Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений с малым постоянным отклонением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с малым постоянным отклонением.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Разбиение пространства на конечную сумму подпространств в случае А).

§ 3. Разбиение пространства на конечную сумму подпространств в случае В).

Глава 2. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений.

§ 1. Существование ненулевых решений нелинейной системы уравнений в особом случае.

§ 2. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений общего вида.

Глава 3. Влияние малого отклонения на существование ненулевых решений нелинейной системы уравнений.

§ 1. Поиск ненулевых решений нелинейной системы уравнений.

§ 2. Метод разбиения пространства в прикладных задачах.

Актуальность темы. В данной работе изучается система дифференциальных уравнений с малым постоянным отклонением, постоянными матрицами системы линейного приближения и нелинейной вектор-функцией, периодической по независимой переменной и содержащей параметр. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических решений системы в окрестности.

Вопрос о периодических решениях систем дифференциальных уравнений с запаздыванием имеет большое значение не только в качественной теории дифференциальных уравнений, но и в прикладной математике. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом широко применяются в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, лазерной технологии, проблем долгосрочного прогнозирования в экономике, в экологии, иммунологии, ряде биофизических проблем и многих других. Уравнения с отклоняющимся аргументом описывают процессы с последействием. Последействие, например, в эволюционирующей системе сказывается в том, что ее состояние в любой момент времени влияет на характер эволюции этой системы не только в тот же момент времени, но и в последующие. Математически это означает, что в дифференциальных уравнениях, описывающих это явление, появляются члены с запаздыванием. Технологические и конструктивные усовершенствования требуют учета явлений последействия и в традиционных областях техники [78, 16-17, 24, 34-35, 41-42, 55-56, 63, 88-91, 93-96].

Разнообразие и сложность получаемых математических моделей - систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, являются причиной отсутствия общих методов разрешения таких систем. В частности, недостаточно изучена проблема существования периодических решений, когда отклонение постоянно и находится в окрестности нуля. Поэтому тема диссертации, посвященной отысканию условий существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с малым постоянным отклонением, актуальна. ч

Цель работы. Пусть задана система дифференциальных уравнений вида Nx(t)+Mx(t - т) + f{t, x(f - т), Л), (0.1) где N- (кхк)- матрица, М- (kxdk)- матрица, т- малое отклонение, г е,||т|| <8, Л - параметр, Ае Л-7" ,||А||^ , f(t,x{t),x(t-r),X)- вектор-функция, непрерывная по всем переменным и 2л-периодическая по t, /(о,о,од)=о для любого Л.

В данной работе ставится задача поиска условий существования ненулевых 2л-периодических решений системы (0.1).

Методика исследования. Ненулевое 2л-периодическое решение системы (0.1) отыскивается в виде тригонометрического ряда. Пространство тригонометрических рядов разбивается на прямую сумму двух подпространств с помощью собственных элементов некоторого линейного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению. Проблема нахождения периодических решений системы (0.1) сводится к задаче разрешимости недифференциальной системы уравнений, к построению нелинейного оператора и доказательству существования неподвижной точки этого оператора.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Впервые отдельные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе во второй половине 18 столетия (Кондорсе, 1771 г.), но систематическое изучение таких уравнений и их систем началось лишь в 20 веке в связи с потребностями прикладных наук.

Основные результаты в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом были получены трудами Азбелева Н.В. [2-5], Рахматуллиной Л.Ф. [4-5, 49], Максимова В.П. [2-4, 39], Эльсгольца Л.Э. [45, 86-87], Мышкиса А.Д. [4445], Красовского Н.Н.[29-32]. Значительный вклад в развитие этого направления качественной теории дифференциальных уравнений внесли Норкин С.Б. [21-22, 46], Зверкин A.M. [2022], Каменский Г.А. [21-22], Рожков В.И. [52-54], Рубаник В.П. [56-59], Рябов Ю.А. [60-61], Шиманов С.И. [81-85] и многие другие.

В работе Азбелева Н.В. и Рахматуллиной Л.Ф. [5] заложены основы теории обобщения обыкновенного дифференциального уравнения, содержащего в себе уравнения с отклоняющимся аргументом и уравнения интегро-дифференциальные. Это обобщение основано на рассмотрении с единой точки зрения различных уравнений, решениями которых являются абсолютно непрерывные функции. Границы общности этой теории определяются свойствами операторов, порождаемых уравнениями. Особое место заняли уравнения с вольтерровыми (по А.Н. Тихонову) операторами, так называвмые «уравнения с последействием». Обзор основных идей и результатов общей теории функционально-дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами содержится в статье Азбелева Н.В. и Максимова В.П. [3].

Вопрос о существовании периодических решений является важной ветвью при изучении любого класса уравнений, особое внимание ему уделяется и в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом.

Исследование периодических решений линейных автономных дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом проводится аналогично уравнениям без отклонений аргумента; однако число резонансных частот для уравнений может быть сколь угодно большим и даже бесконечным.

Если стационарное линейное однородное уравнение п-1 т , .

Е 2>*/Ю=° (0.2) к=0 7=1 имеет чисто мнимые корни характеристического уравнения ±pxi,.,±psi, то линейные комбинации периодических решений cospYt,.,cospst,sinpxt,.,sinpst с соизмеримыми частотами дают всевозможные периодические решения уравнения. В работе [19] приводится оценка снизу для максимального числа собственных частот уравнения (0.2) с т запаздываниями. Оказывается, т + Г 2

Исследовались и линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. В работе А. Халаная [92] показано, что неоднородная система i(/)=A(t)x(t) + B(t)x(t -т)+ fit), (0.3) у которой А и в - непрерывные и периодические периода со что уравнение (0.2) может иметь собственных частот. матрицы, г>о, допускает единственное решение периода со тогда и только тогда, когда соответствующая однородная система x(t)=A(t)x(t)+B(i)x(t-T) не имеет периодических решений периода со, отличных от тривиального. Наряду с системой (0.3) рассматривается сопряженная система y(t)=-y{t)A{t)-y{t+t)B(t+z). В работе [74] А.Халанаем была сформулирована альтернатива Фредгольма для данных уравнений в предположении, что т<со.

Существование нетривиального решения с периодом со для уравнения - rit))) = о к=0

Норкин С.Б. в работе [46] связывает с существованием хотя бы одного корня характеристического уравнения det{c(co)-pE)=o, равного единице. Здесь ak(t),bk(t),r(t)>o - непрерывные периодические с периодом со функции, причем t-T(t)>t0, t>t0, а матрица с(ю) определяется начальными значениями и фундаментальной системой решений дифференциального уравнения.

Теоремы о существовании периодических (и почти-периодических) решений квазилинейных систем с запаздывающим аргументом весьма общего вида получены в работах А. Халаная [72, 74, 76] и С.Н. Шиманова [81, 83-84].

Основные методы исследования квазилинейных уравнений с линейной главной частью удалось перенести и на уравнения с запаздывающим аргументом: метод разложения решения по степеням малого параметра, метод последовательных приближений, метод усреднения и другие асимптотические методы.

Метод разложения решения по степеням малого параметра полное обоснование получил в работе Красовского Н.Н. [29] применительно к уравнению x(t)+ax{t)+bx(t-r) = f(t)+juF(t,x(t),x(t-T),fi), т> 0.

На данное уравнение были наложены условия: f,F - непрерывные, 2п -периодические по / функции, все корни характеристического уравнения z+a + be'™ = о имеют отрицательную действительную часть, F - аналитическая функция своих аргументов, начиная со второго, в окрестности периодического решения q>(t) порождающего уравнения x(t)+ax(t)+bx(t-T) = f(t) при достаточно малом

При изучении систем с запаздыванием, в частности, при построении периодических решений Рябовым Ю.А. широко применяется метод малого параметра [60-61]. В качестве параметра выступает запаздывание. Решения ищутся с помощью последовательных приближений, причем за нулевое приближение принимается решение, полученное при отсутствии запаздывания. Однако для уравнения произвольного вида = где Л - непрерывные по всем аргументам и дифференцируемые по xa{t) и xa(t-jua) функции, невозможно построить бесконечную последовательность приближений, а тем более гарантировать ее сходимость.

Метод приближенного решения по шагам дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом содержится в статье Сентебовой Э.Я. и Толстопятовой М.В.[62].

Первой работой, специально посвященной обоснованию асимптотических методов, является работа А. Халаная [73]. В этой работе рассматривается обоснование метода усреднения, к которому сводятся многие асимптотические методы. Доказано, что система z(t)=juz(t,z(t),z(t-^iT),M), где Z - периодическая по t с периодом со, имеет периодическое решение того же периода, стремящееся при //-»0 к решению конечного уравнения

103 z0(и,и,о)-О (Z0(и,v,//) = — \z{t,и,v,fAdt), если собственные значения

О 0J матрицы — z0(£0,£0,o) +—z0(£0,£0,o) имеют отрицательные дейст-ди ov вительные части.

Вывод и обоснование асимптотического разложения решений системы (в векторной записи) x{t) = eX(x(t), x(t - г), y/(t), y/{t - г), s), y/{t) = W(x(t), x(t — t))+sY(x(t), x(t-r), y/(t), i//{t - r), s) содержатся в работах Волосова В.М., Медведева Г.И. и Моргунова Б.И. [12, 43]. К этому циклу вопросов можно отнести работы Фодчука В.И. [70-71] по построению интегральных многообразий для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Во многих случаях квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом обнаружено существенное, иногда даже качественное влияние запаздывания (особенно большого запаздывания) на течение описываемых этими уравнениями процессов. Рубаник В.П. и его сотрудники показали существенное влияние запаздывания сил связи между взаимодействующими колебательными системами, а также возникновение параметрического резонанса при периодическом запаздывании [56, 58-59].

Резонансу начальных функций и отклонений аргумента посвящена работа Эльсгольца А.Э. [86].

Квазилинейная система с постоянным запаздыванием вида = рассматривалась в работе [15]. Наличие экспоненциального множителя е* в правой части системы существенно влияет на поведение решения. Исследуется поведение решения этой системы, определеного в достаточно малой окрестности «порождающего» решения (решение при v = о). Доказана теорема о существовании почти периодического решения.

Существенное продвижение в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом содержится в работах коллектива воронежских математиков - М.А. Красносельского, Ю.Г. Борисовича, В.В. Стрыгина, Е.А. Лифшица и других [10-11, 26, 28, 64]. Задача о разыскании периодических решений сводится ими к вопросу о существовании неподвижных точек у некоторых специальных явно выписываемых нелинейных интегральных операторов, действующих в пространстве вектор-функций. Для исследования этого вопроса применяются методы нелинейного функционального анализа. Это позволяет указать новые условия существования, по крайней мере, одного периодического решения, а в некоторых случаях оценить снизу число периодических решений, исследовать процесс рождения периодических решений из состояния равновесия при изменении параметров, выяснить устойчивость периодических решений и т.д. В этих исследованиях существенную роль играют различные топологические характеристики отображений, определяемых указанными интегральными операторами.

Рожковым В.И. в работах [52-54] исследовалось уравнение нейтрального типа с малым запаздыванием. В статье [52] доказывается существование <у-периодического решения системы x(t)=f(x(t),x(t-s),x(t-£)) в окрестности решения x(t) вырожденной системы *('))> дается асимптотическое разложение периодического решения по степеням запаздывания. Требуется выполнение условий: 1) вырожденная система имеет изолированное ш-периодическое решение 2) все собственные числа Я матрицы fz=fz(x,x,x) лежат внутри круга |Я|<1, 3) в малой окрестности вырожденного решения x(t) функция f{x,y,z) имеет непрерывные вторые производные по всем переменным. Рожковым В. И. доказано существование периодических решений для автономной системы уравнений нейтрального типа с малым отклонением [53], при исследованиях он сводит систему дифференциальных уравнений к дифференциально-операторному уравнению.

Условия существования ^-периодического решения системы дифференциальных уравнений вида т °°

Bk{t)x{t-hk)= fkM^M+*)+/(') к=0 -оо

Носов В.Р. формулирует в виде альтернативы Фредгольма [47]. Им найдены необходимые и достаточные условия справедливости альтернативы Фредгольма для данной системы.

Долгий Ю.Ф., Колупаева О.С. в работе [18] рассматривают дифференциальное уравнение вида в котором Ф - голоморфная функция в некоторой окрестности точки л; = 0, ф(о)=о, матрица А = имеет собственные числа dx

Л1=Я2 =iv0, v0 >о, остальные собственные числа матрицы А отличны от чисел вида iv0N, N - целое число. Решается задача Хопфа о бифуркации положения равновесия (* = о) для дифференциальных уравнений с запаздыванием, параметром бифуркации является запаздывание, причем в момент бифуркации оно вырождается. В данной работе методика исследования опирается на метод вспомогательных систем Шиманова С.Н. [85].

В статье [40] Малышев Ю.В. применяет символический метод для нахождения решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Для уравнения ]ajrx{n-j){t-Tr) = f{t), где aJr - константа, хк >.>г0 = 0, /(/) j=\r=0 оригинал, для которой при некоторых условиях на коэффициенты методами символического или операционного исчисления можно получить решение в виде бесконечного ряда, разрешается задача Коши при нулевых начальных условиях и при ненулевых начальных условиях, когда f{t) = 0. Накладываются п / \ Д условия тк=кт, Д = П[D + a + aje~TD), a,aj= const, где D- — , А - характеристический квазиполином.

Вопросом о существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом занимается и М.Т. Терехин [65-67]. Показаны существование, непрерывная зависимость решения от правой части и начальной функции, а также существование периодического решения системы уравнений x(t) = f(t, x(t), x(t - A(t, x(t), x(t))l x{t - G(t))) в случае, когда вектор-функции / и А удовлетворяют условию Каратеодори, а вектор-функция G измерима [65]. Изучены системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящие от функционального параметра. В основе доказательств лежит метод неподвижной точки нелинейных операторов.

Проблеме периодических решений посвящена совместная работа М.Т. Терехина и Насыховой Л.Г. [67], в которой отклонение зависит как от неизвестной функции, так и от ее производной.

Содержание работы. В диссертации исследуется проблема существования ненулевого периодического решения системы (0.1), содержащей малое постоянное отклонение. В отличие от работ [29, 44, 46, 74, 85, 92] и многих других, где г>0, в диссертации отклонение - векторная величина, компоненты которой произвольны по знаку в малой окрестности нуля. Используется неклассическое определение периодического решения [87]. Под периодическим решением в диссертации понимается тригонометрический ряд, что немаловажно при интерпретации периодических решений математических моделей [42, 63, 91 и другие]. Исследование системы дифференциальных уравнений не использует понятия характеристического уравнения, а основывается лишь на представлении правой части системы в виде суммы вектор-форм, что позволяет не накладывать дополнительных условий на корни характеристического уравнения, как в работах [29, 46], не использует также и собственных чисел матрицы - производной функции в нуле [18].

Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы.

В первой главе рассматривается система дифференциальных уравнений (0.1). Периодические решения системы отыскиваются в виде тригонометрического ряда

00 х = а0 + 5>„ сош+Ъптш. (0.4) п=1

В § 1 главы 1 дается определение 2п-периодического решения системы (0.1). Вводится линейный оператор J5(x)=i(^)-A6c(r)-Mjc(4 он изучается на предмет существования собственных векторов. Установлено, что оператор в может иметь не более чем конечное число собственных элементов, соответствующих нулевому собственному значению.

В зависимости от вида собственных элементов оператора в в главе 1 § 2 и § 3 производится разбиение пространства рядов вида (0.4) на прямую сумму подпространств, одно из которых является линейной оболочкой собственных элементов, а другое - подпространством, инвариантным относительно оператора в. Доказаны теоремы 1.1 и 1.9 о существовании обратного оператора для оператора в, являющегося ограниченным и линейным. Доказано, что проблема существования ряда (0.4), удовлетворяющего системе (0.1), равносильна проблеме существования ряда, удовлетворяющего системам

Р{А{х,Л)) = 0, (0.5)

А(х,Л)) = 0. (0.6)

На основании изученных свойств вектор-функций, входящих в систему (0.1), доказаны теоремы 1.7 и 1.14 о существовании и единственности решения системы (0.5). Таким образом, проблема существования 2/г -периодических решений системы (0.1) сведена в главе 1 к вопросу о разрешимости системы (0.6).

Главы 2 и 3 посвящены поиску необходимых и достаточных условий существования ненулевых решений системы (0.6), которая преобразована в систему

F(a, Л, т)+Ф(т)+ojja, Л, if j = 0, (0.7) где F(a,Л,г) - форма порядка 5 по переменным а и Л, Ф(т) - веко (||а,Л,г||Л тор-многочлен относительно г, lim —^-^- = 0, Я,г||<г0.

П)-»0 Гц

При использовании результатов работы Авакова Е.Р. [1] для системы (0.7) возможно задание т в виде неявной функции от а и Л, но для нахождения решений системы (0.7) в диссертации применяется другой метод.

В § 1 главы 2 доказана теорема 2.1 о существовании, по крайней мере, одного решения системы (0.7). Разработан алгоритм определения условий применимости теоремы 2.1. Результаты исследований применены для нахождения периодических решений математической модели работы лампового генератора.

В § 2 главы 2 содержится алгоритм нахождения решений системы уравнений (0.7) общего вида. Теорема 2.2 определяет необходимое, а теоремы 2.3, 2.5 - достаточные условия существования ненулевых решений системы (0.7).

В главе 3 проблема разрешимости системы (0.7) исследуется в предположении, что отклонение г входит в вектор-форму Fj(«,A,r) по переменным а,Л и г, порядок которой наименьший среди вектор-форм, суммой которых является f(cc,A,t), и отклонение г существенно влияет на решения системы (0.7). Необходимое условие существования ненулевых решений недифференциальной системы уравнений (0.7) определено в теореме 3.1. Следующие теоремы дают ряд достаточных условий разрешимости системы (0.7).

Рассмотрены прикладные задачи: модель «хищник-жертва», математическая модель инфекционного заболевания, математическая модель работы инжекционного лазера.

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [9, 48, 78], по функциональному анализу -из [23, 25, 33, 38, 69], по линейной алгебре - из [13-14, 36-37], по тригонометрическим рядам - из [68].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Достаточные условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений (0.1). Разбиение пространства на прямую конечную сумму подпространств. Сведение вопроса о существовании периодических решений системы (0.1) к задаче о нахождении ненулевых решений, системы (0.7).

2. Достаточные условия существования ненулевых решений системы (0.7) в случае, когда вектор-форма г(а,л,т) особого вида относительно независимого параметра Л. Алгоритм отыскания вектора, при котором некоторая матрица становится неособенной. Алгоритм нахождения ненулевого решения системы (0.7) общего вида.

3. Зависимость ненулевого решения системы (0.7) от малого отклонения. Необходимое и достаточные условия существования решения системы (0.7).

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VIII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Пущино, на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, на VI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения" в г. Рязани.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [97-106].

Заключение

В работе рассматривалась система дифференциальных уравнений вида x(t) = Nx(t)+ Mx(t -т)+ f{t, x(t), x(t - г), X), где N - (к у. к)- матрица, М- (kxdk) - матрица, т - малое отклонение, т е rd,||г|| < 8, x - параметр, а е rj,Щ < 80, f{t, x{f), x(t-т), л)- векторфункция, непрерывная по всем переменным и 2п -периодическая по t, /(о, о, о, л)=о для любого л.

Периодическое решение системы отыскивалось в виде тригонометрического ряда. Доказаны достаточные условия существования 2ж -периодических решений.

В качестве дополнительного результата были найдены необходимое и достаточные условия существования ненулевых решений нелинейной системы уравнений f(z, г)+ф(г)+о|^, г||4')= о , в котором f(z, г) - вектор-форма порядка i noz, Ф(г) - вектор-многочлен по г, lim^ = 0, ||(z,г)|<г0. Были изучены частные случаи этой

О""»0 Гц системы.

Рассмотрены примеры и прикладные задачи.

1. Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения // Математические заметки. 1990. Т. 47. №5. С. 3-13.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 10. С. 1731-1747.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 12. С. 2027-2050.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.280 с.

5. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 5. С. 771-797.

6. Айзенгендлер П.Г., Вайнберг М.М. О ветвлении периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием //Изв. вузов. Математика. 1969. №10. С.3-10.

7. Альштуль Б.А. Исследование колебаний механических систем с внутренним трением при помощи дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Труды Моск. ин-та инж. ж.-д. трансп. 1964. в. 193. С. 198-205.

8. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

9. Борисович Ю.Г. О методе Пуанкаре-Андронова в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием // ДАН СССР. 1963. №152. С. 779-782.

10. П.Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Теоремы существования периодических полуположительных решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Труды семинара по функциональному анализу. Воронежский ун-т. 1967. №9. С. 111115.

11. Волосов В.М., Медведев Г.Н., Моргунов Б.И. О применении метода усреднения к некоторым системам дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник МГУ. Физика и астрономия. 1968. № 2. С. 129-131.

12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492с.

13. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., 1971.

14. Гребенщиков Б.Г., Рожков В.И. Об асимптотических свойствах решения одной квазилинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1996. т. 32. № 9. С. 1286-1288.

15. Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. Моделирование процессов хаотической автомодуляции излучения инжекционного лазера в автономном и неавтономном режимах // Известия вузов. Радиоэлек-троника.1991. т. 34. № 11. С. 102-105.

16. Дибров Б.Ф., Лившиц М.А., Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции 4 // Биофизика. 1978. т. 23. вып. 3. С. 494-499.

17. Долгий Ю.Ф., Колупаева О.С. Бифуркация Хопфа для дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: Перм. го-суд. тех. ун-т, 1997. №4. С. 84-90.

18. Животовский JI.A. Оценка числа собственных частот дифференциального уравнения с несколькими запаздываниями. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. 1968. № 6. С. 203-206.

19. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1959. Т. 128, № 5. С. 882-885.

20. Зверкин A.M., Каменский Г.А., Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, ч. 1 // Успехи математических наук. 1962. т. 17. вып. 2 (104). С. 77-164.

21. Зверкин A.M., Каменский Г.А., Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, ч. 2. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с откл. аргументом Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. 1963. т. 2. С. 3-49.

22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

23. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979. 146 с.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1982.

25. Красносельский М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений у дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом //ДАН. 1963. т. 152. № 4. С. 801-804.

26. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. 1962. 457 с.

27. Красносельский М.А., Стрыгин В.В. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН. 1964. т. 156. № 5. С. 1022-1024.

28. Красовский Н.Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени // ДАН СССР. 1957. т. 114. №2. С. 252-255.

29. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // ПММ. 1964. т. 28. № 4. С. 716-724.

30. Красовский Н.Н. Об оптимальном регулировании при запаздывании сигналов обратной связи // Автоматика и телемеханика. 1963. т. 24. №8. С. 1021-1036.

31. Красовский Н.Н. Оптимальные процессы в системах с запаздыванием. Труды II Международного конгресса ИФАК. М.: Наука, 1965.

32. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. М., 1972.

33. Кудинов В.А. Системы с запаздыванием при обработке материалов резанием // Всесоюзная межвузовская конференция по теории и приложениям дифференциальных уравнений с откл. аргументом. 1965. С. 31-32.

34. Кузнецов В.А., Волькенштейн М.В. Динамика иммунологических клеточных противоопухолевых реакций. 2. Качественный анализ модели. В сб.: Математические методы теории систем. Фрунзе: Кирг. ГУ, 1979. С. 72-100.

35. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. 1963. 432 с.

36. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Мир, 1978.

37. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510 с.

38. Максимов В.П. Об одной оценке в теории функционально-дифференциальных уравнений. Функционально-дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики. Межвузовский сборник научных трудов. Пермский университет, 1978. 196 с.

39. Малышев Ю.В. Символический метод решения линейных дифференциально-разностных уравнений (с запаздывающим аргументом и нейтрального типа) // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2001. № 5. С. 96-104.

40. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. 400 с.

41. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука, 1991. 304 с.

42. Медведев Г.Н., Моргунов Б.И. Об асимптотическом решении методом усреднения некоторых системем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник МГУ. Физика и астрономия. 1968. № 2. С. 108-112.

43. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: Гостехиздат, 1951.

44. Мышкис А.Д., Эльсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи математических наук. 1967. т. 22. в. 2 (134). С. 21-59.

45. Норкин С.Б. О периодических решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Математический сборник. 1958. в. 45 (87). № 1.С. 71-104.

46. Носов В.Р. Периодические решения систем линейных уравнений общего вида с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 4. С. 639-650.

47. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

48. Рахматулина Л.Ф. Сопряженное уравнение для функционально-дифференциального уравнения п -го порядка. Функционально-дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики. Межвузовский сборник научных трудов. Пермский университет, 1978. 196 с.

49. Родионов A.M. Применение метода возмущений к линейным уравнениям с распределенным запаздыванием // ЖВММФ. 1964. т. 4. № 2. С. 358-363.

50. Родионов A.M. Разложение решений дифференциальных уравнений с запаздыванием по степеням запаздывания // ПММ. 1962. т. 26. № 5. С. 947-949.

51. Рожков В.И. Асимптотическое разложение по степеням запаздывания периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 7. С. 1250-1257.

52. Рожков В.И. О периодических решениях автономных систем уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием // Дифференц. Уравнения. 1971. Т. 7. № 3. С. 446-452.

53. Рожков В.И. Оценка фундаментального решения линейной системы с малым параметром при производной и с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1992. т. 28. № 2. С. 358-360.

54. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

55. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 с.

56. Рубаник В.П. О параметрическом возбуждении колебаний, обусловленном периодическим изменением запаздывания // Известия АН. Механика и машиностроение. 1963. № 6. С. 141-142.

57. Рубаник В.П. Резонансные явления в квазилинейных колебательных системах с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1962. № 5. С. 75-86.

58. Рубаник В.П., Фодчук В.И. О существовании и свойствах ограниченного решения системы квазилинейных дифференциально-разностных уравнений // УМЖ. 1962. т. 14. №1. С. 87-92.

59. Рябов Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Тр. сем. по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. 1962. № 1.С.103-113.

60. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра для построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДАН СССР. 1960. Т. 133, № 2. С. 288-292.

61. Смит Дж.М. Модели в экологии.М.: Мир, 1976. 184 с.

62. Стрыгин В.В. О периодических решениях системы дифференциальных уравнений с «малыми» уклонениями. Труды семинара по функциональному анализу. Воронежский ун-т. 1967. №9. С. 167-169.

63. Терехин М. Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений: Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1992. 88 с.

64. Терехин М.Т. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1983. т. 19. №4. С. 597-603.

65. Терехин М.Т., Насыхова Л.Г. Существование бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Украинский математический журнал. 1997. т. 49. №6. С. 799-805.

66. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука. 1980.

67. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Высшая школа, 1980.

68. Фодчук В.И. О существовании и свойствах интегрального многообразия одной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // УМЖ. 1962. т. 14. № 2. С. 227-231.

69. Фодчук В.И. О существовании и свойствах интегрального многообразия для одного класса систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Труды семинара по матем. физике и нелинейным колебаниям. Киев, 1963. т. 1. № 1. С. 111-134.

70. Халанай А. Автономные системы с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1962. т. 7. № l.C. 81-89.

71. Халанай А. Метод усреднения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1959. т. 4. № 3. C. 467-483.

72. Халанай А. Некоторые вопросы качественной теории систем с запаздыванием. Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Изд. АН УССР, Киев. 1961. № 2. С. 394-408.

73. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти-периодических систем с запаздыванием // Rev. Roumaine Math, pures et appl. 1964. т. 9. № 7. С. 667-675.

74. Халанай А. Периодические и почти-периодические решения некоторых сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. т. 8. № 2. С. 285-292.

75. Халанай А. Системы канонического типа с отклоняющимся аргументом и с периодическими коэффициентами // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. т. 8. № 4. С. 569-573.

76. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

77. Хейл Дж. К. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

78. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием // ПММ. 1959. т. 23. № 5. С. 836-844.

79. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // ПММ. 1963. т. 27. № 3. С. 450-458.

80. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных автономных систем с запаздыванием // Изв. вузов. Радиофизика. 1960. т. 3. № 3. С. 456466.

81. Шиманов С.Н. О почти-периодических колебаниях квазилинейных систем с запаздыванием времени в случае вырождения // ДАН СССР. 1960. т. 133. № 1. С. 36-39.

82. Шиманов С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем // Прикладная математика и механика. 1955. т. 19. № 2. С. 225-228.

83. Эльсгольц Л.Э. Некоторые резонансные явления в системах с отклоняющимся аргументом. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1963. т. 2. С. 223-224.

84. Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

85. Brauer F. Some applications of the theory of ordinary differential equations to population growth problems // Ann. Acad. Brasil. Cienc. 1976. v. 48. №3. P. 369-385.

86. Goel N.S., Maitra R.S., Montroll R.S. Nonlinear models of interacting populations. New York: Acad. Press, 1971.

87. Grossman L., Berke G. Tumor escape from immune elimination // J. theor. Biol. v. 83. № 2. P. 267-296.

88. Hadeler K.P. Delay equations in biology. In: Lect. Notes Math.: Springer. 1979. v. 730. P. 136-159.

89. Halanay A. Solutions periodiques des systemes lineaires a argument retarde. Paris: C. R. Acad. Sci. 1959. № 249. P. 2708-2709.

90. Hutchinson G.E. Circular causual systems in ecology // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1948. v. 50. P. 221-246.

91. Kesh Dipak, Mikherjee Debasis, Sarkar A.K., Roy A.B. Ratio dependent predation. A bifurcation analysis // J. Korean Comput. and Appl. Math. 1998. v. 5. № 2. P. 295-305.

92. MacDonald N. Time lags in biological models. In: Lect. Notes Biomath.: Springer, 1978. 112 p.

93. Marchuk G.I. Mathematical models in immunology and their interpretation. In: Lect. Notes Contr. and Inform. Sci., 1979. v. 18. P. 114129.

94. Богатова С.В. Существование периодических решений системы дифференциальных уравнений с малым постоянным запаздыванием в одном специальном случае / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань,2001. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 6.4.2001, № 576-В2001.

95. Богатова С.В. Ненулевые периодические решения системы дифференциальных уравнений с малым постоянным запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2001. № 4. С. 14-21.

96. Богатова С.В. О нахождении решений нелинейной системы уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2001. № 4. С. 22-26.

97. Богатова С.В. Периодические решения математической модели работы лампового генератора (тезисы доклада) // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения». Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2001. С. 31.

98. Богатова С.В. Периодические решения модели «хищник-жертва» // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2001. № 5. С. 24-25.

99. Богатова С.В. Решения нелинейной системы уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2001. № 5. С. 2630.

100. Богатова С.В. О существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений с малым запаздыванием / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2001. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 4.12.2001, № 2519-В2001.

101. Богатова С.В. Условия существования ненулевых решений нелинейной системы уравнений в частном случае / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2001. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 4.12.2001, № 2520-В2001.