Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ од

' 8 ?;ю

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЛИНЬКОВ АЛЕКСЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

специальность - 01.01.02 - дифференциальные уравнения

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

Самара - 2000

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики Самарского государственного университета

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор Филатов О.П., кандидат физико-математических наук, доцент Андреев A.A.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Жегалов В.И., доктор физико-математических наук, профессор Кислов Н.В.

Ведущая организация: Самарский технический университет

Защита диссертации состоится /^декабря 2000г. в А^$*часов на заседании диссертационного совета К 113.17.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443090, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан ноября 2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета У

кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Носов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начиная со второй половины XX века в ряде работ, посвященных исследованию краевых задач уравнений математической физики, появились задачи, качественно отличные от классических задач Ко-ши, Гурса, Дарбу, Дирихле, Неймана. Постановке и исследованию новых краевых задач были посвящены работы таких известных ученых, как A.B. Би-цадзс, В.И. Жегалов, A.M. Нахушев, A.A. Самарский.

Новые краевые задачи, в которых задаются условия вида

7iM»i)] + 72 N«2] = О,

где 7i, 72 - линейные операторы, si, «2 _ различные точки границы рассматриваемой области, следуя A.A. Дезину1, принято называть задачами с нелокальными условиями.

Дифференциальное уравнение будем называть нелокальным, если если оно содержит искомую функцию или ее производные, вычисленные в различных точках рассматриваемой области. Класс нелокальных уравнений охватывает, например, уравнения с отклоняющимся аргументом, нагруженные уравнения, уравнения с карлемановским сдвигом, функционально-дифференциальные уравнения.

Известно, что в 50—60 гг. в связи с возросшим интересом к задачам управления произошел "исследовательский взрыв" в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В этот период вышли хорошо известные монографии как отечественных ученых - Н.М. Красовско-го, А.Д. Мышкиса, С.Б. Норкина, Л.Э. Эльсгольца, так и иностранных исследователей - Р.Беллмана, К.Кука, Э.Пинни, А. Халаная.

В 1931г. Т. Карлеман поставил и изучил задачу отыскания аналитической функции в области, ограниченной замкнутой кривой Г, удовлетворяющей

1Дезиа A.A. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов // Докл. АН СССР. 1963. Т.148. N5.

известному ранее из задачи Газемана, краевому условию

Ф+(о(<))=С(«)Ф-(<),

где - изменяющий ориентацию гомеоморфизм а : Г —> Г такой, что

а2(<) = а(а(<)) =

Данный гомеоморфизм носит название карлемановского сдвига или ин-волютивного отклонения. Свойства этого гомеоморфизма исследовали Г.С. Литвинчук, 3. Нитецкий, Н.К. Каранетянц и С.Г. Самко. В дальнейшем эти свойства использовались при исследовании различных типов уравнений (сингулярные интегральные уравнения, функциональные уравнения, краевые задачи теории аналитических функций, уравнения типа свертки и др.), содержащих тот или иной инволютивный оператор. Отметим, что дифференциальные уравнения с карлемановским сдвигом, в том числе и отличным от отражения, были предметом исследования Л. Зильберштейна, Ю.А. Майстренко, Р. Келмана, В.Н. Шевело, А.Н. Шарковского.

Впервые дифференциальные и функциональные уравнения с инволютив-ным отклонением встречаются в работе Ч.Баббеджа, опубликованной в 1816 году. В 1921 году В. Файт описал свойства решений обыкновенного дифференциального уравнения

¿У(х) , \ / \

4 = ау(-х), х 6 (—ос, +оо),

с инволюцией частного вида (отражением) а(х) = —ж, и показал, что это дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет колеблющееся решение. Более того, И.Г. Петровский привел пример уравнения с простейшим инволютивным отклонением

= ау(х) '+ Ьу(с -х),хе (0, с), (1)

интересного тем, что правая (у(с) = 0) и левая (у(0) = 0) задачи Коши неравноправны в смысле единственности решения. Например, при а — 1,

Ь = 1, с = 1 левая задача Коши имеет бесчисленное множество решений вида у = кх, где к - произвольное вещественное число; тогда как правая задача Коши имеет только единственное тривиальное решение.

Уравнения с отклоняющимся аргументом нашли применение в теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Линейные ФДУ с постоянными коэффициентами и линейными преобразованиями аргумента рассматривал, например, В.А. Рвачев, который исследовал финитные решения (так называемые атомарные функции) уравнений типа

М

Ly(x) - X^ckviax - bk), к = 1

где L - дифференциальный оператор n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Финитные решения ФДУ с частными производными изучались Е.А. Гориным. Близкие по тематике результаты можно найти в статьях В.М. Борока, Я.И. Житомирского, Г.А.Дерфеля, Т.И. Шейко, а в связи с приложениями в теории приближений - в статьях харьковских математиков A.A. Дабагян, Е.А. Федотовой, В.А. Рвачева, В.К. Ярмолюк и др.

Необходимо также отметить результаты А.П.Хромова, исследовавшего интегральный оператор вида

1-х

Af= J Л(1 — x,t)f(t) dt.

о

При исследовании свойств интегрального оператора А с переменным верхним пределом интегрирования А.П.Хромовым существенно использовались решения обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом (1).

Среди первых работ по исследованию краевых задач для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами второго порядка с отклонениями в старших производных (нелокальные уравнения) следует отметить

работы И.М. Гуля и А.Б. Нерсесян, в которых было обращено внимание на эффект влияния отклонения аргумента на корректность постановок классических задач. Так, И.М. Гулем2 были рассмотрены краевые задачи для уравнения вида

d2u(<*i,ßi) d2u(a2,ß2) дх2 + ду2

где ось — у), ßk — ßk{x,y), к = 1, 2, и показано, что задача Дирихле

не является корректной. А.Б. Нерсесян3 рассмотрел постановку задачи Коши для дифференциального уравнения с отклонением в аргументе вида at

utt(x,at) = a.2uxx(x,t)

и показал, что задача Коши для этого уравнеия некорректна по Адамару. Очевидно, что уравнения, рассмотренные И.М. Гулем и А.Б. Нерсесян, вообще говоря, не поддаются класификации, поскольку присутствие отклонения в аргументе старшей производной не позволяет классифицировать данные уравнения, так как принадлежность уравнения к тому или иному типу есть свойство локальное.

Заметим, что к подобным уравнениям сводятся некоторые задачи интегральной геометрии, обратные задачи кинематической сейсмики и геофизики, задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками.

Исследованию решений краевых задач для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом в старших производных в целом посвящено небольшое количество работ, и поэтому, теория краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом остается весьма далекой от завершения, актуальность исследования нело-

2 Гуль И.М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами. Успехи математических наук. 10:2, (64), 1955. С.153-156.

3Нерсесян A.B. О задаче Коши для уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом. Материалы 2-й Всесоюзной межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968. С.116-117. ■

кальных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих изменяющий ориентацию (опережение-запаздывание), отклоняющийся аргумент в старших производных, не вызывает сомнений.

Цель работы. Предлагаемая работа посвящена исследованию корректности краевых задач для некоторых нелокальных уравнений; обобщающих классические и содержащих вещественный параметр /и (или Ь). При // = О (I) = 0) эти задачи представляют собой классические задачи Дирихле, Неймана для уравнения Лапласа; задачу Гурса, задачи В.И. Жегалова и A.M. На-хушева для волнового уравнения (задачи со смещением); смешанные задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

Методы исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, функционального анализа, специальных функций, функциональных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретическую направленность. Они могут быть использованы для дальнейшего исследования краевых задач для нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных.

На защиту выносятся результаты исследования корректности постановок краевых задач для уравнений

d2u{x,t) d2u{x,t) Ud2u(c-x,t) _

дР а дх2 " -11

д2 д2 д2

-^u(x,t) +-^u{x,t)= n^u(-x,t), (3)

д2 д2 д2

д2 д д2

а также для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами

1 ди~\

д"и дхду

д2и 1 +

х-у ду_ ди

дхду х — у

ду.

= 0, (6) = 0. . (7)

(у.®)

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Для уравнения (2) при а > 6 > 0 поставлены новые краевые задачи. Эти задачи при 6 = 0 переходят в ранее известные задачи для волнового уравнения. Исследована корректность поставленных задач по Адамару (глава 1).

2. Исследована корректность классических смешанных краевых задач для уравнений (3),(4),(5).

3. В случае нарушения корректности по Адамару классических смешанных краевых задач рассмотрены видоизмененные задачи для (3),(4),(5).

4. Построена функция Римана для трехпараметрического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (глава 3).

5. Построено общее решение для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в одном исключительном случае.

6. Поставлены краевые задачи для уравнений (6),(7) с инволютивным отклонением и исследована их корректность по Адамару.

Апробация работы. Результаты исследований апробировались

- на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Самарского государственного университета 1996-2000гг.;

- на международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения", проходившем в Самаре в 1995 и 1996гг.;

- на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (12-15 сентября 1995г.);

- на международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", проходившей в Минске 16-20 февраля 1996г.;

- на молодежной научной конференции в Москве (XXII Гагаринские чтения), проходившей 2-6 апреля 1996г.;

- на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета в феврале 2000г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Жегалов В.И.);

- на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Самарском педагогическом университете (руководитель д.ф.-м.н., профессор Волкодавов В.Ф.) в октябре 2000г.

на научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 1996-2000гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Филатов О.П.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Из совместных работ в список публикаций включены только те, результаты которых получены автором самостоятельно.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 133 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография содержит 114 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение включает в себя краткий обзор работ по изучаемой тематике и краткое изложение основных результатов диссертации.

Первая глава содержит результаты исследования "характеристических" задач для дифференциального уравнения (2) при а > Ь > 0 в области Б" С Б0\ {Ба = {(в,<) : аг < ж < с - сА,1 > 0}, а = \/а + Ъ, /3 = ч/о -Ъ).

При а > Ь > 0 найдены решения и обоснована корректность4 следующих краевых задач:

Задача Сх (аналог задачи Гурса). Найти в Да С О13 функцию и(х^) £ С2(И'3), удовлетворяющую в Л'^ уравнению (2) и условиям

и(Ма(х)) + «(ЛГа(г)) = <р(х), х е [0, и{мр{х)) - и{^(х)) = т1>(х), х е [о,с-), ¥>(0) = ^(0).

1 во всех рассматриваемых задачах непрерывная зависимость от начальных данных определяется в равномерной метрике пространства С

В задачах первой главы используем обозначения: Ма(х) — (ж, х/а), Л^Дж) = (с — х, х/а).

Задача БХх (аналог задачи Дарбу). Найти в £>а С ¿Э3 функцию и(ж,<) € удовлетворяющую в уравнению (2) и условиям

и{Ма{х)) + и{Ыа{х)) = ч>(х), х € [0, и(М13(х))-и(Щ(х)) = ф(х), и(х,0) — т(х), же [0,с],

»>(0) = ф( 0) = г(0).

Задача ССХ (задача типа Коши-Гурса). Найти в Б01 С Б0 функцию и{х,1) £ удовлетворяющую в Б0 уравнению (2) и условиям

и{Ма{х)) + и{Ыа(х)) = ф), х £ [0, и(Мр(х))-иШх)) = -ф(х), х £ [0,

у(0) = ^(0) = 1/(0).

Основные результаты 1 главы сформулированы в следующих теоремах: . Теорема 1.1. При <р(х) £ С2[0, §], 1р{х) £ ¿^[О, §] задача <3х корректна по Адамару.

Теорема 1.2. При р(х) £ С2[0, %}, тр{х) £ С2[0,§], т(х) £ С2[0,с] задача ИХ^ корректно, по Адамару.

Теорема 1.3. При <р(х) £ С3[0, §], ф(х) (Е С2[0, §], и(х) £ С1[0,с] задача С С?1 корректна по Адамару.

Вторая глава содержит результаты исследования смешанных краевых задач для дифференциальных уравнений (3)-(5) в областях Н и (}:

Я={(®,4);®€(-тг, тг), * 6(0,00)}, 0 = {(®,<) € (-1г,тг), <€(0,Т)}.

Задача Di. Найти функцию u(x,t) 6 С2(Н), удовлетворяющую в Н уравнению (3) (или (4) или (5)) и условиям

м(-7г, t) = и(тг, t) = 0, <е[0,оо),

lim u(x,t) = iр(х), х G Г—7г, 7г1, t-v+o

|w(as,i)| < Af, (x,t)GH,M> 0.

Функция <p G C2(—7Г,7г) П C[—7Г, 7г] имеет на [—7Г, 7т] кусочно-непрерывную производную третьего порядка и <р"(±тг) = 0.

Задача 1>2. Найти функцию u(x,t) G С2(Н), удовлетворяющую в Н уравнению (3) (или (4) или (5)) и условиям

u(—n,t)-u(n,t)=0, te[0,oo),

^lim^a;,/) = <р(х), ж 6 [—7Г,7г],

lim u(x,t) = 0, х G Г—7Г,7г1.

Функция tp G С2(—7г,7г) П С[—7Г, 7г] имеет на [—7Г, 7г] кусочно-непрерывную производную третьего порядка и <р"(±тг) = 0.

Задача Ni Найти функцию и(х, t) G С2(Н), удовлетворяющую в Н уравнению (3) (или (4) или (5)) и условиям

и{—ir,t) = u(ir,t) = 0, t G [О, оо), u(x,t) r

|ii(®,i)| < М, ' G Я,м > 0.

Функция V' G С2(—7Г, 7г) П С[—7Г, 7г] имеет на [—7Г, 7г] кусочно-непрерывную производную третьего порядка и у/'(±тг) = 0.

Задача JV2. Найти функцию u(x,t) G С2(Н), удовлетворяющую в Н уравнению (3) (или (4) или (5)) и условиям

w(-7T,t) = u(7T,i) = 0, < G [0, оо), du(x,t) г , Ä-Öi—=

lim t) = 0, ж G Г—7Г, 7г].

t->оо '

Функция ф £ С2(—7Г,7г) П С[—7Г,7г] имеет на [—7г,7г] кусочно-непрерывную производную третьего порядка и ф"(±я) = 0.

Задача I. Найти функцию £ С2,1(ф) ПС(ф), удовлетворяющую

уравнению (5) и условиям

Функция <р £ С2(—7Г, 1г) П С[—7г, 7г] имеет на [—7г, 7г] кусочно-непрерывную производную третьего порядка и <р"(±тг) = 0.

Задача II. Найти функцию и{х,1) 6 С2>2(С}) П С((£), удовлетворяющую уравнению (4) и условиям

Функция <р £ С2(—7Г, тт) П С[—7Г, -тг] имеет на [—ж, 7г] кусочно-непрерывную производную третьего порядка и у"(±7г) = 0, функция ф ££ С2(—7Г, тг) П С[—7Г, 7г] имеет на [—тг, тг] кусочно-непрерывную производную второго порядка и ф'(±1г) = 0.

Основные. результаты 2 главы относятся к обоснованию метода Фурье для задач Дг, А^х, N2, I, II и исследованию корректности этих задач при различных значениях вещественного параметра ц. Для каждой рассматриваемой задачи получено ее решение в явном виде (если оно существует) и исследована корректность задачи в зависимрсти от вещественного параметра /г. Результаты сформулированы в виде следующих лемм и теорем:

Лемма 2.1. Система функций зтм, соэ(& + 0,5)ж, п = 1, оо, к = 0,оо ортогональна и полна в Ьг[—7Г,я-].

и(-тг,*) = и(тг,<) = 0, <6[0,Т], и(X, 0) = 1р(х), X £ [—7Г, 7г],

у>(—7Г) = <р(к) = 0.

м(— 7Г, <) - - и(7Г, — 0,

и(ж,0) = (р(х),

[о,т],

X 6 [—7Г, 7г], X £ [—7Г,7г],

<р(—7Г) = <р( 7Г) = ф(—п) = ф(я) = 0.

Лемма 2.2. Системы функций

sin(n + 0,5)z, cos пх, п = 0,оо, sin(n + 0,5)ж, cos(n 4- 0,5)ж, п = 0,оо

ортогональны и полны в Ьг[— я-, 7г].

Лемма 2.4.Если функция f(x) вместе со своими производными до некоторого порядка ш£ N непрерывна на отрезке [—7г, 7г], и выполнены условия /(-тг) = /(г) = /'(-*) = /» = ... = /<го>(-тг) = /<т>(тг) = 0, причем f{x) имеет на отрезке [—7Г, 7г] кусочно-непрерывную производную порядка т+ 1, то тригонометрические ряды по системам функций

sin пх, cos (к + 0,5)х, п = 1, оо, к — 0, оо, sin(n + 0, 5)ж, cos пх, п = 0, оо, sin(n + 0,5)х, соз(п + 0, 5)®, п = 0, оо

абсолютно сходятся на [—7Г, 7г] в равномерной метрике. Причем эти ряды можно т раз почленно дифференцировать на [—-к,-я], получая абсолютно сходящиеся на [—ir, 7г] в той же метрике ряды.

Теорема 2.1. Решение задачи I при |/i| < 1 существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных <р. При |/í| > 1 всегда найдутся такие начальные данные, при которых решения задачи I не существует.

Теорема 2.4. (О корректности постановок краевых задач по Адамару для уравнения (3), содержащего оператор Лапласа).

1. Задача Di при |/х| < 1 корректна.

2. Задачи Di, iVi при |/х| > 1 некорректны (нет единственности решения).

3. Задачи D2, Ni, N2 при |/i| < 1 корректны.

4. Задачи D2, N2 при |/t| > 1 некорректны (нет существования решения).

5. Задача Ni при |/i| = 1 некорректна (нет существования решения). Теорема 2.5. Решение задачи II при < 1 существует, единственно,

непрерывно зависит от начальных данных <р, ф.

При |/х| > 1 всегда найдутся такие начальные данные, при которых решения задачи не существует.

Теорема 2.6. (О некорректности постановок краевых задач по Адамару для уравнения (4), содержащего волновой оператор).

1. Задача £>1 при [I £ Н (нет единственности решения).

2. Задачи Дг, N2 при ^ € К. некорректны (решение не существует).

3. Задача N1 при = 1 некорректна (решение не существует).

4. Задача N1 при |/х| < 1 или > 1 некорректны (нет единственности решения).

В третьей главе рассматриваются краевые задачи для уравнений (6)-(7) в 2? = {(ж, у) : х £ (0,1),у € (0,1), х фу] - видоизмененные задачи Дарбу I и II и начальная задача для уравнения с инволютивным отклонением (у,х). Также, в 3 главе приведены вспомогательные результаты, связанные с вопросами построения функции Римана для уравнения типа Эйлера-Пуассона-Дарбу и нахождения решения методом Римана.

Видоизмененная задача Дарбу I. В Б найти решение и(х^) £ С2(Б) Г\С(0\{(х,у) : у — х, х £ [0,1]}), удовлетворяющее уравнению (6) и условиям

Функции т,<р £ С1 [0,1].

Видоизмененная задача Дарбу II. В D найти решение и(х, t) £ C2(D) C[C(D\{(x, у) : у = х, х £ [0,1]}), удовлетворяющее уравнению (6) и условиям

Функции г, ф £ С1 [0,1].

Начальная задача для уравнения с отклонением (у,х). В. D найти решение и(х, t) £ C2(D) П C(D \ {(х, у) : у = х, х 6 [0,1]}), удовлетворяющее

= т(х), X £ [0,1],

же [0,1].

и(х, 0) = <р(х),

= т{х), X £ [0,1], У £ [0,1].

и(0,у) = ф(у)

уравнению (7) и условиям

Итг1(а:,2/) = т(х), х £ [0,1],

у-*х

у1т^А = ф)! х е [о, 1].

у-*х у — X

Функции т е С1 [0,1 },ц£ С'О,1].

Основные результаты 3 главы сформулированы в виде следующих теорем. Теорема 3.1. Решение видоизмененной задачи Дарбу I в В существует, единственно и представило в виде

у

и(х, у) = т(х) In

х-у

о

Видоизмененная задача Дарбу II в D некорректна.

Теорема 3.2. Решение начальной задачи для уравнения с отклонением (у, х) в D существует, единственно, непрерывно зависит от начальных

данных т, ¡г и представило в виде

у у

и{х, у) = т(х) + In \у — х\ J(t - x)ß(t)dt - J(t — х) In — x\n{t)dt.

X X

В заключение автор выражает глубокую благодарность научным руководителям - кандидату физико-математических наук Андрееву Александру Анатольевичу и доктору физико-математических наук Филатову Олегу Павловичу за постоянное внимание к работе. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Андреев A.A., Линьков A.B. О корректных задачах для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики. Новосибирск, 1995г.

[2] Андреев A.A., Линьков A.B. О корректных задачах для уравнений в частных производных с инволютивным отклонением // Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 1995г. С.27.

[3] Андреев A.A., Линьков A.B. О функции Римана для вырождающегося уравнения типа Эйлера-Пуассона-Дарбу // Международная конференция "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященная 90-летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова. Минск, Беларусь, 16-20 февраля 1996г.

[4] Линьков A.B. О функции Римана для одного вырождающегося уравнения. XXII Гагаринские чтения. Сборник тезисов докладов молодежной научной конференции. Москва 2-6 апреля 1996г. часть 4. С.22-23.

. [5] Линьков A.B. Построение общего решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу частного вида с отклоняющимся аргументом. Тезисы международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Часть первая. Самара, 25-29 июня 1996г. С.61.

[6] Андреев A.A., Линьков A.B. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с инволютивным отклонением. // Сб. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, НГУ, 1997. С.3-11.

[7] Линьков A.B. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютивным отклонением // Вестник СамГу. 1999. N2(12). С.60-65.

Подписано в печать 09.11.2000. Формат 60x84 '/<, ■ Бумага офсетная. Печать оперативная. Гарнитура "Тайме". Усл. печ. л. 0,97. Тираж 100 экз. Заказ 243.

Отпечатано с готовых оригинал-макетов в типографии ООО "Офорт" Лицензия ПД 7-0050 от 30.08.2000.

Введение

Глава 1. Характеристические задачи для дифференциальных уравнений с инволютивным отклонением.

1.1. Задача (Аналог задачи Гурса)

1.2. Задача ОХ\ (Аналог задачи Дарбу).

1.3. Задача СС\ (Задача типа Коши-Гурса).

Глава 2. Смешанные краевые задачи для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом вида (—.

2.1. Обоснование метода Фурье решения краевых задач для дифференциального оператора с инволютивным отклонением

2.1.1. Полнота тригонометрических систем

2.1.2. Сходимость тригонометрических рядов

2.2. Корректность постановок аналогов смешанных краевых задач для дифференциального уравнения с инволютивным отклонением, содержащего оператор теплопроводности

2.3. Корректность постановок аналогов смешанных краевых задач для дифференциального уравнения с инволютивным отклонением, содержащего оператор

Лапласа.

2.4. Корректность постановок аналогов смешанных краевых задач для дифференциального уравнения с инволютивным отклонением, содержащего волновой оператор

Глава 3. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами и инволютивным отклонением вида (у, х)

3.1. Получение "общего" решения уравнения с инволютивным отклонением.

3.2. Функция Римана для уравнения Эйлера - Пуассона -Дарбу

3.3. Решение краевой задачи для модельного уравнения типа Эйлера-Пуассона-Дарбу при с = 0, а = 0, 6=1 методом Римана

3.4. Решение краевой задачи для модельного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при с = 0, а = 0, Ь = —1 методом Римана

3.5. Корректность начальной задачи для модельного дифференциального уравнения с инволютивным отклонением вида

У,®) .ИЗ

1. Абрамович М., Стиган И.А. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979. 832с.

2. Азаматов С.Ж., Андреев В.А. О единственности решения задачи Коши для одного типа уравнений в частных производных со сдвинутым аргументом // Докл. АН СССР. 1976.

3. Алексеев A.C., Белоносова А.О. Об одной постановке кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды. //Сб. Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных, Новосибирск, Наука, 1967.

4. Андреев В.А., Азаматов С.Ж. Некоторые задачи для уравнения в частных производных со сдвинутым аргументом. Математические проблемы геофизики, вып. 5, ч.2, Новосибирск, 1974. с.5-17.

5. Андреев A.A., Волкодавов В.Ф., Шевченко Г.Н. О функции Римана. В сб.: Дифференциальные уравнения. Труды пединститутов РСФСР, вып. 4. Рязань, 1974.

6. Андреев A.A., Шиндин И.П. О корректности граничных задач для одного уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом. Сб. Аналитические методы в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Куйбышев, 1987. с.3-6.

7. Андреев A.A., Шиндин И.П. О корректности граничных задач для одного дифференциального уравнения с инволюцией частного вида. Сб. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев, 1988. с.51-53.

8. Андреев A.A. О корректности начальных задач для некоторых уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Сб. Уравнения неклассического типа. Новосибирск, 1986. с.10-14.

9. Андреев A.A., Сеницкий А.Ю. О задаче Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу частного вида с отклоняющимся аргументом. Сб. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 1986. с.132-135.

10. Андреев A.A. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карлемановским сдвигом // Труды II международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, изд-во "Самарский университет", 1998. с.5-18.

11. Андреев A.A. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем гиперболического типа. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Душанбе. 1982.

12. A.B. Антоневич. Дифференциально-функциональные уравнения с конечной группой преобразования аргумента. Минск, издательство: Университетское, 1988. 231с.

13. Балла Э.Ш., Маркуш И.И. Об асимптотическом решении смешанной задачи для гиперболического уравнения с запаздывающими аргументами // Украинский математический журнал, Т.23, N4, 1971, С.437-453.

14. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. Т.1. 736с.

15. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548с.

16. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303с.

17. Борок В.М., Житомирский Я.И. О единственности решения задачи Коши для линейных уравнений в частных производных с линейно-преобразованным аргументом / / Теория функций, функцион. анализ и его прил. 1973. Т.18. С.50-63.

18. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных производных. М.: Наука, 1981. 448с.

19. Бицадзе A.B.,Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т.185. N4. С.739-740.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512с.

21. Власов В.З. Избранные труды, М.: издательство АН СССР, 1964.

22. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его применения к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.мат. наук. Куйбышев, 1968. 224с.

23. Волкодавов В.Ф., Носов В.А. Доказательство единственности решения одной задачи со смещением для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР "Дифференциальные уравнения". Рязань, 1977. N28. С.15-23.

24. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Учебное пособие к спецкурсу "Уравнения математической физики". Куйбышев, 1984. 80с.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

26. Горин Е.А. О финитных решениях некоторых функционально-дифференциальных уравнений // УМН. 1981. Т.36. вып.4. С.211-212.

27. Гребенщиков Б.Г. Об ограниченности решений неоднородной системы с запаздыванием, линейно зависящем от времени // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск: УргУ, 1986. С.7-122.

28. Гуль И.М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами. Успехи математических наук. 10:2, (64), 1955. с.153-156.

29. Гуль И.М. Дифференциальные уравнения в частных производных с функциональными аргументами. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами, I (1962), С.94-102.

30. Дабагян A.A., Федотова Е.А. Алгоритм интерполяции функции двух переменных с помощью атомарных функций / / Математические методы анализа динамических систем. -Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1977. вып.1. С.38-45.

31. Дезин A.A. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов // Докл. АН СССР. 1963. Т.148. N5. С.1013-1016.

32. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука. 1980.

33. Дезин A.A. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач / / Труды математического института имени В.А. Стеклова. Т.229. М.: Наука. 2000. 175с.

34. Дерфель Г.А. О классах единственности задачи Коши некоторых дифференциально-функциональных уравнений // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1975. N3. С.77-79.

35. Домбровский В.А., Фодчук В.И. Об асимптотическом представлении решений для дифференциального уравнениягиперболического типа с запаздыванием, Математическая физика, вып. 6, "Наукова думка", К., 1969.

36. Елеев В.А. О некоторых задачах типа Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения. // Дифференциальные уравнения. 12. N1. 1976.

37. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии. Уч. записки КГУ, 1962, т.122, кн.З, с.3-16.

38. Жегалов В.И. К задачам со смещениями для уравнения смешанного типа // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Казанский университет, 1980. Вып. 17. С.63-73.

39. Жегалов В.И. Задачи Коши-Гурса со смещениями // Межвузовский сборник "Краевые задачи и их приложения". -Чебоксары, 1986. С.47-53.

40. Зарубин А.Н. О некоторых начально-краевых задачах для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа. Доклад АН РСФСР. 1996. -346. N6. с.735-737.

41. Зарубин А.Н. Аналитическое решение одной задачи нестационарного конвективного теплообмена с последействием / / Дифференциальные уравнения, 1997. 33. N1. с.130-144.

42. Зарубин А.Н. Об алгоритме решения начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / / Журнал вычислительной математики и математической физики, 1997. -37. N2. с.184-187.

43. Иванов Л.А., Половинкин И.П. Теоремы о среднем для некоторых уравнений с отклоняющимся аргументом. Деп. в ВИНИТИ 25.08.87 N6210-687. Воронеж, 1987. 16с.

44. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения // Дифференциальные уравнения. 1990. Т26, N1, С.60-65.

45. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов на дону, издательство: Ростовский госуниверситет, 1988. 188с.

46. Кошляков Н.С. и др. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физ-мат, 1962. 768с.

47. Красовский Н.М. Задача о наблюдении линейной динамической системы и уравнения с запаздыванием аргумента, Диф. уравн. 1,12 (1965), С.1551-1556.

48. Крейн С.Г., Поличка Н.П. Априорные оценки решений задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20, N12, С.2112-2120.

49. Крикунов Ю.М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Казань, изд-во Каз. ун-та, 1986. 148с.

50. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные задачи математической физики. М.: Наука, 1982. 88с.

51. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье. Успехи матем. наук, т.2 (42), 1951, С.102-143.

52. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448с.

53. Майстренко Ю.А. Ск решения линейных дифференциально-функциональных уравнений с дробно-линейным преобразованным аргументом. //Сб. Качественное исследование дифференциально-функциональных уравнений. Киев: Нау-кова Думка, 1980. с.90-100.

54. Малицкий И.И. Применение обобщенных рядов Тейлора в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Докл. АН УССР, сер.А. 1985. N10. С.17-18.

55. Митропольский Ю.А., Шевело В.Н. //Украинский математический журнал, Т.29, N3, 1977, С.257-263.

56. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Гостехиздат, 1951. 254с.

57. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. 1977. Т.32. вып.2. С.173-202.

58. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / / Дифференциальные уравнения. 1969. Т.5, N1, С.44-59.

59. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференциальные уравнения. 1985. Т.21. N1. С.92-101.

60. Нерсесян А.Б. О задаче Коши для уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом. Материалы 2-й Всесоюзной межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968. с. 116-117.

61. Никитин В.Г. Сопряженный оператор периодической задачи для линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Иссл. по прикл. мат. 1984. Т.10. С.190-195.

62. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

63. Норкин С.Б. О колеблющихся решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом, Матем. сб. 57 (99), 1 (1962), С.59-74.

64. Носов В.Р. О некоторых задачах для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Т.5, 1967. С.182-192.

65. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 280с.

66. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М.: ГИФМЛ, 1961. 400с.

67. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-пазностные уравнения. М.: Иностранная литература, 1961. 248с.

68. Половинкин И.П. Теоремы о среднем для волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Воронеж, 14с.

69. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752С.

70. Подгорнов В.В. Первая краевая задача для одного квазилинейного параболического уравнения с запаздывающим аргументом. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Т.5, 1967. С.197-206.

71. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 750с.

72. Пташник Б.И. Аналог n-точечной задачи для линейного гиперболического уравнения / / Украинский математический журнал. 1971. Т.23, N4, С.472-481.

73. Пташник Б.И., Штабалюк П.И. Краевая задача для гиперболических уравнений в классе функций, почти периодических по пространственным переменным // Дифференциальные уравнения. 1986. Т.22, N4, С.669-678.

74. Рвачев В.А. Финитные решения функционально-дифференциальных уравнений и их применения // УМН. 1990. Т.45. вып. 1. С.77-103.

75. Рвачев B.JL, Рвачев В.А. Об одной финитной функции // Докл. АН УССР. сер.А. 1971. N8. С.705-707.

76. Репин O.A. Об одном обобщении краевой задачи со смещением для уравнения Эйлера-Дарбу с параметрами разных знаков. Сб. Уравнения неклассического типа. Новосибирск, 1986. с.126-131.

77. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, НГУ, 1973.

78. Сеидов З.Б. Решение одной краевой задачи для параболического уравнения с запаздывающим аргументом. Учен, зап. Азерб. ун-та, сер. "Физ.-мат. и хим. науки", I (1962), С.21-27.

79. Семенова В.Н. Начальная задача для систем уравнений с линейно-преобразованным аргументом // Иссл. по прикл. мат. 1984. Т.10. С. 177-189.

80. Серебрякова И.В. О первых работах по дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом. //Труды Второй Всесоюзной межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, Черновцы, 1968. с.130-134.

81. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736с.

82. Курс высшей математики и математической физики. Под редакцией Тихонова А.Н., Ильина В.И., Свешникова А.Г. Выпуск 2а, Часть II. М.: Наука, 1980, 448с.

83. Ткач Б.П. О периодических решениях одного класса уравнений в частных производных с переменным запаздыванием / / Метод интегрального многообразия в нелинейных дифференциальных уравнениях, Киев, 1973.

84. Ткач. Б.П. Периодические решения систем двумерных уравнений в частных производных с переменным запаздываниемМатематическая физика. Республиканский межведомственный сборник, Киев, 1976.

85. М.В.Федорюк. Асимптотика: Интегралы и ряды. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 544с.

86. Хромов А.П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. М.: изд-во АФЦ, 1999, 272С.

87. Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. 27 января 2 февраля 2000г, с.162.

88. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М.: Изд-во МГУ. 1991. 112с.

89. Шейко Т.И. О магнитогидродинамическом течении в канале сложного профиля // Прикл. механика. 1978. Т. 14, N11. С.103-109.

90. Шарковский А.Н., Шевело В.Н. О колеблемости и асимптотическом поведении решений одного класса дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом //Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. Киев: Институт математики, 1977. с.257-263.

91. Шарковский А.Н. Дифференциально-функциональные уравнения с конечной группой преобразования аргумента / / Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных уравнений. Киев: Институт математики, АН УССР, 1978, с.118-142.

92. Шевело В.Н. Некоторые вопросы осциляции (неосциляции) решений дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом // Украинский математический журнал. 1971. Т.23, N4, С.508-516.

93. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296с.

94. Ярмолюк В.К. О применении обобщенных рядов Тейлора для приближенного вычисления интегралов / / Математические методы анализа динамических систем Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1983. вып.7. С.48-50.

95. Ch. Babbage. An essay towards the calculus of functions. Philosophical transantions of the Royal Society of London. 1816, V.ll, P.179-256.

96. Brujn de N.G. The asymptotically periodic behaviour of the solutions of some linear functional equations // Amer. J. Math. 1949. У.71. P.313-330.

97. W.B. Fite. Properties of the solution of certain functional differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., 1921, N3, P.311-319.

98. L.Fox, P.F.Mayers, J.R. Ockendon, A.B.Tayler. On a functional differential equation // J. Inst. Math. Appl. 1971. V.8. P.271-307.

99. C.Haseman. Anwendung der Theorie integralgleichungen auf einige Randwertaufgaben. Göttingen, 1907.

100. A. Halanay. Teoria calitativa a ecuatiilor diferentiale. Acad. Sei. RPR, Bucuresti, 1963.

101. T. Carleman. Sur la theorie des equations integrales et ses applications //Verhandl. des internat. Mathem. Kongr. V.l., Zürich, 1932. P.138-151.

102. T. Kato, J.Mc Leod. The functional differential equation y'(x) = ay{\(x) + by(x). // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V.77, N6. P.891-937.

103. R.B. Kelman. //J. Trans. Amer. Math. Soc. A class of differential-functional systems. V.96, 1960. P.54-66.

104. S.F. Lacroix. //J. Traite du calcul différentiel et du calcul integral. Paris, 1819. V.3, 2-me ed., ch.8.

105. K. Mahler. On a special functional equation //J. London Math. Soc. 1940. V.15. P.115-123.

106. L. Silberstein. //Phil. Mag. jour. Solution of the equation f(x) = /(£). V.7-th series, 30, 1940. P.185-186.

107. Андреев A.A., Линьков A.B. О корректных задачах для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики. Новосибирск, 1995г.

108. Андреев A.A., Линьков A.B. О корректных задачах для уравнений в частных производных с инволютивным отклонением. Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 1995г. с.27.

109. Линьков A.B. О функции Римана для одного вырождающегося уравнения. XXII Гагаринские чтения. Сборник тезисов докладов молодежной научной конференции. Москва 2-6 апреля 1996г. часть 4. С.22-23.

110. Линьков A.B. Построение общего решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу частного вида с отклоняющимся аргументом. Тезисы международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Часть первая. Самара, 25-29 июня 1996г. с.61.

111. Андреев A.A., Линьков A.B. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с инво-лютивным отклонением. Сб. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, НГУ, 1997. с.3-11.

112. Линьков A.B. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютивным отклонением // Вестник СамГу, 1999, N2(12), С.60-65.