Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействием

Ложников, Андрей Борисович

Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ложников, Андрей Борисович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействием»

Автореферат диссертации на тему "Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействием"

0 На правах рукописи

^ УДК 517

Ложников Андрей Борисович

ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ло^Ъ'

Екатеринбург - ¿000

Работа выполнена в группе функционально-дифференциальных уравнений Института математики и механики Уральского отделения РАН

Научные руководители:

Официальные оппоненты: —

доктор физико-математических наук, профессор А.PI.Короткий;

кандидат физико-математических наук, с.н.с. А.В.Ким.

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Ф.Долгий;

— доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Сесекин.

Ведущая организация — Московский государственный институт' электроники и математики

Защита диссертации состоится " б " ^¿х Ор^ 2000 г. в И~) ч. Ой м. на заседании диссертационного Совета К 063.078.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете им. А.М.Горького но адресу: С20083, г. Екатеринбург, проспект Ленина 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского го-суиивсрсптета.

Автореферат разослан иОЗ^ЬрЛ 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

В161. tVcJijOS ВНМ/Г; 03

ВШ. /CZ./Sc&.fc

В.Г.Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена разработке конструктивных методов аналитического конструирования регуляторов (АКОР) для систем с последействием.

Для конечномерных систем линейно-квадратичная теория (получившая название аналитического конструирования регуляторов). разработанная А.М.Летовым и Р.Калманом в начале 60-х годов, благодаря ясной постановке и конструктивным результатам играет особую роль среди различных подходов к синтезу управлений. Вычисление коэффициентов матрицы усиления (стабилизирующего) управления на основе теории АКОР сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (АУР), причем соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Исследование задач АКОР для систем с последействием инициировано статьей Н.Н.Красовского [1] в которой было показано, что оптимальное стабилизирующее управление является линейным непрерывным функционалом на функциональном (фазовом) пространстве системы с последействием, а также были выведены соотношения, описывающие параметры оптимального управления и оптимального значения функционала качества.

Основой построения общей теории АКОР для систем с последействием, также как и общей теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), является предложенная Н.Н.Красовским [2,3] функциональная трактовка решений таких систем. В работах Н.Н.Красовского и его учеников были развиты новые функциональные методы исследования и решения задач теории устойчивости и управления для ФДУ, в частности, определены бесконечномерные фазовые пространства ФДУ, введено соответствующее обобщение функций Ляпунова — функционалы Ляпунова, обоснован метод динамического программирования и структура синтеза управления в форме (линейных) отображений на пространствах функций. Настоящая диссертация продолжает исследования в этом направлении.

Существенный вклад в становление и развитие качественной теории функционально-дифференциальных уравнений и, в частности, линейно-квадратичных задач управления, внесли Н.В.Азбелев, Р.Габасов, А.М.Зверкин, Г.А.Каменский, Ф.М.Кириллова, В.Б.Колмановский, Н.Н.Красовский, А.В.Кряжимский, А.А.Мартынюк, Ю.А.Митрополь-ский, А.Д.Мышкис, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, Ю.С.Осипов, Л.С.Пон-трягин, Б.С.Разумихин, Ю.М.Репин, А.Л.Скубачевский, С.Н.Шима-нов, Г.Л.Харатишвили, Л.Э.Эльсгольц, H.T.Banks, R.Bellman, Т.A.Burton, K.Cooke, C.Corduneanu, M.Delfour, R,Driver, A.Halanay, J.Hale, L.Hatvani, H.Kushner, V.Lakshmikantham, K.Uchida, V.Volterra и другие авторы.

К настоящему времени теоретические аспекты АКОР для систем с последействием разработаны с достаточной полнотой, однако, в силу бесконечномерной природы систем с последействием, практическое применение теории наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Поэтому разработка конструктивных алгоритмов АКОР для систем с последействием постоянно находится в центре внимания математиков и инженеров.

Одной из основных трудностей, сдерживающих практическое использование АКОР в задачах синтеза управления для систем с последействием, является необходимость решения специальной системы обобщенных уравнений Риккати (ОУР), описывающей коэффициенты оптимального управления и представляющей собой систему алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными.

Поэтому уже в первых работах (см., например, [4]), где были получены ОУР, проблема АКОР для систем с последействием была сформулирована в виде двух задач: Задача А : нахождение явных решений ОУР;

Задача В: разработка методов исследования стабилизирующих свойств управлений, соответствующих явным решениям ОУР.

этому выделение исследования устойчивости в отдельную Задачу В представляется естественным.

Цель диссертации состоит в разработке конструктивных аналитических и численных методов синтеза стабилизирующих управлений для систем с последействием на основе минимизации обобщенных квадратичных функционалов качества.

Методика исследования основана на функциональном подходе в качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. Систематически применяются понятия и методы функционального анализа, теории устойчивости и управления, и численные методы.

Научная новизна. Разработаны новые конструктивные алгоритмы анализа и синтеза управлений для систем с последействием на основе решения линейно-квадратичных задач управления.

Теоретическая и практическая ценность. Развитые в диссертации методы позволяют строить и анализировать синтез управления для систем с последействием. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в пакете прикладных программ Time-delay System Toolbox в системе MATLAB [19].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, G глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, нумерация глав и параграфов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений двойная: первый индекс — номер параграфа, второй индекс — порядковый номер формулы внутри параграфа. Общий объем работы составляет 147 страниц, библиография содержит 120 наименований.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

— Школе молодых ученых Института математики и механики УрО

РАН (Екатеринбург, 1999);

— International Conference on Electrical Engineering (Korea, Kyung-ju, 1998);

— Korea Automatic Control Conference. International Session (Korea, Puyan, 1998);

тот Г1/-„,„„ Q/^nl^i-n 1000V

W1U1J » t J1JUV./Í I» VlllOilUJ/ ^ i » V/CAIJ л. is J }

— Korea-Japan workshop on Predictive Control of Time-delay Systems (Korea, Seoul, 1999);

— Четвертом Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000);

— научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН и Уральском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Основные результаты

1) получены новые варианты явных решений ОУР;

2) получены необходимые и достаточные условия устойчивости линейных систем с последействием:

3) разработаны численные методы моделирования линейных ФДУ и экспоненциальных матричных уравнений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ содержит историю вопроса, обоснование актуальности темы работы и краткий обзор работ. Отметим некоторые аспекты задачи АКОР для систем с последействием.

Явные решения ОУР (Задача А). Предложенные в [4-8] приближенные методы решения ОУР являются сложными и неэффективными для практической реализации, поэтому в настоящее время задача нахождения явных решений ОУР имеет принципиальный характер. Разработанные в данной диссертации методы построения явных ре-

IIICIIiííi О v^P 0С11021-»1ВЕ*ЮТСЯ НЭ. II поС ВН°1ТОима ттлплпннтрттт,НЫУ РТТЯГЯР-

мых в функционал качества.

Модификация функционала качества в теории АКОР для конечномерных систем была предложена в работе А.А.Красовского [9]. Введение дополнительного квадратичного слагаемого в функционал качества позволило упростить матричные уравнения, описывающие коэффициенты оптимального стабилизирующего управления (В рамках такого подхода оптимальное стабилизирующее управление определяется матрицей усиления являющейся решением не АУР, а более простого уравнения Ляпунова). Соответствующая процедура называется аналитическим конструированием по критерию обобщенной работы, так как добавочное слагаемое в функционале качества может быть интерпретировано как "энергия" (обобщенная работа) оптимального управления.

Обобщение данного подхода на системы с последействием было реализовано в работах [10,11] и других авторов. Отметим работу [И], в которой разработан алгоритм построения точных решений ОУР на основе включения в квадратичный критерий качества дополнительных функциональных составляющих. Такое обобщение увеличивает число свободных параметров в системе и, при соответствующем их выборе, позволяет построить специальную процедуру нахождения явных решений ОУР. Трудности реализации данного метода связаны с необходимостью нахождения неустойчивых полюсов разомкнутой системы и построении специальной вспомогательной системы функций.

В работах [12,14] удалось преодолеть эти трудности за счет подходящего выбора коэффициентов обобщенного функционала качества и разработать подход, позволяющий найти явный вид решений ОУР. При этом, для нахождения решения полной системы ОУР достаточно решить либо классическое АУР, либо специальные экспоненциальные матричные уравнения. Соответствующие алгоритмы позволяют решить Задачу А нахождения явных решений ОУР.

на функционал качества можно считать естественным, так как в задачах стабилизации, как правило, критерий качества не связан с физической природой объекта управления, а его структура и параметры определяются исходя из инженерных требований (простоты вычислений. времени переходного процесса и т.д.). В нашем случае таким требованием является нахождение решений ОУР в явной форме.

Проверка стабилизирующих свойств управлений (Задача В). Ввиду бесконечномерности фазового пространства линейных систем с последействием, исследование стабилизирующих свойств синтеза управлений существенно сложнее, чем в случае конечномерных систем.

В теории АКОР для систем с последействием исследование стабилизирующих свойств синтеза управления может быть проведено на основе использования функционалов Ляпунова-Красовского.

В диссертационной работе, на основе применения метода функционалов Ляпунова-Красовского, получен ряд достаточных условий устойчивости в терминах коэффициентов системы и функционала качества.

Отметим, что применение функционалов Ляпунова-Красовского наталкивается на принципиальные трудности, связанные с проверкой положительной определенности соответствующих квадратичных функционалов. Поэтому полученные на этом пути достаточные условия устойчивости являются, как правило, весьма ограничительными и достаточно сложно проверяемыми.

Для преодоления этих трудностей в диссертации получен конструктивный критерий асимптотической устойчивости линейных систем с последействием на основе анализа фундаментальной матрицы системы. Для нахождения фундаментальной матрицы разработаны алгоритмы численного моделирования систем с последействием.

В диссертации в качестве основного фазового пространства систем с последействием рассматривается Я = й" х <3[—т,0), где <2[—т,0) - пространство кусочно-непрерывных на [—т, 0) функций. В фазовом пространстве Н используется условная запись ФДУ [13]. В частности,

условной записью линейной системы с последействием

% " ' 4 ' 'Tu

x{t) = A x(t) + Ат x{t - т) + / G{s) x(t + s)ds + B\

является

х = Ах + Ату{-т) + ]С{5)у{в)й8 + Виу (1)

—т

А, Ат, В - постоянные матрицы размерностей п х п, п х п и п х г, соответственно; £?(з) -пхп матрица с кусочно-непрерывными на [— г, 0] коэффициентами; х 6 К" и и Е 11г.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ дается постановка задачи АКОР для линейной системы (1), состоящая в построении (линейного) стабилизирующего управления с обратной связью

и{х,у[-)) = Сх+ ¡Т(з)у{8)й8 (2)

—т

(С - постоянная г х п матрица, Г(в) - г х гг-матрица с кусочно-непрерывными на [—т, 0] коэффициентами) на основе минимизации обобщенного квадратичного функционала качества

ии yj

J = J{x'(t№ox(t) +2x'(t) J $i(s)x(t + s)ds

0 0 0

J х'(Ь + з)Ф2{з)х(Ь + з)(18+ I J a;'(i + s)$3(s,^)a:(i-f-î/)dsd^4-

+ x'(t - t) Ф4 x(t -t)+ u'(t)Nu{t)} dt. (3)

на траекториях системы (1). Здесь Фо и Ф4 - симметричные постоянные пхп матрицы; Ф^й) - п х гг-матрица с кусочно-непрерывными на [-т, 0] коэффициентами; Фг(я) - симметричная п х n-матрица с кусочно-непрерывными на [-г, 0] коэффициентами; Фз($, г") - п х гг-матрица с кусочно-непрерывными на [—г, 0] х [—г, 0] коэффициентами; Al - nuuuoTnuimoG положительно определенная v х v матрица.

т —т

Весовой функционал качества в (3) является квадратичным функционалом

о о

Z[x, у(-)] = г'Ф0 х + 2х' J Ф,(я) у (s) ds + j у'(s) Ф2(а) y{s) da-f

-r —T

0 0

+ J J y'{s)<S>3(s,v)y{v)dsdv + y'(-T)<S>iy{-T), (4)

—r -r

определенным на H = R" x Q[—r, 0).

Замкнутая система, соответствующая системе (1) и управлению с обратной связью (2), имеет вид

X = (А + В С) х + Ar у(-т) + I (G(s) + В Г(в)) у {s) ds. (5)

—т

Отметим, что в большинстве работ, посвященных АКОР для систем с последействием, рассматривается квадратичный критерий качества 00

J* - f{x'{t)$0x{t)+u'{t)Nu(t)}dt. (6)

Однако, принимая во внимание определенный произвол в выборе матриц Ф0, Фх(-), Фг(-)> ФзО, ') и задача (1), (3) имеет больше "степеней свободы".

Если решение задачи (1), (3) существует, то коэффициенты синтеза управления и функционала качества удовлетворяют системе обобщенных уравнений Риккати (ОУР)

PA + A'P + D{ 0) + D'( 0) + П(0) + Ф0 = Р К Р, (7)

+ [РК- A'} D(s) - Р' G (s) = Л( 0, s) + Ф!(в), (8)

dR(s,u) | dR(s,v) _ ds dv

= D'(s) Gii') + G'{s) D{v) - D'(s) К D{u) + Ф3(в, v), (9)

<ffl(s) . , . —7Г = -

с граничными условиями

0{-т) = РАт, (И)

Я(-Т,5) = л;£>(5), (12)

П(-т) = Ф4, (13)

и условиями симметрии

Р = Р', Я(.<^) (14)

при -т < в < 0, -г < V < 0. Здесь К — В /V"1 В'.

Далее будет показано, что на основе подходящего выбора матриц Фо, Ф^'Л ФгО) Фз(-,") 11 уравнения (7) - (13) могут быть упрощены и их решения могут быть найдены в явном виде.

Теорема 1. Пусть матрицы Р, £>(•), иП(-) являются ре-

шением системы (7) - (Ц)- Если:

1) весовой квадратичный функционал (4) является полоэ/сительно определенным на Н ~Кп х ¿¿[—т, 0);

2) квадратичный функционал

М[х,у(-)] = х'Рх + 2х' I 0(з)у'(з)<18 +

—т

0 0 о

4- I I у'{з)В.[8,р)у(р)<1з(1и-\- I п(й) у(я) с/в (15)

—г —г —т

является положительно определенным на Н = Г1п х 0\—т, 0),

тогда система (1) стабилизируема и управление с обратной связью

и*{х,у{-)) = -^1В'[Рх+ / ОД г/(в) ¿в] (16)

-т

является решением задачи (1), (3) в классе стабилизирующих управлений, а минимальное значение функционала качества 7, соответствующее начальной поаии,ии {х°,у3(-)}, равно IV[х", уй(-)]-

Во втором параграфе доказан критерий устойчивости общей линейной системы с последействием

х = Ах + Ату{-т)+ у (У(в) у(я) йэ , (17)

—г

который может быть использован для исследования устойчивости замкнутой системы; здесь А и Ат — постоянные тг х п матрицы, (?(•) — п х п-матрица с кусочно-непрерывными на [—т,0] элементами. Критерий формулируется в терминах фундаментальной матрицы системы (17).

Теорема 2. Система (17) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда существует число к > 1, такое, что

Os \

_maxo||F[fcr + S]||) l + r||iT|| + / / \\G{u)\\duds

V -Т-Т /

< 1.

Третий параграф посвящен структуре и свойствам квадратичных функционалов. Показана инвариантная дифференцируемость используемых квадратичных функционалов и получена конструктивная формула полной производной квадратичных функционалов в силу системы с последействием.

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ диссертации дается вывод ОУР (7) - (12) и разработан метод нахождения явных решений ОУР, основанный на следующем выборе матриц

Фо = Со, (18)

= -Д(0, s) + CiD(s) - Р G(s) + v>i(a), (19)

Ф2(з) = p2(s) (20)

Ф3(з, и) = D\s) CiD{y) - D'(s) G(v) - G'{s) D{y) + <¿3(s, v) (21)

Ф4 = C3. (22)

в квадратичном функционале качества (3).

Здесь Со, Си Сг, Сз, щ(s), ^(О и Уз(-> •) _ произвольные матрицы размерности пхтг. За счет выбора этих матриц обобщенные уравнения Риккати могут быть сведены к виду, допускающему явные решения. Система ОУР (7) - (14), соответствующая весовым матрицам (18) -(22), имеет вид

РА + А'Р + D(0) + £>'(0) + П(0) + С0 = Р К Р, (23) ^ = (Сх - [РК - A1}) D(s) + Ms), (24)

am^) + ая&о = ^ (c¡ _ к) + ^ ^ _ (25)

^ = (26)

с граничными условиями

D(-r) = PAT, (27)

R(-r,s) = A'TD(s), (28)

П(-т) = С3 (29)

и условиями симметрии

Р = Р', R(s, i/) = ñ'(í/, s), (30)

при — г < s < 0, — г < v < 0.

В диссертации приведены 3 варианта выбора матриц Со, Ci, Сз, С3, Vi(')) УгО) и V3('r)i 11 соответствующие им явные решения ОУР. Приведем, в качестве примера, первый вариант выбора матриц в функционале качества, при котором решения ОУР могут быть найдены в явном виде.

Теорема 3. Пусть в системе ОУР (23) - (30): Со, С2 и Сз — произвольные симметричные п х п матрицы, С\ — произвольная п х п матрица, <£i(s) = <p¡(s,iy) = 0 при — т < s, v < 0, <рг{з) ~ произвольная симметричная кусочно-непрерывная на [—г, 0] матрица. Если

1) п х п матрица Р является решением матричного уравнения

РА + А' Р + е-(рк-А'-с* РАГ + А'Т ре-(рк-А'-с^ + и

+ / du + С3 + Со = P К Р, (31)

—т

D{s) = e^PK-A'^s^PAT, (32)

Л i Q(s)D(v) + D'(s)MD(u)) (s,u)eQ1 Щ3> V] ~ 1 D\s) Q\v) + D'(s) M D{u), {s, и) e , 1 j

где

fil = {(s, i/) G [-r, 0] x [—7-, 0] : s - v < 0}, fi2 = {(s, v) G [ т, 0] x [-r, 0] : s - v > 0} ,

Q(s) = A'T{E -PM) ¿pk-A'-c^s+t) ; (34)

матрица M является решением матричного уравнения Ляпунова

(.РК - А' - Ci)'M + M {РК - А' - С\) — К - С2. (35)

П(в) = / Vifr) dv + Ci. (36)

—т

Тогда матрицы P, £>(•), R(-, ■) и !!(•) являются решением ОУР (23) - (30).

Отметим, что частным случаем всех полученных в диссертации вариантов явных решений ОУР является специальное (стационарное) решение ОУР.

Теорема 4. Пусть пхп матрица Р является решением матричного уравнения

Р( А 4- АТ\ -4- (А' 4- 4'ï Р-4- f mJiAd"4-n, + = РК Р (37Ï

- V-- 1 --Т / ' ч-- 1 --Т1- • J r^V/-1- I -j . - -- - ,

—т

а матрицыD(s) и R(s, v) заданы по формулам

D(s) = PAT, R(s,v) = A'TPAT,

n(s) = / 4>2(u) dv + Ci.

— T

Тогда матрицы P, D(-), •) и П(-) являются решением ОУР (23) - (30).

ТРЕТЬЯ ГЛАВА диссертации посвящена построению и анализу стабилизирующих свойств регулятора (38) в случае стационарного решения ОУР.

Отметим, что в общем случае для построения управления с обратной связью на основе найденных вариантов явных решений необходимо, согласно разработанному подходу,

1) вычислить матрицу Р, являющуюся решением соответствующего матричного уравнения;

2) вычислить матрицу £)(•) (подстановкой найденной матрицы Р в соответствующую формулу для /}(•));

3) подставить матрицы Р и £>(•) в формулу для управления с обратной связью

u*(x,y(-)) = -N-1B'[Px+ / D(s)y(s)ds], (38)

-г

Стабилизирующие свойства построенного управления могут быть исследованы на основе достаточных условий в терминах положительной определенности квадратичных функционалов W\x,y(-)} и Z[x,y(-)} (см. Теорему 1).

В стационарном случае матрица Р является решением матричного уравнения (37), и D(s) = РАТ, — т < s < 0. Поэтому управления с обратной связью имеет вид

и*{х,у{-)) = -И^В'[Рх + j PATy(s)ds] (39)

-г

и соответствующая замкнутая система имеет форму

х — (А — В N~lB'P) х + Ат i/(—г) +

+ J (G(s) - В N~lB'PAT) y{s) ds. (40)

—т

В §3.1 диссертации получены достаточные условия стабилизирующих свойств управления (39) на основе анализа квадратичных функционалов соответствующих явным решениям ОУР.

Отметим, что асимптотическая устойчивость замкнутой системы (40) может быть проверена на основе Теоремы 2.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ диссертации описываются численные методы решения линейных систем с распределенным запаздыванием, используемые для моделирования систем с последействием, а также численные методы решения вспомогательных экспоненциальных уравнений Риккати.

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ приводятся 4 примера синтеза управлений для 1, 2 и 4-мерных систем с последействием на основе разработанных алгоритмов.

В ШЕСТОЙ ГЛАВЕ приводится ряд известных результатов, необходимых при чтении диссертации.

В §6.1 описываются свойства пространства Я = R X Q[—т, 0), используемого в диссертации в качестве основного фазового пространства. В этом же параграфе вводится условная запись систем с после-

ДСЙСТБИСМ.

§6.2 содержит основные определения устойчивости ФДУ.

В §6.3 приведены основные конструкции теории инвариантной производной функционалов. Соответствующие конструкции используются при выводе обобщенных уравнений Риккати и исследовании свойств квадратичных функционалов.

В §6.4 обсуждаются свойства положительной определенности функционалов.

Цитированная литература

1. Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. матем. и мех. 1956. Т. 26. Вып. 1. С. 39-51.

2. Красовский Н.Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прцкл. матем. и мех. 1956. Т. 20. Вып. 3. С. 315-327.

3. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Наука, 1959.

4. Ross D. W. Controller design for time lag systems via a quadratic criterion // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. V. 16. N 6. P. 664-672.

5. Ross D.W., Flugge-Lotz I. An optimal control problem for systems with differential-difference equation dynamics // SIAM J. Control. 1969. V. 7. N 4. P. 609-623.

6. Eller D.H., Aggarwal J.K., Banks H.T. Optimal control of linear time-delay systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1969. V. 14. N 6. P. 678-687.

7. Soliman M.A., Ray W.H. Optimal feedback control for linear-quadratic system having time delay // Int. J. Control. 1972. V. 15. N. 4. P. 609-627.

8. Колмановский, В.Б., Майзеиберг, T.J1. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1973. N 1. С. 47-62.

9. Красовский А.А. Интегральные оценки моментов и синтез линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1967. N 10. С. 53-71.

10. Андреева, Е.А., Колмановский, В.Б., Шайхет, Л.Е. Управление системами с последействием. 1992. Москва. Наука.

11. Uchida К., Shimemura Е., Kubo Т., Abe N. The linear-quadratic optimal control approach to feedback control design for systems with delay // Automatica. 1988. V. 24. N 6. P. 773-780.

12. Kim A. V., S.H.Han, W.H.Kwon, V.G.Pimenov. Explicit numerical methods and LQR control algorithms for time-delay systems // Proc. Intern. Conf. Electr. Engineer. Kyungju. Korea. July 21-25. 1998. P. 413-416.

13. Ким А.В. ¿-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург. 1996. УрО РАН.

Работы автора по теме диссертации

14. Ким А.В., Ложников А.Б. О моделировании систем с последействием // Проблемы теоретической и прикладной математики: тезисы докладов 27-й молодёжной конференции. 1996. Екатеринбург. УрО РАН. С. 34.

15. Kwon W.H., Kim А. V., Pimenov V.G., Han S.H., Lozhnikov A.B., Onegova О. V. Time-Delay System Toolbox and its Applications // Proceedings of Korean Automatic Control Conference. Pusan. October 1998. P. 147-150.

16. Kwon W.H., Kim A. V., Lozhnikov А.В., Han S.H. LQR problems for systems with delays: explicit solutions, algorithms, software // Proceedings of Korea-Japan Workshop on robust and predictive control of time-delay systems. Seoul National University. Seoul. Korea. January 27. 1999. P. 75-117.

17. Kim A. V., Lozhnikov A.B. Explicit solutions of finite-time linear quadratic control problems for systems with delays // Proceedings of XII CISL Winter Workshop. Seoul National University, Seoul. Korea, February 10-11. 1999. P. 43-55.

18. Ложников А.Б. Моделирование линейно-квадратичных задач регулирования для систем с запаздыванием // Проблемы теоретической и прикладной математики: тезисы докладов 30-й Региональной молодёжной конференции. Екатеринбург. УрО РАН. 1999. С. 62-63.

19. Kim А. V., W.H. Kwon, V.G. Pimenov, S.H. Han, A.B. Lozhnikov and О. V. Onegova. Time-Delay System Toolbox (for use with MAT-LAB). 1999. Korea. Seoul. Seoul National University. 113 p.

20. Ким А.В., Ложников А.Б. i-Гладкий анализ и интегрируемые типы функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов. ЧГУ. Челябинск. 22-26 июня 1999 г. С. 62.

21. Гребенщиков Б.Г., Ложников А.Б. Устойчивость и стабилизация некоторых систем с запаздыванием // Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Новосибирск, 26 июня - 1 июля 2000 г. С. 9-10.

22. Ким А.В., Ложников А.Б. Линейно-квадратичная задача управления для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнения Риккати // Автоматика и телемеханика. 2000. N 7. С. 15-31.

23. Lozhnikov A., Korotkii A. New variant of explicit solutions of generalized Riccati equations // Nonlinear Functional Analysis and Applications. 2000. V. 5. N. 2. P. 98-112.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ложников, Андрей Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

1 Постановка задачи

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Линейные системы и синтез управления

1.1.2 Квадратичный функционал качества.

1.1.3 Обобщенные уравнения Риккати. Достаточные условия стабилизируемое™.

1.2 Устойчивость линейных систем.

1.2.1 Асимптотическая устойчивость в терминах собственных чисел

1.2.2 Алгоритм проверки устойчивости линейных систем с последействием

1.3 Квадратичные функционалы и их свойства.

1.3.1 Структура квадратичных функционалов

1.3.2 Элементарные функционалы и их свойства.

1.3.3 Полная производная в силу системы .;.

1.3.4 Знакоопределенность квадратичных функционалов

2 Обобщенные уравнения Риккати

2.1 Вывод обобщенных уравнений Риккати.

2.2 Общие решения обобщенных уравнений Риккати.

2.2.1 Вариант 1.

2.2.2 Вариант 2.

2.2.3 Вариант 3.

2.2.4 Специальное (стационарное) решение.

Построение и анализ регулятора

3.1 Явный вид управления с обратной связью.

3.2 Достаточные условия стабилизируемости.

3.3 Решение матричных уравнений.

3.3.1 Алгебраическое уравнение Риккати

3.3.2 Экспоненциальные матричные уравнения.

Численные методы

4.1 Основные обозначения и предположения

4.2 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка с постоянным шагом

4.2.1 Интерполяция, интегрирование.

4.2.2 Численный алгоритм: сходимость, порядок аппроксимации

4.2.3 Выбор длины шага.

4.3 Метод Рунге-Кутты 4(5)-го порядка с автоматическим шагом

4.3.1 Интерполяция, интегрирование.

4.3.2 Численный алгоритм: сходимость, порядок аппроксимации

4.3.3 Выбор длины шага.

Примеры

5.1 Пример 1 (1-мерная система).

5.2 Пример 2 (1-мерная система).:

5.3 Пример 3 (2-мерная система).

5.4 Пример 4: устойчивость сгорания в жидкостном ракетном двигателе (4-мерная система).

6 Вспомогательные результаты и сведения

6.1 Фазовое пространство и условная запись ФДУ.

6.1.1 Фазовое пространство ФДУ.

6.1.2 Условная запись запись ФДУ.

6.2 Об устойчивости систем с последействием.

6.2.1 Основные определения.

6.2.2 Устойчивость относительно возмущений из Н, С[—т, 0] и Ырк[—т, 0].

6.3 Инвариантная производная функционалов

6.3.1 Определения.

6.3.2 Примеры

6.4 Положительная определенность функционалов.

6.4.1 Определения.

6.4.2 О знакоопределенности функционалов на Ырк[—т, 0]

Введение диссертация по математике, на тему "Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействием"

Для конечномерных систем линейно-квадратичная теория (получившая название аналитического конструирования регуляторов), разработанная А.М.Летовым и Р.Калманом в начале 60-х годов, благодаря ясной постановке и конструктивным результатам играет особую роль среди различных подходов к синтезу управлений. Вычисление коэффициентов матрицы усиления (стабилизирующего) управления на основе теории АКОР сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (АУР), причем соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Исследование задач АКОР для систем с последействием инициировано статьей Н.Н.Красовского [[31]] в которой было показано, что оптимальное стабилизирующее управление является линейным непрерывным функционалом на функциональном (фазовом) пространстве системы с последействием, а также были выведены соотношения, описывающие параметры оптимального управления и оптимального значения функционала качества.

Основой построения общей теории АКОР для систем с последействием, также как и общей теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), является предложенная Н.Н.Красовским [29, 30] функциональная трактовка решений таких систем. В работах Н.Н.Красовского и его учеников были развиты новые функциональные методы исследования и решения задач теории устойчивости и управления для ФДУ, в частности, определены бесконечномерные фазовые пространства ФДУ, введено соответствующее обобщение функций Ляпунова — функционалы Ляпунова, обоснован метод динамического программирования и структура синтеза управления в форме (линейных) отображений на пространствах функций. Настоящая диссертация продолжает исследования в этом направлении.

Существенный вклад в становление и развитие качественной теории функционально-дифференциальных уравнений и, в частности, линейно-квадратичных задач управления, внесли Н.В.Азбелев, Р.Габасов, A.M. Зверкин, Г.А.Каменский, Ф.М.Кириллова, В.Б.Колмановский, Н.Н.Кра-совский, А.В.Кряжимский, А.А.Мартынюк, Ю.А.Митроиольский, А.Д. Мышкис, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, Ю.С.Осипов, Л.С.Понтрягин, Б.С.Ра-зумихин, Ю.М.Репин, А.Л.Скубачевский, С.Н.Шиманов, Г.Л.Харатиш-вили, Л.Э.Эльсгольц, Н.Т.Banks, R.Bellman, Т.A.Burton, K.Cooke, C.Cor-dimeanu, M.Delfour, R,Driver, A.Halanay, J.Hale, L.Hatvani, H.Kushner, V.Lakshmikantham, K.Uchida, V.Volterra и другие авторы.

К настоящему времени теоретические аспекты АКОР для систем с последействием разработаны с достаточной полнотой, (см., например, [25, 31, 59, 71, 75, 78, 90, 99,102, 108, 114,116, 118) и ссылки в них) однако, в силу бесконечномерной природы систем с последействием, практическое применение теории наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Поэтому разработка конструктивных алгоритмов АКОР для систем с последействием постоянно находится в центре внимания математиков и инженеров.

Поэтому уже в первых работах где были получены ОУР [114, 113], проблема АКОР для систем с последействием была сформулирована в виде двух задач:

Задача А : нахождение явных решений ОУР;

Задача В : разработка методов исследования стабилизирующих свойств управлений, соответствующих явным решениям ОУР.

Отметим, что для систем с последействием, в отличие от конечномерных систем, линейное управление с обратной связью, построенное на основе решения ОУР, не всегда является стабилизирующим. Поэтому выделение исследования устойчивости в отдельную Задачу В представляется естественным.

В данной работе разрабатываются методы исследования и решения Задачи А и Задачи В.

Явные решения ОУР (Задача А). Предложенные в [75, 114, 113, 115, 25] приближенные методы решения ОУР являются сложными и неэффективными для практической реализации, поэтому в настоящее время задача нахождения явных решений ОУР имеет принципиальный характер.

Разработанные в данной диссертации методы построения явных решений ОУР основываются на идее введения дополнительных слагаемых в функционал качества.

Модификация функционала качества в теории АКОР для конечномерных систем была предложена в работе А.А.Красовского [26]. Введение дополнительного квадратичного слагаемого в функционал качества позволило упростить матричные уравнения, описывающие коэффициенты оптимального стабилизирующего управления (В рамках такого подхода оптимальное стабилизирующее управление определяется матрицей усиления являющейся решением не АУР, а более простого уравнения Ляпунова). Соответствующая процедура называется амалитическим, конструированием, по критерию обобщенной работы, так как добавочное слагаемое в функционале качества может быть интерпретировано как "энергия" (обобщенная работа) оптимального управления.

Обобщение данного подхода на системы с последействием было реализовано в работах [24, 116] и других авторов. Отметим работу [116], в которой разработан алгоритм построения точных решений ОУР на основе включения в квадратичный критерий качества дополнительных функциональных составляющих. Такое обобщение увеличивает число свободных параметров в системе и, при соответствующем их выборе, позволяет построить специальную процедуру нахождения явных решений ОУР. Трудности реализации данного метода связаны с необходимостью нахождения неустойчивых полюсов разомкнутой системы и построении специальной вспомогательной системы функций.

В работах [94, 21] удалось преодолеть эти трудности за счет подхоч дящего выбора коэффициентов обобщенного функционала качества и разработать подход, позволяющий найти явный вид решений ОУР. При этом, для нахождения решения полной системы ОУР достаточно решить либо классическое АУР, либо специальные экспоненциальные матричные уравнения. Соответствующие алгоритмы позволяют решить Задачу А нахождения явных решений ОУР.

Отметим, что в рамках разрабатываемого подхода обобщенный квадратичный функционал качества не может быть произвольно заданным, а определяется в соответствии с некоторыми правилами и имеет специальную структуру. Однако наличие подобного рода ограничений на функционал качества можно считать естественным, так как в задачах стабилизации, как правило, критерий качества не связан с физической природой объекта управления, а его структура и параметры определяются исходя из инженерных требований (простоты вычислений, времени переходного процесса и т.д.). В нашем случае таким требованием является нахождение решений ОУР в явной форме.

Основные результаты

1) получены новые варианты явных решений ОУР;

2) получены необходимые и достаточные условия устойчивости линейных систем с последействием;

3) разработаны численные методы моделирования линейных ФДУ и экспоненциальных матричных уравнений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, нумерация

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ложников, Андрей Борисович, Екатеринбург

1. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет J1.E. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

2. Андреева И.Ю., Сесекин А.Н. Вырожденная линейно-квадратичная задача оптимизации с запаздыванием по времени // Автоматика и телемеханика. 1997. N 7. С. 43-54.

3. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия //В кн.: Марри Дж.Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. С. 383-394.

4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966.

5. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

6. Гайшун И.В. Асимптотическая устойчивость одной системы с запаздыванием // Дифф. уравнения. 1972. Т. 8, N 5. С. 906-908.

7. Гребенщиков Б.Г., Ложников А.Б. Устойчивость и стабилизация некоторых систем с запаздыванием. // Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Новосибирск, 26 июня 1 июля 2000 г. С. 9-10.

8. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

9. Долгий Ю.Ф., Ким A.B. К методу функционалов Ляпунова для систем с последействием // Дифф. уравнения. 1991. Т. 27. N 8. С. 1313-1318.

10. Завалищин С.Т., Сесекин А.Ii. Импульсные процессы: Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

11. Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1958. N6.

12. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

13. Калман P.E. Об общей теории систем управления // Труды I Международного конгресса ИФАК. Т. 2. М.: АН СССР, 1961.

14. Каменский Г.А., Скубачевский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: МАИ, 1992.

15. Ким A.B. О методе функционалов Ляпунова для систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 1990. Т. 1. С. 79-83.

16. Ким A.B. Метод динамического программирования и оптимальный синтез в системах с последействием // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск. 1987. С. 12-21.

17. Ким A.B. Об уравнении Беллмана для систем с последействием // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика. 1991. N 2. С. 54-69.

18. Ким A.B. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием // Дифф. уравнения. 1985. Т. 21. N 3. С. 385-391.

19. Ким A.B. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: Уральский госуииверситет, 1992.

20. Ким A.B. г-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: УрО РАН, 1996.

21. Ким A.B., Ложников A.B. Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействием. Точные решения. // Автоматика и телемеханика. 2000. N 7. С. 15-31.

22. Ким A.B., Ложников A.B. i-Гладкий анализ и интегрируемые типы функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов. ЧГУ, Челябинск. 22-26 июня 1999 г. С. 62.

23. Ким A.B., Пименов В.Г. О применении г-гладкого анализа к разработке численных методов для функционально-дифференциальных уравнений // Труды Института математики и механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 104-126.

24. Колмановский В.Б., Королева Н.И. Оптимальное управление некоторыми билинейными системами с последействием // Прикл. мат. и мех. 1989. Т. 53. С. 238 243.

25. Колмановский В.В., Майзенберг Т.Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1973. N 1. С. 47-62.

26. Красовский A.A. Интегральные оценки моментов и синтез линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1967. N 10. С 53-71.

27. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М. 1973. 558 с.

28. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1959.

29. Красовский H.H. О применении второго метода А.М.Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикл. мат. и мех. 1956. Т. 20. N 3. С. 315-327.

30. Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием // Прикл. мат. и мех. 1956. Т. 20. С. 513-518.

31. Красовский H.H. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора для систем с запаздываниями времени // Прикл. мат. и мех. 1962. Т. 26. С. 39-51.

32. Красовский H.H. Задачи стабилизации систем управления // Приложение к кн. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Москва, 1965.

33. Красовский H.H., Куржанский А.Б. К вопросу о наблюдаемости систем с запаздыванием // Дифф. уравнения. 1966. Т. 2. N 3.

34. Красовский H.H., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика. 1963. N 6.

35. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Физматгиз, 1967.

36. Куржанский A.B. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифф. уравнения. 1967. Т. 3. N 12.

37. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов, I IV // Автоматика и телемеханика, 1960. N 4. С. 436-441; 1960. N 5. С. 561-568; 1960. N 6. С. 661-G65; 1961. N 4. С. 425-435.

38. Летов A.M. Динамика полета и управление. М., 1969. 360 с.

39. Майзенберг Т.Л. Об оптимальном управлении некоторыми линейными системами с последействием при наличии случайных возмущений // Дифф. уравнения. 1974. Т. 10. N 9.

40. Маркушин Е.М. О вычислении квадратичных функционалов для систем с запаздываниями времени // Дифф. уравнения. 1971. Т. 7. N 2. С. 369-370.

41. Маркушин Е.М., Шиманов С.Н. Приближенное решение задачи аналитического конструирования для систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1963. N 3.

42. Мильштейп Г.Н. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с последействием // Дифф. уравнения. 1981. Т. 17. N 6. С. 984 -993.

43. Милыитейн Г.Н. Строго положительные функционалы Ляпунова для линейных систем с последействием // Дифф. уравнения. 1987. Т. 23. N 12. С. 2051-2060.

44. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

45. Осипов Ю.С. Стабилизация управляемых систем с запаздыванием // Дифф. уравнения. 1965. Т. 1. N 5. С. 463-473.

46. Осипов Ю.С. О стабилизации нелинейных управляемых систем с запаздыванием в критическом случае одного нулевого корня // Дифф. уравнения. 1965. Т. 1. N 7. С. 908-922.

47. Осипов Ю.С. О принципах сведения в критических случаях устойчивости движения систем с запаздыванием времени // Прикл. мат. и мех. 1965. Т. 29. N 5. С. 810-820.

48. Пименов В.Г. К задаче о регулировании системой с запаздыванием в управлении // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск, 1987. С. 107-121.

49. Пименов В.Г. Функционально-дифференциальные уравнения. Численные методы. Учеб.пособие. Екатеринбург: УрГУ. 1998. 80 с.

50. Понтрягин JT.C. О нулях некоторых элементарных функций // Изв. АН СССР: сер. матем. 1942. N 3.51| Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

51. Репин Ю.М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикл. мат. и мех. 1965. Т. 29. С. 564-566.

52. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих установках // Автоматика и телемеханика. 1963. Т. 24. N 6.

53. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

54. Харатишвили Г.Л. Оптимальные процессы с запаздыванием. Тбилиси: Мицниереба, 1966.

55. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

56. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978. 416 с.

57. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of Linear Abstract Functional Differential Equations and Applications. Atlanta: World Federation Publisher Company, 1996.

58. Banks H.T., Manitius A. Application of Abstract Variational Theory to Hereditary Systems a survey // IEEE Trans. Automat. Control. 1974. AC-19, no. 5, pp. 524-533.

59. Barbu V., Da Prato G. Hamilton-Jacobi Equations in Hilbert Spaces. Pitman, Boston. 1983

60. Bellman R., Cooke K.L. Differential-Difference Equation. New York -London: Acad. Press, 1963.

61. Burton T.A. Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations. New York: Acad. Press, 1985.

62. Burton T.A., Hatvani L. Stability Theorems for Nonautonomous Functional Differential Equations by Liapunov Functional // Tohoku Math. J. 1989. Vol .41, no. 1, pp. 65-104.

63. Burton T.A., Huang G., Malifoud W.E. Liapunov Functionals of Convolution Type //J. Math. Anal. Appl. 1985. Vol. 106, no. 1, pp. 249272.

64. Burton T.A., Zhang S. Unified Boundedness, Periodicity and Stability in Ordinary and Functional Differential Equations // Annal. Mat. Pur. Appl. 1986. CXLV, pp. 124-158.

65. Chukwu E.N. Stability and Time-optimal Control of Hereditary Systems. Academic Press, 1992.

66. Cordimeanu C. Integral Equations and Stability of Feedback Systems. New York London: Acad. Press, 1973.

67. Crocco L. Aspects of combustion stability in liquid propellant rocket motors, Part I: Fundamentals Low frequency instability with mono-propellants // J. Arner. Rocket Soc. 1951. Vol. 21, no. 6, pp. 163-178.

68. Datko R. Remarks Concerning the Asymptotic Stability and Stabilization of Linear Delay Differential Equations //J. Math. Anal. Appl. 1985. Vol. Ill, no. 2, pp. 571-581.

69. Delfour M.C. The Linear-quadratic Optimal Control Problem with Delays in State and Control Variables: a State Space Approach // SIAM J. Contr. Optimiz. 1986. Vol. 24, no. 5, pp. 835-883.

70. Delfour M.C., McCalla C., Mitter S.K. Stability and the Infinite Time Quadratic Cost Problem for Linear Hereditary Differential Systems // SIAM J. Control. 1975. Vol. 13, no. 1, pp. 48-88.

71. Delfour M.C., Manitius A. The Structure Operator F and its Role in the Theory of Retarded Systems //J. Math. Anal. Appl. 1980. Vol. 73, pp. 466-490.

72. Driver R.D. Existence and Stability of Solutions of Delay-differential Systems // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 10, pp. 401-426.

73. Driver R.D. Ordinary and Delay Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1977.

74. Eller D.H., Aggarwal J.K., Banks H.T. Optimal control of linear time-delay systems // IEEE Trans. Automat. Control. 19G9. Vol. 14, pp. 678-687.

75. Fiagbedzi Y.A., Pearson A.E. Feedback stabilization of linear autonomous time lag system // IEEE Trans. Automat. Control. 1986. Vol. 31, pp. 847-855.

76. Furumochi T. On the Convergence Theorem for Integral Stability in Functional Differential Equations // Tohoku Math. J. 1975. . Vol. 27, pp. 461-477.

77. Gibson J.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional Riccati equations and numerical approximations // SIAM J. Control and Optimization. 1983. Vol. 21, pp. 95-135.

78. Gopalsamy K. Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

79. Gruber M. Path Integrals and Lyapunov Functionals // IEEE Trans. Automat. Control. 1969. AC-14, no. 5, pp. 465-475.

80. Halanay A. Differential Equations: Stability, Oscillations, Time-lags. New York: Acad. Press, I960.

81. Hale J. Sufficient Conditions for Stability and Instability of Autonomous Functional-differential Equations // J. Diff. Equat. 1965. Vol. 1, pp. 452-482.

82. Hale J., Cruz M. Existence, Uniqueness and Continuous Dependence for Hereditary Systems // Ann. Mat. Pure Appl. 1970. Vol. 85, pp. 6382.

83. Hale J., Kato J. Phase Space for Retarded Equations with Infinite Delay // Funkcial. Ekvac. 1978. Vol. 21, pp. 11-41.

84. Hale J. Theory of Functional Differential Equations. New York Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1977.

85. Hatvani L. On the Asymptotic Stability of the Solutions of Functional Differential Equations // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. Qualitative Theory of Differential Equations. Szeged (Hungary). 1988. pp. 227-238.

86. Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional Differential Equations with Infinite Delay. Berlin: Springer, 1991.

87. Kalman R.E. Contribution to the Theory of Optimal Control // Bull. Soc. Mat. Mech. 1960. Vol. 5, no. 1, pp. 102-119.

88. Kato J. Liapunov's Second Method in Functional Differential Equations // Tohoku Math. J. 1980. Vol. 32, no. 4, pp. 487-497.

89. Kim A.V. Functional Differential Equations. Application of ¿-Smooth Calculus. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.

90. Kim A.V., Kwon W.H., Pimenov V.G., Han S.H., Lozhnikov A.B., Onegova O.V. Time-Delay System Toolbox (for use with MATLAB). 1999. Seoul. Seoul National University.

91. Kim A.V., Han S.H., Kwon W.H., Pimenov V.G. Explicit numerical methods and LQR control algorithms for time-delay systems // Proceedings of the International Conference on Electrical Engineering. Kyungju, Korea, July 21-25, 1998.

92. Kim A.V., Lozhnikov A.B. Explicit solutions of finite-time linear quadratic control problems for systems with delays // Proceedings of XII CISL Winter Workshop. Seoul National University, Seoul, Korea, February 10-11, 1999. PP. 43-55.

93. Kim A.V., Pimenov V.G. Multistep numerical methods for functional differential equations // Mathematics and Computers in Simulation. 1998. Vol. 45, pp. 377-384.

94. Koivo H.N. A survey on optimal control of hereditary systems // Appl. Mech. Revs. 1972, Vol. 25, no. 3.

95. Kolmanovskii V.B., Myshkis A.D. Applied Theory of Functional Differential Equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

96. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of Functional Differential Equations. New York: Academic Press, 1986.

97. Krasovskii N.N. Optimal Processes in Systems with Time Lag // Proc. 2nd IFAC Congress, Basel, 1963. London: Butterwoths, 1964.

98. Kushner H.J., Bamea D.I. On the Control of a Linear Functional-differential Equation with Quadratic Cost // SIAM J. Control. 1970. Vol. 8, no. 2, pp. 257-275.

99. Kwon W.H., Kim A.V., Pimenov V.G., Han S.H., Lozhnikov A.B., Onegova O.V. Time-Delay System Toolbox and its Applications // Proceedings of Korean Automatic Control Conference. Pusan, October 15-17, 1998. pp. 147-150. .

100. Kwon W.H., Pearson A.E. Feedback Stabilization of Linear Systems with Delayed Control // IEEE Trans. Automat. Control. 1980. Vol. 25, pp. 266-269.

101. Lakshmikantham V., Leela S. Differential and Integral Inequalities, V. 2. New York: Acad. Press, 1969.

102. Laksmikantham V., Leela S., Sivasundaram S. Liapunov Functions on Product Space and Stability Theory of Delay Differential Equations // J. Math. Anal. Appl. 1991. Vol. 154, pp. 391-402.

103. Lee E.B. Generalized quadratic optimal controller for linear hereditary systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1980. Vol. 25, pp. 528-531.

104. Manitius A., Trail H. Numerical simulation of a nonlinear feedback controller for a wind tunnel model involving a time delay // Optimal Control Application and Methods. 1986. Vol. 7, pp. 19-39.

105. Oguztoreli M.N. Time-lag control systems. New York London: Acad. Press, 1972.

106. Ross D.W. Controller Design for Time Lag Systems via Quadratic Criterion // IEEE Trans. Aut. Control. 1971. Vol. 16, pp. 664-672.

107. Ross D.W., Flugge-Lotz I. An Optimal Control Problem for Systems with Differential-difference Equation Dynamics // SIAM J. Control. 1969. Vol. 7, no. 4, pp. 609-623.

108. Soliman M.A., Ray W.H. Optimal feedback control for linear-quadratic system having time delay // Int. J. Control. 1972. Vol. 15, no. 4, pp. 609-627.

109. Uchida K., Shimemura E., Kubo T., Abe N. The linear-quadratic optimal control approach to feedback control design for systems with delay // Autoniatica. 1988, Vol. 24, no. 6, pp. 773-780.

110. Uchida K., Shimemura E., Kubo T., Abe N. Optimal regulator for linearsystems with delays in state and control. Spectrum decomposition and prediction approach // Report of Sci. and Eng. Res. Lab., Waseda University, no. 87-6, October 26, 1987.

111. Vinter R.B., Kwong R.H. The Infinite Quadratic Control Problem for Linear Systems with State and Control Delays: An Evolution Equation Approach // SIAM J. Contr. Optimiz. 1981. Vol. 19, no. 1, pp. 139153.

112. Wenzhang H. Generalization of Liapunov's Theorem in a Linear Delay System // J. Math. Anal. Appl. 1989. Vol. 142, no. 1, pp. 83-94.

113. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. Tokyo: Math. Soc. Japan, 1966.