Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. С.А. ЕСЕНИНА

на правах рукописи

ПАНФИЛОВА ТАТЬЯНА ЛЕОНИДОВНА

УДК 517.925

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

( 01.01.02 - дифференциальные уравнения)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ТЕРЕХИН М. Т.

Рязань - 1998

Оглавление

. Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений.................................................

ствование периодических решений систем дифферентах уравнений в критических случаях...........................

точные условия существования ненулевых периодичес-гшений...............................................................................

Заключение Литература.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В данной работе изучаются автономные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра с непрерывно дифференцируемой по фазовым переменным и параметру правой частью. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любых значениях параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических решений рассматриваемых классов систем с заранее неизвестным периодом, который является функцией начального значения и параметра, а также условий существования периодических решений фиксированного периода.

Эта проблема занимает одно из центральных мест в качественной теории дифференциальных уравнений и при исследовании качественного характера различных математических моделей в физике, химии, биофизике и других науках [ 2, 21, 27, 34, 47, 48, 53-57 ].

Изучению периодических решений посвящено большое количество работ. Однако в силу сложности проблемы и многообразия конкретных систем, описывающих реальные процессы, общего подхода к решению поставленной задачи пока не найдено. Недостаточно изучена область критических случаев, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы. В частности недостаточно исследована проблема существования ненулевого периодического решения, период которого зависит от начальных условий и параметра . В связи с выше изложенным, задача поиска условий существования ненулевых периодических решений в критических случаях является весьма актуальной. Все это подтверждает актуальность предлагаемой работы, посвященной поиску достаточных

условий существования периодических решений в критических случаях.

Цель работы. Пусть заданы системы дифференциальных уравнений вида:

в которых х е R", € eRm , Rs — s — мерное действительное векторное пространство, параметр; A, A(s) -(пхп)-матрицы, ^(^-непрерывная по s матричная функция. ДО) = от, 0т - нулевая матрица размерности (пхп), Д0„, е) = 0„, 0И-n-мерный вектор-столбец, f(x,s) = fl(x,£)+f2(x,£), где /\(х,£), /2(х,£) -однородные векторные полиномы порядка к и т>к по х соответственно; g(x,£) =

= 2>(< Ч*,*), /к*)-форма по(х,£) порядка к, а Нт^Ч^ИНГ1 = О,

где г = со1оп(х,£) и порядок по х у вектор - функций £,(..?,£), g2(x,£) выше первого, g(0,£) = 0.

В данной работе для изучаемых классов систем ставится задача поиска условий существования ненулевых периодических решений фиксированного периода р, когда система х=Ах имеет р-периодическое решение, и условий существования ненулевых решений, период которых зависит от начальных условий и параметра.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [52] и А. М. Ляпуновым [39]. Разрабо-

k=A{£)x+f (х, £),

X = g(x, £),

X = Ах + f(x, £) ,

X = Ах + А(£)х + f (х, £) ,

(0.1) (0.2) (0.3) (0.4)

тайные ими методы позволяют при исследовании вопросов существования периодических решений нелинейных систем осуществлять переход к более простым системам, а так же исследовать вопросы устойчивости состояний равновесия динамических систем. Основные идеи качественного исследования отражены в книге В.В. Немыцкого, В.В. Степанова [49].

Вопросы существования периодических решений и их бифуркации исследовали И.Г. Малкин [41-43], М.А. Красносельский [31-33], Ю.Н. Неймарк [50] и другие ученые [13-16, 23, 62, 63].

Заслуга открытия рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы принадлежит A.A. Андронову. В работах A.A. Андронова и его последователей наиболее полно изучены динамические системы на плоскости при исследовании систем прикладного характера [6-10]. Вопросы бифуркации автономных динамических систем третьего порядка рассматриваются в работе [19]. Проблемам существования предельных циклов посвящены работы Амелькина В.В. [ 3-5 ], Черкаса JI.A. [64, 65], Бобылева H.A. [ 13, 14 ], Малышева Ю.В., Захарова В.П. [44-46]. Остановимся кратко на некоторых результатах, полученными этими исследователями. В работе [3] получены дивергентные признаки существования предельных циклов у двумерных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В статье [4] вводится понятие дивергентной замкнутой траектории, с помощью которого для автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений устанавливаются признаки существования предельных циклов изучаемого класса систем.

В работе [65] рассматривается вопрос о числе предельных циклов, при этом не требуется проводить предварительную локализацию

предельных циклов. Для автономных систем дифференциальных уравнений на плоскости в критическом случае в статье [64] доказаны достаточные условия устойчивости особого цикла, определение которого дано в этой работе.

В ряде работ [5, 44-46] вопрос о существовании периодических решений систем второго порядка и предельных циклов исследован с применением обобщенных функций Ляпунова. Так в статье [5] рассмотрена автономная система дифференциальных уравнений второго порядка, при этом период решения зависит от начальных условий. Даются необходимые и достаточные условия существования замкнутых решений, сплошь заполняющих некоторую область, причем определенные условия накладываются на функцию Ляпунова. В работах [44-46] рассмотрены двумерные системы дифференциальных уравнений. Для отыскания и определения устойчивости предельного цикла предложена методика использования нескольких обобщенных функций Ляпунова: определены условия устойчивости предельного цикла, предложена математическая процедура посекториального использования нескольких функций Ляпунова, исследуется проблема существования предельных циклов двумерной автономной системы дифференциальных уравнений методом обобщенных функций Ляпунова.

В работах [13, 14] предложен способ доказательства существования циклов в автономных системах дифференциальных уравнений, базирующийся на методе апостериорных оценок, при этом для получения изолированного решения проводится операция функционали-зации параметра.

Работа Е. Хопфа [71] послужила началом целого направления исследований. Изучалась n-мерная автономная система дифференциальных уравнений

* = /(■*, м), (1)

где /л- скалярный параметр, а матрица /х(0,/л) имеет пару собственных значений a {ju)±i р (//), причем при // = 0 , а (0) = 0, ДО) * 0 и не существует других собственных значений матрицы /,(0,^) кратных пр, п €iV\{l}, действительные части других собственных значений - отрицательны. Было установлено, что при потере устойчивости особой точки системы ( 1 ) появляется устойчивое периодическое решение ( бифуркация Хопфа ). Изучению бифуркаций Хопфа для различных классов систем посвящены работы [11, 37, 38, 48]. В работах [66-70,73] обобщались условия на собственные числа матрицы линейного приближения, привлекались свойства нелинейных членов изучаемой системы [70,72]. В ряде работ для системы вида (1) в случае кратности нулевых и чисто мнимых собственных значений матрицы линейного приближения, посредством приведения системы к нормальной форме на инвариантной поверхности, получены условия существования периодических решений [17, 18, 37, 38].

В работе [74] изучаются вопросы существования, единственности и устойчивости периодического решения системы х = /(х,т) с периодическои чисто нелинейной правой частью.

Проблемы существования периодических решений и их бифуркации рассмотрены в работах [58, 59].

На основе метода сравнения, в работе [24] решается задача существования периодических решений у нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Малкин И.Г. в монографии [42] рассматривает неавтономную систему дифференциальных уравнений

х = Ах+рф+р Щг,л:,//) (2)

с Т- периодической правой частью. Причем характеристическое уравнение системы у = Ау имеет нулевой корень кратности к и г пар чисто мнимых корней вида ±0с] , к} , при этом всем указанным числам соответствуют простые элементарные делители.

г

Положив т = , получим , что система у-Ау допускает т

и только т Г-периодических решений. Предполагается, что порождающая система х-Ах + р(г) имеет семейство Г-периодических решений с т-мерным параметром М.

Решается задача существования Г-периодических решений системы (2) при малом ¡л , которое при ¡л =0 обращается в одно из порождающих решений. Задача сводится к решению уравнений % (М*, ¿и ) =0, I е /и} .В результате установлено, что если

у (М*,0) = 0 (у = со1оп( у 1 ) , / € {1, /и} ) При М= л/ И у'(м*,6) * 0,

то система (2) имеет при малом ц в резонансном случае единственное Т- периодическое решение, которое при ц =0 обращается в порождающее. В случае, когда у (м*,о) г о предлагается проводить деление на /и пока не придем к уравнению вида у (л/,о) = 0, а с!е1 /(м*,о) * 0. Кроме того, в работе [42] рассмотрен вопрос о периодических решениях автономных систем

х-Ах + ц к{х,/л). (3)

Система вида (2) рассматривается в работе Гребенникова Е.А., Рябова Ю. А. [26], где авторы предлагают разработанный

ими итерационный алгоритм нахождения периодических решений, изучаемых классов систем.

Бойчук А. А. в соавторстве с другими математиками в работах [16, 36] на основании разработанного им метода решения краевых задач [15], исследует вопрос о существовании периодических решений нелинейных автономных и неавтономных систем. В частности в работе [16] изучается квазилинейная система вида (3) в случае, когда уравнение для порождающих амплитуд имеет кратные корни, при этом отыскивается периодическое решение с периодом близким к периоду решения порождающей системы.

Вавилов С. А., Юхневич С. В. задачу существования периодического решения квазилинейной системы (3) для всех достаточно малых ц с заранее неизвестным периодом р( /л) > 0 , удовлетворяющим условию 1ш\р(/л) - р*\ = 0, р* - период решения системы х = Ах, исследуют путем построения операторных уравнений и применением метода итерации для нахождения решения и периода р(р) [21,22].

Наряду с вопросами существования, бифуркации периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений рассматриваются и проблемы устойчивости решений. Этой проблематике посвящена монография Малкина И. Г. [43]. В одном критическом случае, когда матрица линейного приближения имеет только чисто мнимые собственные значения в статье [29] решается задача устойчивости нулевого решения системы х*4х+Х(х).

В работах [16,22, 36] изучаются квазилинейные системы, для которых определяются условия существования периодического решения, период которого зависит от параметра, в окрестности

ненулевого порождающего решения, причем в статье [16] предполагается, что для периода решения выполняется априорная оценка \р(ц)-р*\= СО). Для исследования автономных систем в работе Брюно А.Д. [18] предложен метод нормальных форм, с помощью которого система приводится к системе, которая или интегрируется или получает более простой вид, при этом требуется определить вид нормализующего преобразования. В предлагаемой диссертационной работе такое преобразование выполнять не требуется. Существование периодического решения автономных систем в окрестности нулевого решения изучается в статье [1] в предположении, что период решения нелинейной автономной системы совпадает с периодом решения порождающей системы дифференциальных уравнений.

Методика исследования. Задача поиска ненулевого периодического решения систем (0.1 )-(0.4) сводится к отысканию пары - начальное условие, параметр, которая определяет периодическое решение. Система уравнений относительного начального условия и параметра исследуется с помощью свойств как матрицы линейного приближения так и свойств нелинейных вектор-функций, путем применения метода неподвижной точки.

Содержание работы. В введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов других авторов, излагается методика исследования и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав. Все результаты диссертации получены без предварительного выполнения нормализующего преобразования [18] и, следовательно, могут быть непосредственно использованы при исследовании конкретных систем

дифференциальных уравнений прикладного характера. В § 1 главы 1 изучается система вида

х = Ах + /(х, е) , (0.1)

предполагается, что матрица ^-критическая. В теореме 1.1 дано необходимое и достаточное условие существования р - периодического решения системы ( 0.1 ), когда /(*,£)- непрерывная по х, е вектор-функция, /(0, £■) = 0. Далее для системы ( 0.1 ) задача поиска ненулевого периодического решения, период которого зависит от параметра, сводится к отысканию пары - начальное условие, параметр, удовлетворяющей некоторой системе уравнений. Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [12, 28, 51], по функциональному анализу - из [30, 60], по линейной алгебре [25, 35].

В § 2 главы 1 решение поставленной задачи проводится с помощью перехода к вспомогательной системе путем замены г = т (1 + Я («,£■)) и нахождения периодического решения фиксированного периода новой системы. В отличии от работ [16, 22], в которых рассматриваются аналогичные проблемы для квазилинейных систем, в предлагаемой диссертационной работе параметр а е К".

В § 1 главы 2 изучаются условия существования периодических решений системы ( 0.2 ) с фиксированным периодом р, который является периодом решения « укороченной » системы х = Ах, а так же с периодом р = р* + Я (а, е ) , где Я (а, е ) -скалярная функция. Доказаны теоремы о существовании периодических решений в случаях, когда для фундаментальной матрицы В( г) системы к = Ах имеют место равенства

В(р) = В(0) = Е, гап^В(р)- £] = к <п( теоремы 2.1, 2.2, 2.3 ).

§ 2 главы 2 посвящен изучению периодических решений систем вида (0.3), при этом период решения р является функцией параметра и начального условия . Рассмотрены случаи , когда р*(а, е ) = (1 + Л (а,е))р*, Л (а,ё) = Л1(а) + Л2(е), где ^(^-форма порядка I по а, 1>\ или А,(¿)- форма порядка « по г. Установлен критерий отсутствия периодических решений. В качестве примера рассмотрена система Рёсслера.

Глава 3 посвящена изучению систем дифференциальных уравнений вида ( 0.4 ). В § 1 исследуется вопрос существования периодических решений с некоторым фиксированным периодом.

В § 2 изучается задача существования периодического решения, когда период решения системы зависит от начального решения и параметра. При этом задача нахождения ненулевого периодического решения при определенных условиях разрешается с помощью вспомогательной системы, имеющей ненулевое периодическое решение периода 1. Приведен пример существования ненулевого периодического решения. В работе [18] аналогичные проблемы решаются с помощью метода нормальных форм.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на международной конференции по дифференциальным уравнениям в г. Самаре, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете.

ГЛАВА 1

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений в критическом случае. Доказана общая теорема существования периодического решения. Установлены достаточные условия существования периодических решений для систем, матрица линейного приближения которых постоянна, а период решения зависит от фазовых переменных и параметра.

§ 1. Существование периодических решений систем дифференциальных уравнений в критических случаях.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Х = АХ + /(Х,£), (1.1)

где х <=Я", а е Я'", Я"- б - мерное действительное пространство, А-постоянная (л х п) - матрица; / ( х, £ ): Я" х Я"' К", / ( х, £ ) - непрерывная по своим аргументам вектор-функция, имеющая по х порядок выше первого; / (0, £ )=0.

Полагаем ||6|| = тах| Ь1 |, где Ь е Я1, В = [¿у]"- матрица, |£|| =

= тах

j

Ш-

¡=1

Предположим, что система (1.1) допускает представление в форме:

Х= Ах + Р{х,£)х , (1-2)

где Р (х, е )-{п хп)- матрица, непрерывная по своим аргументам.

Пусть в области 8 о )={ ( х, е ): \\х ||< 8 о, || е ||< 80} система (1.2) удовлетворяет условиям существования