О необходимых условиях существования решений нелинейных дифференциальных неравенств высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Необходимые условия существования глобальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств произвольного порядка

1. Модельная задача

2. Правая часть с двумя слагаемыми

3. Неравенства общего вида

Глава 2. Необходимые условия существования глобальных решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств произвольного порядка

1. Простейший случай системы двух дифференциальных неравенств с переменными коэффициентами

2. Система первого порядка со смешанной правой частью

3. Система высокого порядка со смешанной правой частью

4. Система неравенств

Глава 3. Необходимые условия существования локальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств произвольного порядка с сингулярной правой частью

1. Задача первого порядка

2. Неравенство второго порядка

3. Модельная задача высокого порядка

4. Задача с несколькими слагаемыми в правой части

Глава 4. Необходимые условия локальной разрешимости систем нелинейных уравнений и неравенств высокого порядка

1. Модельная задача

2. Система высокого порядка со смешанной правой частью

3. Системы неравенств 88 Литература

Общая характеристика работы

Хорошо известна классическая теория о существовании решения задачи Коши для ОДУ. Для нелинейных уравнений и систем классическая теорема существования устанавливает только наличие решения в некоторой окрестности начальной точки и не всегда позволяет определить всю область определения решения. В связи с этим оказывается важным поиск необходимых условий существования решения. Обычно поиск необходимых условий существования решения проводится методом "сравнения". В рамках этого метода строится "нижнее решение" задачи. В случае разрушения этого решения за конечное время, происходит и разрушение решения исходной задачи. К сожалению этот метод не является общим и не может быть использован при исследовании существования решения многих практически интересных классов уравнений. В настоящей работе проводится поиск необходимых условий существования решений задачи Коши для нелинейных ОДУ и систем нелинейных ОДУ методом, предложенным ранее Митидиери и Похожаевым для уравнений в частных производных [9]. Использование этого метода позволило получить неулучшаемые необходимые условия существования решения для нескольких типов нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств и их систем.

В диссертации впервые установлены следующие результаты:

1. Метод априорных оценок разработан применительно к задаче Коши для ОДУ и систем ОДУ любого порядка.

2. Методом априорных оценок получены необходимые условия существования глобальных решений задачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с различными типами нелинейности правых частей.

3. Методом априорных оценок получены необходимые условия существования локальных решений задачи Коши для нелинейных сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с различными типами нелинейности правых частей.

Работа имеет теоретическую направленность. Найдены достаточные условия разрушения (необходимые условия существования) глобальных и локальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств, а также систем таких неравенств. Во всех основных теоремах приведены примеры, демонстрирующие неулучшаемость полученных условий существования решений. Используемый подход применим и к дифференциальным неравенствам в частных производных.

Основные результаты диссертации содержатся в работах [13, 14, 15, 16], без соавторов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая и четвертая главы разбиты на 3 раздела, вторая и третья на 4 раздела. Объем диссертации — 97 машинописных страниц.

1. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1954.

2. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнения. М.: Наука. 1990.

3. Кигурадзе И.Т. Начальные и краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, I. Тбилиси: Метсниереба, 1997.

4. Коньков А,А. О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. 2001. Т. 65, №2. С. 81-125.

5. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие глобальных положительных решений для квазилинейных эллиптических неравенств // Докл. РАН. 1998. Т. 359, №4. С. 456-460.

6. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в RN // Тр. МИАН. 1999. Т. 227. С. 192-222.

7. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие положительных решений для систем квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в Шм j j Докл. РАН. 1999. Т. 366, №l. С. 13-17.

8. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие слабых решений для некоторых вырожденных и сингулярных гиперболических задач в Ж^1 // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 248-267.

9. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств в частных производных. М.: Наука, 2001. (Тр. МИАН. 2001. Т. 234)

10. Levine Н. A. The role of critical exponents in blow-up theorems // SIAM Reviews. 1990. V. 32. P. 371-386.

11. Лаптев Г. Г. Отсутствие глобальных пололштельных решений систем полулинейных эллиптических неравенств в конусах // Изв. РАН. Сер. мат. 2000. Т. 64. С. 107-124.

12. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств j j Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 223235.

13. Хей Дж. О необходимых условиях существования глобальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств высокого порядка // Диф. уравн. Т. 38, №3. С, 1-7. 2002.

14. Хей Дж. О необходимых условиях существования глобальных решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств высокого порядка // Диф. уравн. (в печати).

15. Хей Дж. О необходимых условиях существования локальных решений сингулярных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств // Мат. заметки, (в печати).

16. Хей Дж. О необходимых условиях существования локальных решений сингулярных обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств высокого порядка // Доклады РАН. (в печати).

17. Aguirre J., Escobedo М. On the blow-up of solutions of a convective reaction diffusion equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh A. 1993. Y. 123. P. 433-460.

18. Berestycki H., Capuzzo Dolcetta I., Nirenberg L. Superlinear indefinite elliptic problems and nonlinear Liouville theorems // Top. Meth. Nonlin. Anal. 1995. V. 4. P. 59-78.

19. Bidaut-Veron M.-F. Local and global behavior of solutions of quasilinear equations of Emden-Fowler type // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1989. V. 107. P. 293-324.

20. Bidaut-Veron M.-F., Raoux T. Asymptotics of solutions of some nonlinear elliptic systems // Commun. Part. Diff. Equat. 1996. V. 21. P. 1035-1086.

21. Birindelli I., Mitidieri E. Liouville theorems for elliptic inequalities and applications // Proc. Roy. Soc. Edinburgh A. 1998. V. 128. P. 1217-1247.

22. Caristi G., Mitidieri E. Nonexistence of positive solutions of quasilinear equations j j Adv. Diff. Equat. 1997. V. 2. P. 319-359.

23. Кигурадзе И. Т., Кузано Т. О периодических решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка // Дифферент уравнения. 1999. Т.35, N1. С. 72-78.

24. Johnson R., Pan X., Yi Y. Singular ground states of semilinear elliptic equations via invariant manifold theory // Nonlinear Anal. 1993. V. 20, no. 11. P. 1279-1302.

25. Kawano N., Yanagida E., Yotsutani S. Structure theorems for positive radial solutions to div (\Du\m~2 Du) + K(\x\)uq = 0 in Rn j j J. Math. Soc. Japan. 1993. V. 45, no. 4. P. 719-742.

26. Naito M., Naito Y. Radial entire solutions of a class of sub linear elliptic equations // Adv. Math. Sci. Appl. 1993. V. 2, no. 1. P. 231-243.

27. Wong F. Uniqueness of positive solutions of semilinear elliptic equations // Funkcial. Ekvac. 1993. V. 36, no. 1. P. 45-51.

28. Yanagida E. Structure of radial solutions to Au-f К (\x\)\u\p~1u = 0 in j j SIAM J. Math. Anal. 1996. V. 27, no. 4. P. 997-1014.

29. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. M.: Высш. шк., 1995. 301 с.

30. Сапсоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. T.l. М.: ИЛ, 1954.

31. Сапсоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т.2. М.: ИЛ, 1954.

32. Рао С. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. Plenum Press, 1992.

33. Kozlov V. On Kneser solutions of higher order ordinary differential equations // Report No. Lith-MAT-R-97-18, ISSN: 0348-2960, August 22, 1997.