Построение ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений с параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Построение первого приближения к ненулевому периодическому решению неавтономной системы дифференциальных уравнений.

§1. Сведение задачи о нахождении первого ненулевого приближения к ненулевому периодическому решению системы дифференциальных уравнений в неособенном случае к нахождению решения нелинейных операторных уравнений.

§2. Построение первого ненулевого приближения в неособенном случае.

§3. Построение первого ненулевого приближения в особенном случае.

Глава 2. Построение и сходимость высших периодических приближений к ненулевому периодическому решению неавтономной системы дифференциальных уравнений.

§4. Построение и сходимость высших периодических приближений к ненулевому периодическому решению в неособенном случае.

Актуальность темы. Задача построения периодических решений систем дифференциальных уравнений на данный момент достаточно далека от своего разрешения. Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических процессов [1, 3, 8, 12, 19, 22, 25, 26, 37, 60, 75, 84, 91 - 99]. Большое количество работ, посвященных этой теме, показывает, что многообразие конкретных систем, описывающих реальные процессы, и сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению.

Эта задача становится еще более сложной, если система дифференциальных уравнений имеет тривиальное (нулевое) решение и требуется построить ее ненулевое периодическое решение. Рассмотрим, например, уравнение вида al3f + a2*:+a3(a1(t) + a4x2 )х = О, где при различных значениях констант at, / = 174 и периодической функции а, (0 получаются известные уравнения Хилла и Матье, которые имеют нулевое решение. Вопросу построения периодических решений этих двух уравнений посвящены работы [1, 12, 17, 25, 26, 55, 92], но их недостатком является то, что они не объясняют строго математически, почему получающееся периодическое решение будет ненулевым. Существуют системы более сложного вида, для которых пока еще не выработаны общие методы построения их ненулевых периодических решений.

Цель работы состоит в построении ненулевого периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений вида х = A(t)x + f(x,t,e), (0.1) в которой л- - л-мерный вектор-столбец, А(с) - п >; п -матрица, непрерывная и со -периодическая по /, ф>0, f(x, /, &•) - п -мерная вектор-функция, непрерывная по своим переменным и т -периодическая по t, е — т -мерный вектор-параметр.

Методика исследования. Метод построения ненулевого периодического решения системы (0.1) состоит в построении последовательных приближений, каждое из которых должно являться со -периодической вектор-функцией, Вначале ставится задача нахождения первого ненулевого приближения, решаемая методом неподвижной точки нелинейного оператора. Высшие периодические приближения строятся при условии, чтобы в дальнейшем не возникало непериодических членов по времени. Существенным при этом является вопрос о сходимости последовательных периодических приближений к ненулевому периодическому решению системы (0.1).

Еще одним из методов, примененных для построения периодического решения системы (0.1) в данной работе, является способ перехода от дифференциального уравнения к интегральному.

Основные результаты» имеющиеся по данной проблеме. Главные идеи качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений содержатся в книгах А. Пуанкаре [72], А. М. Ляпунова [57], В. В. Немыцкого, В. В. Степанова [68], Л. С. Понтрягина [71], Ю. Н. Бибикова [7], Н. П. Еру-гина [32, 33], Ф. Харгмана [88].

С развитием техники и постановкой новых задач в механике, электротехнике в начале XX века на первое место выходит теория нелинейных колебаний. Основы этой теории были заложены А. Пуанкаре [72], А. М. Ляпуновым [57], И. Г. Малкиным [58].

Своеобразным синтезом математики и механики является монография Л. И. Мандельштама [59], в которой автор рассматривает вопросы колебаний нелинейных систем дифференциальных уравнений с целью применения их к конкретным моделям акустики, электротехники и другим областям техники.

Монография Б. В. Булгакова [14] подытожила его многочисленные исследования. Книга содержит огромный материал по колебаниям различного вида линейных и нелинейных систем (консервативных, диссипативных и др.) с одной и несколькими степенями свободы, проиллюстрирована конкретными физическими моделями.

Наиболее полные исследования автономных динамических систем на плоскости проведены А. А. Андроновым, А. А. Витт, С. Э. Хайкиным [1], Е. А. Леонтовичем [2], Дж. М, Марсден [61], Хопфом [91] и для неавтономных систем - Ю. I I. Бибиковым [6], Е. Ф. Мшценко, Н. X. Розовым [66].

Самыми распространенными методами построения периодических решений на сегодняшнее время являются итерационные методы, такие, например, как метод усреднения. Он заключается в том, что правые части сложных дифференциальных уравнений, описывающих колебания, заменяются «сглаженными», усредненными функциями, не содержащими явно времени и быстро изменяющихся параметров системы. Получающиеся в результате усредненные уравнения либо точно интегрируются, либо упрощаются, что позволяет получить важные выводы относительно изучаемого движения как качественного, так и количественного характера.

В основу метода усреднения для исследования нелинейных колебательных процессов в радио- и электротехнике, механике легли работы Ван-дер-Поля [17], разработавшего эффективный прием приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения вида

Х+Й?2Х= sf(x, х), (0-2) описывающего колебательный процесс в системе с одной степенью свободы, названный им методом «медленно меняющихся коэффициентов».

Первые шаги в области математического обоснования метода усреднения для дифференциальных уравнений с 2я -периодическими правыми частями по времени t сделаны II Фату и Л. И. Мандельштамом в [59]. Для отыскания 2л -периодического решения применялся метод последовательных приближений, где в качестве первого приближения бралось решение усредненной системы, доказывалась сходимость приближений и «близость» предельной функции к решению усредненной системы.

Создание же более строгой теории метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову и Н. М. Крылову [10, 42, 63, 64]. Н. Н. Боголюбов показал, что метод усреднения связан с существованием некоторой замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей уравнений. Он рассматривал уравнение х = Щх ,t), (0.3) названное им уравнением в стандартной форме, где х<=Е" ( Е" - евклидово п -мерное пространство) и указал, как строить не только систему первого приближения (усредненную систему), но и усредненные системы высших приближений, решения которых аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точностью.

Сформулированный и развитый им метод усреднения применительно к уравнениям в стандартной форме (0.3) получил и строгое математическое обоснование. Это обоснование сводится к определению условий, при выполнении которых разность между решением точной системы уравнений (0.3) и решением соответствующей ей усредненной системы для достаточно малых значений параметра s становится сколь угодно малой на сколь угодно большом, но конечном интервале времени.

Дальнейшие разработки метода усреднения принадлежат В. М. Волосо-ву, Н. Н. Моисееву, Н. Д. Зубареву [63].

Наиболее полно изученными с точки зрения приближенного построения периодических решений являются квазилинейные системы видов

X = Ах + eZ(x, t, s) + <p(t), (0.4) х = Ах + eZ{x, е) (0.5) при отсутствии резонанса и при резонансе различных порядков. Основы теории таких систем были заложены трудами А. Пуанкаре, И. Г. Малкина [58]. Они исходили го представления искомого периодического решения в виде ряда по степеням малого скалярного параметра е, с коэффициентами в виде периодических функций по времени. Исследовались неавтономные и автономные системы с различными степенями свободы. Эти результаты заложили основы для целого направления - построение периодических решений нелинейных систем в некритическом и критических случаях. Необходимые и достаточные условия существования периодического решения в некритическом случае (матрица А не имеет нулевых и чисто мнимых собственных чисел) и в критическом случае (матрица А имеет нулевые и чисто мнимые собственные числа) даны в работе [30].

Дальнейшее развитие теории построения периодических решений квазилинейных систем дано в [26]. Здесь применяется итерационный метод построения периодического решения системы (0.4) в так называемом критическом случае первого порядка. Предполагается, что порождающая система (система, получающаяся из (0.4) при е~ 0) имеет семейство линейно независимых 2ж-периодических решений. Задача о существовании 2к-периодического решения исходной системы (0.4), обращающееся в одно из порождающих решений при £ = 0, сводится к решению некоторого трансцендентного уравнения (уравнение для порождающих амплитуд). Было установлено, что если это уравнение имеет только простые корни (критический случай первого порядка), то система (0.4) имеет единственное 1л-периодическое решение,» обращающееся в одно из порождающих решений при £ = 0. Существенным здесь является вопрос о приближенном построении искомого 2л -периодического решения в виде итерационных последовательностей и оценке области сходимости по параметру е, для которого применяется метод простых итераций и метод конечных мажорирующих уравнений, разработанные А. М. Ляпуновым в [57] и в дальнейшем Ю. А. Рябовым в [51, 76].

Украинские математики О. Б. Лыкова, А. А. Бойчук, В. А. Журавлев, В. Г. Чуйко в работах [12, 55] продолжают изучать системы вида (0.4), (0.5) в критическом случае первого и второго порядка (уравнение для порождающих амплитуд имеет кратные корни) для неавтономных и автономных систем и распространяют на них метод простых итераций работы [26]. А. А. Бойчук в работе [11] дает способ построения решения двухточечной (в том числе и периодической) краевой задачи для нелинейной системы в критических случаях первого и второго порядков.

М. М. Вайнбергом в работе [16] изучается вопрос о ветвлении периодических решений квазилинейных неавтономных и автономных систем вида (0.4), (0.5) при малых изменениях параметра е. Здесь выводятся уравнения разветвления, в результате чего делаются выводы о числе, виде и способе построения каждого из получающихся периодических решений.

Дж. Хейлом в работе [89] был предложен метод построения периодического решения квазилинейной системы специального вида, для которой установлены необходимые и достаточные условия существования периодических решений. Решение строится методом простых итераций из условия, чтобы последующее приближение было периодической функцией.

А. М. Самойленко в [78] предлагает численно-аналитический метод построения периодического решения системы дифференциальных уравнений = /(>,*), (0-6) где вектор-функция f{t,x) непрерывна по хеЕ", t и Г-периодична по t. Для нахождения искомого J-периодического решения строятся последовательные приближения, являющиеся Г-периодическими вектор-функциями. Доказываются теоремы о сходимости и об области сходимости последовательных приближений к 'Г -периодическому решению системы (0.6). В работе [79] А. М. Самойленко численно-аналитическим методом исследует системы вида

Х- f(t, X, X).

Дальнейшей разработкой численно-аналитического метода для систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, занимался Ю. Д. Шлапак в [90].

В. Н. Лаптинский в работах [29, 44 - 50] дает конструктивные методы анализа периодических решений различных классов периодических систем дифференциальных уравнений.

В работах [18, 34] Г. В. Каменков развивает новый метод исследования колебаний нелинейных систем, названный им методом функций Ляпунова. Он рассматривает системы как с одной, так и несколькими степенями свободы, квазилинейные и существенно нелинейные (не обращающиеся в линейные при значении параметра, равным нулю). Для систем второго порядка, кроме ответа на вопрос о существовании периодических решений, он решил задачу и об оценке величины малого параметра, при которой и менее которой построенные периодические решения существуют.

П. Б. Голоквосчюс в работах [23, 24] рассматривает системы = />(*)* +ДО,

X = РЦ)х -f sG(x, U S) +• /(/) с малым скалярным параметром е, где матрица ДО имеет специальный вид. На основе использования фундаментальной матрицы системы

X Р{1.)х им получены необходимые и достаточные условия существования периодического решения для каждой из рассмотренных систем в некритическом и критическом случаях, предложен способ построения искомого периодического решения.

Е. Л. Тонков в работе [85] рассматривает вопрос о существовании функции Грина для решения о-периодической краевой задачи х + q{t)x + p(t)x = f(x,x, t), х(<У) = x(co), i(0) = i(tf>). В работе [86] с привлечением функции Грина им решается линейная задача оптимального управления периодическими решениями.

Другими широко распространенными на сегодняшний день методами построения периодических решений дифференциальных уравнений являются метод нормальных форм А. Д. Брюно [13], метод сравнения Е. В. Воскресенского [20], проекдионно-итеративный метод [53, 54], метод отражающей функции В. И. Мироненко [62], метод точечных отображений Ю. И. Ней-марка [67], метод итераций Мозера [97]. М. А. Красносельский в работах [38, 39] условие существования периодического решения определяет неподвижной точкой оператора сдвига по траекториям исходной системы дифференциальных уравнений.

М. Т. Терехиным [82 - 84] и его учениками [15, 52, 74] исследовались вопросы существования ненулевых периодических решений и бифуркации систем дифференциальных уравнений, зависящих от векторного параметра. При доказательстве теорем используется фундаментальная матрица соответствующей линеаризованной системы и принципы неподвижной точки. Работа [84] посвящена определению условий существования устойчивого предельного цикла для системы «хищник - жертва» специального вида, расположенного в окрестности состояния равновесия и даны оценки областей притяжения к этому состоянию равновесия. В работе [15] используется представление фундаментальной матрицы в виде матрицанта; в работе [52] в систему дифференциальных уравнений искусственно вводится векторный параметр; в работе [74] фундаментальная матрица находится на основании специального (треугольного) вида матрицы системы линейного приближения.

В большинстве работ, посвященных построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, используются итерационные методы, при помощи которых искомое периодическое решение ищется как предел строящихся последовательных периодических приближений. В работах [4, 5, 23, 24, 26, 29, 44 - 46, 49, 50, 55, 60, 65] сразу говорится, что дифференциальное уравнение не имеет нулевого решения. Это избавляет от необходимости доказывать то, что предельная функция будет ненулевым решением. В работах [11, 12, 16, 26, 58] уточняется, что дифференциальное уравнение имеет нулевое решение только при нулевом значении параметра. В работах [10, 26, 42, 63, 64, 76, 78, 79] вообще не рассматривается вопрос о том, будет ли предельная функция нулевой или нет, если методы исследования указанных работ применить к системе, имеющей нулевое решение при любом значении параметра.

В представленной диссертации исследуется наиболее трудный и мало изученный случай, когда исходная система дифференциальных уравнений вида (0.1) имеет нулевое решение при всех значениях параметра, методом последовательных приближений определяются условия существования ненулевых периодических решений таких систем. Это одно из главных отличий данной работы от предшествующих.

Кроме того, в данной работе не используется ни фундаментальная матрица [30, 71, 82, 88] соответствующей линейной однородной системы, ни порождающее семейство периодических решений [26, 30, 55, 58] линейной системы, ни матрица Грина [26, 35, 55, 85, 86] для соответствующей краевой задачи. Это объясняется невозможностью в общем случае описать аналитическую структуру периодического решения системы линейного приближения системы (0.1) с коэффициентами, зависящими от времени.

В диссертации для построения ненулевого периодического решения системы (0.1) существенную роль играет наличие в правой части нелинейных членов, а именно вектор-форм по фазовой переменной.

Если в работах [11, 12, 23, 24, 26, 30, 39, 42, 51, 55, 58, 63, 76, 77] используются итерационные методы построения периодических решений систем со скалярным параметром и периодическое решение ищется в виде ряда, составленного по степеням этого параметра, то в данной диссертации в общем случае используется векторный параметр, что существенно усложняет решение задачи определения оценки значений параметра, при которых существует периодическое решение. Отметим, что в случае скалярного параметра проверка условий теорем и соответственно алгоритм построения периодического решения упрощаются.

Отличительной чертой диссертации от работ [29, 44 - 46, 49, 50] является применение итерационных методов в особенном случае (интеграл по периоду от матрицы системы линейного приближения является особенной матрицей). В диссертации исследование этого случая выполнено с привлечением аппарата псевдообратных матриц, что позволило доказать теоремы о существовании ненулевых периодических решений системы (0.1) при более общих предположениях.

Содержание работы. Диссертация содержит результаты исследования системы (0.1) с точки зрения построения ненулевых периодических решений на основе подходов [47, 48, 82 - 84]. Работа состоит из трех глав, разбитых на параграфы (сквозная нумерация параграфов).

В первых двух главах диссертации предполагается, что система (0.1) имеет нулевое решение при всех значениях параметра е. Искомое периодическое решение системы (0.1) находится как ненулевой предел последовательности периодических вектор-функций. Исследуются два случая: неособенный (интеграл по периоду от матрицы системы линейного приближения является неособенной матрицей) и особенный (интеграл по периоду от матрицы системы линейного приближения является особенной матрицей).

Первая глава диссертации посвящена построению первого ненулевого приближения. Дается общая схема алгоритма построения ненулевого периодического решения методом последовательных приближений. В §1, §2 главы 1 исследуется неособенный случай. Здесь даются необходимые и достаточные условия существования первого ненулевого приближения к ненулевому периодическому решению системы (0.1), являющегося постоянным вектором (не зависящим от времени). Дается аналитическая структура этого приближения и оценка значений параметра, при которых оно существует. При доказательстве теорем используются методы неподвижной точки нелинейного оператора. В §3 исследуется особенный случай. Здесь показывается, что при определенных условиях, наложенных на линейную и нелинейную части исходной системы дифференциальных уравнений, задача построения первого ненулевого приближения сводится к применению результатов, полученных при рассмотрении неособенного случая (§1, §2). В этом случае применяется аппарат псевдообратных матриц.

Рассмотрены конкретные системы дифференциальных уравнений, построены первые ненулевые приближения к их ненулевым периодическим решениям.

Вторая глава работы посвящена построению и исследованию сходимости высших периодических приближений в неособенном (§4) и особенном случаях (§5). В каждом из случаев даются коэффициентные признаки существования начальных значений (постоянных векторов) для к -го приближения из условия периодичности (£+1)-го приближения. Доказана основная теорема о сходимости последовательных периодических приближений к ненулевому периодическому решению исходной системы дифференциальных уравнений, приводится оценка снизу и сверху нормы искомого периодического решения.

В качестве примера рассмотрена система «хищник - жертва» при наличии внутривидовой конкуренции, проблема существования ненулевого периодического решения которой исследуется методом последовательных приближений.

В третьей главе диссертации используется метод перехода от дифференциального уравнения к интегральному уравнению. В §6 главы 3 доказывается основная теорема о сведении задачи нахождения ненулевого периодического решения системы (0.1) к задаче нахождения ненулевого периодического решения интегрального уравнения и решения некоторого трансцендентного уравнения. Для нахождения условий существования ненулевого периодического решения интегрального уравнения в особенном случае (§8) применяется аппарат псевдообратных матриц. Даются коэффициентные условия существования периодического решения интегрального уравнения и оценка значении параметра, при которых это решете существует. Получен общий вид обратных операторов линейных операторов специального вида. Доказательство теорем существования периодического решения основано на привлечении свойств линейных обратных операторов и применении локального принципа сжимающих отображений.

Приведены примеры построения периодического решения уравнения Дюффинга (вдали от главного резонанса) и положительного периодического решения уравнения бимолекулярной химической реакции. Даны оценки величин параметров, при которых существуют искомые периодические решения.

Необходимые сведения по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [7, 32, 68, 71, 88], по функциональному анализу - из [36, 39, 56, 67], по линейной алгебре - из [21].

На защиту выносятся следующие положения:

1). Определение необходимых и достаточных условий существования первого ненулевого приближения в неособенном и особенном случаях;

2). Определение коэффициентных условий существования высших периодических приближений и их сходимость к ненулевому периодическому решению в неособенном и особенном случаях;

3). Построение ненулевого периодического решения исходной системы путем перехода к интегральному уравнению в неособенном и особенном случаях.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VIII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Пущино, на VI Всероссийской научно-технической

15 конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на XXIII Конференции молодых ученых МГУ («Ломоносов-2001»), на Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложений в Рязанском государственном педагогическом университете (9-12 октября 2001), на семинаре по дифференциальным уравнениям в Удмуртском государственном университете.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [100

110].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В данной работе рассматривалась задача построения ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений вида

Х= А(/)х + /{.V, t, £) где х-«-мерный вектор, A(t\f(x, s) - соответственно пхп-матрица и п-мерная вектор-функция, о-периодические по t, s - от-мерный вектор-параметр.

В случае, когда эта система имеет нулевое решение при всех значениях параметра е, задача построения ненулевого со -периодического решения свелась к построению последовательных ©-периодических приближений, где начальное значение для каждого из этих приближений определяется на основании принципов неподвижной точки. Даются коэффициентные условия сходимости «-периодических приближений к ненулевому со -периодическому решению исходной системы.

В случае, когда система не имеет нулевого решения, задача построения ненулевого со -периодического решения свелась к нахождению &-периодического решения интегрального уравнения.

Рассмотрены примеры и прикладные задачи.

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М: Физмат-гиз, 1959. 915 с.

2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с.

3. Асадуллин Р. М., Рамазанов М. Д. Об одном методе исследования обратных задач моделей биокинетики // Вестник Башк. ун-та. 1996. № 3, Ч. 1. С. 9-11.

4. Аширов О., Мамедов Я. Д. Об одном итерационном процессе для решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, №5. С. 871-876.

5. Аширов О. О некоторых итерационных процессах для решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, №>6. С. 1026-1033.

6. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. Л:Изд-воЛГУ, 1991. 143 с.

7. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303 с.

8. Бибиков Ю. М. Устойчивость и бифуркации при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой и бесконечно малой частями // Математические заметки. 1999. Т. 65, № 5. С. 323 -335.

9. Бобылев Н. А., Коровин С. К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем /У Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 3. С. 301-306.

10. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1974. 503 с.

11. Бойчук А. А, Построение решений двухточечных краевых задач для слабовозмущенных нелинейных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1989. Т. 41, № 10. С. 1416 1420.

12. Бойчук А. А., Журавлев В. А., Чуйко. В. Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42, №9. С. 1180-1187.

13. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 253 с.

14. Булгаков Б. В. Колебания. ML: Гостехиздат, 1954. 891 с.

15. Бухенский К. В. Определение условий существования периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром по нелинейной части системы // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения /РГПУ; Рязань. 2000. №3. С. 13-17.

16. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М: Наука, 1969. 528 с.

17. Ван-дер-Поль. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связьиз-дат, 1935.

18. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. ML: Наука, 1984. 320 с.

19. Вольтерра Вито. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 282 с.

20. Воскресенский Е. В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 571 576.

21. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492 с.

22. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986. 152 с.

23. Голоквосчюс П. Б. Периодические решения специальной дифференциальной системы //Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 8. С. 1326 1331.

24. Голоквосчюс П. Б. Периодические решения специальной нелинейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 9. С. 1623 -1628.

25. Гребеников Е. А., Митропольскнй Ю. А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем. М.: Наука, 1992. 223 с.

26. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 431 с.

27. Грудо Э. И. Периодические решения периодических дифференциальных систем в общем критическом случае // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 5. С 763 -767.

28. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970, 536 с.

29. Данилович Л. А., Латинский В. Н. Об одном представлении периодического решения линейного матричного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 2. С. 276-278.

30. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

31. Елисеенко М. 11. О периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно производной//Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 9. С. 1618 1621.

32. Еругии Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во АН БССР, 1963. 272 с.

33. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972. 664 с.

34. Каменков Г. В. Избранные труды. М.: Наука, Т. 1, 1971. 260 с; Т. 2, 1972.-214 с.

35. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

36. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М,: Наука, 1984. 572 с.

37. Колосов Г. Е., Нежеметдинова Д. В. Исследование установившихся колебательных процессов в хемостате // Автоматика и телемеханика. 2000. № 1, С. 118 -132.

38. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332 с.

39. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1962. 457 с.

40. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

41. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 511 с.

42. Крылов Н. М, Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. М.: Изд-во АН СССР, 1937. 112 с.

43. Кублановская В. Н. О вычислении обобщенной обратной матрицы и проекторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 2, К» 2. С. 326 -332.

44. Лаптинский В. Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений II Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, №8. С. 1335- 1343.

45. Лаптинский В. И. О построении периодических решений дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 3. С. 536 539.

46. Лаптинский В. Н., Подолян С. В. О периодических решениях векторного дифференциального уравнения n-го порядка // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 10. С. 1704 1709.

47. Лаптинский В. Н. К спектральной теории операторов (тезисы доклада) // Научно-технический прогресс в пищевой промышленности. Тезисы докладов международной научно-технической конференции. Могилев: Изд-во МТИ, 1995. С. 154.

48. Лаптинский В. Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем. Минск: ИМ НАН Беларуси, 1998. 300 с.

49. Лаптинский В. Н., Титов В. Л. К теории периодических решений полулинейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №8. С. 1036-1045.

50. Лаптинский В. Н., Ливинская В. А. Об аналитической структуре периодических решений матричного дифференциального уравнения типа Ляпунова // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 9. С. 1289 1291.

51. Лика Д. К., Рябов Ю. А. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Кишинев: Штиинца, 1974. 291 с.

52. Лискина Е. К). Существование периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения / РГПУ; Рязань. 2000. № 3. С. 53 59.

53. Лучка А. Ю. Достаточные условия сходимости модифицированного про-екционно-итеративного метода для уравнений со слабой нелинейностью // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42, № 11. С. I486 -1492.

54. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наук. Думка, 1989. 264 с.

55. Лыкова О. Б., Бойчук А. А. Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1988. Т. 40, № 1. С. 62-69.

56. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая, школа, 1982. 271 с.

57. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

58. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М: Гостехиздат, 1956. 491 с.

59. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. 470 с.

60. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. 400 с.

61. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир, 1980. 367 с.

62. Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. Минск, 1986. 80 с.

63. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: «Наукова Думка», 1971. 440 с.

64. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Математические проблемы нелинейной механики. Киев, 1987.

65. Михлин С, Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений (СМБ). М.: Наука, 1965.

66. Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 248 с.

67. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

68. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

69. Плисс В. А, Нелокальные проблемы теории колебаний. М. Л.: Наука,1964. 367 с.

70. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.

71. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,1965. 332 с.

72. Пуанкаре Анри. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л.: ГТТИ, 1947. 392 с.

73. Ранцевич В. А., Самсон А. М. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 23. С. 540-542.

74. Ретюнских Н. В. Периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений специального вида // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения / РГПУ; Рязань. 1998. № 1. С. 75 82.

75. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернявский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

76. Рябов Ю. А. Об одном способе оценки области применимости метода малого параметра в теории нелинейных колебаний // Инж. ж. АН СССР. 1961. № 1, вып. 3. С. 3-21.

77. Рябов Ю. А., Лика Д. К. Сходящийся итерационный метод построения решений систем в стандартной форме // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, №4. С. 658-662.

78. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа. Изд-во при Киев, ун-те, 1976. 180 с.

79. Самойленко А. М. О периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 11. С. 1903 1910.

80. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука, 1987.

81. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1979. 352 с.

82. Терехин М. Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. ML: Прометей, 1989. 87 с.

83. Терехин М. Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений. Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. гос. пед. ин-т, 1992. 88 с.

84. Терехин М. Т. Устойчивость и предельные циклы в системе типа "хищник жертва" при наличии внутривидовой конкуренции и заповедника // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения / РГПУ; Рязань. 1999. № 2. С. 82 - 93.

85. Тонков Е. Л. О периодическом уравнении второго порядка // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184, № 21. С. 296 299.

86. Тонков Е. Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями И Дифференц. уравнения. 1976. Г. 12. № 6. С. 1007 1011.

87. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

88. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

89. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. ML: Мир, 1966. 230 с.

90. Шлапак Ю. Д. О периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Укр. ма-тем. журнал. 1974. Т. 26, № 6. С. 850 854.

91. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. Под ред. Н. X. Розова. М.: Мир, 1986. 246 с.

92. Afsharnejad Zahra. Nonlinear perturbation of the Mathieu equation // Indian J. Pure andAppl. Math. 1999. - 30, № 5. - C. 495 - 508.

93. Ahmad Shair, Lazer Alan C. Necessary and sufficient average growth in a Lotka-Volterra system // Nonlinear Anal. Theory, Math. And Appl. - 1998. -34, № 2. - C. 191 -228.

94. Ahmad Shair. Extinction of species in non autonomous Lotka-Volterra system 11 Proc. Amer. Math. Soc. 1999 - 127, № 10. - C. 2905 - 2910.

95. Cao Jushen, Shen Zuhe. An existence and uniqueness theorem of periodic solution for nonconservative Duffing equation // J. Nanjjing Univ. Natur Sci. Ed.1999. -35, № 4. C. 402 - 407.

96. Christie J. R., Gopalsamy K. Chaos in perturbed Lotka-Volterra systems // Journal Ser. В.: Mathematics Journal. 2001, 42, № 3, C. 399- 412.

97. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equation // Proc. Nat. Acad. Sci. 1961. - 47, № 11. - P. 1824 - 1831.

98. Teng Zhidong. The positive periodic solutions of a class of periodic Lotka-Volterra type systems with infinite delay // Acta Math. Sci. 2001. - 21, № 1. C. 94 - 1Q1.

99. Zhang Xingan, Chen Lansun. The dispersal properties of a class of predator-prey LV model // J. Syst. Sci and Math. Sci. 1999. 19, № 4. - C. 407 -414.

100. Нелюхин С. А. Построение решения двухточечной периодической краевой задачи для нелинейной системы дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2001. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 10.04.01 № 932-В2001.

101. Нелюхин С. А. Построение периодических решений неавтономных квазилинейных систем / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2001. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 10.04.01 №> 933-В2001.

102. Нелюхин С. А. Об одном способе построения ненулевых периодических решений для нелинейных систем в критическом случае (тезисы доклада) //

103. Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 6 всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов (Рязань, 25 27 мая 2001 г.). Рязань: Изд-во РГРТА. 2001. С. 13.

104. Нелюхин С. А. Сведение задачи о нахождении ненулевого периодического решения неавтономной системы к решению некоторых нелинейных операторных уравнений И Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения IРГПУ; Рязань. 2001. №4. С. 65 -71.

105. Нелюхин С. А. Построение первого ненулевого приближения к периодическому решению неавтономной системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения / РГПУ; Рязань. 2001. №4. С. 72 79.

106. Нелюхин С. А. Построение периодического решения бимолекулярной химической реакции И Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения / РГПУ; Рязань. 2001. №5. С. 127 -132.

107. Нелюхин С. А. Построение периодического решения системы дифференциальных уравнений типа «хищник жертва» при наличии внутривидовой конкуренции. / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2000. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 18.12.01 № 2610-В2001.