Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Бельман, Светлана Александровна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Рязань
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ДК 517.925
Бельман Светлана Александровна
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Казань-2011
;1 2 МАЙ 2011
4845226
Работа выполнена на кафедре математики и методики преподавания математических дисциплин Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор
Терехин Михаил Тихонович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Малышев Юрий Валентинович
доктор физико-математических наук, профессор
Зейфман Александр Израилевич
Ведущая организация: Мордовский государственный универ-
ситет имени Н. П. Огарёва
Защита состоится "26" мая 2011 г. в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: г.Казань, ул.профессора Нужина, д. 1/37, Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н.Г.Чеботарева, ауд.337(324).
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.
Автореферат разослан "18"апреля 2011г.
Ученый секретарь
диссертационного совета, _
кандидат физико-математических наук,
доцент - Липачев Е.К.
ОБЩА Л ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В данной работе рассматриваются автономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра. Задачей исследования является отыскание условий существования периодических решений системы, период которых находится в окрестности заданного числа.
Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования процессов, происходящих в физических, химических и биологических системах. В частности, системы дифференциальных уравнений с параметром необходимо исследовать при анализе экономических моделей.
Такое широкое разнообразие применения теории периодических решений вызывает дополнительный интерес к более глубокому исследованию проблем существования периодических решений систем дифференциальных уравнений, к поиску методов исследования этих проблем.
Несмотря на то, что изучению периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений посвяцдаю большое количество работ, недостаточно изучены условия существования периодических решений, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы. Требует более глубокого рассмотрения вопрос о влиянии параметра на свойства нелинейных систем дифференциальных уравнений, особенно для систем, линейное приближение которых зависит от параметра.
Поэтому задача поиска условий существования периодического решения системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа, является достаточно важной задачей. Все это подтверждает актуальность предлагаемой работы.
Цель работы состоит в получении условий существования ненулевых ы-периодических решений системы автономных дифференциальных уравнений.
Методика исследования. Отыскание решений нелинейных систем дифференциальных уравнений проводится в окрестности состояния равновесия, положение которого в пространстве зависит от параметра. Путем замены переменной вопрос существования (»-периодического решения исходной системы сводится к поиску 2л-лериодического решения измененной системы. Решение полученной системы ищется в виде тригонометрического ряда. Методом разбиения основного пространства на три подпространства устанавливается соответствие между 2я-периодическим решением системы и решением операторных уравнений. Методом неподвижной точки устанавливаются условия разрешимости операторных уравнений и, следовательно, условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В работе найдены новые достаточные условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом.
Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы при исследовании конкретных систем автономных дифференциальных уравнений, являющихся моделями реальных процессов, протекающих в природе и социуме.
Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на
1. Заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете им. С.А. Есенина;
2. X, XIII Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанском государственном радиотехническом университете 2005, 2008г.;
3. VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранск, 2008;
4. XVI конференции серии «Математика. Компьютер. Образование», в г.Пущино 2009г;
5. Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в Тульском государственном университете 2009г;
6. Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» в МГУ, 2009г.
Публикации. Основные результаты работы отражены в двенадцати публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы. Общий объем диссертации - 95 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 99 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, сформулированы основные результаты, полученные в работе.
В главе 1 рассматривается автономная система дифференциальных уравнений. §1 содержит основные определения и вспомогательные результаты. В диссертации рассматривается автономная система дифференциальных уравнений вида
~=t*6a). ап
ат
в которой ye Е^, Хе E , X - параметр, ц/{у,Л) - конечная сумма вектор-форм относительно вектора у. Предполагаем, что в точке {yo,AfJ<rz d[óo) ^(1Уо,Яо)=0, система уравнений ц/{у,Л) = О имеет решения у = в.(Л), /е {l,2,...,/-}, r> 1, уи -()t(А,) такие, что ц/\@.{Л),Л)=0, и в окрестности точки в;(Л) справедливо представление
Ч>(у,Х)=А-{в{Х),ХЬ - 0,{Х))+с:{в,{х\Л,у - 0(а))+ о\в,(Х),Х,у-в,(Х)), где С*(в.(Я),Л,у-в (А)) - форма порядка s>l относительно переменных у, Л, £>*(# (л),л,у-в1(л)) - конечная сумма форм порядка более высокого, чем s, относительно тех же переменных, С',(в:(л),л, ())=0,
Ставится задача - определить условия существования ш-периодического решения системы (1.1) в окрестности точки 9.{Л). При этом ¿3 принадлежит окрестности некоторого известного числа.
С помощью замены переменных х = у-в(л), t = —z, систему (1.1)
' 5
можно привести к системе вида
К(х,Л,^)=х-си„А{Л)х- 1гА(Л)х-(а)и + ^\с(х,Л)+ 0(х,Л)) = 0, (1.5)
в которой ±А'{в,(л\Л)=А(Л)< А(Л) = А + К(Л). lim К(л)=0, 2л
—С\в{Л\Л,х)=С{х,Л), —0'{9{л\л,х)=й{х,л\ & = 2ж{ша+ц), Для
2л 2 л
простоты записей индекс / опустили. Число со0 считаем известным, ц - параметр.
Отметим, что 5-периодическому по г решению системы (1.1) соответствует 271-периодическое по t решение системы (1.5). Будем искать 2л-периодическое решение системы (1.5).
Рассмотрим множество М„ всех тригонометрических рядов вида
ы
х = аа + coskt + bt sinkt, где aíh at, bt - /7-мерные векторы (коэффициенты ряда). Ряд 0+]T0cosA7 + Osin i/ назовем нулевым элементом множества М„ (обозначим его 0). Под х будем понимать ряд вида х = Л cos kt - kak sin Ai. На множестве М„ определяются операции сложения рядов, умножения ряда на число и умножения ряда на матрицу.
Определение 1.1. Элемент х е М^ назовем 2л-периодическим решением системы (1.5) при некотором Л (|A|<¿>0), если Я(хо,Л,^) - нулевой элемент множества М .
п
Определим оператор В равенством
Вх = х- а>оАх. (1-6*)
Очевидно, что В - линейный оператор на множестве Мп. Теорема 1.1. Если оператор В не имеет нулевого собственного значения, то он имеет обратный на множестве М„.
Теорема 1.2. Оператор В имеет собственный элемент, соответствующий нулевому собственному значению тогда и только тогда, когда сущест-
вует такое keJVv, что detL(k) = 0, где L(k) =
(
- - m .
о
■ кЕ - со Л
о у
, N - множест-
во целых неотрицательных чисел.
Замечание 1.1. В случае, когда определитель матрицы Цк) тождественно не равен нулю, уравнение det Цк) = 0 при фиксированном û)a имеет не более чем 2п различных натуральных корней.
Далее предполагается, что определитель матрицы L{k) тождественно нулю не равен.
Введем пространство М„{11) - пространство тригонометрических рядов х = a„ + Y,at cosÂ7 + bt sin/г/ e Mп, коэффициенты которых удовлетворяют условию (a„,al,b>,...,at,ht,...)ell. Норму элемента
ь». +ОС
х = в,, + cas kl + bt sin kl e Mn(lt) определим так: ||jc|| = |a„| + + <ы t=i
Обозначим г„(^)={(г,Л):ге М„ (/, ),[|г|| < e £>0- неко-
торое число.
Доказано, что на множестве ZДе) справедливы неравенства
где q„ > 0 - некоторое число, lim-^— = 0.
>0 £-' '
В §2 основное пространство представляется в виде прямой суммы трех подпространств. Задача нахождения решения системы дифференциальных уравнений сводится к задаче разрешимости операторных уравнений методом неподвижной точки. Получено необходимое и достаточное условие существования периодического решения исходной системы.
Пусть число й)0 такое, что у оператора В существует нулевое собственное значение. Множество всех натуральных корней уравнения
det¿{/t) = 0 обозначим через W = j^,^,...,^ j. Считаем, что при любом
к ePV матрица Цк) имеет жорданову форму. Тогда пространство М„{1\) представимо в виде прямой суммы трех подпространств Mп (/ ) = И/в(ЭИ/1 © IV2, где W^ - ядро оператора В, образованное собственными элементами Ль ..., hm оператора Ô, соответствующими нулевому соб-
ственному значению, IV является инвариантным подпространством оператора В, подпространство IV образовано элементами ... , g¡, которые
однозначно определяются свойствами оператора В.
В этом случае любой элемент хеМ„(1\) можно единственным образом представить в виде
т I
х=Рх + £$(х)/,\+Х>7.Ш (1.8*)
М у - I
где Р - оператор проектирования пространства Мп{1{) в подпространство £.(х),г/ (х) - линейные функционалы, определенные равенствами
£.(х) = -\xkdt, ц(х) = - ]х8Л, ф) = («?, Шг(х),...,{т (х)),
п о к о
4{х) = [г1,(х1т?2,(х),...,г]1{х)). (Если к = 0, то = ~ \хИ. ¿1,
1л о
I 2"
т] .(*) = ^ -Ж ■) Под произведением коэффициентов ряда понимается
1 0 '
скалярное произведение векторов.
Теорема 1.3. Если существует число > О такое, что при любом kt.IV ||/Уто оператор Я"1 на множестве линейный и ограниченный.
Теорема 1.4. При любом к <£ IV существует такое число с! > 0,что
Таким образом, условие теоремы 1.3 выполнено при любом ке1У. Теорема 1.5. Норма оператора Р равна I.
В §3 задача нахождения решения системы дифференциальных уравнений сводится к задаче разрешимости операторных уравнений методом неподвижной точки.
Учитывая вид решения (1.8*), можно убедиться, что система (1.5) равносильна системе:
Р(ЩХ,Л,Р)) = 0, (1.9)
ф(х,Л^))=0, ф(х,Л^))=0 (1.10)
Решение системы (1.9), (1.10) ищем во множестве М„(/1) в виде
х(а,/3)=Рх(а,0) + £а/Л1+£% , где а= (от,,..., а,п\р={ри ..., Д) -
определению, нормы которых ЦфшахЩ), ||/?|[=тах|/?||.
по-
_ , I ■ . ■ • ' ..... . ■. ....
1=1 1=1
стоянные векторы, подлежащие определению, нормы которых определя-
ются соответственно равенствами ж = гпах 1а
Из определения матрицы Цк ) и неравенства det L(k) * О при к е Nn следует, что равенство (1.9) можно записать в виде
z = - В'' p{cooK(X)x(a,ß)+ nA{l)x{a,ß) + {cuQ + nlc{x(a,ß),l) + D{x{a,ß),X)),( 1. П )
где z= Px(a,ß). Символом Г(а,р,A, /j) обозначим оператор, определяемый правой частью равенства (1.11). Очевидно, для любого self
Для краткости записей положим (s) = [а : |[д| < s],
A2{e) = {ß: ||Д|| < s}, A(s ) = {ä : Щ < е}, M (s) = {ц : < s}, Т(е) = {z : |3| < е}, do=2d0.
Теорема 1.6. Существует число £ > 0 такое, что при любых
s е (о,г ], аеД^г), /? е Д2(е), ЯеА(е), /ie М(е) оператор на множестве Т(е) имеет единственную неподвижную точку.
Далее будем предполагать, что число ff выбрано так, что для любого s е (о,^ j выполнены условия теоремы 1.6.
Замечание 1.3. На множестве Т(е) оператор Г(а,ДХ,/л) удовлетворяет условию Липшица с постоянной у.
Замечание 1.4. Если при а' eA^f), ß'eA^e), / = 1,2, Рх(а],/7'),Рх(а2,/?2) - неподвижные точки соответственно операторов ['{a,ß\Lfi), r(a2,ß2,l,fj) на множестве Т(е),то
\px(a\ß[) - Px(a\ß2)\ < -<f\ + í}P) -fl)-
Замечание 1.5. При доказательстве теоремы 1.6 была получена промежуточная оценка для оператора Г
|Г(а, ß,X,M)4 ¿ К* + 2<W*~' + Ч*"' )(И+ + № •
Положим z = 0 имеем
|Г(а,уМ,//)0|| < do(coo£ + 2a¡0q0e-1 +еА + е2+ fy^"1 )(Цаг| + ]|/ф. Учитывая последнее неравенство и то, что оператор F{a,ß,X,ß) удовлетворяет условию Липшица на множестве Т(е) , получим
d (со £ + 2(0 а гл~' + еА + е1 + 2а е" ) , -,
и«. п* т4г—; ° ,, : ; .>1+и)-
\~d(ü)£+2coae +еА + £ +2q £ ) Из теоремы 1.6 следует, что для того чтобы, x(a,ß) было решением системы (1.5), необходимо и достаточно, чтобы векторы а и ß удовлетворяли равенствам
£(я(х(а,р),Л,р)) = о, 77(л(х(а,/?),Я,^)) = 0, (1.12)
где Я{х{аф)Хи)=Вх{аф)- (ûQK{X)x(a,p)~ рАх{а,р)~ рК(Л)х{а,р)-со0С{х{а, pl Я) ~ рС.(х{а, р), Я) - + р)в(х{а,р\Л).
В главе 2 рассматривается задача разрешимости операторных уравнений (1.12). Найдены необходимые и достаточные условия существования ненулевых решений системы (1.12). Показано применение теории нелинейных векторных уравнений к вопросу существования ненулевых S-периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений.
В §1 рассмотрены операторные уравнения (1.12). Из свойств операторов Р, В следует, что систему уравнений (1.12) можно записать соответственно в виде
M ,0-Цл)а +С, (J (а, р\ЯК + О, (//) + о, (s' ) = 0, (2.4)
МгР~Кг(Л)р + С,{Ла,Р),Л)со11+01(р)+о1{£')=0, (2.5) где Mt,M, - постоянные матрицы, А",(л), А"г(л) - матрицы, зависящие от параметра Л, C(j(a,p)) - конечные суммы вектор-форм относительно
a,p,j(a,p)=£aA+£px,y = coloca, р).
Положим M =со/оп{МиМг), *<(Л)=со1оп(-К^-К^Л)),
C(j(a,j3), Л) = colon(c, {j(a,/3\ Л),С: (j(aj),À)), у = colon(a, Р),
0{p) = colon[0 00,о (р)), o(£') = colon{os{e'),о,(£')). Систему уравнений (2.4) и (2.5) запишем следующим образом
МР+ K^)y + C(j(a,P),Á)úJu+0(p) + o(£')=0. (2.6*)
Предположим, что rangM = г, 0 <г<1. Заменой переменных Р = Ф0 , где Ф - матрица, столбцами которой являются линейно независимые решения системы MP = 0. Последнюю сведем к системе
К{Л)у + Ср(а,ФД)Д>у„+01")+ о(Е')=0, (2.6)
в которой у={а,Р1).
В §2 определены условия существования ненулевого решения системы (2.6) в случае линейной зависимости К{Х) от Л. Учитывая, что C(j(a,p),À)cûu+o(£')=o(£'), и полагая у = ре, р> 0, е = \еа,е J, а = реа, Р( = ре у, систему (2.6) запишем в виде
рК(Х)е + 0(jLt) + о(е* ) = 0.
И, следовательно, в виде
р р
где матрица К'{е) определяется равенством К{Х)е = К' (е)л.
Введем обозначение £ = {е^е|=1}. Пусть е е Е такое, что rangK'{e'^=m + ¡:
К-(е-)Х + 9М + £к) = о. (2.7)
Р Р
Предположим, что минор порядка т + 1 расположен на первых т + 1 столбцах матрицы АГ*(е*). Тогда систему (2.7) можно записать так
К;{е)11 + К-2(е%+^+^ = 0, Р Р
где К
АГ,*(е*)— (т + /)х (р-(т + /))-матрица. Отсюда
\
Оператор Г определим равенством
р р ;
Теорема 2.1. Существуют положительные числа 3 такие, что при любых фиксированных Л2 |л2|<<5 р |м| <<$) оператор Г имеет неподвижную точку на множестве л1 <<у).
Фиксируем е' (о<£*<г), а* (а'|<£*), р\ м' ^
< г)'). Тогда существует / | < такое, что Г1* = Л*. Следовательно, выполнено равенство
где Л' = (л|Д2), у' = (а*,/?*), азначит и равенство
М0' + К(Х)у' + 0{/л') + о(е') = 0,
то есть х{а ,[! )=Лс(а - ненулевое решение системы
ы ' ' м ' '
(1.5).
Пример 2.1. Пусть дана система вида ат
~ = У>У, - ЪУг ~ Л,У, ~ *у2 - Л;у, + ЗЛ; + £ + Л;Л;, (2.8) ат
^ = -у2у, + 2у, - ЗЛ,у, + Л,у - 2Л, + 3Л,Л2. ат
Непосредственным вычислением установлены точки
&(л,л)=(4Л2,2-ЗЛ ,3 + Л+Л2), 0 (Л,Л)=(2Л.2-ЗЛ.З + Л+Л2) при
Л 1' 2/ V I' 2 2 2 \ I' 2' v 2 2' 2 I ' г
любых фиксированных Л,,/^ е Л(<50), являющиеся состояниями равновесия системы (2.8). Установлено, что в окрестности точки 0,(ДД2)=(4Л;,2-ЗД2,3 + Л2+^) система (2.8) имеет решение
у = 4Я,2 +o(f), у] =p'sin~T + 2-3A, +o(f), у\ = р' sin — г + 3 + Я, +
m ' ш
+ Д|+о(г), в окрестности точки #2(Я,Я2)= (2Я2,2-ЗЯ2,3 + Я2 + Я^) - ре-
2л
шение
у" = 2Я, + о(г), у" = р sin — г + 2- ЗЯ, + о(е),
О)
у" =р'sm^-T + 3 + Я2 + Я,2 +<?(£•), eo = -l= + fJ, (j,u|<(5), <5>0. со V6
В главе 3 изложен алгоритм нахождения необходимых и достаточных условий существования ненулевых решений системы.
В §1 рассмотрены условия существования ненулевого решения системы (2.6) в случае нелинейной зависимости К.(Л) от Я.
Пусть х = {7Л), н,(7,я)=к(я)г +С(7(а,ФД),Я>у„. Система (2.6) примет вид:
H,(/f)+ 0(¿i)+ o(s')=0, (3.2)
где Н,(2) - V-мерная вектор-форма относительно переменной х- Введем замену j = pe, р> 0, ееЕ, E={e:|e| = l}. Тогда, полагая £ = р, систему (3.2) сведем к системе
H(e)+9ÍíÚ + o(p)= 0. (3.5)
Р
Теорема 3.1. Если для любого ее Е Н,(е)^0, то существует окрестность точки х = 0 в которой нет ненулевых решений системы (3.5).
Далее предполагаем, что существует е е Е такое, что Н ,(е')= 0. Вектор-форму Н (е) представим равенством
Н,(е) = D(e' - е') + ¿ R(е',е - е'),
где о(е") - значение матрицы Якоби вектор-формы Н_(е), р(е',е-е') -
вектор-форма порядка /относительно е-е*. Положив в = е-е , систему (3.5) запишем в виде
0(е']д + ^Р,(е',в)+0(р)= 0. (3.6)
Í-2 '
Теорема 3.2. Если rangD(e')= г, г = т + 1, то система (3.6) имеет ненулевое решение в достаточно малой окрестности е .
В случае, когда г <т + 1. Систему (3.6) можно представить в виде
D'O + ± Р,{е\в)+ ^ + 0(p)= O,
-г ñr \ (3-9)
■ = 2 /Г
где D' - матрица размерности rx(m+ p), р(е',в), р{е*,в)- вектор-формы
порядка i, Iím0(p)=0, Imi0(/?)==O = = 0 при фик-
,.-.1) v ' />-.11 4 ' //->« p' //->0 p'
сированном Предположим, существование j<s такого, что
и для любого i< j Р.{е',в)=0. Тогда систему (3.9) перепишем следующим образом
D'O + t ñ (е. в) + ^ + б (р) = О,
2 - \ (ЗЛ0)
В системе (3.10) сделаем замену в = ри, р{ > 0, получим систему
Т(и)+р±Р!(е\р1м)+о^\,р,)+0{/1,рГ,р)+0(р,р) = Ъ, (3.12)
в которой T(u)=colon[p'u,P,(е',ufj, р ¿/'.'(е'.р ,м)=
¡--2 '
- coloríр, ¿ ¥{е ,р,,и),0I, o(ju¡, р,)=colorí*0,У\и\, р,)],
О (¿и,р" ,р,)= colon
'оМ о(//)'
Ф) 0(р) р, ' р
, C{p,pt) = colon РР P Pl) \
Пусть множество U = {" :|"[ = l}-
Теорема 3.3. Если для любого ueU т{ы)ф0, то в любой окрестности
точки х= 0 существует множество, в котором нет ненулевых решений
системы (2.6).
Далее предполагаем, что существует г/ е U такое, что /'(«') ==0. В окрестности точки и т(и) представим в виде:
f °'v ) ч / = . у
где d(u') - матрица Якоби, v = u-u'. Обозначим d(u')v = co!on{D'v, D(u')v), ¿Z, (и, v)= со/оя^О,^ L (u'.vjj. Отсюда система (3.12) примет вид
+ + (3.13)
М Р р,
Теорема 3.4. Если rangD{u')= т +1, то система (2.6) имеет ненулевое решение в достаточно малой окрестности х = 0 •
Пусть rangD(u')< т + /,, тогда построенный алгоритм поиска ненулевых решений в случае нелинейной зависимости К{Х) от Л может закончиться на конечном числе шагов, если:
1) матрица вновь полученной системы линейных приближений имеет ранг т+//, тогда система (1.1) имеет ненулевое периодическое решение;
2) вновь полученная система не имеет ненулевых решений в достаточно малой окрестности точки ^ = 0.
В противном случае, алгоритм продолжается неограниченно, и проблема нахождения периодического решения системы (1.1) не решается предложенным методом.
В §2 исследована математическая модель стабильной работы трех-секторной экономики. Предположим, что у - объем производственных фондов (объем сырья, трудоемкость, квалификация рабочих и др.), Л определяет внешние воздействия (уплата налогов, конкуренция, потребительский спрос и другие факторы), у - темп изменения фондов у, который пропорционален наличному объему фондов, регулярное обновление производственных фондов происходит за счет использования внутренних резервов и внешних инвестиций.
Под стабильной работой многосекторной экономики понимаем циклическое изменение производственных фондов экономики.
Экономическая задача состоит в определении условий, стабильного развития предприятия.
Математическая модель трехсекторной рассмотрена в виде
Ух = Л2У, + Л,У> + ¿<У:У> + ЛхЛ:У,У:У-.'
У: = У: + Л,Уг + ¿гУ,У: + А^УхУ'Уп (3-14)
у,=~у, + Л,у, + Л,у,у, + Л,Л2у,у:у,,
в которой у = {у\,У2,Уъ), Л = (Л,,/Ц) слагаемые Л , Лу2, ¿2У, характеризуют обновление производственных фондов, Л^у2у^, Л2у1у3, Л{у{у2, Л1Л2у1у2у, - дополнительные члены, которые отображают действие внешних воздействий и объемов производственных фондов.
Математическая задача формулируется так: определить условия существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений с параметром (3.14).
Предполагаем, что в некоторый момент времени известны количество наличных фондов производства ук = (3,2,0) и уровень внешних воздействий =(-2,0).
Непосредственным вычислением убедились, что Якобиан правой части системы (3.14) в стационарной точке (у0Д,) отличен от нуля. Методами, изложенными в работе, установлены условия существования периодического решения системы (3.14).
В результате исследования, определены условия стабильного развития многосекторной экономики при наличии внешних воздействий, найдены границы внешних воздействий, при которых многосекторная экономика развивается стабильно, определены условия циклического развития объема производственных фондов, оценка периода циклического развития фондов.
Рассмотрены численные примеры.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:
Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов исследования
[1]Терехин, М.Т. Исследование математической модели развития многосекторной экономики / М.Т. Терехин, С.А. Бельман // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. - 2006. - Вып. 18. -С.108 - 115.
[2] Бельман, С.А. О периодических решениях автономной системы дифференциальных уравнений с параметром / С.А. Бельман // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки,— 2008.- Вып.2.- С. 18-28.
[3]Бельман, С.А. Математическая модель стабильного развития многосекторной экономики / С.А. Бельман // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2008. - Вып.23 - С.86-90.
Статьи в сборниках научных трудов и тезисов докладов на научно-практических конференциях
[4] Ермакова, С.А. Исследование математической модели развития многосекторной экономики / С.А. Бельман // Тезисы докладов X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании «НИТ - 2005». -2005. - С.22.
[5] Бельман, С.А. Построение операторного уравнения для решения задачи существования периодического решения системы дифференциальных уравнений / С.А. Бельман // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета С.А.Есенина». - 2007. - Вып. 10. - С.З-6.
[6] Бельман, С.А. Математическая модель стабильно развивающегося производства / С.А. Бельман // Тезисы докладов XIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании «НИТ - 2008». - 2008. - Ч.И. - С.35-36.
[7]Бельман, С.А. Сведение проблемы существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений к проблеме разрешимости некоторого операторного уравнения / С.А. Бельман // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета С.А.Есенина». - 2008. - Вып.11. - С.3-8.
[8] Бельман, С.А. Об условиях существования ненулевого периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром / С.А. Бельман // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - 2008. - Вып.13. - С. 5-16.
[9] Бельман, С.А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений с параметром / С.А. Бельман // Труды Средневолжского математического общества.-2008. - Том 10. -№1.-С. 113-119.
[10] Бельман, С.А. Существование периодического решения системы дифференциальных уравнений с параметром / С.А. Бельман // Тезисы докладов XVI конференции серии «Математика. Компьютер. Образование», Пущино- 2009.-С. 18.
[11] Бельман, С.А. Поиск ненулевого решения автономной системы дифференциальных уравнений с параметром / С.А. Бельман // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - 2009. -Вып.14. -С. 5-16.
[12] Бельман, С.А. Об условиях существования ненулевых решений дифференциальных уравнений специального типа / С.А. Бельман // Современные проблемы математики, механики и их приложений, МГУ -2009.-С. 122-123.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ
- Определены необходимые и достаточные условия существования и отсутствия периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений с параметром.
- Разработаны методы отыскания условий разрешимости операторных уравнений, позволяющие устанавливать существование периодических решений системы дифференциальных уравнений с параметром.
- Определены условия существования ненулевого решения в случае, когда матрица линейного приближения зависит от параметра в первой и более высокой степени.
В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору М. Т. Терехину за руководство, помощь в работе и всестороннюю поддержку.
и
Бельман Светлана Александровна
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Подписано к печати 13.04.2011 Формат бумаги 60x84 1/16 Печать офсетная Объем 1,25 п.л. Заказ №75
Тираж 100 экз. Бесплатно
Отпечатано в рекламной мастерской «Контур» г. Рязань, ул. Семена Середы, д. 29 корп.1. Тел.: (4912) 228-238
Введение.
Глава 1. Необходимые условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений.
§1.1. Основные определения и вспомогательные результаты.
§1.2. Разбиение пространства М на прямую сумму.
§1.3. Сведение задачи нахождения периодического решения системы дифференциальных уравнений к разрешимости операторных уравнений.
Глава 2. Разрешимость операторных уравнений для определения условий существования периодических решений системы дифференциальных уравнений.
§2.1. Разрешимость системы операторных уравнений (1.12).
§2.2. Условия существования ненулевого решения системы (2.6) в случае линейной зависимости К{Х) от Я.
Глава 3. Достаточные условия существования ненулевых решений системы
2.6).
§3.1. Условия существования ненулевого решения системы (2.6) в случае нелинейной зависимости К^Л) от Я.
§3.2. Математическая модель стабильной работы трехсекторной экономики
Актуальность темы. В данной работе рассматриваются автономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра. Задачей исследования является определение условий существования периодического решения системы с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа.
Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем теории дифференциальных уравнений. Важность ее обусловлена потребностью практики, поставившей задачу определения условий существования таких решений для нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения широко используются для изучения процессов, происходящих в физических, химических и биологических системах [2, 6, 22, 27, 33, 44, 51, 52]. В частности, системы дифференциальных уравнений с параметром исследуются при анализе экономических моделей. Теория периодических решений позволяет определять условия появления колебательных режимов в этих системах, выяснять характер колебаний, период которых заранее неизвестен.
Такое широкое разнообразие применения теории периодических решений вызывает дополнительный интерес к более глубокому исследованию проблем существования периодических решений систем дифференциальных уравнений, к поиску методов исследования этих проблем.
В случае нелинейных систем дифференциальных уравнений недостаточно изучены условия существования решений, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы. Требует более глубокого рассмотрения вопрос о влиянии параметра на свойства нелинейных систем дифференциальных уравнений, особенно для систем, линейное приближение которых зависит от параметра. В этом случае нельзя построить традиционным способом [8, 11, 18, 24, 54, 55, 74, 75] оператор, который преобразовывал бы периодическую функцию в периодическую. Необходимы методы определения условий существования периодического решения у таких систем дифференциальных уравнений при новых предположениях относительно свойств ее правых частей.
Таким образом, проблема определения условий разрешимости периодической задачи нелинейных систем дифференциальных уравнений с параметром является важнейшей на современном этапе развития математической науки.
Исходя из вышеперечисленного, можно сделать вывод, что определение условий существования периодического решения системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа, является достаточно важной задачей. Все это подтверждает актуальность диссертационной темы.
Цель работы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
0.1) ат в которой у еЕ^, Я е Е , Я - параметр, у/(у,Я) - конечная сумма вектор-форм относительно у, X. Предполагаем, что в некоторой точке [у0>Л ) у^у ,Л )=0, система уравнений у/{у,Я)-0 имеет решения у = 0.(Я), / е {1,2,.,г}, г> 1, Уъ=6,{Я0) такие, что ц/[в (Л),Л)=0, и в окрестности точки в1 (Я) справедливо представление я)=А- {в, (я), Я)(у - 0, (я))+с; (в, (Я), Я,у - в1 (Я))+/У (в, (Я), Я, у- в (я)), где С* (в. (Я), Л,у - &.(Л)) - форма порядка ^ > 1 относительно переменных у-в.[}I), Я, 0*(в{Я\Я,у- Ф))
- конечная сумма форм порядка более высокого, чем s, относительно тех же переменных, С*[в.{Я),Я,0)= 0, п*(<э.(л),л, о)=о.
Ставится задача - определить условия существования со -периодического решения системы (0.1). При этом с5 принадлежит окрестности некоторого известного числа.
Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Теория периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений разработана в классических трудах А.Пуанкаре [61] и А.М. Ляпунова [47], H.H. Боголюбова [И], в новейших исследованиях современных отечественных и зарубежных математиков [34, 74, 75, 81-87]. Отметим работы В.В. Немыцкого, В.В. Степанова [56], И.Г. Малкина [48, 49], В.А. Плисса [59], М.А. Красносельского [35], исследовавших общие вопросы существования периодических решений систем, A.A. Андронова [4, 5], изучавшего динамические системы на плоскости, а также работы Е. Хопфа, Дж. Хейла [77], H.A. Бобылева [9, 10], С. А. Вавилова [18, 19], Ю.В. Малышева [50], М.Т. Терехина [67-69] и других авторов [3, 17, 57, 58, 63, 64, 85, 87].
Рассмотрим основные методы исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений. Для изучения систем, содержащих малый параметр, А. Пуанкаре, А.М. Ляпуновым был предложен метод малого параметра.
Метод малого параметра был впервые использован А.Пуанкаре в его работах по небесной механике для интегрирования нелинейных уравнений [61]. Идея метода основана на том, что периодическое решение исходной нелинейной системы должно быть близко к одному из периодических решений соответствующей консервативной системы. Последнее решение называется порождающим. Основная задача метода малого параметра в большинстве практических случаев состоит в нахождении порождающего решения и определении малых поправок к нему. Данный метод был развит в работах их последователей [47-50, 52, 74, 75].
Асимптотический метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики для получения приближенных аналитических решений весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений. Наиболее доступными для исследования этим и другими аналогичными методами являются системы с малой нелинейностью.
В книге H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [11] для исследования нелинейных систем широко используется метод усреднения. Он состоит в следующем: исходное уравнение заменяется усредненным, более удобным для исследования. При этом должно соблюдаться важное условие: усредненное уравнение должно описывать главные черты исследуемого процесса.
Для исследования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений общего вида используются функционально-аналитические методы [53, 59], которые базируются на топологических понятиях теории непрерывных отображений и теории ветвления.
Изучению периодических решений для различных классов нелинейных систем дифференциальных уравнений посвящены также работы Дж. Хейла [77].
В книге Самойленко A.M., Ронто Н.И. [65] предложены численно-аналитический метод последовательного периодического приближения, позволяющий для нелинейной системы дифференциальных уравнений исследовать существование периодического решения, построить и оценить погрешность приближенного решения. Метод тригонометрических полиномиальных приближений, как и численно-аналитический метод последовательных периодических приближений, позволяет решать периодические краевые задачи для нелинейных систем дифференциальных уравнений вида
У = vit, у), где y/{t,y) — T - периодическая по t вектор-функция, у,у/ gR". Этот метод дает приближенную схему нахождения Т - периодического решения, и исходя из приближенного решения, имеющего вид тригонометрического полинома, позволяет решить вопрос о существовании точного Т - периодического решения.
На основе метода последовательных приближений был предложен ряд итерационных схем исследования периодических решений [65, 66], с помощью которого удается получать аналитическое представление решений большого класса линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. Предложен метод последовательных тригонометрических приближений для исследования периодических решений.
Численно-аналитические методы открыли перспективы дальнейшего развития конструктивных методов, позволяющих одновременное построение и нахождение условий существования решений периодических задач.
Рассмотрим подробнее некоторые работы, в которых период искомого решения является переменной величиной.
Так, в работе С.А. Вавилова, C.B. Юхневича [19] рассматривается система х = Ах + /иС(х, /j). (0.2)
Предполагается, что невозмущенная система х = Ах имеет периодическое решение периода р* и исследуется вопрос о существовании периодического решения системы (0.2) при всех достаточно малых значениях параметра /л. Период искомого решения p(ju) удовлетворяет условию lim p(fj) - р = 0. Система исследуется путем построения операторных уравнений и применением метода итерации при нахождении решения и периода p(ju).
Аналогичная задача рассматривается в работе [20], причем предполагается аналитичность нелинейного возмущения по jc и //.
Система (0.2) при условии, что характеристическое уравнение невозмущенной системы х = Ах имеет кратные корни, исследуется в работе A.A. Бойчука [13]. Используется разработанный автором метод решения краевых задач [12]. Отыскивается периодическое решение с периодом, близким периоду решения порождающей (невозмущенной) системы. Отметим, что если в качестве порождающего решения взять нулевое решение системы (0.2), то доказывается, что единственным периодическим решением в работах [13, 19, 20] является нулевое решение.
В работе А.Д. Брюно [17] для исследования автономных систем предлагается метод нормальных форм. С его помощью система преобразуется к интегрируемой системе или к системе, имеющей более простой вид, при этом требуется определить вид нормализующего преобразования.
Несколько работ посвящено исследованию неавтономной системы вида x + Ax + f{t,x,Ä) = 0. (0.3)
В работе В.Н. Лаптинского [42] методом сжатых отображений определены условия существования периодического решения такой системы в виде тригонометрического полинома с наперед заданным числом гармоник и остаточным членом. В работе [43] тем же автором методом последовательных приближений без использования свойств фундаментальной матрицы системы линейного приближения доказана теорема о существовании и единственности периодического решения.
Методом последовательных приближений в работах E.H. Розенвассера [62, С. 357] и JI. Чезари [78, С. 202] доказано существование периодического решения системы (0.3) в виде суммы тригонометрического полинома и остатка ряда, коэффициенты полинома определяются как решение трансцендентного уравнения.
В работах [26, 53, 63] изучение условий существования и единственности периодических решений основывается на исследовании вопросов существования и знакопостоянства функции Грина.
В работе [70] рассматривается система вида х + A{t)х + C(t, х) + D{t) = 0, в которой предполагается, что A{t), С(/,х), D{t) — периодические по t. Исследуется вопрос о существовании периодического решения на основе проекционно-функционального метода, изучены вопросы локализации этого решения, получены условия существования и единственности периодического решения в заранее заданном виде.
Вопрос о существовании периодического решения системы, линейная часть которой зависит от параметра, исследовался гораздо меньше. Отметим работы, посвященные дифференциальным уравнениям с выделенной линейной частью.
Изучению дифференцально-алгебраических уравнений посвящено несколько работ Ю.Е. Бояринцева [14-16]. Так, в работах [14, 16] исследуются системы х + A(t)x + C(t) = 0 с непрерывной матрицей A(t). На решения Р накладываются дополнительные условия J(^cr(1s,))£)(>s,)x(^) = а, где а - заа данный вектор, D(s) — заданная матрица с непрерывными на [а, р\ элементами, <t(s) - заданная матрица, элементы которой суть вещественные на [а, р\ функции с ограниченной полной вариацией, интеграл рассматривается в смысле интеграла Стилтьеса.
В работе П.А. Шаманаева [79] формулируются достаточные условия приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных, к линейной системе с постоянной матрицей. Тот же автор в работе [80] формулирует достаточные условия приводимости системы х - A(t)x + Dx + f (t, x, x) к системе у = B(t)y, где
B(t) = {E — О)'1 A(t).
M.A. Красносельский в своих работах [35] применяет метод неподвижной точки оператора по траекториям исходной системы дифференциальных уравнений для определения условий существования периодического решения.
В работе Кубышкина Е.П. [38] изучается вопрос о существовании периодических решений системы х = А(Я)Х + С(х, Я) в окрестности нулевого решения в предположении, что матрица Л(о) имеет чисто мнимые собственные значения.
Король И.И. в работе [34] предложил алгоритм исследования существования и построения периодического решения системы x = P{t)x + g(t,x), P(t) = где x е R2,t е R, t e R2 ,p{t) — непрерывная ¿y-периодическая функция, g{t, x) : (t, x) e R x {x : r < |x| < /?} - непрерывная со -периодическая функция по t.
Кенжебаев К.К. [31, 32] рассматривает вопрос о существовании а> -периодического решения системы дифференциальных уравнений вида x = A(t)x + Àf(t,x) + g(t) с ¿у-периодической по t правой частью. Также изучается вопрос о существовании ¿у-периодического решения системы дифференциальных уравнений x = {p{t) + Q{t))x + f{t,x), где xeRn, P{t),Q{t) - ¿у-периодичные матричные функции, предполагается, что фундаментальная матрица системы ф = P{t)(p также со - пе
0 pit) -pit) 0 • риодична. Получены условия существования, единственности и найден итерационный алгоритм построения со - периодического решения исходной системы.
Diblik Josef, Svoboda Zdenek [82] сформулировали критерий существования положительных решений дифференциально-функциональных уравнений у = f[t,y) в виде системы интегральных неравенств. Функция yt представляет собой функцию специального типа.
Куфаевым Б.Ф. [41] указаны условия существования обобщенного решения дифференциальных уравнений вида у = у/{х,у'\ разрешенных относительно неизвестной функции.
Li Y., Chen Н., Hou X. [83] изучали дифференциальное уравнение типа Дуффинга с неавтономной периодической частью и малым периодическим неавтономным возбуждением. Установили факт ветвления периодических решений такого уравнения.
Дуллиевым A.M. [25] исследуется решение автономного дифференциального уравнения, правая часть которого содержит малый параметр X. Показано, что если известно решение некоторого более простого уравнения и выполнены некоторые условия, то приближенное решение исходного уравнения может быть найдено с помощью видоизмененного метода последовательных приближений с погрешностью порядка о(Л) на интервале времени ДГ-1/Я.
В работе Sinha S.C.[86] приводятся методы упрощения (с точки зрения вычислений) нелинейных систем вида x = + f(x,t). Такая параметрически возбужденная система сводится к системе более низкого порядка.
Терехин М.Т. [67-69] и его ученики [1, 7, 28, 29, 39, 40, 45, 54, 55, 74, 75] занимаются проблемой существования периодических решений систем дифференциальных уравнений и проблемой бифуркации этих систем. В работе [69] рассматривается система вида
8х + Ах + /(/,х,Л) = О, в которой А - постоянные матрицы, матрица £ в общем случае может быть особенной, /(г,х,Я) - 2к -периодическая по ? вектор-функция, Л -параметр. Получены условия существования ненулевого периодического решения.
Баева О.В.[7] изучала проблему существования периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае, когда матрица А зависит от параметра Л и имеет чисто мнимые собственные значения.
Методика исследования. Отыскание решений нелинейных систем дифференциальных уравнений проводится в окрестности состояния равновесия, положение которого в пространстве зависит от параметра. Путем замены переменной поиск «-периодического решения системы (0.1) сводится к поиску 2и-периодического решения некоторой измененной системы. Решение полученной системы ищется в виде тригонометрического ряда. Методом разбиения основного пространства на три подпространства, используя метод сжатых отображений, устанавливается соответствие между 2ти-периодическим решением системы и решением операторных уравнений.
Проблема существования периодического решения операторных уравнений сводится к проблеме разрешимости нелинейного операторного уравнения. Исследование нелинейного операторного уравнения проводится с помощью оценки норм членов вектор-форм и метода неподвижной точки. Доказательство теорем о существовании периодического решения системы дифференциальных уравнений (0.1) проводится методом сжатых отображений.
Содержание работы. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов, полученных другими авторами, приводится методика исследования, краткое содержание работы и апробация результатов.
Диссертация состоит из трех глав. Первая глава содержит основные определения и вспомогательные результаты, необходимые для исследования системы (0.1), находятся условия существования периодических решений этой системы. С помощью замены переменных, вопрос о существовании со -периодических решений системы (0.1) сводится к вопросу о существовании 2я:-периодических решений системы вида
Я(х, Л,/л) = х- ¿у0 Ах - ¿у0К(Я)х - со0С(х, Л) - соаО(х, Л) - ^ ^
- //Ах - /Ж.(Л)х - //С(х,Л) - /Ю(х, Л) = 0, где <£> = 2л:а>0 + 27Г/2. Число соо считаем известным, ¡1 - некоторый параметр.
Решение системы (0.4) ищется в пространстве Мп тригонометрических рядов вида
00 х = а0+^аксо5И + Ькз'тИ, (0-5) к=1 где а0, а^ Ь* - и-мерные векторы. Путем разбиения пространства Мп на три подпространства получены условия существования периодических решений системы (0.1).
В §1.1 дается определение 2л-периодического решения системы (0.4) и соответствующего ©-периодического решения системы (0.1). На множестве Мп введены различные операции и рассмотрены свойства оператора В, определяемого равенством Вх = х - щАх ■ Для оператора В на множестве
Мп введены понятия собственного элемента и собственного значения. В теореме 1.1 доказано, что оператор В обратим на множестве Мп при условии отсутствия у него нулевого собственного значения. В теореме 1.2 доказано необходимое и достаточное условие существования собственного элемента, соответствующего нулевому собственному значению оператора В. Рассмотрено пространство Мп{1{) рядов вида (0.5), коэффициенты которых удовлетворяют условию {а.а ,Ъ ,bt ,.)е/,, доказаны некоторые свойства
0 11 к к 1 этого пространства. Оценены нормы вектор-форм порядка более высокого, чем 1.
В §1.2, используя свойства оператора В = х - coqAx , строится разбиение пространства Мп на три подпространства, одно из которых содержит бесконечную часть ряда (0.4), а другие - конечную.
В §1.3 для определения условий существования периодических решений системы (0.1) строится система операторных уравнений. Определены необходимые и достаточные условия существования периодических решений системы (0.1).
В данной работе, по сравнению с работами [8, 9, 10, 11, 57, 58], матрица А(Л) в системе (0.1) зависит от параметра Я, это позволяет получить новые достаточные условия существования периодических решений системы (0.1).
В отличие от работы [35] рассматривается уравнение с параметром Яе.Ер. В диссертации рассматриваются нелинейные системы, в то время как в работах [19, 26] рассматриваются линейные системы. В отличие от работ [10, 83] период решения не является фиксированным. В работе [69] исследуется неавтономная система, при этом период решения является фиксированным, в то время как в диссертации исследуется автономная система с переменным периодом.
В работе С.А. Вавилова, C.B. Юхневича [19], изучается вопрос о существовании периодического решения при достаточно малых значениях параметра /л, а в предложенном исследовании период лежит в окрестности некоторого известного числа. В работе [18] период искомого решения р(/л) удовлетворяет условию lim p{ju) — р = 0, в диссертации выполнение этих О условий не требуется.
Вторая глава посвящена определению достаточных условий отсутствия и необходимых условий существования решения построенной системы операторных уравнений я(х(а,/3\Л,м)) = 0, 7](я(х(а,ß),Л,//)) = 0. (0.6)
С учетом результатов, полученных в ходе исследования, в §2.1 задача разрешимости системы (0.6) сводится к поиску решения нелинейного уравнения
Mß + К(Л)у + C{j{a, ß))(ü0 + О {¡и) + о(е1) = 0, (0.7) где М - (га + /)х /-матрица, К{Х) - матрица, зависящая от параметра Л, C(j(a,ß)) — конечная сумма вектор-форм относительно переменных a,ß , со > 0 - некоторое фиксированное число, lim0(//) = 0, lim^ = 0,
О >0 gs у = colon(a,ß).
В работах же [26, 53, 63] изучение условий существования и единственности периодических решений основывается на исследовании вопросов существования и знакопостоянства функции Грина.
§2.2 содержит исследование по проблеме существования и отсутствия решения уравнения (0.7) в предположении, что К(Л) линейно зависит от параметра Л. Установлены достаточные условия отсутствия и необходимые условия существования ненулевых решений системы (0.7). Приводится численный пример.
В третьей главе рассмотрена задача разрешимости уравнения (0.7) в случае нелинейной зависимости К{Л) от параметра Л. В §3.1 предложен алгоритм нахождения необходимых и достаточных условий существования ненулевых решений системы (0.7), основанный на применении теоремы Боля -Брауэра о неподвижной точке непрерывного оператора. В §3.2 исследована математическая модель стабильной работы трехсекторной экономики. Определены условия существования единственного периодического решения в предположении, что = 0, и Якобиан правой части в стационарной точке отличен от нуля.
Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [56, 60, 76], по функциональному анализу — из [30, 36, 46, 72], по линейной алгебре - [21, 23, 37], по тригонометрическим рядам -из [71,73].
На защиту выносятся следующие положения:
1. Определение необходимых и достаточных условий существования и отсутствия периодических решений системы дифференциальных уравнений (0.1).
2. Методы отыскания условий разрешимости операторных уравнений, позволяющие устанавливать существование периодических решений системы дифференциальных уравнений (0.1).
3. Определение условий существования ненулевого периодического решения в случае, когда
- К (Л) линейно зависит от параметра Л;
- К{Л) нелинейно зависит от параметра Л.
Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на
1. Заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете им. С.А. Есенина.
А также на следующих конференциях:
2. X, XIII Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанском государственном радиотехническом университете, 2005, 2008г.;
3. VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранск, 2008г.;
4. XVI конференции серии «Математика. Компьютер. Образование», в г. Пущино, 2009 г.;
5. Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в Тульском государственном университете, 2009г;
6. Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» в МГУ, 2009г.
Основные результаты исследования опубликованы в работах [88-99].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе рассматривается система дифференциальных уравнений вида
--ИуЛ (0.1) ат в которой у<=Еп, Я е Е , X — параметр, у/{у,Я) - конечная сумма векторформ относительно у, X. Предполагается, что в окрестности некоторой фиксированной точки 6t (X) справедливо представление у/(у,X) = A* {e¡ (Х)л\у - в1 (Л)) + С* (в. (Я),Я,у - в. (Я)) + D [в1 (Я), Я,у - <9 (Я)), где С* [в (Я), Я, у- в (Я)) - форма порядка 5 > 1 относительно переменных у, Я, 0*(&.(Я),Я,у-&.(Л)) - конечная сумма форм порядка более высокого, чем s, относительно тех же переменных, С*[б.{Л),Я,0)=0, £>*(#.(Я),Я,о)= 0 .
Целью работы является определение условий существования периодических решений данной системы. При этом период решения со находится в окрестности заданного числа.
Основным методом исследования является метод представления пространства в виде прямой суммы подпространств.
Условия существования периодического решения определены условиями разрешимости операторного уравнения
МР + К{Я)у + С^(а,р),Я)со0 +0(m) + o(ss) = 0, в котором М, К{Я) - матрицы, C(j(a,/?)) - конечная сумма вектор-форм относительно переменных у = colon(a,p), lim0(//) = 0. у—>о
В случае линейной зависимости К(Я) от параметра Я установлены условия существования ненулевых решений системы. Предложен алгоритм нахождения необходимых и достаточных условий существования ненулевых решений системы при нелинейной зависимости К(Х) от параметра Я.
Рассмотрена математическая модель стабильной работы трехсекторной экономики. Изложены условия существования единственного периодического решения в предположении, что Якобиан вектор-функции ц/(у,Л) в стационарной точке отличен от нуля.
1. Абрамов В.В.Устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае.// Изв.РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006 №10 -С.5-9.
2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.- 157 с.
3. Андрианова Е.В. Бифуркации периодических решений с кратными собственными числами. Автореф. дис. на соискание уч. степ. канд. физ. мат. наук. Санкт-Петербург. 1993. - 13 с.
4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз.- 1959. 519с.
5. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука. — 1967. — 488с.
6. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. — М.: МЦНМО.-2000. 32 с.
7. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. Л.: Изд-во ЛГУ. - 1991. - 143 с.
8. Бобылев H.A., Булатов A.B., Коровин С.К., Кутузов A.A. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. - №1. - С. 3-8.
9. Ю.Бобылев H.A., Коровин C.K. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. №3. - С. 301-306.
10. П.Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматиз. - 1955.- 447 с.
11. Бойчук A.A. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев.: Наук, думка. 1990. - 96 с.
12. Бойчук A.A., Журавлев В.И., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42.№9.-С.1180- 1187.
13. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1988.
14. Бояринцев Ю.Е. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений неразрешимых относительно производных. — В кн: Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Отв. ред. Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск. - 1982. - С.5-19.
15. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1980. - 225 с.
16. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979. - 253 с.
17. Вавилов С.А. Критерий разрешимости резонансной периодической задачи в теории нелинейных колебаний // Докл. АН СССР. 1990. -Т.312. - №4. - С.787-790.
18. Вавилов С.А., Юхневич C.B. О периодических решениях автономных систем // Изв. Вузов. Математика 1992. - №9. - С. 13-15.
19. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. - 1969. - 528 с.
20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. - 1988. - 552 с.
21. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир. -1986.-152 с.
22. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. - 1971. -271 с.
23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука.- 1967.-472 с.
24. Дуллиев A.M. Один частный случай метода последовательных приближений для автономных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр.// Дифференциальные уравнения. 2005.41, №3 - С.408-410.
25. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.- Минск: Изд-во АН БССР 1963. - 272 с.
26. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. -М.: Наука. 1978. - 308 с.
27. Ивличев П.С. Условия существования .периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с линейной частью, матрица которой имеет нулевые собственные числа. // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. - № 6. - С. 41-48.
28. Ивличев П.С. Условия существования периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с нулевой матрицей линейного приближения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. - № 6. - С. 48-55.
29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. -1984.-572 с.
30. Кенжебаев К.К. О периодических квазилинейных системах// Аналитические методы анализа и дифференциальные уравнения. Тезисы докладов международной конференции, Минск, 4-9 сентября, 2003. Минск: Изд-во Ин-та мат-ки НАН Беларуси. - 2003. - С.87.
31. Кенжебаев K.K. К задаче отыскания периодических решений квазилинейных систем// Дифференциальные уравнения и нелинейные колебания. Тезисы докладов международной конференции, Киев, 27-29 серпня, 2001. Киев: Изд-во ИМ HAH Украины. - 2001. - С. 65.
32. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ. - 1998. -245 с. Коломина
33. Король И.И. О периодических решениях одного класса систем дифференциальных уравнений// Укр. матем. журнал — 2005. 57. - №4. -С. 483-495.
34. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. 1962. - 457 с.
35. Крейн С.Г. Функциональный анализ. М. Наука. - 1972. —356с.
36. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. 1965. - 431 с. 33.
37. Кубышкин Е.П. Бифуркация периодических решений в критическом случае двух пар чисто мнимых корней при наличии., старших резонансов// Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22. - № 10. - С. 1693-1697.
38. Купцов М.И. Инвариантный тор системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения: Сб. научных трудов. -Рязань. 1995.-С. 94-99.
39. Купцов М.И К вопросу существования периодических решений у некоторого класса систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения: Сб. научных трудов. Рязань. - 1996. -С. 76-86.
40. Куфаев Б.П. Обобщенное решение дифференциальных уравнений вида у = /(х,У)//Вестник Томского государственного университета. 2003 -№280- С.55-57
41. Лаптинский В.Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. -№8. - С.1335-1343.
42. Лаптинский В.Н. Фурье—аппроксимация периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1985. -Т.21. -№11. С.1899-1904.
43. Лискина Е.Ю., Митюнина Е.В. Исследование математической модели социально-политического управления// Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. - №11. - С. 141-149.
44. Лукьянова Г.С. Существование и единственность решений систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, с особенной матрицей при производных./ Ряз. гос. пед. ун-т. — Деп. в ВИНИТИ 25.09.98, №2856-Рязань. 1998.- 14с.
45. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука.- 1965.-510 с.
46. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат. - 1950. - 471 с.
47. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. - 1949. - 244 с.
48. Малкин И.Г. Некоторые задачи нелинейных колебаний. М. - 1956.
49. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова// Дифференциальные уравнения. 1989. - Т.25. - С. 212-216.
50. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. -М.: Мир.-1983.-397 с.
51. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука. - 1973.-512с.
52. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания,- М.: Наука. 1975. - 248 с.
53. Моисеев Д.С. Ненулевые периодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений специального вида// Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз.гос. пед. ун-т. — Рязань: Изд-во РГПУ. 2004. - С.68-72.
54. Моисеев Д.С. Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений специального вида// Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ. 2004. -С. 33-34.
55. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. -М.: Гостехиздат. 1949. - 550 с.
56. Панфилова Т.Л. О периодических решениях автономных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (качественная теория): Сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ. - 1997. - С.61-65.
57. Панфилова Т.Д. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с параметром // Дифференциальные уравнения (качественная теория): Сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ. - 1997. - С.66-69.
58. Плисс В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. - Т. 137. - №5.- С. 1060-1073.
59. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. - 1974.-332 с.
60. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука.- 1971. - Т. 1.-771 с.
61. Розенвассер E.H. Колебания в нелинейных системах. М.: Наука. — 1969.-576 с.
62. Рябов Ю.А. Оценка области сходимости периодических рядов-решений дифференциальных уравнений с малым параметром. Случай отсутствия резонанса // Изв. Вузов. Математика. 1959. - №2. - С.202-212.
63. Рябов Ю.А. Об одном способе нахождения оценки области сходимости периодических рядов решений квазилинейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Резонансный случай // Изв. Вузов. -Математика. - 1962. - №6. - С.108-118.
64. Самойленко A.M., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач. Киев: Наук, думка. - 1985. -224
65. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука. - 1987.
66. Терехин М.Т. Бифуркации систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей.- 1989.-87 с.
67. Терехин М.Т. К теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. 1984. - Т.36. - №5. -С.666-669.
68. Терехин М.Т. Ненулевые периодические решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т.39. - №12. -С.1645—1653.
69. Титов В.Л. Периодические решения полулинейных дифференциальных систем// VIII Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. Минск: Изд-во ИМ НАНБ - 2000. - С. 161.
70. Толстов Г.П. Ряды Фурье. -М.: Наука. 1980.-381 с.
71. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. - 1980. - 495 с.
72. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. - 1966. - Т.З. - 656 с.
73. Усачев Ю.В. К вопросу о периодических решениях автономной системы дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения (качественная теория): Межвузовский сборник научных трудов/Ряз. пед.ун-т. Рязань. - 1994. - С. 125-135.
74. Усачев Ю.В. Рождение периодических решений системы дифференциальных уравнений// Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. - № 10. - С. 67-72.
75. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. — 1980.- 720 с.
76. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах — М.: Мир. 1966. - 230 с. 78.Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решенийобыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. - 1964. -477с.
77. Шаманаев П.А. О задаче приводимости систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 1999. -2. - № 1. - С. 115-116
78. Шаманаев П. А. Достаточные условия приводимости систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 2002. 3—4. - №1. - С.319— 321.
79. Сао Jinde, Li Qiong, Wan Shidong. Periodic solutions of the higher-dimensional non-autinimous systems// Appl. Math, and Comput. 2002. — 130. -№2-3,-c. 369-382.
80. Diblik Jozef, Svoboda Zdenek. An existence criterion of positive solutions of p-type reparded functional differential equations. Math.2002. №2 - P.315-331.
81. Li Y., Chen H. Exact multiplicity for periodic solutions of Duffing type.Math and Appl.2003 -№1 -C.115-124.
82. Liang J., Liu Y. Periodic solutions to singular nonlinear systems // Huanan ligong daxul xuebao. Ziran kexue ban-J.S. China Univ. Technol. Natur. Sci.- 1996. 24. - №5. - P.74-78.
83. Popescu M. Periodic solutions for nonlinear differential systems of equations with small paramener // Nonlinear Anal. 2003. - 52. - №2. - P.535-544.
84. Sinha S.С. Order réduction of parametrically excited nonlinear systems.//Nonlinear Dyn.2005.41-№l,3-c.237-273.
85. Xiang Ziqui, Tang Renhan. Periodic solutions of some higher order nonlinear periodical system // Hunan. Ann. Math. 1992. 12. - № 1-2. - P.56-61.
86. М.Т.Терехин, С.А.Ермакова. Исследование математической модели развития многосекторной экономики. Вестник РГРТА. Вып. 18, Рязань, 2006-с.108- 115.
87. Бельман С.А. Построение операторного уравнения для решения задачи существования периодического решения системы дифференциальных уравнений// научный журнал «Аспирантский вестник^- РГУ С.А.Есенина». Вып. 10, Рязань, 2007 с.3-6.
88. Бельман С.А. Об условиях существования ненулевого периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений спараметром // Известия РАЕН «Дифференциальные уравнения» Вып. 13, Рязань, 2008-с. 5-16
89. Бельман С.А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений с параметром// Труды Средневолжского математического общества, Том 10, №1, Саранск, 2008 с. 113-119.
90. Бельман С.А. Математическая модель стабильного развития многосекторной экономики // научный журнал «Вестник РГРТУ». Вып.23, Рязань, 2008 с.86 - 90.
91. Бельман С.А. Существование периодического решения системы дифференциальных уравнений с параметром // Тезисы докладов XVI конференции серии «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2009 С.18.
92. Бельман С.А. О периодических решениях автономной ' системы дифференциальных уравнений с параметром // «Известия ТулГУ». Естественные науки.Вып.2. Тула:Изд-во ТулГУ, 2008. - с. 18-28.
93. Бельман С.А. Поиск ненулевого решения автономной системыдифференциальных уравнений с параметром// Известия РАЕН
94. Дифференциальные уравнения» Вып. 14, Рязань, 2009 с. 5-16
95. Бельман С.А. Об условиях существования ненулевых решений дифференциальных уравнений специального типа// Современные проблемы математики, механики и их приложений. МГУ, 2009- с.122-123.
