. Долгий Ю.Ф. Спектр оператора монодромии для одного разностного уравнения с непрерывным временем//Укр. мат. журн. 1987. Т.39, N.2. 0.250-255.

7. Долгий Ю.Ф..' Шиманов С.Н. Влияние малого запаздывания на устойчивость канонических систем линейных дифференциальных уравнений// Краевые задачи. Пермь. 1987. С.31-37.

8. Долгий Ю.Ф. Шиманов СЛ. Существование зоны устойчивости для одного уравнения с запаздыванием//Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1988. С.11-18.

9. Долгий Ю.Ф. Устойчивость одной периодической системы с постоянным запаздыванием//®ункциокально-дифференциальные урав-

нения. Пермь. 1988. СИ 31-136.

10. Долгий Ю.Ф. Свойства оператора монодромии периодической системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа/ЛЬв. вузов. Математика. 1988. N.9. С.23-29.

11. Долгий D.®. О спектральных свойствах оператора внутренней суперпозиции//Изв. вузов. Математика. 1988. N.11. С.66-69.

12. Долгий Ю.Ф. OcS устойчивости одной периодической системы с запаздыванием// Краевые задачи. Пермь. 1989. 0.16-21.

13. Долгий Ю.Ф., Виноградова Е.П. Исследование на устойчивость линейной модели фрезерования// Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1991. С.24-30.

14. Долгий Ю.Ф. Методы Ляпунова-Крейна в задаче устойчивости периодической системы с запаздыванием// Тез. докл. 6 Всесоюзной . Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением. Казань. 1992. С.34-35.

15. Dolgy Yu.F. Llapunov Methods for Stability Problem of Periodic Systems of Differential Equation, with Constant Delay// Тез. дскя. международной математической конференции "Ляпунрвские чтения". Харьков. 1992. С.62.

16. Долгий П.Ф. Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием// Тез. докл. Весенней Воронежской математической школы "Понтрягинские чтения-1У". Воронеж, 1993. С.69.

17. Долгий Ю.Ф. Связь устойчивости периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием со спектральными свойствами оператора монодромии//Теэ. докл. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости

систем". Киев, 1993. С.51-52.

18. Долгий Ю.Ф. Связь устойчивости дифференциального уравнения с

я ..

запаздыванием с конечномерными аппроксимациями оператора монсдромии//Тез. докл. Межгосударственной' научной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация". Минск, 1993. С. 12.

19. Долгий Ю.Ф. Представление оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов// Докл. Акад. Наук. 1994. Т.334, N.2. С.138-141.

20. Долгий Ю.Ф. Асимптотика собственных чисел оператора монодромии для периодических дифференциальных уравнений с запаздыванием// Изв. вузов. Математика. 1994. N.11.

Научный вклад, внесенный автором диссертации в работы, написанные в соавторстве. В работе [13 автору принадлежит определение понятия обобщенного решения для дифференциальных уравнений нейтрального типа. В работах (7,81 автору принадлежат доказательства утверждений, определяющих условия асимптотической устойчивости дифференциальных уравнений ' с запаздыванием. В работе 431 Виноградовой Е.П. принадлежат результаты, связанные с численными расчетами границ областей асимптотической устойчивости модели фрезерования на вычислительной машине, а теоретические результаты принадлежат автору.

Подписано в печ. ЪО.ОЭ.ВН Формат 60 х 84 1/16. Бумага писЧеЧ Я ОГ»ъом Х.,0 Тир. ¡00 3;»к. № 8*8 Екатеринбург, К-83, щ>. Ленина, 51. Тииолаборатория УрГУ.