Периодические решения системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, содержащих малый параметр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСЯЩ) ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. ЛЕНИНА"

на правах рукописи

НАСЫГОВА ШН ГАЛЕЕВНА

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РШНИН СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНШЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕШШ, СОДЕРЖАЩХ МАЛЫЙ ПАРАЖ1Р

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени каццидата физико-математических наук

МИНСК, 1992

Рао'ота выполнена на кафедре математического анализа Рязанского ордена "Знак Почета" государственного педагогического института им. С.А. Есенина

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

проф. ТЕРЕХИН М.Т.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор НОСОВ В.Р.

кандидат физико-математических неук, доцент АЛЬСЕВИЧ В.В.

•Ведущая организация - Пермский политехнический институт •

Защита состоится 17 епреля 1992 года в 10 часоь на засодашщ специализированного Совета К 056.03.10 по присукде» гсзэ ученой стспош! кандидата физико-иатеиатических наук в ЕдгорусоЕсм ордэна Трудового Красного Знамени государственной укэтсрт'еуо гаеш! В.К, Ленина по адресу! 2200Ю, г. Минск, пргспзпг '2. Скоршш, 4, главный корпус, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета имени В.И. Лмшыа.

АиУСфе^ра? разослан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, зависящих от параметра в течении последних лет получили широкое распространение и находят много приложений в различных вопросах механики, физики-, в математической экологии и в теории автоколебаний.

В настоящее время как вся теория дифференциальных урав -нений с отклоняющимся аргументом, так и теория уравнений нейтрального типа очень бурно развиваются. За последние годы появились в дополнении к известным монографиям Л.Э. Эль-сгольца и С.Б. Норкина, А.Д. Йкпкиса, А. Халаная, С.Б. Нор-кина, В.П. Рубаника, такие работы как книги Ю.А. Митропольс-кого и Д.И. Мартышка,"Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием", Дж. Хейла "Теория функционально-дифференциальных уравнений", С.Фещенко и др. "Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом", В.Б. Колмановского и В.Р. Носова "Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием".

Несмотря на достигнутые успехи в развитии, в целом теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, зависящих от параметра изучена неполностью. Трудность в исследовании состоит в том, что дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом интегрируются в замкнутой форме в редких случаях. Поэтому большой интерес представляет' разработка различных методов качественного исследования дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. *

Вопросы существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, завися-' щих от параметра являются основными в качественной теории. Однако достаточно общих методов, позволяющих решить проблему существования периодических решений для таких систем не существует.

Если в случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений зависящих от параметра для определения периодически:-:

решений наиболее удобными является методы малого параметра Ляпу!ЮЕ£Р-Пуа:псаре, то для дишререгщиальных уравнений с отклоняющимся аргументом применение методов малого параметра встречает трудности. 3 том случае, когда существование и аналитическая зависимость периодического решения от параметра заранее иэвестг/ы, то э^о решение может быть вычислено с любой степенью точности методом разложения его по степеням малого параметра . Однако аналитическая зависимость периодических решений от параметров для систем с запаздыванием и нейтрального типа имеет место не всегда, а если она есть, то доказать ее очень трудно. Значительно более общими являются методы последовательных приближений, разработанные и обоснованные С.II. Шимановым. Но метод построения приближенных периодических решений для систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра применим только для'систем с постоянными параметрами и постоянным отклонением аргумента.

Меяду тем на"практике часто приходится иметь дело.с процессами описываемыми слонннми системами с переменны!}, ^клоне-йием и перемешшми параметрами в которых требуется найти условия сущсствовщгия периодических решений при малых значениях параметра. Интенсивное развитие теорий, в которых изучаются такие системы, показывает Еашость и актуальность выяснения условии существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, с параметром при матых значениях параметра.

ЦЕЛЬ РЛБ0Т1Т. В диссертационной работе решается задача о н&хогдении достаточных условий существования периодических рененлГ; система даХфзренцнальнга уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, зависящих от параметра близких к нуля при ?.;ачом значении параметра.

МЕТОДИКА йссадовлкг:. Основными методами, »фикеняеяыми в работе для определения условий существования бифуркационного значения параметра систейн дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра является метод неподвижной точки. ,

Е\УЧНЛН НОВИЗНА. Диссертация содержит результаты исследования- систем дифперенциальньпе уравнений с отклоняющимся ар- 4 -

гументом нейтрального типа, содержащих параметр. Получены новые достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, зависящих от параметра. Существенны! является то, что приведенные в работе теоремы сформулированы в терминах свойств собственных чисел матрицы L (fl) .

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕНГОСТЬ работы состоит в том, что полученные достаточные признаки существования периодических решений применимы к новым конкретным системам дифференциальных' уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра, связанным с изучением многих практически важных задач. Все критерии сформулированы в сравнительно легко проверяемом ¿виде, что может оказаться удобным при решении практических задач.

АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Результаты диссертации докладыва-4 лись на семинарах по качественной теории дифференциальных . уравнений в Рязанском государственном педагогическом институте им. А. С. Есенина, в Московском государственном педагогическом университете им. В.И. Ленина, в Московском областном педагогическом институте им. Н.К. Крупской, в Московском институте электронного машиностроения, в Пермском политехническом институте, на межвузовских конференциях в Пермской политехническом институте, в Уфимском авиационном институте им. С» Орджоникидзе, в Башкирском государственном педагогическом институте,

ПУБЛИКАЦИИ. lío результатам выполнении исследо§аний опубликовано .семь работ [1-7] .

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 63 названий, изложена на 102 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам, примыкающим к теме диссертации, излагается методика исследований и основные результаты.

Глава первая посвящена рассмотрению вопроса существования

периодических решений системы дифференциальных уравнений с от- , клоняющимся аргументом вида

МП^щ^^ ^ю. ал)

В § 1.1 дается определение бифуркационного значения параметра системы (1.1) . Сформулируем его.

Определение. Вектор 11о назовем бифуркационным _ значением параметра И системы (.1.1) , если каждому &>о ■ соответствует такой вектор Ц , который удовлетворяет неравенству и при котором система (1.1) имеет ненулевое -периодическое решение, удовлетворяющее неравенству <£ при любом ¿€.[0,10],

'Под решением системы (.1.1) понимается двустороннее решение.

Пусть Я>0 , р>0 , и>?0 , некоторые постоянные числа.

Будем говорить, что матрица Р , вектор-пункции Т , /)/ удовлетворяют условию И , если I/ матрица& , и, у) на множестве

определена, непрерывна, по совокупности аргументов, и) -периодична по ~Ь , удовлетворяет условию Липшица по переменитI

i , Я. , & , Ц соответственно с постоянными Л, К3> Кч, 2/ вектор-функция Т: ^^ц) на множестве

определена, непрерывна по совокупности аргументов, ы -периодична по и удовлетворяет условию Липшица по переменных ^ , й. , г*" с постоянными , 3/ вектор-функция ЫV, (*■) /*) на множестве-определена, непрерывна по совокупности аргументов, '^-периодична по ~Ь .и удовлетворяет условию Липшица по переменным £ , 2-, Ус постоянными , , .

Символом р) обозначим множество всех непрерывно-дифференцируемых на У , и) -периодических по ~Ь . - вектор-функций , для которых при любом i МФЯ)

Одновременно с системой (1.1) рассмотрена система уравнений

х(чНШ+^И.р)]*«)* (1,2)

где Щ (г Щ)> Цр) =

Пусть Ху Н, р) фундаментальная матрица решения системы (1.2) и такая, что Любое решение системы (1.2) определяется равенством

М/^ЛМ^ (1.3)

где некоторый постоянный вектор.

В данном параграфе сформулирована общая теорема о существовании периодического решения, сводящая исследование проблемы существования периодического решения к исследованию проблемы существования неподвижной точки оператора, содержащего параметр.

Теорема 1.1. Неподвижные точки оператора во множестве Щ(К, р) являются и) -периодическими решениями системы уравнений (I. I ) .

В доказательствах имеющихся в работе теорем о существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом используется следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть X/ \л/ и ^ некоторые непустые замкнутые компактные множества некоторых линейных нормированных пространств, У/ выпуклое множество, 2/ на подмножестве множества * Л определен оператор такой, что для любого X е- 1л/ Ъуществует единственное р € Л , удовлетворяющее включению

, 3/ из того, что

, Ц> =. у» следует, что ^ г Тогда существуют У\/ , и* 6 Л удовлетворяющие равенству '

В § 1.2 на основании теоремы 1.1 при определенных условиях решается проблема существования периодических решений системы (1.1)в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра Ц ~ V имеет нулевые собственные числа.

Пусть матрица имеет действительные собственные

значения („„'{(*) , (ft) , ...... U,(fi) и с помощью неособого Л

линейного преобразования матрица Liu) представима в веде

Ll^-du^ LL«(ft),L«(v,...¡Up)],

где LM((i) (h***i) матрица.

Т е о р е м а ,1.3. Пусть числа Я>0 и р>0 таковы, что I/ на множестве выполняется неравенство

2/ матрица __ /- , вектор-функции Т , Д/ удовлетворяют Н , 3/ матрица F^H, ft}, имеет ввд = Н,?)), (hj =

где функции fif^fi) ^¿J^i^it) . непрерывны по ir % ¡4 и имеют непрерывные частные производные по. ir и м гв 5) , 4/ , где 1-1-,

htytb, i'+^tft/)-»i-Kips,*KsfSx) ,

5/ в системе(1.1) ¡^„(u), (м) непрерывные функции век-

торного аргумента p-(ftt , • - ,/*«-») , определенные в Л , и такие, что Cmt,IO)~0 приIfbО, р; (ц)-а£, ft, ftx*... f н-ш^Щ

(р) -непрерывно-дифференцируемые по ^ . функции, б/ матрица &=fftly 3¡(¿""Я"<,*)}-<>««) неособенная.

Тогда Цо-0 бифуркационное значение параметра системы^.i) В § 1.3 рассмотрен вопрос существования периодических решений системы (.1.1) в случае j когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет комплексно-сопрякенные собственные числа. .

В §1.4 обобщаются результаты § 1.2, §1.3 на случай, когда собственные числа представлены в виде разложения по степеням, где показатели степени являются целые, нечетные, положительные числа отличные от единицы.

Во второй главе рассматривается автономная система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом вида

^)=(2.1)

Устанавливаются условия существования.бифуркационого значения параметра системы (2.1) . Рассматривается возможность применения операторов рассмотреных конструкций главы I к автономной системе дифференциальных уравнений (2.1)

В § 2.1 рассматривается вопрос существования бифуркационного значения параметра системы (2.1) в'случае, когда матрица L (М-) линейного приближения при критическом значении параметра Ц - 0 имеет пару комплексно-сопряженных собственных чисел. ' '

В § 2.2 получены условия существования бифуркационного - значения параметра системы (2.1) в случае, когда матрица L(u) линейногр приближения при критическом значении параметра и-о имеет два комплексно-сспрЖкенных и нулевых собственных

числа.

В § 2.3 установлены условия существования бифуркационного значения параметра ^ системы (2.1^ в случае, когда матрица линейного приближения [_ fit) при критическом значении параметра |Л=-0 имеет Ар комплексно-сопряженных и (щ-Зр) нулевых собственных числа.

В главе III установлены достаточные условия существования бифуркационного значения параметра Ц системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом вида

2 МрШ (3.1)

в случае, когда характеристическое уравнение, имеет нулевые и компленсно-сопряженные собственные значения при О . Рас-» сматривается возможность применения операторов рассмотренных конструкций главы I к. системе (3.1) .

В § 3.1 построено. решение, системы (3.1^ . Хотя полученные результаты сходны с соответствующими результатами для обыгаЬвенных дифференциальных уравнений, однако между ними имеется важное отличие: характеристическое уравнение для обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет конечное число корней, а для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в общем случае характеристическое уравнение имеет бесконечное множество решений. Рассмотрены некоторые обете свойства решений системы (3.1)

В § 3.2 используется возможность применения операторов главы Ь к системе (3.1) . Устанавливаются достаточные уело- ' вия существования бифуркационного значения параметра системы (3.1) в случае, когда характеристическое уравнение

при критической значении параметра Ц - О имеет нулевые, комплексно-сопряженные собственные значения.

Теорема 3.2. Пусть числа £т0 , р>0 такие, что I/ на множестве ^ выполняется неравенство

2/ матрица Р , вектор-функции Т , удовлетворяют условию п > 3/ матрица Flfí^> р) имеет вид где функции ^ ({, р) непрерывны по f » // и имеют частные производные по £ , р в & , 4/ \>0 , ^-^ХъО , где

Ц(к *)+ К1 ьр + к,р + ь р+■ р

/и) ,..., различные непрерывные функции векторного

аргумента ' ^ = , ... 7 у^« ), определенные в Л такие,

ЧТ0 ¿(0)4 0,

К р! ^ О "И11

О - непрерывно-дифференцируемая по ^ вектор-функция, б/ матрица £> -[а^ ] , ь-м.) неособенная,

7/ матрица [ ] ; <7,; 7^77^ ) неособенная.

Тогда и<> - О бифуркационное значение параметра ц/ системы (3.1} •

НА ЗАЩИТУ ВНОСЯТСЯ СЛЕДУГЩИЕ РЕЗУЖТАТЫ - Получены достаточные условия существования периодических решений системы (1.1 ) в случае, когда матрица линей-

ного приближения при критическом значении параметра ¡Л-О имеет нулевые, комплексно-сопряженные собственные значения.

- Получены достаточные условия существования бифуркационного значения параметра'автономной системы дифференциальных-уравнений с отклоняющимся аргументом (2.1)'в случае, когда матрица Л (р) линейного приближения при критическом значении. параметра ^ - О тлеет пару комплексно-сопряженных

и (р~Л) нулевых собственных числа, . комплексно-сопряженных и нулевых собственных числа.

- Установлены условия существования периодических решений системы (3.1) в-случае, когда характеристическое уравнение при. критическом значении парамйра ^ ~ О имеет кок!п-лексно-сопряженных - и (и-ил,) нулевых собственных числа.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Насыхова Л.Г. Существование бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // Рязан. гос. пед. ин-т, - Рязань, 1986.-10с,-Деп. в ВИНИТИ, № 1945' - В 86.

2. Насыхова Л.Г. Существование периодических решений системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, с параметром'. // Рязан. гос. пед. ин-т. -Рязань, 1906. -Деп. в ВИНИТИ, № 2201 - В 85. '

3. Насыхова Л.Г. К вопросу о бифуркации системъ? дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // Рязан. гос. пед. ин-т. - Рязань, 1986. - Деп. в ВИНИТИ, № 1544 - В 85.

4.'Насыхова Л.Г. О периодических решениях системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра. // Дифференциальные и интегральные уравнения: межвузовский сборник. - Горький, 1986. - С. 94-95.

б, Насыхова Л.Г. О существовании ненулевых периодических реиениях системы дифференциальных уравнений с отклоняющаяся аргументом. // Башкирский гос. пед ин-т. - Уфа, 1987. -Деп. в ВИНИТИ, 1Р 3540- В 87.

б. Насыхова Л.Г. Бифуркация периодических решений системы

/

дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. II Всесоюзный симпозиум по теории приближенных функций, - Уфа, 1987,

7. Насыхова Л.Г. Бифуркация периодических решений системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов 1У Уральской Региональной конференции. - Уфа, 19ПЭ,-С. 135.