Особые экстремали в задачах оптимального управления, определяющих распределение Гурса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

ОСОБЫЕ ЭКСТРЕМАЛИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГУРСА

01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 517.977

Долгалева Ольга Евгеньевна

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор М. И. Зеликин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук Е. Р. Аваков кандидат физико-математических наук Ю. Л. Сачков

Ведущая организация: Российский Университет

Дружбы Народов

Защита диссертации состоится 14 октября 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 сентября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ профессор

В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Широкий круг задач в теории оптимального управления решается с помощью принципа максимума Понтрягина — необходимого условия оптимальности траектории. Но в некоторых задачах из этого принципа однозначно определить оптимальное управление нельзя, например, когда оно входит в задачу линейно и в функции Понтрягина коэффициент при нем оказывается равным нулю. В этом случае существенную роль играет возникающее при этом понятие особых траекторий, что приводит к необходимости специальных дополнительных построений.

Ситуации, в которых встречаются особые управления, обнаружены в задачах ракетодинамики, космической навигации, электротехники, металлургии, математической экономики и т.д.

Система дифференциальных уравнений, соответствующая задаче оптимального управления, естественным образом ассоциируется с распределением векторов скоростей на фазовом многообразии. Одним из важных случаев распределений на гладком многообразии является так называемое распределение Гурса. Пусть на гладком многообразии Z задано распределение D, порожденное некоторым набором гладких линейно независимых векторных полей на касательном пространстве к этому многообразию. Последовательные коммутаторы векторов из D порождают цепочку распределений ..., Если каждая операция коммутирования повышает размерность D^ ровно на единицу, то D называется распределением Гурса.

Название "распределение Гурса"(Coursai distribution) относится к работе Э. Гурса 1. Идея таких цепочек распределений появилась несколько раньше в работах Э. Картана в связи с операцией продолжения систем Пфаффа. Изучению условия Гурса

1Goursat Е. Leçons sur le problème de Pfaff // Paris, Hermann, 1922.

были посвящены работы А. Кумпера, К. Руиза, М. Гаспара 2, в которых исследовались дифференциальные системы Пфаффа с аннигилятором, удовлетворяющим условию Гурса. В конце XX века распределения Гурса стали объектом пристального внимания геометров, среди которых Р. Монтгомери, Р. Брайан, М. Житомирский, П. Мормул и многие другие.

В проблеме изучения и классификации распределений Гурса важную роль играет понятие их эквивалентности. Два глобальных распределения на многообразии Z эквивалентны, если существует глобальный диффеоморфизм Z на себя, переводящий одно распределение в другое. Диффеоморфность распределений Гурса определяется их особенностями. Ф. Энгель, Э. Гурса и Э. Картан, изучая распределения Гурса, установили их каноническую форму, которую они имеют в неособых точках многообразия Z. Не так давно А. Кумпера, К. Руиз и П. Мормул обнаружили, что у распределений Гурса имеются особенности, число которых довольно быстро растет с ростом размерности исходного пространства.

Хорошей моделью для изучения распределений Гурса является задача об управлении движением тягача с п прицепами. Оказалось, что управляемая система этой задачи, имеющей простой и важный механический смысл, порождает распределение, являющееся распределением Гурса. Более того, она порождает универсальный набор, моделирующий все возможные особенности абстрактных распределений Гурса. Результаты в этом направлении были получены Ф. Жаном 3, О. Сордале-

2Gaspar M., Kumpera A., Ruiz С. Sur les systèmes de Pfaff en drapeau//1983.

3Jean F. The car with n trailers: characterisation of the singular configurations// ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1996. 1. 241-266.

ном 4, Ф. Люка и Дж.-Дж. Райслером 5, Р. Монтгомери и М. Житомирским 6. Ф. Жаном было доказано, что распределение, порожденное задачей о тягаче с прицепами, удовлетворяет условию Гурса. Р. Монтгомери и М. Житомирским был сформулирован следующий результат: локальная классификация распределений Гурса, соответствующих кинематической модели движения тягача с п прицепами, и локальная классификация произвольных распределений Гурса длины (п+1) — это одна и та же задача.

Исследование задачи об оптимальном управлении движением тягача с прицепами естественно проводить с помощью принципа максимума Понтрягина. При отыскании оптимальных траекторий важную роль играют особые траектории — экстремали, вдоль которых принцип максимума вырождается.

В работах А. Миеле 7 были исследованы особые экстремали двумерных экстремальных задач, относящихся к динамике движений ракет. Д. Ф. Лоуден 8, исследуя задачу полета тела переменной массы в ньютоновском поле тяготения одного притягивающего центра, обнаружил особые экстремали Понтрягина (траектории промежуточной тяги или "спирали Лоудена"). В 1964 году Г. Келли 9 нашел необходимое условие оптимальности второго порядка для особых экстремалей. Среди математиков, которые занимались вопросами оптимальности особых траекто-

4Sordalen О. Conversion of the kinematics of a car with n trailers into a chain form//IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1993.

5Luca F., Risler J.-J. The maximum of the degree of nonholonomy for the car with N trailers // Proceedings of the 4-th IFAC Symposium on Robot Control. Capri. 1994.

6Montgomery R., Zhitomirskii M. Geometric approach to Goursat flags // Ann. Inst H. Poincare Anal. Non Linéare, 2001. 12. N 4. 459-493.

7Миеле А., Теория оптимальных аэродинамических форм, М., 1969.

8Лоуден Д. Ф., Оптимальные траектории для космической навигации, М., Мир, 1966.

9Kelley H. J., A second variation test for singular extremals, 1964.

рий, можно назвать Р. Е. Коппа и X. Г. Мойера 10, X. М. Роб-бинса, К. Маршала и других.

Важную роль в вопросах оптимальности особых экстремалей играет понятие их порядка. Экстремали, обладающие счетным числом точек переключения управления на конечном интервале времени, называются экстремалями с учащающимися переключениями, или четтеринг-экстремалями, соответствующие управления — четтеринг-режимами. Впервые подобный пример был приведен А. Т. Фуллером 11. В случае особых экстремалей второго порядка стыковка неособого с особым участком происходит с четтеринг-режимом. Теория четтеринг-режи-мов развивалась в работах И. Купки 12 и более подробно в работах М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова 13. Позднее вопрос об условиях оптимальности высшего порядка на особых экстремалях превратился в самостоятельный раздел математической теории оптимального управления.

Таким образом, как распределения Гурса, так и особые экстремали в задачах оптимального управления являются важными математическими объектами, требующими дальнейшего изучения.

10Корр R. Е., Моуег H. G., Nessesary conditions for singular extremals,1965.

11 Фуллер A.T. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Тр. I конгр. ИФАК (М.,1960), М. 1961. Т. 2. 584-605

12Kupka I. Géométrie Theory of extremals. Fuller phenomenon. Proc. XXIV Conf. Décision and Control Theory, Birkhauser, Boston, 1990. 129-142.

13См. Зеликин M.И., Борисов В.Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений // Итоги науки и техники. 2002. 90. 5-189., Зеликин М.И. Гессиан решения уравнения Гамильтона-Якоби в теории экстремальных задач // Мат. сборник. 2004. 195. N 6. 57-70, Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1991. 197. 85-166, Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики // Современная математика и ее приложения (Ин-т кибернетики Академии наук Грузии). 2003. 11.

Цель работы. Исследование связей между геометрической теорией распределений Гурса и теорией оптимального управления. Устанавливается связь между особенностями распределений Гурса и условиями оптимальности особых экстремалей. Для этой цели используется класс задач управления движением тягача с прицепами, поскольку этот класс моделирует все возможные особенности абстрактных распределений Гурса.

Методы исследования. Необходимые и достаточные условия оптимальности в теории оптимального управления — принцип максимума Понтрягина, построение кусочно-гладких ла-гранжевых многообразий. Теория особых экстремалей первого и второго порядка, теория четтеринг-экстремалей. Геометрическая теория распределений Гурса и их особенностей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Исследована геометрия особых траекторий первого порядка в задаче управления движением тягача с п прицепами в случае управления угловой скоростью тягача: доказано существование особых траекторий, найдена размерность особого многообразия М\, доказана гладкость этого многообразия, изучены свойства его проекции на фазовое пространство.

2. Исследовано многообразие пересечения М\ с многообразием особенностей распределения Гурса. Доказано, что любая особая траектория первого порядка, идущая по многообразию особенностей распределения Гурса, является локально оптимальной.

3. Исследована геометрия многообразия особых траекторий второго порядка в задаче управления движением тягача с п прицепами в случае управления угловым ускорением тягача: найдена размерность особого многообразия М2,

доказана гладкость этого многообразия, изучены свойства его проекции на фазовое пространство. Система принципа максимума Понтрягина сведена к полуканонической форме в смысле Зеликина — Борисова и установлено наличие экстремалей с накоплением переключений.

Теоретическая и практическая ценность. Получены новые результаты в геометрической теории оптимального управления, использующие идеи и методы теории распределений. Результаты работы дают новый метод доказательства оптимальности особых экстремалей в задачах, порождающих распределение Гурса. Полученные результаты могут найти применение при решении разнообразных практических задач, например, задачи о мобильных роботах и т.п.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, август 2000 г.), на конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы "(Воронеж, янв.-февр. 2003 г.), неоднократно на заседаниях семинара механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова "Геометрическая теория синтеза оптимальных траекторий" под рук. д.ф.-м.н. проф. М. И. Зеликина, в Российском Университете Дружбы Народов на семинаре "Теория экстремальных задач" под рук. д.ф.-м.н. проф. А. В. Арутюнова (2002 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, среди них нет.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Список литературы содержит 42 наименования. Общий объем диссертации — 89 страниц.

Обзор содержания диссертации

Во Введении дан краткий обзор необходимых сведений, относящихся как к классической теории оптимального управления, так и к теории распределений Гурса, формулируются результаты, полученные в диссертации.

Глава 1 является подготовительной. В ней для удобства и замкнутости изложения приводятся формулировки основных понятий, фактов, теорем, касающихся теории распределений Гурса и их особенностей. Формулируется постановка задачи оптимального управления движением тягача с произвольным числом прицепов.

В § 1.1 даны основные определения, касающиеся векторных полей на гладком многообразии, их коммутаторов, распределений векторных полей.

§ 1.2 начинается с определения основного понятия — распределения Гурса размерности к. В работе для нас представляет интерес случай к — 2. Пусть D = D^ — двумерное распределение на гладком m-мерном многообразии Z. Положим

D(i) = £(*-!) +[£>0-1)^-1)^

где [•, •] —коммутатор двух распределений.

Определение. Распределение D называется распределением Гурса, если dim D^ = г.

Далее в этом параграфе вводятся понятие эквивалентности распределений Гурса, большого и малого векторов роста.

В § 1.3 с помощью векторов роста определяются особые точки распределений Гурса.

В § 1.4 приведена система дифференциальных уравнений, описывающая движение тягача с п прицепами, дана постановка задачи оптимального управления в случае управления угловой скоростью тягача.

В плоскости хОу с постоянной по модулю линейной скоростью V движется тягач L с п последовательно присоединенными к нему с помощью жестких тяг прицепами Р\,..., Рп (будем считать линейную скорость и длины тяг величинами, равными единице). Положения тягача и всех остальных прицепов однозначно определяются координатами x(t), y(t) последнего прицепа, длинами тяг и следующими углами: 6n(t) — угол между вектором линейной скорости тягача и осью Ох, 0n-i(í) — угол между тягой P\L и осью Ox, 6n-k{t) ~ угол между тягой Рк-\Рк и осью Ох. Управление осуществляется заданием угловой скорости u(t) тягача, управляющий параметр и удовлетворяет условию |«| ^ а, где а > 1. Уравнения движения имеют вид:

' п

X — COS во П COS аз '

п

у = sin во cos aj ; j=i n

9о = sin <*! П cos ai ; /1Л

< 3=1 (1)

n

ák = (sin orfc+i — sin a*, cos ak+i) П cos аз >

j=k+2

к = 1, ... ,n — 2, n > 2;

án_i = sin an — sin an_i cos an;

án — u — sinan.

Ставится задача: перевести всю систему из заданного начального состояния на некоторое многообразие цели за кратчайшее время.

Фазовым пространством этой задачи является (п+3)-мерное многообразие Z — R2 х Тп+1, где(Т"+1 — (п + 1)-мерный тор, с координатами 2 = (х, у, 90, ai,..., an), ак = 0к- вк-Х.

Система уравнений (1) задает на фазовом многообразии Z два линейно независимых гладких векторных поля X и Y, от-

вечаклцих крайним значениям управления и = а и и = —а и определяющих двумерное распределение D = span(X, У). Распределение (X, У), порожденное векторными полями X и У, является распределением Гурса.

В Главе 2 подробно рассматривается задача о движении тягача с двумя прицепами.

В § 2.1 формулируется задача оптимального управления движением тягача с двумя прицепами в случае управления угловой скоростью тягача.

В § 2.2 рассматривается движение тягача с двумя прицепами в системе координат, жестко связанной с тягачом, исследованы стационарные точки системы, построены фазовые портреты системы для различных значений управления.

В § 2.3 найдены все особенности распределения Гурса. Доказано, что особенностью распределения Гурса в задаче движения тягача с двумя прицепами является поверхность Г = Г+ U Г_ = {cosa2 = 0}, где Г+ = {sina2 = +1} иГ_ = {sina2 = -1}.

В § 2.4, следуя работам М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова 14, приведены определения особых траекторий, их порядка, особого многообразия — многообразия, заполненного особыми экстремалями, выписано необходимое условие оптимальности особых траекторий — условие Келли 15.

В § 2.5 для задачи о тягаче с двумя прицепами найдены все особые траектории первого порядка, доказана теорема о размерности и гладкости особого многообразия Mi, о его проекции на фазовое пространство.

В § 2.6 рассматривается особая траектория первого порядка, лежащая на особенности распределения Гурса Г+ (случай Г_ рассматривается аналогично). В параграфе доказывается следующая теорема (здесь и далее номера приведенных в ав-

143еликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений // Итоги науки и техники. 2002. 90. 5-189.

15См. Kelley Н. J.// A second variation test for singular extremals. 1964.

тореферате теорем совпадают с их номерами в диссертации):

Теорема 3. Поверхность Mifir+ является С°°-гладким многообразием с естественной гладкой структурой, индуцированной из расширенного фазового пространства. Ее коразмерность равна 4.

В § 2.7 доказывается локальная оптимальность особой траектории первого порядка, идущей по особенности распределения Гурса. Это составляет содержание следущей теоремы:

Теорема 7. Любая особая траектория первого порядка в задаче о движении тягача с двумя прицепами, идущая по особенности распределения Гурса, является локально оптимальной.

Доказательство теоремы проводится путем построения и исследования кусочно-гладкого лагранжева многообразия Ш.

В Главе 3 рассматривается задача о движении тягача с п прицепами, где п > 3.

В §3.1 приведена соответствующая система дифференциальных уравнений в случае управления угловой скоростью тягача.

В § 3.2 доказано, что множество, задаваемое уравнением cosa„ = 0, является особенностью распределения Гурса в этой задаче.

В § 3.3 для задачи о тягаче с п прицепами найдены все особые траектории первого порядка, доказана теорема о размерности и гладкости особого многообразия М", о его проекции на фазовое пространство.

В § 3.4 рассматривается множество особых траекторий первого порядка, лежащих на особенности распределения Гурса cos ап = 0. Доказана следующая теорема:

Теорема 10. Поверхность М" П Г+ является С°°-гладким многообразием с естественной гладкой структурой, индуцированной из расширенного фазового пространства. При этом codim Mf П Г+ = 4.

В § 3.5 доказывается основной результат третьей главы —

локальная оптимальность произвольной особой траектории первого порядка, идущей по особенности распределения Гурса:

Теорема 13. Любая особая траектория первого порядка задачи движения тягача с п прицепами, идущая по особенности распределения Гурса, является локально оптимальной.

В § 3.6 рассматривается задача о движении тягача с п прицепами в случае управления угловым ускорением тягача. Найдены все особые траектории второго порядка, доказана теорема о размерности и гладкости особого многообразия М2, о его проекции на фазовое пространство. . Определение. Экстремали, обладающие счетным числом то-

чек переключения управления на конечном интервале времени, называются экстремалями с накоплением переключений (чет' теринг).

Система принципа максимума Понтрягина сведена к полуканонической форме в смысле Зеликина — Борисова 16. В результате доказывается теорема существования экстремальных четтеринг-режимов. В следующей теореме доказано, что в задаче существуют экстремали с накоплением переключений.

Теорема 16. В задаче о движении тягача с п прицепами в случае быстродействия и управления угловым ускорением тягача, существуют экстремали с накоплением переключений и выход на особый режим может осуществляться лишь посредством режима с накоплением переключений.

Выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Михаилу Ильичу Зеликину за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

1вСм. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений // Итоги науки и техники. 2002. 90. 5-189.

Работы автора по теме диссертации

1. Долгалева О. Е. Особенности распределений Гурса в задачах оптимального управления.// Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2005. № 5. 34-39.

2. Майкова О. Е. Многообразие особых экстремалей в задаче управления тягачом с п прицепами.// Вестник Моск. унта. Сер. 1. Математика. Механика. 2002. Л*» 3. 51-54.

3. Майкова О. Е. Субоптимальные режимы в задаче Фулле-ра.// Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2002. Т. 236. 226-229.

»

4.

t

]

t

»16 4 0В

РНБ Русский фонд

2006-4 14398

1

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать /2.09

Формат 60x 90 1/16 ' Усл. печ. л 0)1£

Тираж 100 экз Заказ /3"

Предисловие.

Введение

Глава 1. Распределения Гурса.

§ 1.1. Векторные поля и распределения векторных полей на многообразии

§ 1.2. Распределения Гурса.

§ 1.3. Особенности распределений Гурса.

§ 1.4. Задача о тягаче с п прицепами.

Глава 2. Движение тягача с двумя прицепами.

§ 2.1. Постановка задачи о движении тягача с двумя прицепами.

§ 2.2. Движение тягача с прицепами в системе координат, жестко связанной с тягачом.

§ 2.3. Особенности распределения Гурса в задаче движения тягача с двумя прицепами.

§ 2.4. Принцип максимума Понтрягина и особые траектории

§ 2.5. Особые траектории в задаче движения тягача с двумя прицепами.

§ 2.6. Исследование многообразия {Mi П Г+ }.

§ 2.7. Локальная оптимальность особых траекторий первого порядка, идущих по особенности распределения Гурса.

Глава 3. Движение тягача с п прицепами.

§ 3.1. Постановка задачи о движении тягача с п прицепами.

§ 3.2. Нахождение особого многообразия.

§3.3. Особенности распределения Гурса в задаче движения тягача с «прицепами

§ 3.4. Исследование многообразия {М" П Г+}.

§ 3.5. Локальная оптимальность особых траекторий первого порядка, идущих по особенности распределения Гурса.

§ 3.6. Задача о движении тягача с п прицепами в случае управления угловым ускорением тягача.

Широкий круг задач в теории оптимального управления решается с помощью известного принципа максимума Понтрягина — необходимого условия оптимальности траектории. В некоторых задачах максимум функции Понтрягина достигается более чем в одной точке. В этом случае однозначно определить оптимальное управление нельзя и тогда существенную роль играет возникающее при этом понятие особых траекторий, что приводит к необходимости специальных дополнительных построений, которые являются предметом изучения в настоящей диссертации.

Система дифференциальных уравнений, соответствующая задаче оптимального управления, естественным образом ассоциируется с распределением векторов скоростей на фазовом многообразии. Одним из важных случаев распределений на гладком многообразии является так называемое распределение Гурса. Пусть в каждой точке гладкого многообразия Z задано двумерное распределение D, порожденное гладкими линейно независимыми векторными полями Х\,Х2 на касательном пространстве к этому многообразию. Последовательные коммутаторы векторов из D порождают цепочку распределений ., Если каждая операция коммутирования повышает размерность D^ ровно на единицу, то D называется распределением Гурса.

В настоящей работе устанавливается связь между геометрической теорией распределений Гурса и теорией особых экстремалей в задачах оптимального управления. Рассматривается конкретная задача оптимального управления, определяющая на фазовом многообразии распределение Гурса, которое, в свою очередь, моделирует все возможные особенности таких распределений — задача управления движением тягача с п прицепами. Результаты работы дают новый метод доказательства оптимальности особых экстремалей в задачах, порождающих распределение Гурса. Полученные результаты могут найти применение при решении практических задач, например, задач о мобильных роботах.

Работа выполнена в аспирантуре Механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Пользуюсь возможностью выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Михаилу Ильичу Зеликину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Введение

Во введении мы изложим основные результаты работы, предварительно сообщив необходимые сведения, относящиеся как к классической теории оптимального управления, так и к теории распределений Гурса.

Стандартная постановка задач оптимального управления относится к управляемой системе i = f(z,u), z £ Z, где Z — гладкое m-мерное многообразие. Задача состоит в отыскании траекторий этой системы, которые доставляют оптимальное значение заданному функционалу. Широкий круг задач в теории оптимального управления решается с помощью известного принципа максимума Понтрягина — необходимого условия оптимальности траектории. Но в некоторых задачах из этого принципа однозначно определить оптимальное управление нельзя, например, когда оно входит в задачу линейно и в функции Понтрягина коэффициент при нем оказывается равным нулю. Существенную роль играет возникающее при этом понятие особых траекторий, что приводит к необходимости специальных дополнительных построений, которые являются предметом изучения в настоящей диссертации.

Задача о движении тягача с п прицепами является одной из важных задач в теории оптимального управления. В качестве управляющего параметра можно рассматривать угловую скорость или угловое ускорение тягача. Эта задача, интересная и сама по себе, является универсальной с точки зрения взаимосвязи двух независимых математических теорий — теории особых режимов (одной из важнейших частей теории оптимального управления) и геометрической теории распределений Гурса.

Распределения Гурса. В задаче оптимального управления управляемая система естественным образом ассоциируется с распределением линейных подпространств касательного пространства в каждой точке z многообразия которое определяется линейной оболочкой множества допустимых векторов скоростей. Одним из важных случаев распределений на гладком многообразии является так называемое распределение Гурса.

Флагом Гурса (длины т — к) на многообразии Z размерности т > 4 называется последовательность с £>(*+!) с . С £>(т1) С £>(т) = TZ, т-к> 2 (1) распределений на многообразии Z (набором подпространств касательного пространства TZ постоянной размерности), где

Dd) = DH-1) + рр -1)} Dd-1)] > (2) dimD(i) =dimD(i"1) + l, г = Jfe, к + 1,. ,т. (3)

Под к-распределением Гурса (или просто распределением Гурса) мы будем понимать распределение размерности fc, порождающее флаг Гурса (1).

Идея таких цепочек распределений появилась в работах Э. Картана в связи с операцией продолжения систем Пфаффа. Само название "распределение Гурса" (Goursat distribution) относится к работе [22], в которой Э. Гурса исследовал эти распределения. Его предшественниками были Ф. Энгель и Э. Картан [15]. Изучению условия (3) (иногда это условие называют условием Гурса — Картана) были посвящены две основные работы [28] и [19], в которых изучались дифференциальные системы Пфаффа с аннигилятором, удовлетворяющим условию Гурса. В конце XX века распределения Гурса стали объектом пристального изучения геометров, среди которых Р. Монтгомери, P. JT. Брайан, М. Житомирский, П. Мормул и многие другие.

В проблеме изучения и классификации распределений Гурса важную роль играет понятие их эквивалентности. Два глобальных распределения на многообразии Z называются эквивалентными, если существует глобальный диффеоморфизм Z на себя, переводящий одно распределение в другое. Естественным путем (с использованием ростков распределений) определяется локальная эквивалентность распределений.

Диффеоморфность распределений Гурса определяется их особенностями. Ф. Энгель, Э. Гурса и Э. Картан изучали флаги Гурса и установили их каноническую форму, которую они имеют в неособых точках многообразия Z. Не так давно А. Кумпера, К. Руиз и П. Мормул обнаружили, что у распределений Гурса могут быть особенности и их число довольно быстро растет с ростом размерности исходного пространства.

В ряде работ [34, 35] наряду с последовательностью распределений D^ рассматривалась последовательность распределений, построенная несколько иным образом:

Д = Д-1 + 1ДА-1].

В этом случае особенности распределений Гурса определяются в терминах векторов роста. Малым вектором роста распределения D в некоторой точке z Е Z называется последовательность [п1,п2,пз,.] размерностей в точке z G Z растущего флага Dni С D„3 С Аг3 С . (щ = к). Точки многообразия, где малый вектор роста имеет вид [к, к + 1, к + 2,., т], называются неособыми точками распределения Гурса. Точки, в которых это условие не выполнено, называются особыми, их множество — особенностью распределения Гурса.

Возникло предположение о том, что малый вектор роста вполне определяет особенность распределения Гурса, то есть два ростка распределения Гурса в некоторой точке z эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые малые векторы роста в этой точке 2. П. Мормул показал, что эта гипотеза справедлива для s < б, но неверна для s > 6. Тем не менее, если два распределения Гурса в некоторой точке z €Е Z локально эквивалентны, то они имеют в этой точке одинаковые малые векторы роста. Обратное неверно.

Число gr(s) всевозможных малых векторов роста для распределений Гур-са фиксированной коразмерности s = га — к является конечным. П. Морму-лом была получена следующая таблица для сравнения gr(s) с числом or(s) неэквивалентных ростков в пространстве всех ростков распределения Гурса той же коразмерности s:

5 2345678 9 or(s) 1 2 5 13 34 93 оо оо gr(s) 1 2 5 13 34 89 233 610

П. Мормулом [34] было доказано, что gr(s) для всех 5 является числом Фибоначчи с номером (2s — 3).

Хорошей моделью для изучения распределений Гурса является задача об управлении движением тягача с п прицепами. Оказалось, что управляемая система этой задачи, имеющей простой и важный механический смысл, порождает распределение, являющееся распределением Гурса, более того, она порождает универсальный набор, моделирующий все возможные особенности абстрактных распределений Гурса. Результаты в этом направлении были получены Ф. Жаном [23], О. Сордаленом [36], Ф. Люка и Дж.-Дж. Райслером [31], а также Р. Монтгомери и М. Житомирским [33], для распределений Гурса, соответствующих кинематической модели движения тягача с прицепами.

В работе [23] Ф. Жаном было доказано, что распределение, порожденное задачей о тягаче с прицепами, удовлетворяет условию Гурса. Следующий важный результат был сформулирован в работе [33]: локальная классификация распределений Гурса, соответствующих кинематической модели движения тягача с п прицепами, и локальная классификация произвольных флагов Гурса длины (п + 1) — это одна и та же задача.

Дадим общую постановку задачи о движении тягача с п прицепами.

В плоскости хОу с постоянной по модулю линейной скоростью v движется тягач L, к которому последовательно присоединены с помощью жестких тяг п прицепов Pi,.,P„ ("поезд"). Обозначим x(t), y(t) координаты последнего прицепа в момент времени t. Положения тягача и всех остальных прицепов однозначно определяются координатами x(t), y{t), длинами тяг и следующими углами: 0n(t) — угол между вектором линейной скорости тягача и осью Ox, 0ni(O — Угол межДУ тягой P\L, и осью Ох, ~ угол между тягой Рк-\Рк и осью Ох. Управление осуществляется заданием угловой скорости u(t) тягача, управляющий параметр и удовлетворяет ограничению |u| ^ а, где а — константа, причем а > 1. Длины всех тяг считаются равными 1.

Движение поезда описывается следующей системой (п + 3) дифференциальных уравнений: п х = v cos во П cos(0j — Oj-i); j=i n у = v sin 6q ]Q cos(dj — 6j-1); j=i . n

6k = v sin(^jfc+i - вк) П cos(0j - Qj-1), к = 0, . ,n - 2; j=k+2

9n = u.

Ставится задача управления: найти управляющую функцию u(t), с помощью которой вся система перейдет из заданного начального состояния на некоторое многообразие цели за кратчайшее время.

Кинематическая модель движения тягача с п прицепами может быть описана при помощи 2-распределения Гурса на R2 х Tn+1, где Т"+1 — (п + Замерный тор, порожденного двумя векторными полями [18, 36, 23]: jq = (0,0,0,0,.,!);

X2n = (cos0o/o", sin60fS,sin(0i - 0О)Я\ • • •, sin(0n - 0„-i)/J), где/Г= П cosft-- »<n-l, # = 1. j=i+l

В работе [33] был получен следующий важный результат: в модели тягача с п прицепами появляются все ростки распределения Гурса коразмерности (п+1). А именно, любой росток D произвольного 2-распределения Гурса на Мп+3 эквивалентен ростку распределения, натянутого на (Х^Х^) в некоторой точке р = p(D) из R2 х Tn+1. Более общо, любой росток произвольного к-распределения Гурса на Rfe+n+1 эквивалентен ростку распределения span{Xf, Х%} 0 Шк~2 на R2 х Tn+1 х R*"2.

Более наглядно этот результат выглядит так: любая особенность распределения Гурса коразмерности (п + 1) соответствует некоторой конфигурации, в которую могут выстроиться тягач и его п прицепов.

Исследование задачи об оптимальном управлении движением тягача с прицепами естественно начинать с помощью принципа максимума Понтрягина.

Принцип максимума. В середине 1950-х годов JI. С. Понтрягин сформулировал необходимое условие оптимальности для задач оптимального управления с произвольными ограничениями на значения управляющей функции. В случае линейных систем принцип максимума впервые был доказан Р. В. Гамкрелидзе в 1957 году. Общая теорема была доказана В. Г. Болтянским (в рамках семинара JI. С. Понтрягина) и опубликована в 1976 году в книге [И].

Для задачи быстродействия принцип максимума формулируется следующим образом.

Будем считать, что допустимые управления u(t) — измеримые функции со значениями из Кг, допустимые траектории z(t) — абсолютно непрерывны.

Пусть оптимальное управление u(t) за наименьшее время переводит точку т-мерного пространства z(t) вдоль траекторий системы = /(*,») (4) из положения zq на многообразие В = {z : F(z) = 0}. Введем функцию Понтрягина H(z,ip,u) = <pf(z,u). Тогда для пары функций (u(t),z(t)) выполнено следующее условие: существует нетривиальная функция <p(t), удовлетворяющая системе dt dz ' и условиям трансверсальности

5)

V? 6 ттв = (6) такая, что г=1

H(z(t),v(t)Mt)) = тахЯ(1(0,^),«). (7) иеи

Здесь £(£) — оптимальная траектория, max Я называется гамильтонианом.

Допустимое управление u(t)}to < t < t\ и соответствующую ему траекторию z(t),z(to) = zo назовем экстремалью Понтрягина, если существует такая функция </?(£) — решение системы (5), что они все вместе удовлетворяют условию (7). Принцип максимума гласит, что каждое оптимальное управление является экстремалью Понтрягина. Поэтому задача оптимального управления сводится к нахождению экстремалей Понтрягина и выделению среди них оптимальной. Если в задаче оптимизации оптимальное управление существует, а экстремаль Понтрягина единственна, то она и дает решение задачи оптимизации.

Вычисление оптимальных управлений с помощью принципа максимума Понтрягина можно проводить следующим образом. Из условия максимума для произвольных z, (р, t находится функция и = u(z,(p,t), которая подставляется в систему (4)-(5). Таким образом получается система из 2п дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Описанная процедура легко реализуется, если в условии (7) максимум в правой части достигается в единственной точке и £ U. Может, однако, случиться, что функция H(z(t),<p(t),u,t) совсем не зависит от параметров и или же ее максимум достигается в нескольких точках. Если единственность максимального значения нарушается в изолированных точках траектории z(t), то они называются точками переключения. Если же этот эффект имеет место на некотором отрезке кривой z(t), то управления u(t), to < t < t\, вдоль которых они реализуются, и соответствующие им траектории называются особыми на этом отрезке.

Ситуации, в которых были обнаружены особые управления, встречаются в задачах ракетодинамики, космической навигации, электротехники, металлургии, математической экономики и т. д.

В работах А. Миеле [10] были исследованы особые экстремали двумерных задач, относящихся к динамике движений ракет. Д. Ф. Лоуден, исследуя задачу полета тела переменной массы в Ньютоновском поле тяготения одного притягивающего центра, обнаружил особые экстремали Понтряги-на — траектории промежуточной тяги или "спирали Лоудена" [9]. В связи с практической важностью такого рода траекторий многие авторы сосредоточили усилия на вопросе об их оптимальности. В 1964 году Г. Келли [24] нашел необходимое условие оптимальности второго порядка для особых экстремалей. Но оказалось, что для спиралей Лоудена условие Келли выполнено и вопрос об их оптимальности по-прежнему оставался открытым. Условия Келли были обобщены целым рядом авторов: Р. Е. Коппом — Г. Дж. Мойером [26], X. М. Роббинсом [12], К. Маршалом [32] и другими. В результате было установлено, что для автономных задач спирали Лоудена неоптимальны, а для задач с фиксированным временем среди особых экстремалей есть оптимальные (например, так называемая обратимая дуга Маршала).

Важную роль в вопросах оптимальности особых экстремалей играет понятие их порядка. Поясним, что имеется в виду.

Пусть имеется экстремальная задача со скалярным аффинно входящим управлением и:

Z = fo(z) + ufi{z).

Здесь функция Понтрягина Н = H(z,(p,u) зависит от одномерного управления и G U С R, |u| ^ щ, #i — коэффициент при и в функции Н. В этом случае, если Hi ф 0, то условие максимума Понтрягина й = maxН(z, <р, и), определяет управление и как функцию от переменных иеи z, <р по формуле: и = щ sgn#i.

Если же Hi = 0 на некотором интервале времени t £ (т1,гг) траектории (z{t),(p(t)), то максимум по и (нестрогий) достигается при любом и € [—«0,1/0]» т0 есть условие максимума функции Понтрягина однозначно не определяет значение оптимального управления. При этом траектории 7(£) = (z(t),(p(t)), для которых Hi = 0 на некотором интервале времени (т-!, тг), называются особыми на этом интервале.

В [25] было доказано следующее необходимое условие оптимальности особых траекторий — условие Келли:

Kbit)) = (-i)<±fLHlMt)) < о

Пусть 7°(£) — особая на интервале (тьтг) траектория. Если существует такое к, что в точках траектории 7°(t) на (ti,T2) выполняются следующие условия:

Г^Я1(7) = 0, * = 0,1,., 2,-1; д Sq

1(7)^0, l dudt то к = 2q, где q € Z. Тогда число q называется порядком особой траектории (local order). Если же эти условия выполняются не только в точках траектории, но и для всех 7 из некоторой открытой окрестности этой траектории, то говорят, что траектория 7°(f) имеет существенный порядок q (intrinsic order).

Экстремали, обладающие счетным числом точек переключения управления на конечном интервале времени, называются экстремалями с учащающимися переключениями, или четтеринг-экстремалями, а соответствующие управления — четтеринг-режимами. Впервые такой пример был приведен А. Т. Фуллером в I960 году [13]. В случае особых траекторий второго порядка стыковка особых экстремалей с-неособыми происходит .с «чсттеринг^-режимом. Теория1 четтеринг-режимов развивалась в работах И. Купки [29] и более подробно в работах М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова [4]—[7]. Позднее вопрос об условиях оптимальности высшего порядка на особых экстремалях оторвался от породившей его задачи космической навигации и превратился в самостоятельный раздел математической теории оптимального управления.

В работах Б. С. Гоха [21] техника, аналогичная конструкциям Г. Келли, Р. Коппа — Г. Мойера, была перенесена на системы с многомерным управлением. В работах А. Кренера [27], Р. В. Гамкрелидзе — А. А. Аграчева [2], А. А. Милютина — Е. С. Левитина — Н. П. Осмоловского [8] примерно в одно и то же время для оптимальности были сформулированы (хотя и в разных терминах) общие условия высших порядков. При этом в работах Кренера и Гамкрелидзе — Аграчева развивалась геометрическая теория особых экстремалей, в работах Милютина — Левитина — Осмоловского использовались, в основном, методы функционального анализа.

В работах М. И. Зеликина (см., например, [5]) развивался геометрический подход к задачам оптимального управления. Исследовались аффинные по управлению задачи, которые были сведены к геометрической форме, а именно к задаче минимизации интеграла от дифференциальной формы и на траекториях, удовлетворяющих дифференциальным включениям z € K{z), где K(z) — распределение конусов в касательных плоскостях фазового пространства. Необходимые условия оптимальности были сформулированы как условия обращения в нуль дифференциальной формы dto. Этот метод позволял явно выделять особые экстремали Понтрягина, на которых выполняется условие типа условия Гоха. В работах М. И. Зеликина — В. Ф. Борисова (см., например,[7]) было показано, что особые экстремали являются аттракторами окрестных оптимальных траекторий.

Краткое содержание диссертации. Целью данной работы является установление связей между геометрической теорией распределений Гурса и условиями оптимальности особых траекторий.

Работа сосхоит из введения и трех глав.

В первой главе для удобства и замкнутости изложения приводятся формулировки основных понятий, фактов, теорем, касающихся теории распределений Гурса и их особенностей. Формулируется постановка задачи оптимального управления движением тягача с произвольным числом прицепов.

Вторая глава является основной. В ней подробно изучается задача о тягаче с двумя прицепами. Построены фазовые портреты управляемой системы. Найдены все особенности распределения Гурса — поверхность Г = Г+ U Г. Даны определения особых траекторий задачи оптимального управления, их порядка, особых многообразий. Исследована геометрия особого многообразия М\ первого порядка: доказано существование особых траекторий первого порядка, найдена размерность особого многообразия, доказана его гладкость, изучены свойства проекции этого многообразия на фазовое пространство.

Теорема 2. 1) Поверхность Mi является С°°-гладким многообразием с естественной гладкой структурой в расширенном фазовом пространстве. При этом codim М\ = 2.

2) Сужение на М\ отображения тг : Е —Z, проектирующего точку (г, ф) Е Е в точку z = (х, у, во, а, (3) £ Z, является сюръективным отображением itМх ' М\ —> Z с ненулевым якобианом.

Исследовано многообразие траекторий, которые являются особыми траекториями первого порядка и одновременно лежат на многообразии особенностей распределения Гурса.

Теорема 3. Поверхность Mi П Г+ является С°°-гладким многообразием с естественной гладкой структурой, индуцированной из расширенного фазового пространства. При этом codim М\ П Г+ = 4.

Следуя работам Зеликина — Борисова, приведены определения кусочно-гладкого лагранжева многообразия, кусочно-гладкого поля экстремалей. Приведена формулировка достаточного условия оптимальности в терминах поля экстремалей, порожденного кусочно-гладким лагранжевым многообразием. Изучается произвольная особая траектория первого порядка, которая целиком лежит на многообразии особенностей Гурса. Рассмотрены кусочно- гладкие лагранжевы многообразия с поверхностями разрыва производных. Доказано, что поверхность разрыва сама является гладким многообразием. Построено кусочно-гладкое поле экстремалей, содержащее данную траекторию. Доказана следующая теорема о локальной оптимальности особых траекторий:

Теорема 7. Любая особая траектория первого порядка 7(t) в задаче о движении тягача с двумя прицепами, идущая по особенности распределения Гурса, является локально оптимальной.

Третья глава посвящена обобщению результатов, полученных во второй главе, на случай произвольного числа прицепов. Найдены некоторые особенности распределения Гурса. В этом случае доказано существование особых траекторий первого порядка, установлена гладкость особого многообразия Mi первого порядка, изучены свойства проекции этого многообразия на фазовое пространство.

Теорема 8. 1) Поверхность М" является С°°-гладким многообразием с естественной гладкой структурой в расширенном фазовом пространстве. При этом codim Mf = 2.

2) Сужение на М" отображения тг : Е Z, проектирующего точку (z; ф) € Е в точку z = (x^^o^ai,. ,ап) (Е Z, является сюръективным отображением пм? ' М™ —у Z.

Исследовано многообразие траекторий, которые являются особыми траекториями первого порядка и одновременно лежат в многообразии особенностей Гурса.

Теорема 10. Поверхность Mf П Г+ является С°°-гладким многообразием с естественной гладкой структурой, индуцированной из расширенного фазового пространства. При этом codim М" П Г+ = 4.

Доказана теорема о локальной оптимальности особых траекторий: Теорема 13. Любая особая траектория первого порядка 7(£) задачи движения тягача с п прицепами, идущая по особенности распределения Гурса, является локально оптимальной.

В последнем параграфе коротко рассмотрена задача об управлении угловым ускорением тягача с прицепами. Для этой задачи доказано существование особых траекторий второго порядка, доказана гладкость особого многообразия второго порядка, изучены свойства проекции этого многообразия на фазовое пространство. Система принципа максимума Понтрягина сведена к полуканонической форме в смысле Зеликина — Борисова, которая дает теорему существования экстремальных четтеринг-режимов:

Теорема 16. В задаче о движении тягача с п прицепами в случае быстродействия и управления угловым ускорением тягача, существуют экстремали с накоплением переключений и выход на особый режим может осуществляться лишь посредством режима с накоплением переключений.

1. Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Симплектическая геометрия и необходимые условия оптимальности // Матем. сб. 1991. 182. № 1. 36-54.

2. Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия //Матем. сб. 100. (142) :4.1976.610-643.

3. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости // М., 1976.

4. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений // Итоги науки и техники. 2002. 90. 5-189.

5. Зеликин М. И. Гессиан решения уравнения Гамильтона-Якоби в теории экстремальных задач // Матем. сб. 2004. 195. № 6. 57-70.

6. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1991. 197. 85-166.

7. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики // Современная математика и ее приложения (Ин-т кибернетики Академии наук Грузии). 2003. 11.

8. Левитин Е. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // УМН. 1978. Т. 33. № 6. 85-148.

9. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М. Мир, 1966.

10. Миеле А. Теория оптимальных аэродинамических форм. М. 1969.

11. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Наука, 1976.

12. Роббинс X. М. Оптимальность активных участников промежуточной тяги траекторий ракеты. // Ракет, техника и космонавтика. 19С5. 3. № 5. 139-145.

13. Фуллер А. Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Тр. I конгр. ИФАК (М.,1960), М. 1961. 2. 584-605.

14. Bryant R. L., Hsu L. Rigidity of integral curves of rank 2 distributions // Invent. Math. 1993. 114. 435-461.

15. Cartan E. Les systemes de Pfaff en bandera. 1885.

16. Cartan E. Sur l'equivalence absolue de certains systemes d'equations differentielles et sur certaines families de courbes // Bull. Soc. math. France. XLII (1914). 1-36.

17. Engel F. Zur Invariantentheorie der Systeme von Pfaffschen Gleichungen. BerichteVerhandl. Konigl. SachsischenGesell. Wiss. Math.-Phys. Kl. 41.1889.

18. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P. On differential flat nonlinear systems // Proc. of the IFAC Non linear Control Systems Design Symposium. 1992. Bordeaux, France. 408-412.

19. Gaspar M., Kumpera A., Ruiz C. Sur les systemes de Pfaff en drapeau//1983.

20. Giaro A., Kumpera A., and Ruiz C. Sur la lecture correcte d'un resultat d'Elie Cartan // C. R. Acad. Sci. Paris. 1978. 287, ser.I. 241-244.

21. Goh B. S. // SIAM J. Control. 1966. 4:4. 716-731.

22. Goursat E. Lecons sur le probleme de Pfaff // Hermann, Paris, 1922.

23. Jean F. The car with n trailers: characterisation of the singular configurations // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1996. 1. 241-266.

24. Kelley H. J. A second variation test for singular extremals. // AIAA J. 1964. 2. № 8. 1380-1382.

25. Kelley H. J., Kopp R. E., Moyer M. G. Singular extremals // Topics Optimiz. — N.Y.: Acad.Press. 1967. 63-101.

26. Kopp R. E., Moyer H. G. Nessesary conditions for singular extremals // Ibid. 1965. 3. № 8. 1439-1444.

27. Krener A. J. The high order maximal principle and its application to singular extremals // SIAM J. Control 15:2. 1977. 256-293.

28. Kumpera A., Ruiz C. Sur l'equivalence locale des systemes de Pfaff en drapeau // Gherardeli F. (Ed): Monge-Ampere Equations and Related Topics, Florence, 1980; 1st. Alta Math. F.Severi, Rome, 1982, 201-248.

29. Кирка I. Geometric Theory of extremals. Fuller phenomenon. Proc. XXIV Conf. Decision and Control Theory, Birkhauser, Boston, 1990. 129-142.

30. Lewis R. Definition of order and junction condition in singular control problem // SIAM J. Control and Optimization. 1980. 18, № 1. 21-32.

31. Luca F., Risler J.-J. The maximum of the degree of nonholonomy for the car with N trailers // Proc. of the 4-th IFAC Symposium on Robot Control. Capri. 1994.

32. Marchal C. Second-order test in optimization theories // J. of Optimization Theory and Applications. 1975. 15. № 6. 633-666.

33. Montgomery R., Zhitomirskii M. Geometric approach to Goursat flags // Ann. Inst H. Poincare Anal. Non Lineare, 2001. 12. № 4. 459-493.

34. Mormul P. Geometric classes of Goursat flags and the arithmetics of their encoding by small growth vectors // CEJM. 2005. 2(5). 859-883.

35. Mormul P., Cheaito M. Rank-2 distributions satisfying the Goursat condition: all their local models in dimension 7 and 8 // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1999. 4. 137-158.

36. Sordalen 0. Conversion of the kinematics of a car with n trailers into a chain form // IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1993.

37. Tilbury D., Laumond J.-P., Murray R., Sastry S., Walsh G. Steering Carlike Systems with Trailers Using Sinusoids // Proc. of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1992. Nice, France.

38. Zelikin M. /., Borisov V. F. Theory of Chattering Control. Birkhauser Boston: 1994.

39. Zhitomirskii M. Normal forms of germs of distributions with a fixed segment of the growth vector // Leningrad Math. Journal 2 (1991), 1043-1065.

40. Долгалева О. E. Особенности распределений Гурса в задачах оптимального управления // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 5. 34-39.

41. Майкова О. Е. (Долгалева О. Е.) Многообразие особых экстремалей в задаче управления тягачом с п прицепами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. № 3. 51-54.

42. Майкова О. Е. (Долгалева О. Е.) Субоптимальные режимы в задаче Фуллера // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2002. 236. 226-229.