Обратные задачи динамики управляемых систем Гурса-Дарбу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г 5 0.4 О 2 ИЮН «о?

На правах рукописи

ЦЕПЕЛЕВ Игорь Анатольевич

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ГУРСА-ДАРБУ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 1997

Работа выполнена в Институте математики и механики Уральского отделения РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Короткий А.И. Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Ушаков В.Н. - кандидат физико-математических наук, доцент Логинов М.И.

Ведущая организация: Математический институт РАН

им. В.А.Стеклова

Защита состоится " 1997г. в j£T_ час.на заседании

диссертационного совета К 063.78.03 по" присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете имени А.М.Горького (620083, г.Екатеринбург, пр.Ленина, 51, комн. 248).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного университета.

Автореферат разослан " /?-" e/Wg- 1997г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н, доцент

Пименов В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В данной работе рассматриваются обратные задачи динамики, состоящие в определении априори неизвестных управлении (параметров) по приближенным измерениям состояний динамических систем, описываемых краевыми задачами Гурса-Дарбу. Краевые задачи Гурсаг Дарбу часто используются для математического моделирования процессов сорбции (десорбции), сушки, химических процессов, протекающих в химических реакторах '> -'А4^.

Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся обметь современной матемашкн. Интенсивные исследования в этой области обусловлены многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения ра ipa6oiKH матемаi нчеекпх методов обработки и интерпретации резулыатов наблюдений, расширяющимися возможностями более адекватного моделирования реальных природных и технологических процессов с применением ЭВМ.

Решение многих прикладных задач технического характера требу-<м определения неизвестных (т.е. недоступных прямому наблюдению или измерению) характеристик (возмущений, управлений, параметров и т.н.) реального процесса. Характерной особенностью таких задач является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах наблюдаемого процесса (объекта) по измеряем;,im в процессе

'Тихонов V.U., Самарский Л.Л. Уравнения математической физики. М.: Паука. 197 Т.

"Ватунер Л.М.. Потии М.Е. Математические методы в химической технике. .,!.:[ осхимиздат. i9иЗ.

^Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.:Химия. 1985.

'Рачииский В.В. Введение в обтпую динамику сорбции и хроматографии. М.: Наука. HJfi-i.

'1 пнберг А.М.. Хохлов В.А. и ;ip. Технологии важнейших oipar.ieil промышленности. М.:Высшая школа. 19S3.

■эксперимента их косвенным л]>оян.-кмгиям. Таким образом. речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны порученные в результате наблюдения следствия.

ОбраТ71ЫМ задачам динамики, и которых об'ьокт описывается какой-либо динамической системой, посвящена обширная литература. Во многих случаях постановки и методы решения таких задач имеют апостериорный (статический) характер, когда алгоритмы решения обратных задач обрабатывают информацию об объекте без учета ее динамики по времени. Во многих научных и инженерных разработках необходимо осуществлять восстановление нензвест пых параметров синхронно с развитием процесса (в динамике, в реальном времени). При этом информация об объекте может зависеть от того, как производилось восстановление неизвестных параметром в прошлом. Более того, восстановленные параметры могут также использоваться для управления процессом. Таким образом, во многих обратных задачах свойство вольтерровости (физической осуществимости или' пеупреждаемости, когда выходы совпадают до тех пор, пока совпадают входы) оператора решения обратной задачи приобретает принципиальное значение, когда речь'.заходит об использовании решения обратной задачи в системах обратной связи, в системах автоматического регулирования, во всех ситуациях, в которых восстанавливаемые параметры тут же должны использоваться в процессе.

Поясним характерные моменты динамических постановок решения обратных задач:

—• искомые алгоритмы решения обратных задач должны строиться в классе конечношагорых по времени алгоритмов, т.е. они должны получать текущую информацию о системе в конечном числе временных узлов и обрабатывать ее между узлами:

— искомые алгоритмы должны быть динамическими, т.е. они должны

восстанавливать искомые параметры динамической системы в темпе реальною времени (по ходу процесса), используя входную информацию о системе н текущие дискретные моменты времени;

искомые алгоритмы должны быть регул яризирутопгими, т.е. при _v:ueHbujeniiiiijJHraiio времени и уменьшении погрешности входных данных. погрешность восстановления искомых параметров должна уменьшаться;

• искомые алгоритмы должны обладать свойством вольтерровости (свойством физической осуществимости), для возможности их применения в системах обратной связи;

— неформальным требованием к этим алгоритмам является требование простоты и конструктивности для осуществления расчетов на ЭВМ.

Алгоритмы, обладающие этими свойствами, будем называть позиционными конечпошаговыми динамическими регуляризирующими вольтерропыми алгоритмами и для краткости использовать устоявшееся обозначение К ДА.

Подход к построению таких алгоритмов был предложен Ю.С. Осиновым и А.ЗЗ.Кряжнмекпм ö->'. Построение алгоритмов базируется на некоторых принципах теории позиционного управления с моделью, развиваемой H.H. Красовским и его школой 8>у->10-.и_ и идеях

"Osipov Y11.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problem of ordinary di fferential equations: dynamical sohilion.s. Loudon. Gordon and Breath. 1995.

'Кряжимскигй A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Ihn. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. N2. С.51-60.

"Красонский H.H. Управление динамической системой. :V1.: Наука. 1985.

'Красопский Ii.ll., СуОбслин А.П. 11<пиияотп.!е дифференциальные игры. М.: Наука. 1974.

,0Куржаиский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Паука. 1977.

"Субботин А.И.. Чеинов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.

а

теории некорректных задач, развиваемой в школах А.Н. Тихонова, В.К.Иванова. М.М.Лаврен! ьева Суть этого подхода состо-

ит в следующем. Исходной динамической системе £ ставится в со-0 1 кеч стило всиомогнюльная специально сконструированная управляемая динамическая система-модель Управление этой системой-моделью осуществляется нозшшопным способом по принципу обратной связи в дискретной по времени схеме. Это означает, что на отрезке времени выбирается некоторое конечное разбиение и управление моделью в каждой точке этого разбиения выбирается на основании информации об исходной динамической системе £ и инфор.машш о системе-модели, которые поступают к этому моменту времени. "Это управляющее воздействие подается на вход системы-модели и она переходит в следующее состояние. Оказывается, во многих случаях выбором системы-модели и закона управления ею можно добиться того, что реализации закона управления будут в определенном смысле близки к неизвестным и искомым параметрам исходной динамической системы. Обратная задача, таким образом, фактически сводится к прямой задаче теории позиционного управления системой-моделью, для которой необходимо найти приемлемую стратегию управления. Отметим. что вспомогательная система-модель и правило выбора управляющих воздействий представляют собой мыслимые математические конструкции, которые могут быть физически реализованы па ЭВМ.

В рамках такого подхода Ю.С.Осиновым и А.В.Кряжимским рас-смафпвались различные аспекты задачи восстановления управлений

'^Тихонов А.И., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. ¡979.

13Иваж>в В.К., Васин В.В.. Танаиа В.П. Теория линейных некорректных задач и

ее приложения. М.: Наука. J978.

"Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.

Новосибирск: СО АН СССР. 1У02.

(параметров) в динамических системах, которые описывались системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В рамках данного подхода А.И.Коротким и В.И.Максимовым были построены алгоритмы восстановления различных параметров в динамических системах, которые описывались гиперболическими и параболическими краевыми ¡адачами и вариационными неравенствами.

Системам Гурса-Дарбу носвягцена обширная литература. Вопросы существования и единственности решения из соответствующих пространств и вопросы непрерывной зависимости решения от исходных данных изучались в работах В.II.Плотникова, В.II.Сумина, М.И.Сумина 1,?1!). Задачи отимачьного управления процессами II разностная аппроксимация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу изучались в работах В.И.Плотникова. В.И.Сумина. М.П.Сумина, 1о>"' Ф.П.Васильева 17, М.М.Погапова l!S. Е.П.Бокмельдер и В.А.Дыхты К.Б.Мапспмова 20, В.А.Срочко 21 и многих других авторов.

'■"Плотников В.И.. Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу //' Журнал выч. матем. и матем. физики. 1972. Т. 12. N1. C.G7-77.

'"Плотников В.П.. Сумин .V1.Í1. Оптимальное управление объектами с распределенными параметрами, описываемыми негладкими системами Гурса-Дарбу с ограничениями типа неравенства /'/ Диф. уравнения. 1984. Т.20. Nö. C.851-S60.

''Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981.

1г>Потапов М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управлении системами Гурса-Дарбу // Вестник МГУ. Вычислительная ма1ематика

и кибернетика. 197S. N2. С. 17-26.

"Бокмельдер E.H., Дыхта В.А. К теории принципа максимума для управляемых систем гиперболическою типа // Теоретические и прикладные вопросы оптимальною управления. Новосибирск:Наука. IOS-). C.-J1-58.

20Мансимов К.С. Об оптимальности особых управлений в системе Гурса-Дарбу при наличии ф\нкциональных ограничен lili пша неравенства на состояние системы // Докл. АН АзССК 1979. U5. N10. С.1 1 i 1.

*'Срочко Ü.A. Условия оптимальности типа принципа максимума в системах Гурса-Дарбу // Сиб. матем. журнал. |9{(;|. Г.25. NI. C.126-D2.

Цель работы. Цель работы состоит в разработке и доказательстве сходимост и реализаций конечношаговых динамических регуляризнру-Ю1ИИХ волыерровых алгоритмов восстановления неизвестных нараме-гров ¡гроцессов, описываемых краевой задаче!! Гурса Дарбу. Требуется получить оценки сверху и снизу точности реализаций построенных алгоритмов.

Мет оды исследования. Методы исследования опираются на концепции теории позиционного управления с моделью и теории некорректных задач. В диссертационной .работе используются понятия и методы Теории обыкновенных дифференциальных уравнении и уравнений с частными производными, функционального анализа, приближенных методов вычислений и методы решения экстремальных задач.

Теоретическая и практическая ценность. Изложенные в диссертации методы и установленные результаты могут служить основой для дальнейших разработок в области обратных задач динамики. Постро- . еппые в работе алгоритмы могут использоваться при решении конкретных задач экологии, опт имизации химико-технологических процессов. Результаты диссертации могут использоваться в учебных курсах .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Главы разбиты на параграфы, нумерация параграфов в работе сквозная. Нумерация формул н утверждении двойная: первый индекс — номер параграфа, второй индекс — порядковый номер объекта внутри параграфа. Общий объем работы составляет 112 страниц машинописного текста.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (23-30 мая 1993г., г.Челябинск). международной конференции "'Обратные и некорректные за-

дачи'7 (9-14 сентября 1996г., МГУ, г.Москва), семинаре Центра по параллельным вычислениям Королевской высшей технической школы (октябрь 1996г., г. Стокгольм), научных семинарах отдела дифференциальных уравнений Института математики и механики УрО РАН, на семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений ИММ Урр РАН, па семинаре кафедры прикладной математики Уральского госуниверситета.

Научная новизна. Среди полученных в диссертации результат в отметим следующие:

1) для систем Гурса--Дарбу построены конечношаговьге динамические вольтерровы алгоритмы восстановления распределенных и граничных параметров, доказана сходимость реализаций алгоритмов в функциональных пространствах Ь>>. и С. выполнена конечномерная аппроксимация задач восстановления;

2) получены оценки точности сверху и снизу для реализаций алгоритмов. найден асимптотический порядок точности приближений построенного семейства алгоритмов восстановления;

3) построены алгоритмы для восстановления множества искомых параметров в метрике Хаусдорфа.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика рассматриваемых в диссертации вопросов, определяется цель работы, дается краткий обзор основных направлений, к которым примыкает работа, приводятся ссылки на основные работы.

В первой г. шве строятся семейства конечношаговых регуляризиру-

шщих вольтерровых алгоритмов, решающих обратную задачу динамики. Глава содержит 4 параграфа.

В «1 описывается класс систем Гурса-Дарбу. для которых будут рассматриваться обратные задами динамики и даются постановки самих обрагиых задач. Рассматривается управляемая система

Уи - Я*, x,yi,!h,y,u(t'x))- {t,z) € П, y{t0,x) = -p{x). xeS,

t UJ

y{t, 0) = Фг(t) + f th(T)v(T)dr. t G T, . t»

) = фм

где П = T х S — [/о, г?] х [0, /] — заданный прямоугольник; /(■), А-) € Wl(S), е И^Г) — заданные фупкппи; »(■) € Г С

L-x.iT: Р„), <;(•) 6 V С L^(T;P,.) — неизвестные управления (параметры) системы, подлежащие восстановлению. Множества Ри С Lv(S)y Pv С Я — выпуклы ог])аничены и замкнуты.

Для таких систем определяется понятие решения, формулируются соответствующие георемы существования и единственности решения и изучается характер зависимости решения от основных параметров системы. Результаты §1 носят вспомогательный характер и используются в дальнейшем для корректного изложения основных результатов работы.

Опишем содержательную сторону задачи восстановления управлений. Пусть Y — множество всех движений (решений) задачи (1), соответствующих всевозможным управлениям и G U, v G V: (/*(•)£ У ~ наблюдаемое движение (решение) системы (1); И'« = IV(у*) — множество всех пар параметров (и,г) € U х V. порождающих движение ;/*: (nt,v,) — зле мент множества W(y') минимальной Li{T\P-u) X L-i(T\ Р„)-нормы. Искомые управления (параметры) требуется определять в динамике по результатам измерений £(£.•) состояний y*(t,■)

lü

динамической системы. Результат измерения £(•) связан с наблюдаемым состоянием системы неравенством

™pU(tr)-!j4t,-)\\wi(S)<h. (2)

ter

Мнсгсгтгвс веек и-шеренпй £(•)• удовлетворяющих (2). обозначим 5л(.•/*)• По измерениям требуется в динамике определить или приблизить в roil или иной метрике пару (iu,v,).

Формально алгоритм (метод) решения обратной задачи можно представит!, в виде тройки

Д = №„; (г.-Х-Го1; МГо1). (3)

где (т,)™о — разбиение отрезка времени Т: ?'г- — отображения, которые позиционным способом формируют для промежутка времени [r,-,r1+i) реализации управлений для системы-модели: pi — отображения, которые формируют движение вспомогательной системы-модели.

Опишем работу алгоритма во времени. До момента времени ¿о выбирается и фиксируется разбиение (ту)™0. Каждая точка г,- будет началом очередного шага вычислений. В момент времени t. = tо на вход алгоритма поступает информация которая используется для определения управляющего воздействия (¡<о-г'о) на промежутке времени [t0,ti) по правилу 7'q. В момент времени t = ту. г — 1 ,ттг — 1. поступает информация ^(ту), которая испо льзуется для определения состояния вспомогательной системы-модели в точке ту по правилу i и определения управляющего воздействия (г/,-, и,-) для модели на промежутке времени [ту.ту+i) по правилу г,-. К конечному .моменту времени

0 сформируется (.0,£)-реализация (u.v) — (u;(t), Vi(t)), ъ < t < r1+i,

1 =0...., m — 1, она и принимается за выход алгоритма, за приближение к паре (î/„.7>,). С каждым алгоритмом D молено связать оператор D : DÇ = {u.v), который для простоты обозначим той же самой буквой. Такой оператор D обладает свойством Вольтерра.

И

Таким,образом, задача состоит и том. чтобы построить семейство (Dh)h>o алгоритмов (3), обладающее свойством

каково бы ни было при этом движение у* а У.

Отметим, что работа алгоритма (3) может проходить апостериорно и по окончании процесса. Для этого необходимо запомнить и хранить измерения £(77), г = 0, т — 1, и использовать их по мере надобности.

В <¡2 строятся семейства алгоритмов, решающих обратную задачу в пространстве ¿2(7';¿••>(5')) х ¿-¿(Г;/?). Для динамической системы с / = + + в (1) определим конкретно

семейство К ДА (3) следующими условиями (индекс /г для простоты опустим). Отображение = (и,-, г,-). < = 0,т — 1, строится следу-

ющим образом:

и,- = агртт{2 < Сх(-) - зД-), >£,(5) + (4)

Сч = аг6тт{2 < г(0) - 5(0). >п +а|г|2: г; € Рг}. (5)

Определим отображения (/¡¡). г — 0. ...,т - 1. следующим образом:

мгр: € € Нл(у*)} 0, /г -> О,

-Щ, (',(/) = Г; < < < 77+1,

где

/

¿(1 .Г) = х; 2, А;[*, «■•], .9,, 5, Мь 1>,-]д,

< £ [г<,г,-+1], г = 0. т - 1. г(/о,-)=£(*о.-)-

Здесь

У:(х) — .9 (.Т )

7 — 0. гп -1,

П+1 ~ 77

С , г

4Lx-,z.quq2,q3,u,v]A = г{х) + J 4>2(t)v(t) dr + v>i{t) - ^i(t¡)+ (7)

í X

+ j j 7) + ¡i)fo{T- ¡¡'¡T , ... •

n O

+/з(7% '/•,33(Г, >7))«(r, 7/)) (l)¡ dr, t e [r„-, r,+1], I G [O, <'].

Здесь Л = Д(Л) = шах{ту41 - г,- : / = О.....rn — 1} и Д(Л) <

Ст iniii{rI+i — Т{ : i = 0..... rri — 1}, C'r = const > О.

Под движением модели, соответствующим разбиению (г, )?- _ q-^— отрезка Т. измерению £ G =->>{)!*) и управлениям и G U и и € V, будем понимать функцию :{■, -]д : Т —» ir2'(S). удовлетворяющую начальному условию •) и равенству

г[Чд = t G [rf,rf+i], i = ОГ^Т,

где

= te[Ti.ri+i), i = 0,.... m — 1.

Условие 1. Пусть / = f\(t,x)yt + f-2{f.x)yr -f fa{t.x.y)u(t.r), функции £оДП) Э /¡, i — 1,2. удовлетворяют условию Липшица по переменной t, функция fs(t,x,0) G /3 измерима по г при фиксированных остальных переменных и удовлетворяет условию Липшица по переменным (í,,(/).

Теорема 2.1. Семейство КДА (3) — (6) будет искомым при выполнении условия 1 и следующих согласовании параметров алгоритма: .</,) -i О, hMh) - 0, М _ 0. _ 0. - О при

h 0.

Здесь afrjl, Д(Л)) = /' ■) ~ 'ЛГ'+''" ^'^И¿,(51<**, для í=0 i r¡+l - Ti

гладких решений эта величина допускает конструктивную оценку

at{ij;^(h))<CA(h).

Условие 2. Пусть функции /?(■,•) £ ¿»(П), i = 1.2; функция /3 удовлетворяет условию Липшица по переменной (у при фиксированных остальных переменных, измерима по (f.x) 6 П при фиксированном у € В и /î'(-.-,0) 6 Ь^П): функции ù}(t), ii'i(t) непрерывно дифференцируемы; известны следующие априорные оценки:

■ шах{cas sup ||/?(i, ■) - /,•(*, -)|!MS) : г = 1.2} < 7,

ieT

snP{fiss snp ll/J (t,-,y) - Mt, -, 2/)|U3(.s') : У 6 U(eTF(i)} < 7, ieT

sup Iu-J(t) - vi(t)l <-7. IK'3(-) - ¡^Hlk-jr) < Г ta

Теорема 2.2. Пусть выполняются условия 1,2. Тогда семейство КДА (З)-(б), в котором /;, li'i, г'.'2 заменяются на /¡\ г/'i, tt^, г = 1,2,3, соответств(!ШЮ, будет искомым при выполнении следующих согласований параметров алгоритма:

Otblu^) n , п --7т--> 0 при h —> 0.

Семейство КДА (3)-(6) будет устойчивым относительно малых по-

грешностей при вычислении значений (г;), (¿>;), ¡. = 0. т - 1. В .алгоритме можно использовать не только точные значения г ¡(в, с) и и\ г), по и их некоторые приближения (в, с) и "Л - )-, которые удовлетворяют соотношениям

г) - ш, г)| < ж2(/г)(г1+1 - г,-).

Теорема 2.1 в этом случае останется справедливой, если в ее условия добавить согласования ¡Е\{Н) —» 0. а^/г) —♦ 0. аех(/г)/а(/г) —* 0, ж2(/г)/а(к) 0 при /г -> 0.

В оЗ выполнена конечномерная аппроксимация обратной задачи на основе сеточного метода. Введем на П = [¿0,1?] х [0,/] разбиение пря-

14

МЫ МИ X = Х*. / = Г;

О = 4 < .г? < ... < г* = /; А) - г0л < г," < ... < = тЛ

Пусть Л'(/г) = глах{.т£+1 : J = 0,...,Л*-1}, и л(/г) < :

= 0,..., Лг— 1}. С = con.it > 0. Индекс /г далее для простоты опускаем. Рассмотрим следующую дискретную систему

, ту

;/<:!,-! = ) - + Ым>|) + Е / (8)

*=11 ^

, V- Г А Г ,, Ук+1,р - Укр Ш,р+\ — Ик,г ,, •

+ 2-. fii~.il.——*-—Ч —*---Ук.р.Щ.рЩлт.

<•=0 г! 0 ''-+1 - ^ •'УИ - ■'>

.(/о.; = У.',о = <Ыт,-). г'= 0,.... /7? - 1, = 0..... .V - 1.

Результатом измерения в момент времени г, 6 Г является вектор — {€ Йд , соответствующий точкам разбиения отрезка 5' и связанный с измеряемым состоянием системы неравенством

' тах{\у*(т{,т]) — : г' = 0,...,т, ] = 0. ...Л' - 1} < Л.

Для решения задачи восстановления строится дну параметрическое семейство копечношаговых динамических алгоритмов (КДАД)

^Л ~ ИТ%' (гг" ' )<б0.т-1; (л" )(£0,т—1)' (9)

где //. > 0, Л" € Л', т = тл,л £ Л', Л'-множество натуральных чисел, отображения ¿¿) = (и,-, г.';), г = 0,..., 7», = 0,..., Лг — 1, строятся

следующим образом

Л"-1 _

и/, = агцппп.{2 ■ £ (-;,;+! - Ч] ~ + Ь.]) ■ -П-ч:.;) • 9,+ (Ю)

+а(/г) ■ - ^ : .9 е

1 = 0

14 = итуппп{2- < -¿,0 - >л +«(/;) ■ : с £ Р„}, (11)

где

К ' = (»''01 «'Л'-1) : "V =---Г+' и[х)Лх, и € К}.

Х}+1 ~~ хз 1

В качестве отображения , г — 0,..., т — 1, рассмотрим отображение,

описываемое в каждой точке разбиения о трезка 5 системой вида (8),

где к правую частб вместо подставляются^-. а вместо неизвестных

параметров - реализации управлений.

Теорема 3.1. Семейство К ДА (9). (10), (11), (8) будет регуляри-

зир^тощим при выполнении условий: <■>(/?) —> 0. Д(Л) —► 0, —► 0, _ _ 0__л__> 0 -Л(/0'/24-6(/,)'/г ^ а,(у;.Л(Д)) 0

Ь{Ь)^{Ь\ ' ' Д(/>)о[Ь) а(Ь) " а(к) '

0,(2/;. ¿(Л)) д*{\{кЩ1))

0,--—---► 0 при I) —> 0.

a(/i) a(h) Здесь с7,0/.г,6(/0) = E I wA-:x)--~-ГТ---WiM'ndt,

j=0

у-Д ' l-f

in Ü

j-л /-i

tu 0

-/(t + Д.2- + b:yt{t,.v).nAt,x),y{t.x). u{t,x))\dxdt. 11]>и выполнении условия 1

<т*(у,и: Д, 6) < snpsupст*(г/. и; Д,<5) = ст*(Д.6)

S)£>' tief

и a*(X b) 0 при Д 0, 6 -* 0.

В §4 рассматриваются примеры, демонстрирующие восстановление различных распределенных и граничных параметров. Результаты численных расчетов приводятся в виде таблиц, качественная картина восстановления неизвестных параметров показана в виде рисунков.

Вюрая глава состоит из 4 параграфов и в ней изучаются оценки точности построенных реализаций алгоритмов. В получены гарантированные оценки точности сверху. Показано, что при подходящих

ограничениях на правую часть системы (1) справедлива следующая оценка

.чпр^ф/^К^)) = £ € НЛ(2/*)} < //(Л),

/¡{к) —> 0 при Л —+ 0 и вид функции //(•), которую назовем гарантированной точностью семейства КДА (.'З)-(б) в точке у* £ У, будем указан явно. В качестве метрики р рассмотрены метрики пространств Ь2 = ¿2(Т:£2(5)) х ЫТ), Ьх = Ь-2(Б)) х С = С(Т1а(5)) х С {Т.). Т\ = [*., г?], Ц<1,< г).

Условие 3. Функции и,, г, обладают обобщенными производными '/»/. 1\1, являющимися элементами пространств ¿.^(П). Ь-^(Т) соответственно, и существует обобщенная производная 6 ¿-^(П).

Условие 4. Существуют константы к| и к-2 такие, что для почти всех х) Р П и для всех у & Я выполняются неравенства 0 < < |/3(<.х,у)| < к2. 0<к1< |</'2(/)| < кг.

Теорема 5.1. Пусть выполняются условия 1,3,4. Тогда для КДА (3)-(6) справедливы оценки

вир'.)): £ е НА(у*)} < /£( к) = Л/, [А( Л) + Л + а( Л) + уЩГ] + а(Ь )3'2 + Д +

/г

Л'*.- /«) = Л/2[Д(/г) + Л + ■•»(//) + ^а(Л) + а(Л)3/2 + ——_=+

Л(Л)уа(/г)

+ а(Л)3/2 + „Я/Т) „(Л)

где Л/ьЛ/2 - некоторые положит е.льные константы, которые можно явно определить по априори известным данным краевой задачи (1). При выполнении согласований Д(/;) —» 0. а(Л) —► 0, (Д(Ь) + Ь)/с\(к)3^ —► 0,

/г/(Д(//]у'ЯМ) -> 0, к — 0 имеем /¿(/¡) — 0, //*(*,.Л) О при /г -+ О для > /о-

Условие 5. Функции и, : Г Э ( '«„(<.•) £ 1-2(5) и г, : Т Э I € 7? имею г ограниченную вариацию на Г.

Теорема 5.2. Пусть выполняются условия 1,4.5. Тогда для КДА (3)-(6). справедлива оценка

внр{/>(0А£. (и„ IV)) : £ € < /¡.(Л)-

¡■де /./ метрика пространства Ь->{Т\ Ьг{Б)) х Ь-2(Т;Л).

А (Л)а(А)3/2 а(/()3/-

Если выполняются согласования из теоремы 5.1, го /(«(/г) —» 0 при /» — 0.

Теорема 5.3. Пусть выполняются условия теоремы 5.1 и, кроме того, функции /„ г -- 1,2,3. удовлетворяют условию Липшица но всем своим переменным; существует обобщенная производная £ Т-2(П); функция = 0. Тогда

\\[4/К-.-) - и*(-,-)1иг(1|) < +

(V (/1;

а(Л)Д(Л) а(Л)6(Л) и(й) л

где константа С определяется по априори известным данным краевой

задачи (1) и не зависит от разбиений отрезков Т п 5. [и^/]

кусочно-

иостоянная интерполяция сеточной функции определяемой по правилу (10).

Явный вид оценок позволяет исследовать зависимость скорости сходимости реализаций алгоритма от параметров алгоритма.

В ВС приводится явный вил оценки точности снизу построенного семейства алгоритмов. Нижней оценкой точности заданного семейства

КДА в точке у* G Y будем называть функцию v{h) такую, для которой'существует ht > 0, такое, что для всех Л G fi).Л»] выполняется неравенство

(«„»«,)) : б е н,,(г/*)| > v(h) > п.

Функция ;/(//) показывает неулучшаемость реализаций построенного семейства алгоритмов. Li качестве метрики р рассматривается метрика пространства L-iiT'^L-iiS)) х Ly{T).

Условие 6. Пусть /,(<,х) = 0, /2(ü..r) = 0, h(t.x.y) = 1 для всех {t..г) G П. г/ G /?, о.(0 = 1 для всех t £ Т.

Теорема 6.1. Пусть выполняются условия 3, б и согласования о(Л) -, 0, Л/а(Л)3/2 - О. Д(Л)/а(Л)3/2 -» 0 прч h -» 0. Тогда, если ¡очка. (и,, г.) явлжчся внутрег.чей для множества IJ х Г и

IT а г min i»,(i, x)j > 0, Vrai min> 0,

(i.x)eri /ег 1 '

то существуют константа M > 0. зависящая только 0т известных данных к]>аевой задачи, и константа /г, > 0 такие, что для всех h G (i выполняется оценка

!!"*(•'■) - "Л-- -)||?„<П) + ИО - > -^О(Л),

где ( nh, vh ) есть (1)л, ¿^-реализация КДА (3)-(6).

В §7 указывается асимптотический порядок точности построенною семейства операторов. Будем говорить, что алгоритм (D/Jh>o имеет асимптотический порядок точности 7 в точке у* G Y, если найдутся положительные константы сд и такие, что при всех достаточно малых h > 0 выполняются неравенства

rjr < suy){p(,.,{DuE,. («*,;•'*)) : £ € НА(.у*)} < nh1.

Теорема 7.1. Пусть выполняются условия 3, б и выполняются согласования n(h) — 0. Д(Л) 0. (h + Д{h))/a{hfl'2 — 0,

i9

h/{Mh)a(h)) О при h 0. Тогда КДА (3) - (6) имеет асимптотический порядок точности у — 1/4.

В í'|8 изучается вопрос о восстановлении множества искомых параметров. Предлагается процедура, которая в динамике но приближенным измерениям состояний системы будет восстанавливать в метрике Хаусдорфа множество И"(у*) всех порождающих движение у* Е Y пар параметров (и, v) G U х V. Метрику Хаусдорфа в пространгсве L-¿(T; Ри) х L'-¿{T: Ри) обозначим через рц.

Подходящие разрешающие задачу операторы будем искать в классе конечнощаговых динамических волыерровых алгоритмов с многозначными кусочно-постоянными реализациями управлений

-/А = ((г,-)!»0; (гГ)^о1; ШиГЛ (12)

где : Т х Т х W.¡(S) х ItV(S') х ranv(P) И'2!(5). г? : Г х U'2'(5) х. И2 (5) —> conr(P), conv(P) - множество всех непустых выпуклых замкнутых ограниченных подмножеств множества Р — Pv х Р„, Рп с R, П С В.. '

Для динамической системы (1) определим управляемый процесс (-(•)• следующими условиями:

¿(í) = p*(r¿.í, z(T¡),S(Ti), Q,(t)), ^ <t < rí+1. c(f0) = Шо),

Q(') = W) - r,<t< Ti+1, г = o 1.

• Отображение r*(r¿Tz,s) = i = 0,...,m - 1,

строится следующим образом:

r;t,ff.r.o = {« e P„: ü^-i^íi - Mr,, (13)

Ti ~ 4—1 r¡ — T,-_)

= {!.' е Р, : ¡^--^ - Уц(т1) - ¿>,(туН <

Г,' — ■ •

здесь и/'( Д(^),/¡) = Сц( ^ ^ + ¡1 + Д(/г)). С'// — некоторая константа, оирс-делясмня но известным данным красной задачи и не зависящая от'разбиений отрезка Т.

Отображение г = 0,.... тп — 1, определим следующим образом:

р\(1, г,-,г,£.(}) =£(■). (14)

Положим = Зе10(-) - • множество всех измеримых селекторов многозначного отображения (](■) : Т —» Соиг-(Р).

Теорема 8.1. Пусть выполняется условие 1 и Д(Л) —> 0, /¡/Д(/г) —♦ О при Л —» О. Тогда семейство КДА (12)--(14) является искомым

: £ 6 ~к(и')} - 0, к -+ 0.'

каково бы ни было у" Е 1".

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Короткий А.И.. Цепелев II.А. Динамическое моделирование параметров в системе Гурса-Дарбу // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР. 1991. С.90-109.

2. Короткий А.И., Цеиелев И.А. Динамическое решение обратной задачи в системе Гурса-Дарбу // Труды ИММ УрО РАН.- 1995. Т.З. С. 88-103.

3. Короткий А.И., Ценелев II.А. Верхняя и нижняя оценки точности в задаче динамического восстановления параметров // Труды ИММ УрО РАН. 1996. Т.-1. С.228-238.

4. Пепелен И.А. О восстановлении некоторых параметром в системах Гурса-Дарбу //В кн.: Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации. Челябинск. 1993. С.108.

вления параметров в системе4 Гурса-Дарбу // Известия РАН. Тех-нич. кибернетика. 1994. N4. С.230-235.

б. Tsepelev I.A., Korotkii A.I. Oil accuracy estimations for an inverse dynamic problem for Goursat-Darboux system // Abstract on the international conference "'Inverse and Ill-posed problems" (9-14 Sept., 1996, Moscow). Moscow: MSU. P.182.

Подписано к печати 14.03.1997. Формат 60x84 1/16. Бум. тип. N2.

Уч. изд. л. 1.0. Усл. неч. л. 1.0. Тираж 120 экз. Зак. 226.

620095, г.Екатеринбург, ул. Малышева 101. фирма Терминал Плюс.