Существование ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Баева, Ольга Владимировна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Рязань
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Баева Ольга Владимировна
УДК 517 925
СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕНУЛЕВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Ярославль 2007
003062654
Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного университета имени С.А Есенина
Научный руководитель1
доктор физико-математических наук, профессор Терехин Михаил Тихонович
Официальные оппоненты.
доктор физико-математических наук, профессор Колесов Андрей Юрьевич
доктор физико-математических наук, профессор Зейфман Александр Израилевич
Ведущая организация
Тульский государственный университет
Защита состоится «28» мая 2007 г. в 16 час 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.002 02 в Ярославском государственном университете имени П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова
Автореферат разослан « апреля 2007 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Иродова И П
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В настоящей работе рассматривается неавтономная нелинейная система дифференциальных уравнений с параметром. Изучается вопрос существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений, правая часть которой является Г - периодической функцией по независимой переменной и содержит параметр.
Теория периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений была разработана в классических трудах А Пуанкаре и A.M. Ляпунова, НН Боголюбова, ЮА. Митропольского Значительный вклад также внесли А А. Андронов, A.A. Витг, ИХ. Малкин, М А Красносельский, В.А Плисс, Ю.Н. Бибиков, Н X. Розов, Е.П. Кубышкин, А Ю. Колесов, А А Бойчук, А Д Брюно, С.А Гребенников, Ю А. Рябов, А М. Самойленко и другие математики
Внимание исследователей к теории периодических решений обусловлено потребностью практики, поставившей перед учеными задачу определения условий существования таких решений для нелинейных систем дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования процессов, происходящих в экономических, физических, химических и биологических системах, в частности, теория периодических решений позволяет определять условия появления колебательных режимов в этих системах.
Такое широкое разнообразие применения теории периодических решений вызывает дополнительный интерес к более глубокому исследованию проблем существования периодических решений систем дифференциальных уравнений, к поиску методов исследования этих проблем.
Несмотря на то, что теории периодических решений посвящено большое количество работ, разнообразие конкретных систем дифференциальных уравнений с параметром способствует развитию новых способов, позволяющих доказывать наличие у mix периодических решений. Представляется существенным определение условий, при которых система дифференциальных уравнений имеет периодические решения особенно в случае, когда матрица системы линейного приближения зависит от параметра, имеет комплексно-сопряженные собственные значения, действительная и мнимая части которых при критическом значении параметра обращаются в нуль. В этом случае нельзя построить традиционным способом, рассмотренным в работах Н Н Боголюбова, Ю.А Митропольского, Ю Н. Бибикова, Б П. Демидовича, оператор, который преобразовывал бы периодическую функцию в периодическую Необходимы методы определения условий существования ненулевого периодического решения у таких систем дифференциальных уравнений при новых предположениях относительно свойств ее правых частей.
Таким образом, проблема определения условий разрешимости перио-
ттвл1глй ттотттт ттаптша^гтту лмлтв!г ттааопоттпаш тту 1товившл
актуальной на современном этапе развития математической науки
Цель работы состоит в определении условий существования ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром вида
(х = (Л(Л) + Х(1,<р,х,Л,е))х, (0 11) \<р^^(е) + Ф^,<р,х,Л,е), (012) в предложении, что х е К", (реШр, се К', Л е К', К*-у -мерное векторное пространство, А(Л),Х(?,<р,х,Л,е)-тхт- матрицы; и{е)> р-
мерные вектор-функции, Х^,<р,0,Л,е) = 0 и Ф(г, <р,0,Л,е) = 0; матрица А (Л) имеет как нулевые так и чисто мнимые собственные значения при Л = 0, вектор-функция р(е) обращается в нуль при £ = 0, правые части системы (0 1) определены и непрерывны по совокупности переменных, Т - периодические по г
Следует отметить, что система обыкновенных дифференциальных уравнений
у = В(у)у + /{иу,у), (0 2)
где >,/-п - мерные вектор-функции, к = (Л, с) - параметр, матрица В (у)
имеет комплексно-сопряженные собственные значения, в ряде случаев преобразуется к системе вида (0 1) Существует множество различных способов приведения системы (0.2) к системе (0 1). Эти способы рассмотрены в работах Н Н Боголюбова, Ю А. Митрогтольского, Ю Н Бибикова, И,Г. Малкина, Д Ю. Волкова В частности, система (01) может быть получена из системы (0 2) введением полярной системы координат.
Методика исследования. Для получения достаточных условий существования Т - периодических решений применяется критерий периодичности у(0,р,Л,е) = у(Т,<р,Л,е) Используется утверждение, что для того, чтобы линейная однородная система дифференциальных уравнений имела ненулевое периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица монодромии этой системы имела собственное значение, равное единице.
Проблема существования ненулевого периодического решения системы сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения Исследование операторного уравнения проводится с помощью разложения форм в степенные ряды и метода неподвижной точки нелинейного оператора. Доказательство теорем о существовании ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений (0 1) проводится методом сжатых ото-
бражений и завершается применением теоремы о неподвижной точке нелинейного оператора1.
Научная новизна. К новым результатам следует отнести полученные в работе необходимые и достаточные условия существования периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром
(0.1), в предположениях, что //(0) = 0, а матрица Л(0) может иметь как нулевые, так и чисто мнимые собственные значения
Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные результаты работы мохуг быть использованы в качестве основы для новых исследований, а также могут быть применены к исследованию конкретных систем дифференциальных уравнений с параметром, являющихся моделями реальных природных, экономических и социальных процессов
На защиту выносятся следующие положения:
1. Построение оператора, отображающего множество СЫ,к) во множество С(с1,к), где С (Л, к) - множество периодических вектор-функций
2. Определение необходимых и достаточных условий существования ненулевых Т - периодических решений системы дифференциальных уравнений (0.1.2) в случае, когда вектор-функция р(е) обращается в нуль при с = 0
3. Определение достаточных условий существования ненулевых Т - периодических решений системы дифференциальных уравнений (0.1) в предположении, что
- матрица Л(0) имеет нулевые и чисто мнимые собственные значения,
- правые части системы (0.1) при х = 0 обращаются в нуль
Апробация диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались: на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете им С А. Есенина, на IV Всероссийской молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения-2005» в г. Казань; на ХШ международной конференции «Математика Компьютер Образование» в г Дубна; на научной конференции «Герценовские чтения-2006» в г Санкт-Петербург; на XI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых
1 Терехин М Т Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уразнений // Известия высших учебных заведений Математика -№10 (449) - 1999 - С. 37-42
ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанской государственном радиотехническом университете, на VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранск, на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в Тульском государственном университете
Публикации. По результатам работы над диссертацией опубликовано тринадцать работ, список которых приведен в конце автореферата
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы, включающего 103 наименования. Общий объем диссертации 114 страниц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснованы актуальность выбранной темы, цель поставленной задачи, сформулирован предмет исследования, указаны методы исследования, приведен краткий обзор литературы по теме исследования, раскрыта структура диссертационной работы, отмечены положения, которые выносятся на защиту.
Первая глава посвящена определению условий существования Т - периодических решений системы уравнений (0 1 2)
В § 1.1 введен класс С(«/,£) - класс Т - периодических вектор-функций . Дано определение решения системы (0.1.2) для любой вектор-функций F(í)eC(í/Д) и доказано, что для любой вектор-функции решение системы (0 1 2) определено на сегменте [0,3™] и удовлетворяет условию Липшица по параметрам.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
<э = //(г?) + Ф (1 1)
при следующих условиях
а) * е К", рей', е е II', Л е Н', -мерное векторное пространство,
б) р -мерная вектор-функция, определенная и непрерывная на множестве Е(«5"0) = [г е И' < ¿о};
в) Ф(1,<р,х,А,е)-р -мерная вектор-функция, определенная и непрерывная по совокупности переменных, Т - периодическая по г на множестве М(<д = [0,Т]хЕ>хМ0(£0)хЛ(£0)хЕ(го), Мв(«У0) = {*бК" Цй*,},
Л(£0) = {д е Л' |Я| 2 Т > 0,30 > 0 - некоторые постоянные числа,
г) на множестве М(<50) вьшолнено неравенство \\ф^д>',х,Л',е')~V)! 5 сл{ё0)\<р' ~ <р"\ + сг (^)Ц' - + с3 - с*|, где с, (£„)-> °=с2 (¿о) -» (¿>0) -* О при <5„ -> 0, причем Ф(/,<зДА,гг) = 0, \а&Ф(г,<р,х,А,е) = Ъ равномерно относительно 1,<р,Л,е на множестве [0,Т]хИ'хЛ(«Уо)хЕ(*в);
д) на множестве Е(<")0) = |сбК' |с| < справедливо равенство р(е) = Ве + &(е), где В-рх1 - матрица, вектор-функция ©(г:) удовлетворяет условию Липшица по е с постоянной г(<5), г (<">)-> О при
Пусть С(с10,к) - класс Г - периодических по I вектор-функций ^(г), определенных на сегменте [О, Г], таких что 5 </0, ¡Г(г') - <*•(/' - г"| для любых <',«"<= [О,Г], о?,,,*: -некоторые положительные числа.
Определение 1.1 Пусть F(/)eC(í/(),it). Под решением системы уравнений (1.1) при * = ееЕ(£0),Л еЛ(^0) будем погашать определенную и непрерывно - дифференцируемую на сегменте [д,г>] вектор-функцию / , при любом /е[а,Ь] удовлетворяющую системе (1.1)
Поскольку вектор-функции //(г) и Ф(1,р,х,А,е) определены и непрерывны, удовлетворяют условию Липшица на множестве М(<50), то для системы уравнений (1.1) при любой вектор-функции ^(()ёС(с/,Д) выполнены
условия теорем о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра
Для решения системы уравнений
<р = р(е) + Ф(и<р,Р(1),Л,1:), (1.2)
определенного на [а, 6], примем обозначение =(рр {г,<рй,Х,с), где
<рр (0,с) -<р0 - начальное значение, р0еЕр.
Из условий г) и д) следует, что при х = 0 и £ = 0 решением системы уравнений (1 1) является вектор-функция 7 -*<р в 0 Тогда на основании теоремы о единственности и непрерывной зависимости решения от начального
значения и параметра существуют числа <1, 3 в (0,^0] такие, что для любых ееЕ(£),АеЛ(5) система уравнений (1.1) имеет решение
= <рр(1,<р0,Л,с), <рр(0,<ръ,X,с) = д>о, определенное на сегменте [О,Т], непрерывное на множестве [0,Т]хК/' х Л(£)хЕ(£) и удовлетворяющее неравенству \ч>Р(иФоЛе^ёо для любого /е[0,Т].
Для системы уравнений (1.1) ставится задача - определить условия, при которых решение х-=кр,=ч>ро,Я,е) системы (1.1) является Г - периодическим.
В § 1.2 в предположении, что ^(е) = В£- + ©(е'), В- матрица, установлено, что вопрос о существовании Т - периодического решения системы уравнений (1.1) сводится к проблеме разрешимости нелинейного операторного уравнения. Получены достаточные условия существования ненулевого Т - периодического решения системы (1.1) для любой вектор-функции /"(г) е С(с1,к) в случае, когда гап^В = р
Заметим, что для того чтобы решение =<рр (г, <Ро, Л, е) системы
(1.2) было Т - периодическим, необходимо и достаточно выполнения равенства
т
(В£+е(е))Т+ = 0 . (13)
о
Справедлива теорема
Теорема 1.1. Если rangB-р и для системы уравнений (1.1) выполнены условия а)-д), то существуют числа , й такие, что для любой вектор-функции /"(/)еС(£/Д) и любого фиксированного вектора АеЛ(£0) существует значение параметра е е Е(<5|), при котором решение системы уравнений (1 1) = у>рявляется Т -периодическим
В § 13 содержатся исследования по проблеме отсутствия и существования ненулевого Т - периодического решетя системы (1.1) при любой вектор-функции F(f)eC(í^,£) в предположении, что rangB = r,Q<r<p .
Предполагая, что в условии д) вектор-функция в(е) представима равенством 0(г) = Л(£') + £'(|СГ)' гДе Л вектор-форма порядка к относительно вектора е, к £ 2, уравнение (1.3) можно записать так
ite + /i(ff) + 0(|fi|1) + &(p„A,e) = (1 4)
o(\ef) ! т
i ;
Положим rangB=r,Q<r<p. Элементарными преобразованиями матрицу В можно свести к матрице со!оп(В',0), В1 -rxl - матрица, 0-(р-г)л1 -нулевая матрица
Пусть е = ре ,р>0, |е|<сг,сг> 1. Тогда система уравнений (1.4) примет вид
N(e)+ 0(р\е\) + hF (р,р„А,е) = 0, (1.5)
В котором N(e) = colon(B'e,fk"(ej), 0{рЩ = Ыоп{о'^р1'1\е\к),0"(/>jef)],
hF(р,р,,А,е) = coloJ^-g'F(<pt,A,e),-p;g* (<p,,A,e)j, hmO(pjej) = 0 равномерно
относительно e (|e[ < a).
Теорема 1.3. Если N(e) 0 при любом e(|e| = l), то существует число d> 0 такое, что для любой вектор-функции F{t) е C(d,k), любого фиксированного Я еЛ(<5о) в любой окрестности точки г = 0 имеется множество, для любой точки с которого решение t-кр, = tpF (t,po,A,s) системы уравнений (1.1) Не является Т —периодическим
Таким образом, необходимым условием существования Г - периодического решения системы (1 1) является наличие вектора е*ф*| = 1) такого,
что N(e') = 0.
Разложив /Де) в окрестности точки е-е по формуле Тейлора, получим /к" (е) = Z){e")(e -е') + (е\е -«') , где D(e') - значение матрицы
Якоби вектор-формы /Де), вычисленное в точке е, - вектор-
форма порядка j относительно вектора е-е'
Полагая, что е-е' =: а, о7> 0 - некоторое число,
S = colon(B',D(e)), 6{p\z + e\) = colon^p>-x\z + e\t^,0"^p\z + e'\k)jY Pj (e',z) = colon{0,0,. ,0,Pj (e*,z)),
he (o.m„k,z + e'\- colon]—e'v (& ,Lz + e').—g"r (0 ,Л,г + e)I, Имеем систему ' v i v • / p« >)
уравнений
& + + = (1.6)
j. 2
Установлено, что при любой вектор-функции F(t)eC(d,k) система (1.6) имеет решение во множестве
К = £- = p(z" + e*),p<p*,|e*| = l,z"€Z(^)J (р - фиксировано).
Теорема 1.5. Если rangS = p и для системы уравнений (1.1) выполнены условия а)-д), то существует число d> 0 такое, что для любой Бектор-функции F{t)eC{d,k) и любого фиксированного АеЛ(<50) существует значение параметра £еК, при котором решение t-*q>, = <pF (t,<Pn,X,e) системы
уравнений (1.1) является Г - периодическим
Далее пусть в (16) rangS = rl,0<rl<p Применяя описанную выше процедуру и продолжая этот процесс далее, получим либо выполнение условий теорем типа 1.3 или 1 5, либо процесс будет продолжаться неограниченно, в этом случае задача о существовании Г - периодического решения системы уравнений (1,1) не будет разрешима предложенным способом.
В § 1.4 приведены алгоритмы, позволяющие определить достаточные условия существования ненулевого Т - периодического решения системы уравнений (1.1) и в случае, когда rangB = 0.
Во второй главе исследуется вопрос определения условий существования ненулевого Г - периодического решения системы уравнений (0.1) в предложении, что матрица А (Л) имеет собственные значения, которые пред-
ставимы в виде у(Л) -ВЛ + о(|А|), где D -sх q - матрица, rangD - s.
В § 2.1 поставлена задача определения условий существования Т - периодического решения системы уравнений (0.1), установлен вид решения системы (0.1.1).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
x = (A(A) + X(t,<p,x,A,e))x, (2.11) ^ ^
<р = м(£) + Ф{',<Р,х,Л,е), (2 12)
удовлетворяющую условиям а)-д) (глава I) и условиям'
е) А(Л)~тхт- матрица, определенная и непрерывная на множестве
Afo);
ж) X(t,q>,х,Л,е)-тхщ- матрица, определенная и непрерывная по совокупности переменных, Т - периодическая по I на множестве А/(&,);
з) на множестве Л/(<50) справедливы неравенства \A{Ä)\zR, \X{t,<p,x,X,£l\$L,
/,(го)->0,/2(<?„)->0,/3(50)-»0 при ^->0, \A(X)-A(V)\zr[8t)\X-X% r{öa)~>0 при го->0;
X(t,<p,0,A,e) = 0, \anX{t,<p,x,Ä,e) = 0 равномерно относительно t,<p,X,c на
множестве [0,Г]х11'хЛ(£0)хЕ((5ь).
Для системы уравнений (2 1) ставится задача — определить условия, при которых решение системы уравнений (2.1) является Т - периодическим Пусть t- периодическое решение системы
уравнений (2.1 2) при некотором значении параметра е .
Подставив это решение и значение параметра е в систему (2.1.1), получим систему уравнений вида
у - [л(Л)+ X(t,<p„F{t),A,c)]> , (22)
в которой F{t)&C(d,k), ycRm.
Полагаем, что YF (t,<pt, Л, е) - фундаментальная матрица решений системы уравнений (2 2), удовлетворяющая условию YF(Q,<p„l,е) = Е,Е- единичная матрица Тогда решение системы (2.2) определится равенством
yF(t,<p„A,e) = YF(t,p„A,e)a, (2.3)
где yF (0 ,д>„Л,е) -а, а- некоторый постоянный вектор, принадлежащий множеству lV(r) = {a ¡«[¿г}.
Равенство (2 3) при любом фиксированном Л е А(3) на множестве C(d,k) определяет оператор Г (Л) F(f)->»(/,£>,, Л, г), который любой вектор-функции F(t)eC(d,k) ставит в соответствие вектор-функцию yF(t,/p„A,E), причем неподвижные точки оператора Г(я) являются Г - периодическими решениями системы дифференциальных уравнений (2 1 1), принадлежащими множеству C(d,k).
Таким образом, задача о существовании Т - периодического решения
системы уравнений (2.2) сводится к задаче определения условий существования чисел Л и 8 трких, что для любой вектор-функции Р(') с найдется вектор X е Л(<5) такой, что выполняется равенство
{Гр(Т,(рт,Х,е)-Е)а = 0.
Пусть существует такое число 8 е (0,<Уо], что при любом X е Л(£) матрица А(Л) имеет $ действительных собственных значений /¡(Л), 1 = 1,2, .,5 таких, что ^,(0) = 0, / = 1,2, и неособенным линейным преобразованием сведена к матрице вида
А(А)^Лаг{1.(ЛШХ),г2(1), .ГМ)) •
где Ь{Х)- матрица, причем фундаментальная матрица Уг(Г,Л) системы у = 1.{Л)у удовлетворяет условию (У^ (Г,0) - Е) - неособенная.
Установлено, что существует матрица 0г(г,рг,л,£), определитель которой отличен от нуля и не зависит от Т,<рт,Р^),Л,е, такая, что для любого вектора Л е А(6), любой вектор-функции Р^)еС(с1,к), матрица (Уг(Т,<рт,Х,е)-Е) = , где
ЫВ'п{Т,(рт,Р{Т),Х,е)ф0, В'и{Т,<рт,Р(Т),Л,Е)-(т-з)уА- матрица, все элементы которой равны нулю, элементы матрицы В'п(т,<рТ,Р(Т),Х,е) стремятся к нулю, при <1 —►0, В"п(т,<рг,Р(Г),Л,е)-5х1 - матрица, элементы которой имеют вид ехр(у1(Х)Т)-1 + /}'г(Т,рг,Х,е), / = 1,2, ,5, Ът/^(Т,рг,Л,с) = 0 равномерно относительно А.
В § 2.2 определены достаточные условия существования ненулевого Т - периодического решения системы (2.1). Задача определения условий су-шествования ненулевого Т - периодического решения системы уравнений (2.1 1) для любой вектор-функции е С(с1,к) сводится к разрешимости
нелинейного операторного уравнения Доказательство теорем проводится методом сжатых отображений и применением теоремы о неподвижной точке нелинейного оператора
Предположим, что вектор-функция у(Л) = (у,(Х),у2(Л), .,у,(Л)) пред-ставима в виде у(А)=у(0)+Ш + о(|А|), где г(0) = 0, матрица,
-О ¡¿|
Тогда наличие ненулевых Т - периодических решений системы (2.2) ставится в зависимость от наличия решений уравнения
DÄ + о(|Я|) + ф„ (Г,рт,Л,£) = 0, (2.4)
в котором = .
Теорема 23. Пусть
1) система уравнений (2.1) удовлетворяет условиям а)-з) (глава I и глава П),
2) в условии д) rangB = р ;
3) вектор-функция у (Л) представима в виде /(i) = Di+o(|i|), где D-sxq - матрица, вектор-функция о(|Л|) удовлетворяет условию Липшица по Л с постоянной p(S), p(S) -> 0 при S-> 0;
4) rangD-s
Тогда существуют число ¿>0 и значение параметра v* = (A*,£*) такие, что система уравнений (2.1) имеет ненулевое Т - периодическое решение из класса C(d,k).
Если в условии д) rangB = г,0<г<р, то согласно рассуждениям, приведенным в параграфе 1.3 первой главы, вопрос о существовании Т - периодического решения системы сводится к разрешимости системы уравнений
& + + + + = (2.5)
где z = e-e , S = coIon[B',D(e'}}, rangB'= г, -О(е') - значение матрицы Якоби
вектор-формы //(е) в точке е, Pj(e",z) - вектор-форма порядка j относительно вектора г.
Теорема 2.4. Пусть
1) система уравнений (2.1) удовлетворяет условиям а)-з) (глава I и глава П);
2) в системе уравнений (2 5) rangS = р,
3) выполнены условия 3) и 4) теоремы 2.3
Тогда существуют число d> 0 и значение параметра v = та-
кие, что система уравнений (2.1) имеет ненулевое Т - периодическое решение из класса C{d,k).
Если в условии д) rangB = 0, то согласно рассуждениям, приведенным в параграфе 14 первой главы, условие, при котором решение
=/рр (¡,<р0,Я,е) системы уравнений (2.1.2) является Т - периодическим, состоит в том, что вектор е должен определять решение системы уравнений
Д» + ¿/>, (Г.«) + О(р|» + Г|)+У,(Р,<Р,Я» + Г) = 0, (2 6)
в которой е = р£,р> 0, 5 = с - С', Л = - значение матрицы Якоби
вектор-формы /* (С), вычисленное в точке 4"» рДСЧ«) - вектор-форма порядка ] относительно вектора я, Ч'F{p,<pl,Л,£¡) = -^:gF(<pt,Я,<!¡)• Теорема 2.5. Пусть
1) система уравнений (2.1) удовлетворяет условиям а)-з) (глава I и глава П);
2) в системе (2.6) га^Я = р;
3) выполнены условия 3) и 4) теоремы 2 3.
Тогда существуют число й> О и значение параметра =(я\г") такие, что система уравнений (2 1) имеет ненулевое Т - периодическое решение из класса С(с!,к).
Третья глава посвящена определению достаточных условий отсутствия и необходимых условий существования решения уравнения (2 4) для любой вектор-функции С(аГ,£) в достаточно малой окрестности нулевого
решения Получены условия существования ненулевого Т - периодического решения системы уравнений (2.1) в предположениях, когда гапф = г <з или гап%Г) = 0.
В § 3.1 изучается случай, когда гащВ = г < я. Построено операторное
уравнение такое, что при любой вектор-функции ^(г)еС(с?Д) его решением
является параметр, при котором система уравнений (2 1.1) будет иметь ненулевое Т - периодическое решение. Предложен алгоритм нахождения достаточных условий существования ненулевого Т - периодического решения системы уравнений (2 1)
Предположим, что г(Л) = йЯ + Ьк (Я) -г о Я\к), где Ьк {Я) - вектор-форма
порядка к относительно вектора Я, к>2. Тогда уравнение (24) можно записать так
где hm i -0, а =а> (t,a>n,Ä,s)-T- пешюлическое оешение системы
А-,0 |Д|' . V v /
(2 I 2) при некотором значении параметра е
Пусть rangD = г, 0 < г < s Элементарными преобразованиями матрицу D можно свести к матрице colon(&',0),A'-rxq - матрица, 0-(s-r)xq - нулевая матрица
Введем замену переменных Х = ри, р>0, |г/|<ст2, <т2 > 1 - некоторое
число
Учитывая, что P(u) = coIon(A'u,b"k(u)), 0(pM) = coIon(o'(pt-'\uf),0,(p\uf)fj,
Ф1(р,(рт,и,е) = со!оп^~ф1(Т,(рт,и,с),^ф'{Т^<рт,и,г)^, система уравнений (3 1) примет вид
Р(и) + О(рЩ) + ф'„ {р,д>т,и,е) = 0, (3.2)
причем hm0(p|u|) = 0 равномерно относительно а(|«|йсг2)
Теорема 3.1. Если Р(и)*0 при любом векторе и(|a| = l), то существует число d> 0 такое, что при любой с C(d,k) в любой окрестности точки Я = 0 имеется множество, в котором нет ненулевых решений системы (3.1)
Таким образом, необходимым условием существования ненулевого решения уравнения (3 1) является наличие вектора и*(|и"| = 1) такого, что
Р(и) = 0.
Разложив b"t(u) в окрестности точки и-и по формуле Тейлора, получим = + где D(b"t{u'}) -значение матрицы Якоби вектор-формы b"t{u), вычисленное в точке и , рДы\и-н*) -вектор-форма порядка j относительно вектора и - и
Введем замены неременных и - и' = х, \z\ 2 сгг, ст3 > 1 - некоторое число, L = co!on(A',D[b"t(u)j}, Р/(ы',х) = со!оп(0,0, ,0,pj(u',X)), Ö(p\x + »'|) = со!оп(о'(р'-1 \z + и-f ),0'(р\% + «,-f)),
Рг {р,Фт*Х + и',е) = со1ог\^-ф'Р (Т,грг,у + + и,е) 1, получим
систему уравнений
1х + ^Р1{и,х) + о{р\х + и^ + рг{р,<рт,х + и\е) = а. (3.3)
/.2
Теорема 3.2. Пусть
1) для системы уравнений (2.1) выполнены условия а)-з) (глава I и глава П),
2) в условии д) гап^ = р ,
3) вектор-функция у(Я) представим?, в виде /(Л) = £>Я + (Я) + о||Я|* |,
где гап^й = г < л, вектор-функция о(|Я|*) удовлетворяет условию Липшица по Я с постоянной р{5), р(5) ->0 при <5 ->0;
4) гап%Ь - 5.
Тогда существуют число ¿>0 и значение параметра Р = такие,
что система уравнений (2 1) имеет ненулевое Т - периодическое решение из класса С(е1,к).
Замечание 3.1. Если в системе уравнений (2 5) гапф = р (аналогично в системе уравнений (2 6) rangR - р) и для системы уравнений (2.1) выполнены условия 1), 3) и 4) теоремы 3 2, то утверждение теоремы 3 2 остается справедливым.
Если гапвЬ = г1,0<г1<з, то, продолжая этот процесс далее, получим либо выполнение условий теорем типа 3 1 или 3 2, либо процесс будет продолжаться неограниченно, в этом случае задача о существовании Т - периодического решения системы уравнений (2.1) не разрешима предложенным способом
В § 3.2 найдены достаточные условия существования ненулевого Т - периодического решения системы уравнений (2 1) и при условии, что гап^О = 0
В § 3.3 теоретические результаты применяются к исследованию математической модели биологического процесса, модели химической реакции и модели социально-политического управления в отдельно взятом регионе.
В диссертации рассмотрены примеры как теоретического, так и прикладного характера
Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору М.Т. Терехину за постоянное внимание к работе, всестороннюю поддержку и помощь.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
1 Баева О В К вопросу о разрешимости одного операторного уравнения // Труды математического центра им Н И Лобачевского Материалы Четвертой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения-2005». - Казань1 Изд-во Казанского математического общества - 2005 -Т.31 -С. 24-25
2 Баева О В Проблема разрешимости операторного уравнения в некоторых критических случаях // Научный журнал. Аспирантский вестник РГУ им С А Есенина- Рязань - 2006. - №7-С 124-130.
3 Баева О В. Существование ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром // Математика. Образование Компьютер. Тезисы докладов XIII Международной конференции. - М. - Ижевск- «Регулярная и хаотическая динамика» - 2006 -Вып 13.-С. 7
4 Баева О В К вопросу существования ненулевого периодического решения у системы дифференциальных уравнений // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования Герценовские чтения - 2006 Материалы научной конференции, 17-22 апреля 2006 - СПб - 2006 С. 13-17. (Реферативный журнал 06 12-13Б 231).
5 Баева О В. О существовании периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения - 2006 - №10 - С. 17-23 (Реферативный журнал 07 02-13Б.226)
6 Баева О В Критерии существования периодических решений системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения -2006 -№10 -С. 24-29 (Реферативный журнал 07.02-13Б.227).
7 Баева О Б К проблеме разрешимости периодической задачи системы дифференциальных уравнений с параметром // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании НИТ-2006 Тезисы докладов XI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов, - Рязань: Изд-во РГРТА - 2006. - С 1213.
8 Баева О В. О разрешимости системы дифференциальных уравнений с
попои^тптг // Тт? 1Г1т РпвпиопАттм/ль-лгл »«»аттгпрлглгп р^тполтоо _ Г*о-
ранск - 2006.-Т8 - №1 - С 337-341 (Реферативный журнал 07 01-13Б 230)
9 Баева ОБ. Определение условий существования периодического решения системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2006 -№11. - С. 32-33 (Реферативный журнал 07 02-1ЗБ 231)
10 Баева О В Об условиях существования и отсутствия периодических решений системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра // Информатика и прикладная математика- Межвуз сб науч. тр., Ряз гос.ун-т - Рязань-Изд-воРГУ -2006 - С 25-29
11 Баева О В Условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с параметром // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции - Тула: Изд-во ТулГУ -2006 -С. 16-18.
12 Баева О В Существование ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром // Математика Компьютер Образование. Сб. научных трудов ХП1 Международной конференции Том 2 / Под ред Г.Ю Ркзничеико. - М.-Ижевск НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" -2006. - С. 21-27
13 Баева О В Разрешимость задачи о существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений с параметром// Известия ТулГУ "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи": Сб научных трудов Международной научной конференции - Тула: Изд-во ТулГУ -2006 -С 3-7.
Баева Ольга Владимировна
СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕНУЛЕВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПАРАМЕТРОМ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Специальность 01 01.02 - дифференциальные уравнения
Подписано к печати 13 04.2007 Формат бумаги 60x84 1/16 Печать ризографическая Объем 1,0 пл. Заказ №
Тираж 100 экз. Бесплатно
Опечатано в ООО «Интермета» 390000, г. Рязань, ул. Семинарская, д 5.
Введение.
Глава I. Построение и разрешимость операторного уравнения для определения условий существования периодических решений системы дифференциальных уравнений.
§ 1.1. Представление решения системы дифференциальных уравнений с параметром.
§ 1.2. Построение и разрешимость операторного уравнения для определения условий существования периодических решений системы дифференциальных уравнений в некритическом случае.
§ 13. Определение условий существования и отсутствия решений системы дифференциальных уравнений в критическом случае.
§ 1.4. Определение условий существования и отсутствия решений системы дифференциальных уравнений в случае нулевой матрицы.
Глава II. Разрешимость периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в некритическом случае.
§ 2.1. Вид решения системы дифференциальных уравнений с параметром.
§ 2.2. Существование периодических решений системы дифференциальных уравнений в некритическом случае.
Глава Ш. Существование периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений в критических случаях.
§ 3.1. Исследование разрешимости задачи о существовании периодического решения системы дифференциальных уравнений в критическом случае.
§ 3.2. Условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае нулевой матрицы.
§ 33. Математическое моделирование различных процессов.
Актуальность темы. В настоящей диссертации рассматривается неавтономная нелинейная система дифференциальных уравнений с параметром. Изучается вопрос существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений, правая часть которой является Т - периодической функцией по независимой переменной и содержит параметр.
Внимание исследователей к теории периодических решений обусловлено потребностью практики, поставившей перед учеными задачу определения условий существования таких решений для нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования процессов, происходящих в экономических, физических, химических и биологических системах [1, 5, 16, 21, 22, 27, 35, 42, 49-51, 63, 64, 80], в частности, теория периодических решений позволяет определять условия появления колебательных режимов в этих системах.
Такое широкое разнообразие применения теории периодических решений вызывает дополнительный интерес к более глубокому исследованию проблем существования периодических решений систем дифференциальных уравнений, к поиску методов исследования этих проблем.
Несмотря на то, что теории периодических решений посвящено большое количество работ, разнообразие конкретных систем дифференциальных уравнений с параметром способствует развитию новых способов, позволяющих доказывать наличие у них периодических решений. Представляется существенным определение условий, при которых система дифференциальных уравнений имеет периодические решения особенно в случае, когда матрица системы линейного приближения зависит от параметра, имеет комплексно-сопряженные собственные значения, действительная и мнимая части которых при критическом значении параметра обращаются в нуль. В этом случае нельзя построить традиционным способом [6, 7,19, 52, 54, 55, 75, 76] оператор, который преобразовывал бы периодическую функцию в периодическую. Необходимы методы определения условий существования ненулевого периодического решения у таких систем дифференциальных уравнений при новых предположениях относительно свойств ее правых частей.
Таким образом, проблема определения условий разрешимости периодической задачи нелинейных систем дифференциальных уравнений является актуальной на современном этапе развития математической науки.
Цель работы состоит в определении условий существования ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром вида в предложении, что х е R"', <peRp, se R', AeR9, R*- s -мерное векторное пространство; A(A),X(t,q>,x,X,s)-mxm- матрицы; ju(e), <&(t,(p,x,X,e)-p-мерные вектор-функции; X(t,<p,0Д,е) = 0 и Ф(/,^,0Д,^) = 0; матрица А(л) имеет как нулевые так и чисто мнимые собственные значения при Я = 0, вектор-функция /л{е) обращается в нуль при £ = 0; правые части системы
0.1) определены и непрерывны по совокупности переменных, Т- периодические по t.
Следует отметить, что система обыкновенных дифференциальных уравнений где y,f -п - мерные вектор-функции, v = (A,e) - параметр, матрица В {у) имеет комплексно-сопряженные собственные значения, в ряде случаев преобразуется к системе вида (0.1). Существует множество различных способов приведения системы (0.2) к системе (0.1). Эти способы рассмотрены в работах Бибикова Ю.Н. [6], Боголюбова Н.Н. [7], Митропольского x = (A(X)+X(t,(p,x,X,e))x, (0.1.1) ф = ц(е) + Ф^,<р,х,Л,£), (0.1.2)
0.1) y = B(v)y+f(t,y, у),
0.2)
Ю.А. [52], Малкина И.Г. [45-47], Волкова Д.Ю. [12]. В частности, система (0.1) может быть получена из системы (0.2) введением полярной системы координат.
Методика исследования. Для получения достаточных условий существования Т - периодических решений применяется критерий периодичности у[0,(р,Л,е) = у{Т,(р,Л,е). Используется утверждение, что для того, чтобы линейная однородная система дифференциальных уравнений имела ненулевое периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица монодромии этой системы имела собственное значение, равное единице.
Проблема существования ненулевого периодического решения системы сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения. Исследование операторного уравнения проводится с помощью разложения форм в степенные ряды и метода неподвижной точки нелинейного оператора. Доказательство теорем о существовании ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений (0.1) проводится методом сжатых отображений и завершается применением теоремы о неподвижной точке нелинейного оператора [71].
Основные результаты, имеющиеся по данной работе. Основные идеи по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений отражены в книгах А.Пуанкаре [62], A.M. Ляпунова [44], В.В. Немыц-кого, В.В. Степанова [58], JI.C. Понтрягина [61], Ф. Хартмана [78].
Теория периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений разработана в классических трудах А.Пуанкаре [62] и A.M. Ляпунова [44], Н.Н. Боголюбова [7], в новейших исследованиях современных отечественных и зарубежных математиков [28, 75,76, 81-90].
Методами исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений, содержащих малый положительный параметр являются метод малого параметра А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова и развитый в работах их последователей [44-46, 52, 75, 76, 84, 88]; метод точечных отображений
А.А. Андронова [2-4, 57]; методы усреднения [47, 52]; асимптотические методы, созданные Н.М. Крыловым [33], Н. Н. Боголюбовым и Ю.А. Ми-тропольским и в дальнейшем развитые другими учеными [56].
Метод малого параметра, был впервые использован А.Пуанкаре в его работах по небесной механике для интегрирования нелинейных уравнений [62]. Идея метода основана на том, что периодическое решение исходной нелинейной системы должно быть близко к одному из периодических решений соответствующей консервативной системы. Последнее решение называется порождающим. Основная задача метода малого параметра в большинстве практических случаев состоит в нахождении порождающего решения и определении малых поправок к нему.
Асимптотический метод Крылова-Боголюбова [33] представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики для получения приближенных аналитических решений весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений. Наиболее доступными для исследования этим и другими аналогичными методами являются системы с малой нелинейностью.
В книге Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [7] для исследования нелинейных систем широко используется метод усреднения. Он состоит в следующем: исходное уравнение заменяется усредненным, более удобным для исследования. При этом должно соблюдаться важное условие: усредненное уравнение должно описывать главные черты исследуемого процесса.
В работах [7, 52] рассматриваются системы вида где х,Х-п- векторы, X(t,x)~ Г-периодическая функция по /, /- время, s -малый положительный параметр. Если уравнение первого приближения x = sX{t, х), x = sX(t,x,s)
0.3) (0.4) для системы (0.3) ((0.4)) имеет периодическое решение, вещественные части характеристического уравнения det(&)) = () отличны от нуля, то система (0.3) ((0.4)) имеет единственное решение, которое является Т- периодическим.
В этих случаях уравнения (0.3) и (0.4) в окрестности точки введением локальных координат преобразуются к виду
Доказывается существование и устанавливаются свойства периодического решения системы уравнений (0.5). Полученные результаты переносятся на исходную систему уравнений.
В работах Бибикова Ю.Н. [6] рассматривается система вида при условии, что матрица системы линейного приближения имеет только чисто мнимые собственные значения при е = 0. Система (0.6) сводится к системе вида (0.1), где А - постоянная некритическая матрица, а //(0)*0.
Для исследования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений общего вида используются функционально-аналитические методы [53, 59, 60], которые базируются на топологических понятиях теории непрерывных отображений и теории ветвления.
Изучению периодических решений для различных классов нелинейных систем дифференциальных уравнений посвящены также работы Дж. Хейла [79].
В книге Самойленко A.M., Ронто Н.И. [67] предложены численно-аналитический метод последовательного периодического приближения, позволяющий для нелинейной системы дифференциальных уравнений исследовать существование периодического решения, построить и оценить погрешность приближенного решения. Метод тригонометрических полиномиальных приближений, как и численно-аналитический метод последоp = Hp+P(t,<p,p,e), <p = p(e)+<$(t,<p,p,e).
0.5) х = X(t,x,s)
0.6) вательных периодических приближений, позволяет решать периодические краевые задачи для нелинейных систем дифференциальных уравнений вида x = f{t,x), где f(t,x)-T- периодическая по t вектор-функция, x,f е R". Этот метод дает приближенную схему нахождения Т- периодического решения, и исходя из приближенного решения, имеющего вид тригонометрического полинома, позволяет решить вопрос о существовании точного Т- периодического решения.
На основе метода последовательных приближений был предложен ряд итерационных схем исследования периодических решений [67, 68], с помощью которого удается получать аналитическое представление решений большого класса линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. Также предложен метод последовательных тригонометрических приближений для исследования периодических решений.
Численно-аналитические методы открыли перспективы дальнейшего развития конструктивных методов, позволяющих одновременное построение и нахождение условий существования решений периодических задач.
Так Лаптинский В.Н. и др. [38-41, 72, 73] в своих работах применяют конструктивный метод поиска условий существования периодических решений систем дифференциальных уравнений. Их работы посвящены дальнейшим разработкам методов Н.П. Еругина [20], И.Г. Малкина [45-47], Ю.А. Рябова [65, 66], A.M. Самойленко [67,68].
Лаптинским В.Н [38-40] предложены и исследованы общие итерационные алгоритмы построения со- периодических решений неавтономных нелинейных дифференциальных уравнений x = A(t)x+f(t), x = A(t)x + /(/,*), где A(t) и f(t) - непрерывны и со - периодичны, /(/,0)*0. Эти алгоритмы позволяют получать коэффициентные признаки существования и единственности а) - периодических решений, предложить практически удобные способы построения со - периодических решений.
В статьях Лаптинского В.Н. и Титова B.J1. [41, 72, 73] рассматривается система уравнений вида x = A(t,x)x+f(t), в которой A(t,x) и f(t) - со - периодически по /. Исследуется задача о периодических решениях системы, с помощью конструктивных методов получены эффективно проверяемые условия существования и единственности, а также разработаны итерационные алгоритмы построения периодических решений указанной системы.
В работе [72] рассматривается система вида x = P{t)x+A(t,x) + f{t), для которой предполагается, что P(t), A(t,x) и f(t) - о - периодически по t. Исследуется вопрос о существовании со- периодического решения на основе проекционно-функционального метода, изучены вопросы локализации этого решения, получены условия существования и единственности со - периодического решения в заранее заданном виде.
В работах [20, 53, 65, 66] изучение условий существования и единственности периодических решений основывается на исследовании вопросов существования и знакопостоянства функции Грина.
Брюно А.Д. [10] применял локальный метод нелинейного анализа для качественного исследования систем дифференциальных уравнений. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в некоторой окрестности неподвижного решения ищется посредством нахождения такой специальной локальной замены координат, что в новых координатах система интегрируется. В сложных случаях исследуемая окрестность разбивается на части, и в каждой части вводятся свои локальные координаты, в которых система интегрируется.
В работе украинских математиков Бойчука А.А., Чуйко С.М. и др. [8,9] изучается периодическая краевая задача х = Ах + eZ (t, х, s) + q>{t),
Z{0,e) = Z(T,e) в особом критическом случае (матрица А имеет нулевые и чисто мнимые собственные числа), когда уравнение для порождающих амплитуд обращается в тождество. Установлены необходимые и достаточные условия решения периодической краевой задачи при е = О, совпадающего с периодическим решением порождающей системы.
Получены коэффициентные условия существования и итерационный алгоритм построения периодических решений автономных нелинейных дифференциальных систем в критических случаях при кратных корнях уравнения для порождающих амплитуд.
В статьях Е.В. Воскресенского [13, 14] изучаются системы дифференциальных уравнений вида x = F(t,x) + f(t,x) и y = F0(t,y), в которых F(t,x),f(t,x),F0(t,y) - Т - периодичны по t. Вопрос о существовании Т - периодического решения этих систем решается с помощью метода сравнения. Уравнением сравнения является дифференциальное уравнение, не имеющее Т - периодических решений, за исключением состояния равновесия (начала координат).
М.А. Красносельский в своих работах [29, 30] применяет метод неподвижной точки оператора по траекториям исходной системы дифференциальных уравнений для определения условий существования периодического решения.
В работе Кубышкина Е.П. [34] изучается вопрос о существовании периодических решений системы x = A(s)x + X(x,s) в окрестности нулевого решения в предположении, что матрица А(0) имеет чисто мнимые собственные значения.
Король И.И. в работе [28] предложил алгоритм исследования существования и построения периодического решения системы x = P{t)x+g(t,x), P{t) = J* , где xeR2,tsR,p(t)- непрерывная со - периодическая функция, g(/,x):(/,*)eRxjx:г<|х|<Л| - непрерывная со - периодическая функция по t.
Кенжебаев К.К. [25, 26] рассматривает вопрос о существовании со - периодического решения системы дифференциальных уравнений вида x = A(t)x+?if{t,x)+g{t) с со - периодической по t правой частью. Также изучается вопрос о существовании со - периодического решения системы дифференциальных уравнений x = (P(t) + Q(t))x+f(t,x), где xeR",P(t),Q(t) - со - периодичные матричные функции, предполагается, что фундаментальная матрица Ф(/) системы <p = P(t)<p также со - периодична. Получены условия существования, единственности и найден итерационный алгоритм построения со - периодического решения исходной системы.
Терехин М.Т. [69-71] и его ученики [23, 24, 36, 37, 54, 55, 75, 76] занимаются проблемой существования периодических решений систем дифференциальных уравнений и проблемой бифуркации этих систем. Основные методы исследования: метод неподвижной точки оператора, принцип сжатых отображений, построение фундаментальной матрицы. В работе [69] рассматривается система вида х = А (Я) х + L (t, х, Я) х, в которой матрица Л (Я) имеет к действительных собственных значений л, (Л) и р пар комплексно-сопряженных собственных значений
7j(Л)±itj(Я), причем = о, aj (4,) = 0,cosr; (Л) = 1; 1(/ + й>,х,Я) = £(г,х,Л).
Получены условия существования ненулевого периодического решения. В работах Купцова М.И. [36, 37] матрица Л(0) в системе (0.1) имеет нулевые и чисто мнимые собственные числа. Для доказательства достаточного признака существования периодического решения используется метод неподвижной точки нелинейного оператора, принцип сжатых отображений и метод интегральных многообразий. Усачев Ю.В. [75,76] исследует системы вида х = £х+Х(х,е), x = L(s)x+X(x,s), для которых получены достаточные условия рождения периодических решений из положения равновесия в случае нулевых и чисто мнимых собственных значений матрицы линейного приближения. Доказано существование инвариантного тороидального многообразия, вырождающегося в замкнутую траекторию, которой будет соответствовать периодическое решение системы.
Ивличевым П.С. [23, 24] определены достаточные условия существования периодических решений системы уравнений х = Ах+f(x ,Я), в предположениях xeR", /(х,Л) - форма порядка к по х и Я, /(*,0) = 0, р собственных чисел матрицы А равны нулю (0 <р <п). В работах [54, 55] изучается система х = Вх+/(х,Я), в которой xeR\ В -постоянная матрица, Ле Rffl, Я-параметр. Предполагается, что матрица В имеет чисто мнимые собственные значения, которые при критическом значении параметра не обращаются в ноль. Поиск ненулевого со -периодического решения системы путем замены переменных сводится к поиску ненулевого 2ж -периодического решения некоторой измененной системы, решение которой ищется в виде тригонометрического ряда. Получены необходимые и достаточные условия существования периодических решений указанной системы.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка литературы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе изучалась задача определения условий существования ненулевых Г-периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений (0.1) в предложении, что xeR", <peRp, eeU1, AeR4, R* -s-мерное векторное пространство; A(A),X(t,<p,x,A,s)-mxm- матрицы; р(е), Ф(г,р,х,Л,е)-p-мерные вектор-функции; X(t,tp,0,A,s)=0 и <&(t,<p,0,A,e)=0; матрица А(а) имеет как нулевые так и чисто мнимые собственные значения при А=0, вектор-функция /и(е) обращается в нуль при
0; правые части системы (0.1) определены и непрерывны по совокупности переменных, Г-периодические по t.
Ставилась задача - определить условия существования ненулевых Г-периодических решений системы (0.1).
Вопрос о разрешимости периодической задачи системы (0.1) свелся к разрешимости операторных уравнений относительно параметров. Получены условия разрешимости операторных уравнений, которые определяют достаточные условия существования ненулевых Г-периодических решений системы (0.1). Доказательство теорем о существовании ненулевого Г-периодического решения системы дифференциальных уравнений (0.1) завершается применением теоремы о неподвижной точке нелинейного оператора.
Полученные теоретические результаты применены к исследованию математической модели биологического процесса, математической модели химической реакции и математической модели социально-политического управления. В диссертации рассмотрены математические примеры.
1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Едиториал УРСС. - 2003. - 208 с.
2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. -1959. - 519 с.
3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М: Наука. -1966. - 568 с.
4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркации динамических систем на плоскости. М.: Наука. - 1967. -488 с.
5. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М.: МЦНМО. - 2000. - 32 с.
6. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. JL: Изд-во ЛГУ. -1991. -143 с.
7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматиз. - 1955. - 447 с.
8. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев: Наук, думка. -1990. - 96 с.
9. Бойчук А.А., Журавлев В.А., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях// Укр. матем. журнал. 1990. -Т. 42.-№9.-С. 1180-1187.
10. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. -1979. - 253 с.
11. Ван-дер-Поль. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связьиздат. -1935.
12. Волков Д.Ю. Бифуркация инвариантных торов из состояния равновесия при наличии нулевых характеристических чисел // Вестник ЛГУ. Сер 1. -1988. - вып.2 (№8). - С. 102-103.
13. Воскресенский Е.В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения// Дифференциальные уравнения. 1992. - Т.28. - №4. -С. 571-576.
14. Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1991. - №1. -С. 11-14.
15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М. ГИТТЛ. 1953. - 492 с.
16. Гарел Д, Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир. -1986.-152 с.
17. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. - 1971. -271 с.
18. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. -1979. - 431 с.
19. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука.-1967.-472 с.
20. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во АН БССР -1963. - 272 с.
21. Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания. М.: Наука. -1974.-179 с.
22. Иваницкий Г.Р., Крымский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука. -1978. - 308 с.
23. Ивличев П.С. Условия существования периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с линейной частью, матрица которой имеет нулевые собственные числа. // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. - № 6. - С. 41-48.
24. Ивличев П.С. Условия существования периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с нулевой матрицей линейного приближения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. - № 6. - С. 48-55.
25. Кенжебаев К.К. О периодических квазилинейных системах// Аналитические методы анализа и дифференциальные уравнения. Тезисы докладов международной конференции, Минск, 4-9 сентября, 2003. -Минск: Изд-во Ин-та мат-ки НАН Беларуси. 2003. - С.87.
26. Кенжебаев К.К. К задаче отыскания периодических решений квазилинейных систем// Дифференциальные уравнения и нелинейные колебания. Тезисы докладов международной конференции, Киев, 27-29 серпня, 2001. Киев: Изд-во ИМ НАН Украины. - 2001. - С. 65.
27. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ. - 1998. -245 с.
28. Король И.И. О периодических решениях одного класса систем дифференциальных уравнений// Укр. матем. журнал 2005. - 57. - №4. -С. 483-495.
29. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1966. - 332 с.
30. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. -1962. - 457 с.
31. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. -М.: Наука. -1972. 356 с.
32. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. -1963. - 432 с.
33. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. М.: Изд-во АН СССР -1937. -112 с.
34. Кубышкин ЕЛ. Бифуркация периодических решений в критическом случае двух пар чисто мнимых корней при наличии старших резонансов// Дифференциальные уравнения. -1986. Т. 22. - № 10. - С. 1693-1697.
35. Купцов М.И. Инвариантный тор системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения: Сб. научных трудов. Рязань. -1995.-С. 94-99.
36. Купцов М.И К вопросу существования периодических решений у некоторого класса систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения: Сб. научных трудов. Рязань. - 1996. -С. 76-86.
37. Лаптшский В.Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем. Минск: ИМ НАН Беларуси -1998.- 300 с.
38. Лаптинский В.Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения 1983. - Т. 19. - №8. - С. 1335-1343.
39. Лаптинский В.Н. О построении периодических решений дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения 1984. -Т.20.-№3.~С. 536-539.
40. Лаптинский В.Н., Титов В.Л. К теории периодических решений полулинейных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения -1999.-Т. 35. №8. - С. 1036-1045.
41. Лискина Е.Ю., Митюнина Е.В. Исследование математической модели социально-политического управления// Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. -№11.-С. 141-149.
42. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука. -1965. 510 с.
43. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат. -1950.-471 с.
44. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. - 1966. - 532 с.
45. Малкин КГ. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. -1949. - 246 с.
46. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. -1956. - 491 с.
47. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука. -1972. -470 с.
48. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. -М.: Мир. -1983. -400 с.
49. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир. -1980. - 367 с.
50. Математические модели социальных систем: Учебное пособие/ Под ред. Гуц А.К. и др. Омск: Омск. гос. ун-т.- 2002. -256 с.
51. Митрополъский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука. -1973. - 512 с.
52. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.- М.: Наука. -1975. 248 с.
53. Моисеев Д. С. Ненулевые периодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений специального вида// Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз.гос. пед. ун-т. Рязань: Изд-во РГПУ. - 2004. - С.68-72.
54. Моисеев Д. С. Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений специального вида// Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ. 2004. -С. 33-34.
55. Моисеев Н.Н. Нелинейные методы в нелинейной механике. М.: Наука.-1981.-400 с.
56. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. -1972. 471 с.
57. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат. -1949. - 550 с.
58. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. M.-JL: Наука. -1964.-367 с.
59. Плисс В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Доклады АН СССР. -1961. Т.137. - №5. - С. 10601073.
60. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука.-1965.-332 с.
61. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. -1971. -Т.1.-771 с.
62. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. -184 с.
63. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М: Наука. -1984. - 304 с.
64. Рябов Ю.А., Лика Д.С. Сходящийся итерационный метод построения решений систем в стандартной форме// Дифференциальные уравнения. -1976. Т.12 - №4. - С. 658-662.
65. Рябов Ю.А., Королев М.Ф. О построении периодических решений некоторых линейных и квазилинейных уравнений // Дифференциальные уравнений. -1975.-Т.11.-№2.-С. 280-286.
66. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач. Киев: Наук, думка. -1985. - 224 с.
67. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука. -1987.
68. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений: Учебное пособие к спецкурсу. М.: Изд-во «Прометей» МГПИ им. В.И. Ленина.-1989.-88 с.
69. Терехин М.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений. Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Изд-во РГПИ. -1992. - 88 с.
70. Терехин М.Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. №10 (449). -1999. - С. 37-42.
71. Титов B.JI. О периодических решениях квазилинейных систем// Еругинские чтения УПР. Тезисы докладов междунар. матем. конф., Брест, 20-23 мая, 2002. Брест: Изд-во С.Б. Лавров - 2002 - С.170-171.
72. Титов B.JI. Периодические решения полулинейных дифференциальных систем// VHI Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов.- Минск: Изд-во ИМ НАНБ 2000. - С. 161.
73. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. -1980. - 496 с.
74. Усачев Ю.В. К вопросу о периодических решениях автономной системы дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения (качественная теория): Межвузовский сборник научных трудов/ Ряз. пед.ун-т. Рязань. -1994. - С. 125-135.
75. Усачев Ю.В. Рождение периодических решений системы дифференциальных уравнений// Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. - № 10. - С. 67-72.
76. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. -1966. - Т.2. - 608 с.
77. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. -1970.-720 с.
78. Хеш Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир. - 1966. -230 с.
79. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М.:Наука. - 2001. - 244 с.
80. Cao Jinde, Li Qiong, Wan Shidong. Periodic solutions of the higher-dimensional non-autinimous systems// Appl. Math, and Comput. 2002. - 130.- № 2-3. c. 369-382.
81. Giesl Peter. On the basin of attraction of limit cycles in periodic differential equations// Z. Anal, und Anwend. 2004. - 23. - №3. - c. 547-576.
82. Carvalho L.A. V., Cooke K.L., Ladeira L.A.C. On periodic solutions for a elass of linear scaled differential equations// Commun. Appl. And. -1993. 3 -№3. - c. 399-413.
83. Kamenskii Mikhail, Makarenkov Oleg, Nistri Paolo. Small parameter perturbations of Nonlinear periodical systems// Nonlinearity. 2004. - 17. -№l.-c. 193-205.
84. Liang Y., Li D. Existence of periodic solutions for fully nonlinear first-order differential equations // Nonlinear Anal. 2003. - 52. - № 4. - c. 1095-1109.
85. Liu Ping, Li Yonghm. Positive periodic solutions of infinite delay functional differential equations depending on a parameter// Appl. Math, and Comput2004. -150.-№1. c. 159-168.
86. Liu Huizhao, Jiang Daging, Zhao Shengwin. On the periodic boundary value problem for a first order implicit differential equations// Shuxue zaahi J. Math. -1999. -19. - №2. - c. 157-160.
87. Popescu M. Periodic solutions for nonlinear differential systems of equations with a small parameter// Nonlinear Anal. 2003. - 52. - №2. - c. 535-544.
88. Yang Xiaojing. Existence of periodic solution for nonlinear differential equations// Appl. Math, and Comput. 2002. -131. - № 2-3. - c. 433 - 438.
89. Zhou Zhengxin. Periodic solution and reflective function of higher-dimensional differential systems// J. Math. Anal, and Appl. 2004. - 292. - 32. -c. 517-524.
90. Баева О.В. Проблема разрешимости операторного уравнения в некоторых критических случаях // Научный журнал. Аспирантский вестник РГУ им. С.А. Есенина Рязань - 2006. - №7 - С. 124-130.
91. Баева О.В. Существование ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром // Математика. Образование. Компьютер: Тезисы докладов XIII
92. Международной конференции. М. - Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика» - 2006. - Вып. 13. - С. 7.
93. Баева О.В. О существовании периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. - №10. - С. 17-23. (Реферативный журнал 07.02-13Б.226).
94. Баева О.В. Критерии существования периодических решений системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. - №10. - С. 24-29. (Реферативный журнал 07.02-13Б.227).
95. Баева О.В. Определение условий существования периодического решения системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. - №11. - С. 32-33. (Реферативный журнал 07.02-13Б.231).
96. Баева О.В. О разрешимости системы дифференциальных уравнений с параметром // Труды Средневолжского математического общества. -Саранск. 2006. - Т.8. - №1. - С. 337-341. (Реферативный журнал 07.01-13Б.230).
97. Баева О.В. Об условиях существования и отсутствия периодических решений системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз.гос.ун-т. Рязань: Изд-во РГУ. - 2006. - С.25-29.
98. Баева О. В. Условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с параметром // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ. - 2006.-С. 16-18.
