Ненулевые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Моисеев, Дмитрий Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Рязань
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
на правах рукописи
Моисеев Дмитрий Сергеевич
НЕНУЛЕВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОЙ МАТРИЦЕЙ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ
01.01.02 - Дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Пермь 2005
Работа выполнена в Рязанском государственном педагогическом университете имени С.А. Есенина.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Терехин Михаил Тихонович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Симонов Петр Михайлович
кандидат физико-математических наук, доцент Лукьянова Галина Сергеевна
Ведущая организация: Мордовский государственный
университет им. Н.П. Огарева
Защита состоится " 19 " мая 2005 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, ауд. 212.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Пермского государственного технического университета.
Автореферат разослан апреля 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент
В.А. Соколов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В данной работе рассматриваются автономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с особенной матрицей при производных. Матрица при производных предполагается постоянной. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических решений данной системы с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа.
Проблема нахождения периодических решений является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Общего подхода к решению этой проблемы не существует. Так, в случае неособенной матрицы при производных недостаточно изучены критические случаи, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы. В случае систем с особенной матрицей при производных даже вопрос о существовании решения в смысле классического определения остается открытым. Большой вклад в изучение систем с особенной матрицей при производных внесли Ф.Р. Гантмахер, Ю.Е. Бояринцев, В.А. Данилов, В.П. Скрипник, В.Ф. Чистяков, В.А. Еременко и другие математики. Тем не менее, вопрос существования периодических решений сингулярных систем до конца не изучен. Поэтому задача поиска условий существования ненулевых периодических решений систем такого вида является достаточно важной. Все это подтверждает актуальность предлагаемой работы.
Цель работы состоит в получении условий существования ненулевых -периодических решений системы автономных дифференциальных уравнений.
Методика исследования Поиск ненулевого -периодического решения данной системы путем замены переменной сводится к поиску ненулевого 2я--периодического решения некоторой измененной системы. Решение измененной системы ищется в виде тригонометрического ряда. Путем представления основного пространства в виде прямой суммы трех подпространств, используя метод сжатых отображений, показывается, что ненулевое -периодическое решение измененной системы определяется через ненулевые решения нелинейного векторного уравнения. Исследование нелинейного векторного уравнения производится с помощью разложения форм в степенные ряды и метода неподвижной точки.
Научная новизна. В работе найдены новые достаточные условия существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом.
Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы при исследовании конкретных систем
автономных дифференциальных уравнений, являющихся моделями реальных процессов, протекающих в природе и социуме. На защиту выносятся следующие положения:
1) необходимые и достаточные условия существования ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных;
2) условия существования и отсутствия ненулевых решений нелинейных векторных уравнений;
3) достаточные условия существования ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений специального вида. Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на
заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете им. С.А. Есенина, а также на следующих конференциях.
1. IX Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии (апрель 2004).
2. Научная конференция "Герценовские чтения - 2004" (г. Санкт-Петербург, апрель 2004).
3. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения XV" (г. Воронеж, май 2004).
4. Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, ноябрь 2004).
Публикации. Основные результаты работы отражены в одиннадцати публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы. Общий объем диссертации - 105 страницы машинописного текста. Библиографический список содержит 95 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, сформулированы основные результаты, полученные в работе.
В главе 1 найдены необходимые и достаточные условия существования ¿»-периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений.
§ 1 главы 1 содержит основные определения и постановку задачи. В диссертации рассматривается автономная система дифференциальных уравнений вида
А^ + Вх+/(х,Л) = 0, (1)
ат
в которой хеЯ", А, В - постоянные матрицы, матрица А в общем случае может быть особенной, ЛеЛ", Я - параметр. Предполагается, что справедливо представление /(лг,Л) = С(х,Л)+ £>(*, Я), где СО,Л.) - форма порядка ^ > 1 относительно переменных х, А, 1>(*Д) - конечная сумма форм более высокого порядка, чем я, относительно тех же переменных, С(0Д) = 0, -0(0,Я) = 0.
Ставится задача: определить условия существования ненулевого апериодического решения системы (1) в окрестности нулевого решения. При этом со принадлежит окрестности некоторого известного числа. С
помощью замены переменных, 1=~т, систему (1) можно привести к
О)
системе вида
Я(в,х, Л) = А^ + о>„Вх + /¡(в,х, Л) = 0, (2)
ш
в которой /1(0,х,Л) = вВх+(а>о +в)/(х,Л), 3=2я(оза+в). Число <аь считаем известным, а в- параметр, вид которого будет определен позднее.
Заметим, что 2п-периодическому по / решению системы (2) соответствует 5> -периодическое по г решение системы (1). Будем искать 2я-периодическое решение системы (2).
Рассмотрим множество М„ всех тригонометрических рядов вида
•МО
* = + «»Аг + ^втЙ, где аь» щ, Ь - л-мерные векторы
■КС
(коэффициенты ряда). Ряд 0 + ^Осовй + Овт к/ назовем нулевым элементом множества М„ (обозначим его 0). Под х будем понимать ряд
•»■со
вида х = ¿¿¿соб й - как з£п И. На множестве М„ определяются операции
ы\
сложения рядов, умножения ряда на число и умножения ряда на матрицу.
Определение 1.1. Элемент х0еМ„ назовем 2л-периодическим решением системы (2), при некоторых веЯ и 1еЯт , если Я(0, х0, Я) -нулевой элемент множества М„.
Оператор В определим равенством
В'х = Ах + со0Вх. (3)
Очевидно, что В* - линейный оператор на множестве М„. Определение 13. Ненулевой элемент х0еМ„ назовем собственным элементом оператора В', если существует действительное число у, при котором В'х0-ух0 - нулевой элемент множества М„. Число у назовем собственным значением оператора В, соответствующим собственному
элементу хо-
Теорема 1.1. Если оператор В* не имеет нулевого собственного значения, то он имеет обратный на множестве М„.
Теорема 1.2. Оператор В* имеет собственный элемент, соответствующий нулевому собственному значению тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий 1) detB = 0;
гео0В кА ^
2) существует такое keN, что det Li к) = 0, где Цк) = , .
кА ео0В)
Замечание. Если определитель матрицы Цк) не равен тождественно нулю, то уравнение det Цк) = 0 при фиксированном соо имеет не более чем 2/1 различных натуральных корней.
Далее предполагается, что определитель матрицы Цк) не равен тождественно нулю.
-КС
Рассмотрим пространство Мп(1\) рядов х = а0 + coskt + bt sinkt e M„,
Ы
коэффициенты которых удовлетворяют условию (a0,al,bl,...,at,bi,...)eli. Определим норму элемента из множества следующим образом.
+1» «о
Пусть x = aQ + cosfa + bt smkt e M„(l{), тогда H = |ao| + ZKI + |At|-
¿-I i=i
Можно показать, что пространство Mn(lx) - полное. Пусть хеМ\{1{), уеМ\(1\). Определим произведение ху формальным произведением рядов.
Лемма 1.1. Если хеМ}(1{),уеМх(1,), то хуеММ) и \\ху\\ < |U|j|jy||. Обозначим Х„{е)=\х,Х):х&Мп(11\Ц^£,Х^Я",Щ<е), s > 0 -некоторое число.
С использованием леммы 1.1, доказано, что на множестве X„(s) справедливы неравенства
|С(х,Д) - С(х2,Л)| < - *2|, (4)
||О0с„Л)--хг\, (5)
б
где д0 > 0 — некоторое число, 1ш> - 0.
Г-.0 Е1
Пусть У„(£)=(в,х,Л):хеМ„(/,),||х|| < еД е К",|Л| < в,в е Л,|<9| <; е\, где е> О - некоторое число.
Теорема 1.3. Если оператор В не имеет нулевого собственного значения и имеет ограниченный обратный оператор во множестве Мп{1\), то существует такое положительное число е, что во множестве У„(£) существует только нулевое решение системы (2).
Следствие. В случае выполнения условия теоремы 1.3 у системы (1) нет малых периодических решений с периодом, принадлежащим окрестности числа 2пой-
Теорема 1.4. Если для любого положительного щ оператор В не имеет нулевого собственного значения, то у системы (1) нет периодических решений в достаточно малой окрестности нуля.
В § 2 главы 1 число од предполагается таким, что у оператора В' существует нулевое собственное значение. Методом разбиения пространства М„{1\) на прямую сумму трех подпространств задача нахождения ненулевого а -периодического решения системы (1) сводится к задаче разрешимости некоторого векторного уравнения. Показана связь между решением системы (1) в классическом смысле и решением, определенным в виде тригонометрического ряда.
Обозначим через М ~{к„...,к^ множество всех натуральных корней уравнения йеХЦк) = 0. Будем считать, что при любом к, еМ матрица Цк) представлена в жордановой форме. В этом случае пространство Мп можно представить в виде прямой суммы трех подпространств М„ = У0 ф V, Ф У2, где У0 — ядро оператора В', образованное собственными элементами ..., Ир оператора В , соответствующими нулевому собственному значению, У2 является инвариантным подпространством оператора В', подпространство У\ образовано элементами g¡, ... , g¡, которые однозначно определяются свойствами оператора В'.
Тогда любой элемент хеМ„ можно единственным образом представить в виде
* = (6)
7=1 1=1
В равенстве (6) Р - оператор проектирования пространства М„ в подпространство У2, £ (х) - линейные функционалы, определенные
равенствами а,(х) = — \xh.dt, £,(•*) = ~ \xg.dt (сг,(х) = —\хИ,Л,
ж I 1 л I ' 2х>0
1 2гг
(х) = — \xgjdt для элементов й„ соответствующих случаю <1е1:5 = 0). В о
последних равенствах под произведением коэффициентов ряда понимается скалярное произведение векторов.
Учитывая равенство (6), система (2) равносильна системе:
Р(ЩО,х,Л)) = (>, (7)
<7(Я(би Д»=0, (8)
&тх,Л)) = о, (9)
где а = (а1,...,ар), £ = (&,•..,£,).
Рассмотрим множество Так как Л/„(/,) с Мп и для любых
/е{1, ...,/>}, _/е {1...../} 6 М„(/|), то справедливо равенство
М„(/,) = К0 © К, Ф К2, где Й2 = И2 п Л/„(/,).
Решение системы (2) ищем во множестве Мп{1\) в виде
х{а,Р) = Рх(а,/3) + ^а,И, + ¿Д&, где а = (а,, ... , аД Д = (Д, ... , Д) -
постоянные векторы, подлежащие определению, нормы которых
определяются соответственно равенствами |а|| = ¿|а,|, ||Д| = £|Д |.
Далее параметр в рассматривается как функция в = в(а,(3,А), такая, что нелинейная часть системы (2) представляется в виде /, (0, х, Я) = С, (а, Д, х, Я) + Д (а, Д, х, Я), где - форма порядка
5>1 относительно переменных а,р,х,Л, £>,(а,Д,х,Я) - конечная сумма форм более высокого порядка, чем з, относительно тех же переменных, С, (а, Д,0, X) = 0, £>, (а,Д,0, Я) = 0. Тогда равенства (7) - (9) примут вид
Р{Ща,р,хЛ)) = 0, (7')
<т(Л(а,Д,*Д)) = 0, (8')
^(Д(а,Д,хД)) = 0. (9')
Теорема 1.5. Норма оператора Р равна 1. Пусть е> 0 - некоторое число. Обозначим 1„{е) = 1а,р,х,Х)-х е М„(/,),Н <гДе ЯМИ * е Л',||Д| < 4
Аналогично неравенствам (4) и (5) доказывается, что во множестве 2п (е) справедливы неравенства
||С1(а,Д^1Д)-С1(а,Д,лг2Д)|<д0£1-,||х1 - х2|, (4')
р1(а,0,х1,Л)-О1(а,р,х1,Л)\<д(ер1 -х2\\, (5')
где яо>0 - некоторое число, Нш^^ = 0.
Теорема 1.6. Если существует число ¿>0, такое, что при любом кеМ то оператор (я')"' на множестве У2 линейный и
ограниченный.
Отметим, что в формулировке теоремы 1.6. условие ||1'(¿)| < г/ при любом к е М является существенным. Достаточное условие существования числа ¿>0 такого, что при любом кеМ |/г'(<:)|<й? дает следующая теорема.
Теорема 1.7. Пусть det L(k)= m. Тогда если po*0 или же
т-0
Ро = 0, а />! *0,то прилюбом jM М.
Далее предполагается, что оператор (в') ' на множестве ^ линейный и ограниченный.
Рассмотрим уравнение (7'): P(R{a,ß,x,X)) = Q. Можно доказать, что для любого xeV2 В'Рх = РВ'х. Тогда данное уравнение можно представить в виде
Px(a,ß.) = -(В')'1 Р(С| (а, ß, х(а, ß), X) + Д(а, ß, х(а, ß),X)). (10)
Обозначим Px(a,ß) = z(a ß), S(a,ß) = ¿аД + - Тогда уравнение
М 1=1
(10) примет вид
ziaß)=na,ß,X)z{aß), (11)
где
Г(я,ДД)г(в>л = ~(B'y*P(Cx{a,ß,zi/Ln + S(a, ßb,Xi + Dx(a,ß,zM +S(a,ß),X)).
Заметим, что для любого z(aß) е Уг T(a,ß,X)z{aß) еУ2. Введем следующие обозначения: Д,(г-) = {а :|aj<f}, tb.2(£) = \ß:\0\<.e), Д,(*) = Г« = jz е Fj: ||zj| < s\.
Теорема 1.8. Существует число г, > 0 такое, что при любом фиксированном е е (0,£,] и любых фиксированных а е Д,(г), ß е Д2(г), ДеД3(е), оператор Г(а, Д Я) на множестве Т(е) имеет единственную неподвижную точку.
Следствие. Из теоремы 1.8 следует, что произвольным фиксированным ае Л,(е), ß е Д2(е), АеД3(£) соответствует единственное zlaß) =q>(a,ß,X), являющееся решением уравнения (7'). Заметим, что оператор Г непрерывен по а, ß и Л. Тогда по теореме о непрерывной зависимости решения от параметра функция q>(a,ß,X) непрерывна по а, ß и Л.
Из теоремы 1.8 следует, что для существования ненулевого 2к-периодического решения системы (2) необходимо и достаточно найти аеД,(£), ßeA2(s), Ле A3(f), ||a| + ||^J#0, удовлетворяющие уравнениям (8'), (9'). Если такие ä, ß и X найдутся, то соответствующее ненулевое 2я-периодическое решение системы (2) будет иметь вид
х(а, ß) = <p(ä, ß ,Х) + £ а, А, + ^ß,g, ■ Полученное решение принадлежит
i=i J=i
пространству и поэтому является непрерывной по t функцией. Это решение определит ненулевое непрерывное S-периодическое по т решение системы (1).
Теорема 1.9. Если при а1,«2 еЛ,(£), /?',р2 е Д2(г), ХеА3(е), <р(а\р\Х), р(а2,р2,Л) - неподвижные точки соответственно операторов Г(а\р\Х), Г(а2,р2,Х) на множестве Це), то
\р{а\р\Х)-<р(а2,р2,Х%<М±\а)-а1\+±\р1-Р^\. (12) ' у V'-i )
Теорема 1.10.
\<р(а,р, Л)\\ < ^ _ + iHl) - (13)
Используя формулы (6'), (7'), а также теоремы 1.9 и 1.10, систему (8'), (9') можно записать в виде
MP + G(a,p,X)+F(cc,p,X) = 0, (14)
где М - ((^/)х0-матрица, G(a,p,X), F(a,p,X)~ (/>+/)-мерные вектор-функции, удовлетворяющие условиям:
1. G(ta,tp,lX) = t'G(a, Р,Х).
2. Ит^|^ = 0,где , = («,/?, А), Ц = ™*{»4II4W }• с-»0 1и1
Теорема 1.11. Для того чтобы система (1) имела ненулевое 5-периодическое решение с коэффициентами из множества /, в любой достаточно малой окрестности нулевого решения, необходимо и достаточно, чтобы система (14) имела такое решение, что ||а|| + ]|/?| * 0.
Связь между классическим решением системы (1) и решением, определенным в виде тригонометрического ряда показывает следующая теорема.
Теорема 1.12. Для того чтобы у системы (1) существовало малое непрерывное ©-периодическое классическое решение х(т) с производной,
Г со а
имеющей ограниченное изменение на сегменте
, в частности если
2 2
матрица А неособенная, необходимо и достаточно, чтобы система (14) имело решение такое, что |а| +1|/?|| * 0.
В главе 2 рассматривается векторное уравнение
мр + С(а,р,Х) + Р{а,РЛ) = Ъ, (15)
где М-((¿Н-/)х/)-матрица, аеЯр, /9еЛ', Ае Я", С{а,р,Х), Р(а,р,Л)~ (р+/)-мерные вектор-функции, удовлетворяющие условиям:
1. а, ¡р, а) = ^(а, р,Х).
2. = 0, где у- (а,р, X), Ц = шах{ Н|И|,Н}.
Решается задача о существовании решения уравнения (15), удовлетворяющего условию |«[ + \р\ * 0, где |а| = тах{|а,|}, Щ - тах{|Д|}.
§ I главы 2 содержит необходимое условие существования ненулевых решений векторных уравнений.
Пусть rangM = r, O <r<l. Тогда с помощью операций элементарных преобразований строк уравнение (15) можно привести к системе ÍM0fi + o<\y\)= О,
Коо+^М'Ц,
где Мо - (гх/)-матрица, rangMй = г, G0(y) - форма порядка s относительно у, = lim= о. Обозначим HJy) = colon(M0p,GJy)).
Теорема 2.1. Если существует такой элемент у', j_y'|= 1, что то в любой окрестности элемента у = 0 имеется множество, в котором нет решения системы (16).
Теорема 2.2. Если для любого у, = 1, выполняется Н0(у)* 0, то существует число сг> 0, такое, что во множестве (у: 0 < £ сг} нет решения системы (16).
Далее предполагается, что существует такой элемент у', |л| = 1» что
Я0(>0 = 0.
Делая замену переменных
ir*" • (17)
[ДУ\=У1-У1,
и разлагая вектор-функцию Н0(у{) в ряд Тейлора в окрестности точки у\, систему (16) можно привести к виду
+ = (18)
Ы1
где в[у\) - значение матрицы Якоби вектор-функции Я0(у,) в точке у', при любом i е {2,..,.?}, 1,,(Ау,) - вектор-форма порядка i относительно Ди,.
Для уравнения (18) возможны три случая: 1) rangB(y¡ ) = р + 1; 2) 0 < rangB{y\)</> + /; 3) B{y\) = Q.
В § 2 главы 2 рассматривается случай, когда rangB(y\) = р + l, то есть когда строки матрицы в[у\) линейно независимы.
Теорема 2Л. Если rangB(y\) = р +1, то уравнение (15) имеет ненулевое решение.
Замечание. Пусть выполнены условия теоремы 2.3, причем y't = {а и |а'| + |/?'|*0. В этом случае у уравнения (15) существует
решение, удовлетворяющее условию |а| + \0\ * 0.
В § 3 главы 2 рассматриваются случаи, когда 0 < rangB{y\) < р +1 или В(у\ ) = 0, то есть когда строки матрицы й(у') линейно зависимы. Изложен алгоритм доказательства существования решения уравнения (15), удовлетворяющего условию |а| + |/?|*0.
1. Рассмотрим случай, когда 0< rangB(y't )<р+1. А) Метод сложения строк.
Пусть rangB(y\) = гх <р + 1. Тогда с помощью элементарных операций преобразования строк уравнение (18) можно привести к системе
Г Af, Av, + ¿KjAy,!)+ö(/y,)=0, С,(Ду1) + о(|Д>-1|1|) + О(/у1) = 0, где М\ - (г|)х(р+/+т)-матрица, Gi(AyO - форма порядка sh 2üsi <.s,
oÄAv.l) о(|Ду,|") _ =
lim ; 1 =0, lim ■ v " ' = 0, limO(/?Ki) = 0, 1ип0(ду,) = 0 равномерно
относительно у„ принадлежащего множеству {у,: |>>,| S Л,}, 1 < Д,. Так как
Ду, =yi~y\, то limÖ(/9>,) = 0, lim0(/y,) = 0 равномерно относительно Ду,, р-*0 р-*0
принадлежащего множеству {Ду,: |Ду,| < А,}, 1 < А,. Обозначим Я,(Ду,) = colon(MlAyi,Gt(Ду,)).
Теорема 2.4. Если для любого Аylt |Ду,| = 1, выполняется неравенство //,(Ду,) * 0, то в любой окрестности элемента у = 0 существует множество, в котором нет решения системы (19).
Далее предполагается, что существует такой элемент у'2, = 1, что
Я|(Л> = 0.
Делая замену переменных
(20)
АУ2=Уг~У2<
и разлагая вектор-функцию Ht(y2) в ряд Тейлора в окрестности точки у'г, систему (19) можно привести к виду
5, (у^Л +(Ау2 ) + 0,(А у2) + 0(p„/jy,) = 0, (21)
1=2
где Д,(уз) - значение матрицы Якоби вектор-функции Н, {у2) в точке у'2, при любом ;'е {^..,5,}, £Ь(Ду2) — вектор-форма порядка i относительно Ду2. Для уравнения (21), как и для уравнения (18),возможны три случая: 1) rangß,(yj)= р + /; 2) 0 < /w»gß,(y2)< р +
Пусть выполняется условие 1). Тогда справедлива Теорема 2.5. Если mngB,(y2)=р+1, то уравнение (15) имеет ненулевое решение.
Пусть выполняется условие 2). Система (21) с помощью элементарных преобразований строк приводится к виду
М2 Ду2 + о(|Ду21) + О, (ply2) + 0(Pi = 0,
рг (АУ г) + о(|Ду2Г') + О, <ЛЛ) + 0(р,, рух) = 0,
где С2(Ду2) - форма порядка s2, 2 i s2 < j, < s. Обозначим tfj (Аy2) = colon(M2\y2, G2 (Ду2)).
Теорема 2.6. Если для любого Ау2, |Ди2| = 1, выполняется неравенство //2(Ду2)*0, то в любой окрестности элемента = 0 существует множество, в котором нет решения системы (21).
Пусть существует такой элемент у\, = 1, что Нг(у'ъ) = 0. Тогда, делая замену переменных
= РгУ^ АУз = Уз ~Уз>
и разлагая функцию Нг(уг) в ряд Тейлора в окрестности точки _у3*, систему (21) можно привести к виду
^(Уз'Кз + + °2(/Vi)'+ Ох{р2,р,уг) + О{р2,р1гру0-0, (22)
1=2
где В2{уз) - значение матрицы Якоби вектор-функции Н2(у1) в точке у\, ¿з,(Ду3) - вектор-форма z-го порядка относительно Ду3, lim 02(р2у}) = 0
равномерно относительно у3, принадлежащего множеству [у3 :|jy3| < Д3}, 1<Д3.
При любом фиксированном р2 lim 0,{р2,р.у2) = 0, а также при любых
Pl-t о
фиксированных р, и р2 limO(p2,/31,/iyl) = 0 равномерно относительно у2,
p—*Q
принадлежащего множеству {у2: < Д2}, 1 < Д2.
Для уравнения (22) возможны три случая: 1) rangB2\y\)= р +1; 2) Q<rangB2(y\)<р +13) В2{у\)= 0. И так далее. Нау'-ом шаге получим уравнение
'=2 (23)
+ ¿у,) = 0,
где 2<s,, <...<s, üs. При этом lim 0,_,(/э, ,jO = 0 и для любого
¿e{l,...,y-l} при любых фиксированных pjA,...,pL lim 0(р ,, р 2,..., рк, ) = 0.
Теорема 2.7. Если rangBM(у*) =р + 1, то уравнение (15) имеет ненулевое решение.
Замечание. Пусть выполнены условия теоремы 2.7, причем у\ = [а ,ß\£) и |а'| + |/?'|*0. Тогда у уравнения (15) существует решение, удовлетворяющее условию |а| + Щ * 0. Б) Метод замены переменной.
Пусть rangB(y\) = r<p + l, г <m. Введем замену переменных Л>1 = Ру, где Р - матрица размерности (p+l+m)x(p+l+m-r), столбцами которой являются линейно независимые решения уравнения e(y')Ayi = 0. Тогда уравнение (18) преобразуется в уравнение
¿Zb(r,) + O(/yI) = 0, (24)
i=2
где !,,(/,) - форма порядка i относительно переменной у\-
Способ исследования уравнения такого типа рассмотрен в следующем пункте. При этом количество переменных в уравнении (24) уменьшилось на г.
Аналогичным образом можно поступить и в том случае, если на j-ом шаге в уравнении
iyJ)+0J_2(pJ-1,pJ-2yJ-l)+...+ 1=2 (¿3)
+ O(pJ_l,pJ.2,...,pi,pyl) = 0
rangBM0>* ) = , 0 </-,_,< р + /, rjA<т.
2. Рассмотрим третий случай для уравнения (21). Пусть В(у[) = 0. Тогда уравнение (21) примет вид
¿11,(Ду1) + 0(/^1) = 0. (25)
1=2
Предположим, что существует минимальное число Г[ e{2,...,i,}, при котором ¿„¡(Д.у,) не равно тождественно нулю.
Тогда делая замену переменных Ду, = рху2, где р, > 0, уравнение (25) можно привести к виду
МЛ) + )'+ O(A.PVi) = 0, (26)
где при любом фиксированном р. >0 lim0(p,,py,) = 0, lim0|(pi>>2) = 0
равномерно относительно у2, принадлежащего множеству {_у2 : |>-2| < А,}, 1<Д2.
Аналогично, как и в теореме 2.4, можно показать, что если для любого У г > W -1 > выполняется Lir< (у2)* 0, то в любой окрестности элемента у = 0 существует множество, в котором нет решения системы (26).
Далее предполагается, что существует такой элемент у\, ¡у2| = 1, что 11г(^2) = 0. Делая замену переменных Лу2 =у2~у', и разлагая вектор-функцию L, (у2) в РЯД Тейлора в окрестности точки у\, систему (26) можно привести к виду
Я.бъЬъ + + + 0(px,pyt) = 0, (27)
1=2
где ^(уг) - значение матрицы Якоби вектор-функции (у,) в точке у\, при любом ¡е{2т..,г1}, ¿2,.(Ду2) - вектор-форма /'-го порядка относительно Ду2.
Уравнение (27) имеет вид, аналогичный уравнению (21), и для него можно применить алгоритм, изложенный в § 2.2 и в пункте 1 § 2.3.
Аналогичным образом поступим, если на у'-ом шаге алгоритма, изложенного в пункте 1 этого параграфа, в уравнении
В,-1 бОК'у + £ М 4У,) + 103-01> + 1. Р,-гУз-\ ) + ■•■ +
1=2
выполняется равенство ВуЧ(у*)=0.
Таким образом, в § 2.2 и § 2.3 разобраны все случаи, возможные для уравнения (18), и изложен алгоритм доказательства существования решения уравнения (13). Этот алгоритм завершится, если на каком-то шаге будет получена теорема, аналогичная теореме 2.4 или теореме 2.7.
В § 4 главы 2 рассматривается уравнение
в(а,Л)+Р(а,Л) = 0, (28)
где аеЛ', ЛеЯ", - /7-мерные вектор-функции,
= Ит^а'^ = 0. Ставится задача: найти решение
^ ыг
у = (а, Я) уравнения (28), такое, что |а| * 0.
Рассмотрим случай, когда р>т. Будем предполагать, что вектор С(а,Л) допускает представление С(а,Л) = Н{а,Л)Л, где Н(а,Л) - (рхр)-матрица, каждый элемент которой ку{а,Л) либо форма порядка 5-1 относительно у = (а,л), либо И0(а,Л) = 0. Вектор Л получается добавлением к вектору Л координат вектора а. (Если р = т, то Л = Л). Для определенности пусть это будут первые р-т координаты, иначе просто перенумеруем компоненты вектора а. Таким образом,
Делая замену переменных, (а,Л) = р(а1,Л1), где |а,| = 1, р>0 -произвольное число, систему (28) приведем к виду
Я(а1,Л1)Л1+О(Ая|Д) = 0, (29)
где Иш|0(р,а,,Л,)| = 0 равномерно относительно (а,Д), Д, 1<Д.
Теорема 2.8. Если существует вектор а[, такой, что #(а,\ 0) * 0, то в некоторой окрестности точки (а", 0) существует ненулевое решение уравнения (29).
Следствие. При выполнении условий теоремы 2.8 в любой достаточно малой окрестности точки (0, 0) существует решение уравнения (28), удовлетворяющее условию |а| * 0.
Теорема 2.9. Если det#(a„0) = ^c^ ^.af1 ...af', и существует
к^..лк^ри-ï)" '
хотя бы одно cti t¡ * 0, то в любой достаточно малой окрестности точки (О, 0) существует решение уравнения (28), удовлетворяющее условию |а|*0.
Рассмотрим случай, когда р<т. Будем предполагать, что вектор G(a,À) допускает представление G(a,X) = Н(а,Х)Я, где H (а, Л) - (рхт)-матрица, каждый элемент которой hv(a,X) либо форма порядка s-1 относительно у = (а,Л), либо h,¡(a,X)s0.
Делая замену переменных, (а,Я) = р(а,,Л,), где р> 0 — произвольное число, систему (28) приведем к виду
Я(а,Д)Я,+0(Аа1Д) = 0, (30)
где Um|0(/7,a„yt,)| = 0 равномерно относительно (а„Л,), 1<Д.
Теорема 2.10. Если существует такой вектор а,*, |а,*| = 1, что
rangH(aít0) = р, то в некоторой окрестности точки (а,*,0) существует ненулевое решение уравнения (30).
Показано применение теории нелинейных векторных уравнений к вопросу существования ненулевых S -периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений. Доказаны достаточные условия существования и отсутствия а -периодических решений системы (1) в окрестности нулевого решения.
В § 1 главы 3 рассматривается система
^ = Вх+Дх,Л), (31)
ат
в которой х еЛ", В - постоянная матрица, Лей", Я - параметр, /(лД) = С(х,Л) + D(x,À), где С(х,Л) - форма порядка s > 1 относительно переменных х, Л, 0(х,Л) - конечная сумма форм более высокого порядка, чем s, относительно тех же переменных, С(0,Л) = 0, D(0,Л) = 0.
Предполагается, что матрица В имеет собственные значения ±такие, что существуют натуральные числа p^...,pq, при которых выполняется равенство pta>¡ =... = Ставится задача:
определить условия существования ненулевого ш -периодического решения системы (31) в окрестности нулевого решения. При этом
величина периода m принадлежит окрестности числа 2жщ, где ю„ =
Pfi>,
p = HOK(pt.....Pq).
тт 2/г 3) .
Делая замену переменных t =—г и полагая — = со0 +в, приведем
3 2 я
систему (31) к виду
Я(0,х,Л) = -Е^- + й>оВх+/,(0,х,Л) = 0, (32)
с!е1 Щ) = 0, тогда М =
где /¡(9,х,Л) = вВх+(сй0 + в)/(х,Л), в- параметр. Будем искать необходимые и достаточные условия существования 271-периодического решения системы (32) в смысле определения 1.1.
Оператор В* определим равенством В'х = -Ех + а0Вх. Теорема 3.1. Оператор В* имеет нулевое собственное значение. Замечание. Пусть М - множество натуральных корней уравнения
А-,—
Аналогично рассуждениям, проведенным в главе 1, показывается, что система (32) равносильна системе
/>(ВД*,Я)) = 0, (33)
<7(ад*д))=о, (34)
£те,х,А))=о, (35)
где Р - оператор проектирования пространства М„ в подпространство У2, инвариантное относительно оператора В', сг = (о-|,...,о-р), £ = (£„...,£,), а, (л), - линейные функционалы.
Решение системы (32) ищется во множестве Мп(1\) в виде
х(а,/?) = Рх(а,Р) + £а,Ь, , где а = (а,, ... , ар), Д = (Л ... , Д) -
постоянные векторы, подлежащие определению, нормы которых
определяются соответственно равенствами ||а| = ||Д| = £|Д |.
1=1 1=1
Параметр в рассматривается как функция в = 0(а, Д, X) такая, что нелинейная часть уравнения (32) представляется в виде ^(9,х,Х) = Сх(а,р,х,Х) + Д(а,Д,*,Я), где С,(«,Д,л:,Я) - форма порядка я > 1 относительно переменных а,р,х,Х, £>,(а,Д.х,Я) - конечная сумма форм более высокого порядка, чем относительно тех же переменных, С,(а, ДО,Л) = 0, £>,(а,Д,0,А) = 0. Тогда равенства (3.3) - (3.5) примут вид
Р(Л(а,Д,*,Я)) = 0, (33')
а(Я(а,0,х,Х)) = О, (34')
1)) = 0. _ (35')
Теорема 3.3. Оператор 5* на множестве У2 имеет линейный и
ограниченный обратный оператор (в')'. Уравнение (33') равносильно уравнению
г(в./») = г(а,ДД)2(М), (36)
где
Г {а, Д Х)2{ар] =-(£*)"' Р{С, (а, Д г(а{!) + Д), Я) + Д (а, Д + Б{а, Д), Я)).
Введем следующие обозначения А,(г)= {а:||а|<^}, Д2<*) = \р : |Д| < 4 Д3(*) = {Я:|Я| < е}, Т{е) = {г е 72: ||г| < г}.
Теорема 3.4. Существует число e¡ > 0 такое, что при любом фиксированном е е (0, е,] и любых фиксированных а е A¡(e), /? е Д2(е), ЛеА3(е), оператор Г(а, р, X) на множестве Це) имеет единственную неподвижную точку.
В § 2 главы 3 находятся достаточные условия существования &-периодических решений системы (31).
Систему (34'), (35') можно привести к виду
M0+G(a,p,A)+F(a,0,Á) = O, (37)
аналогичному уравнению (15).
Теорема 3.5. Для того чтобы система (31) имела ненулевое ¿5-периодическое решение с коэффициентами из множества 1\ в любой достаточно малой окрестности нулевого решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (37) имело решение такое, что Щ+Щ ф 0.
Уравнение (37) исследуется аналогично уравнению (15). Формулируются достаточные условия существования и отсутствия <о-периодических решений системы (31) в окрестности нулевого решения.
Рассматриваются численные примеры. Результаты диссертации используются для доказательства существования 3 -периодических решений систем вида (1.1). Определяются окрестности некоторого числа, содержащие период ш.
В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору М. Т. Терехину за руководство, помощь в работе и всестороннюю поддержку.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
1. Моисеев Д.С. Ненулевые периодические решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования: Материалы научной конференции «Герценовские чтения». - С.-Петербург: Изд-во Библиотека Академии наук. - 2004. - С. 58-65.
2. Моисеев Д.С. Об условиях существования ненулевых периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений // Новые информационные технологи в научных исследованиях и в образовании НИТ-2004: Тезисы докладов IX Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. - Рязань: Изд-во РГРТА, 2004. -С.11-12.
3. Моисеев Д.С. Об одном достаточном условии существования ненулевых периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XV». - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2004. - С. 148-149.
4. Моисеев Д.С. О периодических решениях нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2004. - №8. - С. 57-62.
5. Моисеев Д.С. Ненулевые решения векторных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2004. - №8. - С. 63-67.
6. Моисеев Д.С. Ненулевые периодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений специального вида // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз. гос. пед. ун-т. им. СА Есенина - Рязань: Изд-во РГПУ, 2004. - С. 68-72.
7. Моисеев Д.С. Условия существования ненулевых решений векторных уравнений // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз. гос. пед. ун-т. им. С А. Есенина - Рязань: Изд-во РГПУ, 2004. - С. 73-77.
8. Моисеев Д.С. Об условиях существования ненулевых решений векторных уравнений специального типа // Известия ТулГУ. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - С. 39-41.
9. Моисеев Д.С. Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений специального вида // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - С. 33-34.
Ю.Моисеев Д.С. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, с особенной матрицей при производных // Ряз. гос.пед. ун-т. - Рязань, 2005. -32с. - Деп. В ВИНИТИ 04.02.2005, № 258-В2005.
11. Моисеев Д.С. Поиск ненулевых решений нелинейных векторных уравнений // Ряз. госпед. ун-т. - Рязань, 2005. - 22с. - Деп. В ВИНИТИ 04.02.2005, № 257-В2005.
Подписано к печати 06.04.2005. Формат бумаги 60x84 1Д6. Печать ризографическая. Объем 1,0 пл. Заказ № Тираж 100 экз. Отпечатано в ООО «Интермета» г. Рязань, ул. Каляева, д.5
1 ж.
In
ï г ли,5 «
Введение.
Глава 1. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений.
§1.1. Основные определения и вспомогательные результаты.
§1.2. Разбиение пространства Мп(1{) на прямую сумму трех подпространств и решение уравнения в бесконечномерном подпространстве.
Глава 2. Ненулевые решения векторных уравнений.
§2.1. Необходимое условие существования ненулевых решений векторных уравнений.
§2.2. Решение векторного уравнения в случае линейной независимости строк матрицы линейной части.
§2.3. Поиск решения векторного уравнения в случае линейной зависимости строк матрицы линейной части.
§2.4. Метод выделения параметра.:.
Глава 3. Периодические решения систем дифференциальных уравнений специального вида.
§3.1. Решение системы дифференциальных уравнений в бесконечномерном подпространстве.
§3.2. Достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений специального вида.
t т>
Актуальность темы. В данной работе рассматриваются автономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с матрицей при производных. Матрица при производных предполагается постоянной. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевого периодического решения данной системы с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа.
Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Системы дифференциальных уравнений моделируют различные процессы в физике, химии, экономике, биологии и других науках [1, 18, 23, 35, 44, 68]. В частности, системы дифференциальных уравнений с особенными матрицами при производных необходимо исследовать при анализе моделей в теории автоматического регулирования и линейных электрических цепей [47]. Такие системы возникают при использовании метода слабой аппроксимации [73] и метода сферических гармоник [36, 53]. Исследование таких моделей во многих случаях требует решение проблемы нахождения периодического решения в зависимости от значения параметра.
Изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ. Однако общего подхода к решению проблемы не существует. Так, в случае неособенной матрицы при производных недостаточно изучены критические случаи, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы.
В случае систем с особенной матрицей при производных даже вопрос о существовании решения в смысле классического определения остается открытым.
Исходя из вышеперечисленного, можно сделать вывод, что определение условий существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа, является достаточно важной задачей. Все это подтверждает актуальность данной работы.
Цель работы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
А— + Вх + /(х,Л) = 0, (0.1) dr в которой xeR", А, В - постоянные матрицы, матрица А в общем случае может быть особенной, ЛеЯ"1, Л - параметр, функция /(х,Л) непрерывна по х, Л и /(0,Л) = 0 при любом значении Л. Предполагаем, что справедливо представление /(х, Л) = С(х, Л) + D(x, Л), где С(х, Л) - форма порядка s > 1 относительно переменных х, Л:
С((х,а) = **С(х,Л), (0.2)
В(х,Л) - конечная сумма форм более высокого порядка, чем s, относительно тех же переменных, С(0, Л) = 0, £)(0, Л) = 0. Ставится задача - определить условия существования ненулевого со -периодического решения системы (0.1) в окрестности нулевого решения, когда решение представи-мо в виде тригонометрического ряда. При этом величина периода со принадлежит окрестности некоторого известного числа.
Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.
В случае неособенной матрицы при производных проблема существования периодических решений и их бифуркаций рассматривалась в обширной литературе. Отметим работы В.В. Немыцкого, В.В. Степанова [37], И.Г. Малкина [33, 34], В.А. Плисса, М.А. Красносельского [26], исследовавших общие вопросы существования периодических решений систем, А.А. Андронова [3, 4], изучавшего динамические системы на плоскоста, а также работы Е. Хопфа, А. Пуанкаре, Дж. Хейла [61], Н.А. Бобылева
5, 6], С. А. Вавилова [14, 15], М.Т. Терехина [54-56] и других авторов [2, 13, 39, 40,45,46,81,82].
Рассмотрим подробнее некоторые работы, в которых период искомого решения является переменной величиной.
Так, в работе С.А. Вавилова, С.В. Юхневича [15] рассматривается система
Предполагается, что невозмущенная система х = Ах имеет периодическое решение периода р и исследуется вопрос о существовании периодического решения системы (0.3) при всех достаточно малых значениях параметра е.
Система исследуется путем построения операторных уравнений и применением метода итерации при нахождении решения и периода p(s).
Аналогичная задача рассматривается в работе [16], причем предполагается аналитичность нелинейного возмущения по л: и е.
Система (0.3) при условии, что характеристическое уравнение невозмущенной системы х = Ах имеет кратные корни, исследуется в работе А. А. Бойчука [8]. Используется разработанный автором метод решения краевых задач [7]. Отыскивается периодическое решение с периодом, близким периоду решения порождающей (невозмущенной) системы. Отметим, что если в качестве порождающего решения взять нулевое решение системы (0.3), то доказывается, что единственным периодическим решением в работах [8,15,16] является нулевое решение.
В работе А.Д. Брюно [12] для исследования автономных систем предлагается метод нормальных форм. С его помощью система преобразуется к интегрируемой системе или к системе, имеющей более простой вид, при этом требуется определить вид нормализующего преобразования. х = Ax + tf(x, ё).
0.3)
Период искомого решения р{е) удовлетворяет условию
Несколько работ посвящено исследованию неавтономной системы вида
Ax + Bx+f{t,x,y1) = 0. (0.4)
При А = Е в работе В.Н. Лаптинского [30] методом сжатых отображений определены условия существования периодического решения системы (0.4) в виде тригонометрического полинома с наперед заданным числом гармоник и остаточным членом. В работе [29] тем же автором методом последовательных приближений без использования свойств фундаментальной матрицы системы линейного приближения доказана теорема о сущест-^ вовании и единственности периодического решения.
Методом последовательных приближений в работах Е.Н. Розенвассера [43, С. 357] и Л. Чезари [62, С. 202] доказано существование периодического решения системы (0.4) в виде суммы тригонометрического полинома и остатка ряда, коэффициенты полинома определяются как решение трансцендентного уравнения.
В случае особенной матрицы при производных вопрос существования периодического решения системы дифференциальных уравнений исследовался гораздо меньше. Рассмотрим литературу, посвященную сингулярным дифференциальным уравнениям.
Большинство авторов [9-11, 17, 27, 38, 63, 74-76, 78, 79, 83] рассматривают линейные дифференциально-алгебраические уравнения вида I у, Ах + Вх = /. Существуют точные и приближенные методы решения дифференциально-алгебраических уравнений. Точные методы основаны на разбиении исходного уравнения на два уравнения, одно из которых является дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производных.
Линейные однородные сингулярные уравнения вида Ах = Вх рассматривались в работах [27, 78, 79, 83]. В работе С.Г. Крейна и В.Б. Осипова [27] рассматривается случай, когда матрица В невырожденная, а матрица А вырожденная. Находится множество решений данного уравнения, полученные результаты используются для исследования систем уравнений в частных производных, неразрешенных относительно производных.
В работах A. Cordunenu [78] и Е. Griepentrog [79] рассмотрен случай, когда det^ = 0 и deti? = 0. Исходная система приводится либо к системе дифференциальных, либо к системе алгебраических линейных уравнений. Кроме того, в работе [79] ищется решение сингулярной системы вида Ах = Вх + /, причем предполагается, что матрицы А и В перестановочные. С использованием обратных матриц Дразина, основное пространство разбивается на два подпространства, и определяются условия существования решения системы, причем полученное решение не обязательно оказывается дифференцируемым.
Общее решение системы Ax = Bx + f построено в книге Ф.Р. Ган-тмахера [17]. На основании теории сингулярных пучков матриц, с помощью строго эквивалентных преобразований пучок матриц ХА + В приводится к канонической квазидиагональной форме. Исходная система при этом распадается на несколько отдельных подсистем. После решения подсистем делается вывод, что для совместности исходной системы в общем случае должны выполнятся некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными коэффициентами) между правыми частями уравнений. Если это условие выполнены, то общее решение системы линейно зависит как от произвольных постоянных, так и от произвольных функций. Характер условий совместности и вид решений (в частности, количество произвольных постоянных и произвольных функций) определяются минимальными индексами и элементарными делителями пучка АА + В, поскольку от этих индексов и делителей зависит каноническая форма системы Ах = Вх + f [17, С. 331].
В работе В.В. Овчаренко [38] для решения системы Ax = Bx + f осуществляются преобразования пучка матриц ЯА + В с помощью унимоду-лярных форм [28, С. 371].
Изучению дифференцально-алгебраических уравнений посвящено несколько работ Ю.Е. Бояринцева [9-11]. Так, в работах [9, 11] исследуются системы A(t)x = B{t)x + f(t) с прямоугольными матрицами A(t) и B(t). На Р решения накладываются дополнительные условия |(б/<т(л))С(5)л:(5) = а, где а а - заданный вектор, C(s) - заданная матрица с непрерывными на [a, fJ\ элементами, a(s) - заданная матрица, элементы которой суть вещественные на [a, fJ\ функции с ограниченной полной вариацией, интеграл рассматривается в смысле интеграла Стилтьеса. С помощью обратных матриц Дразина находятся формулы общих решений системы, а также доказываются теоремы о существовании и единственности решений. Исследуются вопросы управляемости и наблюдаемости подобных систем.
В работе [10] автор рассматривает автономную систему Ах = Вх + f(t). Строятся две цепочки матриц, позволяющие свести эту систему к системе, разрешенной относительно производной. Приводятся общее решение исходной системы, а также теоремы существования и единственности.
В работе В.А. Еременко [19] изучается вопрос о понижении порядка системы P(t)x-B(t)x + f(t) с периодическими коэффициентами и матрицей P(t) постоянного ранга. Выделены классы систем, для которых матрица редуцированной системы не вырождена, а также классы систем, для которых матрица вырождена, но возможна повторная редукция. Установлены условия несовместимости исходной системы.
В работах В.П. Скрипника [49-52] изучаются системы вида
Д/)л:) +F(t,x) = 0. Так, в работе [52] изучаются измеримые решения вырожденных систем, причем решения понимаются в некотором обобщенном смысле, а именно решение х не является дифференцируемым, но дифференцируемой почти всюду является функция A(t)x. Решение вырожденной системы строится как предел последовательности решений невырожденных систем. Основным условием существования решения является условие устойчивости. Тем же методом доказывается существование решения в работах [50, 51]. В работе [49] для доказательства существования решения требуется, чтобы A(t) имела особую структуру, была абсолютно непрерывной и имела ограниченную производную.
В работе Н.А. Сидорова [48] рассматривается система A(l)x = B(t)x + C(t) в банаховом пространстве в окрестности особой точки операторного коэффициента A(J). Производится разбиение банахова пространства на бесконечномерные части, методами теории ветвления строятся малые и большие решения системы.
В.Ф. Чистяков в работе [63] исследовал линейные системы вида Ax(t) = Bx(t) + fit) с вырожденной или прямоугольной матрицей Л. Используется метод понижения порядка исходной системы путем преобразования ее к виду Т x(t) = Bx(t)+/(/). Доказаны теоремы о существовании решений, являющихся непрерывно дифференцируемыми функциями. Указана структура решения, которая в общем случае содержит произвольные постоянные и функции. В работах [64, 65] В.Ф. Чистяков доказал локальную теорему существования и единственности решений нелинейной системы Ax = f(t,x) в случае, когда каноническое представление матричной пары (A,f'x) не содержит нильпотентных блоков степени выше единицы.
Н.В.Зубов в работе [20] рассматривал системы вида Ax = F(t, х), где F(t,x) - вещественная, дважды непрерывно дифференцируемая по всем аргументам вектор-функция. Методом последовательных приближений доказана теорема существования и единственности системы. Зависимость решений сингулярных систем дифференциальных уравнений от параметра изучала С.П. Зубова в работе [21].
В работах [71, 84] исследуется устойчивость решений сингулярных систем дифференциальных уравнений. Так, в работе А.А. Щеглова [71] исследуется устойчивость в смысле Ляпунова тривиального решения алгеб-ро-дифференциальных систем вида Л(/)л: + £(0 = 0, гДе ЖО» В(0 ~ СпхпУ матрицы, t е Т = [О, + од), det A(t) = 0,VteT. В работе [84] исследуется устойчивость однородной линейной системы Ах = Вх с вырожденной матрицей А. С помощью анализа уравнения Ляпунова получено условие устойчивости данной системы.
Г.П. Размыслович в работе [42] исследует задачу A(t)x = f(t), *(0) = jc°, t > 0, где x<eR'\ А - вырожденная матрица. Показано, что эта задача имеет решение тогда и только тогда, когда для любого / > 0 выполняется равенство (е-AA~)f(t) = 0, где АА~А = А. В этом случае общее решение описываемой задачи имеет вид x(t) = х0 + ^A~f{r)dr - А~А)и(т)с1т, о о где и - произвольная вектор-функция.
В работе С.П. Зубовой и С.А. Филатова [22] получено необходимое и dx достаточное условие существования решения задачи А— + Bx(t) = f(t), dt х(0) = jc° , где A - замкнутый линейный фредгольмов оператор, имеющий плотную область определения. Найден вид решения.
Работа [77] посвящена исследованию асимптотического поведения решении системы вида <( , где * = (*!,.,*„), у = {ух,.,у,п). В ис
0 = g(*,j0 следовании используется теория потоков.
В работе П.А. Шаманаева [66] формулируются достаточные условия приводимости нелинейных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных, к линейной системе с постоянной и матрицей. Тот же автор в работе [67] формулирует достаточные условия приводимости системы х = A(t)x +Dx +f(t,x,x) к системе y = B(t)y, где B{t) = (E-D)-xA{t).
Периодические решения сингулярных систем дифференциальных уравнений рассматриваются в работах [69, 72, 80]. В работе [72] рассматривается система (0.4) в линейном случае в предположении, что матрица А особенная. В работе Ю.Д. Шлапака [69] рассматривается линейная система P(t)x = B(t)x, причем элементы матриц P(t) и B{t) имеют непрерывные производные всех порядков по / е (- оо;+оо) и являются периодическими по t функциями периода 1. Определяются условия приводимости системы с помощью периодической невырожденной замены переменных к виду Р0у = Aq(t)y, где Pq - постоянная матрица. Полученный результат применяется для получения алгоритма, позволяющего исследовать вопрос о периодических решениях исходной системы. Система Р0У = А0(ОУ разбивается на систему алгебраических уравнений и систему дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Вопрос о существовании периодических решениях сингулярной системы сводится к вопросу о периодических решениях системы, разрешенной относительно производных. В работе [80] доказано условие существования и единственности со-периодического решения системы Ах + Вх = f(t,x). При этом требуется существование некоторого Я, при котором матрица М + В обратима, а матрицы (М + В)~1А и (ЯА + В)~ХВ перестановочные.
Методика исследования В диссертации поиск ненулевого со-периодического решения системы (0.1) путем замены переменной сводится к поиску ненулевого 2л-периодического решения некоторой измененной системы. Решение измененной системы ищется в виде тригонометрического ряда. Путем разбиения основного пространства на три подпространства, используя метод сжатых отображений, показывается, что ненулевое 2лпериодическое решение измененной системы определяется через ненулевые решения нелинейного векторного уравнения. Исследование нелинейного векторного уравнения производится с помощью разложения форм в степенные ряды и метода неподвижной точки.
Содержание работы. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов, полученных другими авторами, приводится методика исследования, краткое содержание работы и апробация результатов.
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе исследуется система (0.1) и находятся необходимые и достаточные условия существование периодических решений этой системы. С помощью замены переменных, вопрос о существовании <»-периодических решений системы (0.1) сводится к вопросу о существовании 2я-периодических решений системы вида dx
А— + о)0Вх + /,(9,х,Л) = 0, (0.3) at где /,{в,х, Л) = вВх + (о)0 + 6)f(x, Л), со = 2яи>0 + 2nd . Число coq считаем известным, в- некоторый параметр.
Решения системы (0.3) ищется в пространстве М„ тригонометрических рядов вида
00 х = aQ+^ak coskt + bk sinkt, (0.4) k=l где ao, ak, bu - «-мерные векторы. Путем разбиения пространства Мп на три подпространства получены условия существования периодических решений системы (0.1).
В §1.1 дается определение 2л-периодического решения системы (0.3) и соответствующего ю -периодического решения системы (0.1). На множестве М„ введены различные операции и рассмотрены свойства оператора В*, определяемого равенством В*х = Ах + со0Вх. Для оператора В* на множестве М„ введены понятия собственного элемента и собственного значения.
В теореме 1.1 доказано, что оператор В* обратим на множестве М„ при условии отсутствия у него нулевого собственного значения. В теореме 1.2 доказано необходимое и достаточное условие существования собственного элемента, соответствующего нулевому собственному значению оператора В*. Рассмотрено пространство Мп{1\) рядов вида (0.4), коэффициенты которых удовлетворяют условию {a0,al,b1,.,ak,bk,.)el1, доказаны некоторые свойства этого пространства. В теореме 1.3 доказано необходимое условие существования малого ненулевого 27Г-периодического решения системы (0.3).
В §1.2, используя свойства оператора В*, строится разбиение пространства М„ на три подпространства, одно из которых содержит бесконечную часть ряда (0.4), а другие конечную. При этом система (0.3) заменяется равносильной ей системой. Доказано существование решения системы (0.3) в бесконечномерном подпространстве и исследованы некоторые свойства этого решения. Определены необходимые и достаточные условия существования периодических решений системы (0.1). Показана связь между решением системы (0.1) в классическом смысле и решением в смысле определения, данного в работе. В отличие от работы [26] рассматривается уравнение с параметром ЛеЯ"'. В диссертации рассматриваются нелинейные системы, в то время как в работах [19, 63, 65, 76] рассматриваются линейные системы. В работе [79] предполагается выполненным условие коммутативности матриц А и В, в диссертации это условие не требуется. В отличие от работ [31, 32] период решения не является фиксированным. В работе [56] исследуется неавтономная система, при этом период решения является фиксированным, в то время как в диссертации исследуется автономная система с переменным периодом.
Во второй главе рассматривается нелинейное векторное уравнение вида
Мр + С(а,р,Л) + Р(а,/3,Л) = 0, (0.5) где Л/ - ((/?+/)х/)-матрица} а е Rp, /3 е R1, Ле Rm, G(a,J3,A), F(a,j3,A)~ (р+/)-мерные вектор-функции, удовлетворяющие условиям
G(ta,tj3,a) = tsG(a,/3,A), (0.6) limf(g'AA)a0, (0.7) где = (or, /?, Л) е Rp+l+m. Числа р и I определяются свойствами оператора 5*. С помощью элементарных преобразований строк системы и разложения вектор-функций в степенные ряды получены условия существования ненулевых решений системы (0.5).
В § 2.1 доказано необходимое условие существования ненулевых решений уравнения (0.5) и в предположении выполнения этого условия путем замены переменной уравнение (0.5) приведено к виду tLu(M) + ООО = о. (0.8) г=2
Здесь В (у') - (р+/)х(р+/+т)-матрица, 1и(ДУг) - форма /-го порядка от Ду,, AyieRp+l+m.
В § 2.2 рассматривается случай, когда rangB(y\) = /? + /. В теореме 2.3 доказано достаточное условие существования ненулевого решения уравнения (0.5).
В § 2.3 изложен алгоритм поиска решения векторного уравнения в случае линейной зависимости строк матрицы линейной части, то есть когда 0 < rangB(y[) < р + 1, или В(у[) = 0. Доказаны теоремы о существовании ненулевого решения уравнения (0.5) и о наличии множеств, в которых нет решения уравнения (0.5).
В § 2.4 доказано существования ненулевого решения векторного уравнения методом выделения параметра. Показано применение теории нелинейных векторных уравнений к вопросу о существовании ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений. Доказаны теоремы о существовании ненулевого со -периодического решения системы
0.1) и о наличии множеств, в которых нет решения системы (0.3). Получен вид ненулевого 2тг-периодического решения системы (0.3) и доказана непрерывность по t данного решения. В главе 3 рассматривается система в которой xeR'\ В - постоянная матрица, AeRm, Л - параметр. На функцию f(x,Л) накладываются те же условия, что и для системы (0.1).
Предполагается, что матрица В имеет собственные значения ±icox,.,±icol, такие, что существуют натуральные числа р1,.,р1, при которых выполняется равенство р1ео1=. = рга>г Ставится задача - определить условия существования ненулевых периодических решений системы (0.9). При этом период ищется в окрестности числа со0 = ——, где
Система (0.9) является более конкретным видом системы (0.1). С использованием результатов главы 1, получены необходимые и достаточные условия существования периодических решений системы (0.9). Получены некоторые дополнительные свойства системы (0.9). Приведены примеры доказательства существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений с матрицей при производных.
В отличие от работы А.Ф.Измаилова [24] в диссертации допускается наличие кратных собственных значений у матрицы В.
В работе [15] период искомого решения р(Х) удовлетворяет условию 0, а в работе [8] предполагается выполнение оценки dx = Bx+f(x,A),
0.9)
РР, p = HOK(p„.,Pl).
P(A)~p*\ = 0{X), где p период решения системы x = Bx, в то время как в диссертации выполнение этих условий не требуется.
Необходимые сведенья по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [41, 60], по функциональному анализу - из [25, 26], по линейной алгебре - [28], по тригонометрическим рядам - из [57, 59].
Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете им. С.А. Есенина, а также на следующих конференциях.
1. IX Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии (апрель 2004).
2. Научная конференция "Герценовские чтения - 2004" (г. Санкт-Петербург, апрель 2004).
3. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения XV" (г. Воронеж, май 2004).
4. Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, ноябрь 2004).
Основные результаты исследования опубликованы в работах [85-95].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В данной работе рассматривается система дифференциальных уравнений вида dx
А— + Вх +f(x, А) = 0, dr в которой xeR", AeR"\ А, В - постоянные матрицы, матрица А в общем случае может быть особенной, функция f(x,A) непрерывна по х, Л, /(0,Д) = 0 и f(x,A) = C(x,A) + D(x,A), где С(х,Я) - форма порядкам > 1 относительно переменных х, Л, D(x, Л) - конечная сумма форм более высокого порядка, чем s, относительно тех же переменных.
Целью работы является определение условий существования ненулевых «-периодических решений данной системы. При этом период решения со находится в окрестности заданного числа. Дано определение периодического решения данной системы в виде тригонометрического ряда. С помощью разбиения основного пространства на прямую сумму доказано необходимое и достаточное условие существования периодических решений системы.
Для нахождения необходимого результата исследована система векторных уравнений вида Mfl + G(a,f},A) + F(a,/3,A) = 0, где М - ((/?+/)х/)матрица, а е Rp, /? е R1, Л в Rm, G(ta,t/3,tA) = tsG(cx,p,A), lim & = 0, и у - (а, р, Л). Определены условия существования и отсутствия ненулевого решения этой системы.
1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.- 157 с.
2. Андрианова Е.В. Бифуркации периодических решений с кратными собственными числами. Автореф. дис. на соискание уч. степ. канд. физ. мат. наук. Санкт-Петербург. 1993. - 13 с.
3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физмат-гиз.- 1959.-915с.
4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука. 1967. - 488 с.
5. Бобылев Н.А., Булатов А.В., Коровин С.К., Кутузов А.А. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. -№1. - С. 3-8.
6. Бобылев Н.А., Коровин С.К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32.-№3.-С. 301-306.
7. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев.: Наук. думка. 1990. - 96 с.
8. Бойчук А.А., Журавлев В.И., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. №9. С. 1180 - 1187.
9. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1988.
10. Ю.Бояринцев Ю.Е. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений неразрешимых относительно производных. В кн: Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Отв. ред. Ю.Е. Бояринцев. - Новосибирск. - 1982. - С.5-19.
11. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1980. - 225 с.
12. Брюно А.Д. Бифуркация периодических решений в симметрическом случае кратной пары мнимых собственных значений // Числовые решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: 1988. - С. 161-176.
13. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979. - 253 с.
14. М.Вавилов С.А. Критерий разрешимости резонансной периодической задачи в теории нелинейных колебаний // Докл. АН СССР. 1990. -Т.312. - №4. - С.787-790.
15. Вавилов С.А., Юхневич С.В. О периодических решениях автономных систем // Изв. Вузов. Математика 1992. - №9. - С.13-15.
16. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. - 1969. - 528 с.
17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. - 1988. - 552 с.
18. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Отображение Пуанкаре в моделях лазера// Дифференц. уравнения. 1995. -Т.31. -№1. С.16-23.
19. Еременко В.А. О редукции линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных // Укр. мат. журн., 1980.-Т. 32.-№2.-С. 168-174.
20. Зубов Н.В. Решение нелинейных систем уравнений, неприводимых к нормальному виду // Тезисы докладов Второй Международной конференции " Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1996.
21. Зубова С.П. О роли возмущений в одном дифференциальном уравнении // Труды математического факультета / Воронежский государственный университет. 1996. - №1 (новая серия). - С.47-50.
22. Зубова С.П., Филатова С.А. Решение неоднородного дифференциально-алгебраического уравнения // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XII»: Тезисы докладов. - Воронеж.
23. Центр-Чернозем кн. изд-во 2001: Изд-во ВГУ. Воронеж. - 2001. - С. 77-78.
24. Жегалов В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения в научных теориях. Казань: Казан, мат. о-во. - 2003. - 99 с.
25. Измаилов А.Ф. К теореме Андронова—Хопфа о бифуркации рождения цикла // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. - №5. - С. 609615.
26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. -1984.-572 с.у/
27. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. 1962. - 457 с.
28. Крейн С.Г., Осипов В.Б. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1993. Т.29. - №5. - С. 548-554.
29. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. 1965. - 431 с.
30. Лаптинский В.Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. - №8. - С.1335-1343.
31. Лаптинский В.Н. Фурье-аппроксимация периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1985. -Т.21. -№Ц. -С.1899-1904.-к
32. Лукьянова Г.С. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производной // Дифференциальные уравнения.-1998.-Т.34.-№11.-С. 1574-1575.
33. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. - 1949. - 244 с.
34. Малкин И.Г. Некоторые задачи нелинейных колебаний. М. - 1956.
35. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. -М.: Мир.- 1983.-397 с.
36. Марчук Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов. М.: Атом-издат. 1958.
37. Панфилова Т.Л. О периодических решениях автономных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (качественная теория): Сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ. - 1997. -С.61-65.
38. Панфилова Т.Л. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с параметром // Дифференциальные уравнения (качественная теория): Сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ. - 1997. - С.66-69.
39. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука.-1974.-332 с.
40. Розенвассер Е.Н. Колебания в нелинейных системах. М.: Наука. -1969.-576 с.
41. Романовский Ю.М., Степанов Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Просвещение. - 1971. - 135 с.
42. Рябов Ю.А. Оценка области сходимости периодических рядов-решений дифференциальных уравнений с малым параметром. Случай отсутствия резонанса // Изв. Вузов. Математика. 1959. - №2. - С.202-212.
43. Рябов Ю.А. Об одном способе нахождения оценки области сходимости периодических рядов-решений квазилинейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Резонансный случай // Изв. Вузов. -Математика. 1962. - №6. - С.108-118.
44. Сенди К. Современные методы анализа электрических схем. -М.: Энергия.- 1971.
45. Сидоров Н.А. Задача Коши для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1972. Т.8 - №8. - С.1521-1524.
46. Скрипник В.П. Вырожденные линейные системы // Изв. Вузов. Матем. 1982. - №3 - С.62-67.
47. Скрипник В.П. Вырожденные системы и малый параметр при производной // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т.16. - №3. - С.454-461.
48. Скрипник В.П. Вырожденные системы и малый параметр при старшей производной // Матем. сб. 1964. - 65(107). - №3. - С.338-356.
49. Скрипник В.П. О вырожденных системах и малом параметре при производных // Дифференциальные уравнения. 1968. - Т.4. - №4. - С.646-658.
50. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат. -1972.
51. Терехин М.Т. Бифуркации систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей. - 1989. - 87 с.
52. Терехин М.Т. К теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. 1984. - Т.36. - №5. - С.666-669.
53. Терехин М.Т. Ненулевые периодические решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенной матрицей припроизводных // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т.39. - №12. -С.1645-1653.
54. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука. - 1980. - 381 с.
55. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. - 1980. - 495 с.
56. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. - 1966. - Т.З. - 656 с.
57. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. - 1980. -720 с.
58. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах М.: Мир. - 1966. - 230.с.
59. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. - 1964. - 477 с.
60. Чистяков В.Ф. К методам решения сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн: Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Отв. ред. Ю.Е. Бояринцев. - Новосибирск. - 1982. - С.146-157.
61. Чистяков В.Ф. О линеаризации вырожденных систем квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Приближенные методы решения операторных уравнений и их приложение. Иркутск: СЭИ СО АН СССР. - 1982. - С.146-157.
62. Чистяков В.Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн: Динамика нелинейных систем. - Новосибирск. - 1983. - С. 164-173.
63. Шаманаев П.А. Достаточные условия приводимости систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 2002. 3-4. - №1. - С.319-321.
64. Шаманаев П.А. О задаче приводимости систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 1999.-2.-№1.-С. 115-116.
65. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Дело. - 2002. - 440 с.
66. Шлапак Ю.Д. Периодические решения линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных // Укр. матем. журнал. 1975. - Т. 27. -№1. - С. 137-140.
67. Шлапак Ю.Д. О приводимости линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных // Мат. физика. -1977. Вып. 21.- С.60-64.
68. Щеглова А.А. Регуляризация и устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. - 2001. - С. 192-193.
69. Яковец В.П. Некоторые свойства вырожденных линейных систем // Укр. матем. журнал. 1997. - Т. 49. - №9. - С. 1278-1296.
70. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. - 1967.
71. Campbell, S.L. Singular system of differential equation. San Francisco-London-Melbourne-Pitman. -1980.
72. Campbell, S.L. Singular system of differential equation II. San Francisco-London- Melbourne-Pitman. -1982.
73. Campbell, S.L., Petzold, L.R. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations. SIAM J. Alg. And Discrete Methods. - 4 (1983). -P.517-521.
74. Chen Boshan, Liao Xiaoxin, Liu Yongqing. Asymptotic behaviors for algebraic-differential system // Xitong kexue yu shuxue. J. Syst. Sci and Math. Sci. - 2001. - 21. - №1. - P.48-57.
75. Cordunenu A. The differential system Ay + By = 0 //Bui. Inst. Politehn. Iasi. Sec. 1. 1994. - 40. - №1. - 4. - P.51-57.
76. Griepentrog Eberhard, Marz Roswitha. Differential-algeraic equation and their numerical treatment. 1. Aufl. - Leipzig: BSB Teubner. - 1986.
77. Liang J., Liu Y. Periodic solutions to singular nonlinear systems // Huanan ligong daxul xuebao. Ziran kexue ban-J.S. China Univ. Technol. Natur. Sci. 1996. - 24. - №5. - P.74-78.
78. Popescu M. Periodic solutions for nonlinear differential systems of equations with small paramener // Nonlinear Anal. 2003. - 52. - №2. - P.535-544.
79. Xiang Ziqui, Tang Renhan. Periodic solutions of some higher order nonlinear periodical system // Hunan. Ann. Math. 1992. 12. - № 1-2. - P.56-61.
80. Willkinson J.H. The differential system By = Ay and the generalized eigenvalue problem bu = aau ii Nat. Phys. LB. Rept. NAC. - 1997. - №73.
81. Zhang Jian-hua, Wang Xun. Criterion of stability for singular system // Jin-zhou shifan xueyuan xuebao. Ziran kexue ban = J. Jinznou Norm. Coll. Natur. Sci. Ed. 2001. - 22. - №1. - P.55-57.
82. Моисеев Д.С. Ненулевые периодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений специального вида // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. Рязань: Изд-во РГПУ. - 2004. - С.68-72.
83. Моисеев Д.С. Ненулевые решения векторных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. - №8. - С.63-67.
84. Моисеев Д.С. О периодических решениях нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. - №8. - С.57-62.
85. Моисеев Д.С. Об условиях существования ненулевых решений векторных уравнений специального типа // Известия ТулГУ. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ. -2004. - С.39-41.
86. Моисеев Д.С. Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений специального вида // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ. - 2004. - С.33-34.
87. Моисеев Д.С. Поиск ненулевых решений нелинейных векторных уравнений // Ряз. гос.пед. ун-т. Рязань. - 2005. - 22с. - Деп. В ВИНИТИ 22.02.2005. -№ 257-В2005.
88. Моисеев Д.С. Условия существования ненулевых решений векторных уравнений // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. - Рязань: Изд-во РГПУ, 2004.- С. 73-77.
