Приближенное решение проблемы синтеза оптимальных систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

гТВ од

- 5 ДПР '393

Киевский университет имени Тараса Шевченко

На правах рукописи

Фоменко Александр Васильевич

УД{ 517.977.5

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛШ СИНТЕЗА ОШИМАЛЬШХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев - 1993

Работа вдполнена .в Запорожском индустриальном институте, Запорожском государственном университете и по месту прикрепления в Киевском университете имени Тараса Шевченко.

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор А.И.Егоров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н.Е.Кирин;

доктор физико-математических наук, професоор М.М.Хрусталев:

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Чикрий.

Ведувда организация - Институт математики и механики УрОШ. .

* ч

Защита состоится " £ " _1990 г, в 14ос

часов на заседании специализированного совета Д 068.18.16 при Киевском университете имени Тараса Шевченко 1252127, Киев, проспект академика В.И.Глушкова, 6, Киевский университет, факультет кибернетики, ауд. 40).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского университета.

Автореферат разослан " 23 " 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета канд. физ.-пат.наук

А.В.Кузьмин

ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Математическая теория оптимальных процессов управления и дифференциальных игр получила интенсивное развитие в последние десятилетия. Это связано с возникновением сложных задач космической и авиационной техники и о созданием эффективных производственных технологий. С появлением компактной и высокопроизводительной вычислительной техники стала возможной реализация сложных алгоритмов управления. Разнообразие идей и методов теории оптимального управления вызвано сложностью рассматриваемых задач. Редкое использование оптимальных систем и процессов в технике объясняется трудность» получения достаточно простых математических моделей, адекватных реальным системам и процесса!/, и использованием в большинстве случаев программных законов управления, которые не учитывают изменяющихся условий функционирования.

Во многих прикладных задачах только решение в форме позиционного управления является приемлемым и эффективным. Системы с обратной связью обладают лучшими функциональными качествами, способны работать в условиях неопределенности и противодействия, устойчивы к начальным и постоянно действующим возмущениям. Допускаемые зачастую при решении задач синтеза линеаризации математической модели и' (или) обратной связи не всегда оправданы при значительных отклонениях движений системы от некоторой заданной программы. Поэтому становится важной проблема синтеза для исходной, как правило, существенно нелинейной системы. Проблема синтеза особо остро проявляется при решении задач управления в условиях неопределенности, конфликта или кооперации нескольких управляющих воздействий. Математическая формулировка задач управления, учитывающая такие условия, наша

отражение в теории дифференциальных игр. Источником ее послужили реальные технические задачи, типичной из которых является задача о встрече движений механических систем.

Теоретические проблемы синтеза оптимальных систем управления и дифференциальных игр исследовались в трудах Л.С.Понт-рягина, А.М.Летова, Н.Н.Красовского, Р.Айзекса, Р.Беллмана, Дк.Лейтмана и др. (для класса сосредоточенных систем), А.Г.ф-тковского, А.И.Егорова, Т.К.Сиразетдинова, К.А.Лурье, Ю.С.Оси-пова, Ж.-Л.Лионса, Дж. Варга, П.К.С.Ванга и др. (для класса распределенных систем). Значительные успехи в аналитическом решении конкретных типов задач получены в работах Б.Н.Пшеничного, В.И.Коробова, М.И.Зеликина, А.И.Мороза, В.Ф.Кротова, К.Мерриэма и др.

Трудности аналитического решения позиционных задач приводят к необходимости применения приближенных методов .В настоящее время разработка численных методов синтеза относится к наиболее важным и перспективным областям прикладной математики. В втом направлении получены значительные результаты в работах Н.Н.Моисеева, В.И.Зубова, Н.Е.Кирина, В.И.Г^рмана, Ф.Л. Черноусько, А.Брайсона и Хо Ю-ши,Е.Р.Руал и др. Создание достаточно простых и надежных методов синтеза, основанных на применении ЭВМ, позволит осуществить множество эффективных приложений оптимальных систем управления в науке и технике.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке численных способов решения задач синтеза оптимальных систем управления сосредоточенными и распределенными объектами : динамических • систем . Значительное место в работе отведено исследованию вопросов устойчивости и управляемости систем. Основное внимание в проводимы: исследованиях сконцентрировано на конструктивно-

предлагаемого подхода, возможности описать основные этапы ения задачи синтеза для различных классов систем управле -по единой методике.

Методы исследования. В диссертации используется метод геза оптимального управления, основанный на регрессивном щипе Айзекса и параметрической конструкции семейства по-экстремалей. Экстремали поля выделяются принципом максиму-Тонтрягина или его обобщениями на соответствующие классы 14 управления. В качестве вспомогательных методов исполь-шы численные методы теории приближения и интегрирования псционных уравнений ^описываюи^сс поведение динамических си-0, методы оптимального управления, дифференциальных игр, эии устойчивости и управляемости.

Научная новизна. Проведенные исследования по выбранной • ! позволили получить, при некоторое ограничительных пред-жениях, следутацие новые результаты:

1. Введено, с привлечением теории интегральных многооб-й, понятие параметргоеского поля экстремалей для различных ¡сов задач управления. Исследованы вопросы существования

х полей.

2. Разработан конструктивный способ построения поля экс-алей на основе регрессивного принципа и методов шогомер-теории приближения.

3. Предложены способы построения синтезируемых управлений аэличнын аппроксимациям полей экстремалей, основанные, на омерной интерполяции, "маяковых трассах" и тейлоровских ражениях, сферической идентификации и поверхностях уров-управления.

б

4. Разработана методика априорной и апостериорной оца ки точности управления при различных способах построения а нтезируемых управлений.

Кроме того, предложены способы восстановления функций пунова и нахождения области управляемости, основанные на мс де полей экстремалей. Для реализации процедуры построения < тезируемого управления разработаны вспомогательные численг способы и приемы. Они относятся к задачам многомерной теорт приближения (тригонометрическая интерполяция и сферическая идентификация) и численному анализу динамических систем (с собы численного интегрирования сингулярно возмущенных систе и систем с последействием й опережением, волновых уравнений по методу Даламбера).

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическо значение работы состоит в развитии теории синтеза оптимадьн систем и процессов с позиций вариационных полей экстремалей Прикладное значение диссертации заключается в создании един го подхода построения параметрических полей экстремалей дл различных классов задач управления. Подход позволяет достат чно просто конструировать алгоритмы вычисления синтезируемо го управления по этим полям и создавать соответствующие пак ты программных средств.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докл дывались на научных семинарах, республиканских, всесоюзных международных конференциях, в том числе, Всесоюзной школе "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" .(Кемерово, 136 Всесоюзной научно-технической конференции""Актуальные пробл ш моделирования и управления систем с распределенными пар

метрами" (Одесса, 1907), Всесоюзном совещании "Метода малого параметра" (Нальчик, 1987), 7 Ш 1РЛС \М}-гк$Нор ОП СопЬ чо£ арр£1са11оп$ о| попйпеаг рю^гапг1а^апс1ор11т1гаиоп

(Тбилиси, 1988), Международном советско-польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989), У1 Всесоюзном совещании "Управление многосвязными системами" (Суздаль, 1990), 1У Международной•конференции "Проблемы комплексной автоматизации" (Киев, 1990).

В полном объеме работа докладывалась и обсуждалась на кафедрах прикладной математики ДЦИТ, моделирования и оптимизации сложных систем КГУ, теорш дифференциальных "'равнений и управления XIV, уравнений математической физики МГУ, информационных систем управления ЛГУ, научном семинаре "Теория принятия решений" ИК АН УССР, в отделе систем управления ИММ Ур-о АН СССР.

Полученные в диссертации результаты были использованы в учебном процессе Запорожского госуниверситета в дисциплинах специализации "Системный анализ", "Оптимальное управление", "Вариационные методы математической физики","Численные методы оптимального управления" и в четырех дипломных работах.

• Публикации. Основные результаты опубликованы в 23 статьях, и тезисах.

Структура и объем работы. Дюсертация состоит из введения, 4-х • глав,, заключения, списка основной и дополнительной литературы из 298 наименований и содержит 285 страниц машинописного текста, в том числе, 34 рисунка и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность темы исследования, рассмотрены основные направления анализа проблемы синтеза с ука-

заниеы соответствующие источников, приведены основные методы исследования и дана аннотация глав и параграфов диссертации.

Глава I содержит результаты, которые, наряду с известными методами численного анализа, представляют базу для приближенного решения задач оптимального синтеза и использованы в последузов?« главах. В основе проводимых исследований лежит граничный диффеоморфизм многомерных областей и тригонометрическая интерполяция.

В §1 рассматривается задача многомерной тригонометрической интерполяции в ограниченной и односвязной области С с границей Ц, . Предполагается, что имеет параметрическое описание в полярных координатах

])= Яи), = , эеи

где и " открытый (п-1)-мершй интервал. Доказано утверждение, что при выполнении некоторых естественных предооложе -ний отображение I.{2=(0,1)яи—* &* вида

является С'-диффеоморфизмом, причем области & и С* отличаются не более чем (п-1)-мерным многообразием. Отображение I (граничный диф|Ьеомор«|изм) используется для решения задачи тригонометрической интерполяции функции нескольких переменных. Доказана формула обращения дискретного преобразования Фурье сеточной функции П. переменных

Ш) = 1г5Пп Т. т>1К)ехрык-х) = ии), Ухеш,,

к с К

&1к) = тт)ехр(1кх) П Н^, к£К, к х=к,х,+*кжхи.

■есь:

ш.=(х: х** = и^Ь^ , к'вК:

в %/К}, .....п).

случая равноотстоящих узлов интерполяции приведена оценка эешости тригонометрической интерполяции, основанная на шенстве Лебега. Рассмотрен также метод неопределенных ко-[циентов для интерполяции в неканонической области. Полу -I условие невырожденности матрицы коэффициентов системы нений, определяющей параметры интерполяции и найдена оце-сверху меры обусловленности этой матрицы. Построение численной схемы решения краевой задачи для ового уравнения в §2 основано на формуле Даламбера и фор-полученной из неё дифференцированием по временной первой 1 . Эти формулы записываются по временным слоям, а ции состояния и правых частей представляются с помощью рполяционных тригонометрических многочленов по системе ций, зависящей от типа граничных условий. Доказана теоре-б отсутствии погрешности метода для указанной вычислите-9 схемы для однородной краевой задачи при условии, что иьные данные задачи Шбираются из класса тригонометричес-даогочленов конечного порядка. Сделаны обобщения вычисли--шх схем на случаи неоднородных граничных условий, сосре-1енных и подвижных воздействий, для волновых уравнений с генными коэффициентами. Предложен подход к численному ре-1 квазилинейных уравнений с потенциальным оператором. ">н )ан на итерационной процедуре с проверкой консервативнос-:емы на каждом шаге.

В §3 для идентификации сингулярных поверхностей теории мзации использован способ интерполяции участками сфер и нереальной ориентации самих поверхностей и многообразий в

ней. Сингулярные поверхности считаются образованными семействами интегральных кривых канонической системы условий оптимальности. Получены оценки точности идентификации и приведена методика идентификации для автоматизации построений.

В главе П производится разработка метода конструирования синтезируемого управления. С использованием понятий теории интегральных многообразий сделано обобщение конструкций поля экстремалей на класс задач оптимального управления без ограничений и с ограничениями на управление и состояние. Дня реализации схемы синтеза в нелинейном и нестационарном случаях используются семейства полей экстремалей, зависящие от специального параметра р (коэффициента мощности поля). Дня повышения точности и упрощения расчетных формул поле экстремалей разбивается на трубки. Это осуществляется путем разбиения области В изменения параметра поля 2 . Разработанный подход позволяет решать задачи с терминальным многообразием цели размерности Щ. $ П.-1 , с фиксированным и нефиксированным временем окончания процесса управления.

В §1 управляемый процесс описывается дифференциальным уравнением

X = хе[? , иеЯг (1)

Ставится задача управляемого перевода системы (I) из заданного начального состояния на т -мерное гладкое многообразие И за фиксированное время и доставляющего минимум функционалу качества ?

(при Ш =0,11-1 фэо). Функции , ^ , ф - двавды непрерывно дифференцируемые по всем своим аргументам. Экстремалью задачи оптимального управления здесь и далее считается

решение канонической системы принципа максимума Понтрягина. В соответствии с общей концепцией.теории поля, если экстремаль -можно погрузить в некоторую' трубку непрерывного по начальным данным поля, то в этой трубке экстремаль доставляет абсолютный минимум функционалу.качества. Использование регрессивного принципа позволяет свести задачу построения поля к решению задачи Коим для канонической системы. Часть исходных данных (взятых при t=T) в этом случае остаются свободными. Способ их задания позволяет конструктивно (алгоритмически) решить задачу построения поля и синтеза по нему оптимального управления.

Под вар!ационным полем сфорзмулированнсй задачи понимается интегральное многообразие (ИМ) экстремалей Р - {(i ,Х) 1 X -ptt.S), 5e]]cRV 1б[0,Т] } , т.е. такое S-параме-тричёское множество, которое удовлетворяет условиям: I) отображение р - взаимооднозначное и непрерывное из D на Р , Vt s [0,*П ; 2) tank Ps » ЯН , Vie [0,т ) ; з) если

p(i„,S) е Р , t.«fo,T), то pit.S) е Р , t е Гв.ТЗ-

Конструктивное построение поля осуществляется вычленением из S векторов S £ D^tOiS^JTJe R'1""1"1 и SeD^R™ для задания вектора сопряженных переменных g(T) и положения Х1Т) на И . Зависимость Е IT) от S производится о использованием сферической "системы координат с параметром р в качестве радиуса.

о

Лемма . При условии варьируемости экстремали X (S =

и

tttflK

Y.it)

[Jl '

гх

= а

где Е - С0 j 11} . а I, , I г - единичные матрицы размером а-ПХ и Ш , соответственно, "Ц^ , - блочные

матрицы фундаментальной матрицы для линеаризованной сопряженной системы.условий оптимальности, в Б найдется окрестность "/"(Б*) ! для которой при фиксированном ])**])' семейство решений канонической системы образует поле, включающее X

Предложено несколько способов построения синтезируемого управления. Общей основой их является аппроксимация зависимости tLj.it) = ltj.lt,$) и установление взаимосвязи между X и ± , Э .1 способ (тригонометрической интерполяции) основан на выделении из периодической составляющей-, для

которой и применяется многомерная тригонометрическая интерполяция на равномерной по § сетке. При нахождении по информации о X значений 1 и 5 используется система соотно-

ах» х-х';" уш ¿* -х*-»II.

Указанная процедура построения повторяется для нескольких узловых по р полей. При реализации синтезируемого управления интерполяцией отыскивается то поле,к которому принадлежит экстремаль, содержался фазовую точку. П способ (синтез по "маяковым трассам") основан на применении форцулы Тейлора для отображения вектора состояния системы в сопряженный вектор. В качестве опорного решения для та'кого отображения выбирается ооимальное программное решение, полученное регрессивным образом и включенное в параметрически сформированное поле экстремалей. Ш способ (синтез по поверхностям уровней управления) наиболее эффективен в случае стационарных задач оптимального управления (требующим при реализации лишь одного поля экстремалей) и при плавном изменении управляющих воздействий. Отличительной особенностью способа является исполь-

кование информация о состоянии системы на программных решенное в моменты времени, соответствующие фиксированным значениям гровней компонент управления. При 17 способе формируется па-¡ет экстремалей по принципу заполнения области возможных на-ильных состояний системы управления. В качестве варьируемых гараметров выбираются не только компоненты вектора Э , но и р . Структура синтезируемого управления выбирается обычно в иде различных степенных форт от компонент состояния системы-неизвестными коэффициентами. Для их определения при расче-е пакета в дискретные моменты времени фиксируется информация состоянии и управлении. Составляется и решается методом на-меныпих квадратов система уравнений (как правило линейная), айденные значения коэффициентов используются в качестве уз-эвых при интерполяций пли сплайн-интерполяции на весь времё-юй отрезок управления.

В 52 предполагается, что ^ не зависит от 4: (автоно-сая система), И - 0-мерное и Ц. £ V , где ^ - ограни-шное замкнутое множество в Я . Идея использования поля I §1- остается применима и в этом случае. Информация о точках »реключения управления на экстремалях применяется для аппро-инации Л1ший и поверхностей переключения. При реализации -ей возникают следуицие трудности: I) способов задания пара-тров вариации и пределов их изменения; 2) нахождение крит'и-ских значений параметров, которые инициируют особые и ско-зящие режимы и метода исследования этих режимов; 3) устано-ение максимальных по длительности интервалов движения сис-мы без переключения? 4) нахождение значений параметров, эспечиватцих заданный допустимый закон, переключения управляя. . . *'...".■;.-■

Конструкция поля осуществляется с использованием сопряженных векторограмм вида

У,¿(Т)С05$,+ 8^81*5,, В^{Т)= 1{^1Т) С0$ 5г+ ^

где = 2 (Т ) и б^Я А^М - Вы-'

делены случаи регулярных и сингулярных полей переменной размерности. Доказаны следующие утверждения

Л е м м а I . Полный набор различных с позиции задачи быстродействия значений £(Т) задается выбором 5 е I)

Л е м м а 2 . Если в моменты переключения и. у

имеет хотя бы одну ненулевую компоненту, то с каждым регулярным переключением число компонент параметра 5 сокращается на единиц/, а зависимость Aj.IT) от 5 сохраняет прежний вид.

Теорема. Пусть выполнены сделанные предположения и условия лемм. Предположим, что при 5"5* все переключения и^, регулярные и Aj.IT) обращаются в нуль при

переключении Ц^, в моменты % ^ , , ... , , •

причем К <

где Ф(Т,т7) - фундаментальная матрица уравнения X ^ ~ = * 0 комитентами, вычисленными на экстремальном

решении (при ), а ф = ) . Тогда, ес-

ли моменты Т ^ , I е 1, к не совпадают с моментами переключений Ц ^ , I * ^ , найдется такая окрестность/^'), для которой семейство экстремалей образует регулярное поле.

Построение синтезируемого управления, осуществляется с

привлечением маяковых трасс и иногообразий переключения.

Для задач с фазовыми ограничениями (§3) постановка §1 дополняется условиями Ш) Ш^М.ХКО

ЗОН)' = 0 , ?7Й . В результате условия оп-

тимальности пополняются условиями скачка в моменты выхода траектории системы на активные ограничения. При нахождении синтезируемого управления используется комбинация параметрических полей центрального (ЩЮ при Л1 = О или трансверса-льного (1П) при ГП 2 { и тангенциального (КП), построение которых осуществляется,как и ранее,от множества цели. Экстремали КП "окаймляют" при этом фигуру ограничений, а стыковка полей разных типов производится по линиям касания экстремалей ЦП (ГО) с фигурой ограничений. Приведены условия существования1 комбинации полей.

Комбинированные поля экстремалей используются также при реиении разрывных и сингулярно возмущенных "задач управления (§4). При формулировке разрывной задачи полагается, что функция £ непрерывна на всей" области определения за исключением (П -1) -мерной поверхности У; ^Р 6 & » на которой допускаются разрывы первого рода, и что на выполняется условие "прошивания" £ 1гп Ш ' Ш > О

(¡1 у-* 1о

При И 0-мерном ЦП переходит на ¡Р в ТО специального вида. Приведены условия существования комбинированного поля. Синтез управлений осуществляется путем аппроксимации полей по семейству экстремалей с помощью изохронных поверхностей. В ТП отсчет временной переменной производится от момента схода фазовой точки с поверхности ^ <. Идентификация изохронных поверхностей совершается методом степенной интерполяции.

Задача оптимального управления сингулярно возмущенной системы описывается соотношениями

Х- Jtt.X.y.U). ^tt.X.^.U), -t€U.,T], (5)

XeR? y.eR'! ueR?0<S«i, J(U)=GlXlT),^lT))-mln.

Для решения задачи синтеза используются комбинации медленных (регулярных) и быстрых (сингулярных) полей экстремалей. Основной акцент исследования сделан на методах получения аналитических и приближенных решений задачи Коши или краевой задачи. В основе предложенного подхода лежит способ установления для разделения движений системы^ Этот способ включает процедуру замены переменной i одной из компонент состояния для частных решений. Так для автономной динамической системы, описываемой уравнением V ~ F(D-) , VeRn установившееся движение (УД) соответствует-решению, зависящему явно или неявно от одной из компонент V"K , К е 1, П. как от независимой переменной. Замена t на U"K осуществляется с использованием дифференциального соотношения ÛK = Л »

Л - COnSi (для линейных систем ÛK = А Я?"к > ). Понятие УД распространяется также на случай неавтономных систем и сингулярно возмущенных систем. Для анализа УД и выделения регулярных и сингулярных составляющих решений привлекается метод диаграмм Ньютона.

Для перенесения результатов, полученных в главе П на случай распределенных систем управления (глава Ш) вводится в рассмотрение бесконечномерное параметрическое поле.

В §1 объектом исследования служит распределенный колебательный процесс, описываемый уравнением

Uu+ Au + jm.u.u^ptyxe^R^-HZ-foj], (I)

где Д е (V —V ) - линейный ограниченный самосопряженный и положительно-определенный оператор, V » V" - компоненты оснащенного гильбертова пространства, £ - замкнутый мэ-нотонный оператор. Ставится задача д&шимизации функционала качества Т. . , г

на классе управлений р, р^ е |_,М2 '» Н ) •

Под вариационным полем сформированной задачи (I), (2) понимается ИМ Р={(*;,0): 6=0^,5), $ £ (2 , * £ 2 , Э = тЭ'-Щ.Ы^), = 1^)} удовлетворяющее ус-

ловиям: I) отображение л^ = фИг.Э) определяет гомеоморфизм 13 на фазовое пространство элемента ф , а отображение ||= ^ ("Ь;5) - однозначное V 4 е 7. ; 2) отображение г^ обратимо V "I 6 Ъ ; 3) для всякой компоненты -О* элемента 9 из условия лН*0,$') : ВН:,^) е Р следует 8М6 € Р ( 0(1,5) содержит компоненту гН^.З) ), V ^е £ £. В определении (9 - подпространство гильбертова пространства вещественных числовых последовательностей £1 , а -сопряженная переменная.

При исследовании вопросов существования локальных полей 1ривлечены сведения из теории полугрупп. Конструктивное построение поля осуществляется по методу Галеркина, а при задании терминальных условий используется представление функций ряда-т Фурье. Предложены три способа реализации синтезируемого травления, основанных на сферической и тригонометрической штерполяции и маяковых трассах.

В §2 полученные результаты распространяются на системы ; последействием (35ДУ)

1Ь

Х= 111, X* и.)„ <3)

где .-К »2 г>0-С0П$4,Х€ Я"

IX € I/ , и - класс кусочно непрерывных функций на { £ ,

Т ~11 со значениями в Ят . Отображение £ явно зависит от ^^ДЧ.Ц и X4 . Качество

управления оценивается функционалом т

Отображения ^ , С|. , Ц1 считаются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми до второго порядка включительно по всем аргументам. Дифференцируемость по понимается в смысле,Фреше. Рассмотрен вопрос существования локального поля екстрецалей. Предложен способ конструктивного построение параметрического поля экстремалей, основанный на тригонометрической интерполяции состояния системы. Значительное вникание уделено разработке численной схемы интегрирования ЗФДУ в прямом и обратном времени. Отличительной особенностью полученной схемы является учет согласованности переменных состояния системы и изменение гладкости решения с приращением переменной ^ на величину кратную % . Шаги интегрирования выбираются равными 1 и на каздом шаге производится согласование переменных состояния. Доказана

Лемма . Цусть £ имеет производную Фреше до К -го порядка по X* и принадлежит классу С * по I . Тогда решение ЗВД7 принадлежит классу С4 . Ч ф ~ 1 при ^ € «[А+^-ОТ.й+^г] и при условии, Что £<К+4 .

Интерполяционное описание поля, и реализация синтеза осуществляется по следующей схеме. Устанавливается при фиксиро-

ванном ^ взаимооднозначное соответствие между оценкой тег»

кущего состояния X и оценкой терминального состояния Б (методом линейной интерполяции), а затем устанавливается однозначное соответствие Ц от 3 по методу степенной интерполяции, как тензорного произведения одномерных фундаментальных алгебраических многочленов. Выкладки вначале проводятся для стационарного случая при фиксированном , а затем обобщаются на нестационарный случай интерполяцией.

Объектом управления в §3 служит волновой одномерный процесс в неоднородной полуограниченной среде

Ц.и- С (С )х = 0 , -ь > о , х> 0 (б)

с граничными условиями двух видов 11(1,0) = ^И) и 11^(1,0)= = т?!!) . Здесь: С = СIX) >0 - кусочно-непрерывная , а на участках непрерывности и липшицева, ограниченная функция; ^Н) , Ш - управления, кото^ие выбираются из условия оптимального по времени гашения приходящей волны. Построение граничного синтеза проводится с использованием метода Далаыбера, в полной мере учитывающего физику процесса. Это позволяет определить управления в явной форме и только через граничное состояние колебательного процесса. С позиций энергетических понятий рассмотрен вопрос корректности синтезируемого управления.

В отличии от постановки задачи в §1 в §4 управление входит в граничные условия. Оператор Д эллиптического типа порядка 2 ГП , а управление входит в граничный оператор (по границе Гг ) (2Ш -1)-го порядка и выбирается из класса НЧО.Т; Ьг(Гг)) , где через Н обозначено функциональное пространство Соболева. Исследование вопросов существо-

вания поля осуществляется с применением метода Галеркина. Линейная система, полученная из канонической системы дифференцированием по параметру S , преобразуется в бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и далее используются полугрупповые свойства операторов полученной системы.

В заключительной главе 1У рассмотрены различные приложения метода полей экстремалей и методов оптимизации в задачах управляемости, устойчивости и прикладных задачах управления системами с сосредоточенными и распределенными параметрами.

В §1 решается задача восстановления функции Ляпунова для управляемой автономной динамической системы, описываемой уравнением

X-f(XtU)i Що)»о, xeR* ULeR] ¿Но.ТЗ. U)

Используется связь между функцией Ляпунова и сопряженными пе-. ременными условий оптимальности 2 для .задачи стабилизации

ZL = - 3 ГУд^, LH,2,...,n,

Т

Y4t)-|j.U,U)iU +iliXlT)ll* —^ min.

Задача оптимальной стабилизации включает минимизацию функционала качества Т—*"00 . Из формул связи (2> (i) определяется интегрированием

1-1,2,3,..., а.

Для нахождения функций lpL из формулы функцию {f {)(") представлено в специальном виде и произведено сравнение п.-го уравнения системы (2) с остальными уравнениями системы. •

!етоды определения функциональной зависимости Ъ от X »,из-юженные в главе П имеют особенность, связанную с большим интервалом [0/П • Здесь учитывается стабилизация во времени ■коэффициентов зависимости (2) для остановки вычислительного троцесса.

В задаче исследования устойчивости численными методами зыделено два аспекта. Первый связан с формированием начальных зозмущений наиболее неблагоприятных по отношению к выбранной пере состояния и сводится к задаче стартового управления. Зторой связан с поиском наиболее неблагоприятного в заданной метрике текущего возмущения на систему. В §1 рассмотрен второй из названных гияге1сгйЗ для стационарной упругой системы и цля исследования устойчивости динамической системы на конечном интервале ггра шгтотйо действующих возмущениях, ,Цаны формулировки соответг©щт*а?а вариационных задач и проводится их анализ.

В параграфе" рЗФЗ#?рена также задача построения областей управляемости и ЮЮбявбяНЕ полей экстремалей. Под множеством управляемости погашается ,М) ^ 0 } > ГД0

- совокупность процессов управления {0, Т, X ('), Ц И) с у,, Х(ТИМ . Исходной задаче с интеграль-

ными ограничениями на управление Т

1(11) = ij.lt, И) * { , 1>0-СО.пЯ:

сопоставлялась задача оптимального, в смысле минимума функционала 1(1/.) » управления. Использовалось следующее очевидное предложение. Если Ц," решение задачи оптимизации и I (Ц.") = t , то множество фазовых точек X (0) образует границу множества управляемости при условии, что Х№) могут

быть включены в поле экстремалей. В соответствии с регресси ным принципом задача отыскания тожества управляемости О заменяется задачей отыскания множества достижимости. Коэф|и циенты мощности поля р в данном случае считаются зависли? ми от Б и выбираются в соответствии с условием = £

В общем случае граница множества управляемости включает три типа поверхностей: терминальную, боковую и торцевую. Основн< внимание в проводимом исследовании сконцентрировано на опре, лении торцевой поверхности. Она определяется либо условием 11Ц*) = , либо представляет огибаицую поверхность

поля экстремалей. Подробно анализируется последний.случай с привлечением теории дифференцируемых многообразий и теории ветвления. При некоторых ограничительных предположениях дот зана лемма устанавливающая условия пересечения соседних екс1 ремалей.

Последние параграфы главы посвящены численному решению задач синтеза систем управления с сосредоточенными и распределенными параметрами.

В §2 рассмотрены следующие задачи оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Первой исследс вана задача оптимального синтеза следящего вентильного элем ропривода. Применение вентильных преобразователей (ВТО в сис темах автоматического управления обуславливается их высокими энергетическими и регулировочными характеристиками и быстродействием. БП одновременно являются выпрямителями тока и уси лителяш мощности. С учетом упрощающих предположений математическая формулировка задачи описана соотношениями

X, = (£(и) - Х,)/Т,, Х4/Тм, X, = ИрХ,, [о,Т]

Формирование пакета оптимальных программных решений производилось вариацией значений £г (Т) . Н5(Т) • Пакет использовался для сбора информации о поверхностях переключения (в том числе и на особый режим) и для установления функциональной зависимости между Х<(0) , Х1(0) и Ег(Т),2,(Т) (в форме соотношений интерполяции) с целью обеспечения условий X, 1о)= а0 , хг(0) в0 . Идентификация поверхностей переключения производилась способом сферической интерполяции и трансверса-льной ориентации.

Задача оптимального синтеза режима остановки реактора исследована в следующей постановке

х4»ах, + би-сх.-г^и., Хг-ал+ч,и, -ию.Т*] 0«и«2, * «Го,Т 1, и»о, I в [Т, Г], Т ■< Т: х, пиитах х,Ш , *«[0,Т], а,8,сД,а,-аш{.

Для нахождения линии схода с фазового ограничения использовалась итерационная процедур. Линии переключения управления описывались линейной интерполяцией.

Шла исследована также задача оптимального управления и оценивания процесса дозирования комбикормов. Математическая формулировка после ряда преобразований и упрощений свелась к

сл едущей

Пакет экстремалей использовался для аппроксимации релейной зависимости. Для повышения качества функционирования системы управления производилось оценивание компонент состояния. Помехи измерениям считались стационарными случайными процессами,'включающими наряду с обычными шумами и редко появляющиеся, мощные помехи. Оценивание осуществлялось методом фильтрации по Калма-ну. , ; ' "

В §3 осуществляется численное решение задач управления , с распределенными параметрами. Первой рассмотрена задача оп- . тимального управления локальным нагревом пластины.. Математическая модель процесса нагрева полосовой зоны описывается крае-

,«3«« ttt-4auttt„),.t«ie1T].tth4-o.

Управление ищется из условия минимума функционала У Т во

Jlp) = |-J(ll{T,X,0)-l{HX))1dx + Y'J J p*d.xdt, Г-const

-У в -»в

при ограничениях на управление и состояние вида

!pl*c., ulT.o.oj-c,, u IT, х,о)ь ф(х), (р1в)-сг, |U(t,0,0)-U|t,0,i)!6C, , ct,ctlc, -cons*.

На первом этапе проводился предварительный анализ одномерной краевой задачи с использованием соответствующих интегральных тождеств. На втором 'этапе подбором Т удовлетворялись наложенные ограничения. Для реализации полученного закона управления использовалось представление рЦ.Х) в форме Синтез сводился в этом случае к определению C^(t) и Т в текущий момент времени.

В задача управления сложными колебаниями исследовалось взаимодействие распределенных и сосредоточенных колебатель-

х звеньев. Математическая формулировка задачи описывалась отношениями _ - - т? ехр{-]Ч(11-у.)г} ЗЧХ-р).

а14,о)-иид)-о, $ + =

помощью метода Фурье и уравнения Вольтерра(при X - Р ) паническая система преобразуется в систему интегро-дифферен-альных уравнений переменной 4 . При расчете пакета экст- 1 малей в качестве варьируемых параметров выбирались величи-у,(Т) и коэффициенты Фурье начальных условий для

» • В имитационных расчетах использовалась простей-

я структура синтезируемого управления

' = в^и) у, + у, + и.(-Ь,р>.

Для обоснования численных способов, предложенных в рабо-, получены оценки точности. Это относится к многомерной три-юметрической и сферической интерполяции, численному интег-юванию сингулярно возмущенных систем, систем с последейст-:м и опережением, интерполяционным способам синтеза, синте-по маяковым трассам и по поверхностям уровня (для сосредо-генных систем). С естественными изменениями эти оценки мож-обобщить на другие типы систем управления.

Изложение теоретических вопросов во всех главах сопрово-.ется решением численных примеров. На этих примерах демонст-уется методика построения синтезируемого управления и тех-:огии проводимых вычислений. Основой проводимых расчетов жат результаты, полученные при решении соответствующих за: программного управления.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В работе систематически развивается направление, связан ное с приближенным решением задач оптимального синтеза детер минированных управляемых систем. В основе предложенного под хода лежит использование теории параметрических полей экстре малей. Большое внимание уделено исследованию вопросов сущест вования полей и анализу их как интегральных многообразий.

Разработан конструктивный способ построения полей путем применения регрессивного принципа к системе соотношений прин ципа максимума Понтрягина.и специального задания терминальны условий.

Показана применимость подхода для решения широкого клас са задач управления: без ограничения и с ограничениями на уп равление или состояние; разрывными и сингулярно возмущенными систем с сосредоточенными и распределенными параметрами; нес тационарными и нелийными; с фиксированным и нефиксированным конечным моментом времени и с многообразием цели различной- р змерности.

Предложены способы реализации синтеза по различным аппроксимациям поля экстремалей с применением многомерной интерполяции, сферической идентификации, "маяковых трасс" и тейлоровских отображений, поверхностей уровней управления.

Разработана методика оценки эффективности синтезируемых управлений для сосредоточенных динамических систем. Она включает этапы оценки точности аппроксимации полей экстремалей и различных способов нахождения синтезируемых управлений по тагам аппроксимациям.

Показана возможность применения метода теории полей экстремалей к приближенному решению, задачи восстановления функций Ляпунова управляемых нелинейных динамических систем. Исследована задача построения областей управляемости и глобальных полей экстремалей. Подробно анализируется (с применением теории дифференцируемых многообразий и теории ветвления) возможность пересечения экстремалей при нахоздении граничной торцевой поверхности. Уделено также внимание проблеме численной проверке динамической и статической системы на устойчивость.

Для иллюстрации теоретических положений и выявления эффективности построенных управлений проведено ряд численных расчетов на £Ш модельных систем с сосредоточенным и распределенными параметрами.

Для конструктивного построения синтеза наряду с известными методами численного анализа использованы модификации и обобщения методов многомерной интерполяции, интегрирования эволюционных систем, систем с последействием и сингулярно возмущенных систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Егоров А.И., Фоменко A.B. Об оптимальной стабилизации упругих систем II Динамика управляемых систем. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-е, IS79. - C.II2-I2I.

2. Егоров А.И., Фоменко A.B. Оптимальный синтез в задаче управления системой, описываемой уравнением гиперболического типа // Оптимизация систем с распределенными параметрами.-йгрунзе: Илим, IC80. - С.76-86.

3. Фоменко A.B. Вариационный метод н згдаче управления нели-

нейными колебаниями распределенной системы // Вестн. Харьковского ун-та; Механ., теория упр-я и матем. физика. -Харьков: Изд-во ХГУ, 1982. - № 230. - C.35-4I.

4. Фоменко A.B. Оптимальный синтез адаптивных систем // Метод функций А.М.Ляпунова в совр. матем.: Тез докл. Все -союз, научн. конф. - Харьков, 1986. - С.180.

5. Фоменко A.B. Восстановление функций Ляпунова управляемых систем // Там же. - С.77.

6. Фоменко A.B. Приближенный синтез оптимальных систем управления // Оптимальное управление. Геометрия и анализ: Тез. докл. Всесоюз. школы. - Кемерово, 1986. - С.49.

7. Фоменко A.B. Пристрелочный метод решения задач оптимального управления с пограничным слоем // Методы малого параметра: Тез. докл. Всесоюз. научн. совещ. - Нальчик, ISif7. -С. 151.

8. Фоменко A.B. Синтез оптимального управления сложными колебаниями // Актуальные проблемы модел. и упр-я систем с распределенными параметрами: Тез. докл. Всесоюз. научно-техшч. конф. - Киев, 1987. - С.98.

9. Фоменко A.B. Интерполирование стратегий дифференциальных игр в условиях неопределенности // Автоматика и телемеханика. - 1987. - Р 9. - С.44-50.

ю. Ejjotov-Ä.I., Fernen ко А. V. Соп-ко? ^ot й dampLag. pto^ajahv-n rnvez // 7 th IFAC Woikshop cn Conl-Юl appiicaUons o{ nonfineai piogiammina and. cp-UmiaaUon: Äiibacls. - Tfibsi, i98i.- Р. Ш-115.

II. Фоменко A.B. Приближенный синтез оптимального управления распределенными системами. - Киев, 1989. - 21 с. (Прел -ринт / /НУССР. Ин-т кибернетики: 89-16).

17. Фоменко A.B. Синтез оптимального управления с использова-

нием параметрического поля и тейлоровских отображений // Изв. АН СССР. Сер. техн. киберн. - 1989. - № 2. - С.75-79.

13. Алексеев Г.Ф., Фоменко A.B. Синтез оптимального управле -ния локальным нагревом пластчны // Матем. метода оптимального упр-я и их прилож.: Тез. докл. Мездунар. советско-по-ского семинара. - Минск, 1989. - С.135-136.

14. Фоменко A.B. Синтез оптимального быстродействия с использованием полей экстремалей переменной размерности // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1989. - W II. - С.23-26.

15. Фоменко A.B. Управление демпфированием распространяющихся волн в неоднородных средах//Автоматика.-1990,- IR2.-C.46-49.

16. Фоменко A.B. Построение множеств управляемости с использованием конструкций поля экстремалей//Уггр-е многосвязн. системами: Тез, докл. У1 Всесоюз. совещ.-Суздаль,1990.-

. C.IC3-I04. '"> .

[7. Фоменко A.B. Многомерная тригонометрическая интерполяция // Укр. матем. я-л. - 1990. - Р 4. - С.568-571.

С8. Фоменко A.B. Применение метода Даламбера в численном анализе Л ффференц. ур-я. - 1990. -IP6. - C.I067-I073.

С9. Фоменко A.B. Синтез оптимального управления разрывными системами с использованием комбинированных полей экстремалей // Изв. АН СССР. Сер. техи. киберн. - 1990. - № 3. -C.I93-ISP.

10. Фоменко A.B. Приложение теории поля экстремалей к гранично-управляемым задачам распределенными системами // Проблемы комплексной автоматизации: Тез. докл. 1У Мезвдунар. научно-техн. конф. - Киев, 1990. - С.97-101.

11. Фоменко A.B. Синтез оптимальных систем управления с последействием по полю экстремалей // Управление в механич. си-

стенах: Тез. докл. УИ Всесоюз. кокф. - Свердловск, 1990,-C.I07.

22. Фоменко A.B. Синтез сингулярно возмущенной системы управления с использованием медленных и быстрых полей экстремалей // Изв. АН СССР. Сер. техн. киберн. - 1991. - IP I. -С.57-61.

23. Фоменко О.В. Оптимальний синтез у задачах керування з фа-зовими обмекеннями // В1сник Ки'£вського ун1верситету. Ф1-зико-иатематичн1 науки. - Ки'Св: Либ1дь, 1991. - В, 2, -С. 57-61.

Закая 3S-SТираж 100 Подп. к печ. 29.CI.93 Ппдралделение оперативной полиграфии ЗЦНТЭИ