Оптимальная стабилизация линейных автономных систем с последействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени мерного Президента России Б.Н. Ельцина

На нра.нах рукописи

БЫКОВ Данил Сергеевич

ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 НОЯ 2012

Екатеринбург — 2012

005054123

005054123

Работа выполнена на кафедре механики и математического моделирования Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Долгий Юрий Филиппович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук

Гусев Михаил Иванович, доктор физико-математических наук, профессор Пименов Владимир Германович.

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Удмуртский государственный

университет".

Защита состоится "19" ноября 2012 года I! 14ш час. на заседании специализированного совета Д 004.000.01 по защите диссертаций па соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН (620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертш(ионпого совета

доктор физ.-мат. наук

Н.Ю. Лукоянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к дифференциальным уравнениям с последействием стимулируется проблемами математического моделирования в различных областях естествознания. Основные положения теории этих уравнений изложены в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахмат.уллиной, Р. Беллмаиа и K.JI. Кука, В.Б. Колмановского и В.Р. Носова, H.H. Красовского, А.Д. Мышкиса, Дж. Хойла, Л.Э. Эльсголь-ца и С.Б. Норкина. В теории устойчивости дифференциальных уравнений с последействием имеются различные направления. Соответствующая библиография весьма обширна. Первый метод Ляпунова развивался в работах Р. Беллмана, К.Л. Кука, А. Халапая, Дж. Хейла, С.Н. Шиманова. Второй метод Ляпунова получил развитие в работах H.H. Красовского, В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, К).С. Осипова, Б.С. Разумихипа, Д.Я. Хусаинова, С.Н. Шиманова. Устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям изучалась в работах Н.В. Азбелева, Л.М. Березанского, А.И. Домоппшцкого, В.В. Малыгиной, П.М. Симонова.

Теория стабилизации дифференциальных уравнений с последействием имеет важное прикладное значение. В рамках этой теории развивались различные направления. Соответствующая библиография весьма обширна. Возможность стабилизации динамической системы тесно связана с ее управляемостью. Условия управляемости систем дифференциальных уравнений с последействием изучалась в работах А.Г. Габелая, В.М. Марченко, Ф.М. Кирилловой. С.Н. Поповой. Е.Л. Тоикова. Для систем дифференциальных .уравнений с последействием различные методы стабилизации предлагались в работах В.М. Марченко, Б.П. Лямпе, C.B. Павликова, A.B. Кима, В.Г. Пименова, С.И. Солодушкипа, Б.Г. Гребенщикова, А.Б. Ложнико-ва, H.H. Когана, О.Н. Kwon, J.H. Park.

H.H. Красовский определил достаточные условия существования оптимального стабилизирующего управления1. К).С. Осипов установил их связь с вполне управляемостью специальной конечномерной системы2.

Постановка задачи оптимальной стабилизации в функциональном пространстве состояний, предложенная H.H. Красовским3, позволила решать задачи оптимальной стабилизации для дифференциальных уравнений в частных производных (M. Krollor. К. Klinisch, А. Раяу), етохаетичо-

1 КрасопскиА H.H. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора и системе с запаздываниями времени // Прикл. матем. и механ. 1962. Т. 26. С. 39 51.

-Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифферпнц. уравнения. 1965. Т. 1. № 5. С. 605 618.

3Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости днижения. М.: Физматгиз. 1959. 212 с.

СКИХ дифференциальных уравнений (Е.А. Андреева, В.Б. Колмаиовский, T.JI. Майзсибсрг) и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (К. Корду пеану, R. Datko, J.S. Gibson), а также задачи оптимального управления системой с последействием на конечном отрезке времени (А.Т. Барабанов. В.Б. Колмаиовский, К. Ito, F. Kappol, G. Propst, R. Teglas, D. Salamon).

Линейно-квадратичная задача оптимальной стабилизации системы с последействием сводится к нахождению решения алгебраического уравнения Риккати в функциональном пространстве состояний. Теоретические и вычислительные трудности проблемы построения решения алгебраического уравнения Риккати и функциональном пространстве состояний пытались преодолеть, переходя к конечномерным аппроксимациям задачи оптимальной стабилизации (М.С. Delfour4. J.S. Gibson5'6, R. Datko7). В основе которых лежит замена дифференциального уравнения с неограниченным инфинитезимальпым оператором дифференциальными уравнениями с конечномерными ипфипитезимальпыми операторами в функциональном пространстве состояний. В настоящей работе рассматриваются каноническая и усредняющая схемы аппроксимации.

Каноническая схема аппроксимации для систем с последействием изучалась Дж. Хейлом8, С.Н. Шимаиовым9. Приложению ее к задаче оптимальной стабилизации систем с последействием посвящены работы Н.Н. Кра-еовского. Е.М. Маркушииа. К).С. Осииова. Построение канонической аппроксимации для системы дифференциальных уравнений с последействием требует нахождения корней характеристического уравнения. Последняя задача недостаточно изучена и является предметом исследования в первой главе. В диссертации дается аппроксимационнос решение последней проблемы, использующее теорию характеристических определителей и определителей возмущения, изложенную в монографии И.Ц. Гохберга и М:Г. Кройиа10. Предложены методы нахождения аппроксимирующих

■'Delfour М.С. The linear quadratic optimal control problem for hereditary differential systems: Theory arid numerical solution // SIAM J. Appl. Mathematics and Optim. 1977. V. 3. № 2. P. 101-162.

r'Gibson J.S. The Riccati Integral Equations for Optimal Control Problems on Hilbert Spaces // SIAM J. Control and Optim. 1979. V. 17. №. 4. P. 537 565.

"Gibson .T.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional Riccati equations and numerical approximations // SIAM J. Control and Optim. 1983. V. 21. №. 1. P. 95 139.

»Datko R. A Linear Control Problem in Abstract Hilbert, Space // .1. Differential Equations. 1971. V. 9. P. 346-359.

sXefl-'i Дж. Теории функционально-дифференциальных уравнений. М.т Мир, 1984.

"Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифферент уравнения. 1965. Т. 1. № 1. С. 102 116.

'"Гпхберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосонряженных операторов в гиЛь-

характеристических уравнений и получены алнмнтотичнские оценки их точности. На их основе разработаны процедуры вычисления корней характеристического уравнения, построения канонических аппроксимаций и процедуры нахождения аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления для системы дифференциальных уравнений с последействием.

Усредняющая схема аппроксимации предложена H.H. Красовским11 и изучалась Ю.М. Репиным, А.Б. Куржапским, Ю.Ф. Долгим, Г.В. Демидеп-ко, F. Kappcl, .l.S. Gibson, J.A. Burns, М.С. Delfour. Приложению се к задаче оптимальной стабилизации систем с запаздыванием посвящены работы H.H. Красовского, F. Kappel, J.S. Gibson, .I.A. Burns, М.С. Delfour. В работе .J.S. Gibson6 доказана равномерная сходимость аппроксимирующих управлений к оптимальному стабилизирующему управлению системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. В диссертации решена сложная задача нахождения асимптотики сходимости аппроксимирующих .управлений к оптимальному стабилизирующему управлению системы с запаздыванием. Аналогичная задача решалась в работе М. Kroller и К. Klinisch12 для дифференциальных .уравнений в частных производных параболического типа. Применение методики этой работы в задаче оптимальной стабилизации системы с запаздыванием осложняется отсутствием равномерной сходимости аппроксимирующих эволюционных операторов для малых положительных значений времени. Преодоление этой трудности потребовало существенно изменить методику доказательства работы М. Kroller и К. Klinisch и сильно усложнило обоснование результата.

Цель работы. Разработка конструктивных методов оптимальной стабилизации системы дифференциальных уравнений с последействием, использующих специальные конечномерные аппроксимации дифференциальных уравнений в функциональном пространстве состояний. Оценка точности приближений для оптимального стабилизирующего управления системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Методы исследования. В основе работы лежат методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, дифференциальных уравнений в банаховом пространстве; используются результаты функционального анализа, теории

бортовом пространство. М.: Наука. 1965. 448 с.

"Красонский H.H. Об аппроксимации одной задачи аналитическою конструировании регуляторов в системе с запаздыванием /,/ Прикл. матом, и мехам. 1964. Т. 28. С. 716-724.

''-Kroller М., Klinisch К. Convergence rates for the feedback operators arising in the linear quadratic regulator problem governed by parabolic equations // SIAM J. Numerical Anal. 1991. V. 28. Ю 3. P. 13501383.

экстремальных задач и теории полугрупп.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоя'!' в следующем:

• Предложены методы нахождения корней характеристического уравнения для системы дифференциальных уравнений с последействием, использующие теорию характеристических определителей и определителем"! возмущения.

• Предложены конструктивные процедуры построения приближений для оптимального стабилизирующего управления системы дифференциальных уравнений с последействием в случае канонических аппроксимации.

• Найдены асимптотики для аппроксимирующих эволюционных операторов неуправляемых и управляемых систем дифференциальных уравнений с запаздыванием в случае усредняющих аппроксимаций.

• Найдена асимптотика усредняющих аппроксимаций для оптимального стабилизирующего управления системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

• Усредняющие и канонические аппроксимации использованы для нахождения приближений оптимальных стабилизирующих управлений в понуляциоппой модели и модели фрезерования.

Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическая значимості, разработанных методом заключается в том, что они могут быть использованы для нахождения оптимальных стабилизирующих управлений іі автономных линейных системах дифференциальных уравнений с последействием. Практическая значимості, исследования заключается в том. что результаты диссертации могут быть использованы специалистами по автоматическому регулированию.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Система нумерации формул содержит три индекса, первый индекс — номе]) главы, второй индекс — номер параграфа, третий индекс помер формулы в параграфе. Остальные объекты нумеруются двумя индексами, первый индекс помер главы, второй индекс номер объекта в главе. Общий объем работы составляет 134 страницы машинописного текста.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались па 38, 39, 41, 42-й региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007, 2008, 2010, 2011 гг.): Международной научной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Москва, 2009 г.); Воронежской весенней математической школе "Современные методы краевых задач" (Воронеж, 2010 г.): XI Международной конференции ''Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Конференции Пятницкого) (Москва, 2010 г.); Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011 г.); XIV Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 2011 г.); Всероссийская научная конференция "Математическая теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 2012 г.); X Международная Чотасвская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление" (Казань, 2012 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17|.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, приводятся формулировки и описания основных утверждений диссертации, сведения о литературе, относящейся к истории рассматриваемого вопроса.

В первой главе решена задача построения аппроксимирующих полиномиальных характеристических .уравнений для систем дифференциальных уравнений с последействием. Рассматривается линейная автономная система дифференциальных уравнений с последействием о

^ J dr,(d):r,(t I 1»), «eR1 (0, loo), (1)

-r

где х : | —т, I оо) —> R"; r¡ матричная функция с ограниченным изменением на [ —т,0], 77(0) = 0.

При исследовании уравнения (1) конечномерная постановка задачи заменяется беСКОИеЧИОМерИОЙ ПОСТаНОНКОЙ. С ПОМОЩЬЮ формул Х( (¡9) x(t + d), д € [—т, 0], í > 0, вводятся функциональные элементы для решений системы (1), принадлежащие сенарабелыюму гильбертомом.у пространству И L2 ([—т, 0), С") х С" со скалярным произведением (х,у)ц у* (0) х (0) + fT у* (в) х (д) dtf, X, у € Н.

В функциональном пространстве состояний И системе (1) ставится в соответствие уравнение

^=Ах„ ге£+. (2)

di

где оператор А : Н Н задается формулами

о

(Ах) (і?) = тЭ Є [—г, 0), (Ах)(0) = у ¿г; (t9) х (і?)

— Т

и имеет області, определения V (А) = {х : х Є W\ ([-г, 0]

Спектр оператора А состоит из собственных чисел, которые являются корнями трансцендентного характеристического уравнения

D (А) = del ^АIn - J Лф) exp(Ai9) j = ü, А Є С.

Здесь Іп — единичная матрица размерности тг х п, С — множество комплексных чисел. Функция D является целой функцией экспоненциального типа.

Ставится задача построения аппроксимирующих полиномиальных характеристических уравнений для систем дифференциальных уравнений с последействием. При ее решении была использована связь между спектром инфипитезимадьпого оператора А и его резольвенты До = Л(АП; А). Исследованию свойств резольвенті,! посвящен параграф 1.2.

Лемма 1 Оппратпор fío является операторам Гильберта—Шмидта и допускает представление в виде суммы, конечномерного и вольт.еррова операторов

/?п = Ки + V(h

где (Л-„у>)(0) = ехр(А„тЭ)/о(у>). МО?) " jSWMtf-OMO dд Є [—г, 0], € Н. Здесь /„(¥>) = Д-1 (А„) + £ТМ<р{0<%), /А)(О = [!тдф)схр(ид~0), s е [—Т,о].

Лемма 2 Оператор /?,* является оператором Гильберт,а Шмидта и допускает представление в виде, суммы конечномерного и вольтеррова операторов

Щі = К (и + Vn.,

*(><■ (КзЛІ>)($) ~ сг, (0) /пЛФ)- \Ц)шФ}{і9) = / ехр(-Ап (у - £))</> (0 і9 Є [—г, 0). (УЬл'О(О) = є н' Здесь «.(0) = /„,

аЛд) = і:\сІг/'(0схр(-М^-0), 'О Є [—т, 0), ЫФ) =

Д" -1 (Л0) (^'(О) + Д охр(ЛоО^(€) ■

Операторы /?0 и /?.„ являются операторами Гильберта Шмидта. При аппроксимации их характеристических определителей полиномами требуется регуляризация10. В тоже, нремя степени этих операторов и га > 2, являются ядерными операторами и при аппроксимации их характеристических определителей регуляризация полипомами потребуется.

Утверждение 1 Оператор ЯЦ' (гп > 2) является ядерным оператором и допускает представление в виде суммы конечномерного и вольт,еррова операторов

Я™ = Кцт + У{)т, ">~1

(КПтр)(д) = ехр(Апі?) ^ у ігнкіф),

О

г (С _

(Уа^т I (т_ П! схр(А,)(1? - <)М0 ії є І-г.01, ИН.

і)

Здесь отображения /тк : И —> С" определяются рекуррентными, формулами: /т(<р) = /,„п(р) = ХХ"н2/п(<Хк)/„,-и-{ч>) + МУПт-і<р), ак(д) = ехр(А(1т9) {'дк/к\) /т„ - -/„,-иМ.т? Є [—т, 0], 0 < к < т - 2.

Утверждение 2 Оператор Я(7" (т > 2) является ядерным, оператором и допускает представление в виде сулшы коисчнолщтого и волыперрова операторов

До"' = К.т + К

т. 1

(К.т№) = а.иШ*г»кЫО, 1? Є [-Т, 0], к {]

■а

= ] {гг1_\у ехр(А„ (С - (0 д є [-г, 0),

-Т

(к„^)(о) = ф є м.

Здесь отображения і„пк : Н С" определяются рекуррентными формулами: /,ііі('/') = /ы{Ф)> - Т.к^£(»(<Х'к)/'п>-ік(Ф) + /а\У™-іФ),

ШФ) = и,-ік-Ш **(*) = і < * <

т—1, а.п(г?) = а. (і?)- і? € [-г,0].

В параграфе 1.3 изложен первый метод построения аппроксимирующих характеристических уравнений. Представление оператора До в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов позволяет при построении аппроксимирующих характеристических уравнений эффективно использовать метод определителей возмущения1". Таким образом, первый метод позволяет строить аппроксимирующие полиномиальные характеристические уравнения в следующем виде

Ял„л' (А) = с1е^А/п. - £ ^^ I = О, А є С, N Є N.

Теорема 1 Пусть Ап Є С является регулярным, значением оператора А. Тогда для любой ограниченной замкнутой области, О С € и любого положительного числа є справедлива асимптотическая формула

шах (А) - 0\„к (А)і = 0(ехр(-(1 - £)Мп ЛГ)), N +оо.

Второй метод, изложенный в параграфе 1.4, основан па теории характеристических определителей для ядерных операторов. Пусть произвольный ортопорми роваппый базис пространства И. Введем для оператора Я,'," (тп > 2) аппроксимирующие полиномиальные характеристические определители

ОкЛ') = ** -г . гєС' ЛГєК-

Теорема 2 Пусть А0 Є С является регулярным, значением, оператора А и — произвольный ортонормированный базис пространства И.

Тогда для любой ограниченной замкнутой области П С С справедлива асимптотическая форм/ула

("ЬОО / II- /І'- 1

+ 11 ^МиЪМ&ШЬ) ^ , N -> +00.

Здесь ДЖъЫ = /°Д„,(0 - - Ы <ід, є [-Т.0].

В параграфе 1.5 для построения характеристических уравнен и А использовано разложение Шмидта

; ос

= V7 є И, т> 1,

где — ортопормироваппая система собственных векторов самосо-

пряженного оператора (Щ"В.Ц')'/2, {з, (Я,"')}^ ого собственные числа, называемые сингулярными числами оператора/?,"1, унитарный оператор II определяется полярным представлением Щ" II В этом па-

раграфе построена краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения собственных векторов '2.

Для разложения Шмидта оператора /?{,", т > 2, аппроксимирующие полиномиальные характеристические определители определяются формулами

(г) = <3є11|- гак (ІІірі,?, г Є С, N Є N.

Теорема 3 Пусть Л(1 Є С является регулярным значением оператора А. Тогда для любой ограниченной замкнутой область. І1 с С и т > 2 справедлива асимптотическая формула

шах 10Л-.(г) - П,г\{:)| - о (д-"'"-^ , дт +00.

Во второй главе рассматривается задача оптимальной стабилизации системы дифференциальных уравнений с последействием относительно квадратичного критерия качества с помощью метода канонических аппроксимаций.

В параграфе 2.1 приводится общая постановка задачи об аппроксимации оптимального стабилизирующего управления. Объект управления описывается линейной системой дифференциальных уравнений с последействием

о

±х и) Г

—~1^ сіт1{-д)х(і + д) + Ви, ¿>0, (3)

т

где х : [—т, +оо) К", и Є Ег управление, г/ матричпозиачпая функция с ограниченной вариацией на отрезке [—г, 0], г](0) = 0, В постоянная матрица. Оптимальное стабилизирующее управление, формируемое по

принципу обратной связи, обеспечивает устойчивую работу системы (3) и минимизирует следующий критерий качества переходных процессов

ос

3 = I [хт (£) Сц (£) + ит (<) С2и (4)] Л, (4)

о

где С] постоянная неотрицательная матрица, С2 постоянная положительно определенная матрица.

В функциональном пространстве состояний Н системе (3) соответствует .уравнение

^ = Ах, + Ви, (5)

ш

однородная часть которого совпадает с уравнением (2). ограниченный оператор В : К'' -> И определяется формулами (Вп) (??) П, 6 \-т, 0), (Ви) (П) - Ви. и 6 К'.

Критерий качества (4) описывается формулой

ос

1 = 1 ({С^х,., х,)п 4- ут (/.) С2и (I)) ЛЬ, (6)

о

где (С,х) (0) - Слх (0), (С1Х) (1?) = 0, д е [—-г, 0).

Оптимальное стабилизирующее управление и11 задачи (5), (6) задается формулой ип(х) = -СГ'В-Пх, х е Е, где В" : М -> К', В'х = Вгх(0), а П : И В положительный самосопряженный ядерный оператор, удовлетворяющий операторному уравнению Риккати.

Решение задачи (5), (6) будем приближать последовательностью решений задач оптимальной стабилизации дифференциальных уравнений

гЬс

— - А-ух + В^м, х € Нл', (7)

си

с критериями качества

ос

J^' = I [<Сшх„х,)н + ит (£) С2и (0] Д. (8)

о

Здесь А л' : Нлг -4 Нлг, Вд, : Кг Щг, Сш : Идг Нлг • ■ конечномерные операторы, N е N. Пространство Ндг является ЛГ-мерным подпространством пространства Н и задается с помощью проектора Р,у : Н Нлг-

Пусть оператор тг.у определяет токологический изоморфизм пространств Е.у и С*. Оператор iN : C'v йлг зададим формулой ¿,v = тг,у\ Используя введенные операторы, получим, что задача стабилизации (7), (8) в пространстве Ид- эквивалентна задаче стабилизации дифференциального уравнения

j V

AvAV I BNu, XN є C'v, (9)

с критерием качества

оо

■In I [A'w (t) Г?,.уЛ'Лг (/.) і „T (t.) C2n (/.)] dl. (10)

ГДЄ An = 7ГдгАД'ідг, Bn = 7Гд'В,у. Сідг = £*yС];\-6Д'.

Реї

пение задачи (9), (10) определяется формулой і/.дг (Л"д/) = — Cj 1 Вд-ПдгХдг, Хд; Є СЛ', где Пд- — положительно определенное решение уравнения Риккати

ЛдЛІд- I lijvAv і Ci,v - UNByiC^B'N\lN 0. (11)

Используя изоморфизм пространств Ew и C'v получим, что управление un (Х) = -СТ'В'уПдХ, X Є Ед', где П,у = 7ГуПд/7Глг, ЯВЛЯЄТСЯ ОП'ГИ-мальным стабилизирующим управлением задачи (7), (8). Расширим задачи (7), (8) и unv(x) на пространство Н, заменяя х па Р^х. Для расширений соответствующих операторов оставим прежние обозначения, заменяя операторі)! АдгРдг, СідгР,v, тгдгРдг на Адг, C]N, 7гдг. Расширения управления и'^ будем рассматривать в качестве аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления.

В связи с аппроксимирующей задачей (7), (8) возникает три задачи:

1. Разработка конструктивных методов нахождения приближений оптимального стабилизирующего управления задачи (5), (6).

2. Доказательство сходимости приближений оптимального управления к оптимальному управлению задачи (5), (6).

3. Оценка точности аппроксимирующих управлений.

Вторая глава посвящена каноническим аппроксимациям задачи оптимальной стабилизации. В ней получили развитие исследования по разработке конструктивных методов нахождения приближений оптимально стабилизирующих управлений для систем с последействием. При их численной реализации используются методы Р. Беллмапа, H.H. Красовского и

Л.С. Поптрягина оптимальной стабилизации конечномерных систем. Для канонических аппроксимаций проблема сходимости приближений к оптимальному стабилизирующему управлению системы с последействием остается открытой. В згой главе установлено, что семейство проекторов, порождающих каноническую аппроксимацию, не является равномерно ограниченным па всем пространстве Н, поэтому нельзя говорить о их сильной сходимости к тождественным операторам па всем пространствеН. В то же время показано, что сходимость к тождественному оператору в равномерной топологии имеет место на некотором подпространстве пространствам.

В параграфе 2.2 получены явные формулы для проекторов, определяющих каноническое разложение пространства состояний, изучены некоторые их свойства. Корпи характеристического уравнения

6 (А) = Д (Л) = О, А € С, (12)

где Д(А) = А/ - [" <1п (ч9) сА|'. А с С, являются собственными числами ипфипитезимальпого оператора А и могут быть занумерованы в порядке убывания вещественных частей Аь к е N. Пусть Ндг — объединение корневых подпространств оператора А, отвечающих его собственным числам = {Аь...,А№}, М' в N. Проектор Рдг (Рл'Н = Ид?) задаст каноническое разложение пространства И в прямую сумму, при котором х € Н однозначно определяет элементы у € Н,у и г 6 (I- Рд'Щ такие, что х = у + ъ.

Проекционный оператор можно определит!, формулой Р* = — / Я (А; А) (¿А,

2 5П } Т>

где Гд" — замкнутый спрямляемый контур, лежащий в резольвентном множестве р(А), содержащий внутри себя множество егд?» и не содержащий точки С! (А) Дх/у.

Утверждение 3 Если аса корни Аь к = 1,..., /V', характеристического уравнения (12) простые, то имеем ЛГ' = N, а представление проектора определяется формулой

дг . (1 Л \

А-=1 \ -т -т

где. I) (А) присоединенная матрица для Д (А), А 6 С.

Семейство операторов Рдт, /V 6 п, не является даже равномерно ограниченным па ¡¡сем пространстве Н.

Теорема 4 Для днффермщиалъпого уравнения с запаздыванием

,, (0) = 0, г/ 0?) = — А. г) 6 (-т, 0) , Т1 (-г) = -.4 - ,4Г,

где А, Ат — постоянные квадратные, матрицы. Пусть все. корни характеристического уравнения (12) простые., собственные числа матрицы АТ попарно различны и отличны от нуля. с1еЬ (А + АТ) ф 0, тон да справедливы. асимптотические соотношения.

Подпространство Щ = {х£ ([—т, 0], К") : х (0) = Лх (0) + Лтх (-т)} снабжено нормой пространства Соболева ([—г, П], К"), npocm.pa.u-ство С = С ([—т, 0] — пространство непрерывных функций.

Параграф 2.4 посвящен задаче оптимальной стабилизации (5), (6). При построении канонических аппроксимаций задачи оптимальной стабилизации в уравнении (7) следует положить Адг = АР .у, В/у = РдгВ, в критерии качества (8) Сш = Рд.С^Рд:.

Утверждение 4 Если корпи характеристического уравнения Ад., к = 1,..., N, простые, то справедливы формулы

N / 0 " \

(А„х)(д) = (АРух)(д) (х (0)(О х (з)

(Влгм) М = (Рл-Вн) (д) = 22 е 19 е •

(С.-) (0) (» « К)* С) *).

I»

(Сьух) (0) = I (О (С,.ух) (0) . дв [-г, 0) , х € И.

Теорема 5 Пусть уравнтш. Риккати (11) имеет единственное положительно определенное решение, асе собственные числа оператора А, принадлежащие множеству а (А) имеют, отрицательные действительные части, тогда управление

ил, (х) = -С,"1 B'P%nNPNx, х Є И

является стабилизирующим для системы, с последействием (3). Здесь конечномерный оператор ПЛг : Н Н определяется формулой Пд- =■

7ГдгПдг7Г\^.

В параграфе 2.5. используя базисы пространств Ндг и Ид,-., найдены предстанлеиия топологических изоморфизмов 7T,V- Здесь Ид; об-ьедипение корневых подпространств оператора А*. отвечающих его собственным числам Аь k = 1,..., N'. Для упрощения формулировок теорем здесь приведены результаты только для случая простых собственных чисел оператора А. В параграфе 2.5 псе утверждения сформулированы и для случая кратных собственных чисел оператора А.

В случае простых собственных чисел оператора А в пространстве Ндг можно ввести базис, состоящий из собственных функций этого оператора, отмечающих собственным числам Аь к = 1,. .., N, а в пространстве Н^г — из собственных функций оператора А*, отвечающих собственным числам Afc, к = 1,..., N.

Лемма 3 Если собственные числа Аь k. - 1 ,...,N, оператора А простые, то базис пространства H.v, состоящий из собственных функций оператора А, определяется, формулами

ф*(т?) = Ф; (0) е.'4". і? Є [—г, 0],

где Фк (0) — нетривиальные решения алгебраических систем (і

(А,/„ -Jdr, (t?) єл<") Фі: (0) = 0, k = 1,..., N.

-г

Лемма 4 Если собственные числа Аь к - 1 ,...,N, оператора А простые, то базис пространства Н^, состоящий из собственных функций оператора А", определяется формулами

ф* (tf) = í Afc/„. - f е^'дг)' (.s) J (ü), <9 Є [-T, 0), (0) = Ф* (0), ^ i) '

где Фг,: (0)

нетривиальные решения алгебрапчеект: систем

\кІп ~ у ел' ^7?т I» ^ (0) = 0, к. = 1,..., N.

Лемма 5 Базисы пространств Ндг « Ндг, определяемые формулами = я/уФ7', %1,к = Х^іі Укі^, к = соответственно, биортого-

налъны. Здесь X 1, сісі Л'/ О, У 1 Л"1*.

Биортогональность базисов, введенных в предыдущей лемме, позволяет определить координатное представление, проектора Ру но следующей формуле

х

Рд,Х= хеИя,

Утверждение 5 Если собственные числа \к, к 1,..., Л', оператора А простые, то отображение тгдг. заданное формулой

тгд'У = ІКу.^УГ І = =У■ У Є Н*.

определяет, топологический изоморфизм, пространств Ндг и

Используя базисы пространств Ндг и Н]^, конкретизируем задачу оптимальной стабилизации в пространстве СА'.

Утверждение 6 Если все собственные числа к = 1,..., N, оператора А простые, представления конечномерных операторов у4дг, £?дг, Сідг задачи оптимальной стабилизации (7), (8) определяются, матрицами

А.ч = Х ітсііай (Лі,..., Адг) ХТ, В^ = X 17 ||Ф-7" (0)||^1 В, Сш =Х||Фь(0)С1Ф'(0)||^ ,ХТ

При выполнении условий теоремы 5 стабилизирующее управление системы (3) вычисляется по формуле

и%(к) -С2-1ВГ||ФІТ (0)|!^=1.....дЛХ)"1! 1дгХ-1Г1!(х,Ф':)ЛГ=1.

В параграфе 2.6 рассматривается метод нахождения приближений оптп-малыюго стабилизирующею управления с помощью метода Поптрягипа, в случае г = 1, т,; = 1, г = 1,...,ЛГ'. Ранее этот подход использовался только для скалярных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием. Задача нахождения приближений оптимального стабилизирующего управления сведена к задаче факторизации для полиномов.

В параграфе 2.7 приведено три тестовых примера и рассмотрена задача построения стабилизирующего управления в модели Лотки—Вольторра с запаздыванием. В нервом и втором тестовых примерах описано построение аппроксимаций оптимальных стабилизирующих управлений для системы с запаздыванием с простыми и кратными собственными числами соответственно. В третьем тестовом примере построены аппроксимации стабилизирующих управлений для специальной системы с распределенным запаздыванием, для которой известна аналитическая форма оптимального стабилизирующего управления. Произведено сравнение найденных аппроксимаций с точным управлением. Также в этом параграфе рассмотрена задача построения стабилизирующего управления в модели Лотки—Вольторра с запаздыванием.

В третьей главе исследуется задача оптимальной стабилизации дифференциального уравнения с запаздыванием методом усредняющих аппроксимаций. Глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе приведена постановка задачи. Объект управления задается дифференциальным уравнением с запаздыванием

Ат(*) I Лтх {I — т) I Пи, Ь 6 [0, оо), (13)

ш,

где х 6 К", и е К' , .4, Ат — постоянные матрицы порядка тг, В — постоянная матрица размерности пхг. Оптимальное стабилизирующее управление обеспечивает устойчивую работу системы (13) и минимизирует критерий качества переходных процессов

ПС

,7 I (:ст(0<71.т(0 I ит(1.)С2и(Ь)) <Й, (14)

о

где С1! постоянная неотрицательная матрица, Со - постоянная положительно определенная матрица.

Метод усредняющих аппроксимаций был предложен в работе11 и основан па замене исходной задачи задачами оптимальной стабилизации систем

обыкновенных дифференциальных уравнений

-ß- = Ах% + Лтх* + Ви.

J± и ' л

с критериями качества

ос

Л- = J (х.Г (0 Сц^ (t) + ит (t) С2и (0) (16)

о

где Хі Є R". і = 0,...,N, существующие и единственные при N > Nlt и надлежащем выборе натурального числа N^.

Следуя методике второй главі»! переходим от постановки задачи в конечномерном пространстве состояний к постановке задачи в специальном гильбертовом пространстве Н = L2 ([—г, Ü) , Еп) х К". Рассматриваемая аппроксимация не требует комплексификации пространства Н. Она определена для системі)! (13) частного вида. Поэтому в уравнении (5) оператор А задается формулами

Вид критерия качества (б) в функциональном пространстве состояний остается прежним.

Основная задача третьей главы нахождение оценки сверху скорости сходимости аппроксимирующих оптимальных стабилизирующих управлений к оптимальному стабилизирующему управлению задачи (13), (14).

Задачу стабилизации (15), (16) будем изучать в пространстве Н. Уравнению (15) соответствует дифференциальное уравнение (7), где А^ = — квадратная матрица порядка (А' + 1)п, блочные элементы которой определяются системой (13), а ипъективиые отображения : до |( СЮрЪКТИ1ШЫЙ отображения ттдг : И К<ЛЧ11Г' задаются

формулами

,NXN = Х{0]х° + Х[- * т.-фт)*к'ХЛ' = ■ ■ ■. е RiN'

n

к-1 І)

7гЛ-х = сої x (0), — / x (£) ..., -

N

j x(0 di

x Є И, N Є N.

-Г

Здесь хе индикатор множества К.

Критериям качества (16) соответствуют критерии качества

ос

J к j ((Twxt)r С\ ,v (тг.ух,) + ит it) C2U (£)) dt, N > Na, (17) її

где С:к = {(7J-'V) квадратная матрица порядка (N + 1) п, ^"дг = Си

I * ) i.J—о

С= Си если Ї2 +f ф о.

Утверждение 7 Операторы тгу и t,v обладают следующими свойствами:

1. ||t.v||{{(;v і i)»-+M = 1, ІклгІІн^жл-и^. = "1 при N Є N; irNiNX = X. X Є 1 l)n, N Є N; Для элемента X col (xtf, ■ ■ Є К(ЛЧ1)" норма определяется фор-

„ I V|2 I VI2, 7- I V I2

мулои |(ЛГ+1>, = |ih I + 7v p,; I •

В методе усредняющих аппроксимаций важную роль играют проекторы Рл/ = lnkn, N Є N. В следующем утверждении сформулированы их основные свойства.

Утверждение 8 Операторы Рдг являются самосопряженными, ортогонально проектируют пространство Ш на Н.у, сильно сходятся к тождественному оператору в пространстве Н и

ЦРл-х - х|| < ^ ||x||L2 . х є W, ([ т, 0], К"), Ne N,

где ||х|| <х.х)^2.

В работе J.S. Gibson6 доказана теорема о сходимости аппроксимирующих управлений к оптимальному управлению.

Теорема 6 Если система (13) стабилизируема и матрица С\ положительно определена, то последовательность аппроксимирующих стабилизирующих управлений {и(л,'}Лг>Л-л сходится а равномерной топологии к и", то есть

К-Ндгіін-Щ'-*0' N-юо. 20

Во третьей главе получен следующий результат

Теорема 7 Если. система (13) стабилизируема, и матрица CL полож.и-тельно определена, то справедлива асимптотическая оценка

jju" - о(лг*), ЛГ-»оо.

Параграф 3.2 посвящен исследованию полугрупп Т (t), Тдг (t), t > 0, порождаемых ипфииитезимальпыми операто1)ами A, An, N 6 N. В работах Н.Т. Banks н J.A. Burns13, I. Lasiecka и A. Manitius14 доказаны теоремы о сходимости аппроксимирующих полугрупп

Теорема 8 Для любого t > 0 последовательность операторов n=nn г-ильно сходится к Т (t).

Теорема 9 Для каждого L > 5т справедлива асимптотическая оценка

max \\Т (Í) - Тк (t) P^ü - О (Лг_1) , N ->■ оо.

Операторы {TN (í)}~=.Vf! пе годятся к Т (t) в равномерной топологии при t. > П. Однако учитывая конечномерность оператора Р, можно показать, что операторы РТу (t) и Ту (t) Р сходятся к PT(í) и Т (t) Р соответственно в равномерной топологии для любого t. > 0. Эти сходимости играют важную роль при оценке скорости сходимости аппроксимирующих управлений.

Утверждение 9 Для каждого L 6 R+ справедлива асимптотическая оценка

шах |¡P (Tv (í) - Т (0)[| = О (ЛГО , N-4 00. /£;(>.£) \ /

Утверждение 10 Для. ка:>1сдого £ R+ справедлива асимптотическая, оценка

шах У {Ту (í) - Т (¿)) Р|| = О (ЛГ*) , N се.

''Banks Н.Т., Burns .1.Л. Hereditary control problems: numerical methods based on averaging approximations .// SIAM .1. Control and Optitn. 1978. V. 16. № 2. P. 169 208.

LasK'fbi I.. Manit.iuw A. Differentiability and convergence rates of approximating semigroups for retarded functional differential equations // SIAM .1. Numerical Anal. 198S. V. 25. № 4. P. 883 907.

При доказательстве этих утверждений использовались результаты работы11 и методы теории интегральных уравнений. Они основываются на тонких асимптотических оценках ядер интегральных операторов, которые связан:,I с асимптотикой приближений для интеграла Эйлера Пуассона.

В параграфе 3.3 производится доказательство теоремы 7. Оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления для системы с запаздыванием производится методом, предложенным в работе1-, при решении аналогичной задачи для параболического уравнения. В основе этого метода лежит переход от оценки разности оптимальных управлений к оценке разности значений критериев качеств па оптимальных управлениях

Ци° - < \В\ sup \J (x(i,u°) - JN (хо,<)! ■

1Ы1<1

Тогда, представляя пространство Н в виде объединения подпространств Н+ = {х„ : Xu € И, •/ (х„, u°) - JN (xih <,) > 0}, Н_ = {хо : X(, е Н, ,7 (х„,и(|) - ./,Y (х0,и^) < 0}, получим

sup | J (xn, u°) - JN (xn, u%) I

llx„!!<i

< inax< sup (J (xn, nN) ~ Jn (хо, u%)), sup (JN (xUj üjv) - J (xu, un))

lix„ll<l, l|X(lli<l. J

x„eii х„ёН_

(18)

где u.v- ид- — произвольные допустимые управления. Опишем метод оценки величины J(X(|,Üat) — Jn (хц,и^).

Значение критерия качества JN (xn,u^) определяется формулой

зо

JN (xn, О = J {(Sfi (t) CiPSN (0 x(l,Xfl)H

о

+ (5д, (t) UnDUnSn (t) x„, x„)H) dt, x0 e И+,

где {S_v(t),t- > 0} полугруппа, порождаемая оператором A.y - DIl.v. Управление ü/v системы (5) должно быть выбрано так, чтобы разность J(x„,Ü,v) - Jn (xu,u^) допускала эффективную оценку. М. Kroller, К. Kunisch выбирали у правление üN = unv. В отличие от задачи стабилизации параболического уравнения в задаче стабилизации дифференциального уравнения с запаздыванием аппроксимирующие полугруппы Тдг (¿) не

сходятся к Tit) при малых значениях временной переменной в равномер-пой топологии. Поэтому выбор управления u.v был существенно изменен. Управления цЛ' совпадает с управлением и^ при i > Д, а при t Є [0,Д| его выбор описан в наі>агі)афе 3.3. В таком случае значение критерия качества J(x(), йдг) определяется формулой д

./(хо, її.v) СО (/.) Xn, х„)н ! {.%. (t) n.vDn.v^ (t) xn, Хо)я) dt.

о

DC

+ [ ((S-V(A)S\; (і - Д)С,Р^(і- Д) 5,V (A) X„, X„^; J \ \ ' ' / H

Д

+ (s'N (Д) (t - Д) П vDll v-^v (t ~ Д) SN (Д) xn, x„J) J dt, х„ Є H+,

где операторы 5,v (i), t Є [0,Д], описывают решение системы (5) при выбранном управлении їїд;, jsjy (t) Л > 0 j полугруппа, порождаемая операторами А — DIIjv.

В результате оценка і(хп,їїд?) — J;v сводится к оценкам полу-

групп Srf (і), S\, (i), і > 0, аппроксимирующих управляемых систем, полученных is лемме 6. Оценка JN (xn, Ujv) — J (х(ь un) связана со специальным выбором управления u,v и использует утверждение аналогичное лемме 6. Параграф 3.4 посвящен доказательству следующего утверждения.

Лемма 6 Если Д > 6т, то существуют некоторые, постоянные uj > О, Кг > О, N\ Є N, что справедливы формулы

sup ||р (s,v (0 - SN (t.)) II = О (N І), N —» оо,

ї.ф.Д] 11 4 / II V /

IISlj (t - A) SN (Д) - P.vSy (i) || < KiN-ie-**, t > A, N > Nx.

А также доказательству аналогичного утверждения для полугрупп аппроксимирующих управляемых систем, порождаемых управлениями u°, йдг.

При доказательстве первой части леммы используется утверждиеиие 9. При доказательстве второй части леммы мы модифицировали методику работы14 в условиях, когда області, значений оператора Sn (Д) не принадлежит V (А2). Реализация предложенного подхода потребовала описания области значений оператора Sn (Д), доказательство равномерной ограниченности семейства операторов AjV : W} ([-г, 0], М") ->Яи Я (А, А - БПдг) : И Wi ([-г, 0], R"), N>Na, Хер (А).

В параграфе 3.5 рассмотрены задачи численного построения приближений с помощью метода усредняющих аппроксимаций для оптимальных стабилизирующих управлений в модели Лотки-Вольтерра с запаздыванием и модели фрезерования.

Публикации по теме диссертации

1. Быков Д.С. Аппроксимация характеристического уравнения в задамо устойчиво' сти нязкоупругого стержня // Тр. 38-й Региональной молодежной копф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2008. С. 102 106.

2. Бмкои Д.С. Аппроксимация характеристических уравнений дифференциальных

систем с последействием с применением определителей возмущения // Тр. 40-й Региональной молодежной копф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2009. С. 116-120.

3. Быков Д.С. Аппроксимирующие характеристические уравнения для систем дифференциальных уравнений с последействием // Международная па.уч. копф. "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики''. Моекна. 2009. С. 153-154.

4. Быкои Д.С. Конечномерные аппроксимации дифференциальных уравнений с запаздыванием в гильбертовом пространстве состояний // Сб. XXV ВВМШ "Современные методы теории краевых задач". Воронеж. 2010. С. 48-49.

5. Быкои Д.С., Долгий Ю.Ф. Аппроксимирующие характеристические уравнения для динамической модели визкоупругого стержня // Матем. и нрнкл. анализ. Тюмень. 2010. Выи. 4. С. 62 76.

6. Быков Д.С. Оптимальная стабилизация автономных систем с последействием // Тез. докл. XI Международной копф. "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва. 2010. С. 74 -76.

7. Быков Д.С. Оптимальная стабилизация автономных систем с. последействием, использующая метод Поптрягипа // Тр. 41-й Региональной молодежной копф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2010. С. 325 331.

8. Быков Д.С. Оценка точности усредняющих аппроксимаций в задаче оптимальной стабилизации систем с запаздыванием // Тез. докл. Международ, конф. но математической теории управления и механике. Суздаль. 2011. С. 53 54.

9. Быков Д.С. Приближе........ метод нахождения оптимальных стабилизирующих

управлений для автономных систем с. последействием // Вест. Тамбовского университета. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1045 1047 (перечень ВАК).

10. Быков Д.С. Стабилизация динамических процессов фрезерования металлов //Тр. 42-й Региональной молодежной копф. "Проблемы теоретической и прикладной

математики". Екатеринбург. 2011. С. 17 19.

П. Быков Д.С. Стабилизация равновесных положений в понуляцнонпых моделях // Бюл. XIV-й Всероссийской копф. "Математичеткое программирование и приложения". Екатеринбург. 2011. С. 235 236.

12. Быков Д.С., Долгий Ю.Ф. Аппроксимирующие характеристические уравнения для автономных систем дифференциальных уравнений с последействием // Изв. ну:юп. Матом. 2011. У' 1. С. 18 23 (перечень ВАК).

13. Быков Д.С., Долгий Ю.Ф. Канонические аппроксимации в задаче оптимальной стабилизации автономных систем с последействием // Тр. Ии-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т.17. № 2. С. 20 34 (перечень ВАК).

14. Быков Д.С. Канонические аппроксимации в дифференциальных уравнениях с запаздыванием // Тр. X Междупар. Четае.вской копф. 2012. Т. 2. С. 144 153.

15. Быков Д.С. Асимптотическая оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управлении системы дифференциальных уравнений с запаздыванием /.:' Дои. в ВИНИТИ 03.05.12. .№ 206-В1012. 50 о.

16. Быков Д.С.. Долгий Ю.Ф. Оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления системы с запаздыванием //' Тр. Ии-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т.18. № 2. С. 38 47 (перечень ВАК).

17. Долгий Ю.Ф., Быков Д.С. Линейные функционально-дифференциальные уравнения в пространстве с пеипдефипитпой метрикой /'/' Изв. ии-та. матом, и ипформат. УдГУ. Ижевск. 2012. С. 48 50.

Подписано в печать 9.10.2012 Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. 6,25 Тираж 100 экз. Заказ 3684

Отпечатано в типографии ООО "Издательство УМЦ УПИ" г. Екатеринбург, ул. Гагарина, 35 а, оф. 2 Тел.: (343) 362-91-16, 362-91-17

Введение

ГЛАВА 1. АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

1. Постановка задачи построения аппроксимирующих характеристических уравнений

2. Резольвента инфинитезимального оператора.

3. Определители возмущения

4. Характеристические определители

5. Разложения Шмидта

ГЛАВА 2. КАНОНИЧЕСКИЕ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

1. Постановка аппроксимационной задачи оптимальной стабилизации для линейной автономной системы дифференциальных уравнений с последействием

2. Каноническое разложение пространства состояний

3. Сходимость последовательности проекторов

4. Канонические аппроксимации задачи оптимальной стабилизации

5. Топологический изоморфизм пространств Н^ и С'у

6. Метод Понтрягина построения оптимальных стабилизирующих управлений

7. Численное построение стабилизирующих управлений с помощью метода канонических аппроксимаций

ГЛАВА 3. УСРЕДНЯЮЩИЕ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. Усредняющие аппроксимации для линейных автономных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием

2. Асимптотические свойства аппроксимирующих полугрупп неуправляемой системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

3. Экстремальные свойства оптимального стабилизирующего управления системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

4. Асимптотические свойства аппроксимирующих полугрупп управляемой системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

5. Численное построение стабилизирующих управлений с помощью метода усредняющих аппроксимаций

Интерес к дифференциальным уравнениям с последействием стимулируется иробле-мами математического моделирования в различных областях естествознания. Основные положения теории этих уравнений изложены в монографиях Н.В. Азбелева, В.II. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной [2], Р. Беллмана и К.Л. Кука [14j, В.Б. Колмановского и В.Р. Носова [52], H.H. Красовского [61], А.Д. Мышкиса [81], Дж. Хейла [98]. Л.Э. Эль-сгольца и С.Б. Норкина [102]. В теории устойчивости дифференциальных уравнений с последействием имеются различные направления. Соответствующая библиография весьма обширна. Первый метод Ляпунова развивался в работах Р. Беллмана, К.Л. Кука, А. Ха-ланая, Дж. Хейла, С.Н. Шиманова. Второй метод Ляпунова получил развитие в работах H.H. Красовского, В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Ю.С. Осипова, Б.С. Разумихипа, Д.Я. Хусаипова, С.Н. Шиманова. Устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям изучалась в работах Н.В. Азбелева, Л.М. Березапского, А.И. Домошпицко-го, В.В. Малыгиной, П.М. Симонова.

Теория стабилизации дифференциальных уравнений с последействием имеет важное прикладное значение. В рамках этой теории развивались различные направления. Соответствующая библиография весьма обширна. Возможность стабилизации динамической системы тесно связана с ее управляемостью [40]. Условия управляемости систем дифференциальных уравнений с последействием изучалась в работах [10,33,69,73-75,90,97]. Для систем дифференциальных уравнений с последействием предлагались различные методы стабилизации [4, б, 8, И, 30,47,48,66,67,75,76,78,83,84,90-93,103,106,108,114,116,120,127, 129,132,138].

Работы H.H. Красовского, посвященные проблеме аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, показали, что при ее решении удобно использовать функциональное пространство состояний [56-59,63]. H.H. Красовскии определил достаточные условия существования оптимального стабилизирующего управления. Ю.С. Осипов установил их связь с вполне управляемостью специальной конечномерной системы [62,82]. Постановка задачи оптимальной стабилизации в функциональном пространстве состояний, предложенная H.H. Красовским, позволила решать задачи оптимальной стабилизации для дифференциальных уравнений в частных производных [125,133], стохастических дифференциальных уравнений [5,49,51,68,117] и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [54,109,110,118,119], а также задачи оптимального управления системой с последействием на конечном отрезке времени [12,50,123,124,120,135]. Линейпо-квадратичная задача оптимальной стабилизации системы с последействием сводится к нахождению решения алгебраического уравнения Риккати в функциональном пространстве состояний [13,104,118].

Теоретические и вычислительные трудности проблемы построения решения алгебраического уравнения Риккати в функциональном пространстве состояний пытались преодолеть, переходя к конечномерным аппроксимациям задачи оптимальной стабилизации [109-111,113,118,119]. В основе которых лежит замена дифференциального уравнения с неограниченным инфинитезимальным оператором дифференциальными уравнениями с конечномерными инфинитезимальными операторами в функциональном пространстве состояний. В настоящей работе рассматриваются каноническая и усредняющая схемы аппроксимации.

Каноническая схема аппроксимации изучалась Дж. Хейлом, С.II. Шимановым [98, 100, 101]. Приложению ее к задаче оптимальной стабилизации систем с последействием посвящены работы H.H. Красовского. Е.М. Маркуигина, Ю.С. Осииова, С.Н. Шпмано-ва, L. Pandolfi [62,70-72,82,100,101,130,131]. Построение канонической аппроксимации для системы дифференциальных уравнений с последействием требует нахождения корней характеристического уравнения. Последняя задача недостаточно изучена и является предметом исследования в первой главе. В диссертации дается аппроксимационпое решение последней проблемы, использующее теорию характеристических определителей и определителей возмущения, изложенную в монографии И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн [35]. Предложены методы нахождения аппроксимирующих характеристических уравнений и получены асимптотические оценки их точности. На их основе разработаны процедуры вычисления корней характеристического уравнения, построения канонических аппроксимаций и процедуры нахождения аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления для системы дифференциальных уравнений с последействием.

Усредняющая схема аппроксимации предложена H.H. Красовским [57] и изучалась Ю.М. Репиным, A.B. Куржапским, Ю.Ф. Долгим, Г.В. Демиденко, Л.A. Burns, М.С. Delfour, J.S. Gibson, F. Kappel [38,39,79,89,107,113,119]. Приложению ее к задаче оптимальной стабилизации систем с запаздыванием посвящены работы H.H. Красовского, J.A. Burns, М.С. Delfour, J.S. Gibson, F. Kappel [57,107, 111,112,119,1'24]. В работе J.S. Gibson [119] доказана равномерная сходимость аппроксимирующих управлений к оптимальному стабилизирующему управлению системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. В диссертации решена сложная задача нахождения асимптотики сходимости аппроксимирующих управлений к оптимальному стабилизирующему управлению системы с запаздыванием. Аналогичная задача решалась в работе; М. Kroller, К. Klinisch [125| для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Применение методики этой работы в задаче оптимальной стабилизации системы с запаздыванием осложняется отсутствием равномерной сходимости эволюционных операторов для малых положительных значений времени. Преодоление этой трудности потребовало существенно изменить методику доказательства работы М. Кго11ег, К. КлишсИ и сильно усложнило обоснование результата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Система нумерации формул содержит три индекса, первый индекс — номер главы, второй индекс — номер параграфа, третий индекс — номер формулы в параграфе. Остальные объекты нумеруются двумя индексами, первый индекс — помер главы, второй индекс — номер объекта в главе. Общий объем работы составляет 134 страницы машинописного текста.

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Базисы Рисса из экспонент и разделенные разности // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. Вып. 3. С. 1-17.

2. Азбелев Н.И., Максимов В.П., Рахматулаина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения М.: Ин-т компьютерных исслед., 2002.

3. Азизов Т.А., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. М.: Наука. 1986. 352 с.

4. Александров А.Р. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Наука. 1986. 272 с.

5. Андреева Е.А., Колмауювский В. Б. Управление эридитарными системами. М.: Наука 1992. 336 с.

6. Андреева И.Ю., Сесекин А.Н. Вырожденная линейно-квадратичная задача оптимизации с запаздыванием по времени // Автомат, и телемех. 1997. N° 7. С. 43 54.

7. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об устойчивости вязкоупругих стержней // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1974. №2. С. 78-87.

8. Асмылович И.И., Марченко В.М. Управление спектром систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1976. Л"87. С. 5-15.

9. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1966. 544 с.

10. Быкова Т.С., Тонкое E.JI. Приводимость линейной системы с последействием // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11. № 1. С. 53 64.

11. Баландин Д.В., Коган H.H. Метод функций Ляпунова в синтезе законов управления при интегральном и фазовых ограничениях // Дифферент;, уравнения. 2009. Т. 15. №5. С. 655-664.

12. Барабанов А. Т. Оптимальное по квадратичному критерию управление линейным обь-ектом с постоянным запаздыванием // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. N" 6. С. 180-192.

13. Барабанов А. Т. Стабилизирующее решение алгебраического уравнения Риккати. Метод резольвенты. // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. №3. С. 40-51.

14. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с

15. Бердышев В.И., Петрак JI.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. Екатеринбург: УрО РАН. 1999. 295 с.

16. Быков Д.С. Аппроксимация характеристического уравнения в задаче устойчивости вязкоупругого стержня // Тр. 38-й Региональной молодежной конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2008. С. 102-106.

17. Быков Д. С. Аппроксимирующие характеристические уравнения для систем дифференциальных уравнений с последействием // Международная науч. конф. "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики". Москва.2009. С. 153-154.

18. Быков Д. С. Конечномерные аппроксимации дифференциальных )равнений с запаздыванием в гильбертовом пространстве состояний // Сб. XXV ВВМШ "Современные методы теории краевых задач". Воронеж. 2010. С. 48-49.

19. Быков Д. С. Оптимальная стабилизация автономных систем с последействием // Тез. докл. XI Международной конф. "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва. 2010. С. 74-76.

20. Быков Д.С., Долгий Ю.Ф. Аппроксимирующие характеристические уравнения для динамической модели вязкоупругого стержня // Май ем. и прикл. анализ. Тюмень.2010. Вып. 4. С. 62-76.

21. Быков Д.С. Оптимальная стабилизация автономных систем с последействием, использующая метод Понтрягина // Тр. 41-й Региональной молодежной конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2010. С. 325-331.

22. Быков Д. С. Оценка точности усредняющих аппроксимаций в задаче оптимальной стабилизации систем с запаздыванием // Тез. докл. Международ, конф. по математической теории управления и механике. Суздаль. 2011. С. 53 -54.

23. Быков Д.С. Приближенный метод нахождения оптимальных стабилизирующих управлений для автономных систем с последействием // Вест. Тамбовского университета. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1045-1047.

24. Быков Д.С., Долгий Ю.Ф. Аппроксимирующие характеристические уравнения для автономных систем дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Матем. 2011. № 1. С. 18-23.

25. Быков Д. С., Долгий Ю.Ф. Канонические аппроксимации в задаче оптимальной стабилизации автономных систем с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 2. С. 20-34.

26. Быков Д.С., Долгий Ю.Ф. Оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления системы с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 2. С. 38-47.

27. Быков Д.С. Канонические аппроксимации в дифференциальных уравнениях с запаздыванием // Тр. X Междунар. Четаевской конф. 2012. Т. 2. С. 144-153.

28. Быков Д.С. Асимптотическая оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Деп. в ВИНИТИ 03.05.12. X* 206-В1012. 50 с.

29. Власов В.В. О базисности экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений в пространстве Соболева // ДАН РАН. 2001. Т. 381. № 3. С. 302-304.

30. Габелая А.Г., Иваненко В.И., Одарич О.Н. Стабилизпруемость линейных автономных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1976. № 8. С. 12-16.

31. Гинзбург Ю.П., Иохвидов И.С. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой // Успехи математических наук. 1962. Т. 17. Вып. 4. С. 3-56.

32. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

33. Гребенщиков Б.Г., Ложников А.Б. О стабилизации некоторых систем, содержащих два линейных запаздывания // Дифференц. уравн. 2009. Т. 45. №9. С. 1309-1319.

34. Даифорд Ы., Шварц Дж. Линейные операторы. М.: ИЛ. 1962. 895 с.

35. Демиденко Г.В., Лихохивай В.А. Котова Т.В., Хропова Ю.Е. Об одном классе систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргумешов // Сиб. мат. журнал. 2006. Т. 47. Ш. С. 58-68.

36. Демидеико Г.В., Лихошвай В.А., Мудрое A.B. О связи между решениями дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и бесконечномерных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. .NM. С. 34 4G.

37. Долгий Ю.Ф. Асимптотика характеристических показателей функционально-дифференциальных уравнений // Изв. Урал. гос. ун-та. 2006. Т. 46. ЛгН0. С. 50-59.

38. Долгий Ю.Ф. К стабилизации линейных автономных систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Автомат, и телемех. 2007. Вып. 10. С. 92-105.

39. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнении: Учеб. пособие. Екатеринбург: УрГУ. 1996. 84 с.

40. Долгий Ю.Ф., Быков Д. С. Линейные функционально-дифференциальные уравнения в пространстве с неиндефинитной метрикой // Изв. инс. матем. и информат. УдГУ. Ижевск, 2012. С. 48-50.

41. Икрамов ХД. Численное решение матричных уравнений. .М.: Наука. 1984. 192 с.

42. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 752 с.

43. Калман Р., Арбиб М., Фалб П. Очерки по мачематической теории систем. М.: Едито-риал УРСС. 2004. 400 с.

44. Ким A.B., Лолсииков А.Б. Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействием. Точные решения // Автомат, и телемехан. 2000. JVa7. С. 15-31.

45. Княжище А.Б. Функционалы со знакопостоянной производной для стабилизации систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. №5. С. 689-697.

46. Колмаиовский В. Б. О равенствах, определяющих вторые моменты решений стохастических дифференциальных уравнений с последействием // Упр. мат. журнал. 1975. Т. 27. т. С. 94-97

47. Колмаиовский В.Б. Точные формулы в задаче управления некоторыми системами с последействием // Прикл. матем. и мех. 1973. Т. 37. Вып. 2. С. 228-235.

48. Колмаиовский В.Б., Майзенберг Т.Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1973. .№1. С. 47-61.

49. Колмаиовский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

50. Колмогоров А.Н. Основные понятия теория вероятности. М.: Наука. 1974. 115 с.

51. Кордупеану К. Линейно-квадратичные задачи оптимального управления для систем с абстрактными вольтерроваыми операторами // Техн. кибернетика . 1993. JY8. 1. С. 132136.

52. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука. 1966. 499 с.

53. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. матем. и механ. 1962. Т. 26. С. 39-51.

54. Красовский H.H. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 1964. Т. 28. С. 716724.

55. Красовский H.H. Об оптимальном регулировании в линейных системах с запаздываниями времени // Сибирск. математ. журнал. 1963. Т. 4. № 2. С. 295-302.

56. Красовский H.H. Оптимальные процессы в системах с запаздыванием / / Труды 2-го конгресса ИФАК. М.: Наука. 1965. Т. 2. С. 201-210.

57. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений // Дополнение к книге И.Г. Малкина: Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. 530 с.

58. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Фпзматгиз. 1959. 212 с.

59. Красовский H.H., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1963. № 6. С. 3 15.

60. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем // Сб. Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука. 1968. С. 179-244.

61. Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука. 1978. 400 с.

62. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексною переменного. М.: Наука. 1965. 736 с.

63. Лигпвак М.А. Решение одного класса задач оптимально управления системами с распределенными параметрами // Сб. Системы многосвязного упр. 1977. С. 100 105.

64. Лямпе Б.П., Розеитвассер E.H. Я2-оптимизация импульсных систем с запаздыванием на основе метода параметрической передаточной функции // Автом. и телемех. 2010. №1. С. 57-79.

65. Майзенберг Т.Л. Об оптимальном управлении некоторыми линейными системами с последействием при наличии случайных возмущений // Дифференц. уравп. 1974. Т. 10. № 9. С. 1616 1629.

66. Макаров Е.К., Попова C.II. О глобальной управляемости центральных показателей линейных систем // Изв. вузов. Матем. 1999. № 2. С. GO G7.

67. Маркушин Е.М. Оптимальные системы автоматического регулирования с запаздыванием по времени. Саратов: Изд. Саратов, ун-та. 1971. 92 с.

68. Маркушин Е.М. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1968. 3. С. 13-30.

69. Маркушин Е.М., Шиманов С.П. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. № 8. С. 1018-1026.

70. Марченко В.М. Математические задачи управления и наблюдения для линейных систем с последействием. Минск. 1983. Дис. д.ф.-м. н. 297 с.

71. Марченко В.М. Complete Controllability of Delay Systems // Problem Control Inform. Theory. 1979. V. 8. №5-6. P. 421-439.

72. Марченко B.M., Аемыкович И.К. Управление спектром систем с запаздыванием // Автом. и телемех. 1976. № 7. С. 5-14.

73. Марченко В.М., Якименко A.A. О построении конструктивных стабилизирующих регуляторов для систем с запаздывающим аргументом нейтрального типа // Диф. уравнения. 2007. Т. 43. № 11. С. 1480-1486.

74. Мейман H.H., Чеботарев Н.Г. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Тр. Математического ин-та им. Стеклова. 1949. Т. 26. С. 3 331.

75. Миркии E.JI. Параметрическая оптимизация систем управления объектами с запаздыванием // Автом. системы управления. Фрунзе. 1984. С. 3-9.

76. Мудрое A.B. О связи систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник НГУ. Сер. матем., механ., информ. 2007. Т. 7. № 2. С. 52-64.

77. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука. 1988. 288 с.

78. Мышкие А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

79. Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием //' Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 5. С. 605-618.

80. Павликов C.B. О стабилизации движений управляемых механических систем с запаздывающим регулятором // ДАН. 2007. Т. 412. Вып. 2. С. 176-178.

81. Пименов В.Г. К задаче о регулировании системой с запаздыванием в управлении // Сб. Некоторые методы позиц. и програм. упр. 1987. С. 107-121.

82. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 1. М.: Наука. 1978. 391 с.

83. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Известия АН СССР. Сер. математическая. 1942. Т. 6. № 3. С. 115-134.

84. Приближенное решение операторных уравнений // М.А. Красносельский и др. М.: Наука. 1969. 456 с.

85. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Паука. 1960. 444 с.

86. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих установках // Автомат, и телемех. 1963. Т. 24. № 6.

87. Родионов А.М. О линейной задаче оптимального управления с запаздыванием и квадратичным функционалом // Дифференц. уравп. 1977. Т. 13. JV'a 10. С. 1988-1890.

88. Скубачевский А.Л. К задаче об успокоении системы управления с последействием // Докл. РАН. 1995. Т. 255. №2. С. 157-160.

89. Солодушкин С.И. Стабилизация линейных систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Тр. ИММ УрО РАН. 2008. Т. 14. № 4. С. 143-158.

90. Солодушкин С.И. Стабилизация систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Инф. технолог, моделир. и упр. 2009. № 2. С. 226-230.

91. Фихтенгольц P.M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М.: Наука. 1969. 656 с.

92. Функциональный анализ под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука. 1972. 544 с.

93. Хартовекий В.Е. К задаче управляемости и индентифицируемости динамических систем со многими параметрами // Автомат, и телемех. 2005. №9. С. 40 53.

94. Хартовекий В.Е. Об управлении не полностью управляемыми дифференциально-разностными системами с запаздыванием // Автомат, и телемех. 2008. N°7. С. 47-58.

95. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984. 421 с.

96. Хилле Э., Филлипе Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ. 1962. 830 с.

97. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. .V* 1. С. 102-116.

98. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл. матем. и механ. 1963. 'Г. 27. Вып. 3. С. 450-458.

99. Элъсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 295 с.

100. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимизации и часюгная теорема для периодических систем // Сибир. матем. журнал. 1986. Т. 27. № 4. С. 191-260.

101. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. Н.: Наука. 1978. 416 с.

102. Banks Н.Т., Burns J.A. Hereditary control problems: numerical methods based on averaging approximations // SIAM J. Control and Optim. 1978. V. 16. № 2. P. 169-208.

103. Bin Z., Zongli L., Guang-Ren D. Global and Semi-Global Stabilization of Linear Systems With Multiple Delays and Saturations in the Input // SIAM J. Control Optim. 2010. V. 48. № 8. P. 5294-5332.

104. Burns J.A., Cliff E. Methods for approximating solutions to linear hereditary quadratic optimal control problems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1978. V. 23. № 1. P. 2126.

105. Chen J.D. Delay-dependent nonfragile H^ observer-based control for neutral systems with time delays in the state and control input // J. Optimiz. Theory and Appl. 2009. V. 141. №2. P. 445-460.

106. Datko R. A Linear Control Problem in Abstract Hilbert Space II J. Differential Equations. 1971. V. 9. P. 346-359.

107. Datko R. Unconstrained control problems with quadratic cost // SIAM .1. Control Optim. 1973. V. 11. №1. P. 32-52.

108. Delfour M.C., McCalla C., Mitter S.K. Stability and the infinite-time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems // SIAM J. Control. 1975. V. 13. №1. P. 48-88.

109. Delfour M.C., Mitter S.R. Contrallability, observability and optimal feedback control of hereditary differential systems // SIAM J. Control. Optim. 1972. V. 10. №2. P. 298-328.

110. Delfour M.C. The linear quadratic optimal control problem for hereditary differential systems: Theory and numerical solution // SIAM J. Appl. Mathematics and Optim. 1977. V. 3. № 2. P. 101-162.

111. Emilia F., Serge N., Julie V. Stabilization of Second Order Evolution Equations with Unbounded Feedback with Time-Dependent Delay // SI AM Л. Control Optim. 2010. V. 48. № 6. P. 5028 5052.

112. Fabiano R.H. Stability and approximation for a linear viscoelastic model // Л. .Math. Analys. and Appl. 1996. V. 204. №1. P. 206-220.

113. Frederic M., Silviu-Iulian N., Mounir B. Backstepping for Nonlinear Systems with Delay in the Input Revisited // SIAM J. Control Optim. 2011. V. 49. № 6. P. 2263-2278.

114. Germani A., Manes C., Pepe P. A Twofold Spline Approximation for Finite Horizon LQG Control of Hereditary Systems // SIAM J. Control Optim. 2000. V. 39. № 4. P. 1233-1295.

115. Gibson J.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional Riccati equations and numerical approximations // SIAM J. Control and Optim. 1983. V. 21. 1. P. 95-139.

116. Gibson J.S. The Riccati Integral Equations for Optimal Control Problems on Hilbert Spaces ,// SLAM J. Control and Optim. 1979. V. 17. №. 4. P. 537-565.

117. Grytsay I.N. Stabilization of pure delay system in linear part // Сборн. матер. Международной научной школы-конференции "Тараповские чтения". Харьков. 2008. С. 187-188.

118. Но К., Kappel F. A uniformly differentiable approximation scheme for delay systems using splines // Appl. Math. Optim. 1991. V. 23. P. 217-262.

119. Ito K., Teglas 11. Legendre-tau approximations for functional differentional equations // SIAM J. Control and Optim. 1986. V. 28. № 4. P. 737 759.

120. Ito K., Teglas II. Legendre-tau approximation for functional differential equations Part II: The linear quadratic optimal control problem // SIAM J. Control and Optim. 1987. V. 25. № 6. P. 1379-1408.

121. Kappel F., Salamon D. Spline approximation for retarded systems and the Riccati equation // SIAM J. Control and Optim. 1987. V. 25. Л* 4. P. 1082-1117.

122. Kroller M., Kunisch K. Convergence rates for the feedback operators arising in the linear quadratic regulator problem governed by parabolic equations // SIAM J. Numerical Anal. 1991. V. 28. № 5. P. 1350-1385.

123. Kushner H.J., Barnea D.I. On the control of a linear functional-differential equation with quadratic cost // SIAM J. Control. 1970. V. 8. JY" 2. P. 257-272.

124. Kwon O.H., Park J. H. Delay-range dependent stabilization of uncertain dynamic systems with interval time-varying delays // Appl. Math, and Coinput. 2009. V. 208. P. 58-68.

125. Lasiecka /., Manitius A. Differentiability and convergence rates of approximating semigroups for retarded functional differential equations // SIAM J. Numerical Anal. 1988. V. 25. № 4. P. 883-907.

126. Michiels W., Sepulchre R., Roose D. Stability of Perturbed Delay Differential Equations and Stabilization of Nonlinear Cascade Systems // SIAM J. Control Optim. 2002. V. 40. № 3. P. 661-680.

127. Pandolfi L. Stabilization of neutral functional differential equations // ,J. Optim. Theory and Applications. 1976. V. 20. № 2. P. 191-204.

128. Pandolfi L. Canonical realizations of systems with delays // SIAM J. Control and Optim. 1983. V. 21. 4. P. 598-613.

129. Park J. H. LMI optimization approach to asymptotic stability of certain neutral delay differential equation with time-varying coefficients // Appl. Math, and Comput. 2005. V. 160. №2. P. 355-361.

130. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. New-York: Springer-Verlag. 1983. 285 p.

131. Phillips R.S. Perturbation theory for semi-groups of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 74. P. 199-221.

132. Propst G. Piecewise linear approximation for hereditary control problems // SIAM J. Control and Optim. 1990. V. 28. № 1. P. 70-96.

133. Salamon D. Structure and stability of finite dimensional approximations for functional differential equations /,/ SIAM J. Control and Optim. 1984. V. 23, 6. P. 928-951.

134. Sridhar R., Ilohn R., Long G. A General Formulation of the Milling Process Equation — Contribution to Machine Tool Chatter Research // Journal of Engineering for Industry. 1968. V. 90. № 2. P. 317-324.

135. Weihai Z., Bor-Sen C. State Feedback H^ Control for a Class of Nonlinear Stochastic Systems // SIAM J. Control Optim. 2006. V. 44. № 6. P. 1973-1991.