Определение условий существования ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с матрицей при производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. С.А. ЕСЕНИНА

ЛУКЬЯНОВА ГАЛИНА СЕРГЕЕВНА

УДК 517.925

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕНУЛЕВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАТРИЦЕЙ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ

на правах рукописи

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ТЕРЕХИН М.Т.

Рязань - 1999

Оглавление

Введение.................................................................................................. 4

ГЛАВА 1. Существование периодических решений систем дифференциальных уравнений с матрицей при производной .. 16 §1.1. Исследование свойств линейной части системы дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производной..... 16

§1.2. Разбиение пространства на прямую сумму двух подпространств в случае выполнения первого и не выполнения второго условия теоремы 1.2 ............................................................. 22

§1.3. Разбиение пространства на прямую сумму двух подпространств в случае выполнения второго условия теоремы 1.2 .... 45 ГЛАВА 2. Поиск ненулевых решений нелинейных векторных уравнений .................................................................................... 59

§2.1. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае неособенной матрицы

при первой производной .............................................................. 59

§2.2. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае нулевой матрицы при

первой производной..................................................................... 66

§2.3. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае особенной матрицы при

первой производной ..................................................................... 73

ГЛАВА 3. Некоторые способы поиска ненулевых решений нелинейных векторных уравнений ............................................. 75

§3.1. Поиск ненулевого решения нелинейного векторного уравнения с помощью определения собственных векторов переменных

матриц ...............................................................................................75

§3.2. Выделение параметра для поиска ненулевого решения нелинейного векторного уравнения...................................................................81

§3.3. Приложение теории нелинейных векторных уравнений к вопросу о существовании ненулевых периодических решений

систем дифференциальных уравнений.....................................................84

Заключение ........................................................................................................112

Литература .........................................................................................................113

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В данной работе изучаются автономные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с матрицей при производной и нелинейной правой частью. Предполагается, что матрица при производных постоянна. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых 2к -периодических решений рассматриваемых систем.

Решение данной проблемы имеет важное значение как для качественной теории дифференциальных уравнений, так и для исследования различных математических моделей. Системы дифференциальных уравнений с неособенной матрицей при производных моделируют многие процессы в физике, химии, биологии, статистике и других науках [2, 15, 25, 37-38, 46-49, 57]. Системы дифференциальных уравнений с особенными матрицами при производных возникают при анализе линейных электрических цепей [8, 50], служат моделями в теории автоматического регулирования; поставщиком таких систем является также метод слабой аппроксимации [70] и метод сферических гармоник [39, 56].

Изучению ненулевых периодических решений посвящено много работ, но даже в случае неособенной матрицы при производных не существует общего подхода к решению поставленной задачи. В частности недостаточно исследована проблема ненулевых периодических решений автономных систем, когда матрица линейного приближения критическая или требуется знать свойства нелинейной части. В случае же сингулярных систем (систем с особенной матрицей при производных) даже существование решений в смысле классического определения остается под вопросом. Поэтому задача поиска условий существования ненулевых решений автономных систем, зависящих от параметра, с матрицей при про-

изводных является достаточно важной. Все это подтверждает актуальность предлагаемой работы, посвященной поиску достаточных условий существования ненулевых периодических решений систем, имеющих матрицу при производных и нелинейную правую часть, зависящую от параметра.

Цель работы. Пусть задана система дифференциальных уравнений

вида:

Sx + Qx + f(x,;l)=0, (0.1)

где 5 и g ■ (тхт) матрицы, матрица S может быть как особенной так и неособенной, xeRm, Я е Rp - параметр, (x5/t)eRm+p, вектор-функция f(x. Я) непрерывна по х и по Я, и для любого Я е Rp /(О, Я)= 0 . Пусть функция /(х, Л) допускает представление /(х, Л)= С(х, Л)+ D(x, Л), где С(х, Л) - полином степени s > 1 относительно переменных х, Л,

C(tx,a) = fC(x, Я), (0.2)

¡Cfo, я)- с(х2, л}\ < /оСг^Цл-,-х2\1 (¡(х^лщх^л^а), (0.3) а функция D(x, Я) представима в виде конечной суммы полиномов степени выше, чем s по (х, Л),

= (0.4)

|/>(v,. Д>- . Л1 ^(crjv,-x,l dCv^K-^JM (°-5>

В данной работе ставится задача поиска условий существования ненулевых lit -периодических решений системы (0.1) в гильбертовом пространстве, когда данное решение представимо в виде ряда Фурье.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной

проблеме.

Вопросы существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с неособенной матрицей при производных получили большое освещение. К примеру проблемы существования периодических решений и их бифуркаций рассматривали Е. Хопф [77], А. Пуанкаре [45],

A. М. Ляпунов [30], В.В. Немыцкий, В.В. Степанов [40], H.A. Бобылев [45], М.А. Красносельский [21-23], И.Г. Малкин [31-33], Ю.В. Малышев и

B.П. Захаров [34-36], М.Т. Терехин [58-59] и другие авторы [1, 6-7, 11-12, 14, 28-29, 42-43, 62-63, 76, 78].

Вопросы существования ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных получили гораздо меньшее освещение, поэтому остановимся подробнее на литературе, посвященной сингулярным системам дифференциальных уравнений.

Большинство авторов [8-10, 13, 17, 24, 41, 65, 71-75, 80] рассматривали так называемые линейные дифференциально-алгебраические уравнения, то есть уравнения вида Ах + Вх = /. При этом используют как точные, так и приближенные методы.

Все точные методы решения дифференциально-алгебраического уравнения основаны на его разбиении на систему уравнений, одно из которых является обыкновенным дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. В ряде работ [8, 24, 74, 75, 80] рассматриваются однородные сингулярные уравнения Ах = Вх. При этом на матрицы А и В накладываются различные условия.

Так в работе С.Г. Крейна и В.Б. Осипова [24] рассматривается только тот случай, когда матрица В не вырожденна, а матрица А вырож-денна. При этих условиях авторы находят множество решений данного

уравнения и доказывают теорему о существовании положительно определенной квадратичной формы, невозрастающей на всех решениях уравнения Ах-Вх, которая используется ими в дальнейшем при исследовании систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени.

В работах [74] и [75] рассмотрен так же случай, когда й&А = 0 и с^В = 0. При этом исходная система может приводиться как к системе дифференциальных, так и алгебраических линейных уравнений.

Один из точных методов основан на приведении произвольного пучка матриц к каноническому виду. Ф.Р. Гантмахер [13] с помощью строго эквивалентных преобразований приводит пучок матриц ЛА +В к канонической квазидиагональной форме. При этом исходное уравнение распадается на несколько независимых подсистем, каждая из которых решается отдельно, причем может оказаться и несовместной. Проведенный Гантмахером Ф.Р. анализ показывает, что для совместности исходной системы Ах + Вх = / в общем случае должны выполняться некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными коэффициентами) между правыми частями уравнений. Если эти условия выполнены, то общее решение системы содержит линейно как произвольные постоянные, так и произвольные функции. Характер условий совместности и характер решений определяются минимальными индексами и элементарными делителями пучка ЯА + В, так как от них зависит каноническая форма этой системы. В отличие от данной работы в статье [41] для решения уравнения Ах + Вх- / осуществляются не строго эквивалентные преобразования матричного пучка ЯА + В, а преобразования с помощью унимодулярных матриц [26. С. 371]. При этом решение исходного уравнения значительно облегчается так как бло-

ки, содержащие бесконечные элементарные делители пучка ЛА + В, будут иметь единичный размер.

Несколько другой метод решения сингулярных уравнений был использован В.Ф. Чистяковым. В статье [65] автор изучает линейные системы с вырожденной или прямоугольной матрицей при производной искомой вектор-функции. Для получения решения используется метод исключения неизвестных, который основан на преобразовании исходной систе-

мы Ах = Вх + /, где А и В - (m х и)-матрицы к виду

х = Вх + f. При

этом полученные решения непрерывно дифференцируемы. Чистяковым доказаны условия совместности изучаемой системы: если 1) т<п, 2) /(i)eC*, 3) существует X такое, что rang(AX - В)= m, то система Ах = Вх + / совместна. Полученное решение в общем случае содержит произвольные постоянные и функции.

В работе [75] для поиска решений сингулярной системы дифференциальных уравнений Ах = Вх + f авторы использовали матрицу Дразина и разбивали основное пространство, где искались решения, на два подпространства, инвариантные относительно оператора А. При этом предполагалось, что матрицы А и В- перестановочные. На вектор-функцию / накладывалось условие существования indA -1 раз дифференцируемой части, лежащей в подпространстве, содержащем ker^4. Однако полученное решение не обязательно было дифференцируемым.

Наиболее полно дифференциально-алгебраические уравнения исследованы в монографиях Ю.Е. Бояринцева [9-10]. В них автор исследует системы вида A(t)x = B(t)x + fit). При этом матрицы A(t) и B(t) могут оказаться прямоугольными, а на решения накладываются дополнитель-

ß

ные условия j (da(sJ)C(s')>c (s) = а, где а - заданный вектор, C(s) - задана

ная матрица с непрерывными на [а, ß\ элементами, a(s) - заданная матрица, элементы которой - вещественные на [а, ß\ функции с ограниченной полной вариацией. С помощью обратных матриц Дразина Бояринцев доказывает теоремы о существовании решений исходного уравнения, исследует вопросы управляемости и наблюдаемости подобных систем.

Во всех предыдущих работах рассматривались сингулярные системы дифференциальных уравнений в конечномерных пространствах. В статье [51] Сидоров H.A. рассматривает произвольное банахово пространство и производит разбиение этого пространства на бесконечномерные части. В статье [19] С.П. Зубова изучает зависимость решений сингулярных систем дифференциальных уравнений от параметра.

В работах В.П. Скрипника [52-55] исследуются системы вида (а(^)х) + F(t, jc)= 0. В работах [53-55] существование решений подобных уравнений доказывалось при помощи построения семейства невырожденных систем, которое сходится к вырожденной системе. В статье [52] существование решений системы (A(t)x) + F(t, х)= 0 доказывается непосредственно. При этом решение х предполагается условно абсолютно непрерывным или условно дифференцируемым, то есть оно не является дифференцируемым, но дифференцируемой является вектор-функция A(t)x. Доказательства проводятся при условии, что A(t) имеет особую структуру, абсолютно непрерывна и имеет ограниченную производную.

Несколько статей посвящено численному решению сингулярных систем. В работе [64] Бояринцев Ю.Е. рассматривает линейную систему вида = B(f)ßc + fit), которую решает приближенно с помощью раз-

ностных методов. При этом предполагается, что все матрицы и векторы достаточно гладкие, и существует единственное тоже достаточно гладкое решение исходной задачи. Автор использует обобщенные обратные матрицы, в том числе матрицы Дразина, и на функцию f(t) накладывает условие существования производных до к-1 порядка включительно, где indA(t)<к = const. Основное внимание уделяется системам, где к<2.

В статье [16] В.А. Данилов рассматривает трудности, возникающие при численном интегрировании систем вида Mx(t)= <p(t). Автор анализирует различные методы численного решения систем дифференциальных уравнений на их применимость к сингулярным системам. Он доказывает возможность применения явного и неявного методов Эйлера для численного интегрирования систем вида Mx(t)= x(t)~ <p(t).

В нескольких статьях рассматриваются нелинейные сингулярные системы. В работах [66-67] В.Ф. Чистяков сформулировал и доказал локальную теорему существования и единственности для решений нелинейной задачи Ах = f(t,x) в случае, когда каноническое представление матричной пары (А, /ж') не содержит нильпотентных блоков степени выше единицы. При этом на систему накладывалось условие совместности rang(A)= rang(A, /). Так же установлена сходимость модифицированного метода Ньютона, если в равномерной метрике приближение выбрано достаточно близко к решению.

Н.В. Зубов [18] доказал теорему существования и единственности решения системы вида Ax~F(t,x), где F(t, х) - вещественная, дважды непрерывно дифференцируемая по всем своим аргументам вектор-функция. При этом решение получается как предел специально организованных последовательных приближений.

В работе Логинова Б.В. и Русак Ю.Б. [27] для решения уравнения Ау = Ву + /(у, х) используется понятие обобщенной жордановой структуры, с помощью которого определен проектор на корневое подпространство и доказана асимптотическая устойчивость тривиального решения.

В нескольких работах [68-69, 79] рассматриваются периодические решения сингулярных систем дифференциальных уравнений. Так в работе [68] Ю.Д. Шлапак рассматривал линейные системы вида = , где «-мерные матрицы и имеют производные всех порядков для любого I и являются периодическими по ? периода 1. Он исследовал задачу приведения данной системы с помощью периодической невырожденной замены переменных к системе Р0у = Аь([)у, где Р0 - постоянная матрица. Затем полученное уравнение разбивается на систему двух уравнений, одно из которых алгебраическое, а второе - дифференциальное, разрешенное относительно производных. При этом вопрос о периодических решениях сингулярной системы сводится к вопросу о периодических решениях системы обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. В статье [79] для системы Ах + Вх = /(?, х) доказано условие существования и единственности со -периодического решения. При этом предполагалось, что для некоторого Л существует (ЛА + ву1 и использовалась перестановочность матриц (Ы + ВУА и (ЛА + вув.

Методика исследования. Задача поиска ненулевого 2к~ периодического решения системы (0.1) сводится к поиску решения в виде ряда Фурье, разбиению основного пространства на два подпространства и отысканию некоторого тригонометрического многочлена и параметра, которые определяются через ненулевые решения нелинейного векторного

уравнения. Исследование нелинейного векторного уравнения производится с помощью разложения некоторых форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки.

Содержание работы. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов, полученных другими авторами, приводится методика исследования и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена нахождению необходимого и достаточных условий существования ненулевых периодических решений уравнения (0.1) при условиях (0.2) - (0.6). Решения х ищутся в гильбертовом пространстве Ь2 в виде рядов Фурье

00

х = а0 + ^апсоШ + Ьп$т.п1. (0.7)

п-\

Путем разбиения пространства на прямую сумму двух подпространств получены условия существования ненулевых периодических решений исходной системы.

В §1.1 на множестве всех тригонометрических рядов М рассмотрены свойства оператора В, определяемого равенством Вх = 8х + £)х. В теореме 1.1 доказано условие существования во множестве М оператора В'1, обратного оператору В. В теореме 1.2 дано необходимое и достаточное условие существования собственных векторов, соответствующих нулевому собственному значению оператора В. Далее дано определение решения системы дифференциальных уравнений с матрицей при производных в пространстве Ь2. В отличие от классического определения решения системы дифференциальных уравнений (см. например [3, 44]), в данном определении решение не дифференцируемо, а только интегрируемо с квадратом.

В §1.2 и §1.3 находятся поверхности точек, подозрительных на решение данной системы при различных свойствах ее линейной част