Существование ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи БАКУЛИНА ЮЛИЯ ЕВГЕНЬЕВНА

СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕНУЯЕВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ даФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук ВОРОНЕЖ -1999

Работа выполнена в Рязанском государственном педагогическом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ТЕРЕХИН М. Т. Официальные оппоненты: Î. доктор физико-математических

наук, профессор Сапронов Ю.И.

2. кандидат физико-математических наук, доцент Завгородний М.Г. Ведущая организация: Белорусский государственный университет

Защита состоится " fу " i t_____1999года в ¿S "" часов на зас<

дании диссертационного совета К 063.48.09 по присуждению ученс степени кандидата физико-математических наук в Воронежском гос; дарственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университе екая площадь, I, В ГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского г су дарственного университета.

Автореферат разослан " 3 " /у^.-^ 1999 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 063.48.09

д. ф.-м. наук, профессор

Задорожний В.Г.

р,лс.л аху.пъ

2

Актуальность темы. Исследование автономных систем обыкно-:нных дифференциальных уравнений является одной из основных за-1ч в качественной теории дифференциальных уравнений, а также при з\чении качественного характера разл!гчных математических моделей физике, химии, биофизике и других науках.

Поэтому вопросам существования периодических решений систем пфферении&зьных уравнений посвящено большое количество работ, эчпная от классических трудов А. Пуанкаре. A.M. Ляпунова до новей-нх исследований современных математиков. Существенный вклад в ивнтие этой теории внесли A.A. Андронов. И Г. Малкин. М.А. Крас-Dce;ibCKnii. Оту проблему решали A.A. Бойчук. А.Д. Брюно. С.А. Гре-;шшков. Ю.А. Рябов. Дж. Хенл и другие математики. Однако разнообразие конкретных систем дифференциальных уравне-11Й порождает трудности в нахождении общих эффективных методов, озволяюших доказать наличие у них периодических решений. Пред-гавляет интерес исследование критических случаев, когда для решения нами существования периодических решений требуется привлекать юйства нелинейных членов системы. В связи с этим задача определе-ия условий существования ненулевых периодических решений неличных систем дифференциальных уравнений представляется весьма ак-/альной.

Цель работы состоит в получении достаточных условий сушествова-ия в окрестности точки г = 0 ненулевых периодических решений ко-гчномерных систем дифференпиатьных уравнений

/.(¿jx +- f(x, v= L(e)v + f{y,e),

(1.1)

(2.1)

где для системы (1.1) е- действительный параметр, х -вектор, принах лежащий п - мерному действительному векторному пространств) ¿.(¿г)-« х п непрерывно-дифференцируемая до порядка к включатель«

матрица-функция > I),/(.г,^-вектор-функция, /(л, е) еСк по пе ременный -Т и к. /(0. = 0. Предполагается, что

1) матрица ¿(0) имеет р пар собственных чисел +/;

2)матрииа /-(О) имеет собственное число 0 кратности (/; -2р).

В системе (2.1) е- ц -мерный вектор. V аЕ,,,/(:.£) &Ск (к >\) /(г. ) - вектор-функция, ¿(г-) = ¿(0) + где

г., (0) о о ^ цон о у») о |. -

Ви(г)-ях№ матрица. В12(ь')-х [" -'»] матрице

Вц^)" ["-"?] х <п матрица. [/?- т] х [/?- от] матрица. Предпо

латаются выполненными следующие условия

1) ¿,(0)-.у х .г матрица имеет р пар собственных чисел ±/:

2) ¿2(0) - [//; - у] х - у] матрица имеет собственное число 0 кратности [т - 2 р\.

3) [/7-от] матриц;!, которая имеет собственные числа, отличные от ± V /, где V е Z.

Методика исследовзшш. Задача поиска ненулевых периодически; решений систем (1.1), (2Л) сводится к отысканию пары: начальное уело вие-параметр, которая определяет периодическое решение. Основны>

.толом исследования является построение нелинейного оператора, недвижная точка которого является решением поставленной задачи. Для жазательства существования неподвижной точки оператора использу-ся теорема Брауэра. Построение нелинейного оператора основано на аистах как матрицы линейного приближения, так- и свойствах нели-йных вектор-функций.

Научная новизна. В диссертации получены новые достаточные усло-:я существования ненулевых периодических решений систем диффе-ншшьных уравнений (1.1), (2.1). Для решения проблемы иривлека-гся как свойства первого приближения, так и высших приближений линейных членов системы..

Практическая ценност1> работы заключается в возможности примешь полученные признаки существования периодических решений к ис-едованию конкретных дифференниатъных уравнений, являющихся целями процессов, происходящих во всевозможных природных и со-[альных системах.

Основные результаты, выносимые на защиту:

Для системы (1.1) найдены достаточные условия существования целевых Т{/.) - периодических решений. Основные гребования касаются оПств матрицы /.(V).

Получено представление решения системы дифференциальных уравняй, позволяющее задачу о существовании периодического решения ест и к задаче о разрешимости некоторой системы алгебраических авнений и построению нелинейного оператора, неподвижная точка ко-рого определяет начальное значение периодического решения.

3) Определены условия существования ненулевых 2к -периодических решений для автономной системы дифференциальных уравнений (0.2), когда первым приближением нелинейной части является форма порядка к{к > 2)относительно неизвестного.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференшгальны.ч уравнений а Рязанском государственном педагогическом университете, на международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения С П. Пулькина. в г.Самаре, на Воронежской весенней математической школе

По теме диссертации опубликованы работы [1-6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения. грс.\ глав, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы, включающего 90 наименований, н изложена на 101 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, обзор результатов по её тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы.

Первая глава посвяшена вопросу изучения проблемы существования ненулевых периодических решении систем дифференциальных уравнений вида:

х=Це)х + /(х,е), (1.1)

б

е £ - действительный параметр, .t е £„, F.n - п -мерное действительное кторное пространство элементов г = (.г1,...,дг„)с нормой I - шах|х,;. ¿(г-)-/7 х п непрерывно-дифференцируемая до порядка

включительно матрлца-фунцня, ¿(^'Н maxSK(£)j>

' j

: Е„ х Ei -» Еп - непрерывно-дифференцируемая до порядка к вкдю-тгельно по переменным хи;; вектор-функция,

, . fU.e)

(0.s) = 0, üm —L—— = 0 равномерно относительно г. л->0 W

Пусть в области = е < <>"0,г 5 ¿>0|, ¿о >

1екоторое число, система (1.1) обладает свойствами единственности и клтрерывной зависимости решения от начальных значений и параметра. Гак как /(О.с) = 0,то найдется число S ,, 0 < < такое, что реше-

nie x(t.а. s). х(0м.с) = а системы (1.1) определено для ie[0,7i], где Г, > 0- некоторое наперед заданное число, при (a.s) е .

Ставится задача: найти условия существования ненулевого периодического решения системы (1.1). Пусть д* с- |f),ö0j и пусть число 7\ таково, что при любом т(л) < /;. где /'(;. ) = 2л(\ + х), Х-действительный параметр. Периодические решения системы (1.1) с периодом Г(А ) = 2,т(1 + Д) определяются значениями а,г,л удовлетворяющими бифуркационному уравнению

[ф ,e)-E)a + x(A,s) j х{>.г) '/(-»(',о,= (1-2)

где а = (¿7,....,а„)-«-мерный вектор, являющийся начальным значением для решения системы (0.1), Х(Л, £■) - фундаментальная матрица системы ,г = 1.(г:)х, Л'(0. е)= £', £ -единичная матрица. Тог да задача определения условий существования ненулевого периодического решения может быть сформулирована следующим образом: найти е.а.Х. где а Ф 0. являющиеся решением системы (1.2).

Пусть : = (а.£.Я). Г(г)-девая часть системы (1.2), .-¡(г)- ненулевая однородная форма низшего порядка к [к > 1) относительно г и такая, что систему (! 2) можно записать таким образом:

Г(г)=Л(г) +Л(-")= 0, (1.3)

где содержит г в степени большей, чем к. Пусть - матри-

ца Якоби вектор функции Л(г) Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть существует точка ~ = (а,£ 1 е такая, что = 0.-/(_-)) = п. Тогда система (1.1) имеет ненулевое периолгческое решение с периодом Т{А) = 2л-(1 + ).).

Условия существования периодического решения здесь п в последующих параграфах даны в терминах существовать пары начальное условие-параметр, определяющей это решение.

В §2 доказаны теоремы существования ненулевых 7"(Я)- периодич« ских решений системы (1.12) в предположении, что = /

где г < п. Рассмотрим условия существования ненулевого периоднческ» го решения автономной системы дифференциальных уравнений с пар; метром вида

.c=/.(f)r + /M, (1.12)

ie ¿' e £" ,q > 1, матрица ¿(0) имеет p пар чисто мнимых и [п - 2р) улевых собственных значений. Пусть А(:)-0, rungE{A(:)) = r(r<n) и усть = -ру. г* = р:, где р> о. Запишем разложение .ф) по формуле ейлорав окрестности точки ;*, положив г -: = v. Тогда

I п-2 )

С помощью элементарных преобразований матрицу /э(.4(^)) можно

фивести к виду = о).«лЦл/2,о)| где м°-гх Г -матрица

-акая, что der * о. л/? -/•*[»+,/ + ) -фматршш. ее можно записать так:

= (г°.где с®- матрица размерности /•*[/!-г]. а аг°-r*[</ + i]-«атрица. Таким образом.

4-1*ра{(Л/?(5)) .,{*(< ■?(=))• 4 .v.)}.

где

v - . vi. - ... ,rf ]. ri = calnnivr . |.....r(( j.

vi = ct>bn(r„_i.....y„^4+i).Тогда после указанных элементарных преобразований уравнение (1.3) примет вид

(*/?(?))■ vj +(<2(-=))■ 4 + = (i

/е2(-) = о.

Пусть R2(:) = (?i(r) + 02(-)- где О](г)- однородная форма к, -го порядка относительно г. >к. а О2(г) содержит г более высокого порядка, чем к\. Справедлива следующая

ТЕОРЕМА. 1.4. Пусть форма 1 -го порядка, где к > 1, существует точка :=(г.Г.£).а :<0.:е/;„„( + | такая, что Л(г)=0 И гс!П1;Н(л(:)) = г. где >■ < л Пусть в системе (1.14) 0\{:)~ однородная форма А| -го порядка относительно с;|(?) = 0-

I (5). и; (4 А/,3 (5)) Л/}(г)-[«-фг матрица. .

Тогда система (1.12) имеет ненулевое периодическое решение с перис дом /(;. ) = 2,т(|+-Л)

Заметим, что в условиях теоремы 1.4. гип^О^:) = п-г. Если ж гил.1.'0|(5) <п-г. то процесс может быть продолжен и далее. Процесс к с нечен. так как число уравнений в системе (1.14) конечно В главе 2 изучается система дифференциальных уравнений (2.1). В §1 доказана лемма о возможности представления решения систем; (2.1) в виде !'(/. 1-с,.= г(')го - )• где ' (')" Фундаментальная матриц системы г ~ !■(&)> -1 '(о) - к. Получены признаки существования и отсутс вия ненулевого 2л- периодического решения. Такое представление р< тения позволяет записать бифуркационное уравнение (1.3) в виде си> темы (2.3).

ТЕОРЕМ А 2. [.Пусть существует точка с=(«.Д.г). а *о.се/:,,„ч така что а{с)=о.= Тогда система (2.1) имеет ненулевое период; ческое решение с периодом 7'=2,т ТЕОРЕМА 2.2.Пусть существует точка с = («,р. ¿:) такая, что

орядка и. ОТЛИЧНЫЙ ОТ нуля, л = О)/«^«'.!/").((' = т1оп(и\,1п), и\ - ВеКТОр азмерностн т. и'2- вектор размерности [и-т]./ = со/да(/;,/т)./|- вектор азмерностн т./л- вектор размерности [п-т\и\=1\-й. »з=А -Д. !|) - тхс) матрица. гат;И,(с) = I/. Тогда система (2.1) имеет ненулевое пе-иодическое решение с периодом г = 2л. ТЕОРЕМА 2.3. ГЬ 'сть с-(с¡.А). Р-о. существует точка I = {а. ё). а =0. и) е/:'ОТт</ (»'+•</ > ") такая. что -|(5|) = 0. га/7(,'/)(.1(с| )) = н. где

|(с|) = ^||с| однородные формы относительно с, по-

ядка и а: соответственно >2. к2 >2)

)(д(?))и'=( У Л/|Н _ минор порядка «. отличный ог ну-

я. п" =(/([.//¡').//( - вектор размерности т. «¡'- вектор размерно-ти[»-л|].гал.е.\'|(с:|) = ?.где ц >т Тогда система (2.1)имеет ненулевое пе-иодическое решение с периодом г = 2л

В §2 методом, отличным от метода, рассмотренного в §2 главы 1. сследуется проблема существования не!гулевых 1л- периодических ешений системы (2.1) в предположении, что существует точка " =[а '.р'.е0. такая, что .-((^"^о.лц/г^/Ц.-¡(«*)) ='-,/-,</¡.Так как форма то можно считать, что = 1.Пустьс = р^, где р>о.тогда равнение (1.3) примет вид

= о. (2.25)

де о(р,-вектор-функция, которая стремится к нулю при р->о равно-|ерно относительно Запишем разложение л(с)по формуле Тейлора в крестности точки ц. Тогда система (2.25) примет вид

и

;{л(.,.'))■„+- jr.= (2.26

где J'jформа порядка j относительно и, матрица 5Jko6i

размерности «х [и + </]. и = ^ - V С помощью элементарных преобразований матриц)' A^.-ij^'jj можно привести к виду

■/(/))=(■"" ) где л/, матрица. r<„. dot л/( * о.

Пусть ;/ = |n11.;/Jv|, где uj =(н|.....иг).ч\ =(«r+i.....Тогда , положив

к'=0 и подставив н = (о. <Д| в равенство (2.26), получим

к

+ = (2.27

где ц = |о. н\) + Л'* С праведлива следующая

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть существуетточка Г е//„_,.о.''/".'=• I.

/ = .....j.3/,3£/J = ак ,ак * 0. где ак-к-ая координата вектора

а.а" *0 такая, что T^^/'^O.run^/j^^V/'jj-n.nie ^/.ni)-однородная форма наименьшего порядка л,, отличная ov нуля. в равенстве (2.27).Тогда система (2.1) имеет ненулевое 2л-периодическое решение.

Если гапц!^к] = г,г < п. то методом, изложенным в этом пара-

графе. исследование системы типа (2.27) может быть продолжено далее. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в процессе преобразований не получится система уравнений типа (2.27), в которой число неизвестных будет меньше или равно п.

Результаты теоремы 2.1 использованы при исследовании систем диф-:ренииальных уравнений, описывающих реакцию окисления аргенида.

Глава 3 посвящена определению достаточных условий сушествова-ш ненулевых 1 (л)-периодических решений у систем (1.1) при допол-1тельных условиях, наложенных на матрицу /.(¿). В §1 для системы вида (1.1) проблема существования т(Л)- периоди-:ского решения сведена к поиску пары начальное условие-параметр, ювлетворяющей некоторой системе уравнений. Определены условия прешимости этой системы.

В §2 предложен способ определения условий существования ненуле->го периодического решения системы (1.1) в случае, когда

МГ/-Х Л(-=))</7.

В заключительном параграфе третьей главы показано применение ал-■»ритма по поиску' ненулевого периодического решения системы диффе-гнииальных уравнений (1.1), разработанного в первых двух параграфах горой главы, к системам третьего и четвертого порядка. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору ерёхину М.Т. за постоянное внимание к работе и всестороннюю под-ержку.

По теме диссертации опубликованы работы: . Бакулина Ю.Е. Периодические решения автономных систем с параметром ( тезисы докладов) // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции. Международная научная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения профессора С.П. Пулькина (27-30 мая 1997 г.). Тезисы докладов. Самара: Из-во педуниверситета, 1997. С. 76-77. Тираж 200.

2. Бакулина Ю.Е. Существование ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений с параметром с использованием нелинейных членов П Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань,

1997. 8 с. Библиогр. 3 назв. Рус. Деп. В ВИНИТИ 26.12.97. №3794-В97. Реферат статьи опубликован в РЖ Математика. 1998. т.6. 6Б 192 ДЕП.

3. Бакулина Ю.Е. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений с параметром в критических случаях /У Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань. 1997. 6 с. Библиогр. 1 назв. Рус. Деп. В ВИНИТИ 26.12.97. №3795-В97. Реферат статьи опубликован в РЖ Математика.

1998. т.6. 6Б 193 ДЕП.

4 Бакулина Ю.Е. Существование ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Дифференциальные уравнения | качественная теория). Межвуз. сб. науч. трудов. Рязань: Изл-во РГПУ. 1997. С. 12-18

5. Бакулина Ю.Е. Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений с параметром // Дифференциальные уравнения ( качественная теория). Межвуз. сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ.

1997. С. 19-22.

6. Бакулина Ю.Е Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с блочно-диагональной матрицей линейного приближения // "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения -IX". Воронежская весенняя математическая школа (3-9 мая 1998 г.). Тезисы докладов. Воронеж: Изд-во ВГУ,

1998. С. 17.

Заказ ЛЬ от 1999 г. Тир.^СО экз. Лаб^аториГоператтиой полиграфии ВГУ