Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи 4839921

Урывская Татьяна Юрьевна ^

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 01.01.02 - «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек 2010

4839921

Работа выполнена в Кыргызско-Российском Славянском Университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Керимбеков А.

доктор физико-математических наук, профессор Алексеенко С.Н., доктор физико-математических наук, профессор Асанов А.

Ульяновский Государственный Университет

Защита состоится «27» января 2011 г. в 1400 часов на заседание диссертационного совета К 730.001.02 при Кыргызско-Российском Славянском Университете по адресу: 720000, г. Бишкек, пр. Чуй, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кыргызско-Российского Славянского Университета

Авторефереат разослан «24» декабря 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета с? х"

кандидат физико- С.Н. Землянский

математических наук,

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Основы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами были заложены в 60-е годы прошлого столетия. Исследования в этом направлении впервые проводились в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова. Далее теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И. Плотникова, Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей и в настоящее время является одним из интенсивно развивающихся научных направлений.

При разработке методов решения, задач оптимизации систем с распределенными параметрами множество работ были посвящены исследованию линейно-квадратичных задач, где уравнение управляемого процесса содержит функцию управления линейно и минимизируется интегральный квадратичный функционал. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности управления, а также разработаны методы решения линейно-квадратичных задач.

На практике математическая модель многих прикладных задач приводит к необходимости решения нелинейных задач, где, например, уравнение управляющего процесса содержит функцию внешнего источника, нелинейно зависящую от функции управления, и минимизируется интегральный функционал того или иного вида. Нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к малоизученной области теории оптимального управления. Поэтому исследование вопросов разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения являются одной из актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.

Цели и задачи работы. Исследовать вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при следующих условиях:

1) уравнение управляемого процесса содержит переменный коэффициент, который в общем случае является разрывной функцией по временной переменной;

2) функция внешнего воздействия нелинейно зависит от функции управления;

3) минимизируется интегральный функционал, который является либо квадратичным, либо кусочно-линейным относительно функции управления;

и разработать алгоритм построения приближенного решения, заданной точности, доказать его сходимость к точному решению задачи нелинейной оптимизации по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.

Методы исследования. В процессе исследования использованы методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории интегральных уравнений, функционального анализа, а также метод решения нелинейных интегральных уравнений с дополнительным условием в виде неравенства.

Научная новизна. Впервые разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов в случае, когда уравнение управляемого процесса содержит разрывный коэффициент и минимизируется кусочно-линейный (или квадратичный) функционал. Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с

распределенными параметрами, в частности

> установлено, что оптимальное управление определяется как знакоопределенное решение нелинейного интегрального уравнения с дополнительным условием в виде неравенства;

> установлен класс функций на котором задача

нелинейной оптимизации имеет решение.

> построено (п,к)-е приближенное решение задачи нелинейной оптимизации в виде тройки („>), к„* (',*),/[и*«]) и доказана их

сходимость к точному решению по схеме: для оптимального управления,

для оптимального процесса, для функционала;

> - получены неравенства, позволяющие оценить близость между точным и приближенными решениями.

Основные положения, выносимые на защиту:

- найдены достаточные условия однозначной разрешимости нелинейного интегрального уравнения оптимального управления с дополнительным условием в виде неравенства как в случае минимизации кусочно-линейного функционала, так и в случае минимизации квадратичного функционала;

- установлено, что задача нелинейной оптимизации имеет решение лишь для определенного класса функций 5

- построено приближенное решение задачи нелинейной оптимизации и доказана его сходимость, получены ряд неравенств, позволяющих оценить допускаемую погрешность;

- на модельных примерах управления тепловыми процессами дана численная реализация алгоритма построения приближенных решений, которая подтверждает достоверность теоретических выводов.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при наличии разрывного коэффициента в уравнении позволяет довести решение задачи до численных расчетов и пригоден для решения многих прикладных задач, связанных с управлением тепловыми процессами, в случаях минимизации интегрального кусочно-линейного и квадратичного функционалов.

Апробация работы. Материалы настоящей работы были доложены

на:

> II Международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике» (Бишкек, 2008);

> III Международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике» (Бишкек, 2010);

> «Ежегодной конференции молодых ученых и студентов «Современные техника и технологии в научных исследованиях» (Бишкек, 2009-2010 гг);

> Научном семинаре кафедры «Прикладная математика и информатика» Кыргызско-Российского Славянского университета (научн. рук. д.ф.-м.н., проф. Керимбеков А.);

> Научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Кыргызского национального университета, им. Ж. Баласагына.

Структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 74 наименований и приложений. Общий объем работы - 135 страниц машинописного текста, 74 источника, 39 таблиц, 16 иллюстраций. Нумерация математических соотношений и формул производится по главам и параграфам в виде (а.Ь.с), где а - номер главы, Ь - номер параграфа в данной главе, с - номер формулы в данном параграфе.

Краткое содержание работы Во введении рассмотрена актуальность разработки конструктивных методов решения задач нелинейной оптимизации систем с распределенными параметрами.

В первой главе изложены примеры задач оптимального управления тепловыми процессами, сделан краткий обзор исследований, примыкающих к теме диссертации, а также дано краткое содержание диссертации.

Во второй главе показан алгоритм построения решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов в случае минимизации кусочно-линейного и квадратичного функционалов. При этом уравнение теплового процесса является линейным и содержит коэффициент, являющийся разрывной функцией по временной переменной, а функция внешнего воздействия нелинейно зависит от управляющего параметра.

В 2.1 рассматривается управляемый процесс, описываемый скалярной функцией которая удовлетворяет уравнению

теплопроводности

Г, = + + £(*)/[*,и(0]. 0<х<1,0</<7\ (1)

начальному

= 0<х<1 (2)

и граничным

К(г,0)=0, К((,1)+аГ((,1)=0, а>О, О<1<Т, (3)

условиям, где коэффициент а(1)еН(0,Т) является разрывной функцией, g(x)eЩ0^), ф)еН(0,\), Д1,и(()]еН(0,Т) заданные функции, причем функция внешнего воздействия У[^и(01 нелинейно зависит от функции управления ц _ гильбертово

пространство, Т - фиксировано.

Используя метод Фурье формальное решение краевой задачи (1) представляется в виде:

У«,Х)=Ж0Ф), (4) ¡=1

где {г. (х)} - полная ортонормированная система собственных

функций краевой задачи, а У((1) определяется как решение линейного интефального уравнения

Г,(О = <ГЛЧ, + '¡е-^-МгЩтУг + п = 1,2,3... (5)

о о

и имеет вид

^(0 = е° Ч',+\е' (6)

о

V,, й- коэффициенты Фурье соответственно функций 'у(х), g(x), а - собственные значения.

Наличие разрывного коэффициента

а{ О приводит к тому, что решение (6) не является классическим, ибо оно не имеет непрерывную производную по переменной г. В этой связи при решении задачи оптимизации было использовано понятие обобщенного решения. Найдены условия, при выполнении которых формальное решение (б) является единственным обобщенным решением.

В 2.2 рассмотрена краевая задача, сопряженная с основной краевой задачей управляемого процесса (1)-(3):

¿у,+буи+а(/)гу(^д:) = 0, 0<х<1,0<^<Г,

¿у(7\х) + 2[Г(7\х)-£(*)] = 0, 0 < л; < 1, (7)

а, (*, 0) = 0, юх (7,1)+асо{1,1) = 0, 0 < / < Т. Решение краевой задачи (7) находим в виде разложения

® *) = !>,(0Ф)>

/=1

где £У,(/) определяется как решение линейного интегрального уравнения:

/

и имеет вид

о

Обобщенное решение сопряженной краевой задачи находим по формуле

т ,

(=1 о

где

Доказано, что функция (9) является элементом гильбертова пространства Н.

В 2.3 рассматривается задача нелинейной оптимизации при минимизации кусочно-линейного функционала

/[и] = ][У{Т,х) - %{х)]гс1х + 2р]\и{1)\11, /}>0 (10)

о о

на множестве решений краевой задачи (1)-(3). Здесь е Я(0,1) -

заданная функция. Она характеризует состояние управляемого процесса, в которое управляемый процесс У((,х) должен попасть в

момент времени Т. Применяя принцип максимума для систем с распределенными параметрами установлено, что для оптимальности управления ц(() необходимо и достаточно, чтобы условие

П[/, х, V0 (I, х), О) 0, х), и\0] = вире X, V0 (/, х), со (/, х), и], (!

{/еО

где

о

<а(/,х) - решение сопряженной краевой задачи (7), В - открытое множество допустимых значений и, выполнялось почти всюду на отрезке [0,Т].

Согласно (11) и (12), как следствие, имеют место следующие соотношения:

= 2 J3signu(t), (13)

¡^хМ^уь^Ко,- (14)

которые одновременно выполняются только на оптимальном управлении м°(?) и называются условиями оптимальности.

В 2.4 на основе условий оптимальности (13) и (14) получено нелинейное интегральное уравнение:

г )/<

1=1 0 '=1

+ ТО^т{т)/[тМг)}с1т = Ъ0,{1)1гп (15)

где

0,(0 = е'

с дополнительным условием

' ' ' (16)

>0.

Таким образом, оптимальное управление следует

находить как решение нелинейного интегрального уравнения (15), удовлетворяющее дополнительному условию в виде неравенства (16). Эта задача по своей постановке является новой в теории интегральных уравнений и обладает специфическими особенностями.

В случае > 0, / е [0,Г], оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения

д/гико]+21 охо]схт)/[т,и(т)¥т = 210,т, (1?)

/=1 о ;=1

удовлетворяющее дополнительному условию

№ "('Ж/Г' [',««]). > 0, V / е [0,Г]. (18)

В случае м(^) <0, / е[0,Г], оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения

= ±С№, (19)

1=1 о (=1

удовлетворяющее дополнительному условию

/ММ0К/;'М0])и <0,У?е[0,Т]. (20)

Далее рассматривается вопрос однозначной разрешимости интегрального уравнения (17). Согласно методике, разработанной проф. Керимбековым А., вводится замена на новую неизвестную функцию 6(1) по формуле

/?/;и«(О]=0(о- (21)

Из условия (18) следует, что соотношение (21) однозначно разрешается относительно и(0, т.е. имеет место равенство

и(1) = ср[ив( 0,/?]. (22)

Согласно (21) и (22) уравнение (17) приводится к виду:

в{1) + ±С1{1)]0,(т)/[тМ^в^1Р)¥т = ±в,№, (23)

которое далее исследуется в операторной форме

0 = К[в], (24)

где оператор действует по формуле

/=1 о

Теорема. Пусть выполняются условия:

1. функция /|7,и(/)] по функциональному аргументу и(0 является монотонной и удовлетворяет условию Липшица, т.е

II /мсо] - л*ж о] м л и «со - т Ия; (26)

2. функция

удовлетворяет условию Липшица по функциональному аргументу 0(0 т.е.

Тогда при выполнении условия

Х = Т/0Л0<р0(/})1\8(х)\\2н<1 (28)

операторное уравнение (23) в пространстве Н(0,Т) имеет единственное решение.

Решение уравнения (23) найдено методом последовательных приближений по формуле:

" = 1,2,3,... , (29)

где 0о(О - произвольный элемент пространства Н(0,Т) и при этом приближенное решение 9„ (0 удовлетворяет оценке

и т - вп(1) ця < Х-н КЩ- в0 ||Я(0.П, (зо)

где в (/) - точное решение уравнения (23).

Далее 9(1), подставив в (21), находим управление:

й(0 = рМ(г),/3]. (31)

Для того чтобы это управление было решением интегрального уравнения (17), должно выполняться условие (18). Это обстоятельство сужает класс функций > ибо при произвольно выбранном

/(1,и(0) условие (18) может не выполниться.

Аналогично строится решение интегрального уравнения (19). Находим подставляем в (21), находим управление

"(') = ИА^М.ДЬ Сравнивая значения функциона находим оптимальное управление u(t), (и > 0) или ü(t), (и < 0) •

Заметим, что если как задача (17>—(18), так и задача (19)-(20) не имеет решения, то и задача нелинейной оптимизации не имеет решения. Таким образом, существование оптимального управления тесно связано с вопросом существования решения задачи (17)-(18) (или задачи (19)-(20)).

В 2.5 строится решение задачи нелинейной оптимизации в случае

минизации кусочно-линейного функционала (10) в виде тройки

(u°(t), V(t,x), I[u°(t)]),

где u°(t) - оптимальное управление, V°(t,x) - оптимальный процесс, I[u°(t)] — минимальное значение функционала.

Оптимальное управление u°(t) определяется с учетом значения функционала на решениях задач (17)—(18) или (19)—(20).

Оптимальный процесс V°(t,x) согласно (4), (6) и (31) определяется по формуле:

«. / с—-v*H4)Vn I I-i

V\t,x)=I(e° ¥¡ + \e- gJ[s,u\s)]ds)zXx). (32) i=l 0

Минимальное значение функционала согласно (10), (31) и (32) вычисляется по формуле:

l[u0] = \[V\T,x)-ax)ícbc + 2p\\u\t)\lt, ¡3> 0. (зз)

о о

В 2.6 приведены результаты аналогичного исследования задачи нелинейной оптимизации при минимизации квадратичного функционала 1 т

/[и] = \[V{T, х) - %(x)fdx + р \u\t)dt, Р> 0, (34)

о о

т.е. решение задачи нелинейной оптимизации найдено в виде тройки

(u°(t), r°f,t,x),I[u°(t)]).

В третьей главе исследованы вопросы построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации и их сходимость к точному решению по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.

В 3.1 исследованы вопросы построения и сходимости приближенного решения преобразованного нелинейного интегрального уравнения (23). Приближенное решение вп (t) уравнения (23), найденное

согласно схеме (29), удовлетворяет следующим рекурентным соотношениям:

¡=1 М О

где

/=1

и приближение вп(0 при каждом п=0,1,2,3,... определяется как сумма

бесконечного ряда, которое не всегда удается построить аналитически. В этой связи приближенное решение нелинейного интегрального уравнения (23), которое можно применять на практике, предлагается находить по формулам:

= ¿ = 1,2,3... (35)

Функции вида (35) называются (п,к)-м приближением решения нелинейного интегрального уравнения (23).

Далее установлены следующие рекурентные соотношения:

\\т-вкл4и<Ак + вк + 7 \\вп-ек„\\, (36)

где

А = \\е0 - ек0 ||я <2 V Е (Е £+5>,2).

V Ык+1 /=¿+1 /=*+1

V >=*+1

на основе которых получена следующая оценка:

\\т - ±{А+Вк)(\ + у + у2+... + /-1) + у"Ак <

1

<(Лк+Вк)^- + у"Ак. (37)

■г

Установлено, что (п,к)-е приближение решения уравнения (23), определяемое по формуле (35), удовлетворяет оценке:

<

ия

1Ио-^(о||д фо-злоЦ,

* - Ня + ¿(1*0 - ||н + ¡00 - % |н • (38)

В 3.2 исследованы вопросы построения и сходимости (п,к,)-го приближенного оптимального управления u°(t) = <p(t,e°,/3)- На основе

формулы (35) приближенное оптимальное управление un(t) уравнения (22) удовлетворяет следующему соотношению:

un(t) = (p(t,9n,p), (39)

а (п,к)-е приближенное оптимальное управление -

ukn(t) = <p(t,ek„,j3). (40)

Для (п,к)-го приближенного оптимального управления на основе формул (31), (37), (38), (39), (40) установлены следующие соотношения:

||М(0-«:(0||Я ф(0-и„(0||й +||«(0-«*(0||w -< \\<p(t,e(t),P) - (p{t,en{t),p)\H +\p{t,e„(t),p) - <p{t,el{t),p)\H < <<p0(P)\\m-ml+%{P)\en{t)-et{t)\H <

В 3.3 n-e приближение оптимального процесса найдено по формуле:

= ¥>+W g.fisMs^dszXx), (42)

/=1 О

а (п,к)-е приближение оптимального процесса -

= 5>° ¥i+\e- gj[s,ukn{s)\dszt{x). (43)

;=1 0 и исследована их сходимость к точному оптимальному процессу (32).

Далее установлена оценка: \v\t,x)-V;(t,x)\H <||v\t,x)-vn (t,x)I +\\v„ (t,x)-v„%x)Ц <

_Vi=t+i iwti J (44)

В 3.4 строится n-е приближение минимального значения кусочно-линейного функционала по формуле:

/["„] = ШТ,х) - + 2ß]\u„(tp (45)

о о

а (n,k)-e приближенное минимальное значение функционала -

Л«.*] = М(Т,х)-%{х)?с1х + 2/?jV(0k' (46)

о о

Согласно соотношениям (33), (41), (44) найдена оценка:

I/[и0] - /[и*]| < |/[«°] - /[ив]| +1/[«„]- /[и*]|, |/1и°] - /к<]| < 2||f° - ||Я ■ ц + гр4т\? - un\l +2\v„ - v*\H. n2 +

(47)

гае ^Н^МИ^МИ«*)!*.

Из полученных оценок (41), (44), (47) легко видеть, что

приближенное решение задачи оптимизации (икп

сходится к точному решению при к —» оо и п —» оо.

В 3.5 построены (n,k)-e приближения задачи нелинейной оптимизации в случае минимизации квадратичного функционала и доказана их сходимость к точному решения по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.

В четвертой главе на примере решения двух задач приведены результаты численных расчетов, которые подтверждают теоретические выводы.

Заключение

В диссертации исследована задача нелинейной оптимизации тепловых процессов в случае, когда линейное уравнение теплопроводности содержит разрывный коэффициент и минимизируется кусочно-линейный (или квадратичный) функционал. При этом выявлены специфические особенности рассматриваемой задачи, в частности было установлено, что оптимальным управлением может быть лишь функция (непрерывная или разрывная) определенного знака. Разработан алгоритм построения приближенного решения и доказана его сходимость к точному решению. Предложенный метод построения приближенного решения дает возможность его реализации на практике. Разработанный метод имеет прикладное значение в управлении процессами с разрывными параметрами при исследовании задач нелинейной оптимизации тепловых процессов, описываемых полулинейными уравнениями параболического типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных

журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Слабообобщенное решение уравнения теплопередачи с разрывными коэффициентами //Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. -2010.-Т.Ю.-№5.-С. 140-142.

2. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. О разрешимости нелинейной задачи оптимального управления процессами, описываемыми полулинейными параболическими уравнениями. //Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. -2010. -Т.Ю. - №9.-С. 47-52.

3. Урывская Т.Ю. О разрешимости одной задачи оптимизации тепловых процессов при минимизации кусочно-линейного функционала. //Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. 2010. - Т.Ю. - №9. - С. 52-56.

Статьи в научных сборниках и э/сурналах:

1. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Оптимальное управление процессом теплопередачи, описываемое уравнениями с разрывными коэфициентами//Исследования по интегрально-дифференциальным уравнениям. Выпуск 40. - Бишкек: Илим, 2009.-246-250 с.

2. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Распределенное отптимальное управление процессом теплопередачи, описываемое уравнениями с разрывными коэффициентами // Ежегодная конференция молодых ученых и студентов. Современные техника и технологии в научных исследованих. - Бишкек: МНИЦГП Научная станция РАН, 2010. - 47с.

Ключевые слова: тепловой процесс, кусочно-линейный функционал, квадратичный функционал, знакоопределенное решение, нелинейное интегральное уравнение.

Аннотация:

В диссертации исследован вопрос приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов. Разработан алгоритм построения приближенного решения задачи оптимизации при наличии разрывного коэффициента и минимизации кусочно-линейного и квадратичного функционалов. Найдены условия сходимости приближенного решения к точному. Теоретические выводы подтверждены практическими примерами.

Uryvskaya Tatyana Approximate solution of thermal processes non linear optimization problem Annotation

The problem of approximate task solution of non-linear optimization of heating processes was investigated in the dissertation. An algorithm of approximate solution of optimization task construction was created. The author found the condition of convergence of approximate solution with discontinuous coefficients and the minimization of piecewise linear and quadratic functional to the exact one. Theoretical conclusions were confirmed by practical examples.

Подписано в печать 8.12.2010 г. Формат 60x84 '/16. Офсетная печать. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 260.

Отпечатано в типографии КРСУ 720048, г. Бишкек, ул. Горького, 2

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ.

1.1 О задачах оптимизации тепловых процессов.

1.2 Результаты исследования.

ГЛАВА 2. О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ

НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ.

2.1. Краевая задача управляемого процесса.

2.2. Решение сопряженной краевой задачи.

2.3. Задача нелинейной оптимизации с кусочно-линейным функционалом и условия оптимальности.

2.4 Нелинейное интегральное уравнение оптимального управления и его знакоопределенное решение.

2.5 Решение задачи нелинейной оптимизации при минимизации кусочно-линейного функционала.

2.6 Решение задачи нелинейной оптимизации при минимизации квадратичного функционала.

ГЛАВА 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.

3.1 Приближенное решение преобразованного нелинейного интегрального уравнения и его сходимость.

3.2 Приближенное оптимальное управление и его сходимость.

3.3 Приближенный оптимальный процесс и его сходимость.

3.4 Приближенное значение кусочно-линейного функционала и его сходимость.

3.5 Приближенное решение задачи оптимизации при минимизации квадратичного функционала.

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКО ПРИМЕНЕНИЕ.

4.1 Пример минимизации кусочно-линейного функционала.

4.2 Пример минимизации квадратичного функционала.

Актуальность работы. Основы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами были заложены в 60-е годы прошлого столетия. Исследования в этом направлении впервые проводились в работах А .Г. Бутковского, А.И. Егорова. Далее теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И. Плотникова, Лионса, их учеников и последователей и в настоящее время является одним из интенсивно развивающихся научных направлений.

При разработке методов решения, задач оптимизации систем с распределенными параметрами многие работы были посвящены исследованию линейно-квадратичных задач, где уравнение управляемого процесса содержит функцию управления линейно и минимизируется интегральный квадратичный функционал. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности управления и разработаны конструктивные методы решения линейно-квадратичных задач.

На практике математическая модель многих прикладных задач приводит к необходимости решения нелинейных задач, где, например, уравнение управляющего процесса содержит функцию внешнего источника, которая нелинейно зависит от функции управления [5, 6] и минимизируется интегральный функционал того или иного вида. Нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального уравнения. Поэтому исследование вопросов разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения является одной из актуальных задач теории оптимизации систем с распределенными параметрами.

Научная новизна. Впервые разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов в случае, когда уравнение управляемого процесса содержит разрывной коэффициент и минимизируется кусочно-линейный (или квадратичный) функционал. Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности: установлено, что оптимальное управление определяется как знакоопределенное решение нелинейного интегрального уравнения с дополнительным условием в виде неравенства; установлен класс функций ./[^¿/(г')], на котором задача нелинейной оптимизации имеет решение; построено (п,к)-е приближенние решения задачи нелинейной оптимизации в виде тройки {ип (/), Уп сходимость к точному решению по схеме: (0 > и„ (0 >(О для оптимального управления, для оптимального процесса, для функционала.

- получение неравенства, согласно которым устанавливаются близость между точным и приближенным решениями.

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при наличии разрывного коэффициента в уравнении позволяет довести решение задачи до численных расчетов и и доказана их пригоден для решения многих прикладных задач, связанных с управлением тепловыми процессами, в случаях минимизации интегрального квадратичного и кусочно-линейного функционалов.

Выражаю огромную благодарность за неоценимую помощь и важные замечания по диссертационной работе моему руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Акылбеку Керимбекову.

ВЫВОДЫ:

В четвертой главе получены следующие результаты:

1. Построено решение для кусочно-линейного функционала.

2. С помощью приведенного метода найдено оптимальное управление для кусочно-линейного функционала.

3. На конкретном примере показана численная реализация полученных результатов.

4. Найденные все оценки, приведенные во второй главе, которые сходятся как по к, так и по п.

Заключение

В диссертации исследована задача нелинейной оптимизации тепловых процессов в случае, когда линейное уравнение теплопроводности содержит разрывный коэффициент и минимизируется кусочно-линейный функционал. При этом выявлены специфические особенности рассматриваемой задачи, в частности, было установлено, что в этой задаче оптимальным управлением может быть лишь функция (непрерывная или разрывная) определенного знака. Разработан алгоритм построения приближенного решения и доказана его сходимость к точному решению. Предложенный метод построения приближенного решения дает возможность его реализации на практике. Полученные результаты могут оказаться полезными при разработке конструктивных методов решения при исследовании задач нелинейной оптимизации тепловых процессов, описываемых полулинейными уравнениями параболического типа.

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. Киев: УМК ВО, 1989. 244 с.

2. Арман Ж.-Л. Г1. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. М.: Мир, 1977. 142 с.

3. Бабат Г.И. Индукционный нагрев металлов и его промышленное применение. 2-е изд. М.; Л.: Энергия, 1965. 552 с.

4. Будак Б.М., Фомин СВ. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 607 с.

5. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с.

6. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

7. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1979. №11. С. 16-65.

8. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.416 с.

9. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1989.156 с.

10. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1988. 552 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1 981. -512 с.

12. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

13. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. М.;Л.: Энергия, 1966. Часть II. 364 с.

14. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. JL: Энергия. Ленинград, отдел, изд-ва, 1970. Часть III. 328 с.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Госуд. изд-во техн.-теоретрэт^г- лит.з1957. 491 с.

16. Гончаренко В.М. Основы теории уравнений с частными производными. Киев: Вищашкола. Головное изд-во, 1985.311 о.

17. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значе!п-т^з^. Пер. с англ. М.: Мир, 1970. 328 е.:

18. Дженалиев М.Т., Сматов К.С. Последовательные приближения в з^^ оптимизации параболическими уравнениями // Проблемы автом;J<; управления. Бишкек: Илим, 1999.С. 102-108.

19. Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управJxej^-j^ процессом теплопередачи // Журнал вычислительной математики ^ математической физики. 1972. Т. 12, №3. С. 791-799.;

20. Егоров А.И., Рафатов Р. О приближенном решении одной зада*!^ оптимального управления //Журнал вычислительной математц^-^. математической физики. 1972. Т. 12. №4. С.943-956.

21. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузион^-^^^ процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

22. Егоров А.И. Оптимальное управление линейными системами. KtjeB. Выща школа, Головное изд-во, 1988. 278 с.

23. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004, 5Q4 с

24. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 2-е йзд jyj Наука, 1977. 741 с.

25. Картвелишвили H.A., Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамических систем. М.: Наука, 1976. 272 с.

26. Керимбеков А. Нелинейное распределенное оптимальное управле^г тепловыми процессами //Вестник КГНУ, серия естеств.-техн. науг<-РГ Бишкек, 1999. Часть II. С. 71-78.

27. Керимбеков А. О разрешимости одной нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов //Проблемы автоматики и управления. Бишкек: Илим, 2000. С. 151-158.

28. Керимбеков А. Нелинейное оптимальное управление тепловыми процессами //Наука и новые технологии. 2000. Бишкек. №2. С. 30-35.

29. Керимбеков А. Приближенное решение нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов // Проблемы автоматики и управления. Бишкек: Илим, 2001. С. 58-65.

30. Керимбеков А. Непрерывное отображение в нелинейной задаче оптимизации тепловых процессов //Вестник КГНУ, серия 3. Естественно-технические науки. Бишкек, 2001. Вып. 7. С. 26-30.

31. Керимбеков А., Джээнбаева Г., Шаршенова И. О разрешимости нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов при граничном управлении // Вестник КГНУ, серия 3. Естественно-технические науки. Бишкек, 2001. Вып. 7. С. 30-34.

32. Керимбеков A.K., Курманова С.Ч. О разрешимости одной нелинейной задачи синтеза при оптимизации тепловых процессов // Вестник КНУ им.Ж.Баласагына. Исследование по проблемам естественно-технических наук. Бишкек,2003. С.34-38.

33. Керимбеков А., Абышев И.С. О разрешимости задачи нелинейного оптимального управления тепловыми процессами при минимизации линейного функционала, // Вестник КРСУ Т.5. 2005. №7. С. 75-78.

34. Керимбеков А. О разрешимости задачи нелинейного оптимального управления процессом теплопередачи. //Тезисы докладов II-международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике». Бишкек, 2006. С. 72.

35. Керимбеков А. Решение задач нелинейной оптимизации тепловых и диффузионных процессов методом обобщенного управления. Проблемы управления и информатики. // Доклады II международной конференции (19-22 июня). Бишкек, 2007. С. 162-167.

36. Керимбеков А., Кабаева Ж. Решение задачи нелинейной оптимизации процессов тепло- передачи методом обобщенного управления. Исследования по иитегро-дифференциальным уравнениям. Бишкек, Илим, 2007. Вып. 36. С. 148-153.

37. Керимбеков А. Нелинейное оптимальное управление колебаниями в линиях передач. Бишкек: Изд-во КРСУ, 2008. 132 с.

38. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Оптимальное управление процессом теплопередачи, описываемое уравнениями с разрывными коэффициентами. // Исследования по интегрально-дифференциальным уравнениям. Выпуск 40. Бишкек: Илим, 2009. 302 с.

39. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Слабообобщенное решение уравнения теплопередачи с разрывными коэффициентами. //ВестникКРСУ. Бишкек, 2010. Т.Ю. №5. С. 140-142.

40. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. О разрешимости нелинейной задачи оптимального управления процессами, описываемыми полулинейными параболическими уравнениями //Вестник КРСУ.

41. Бишкек. 2010. Т.10. №9. С.47-52.

42. Краснов M.B. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. 303 с.

43. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевкий П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. -М.: Наука, 1966. 499 с.

44. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

45. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.400 с.

46. Ладыженская O.A. Краевые задачи математический физики. М.Наука, 1973. 408 с.

47. Левинштейн М.Л. Операционные исчисления в задачах электротехники. Изд. 2, доп. Л.: Энергия, 1972. 360 с.

48. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравненшгми с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

49. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. 480 с.

50. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.520 с.

51. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур. М.: Наука, 1987. 352 с.

52. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производи. 2-е изд., перераб. и доп. М: Наука, 1983. 424 с.

53. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1975. 512 с.

54. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М: Наука, 1966.432 с.

55. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.:1. Мир, 1977. 232 с.

56. Плотников В.И. Энергетические неравенство и свойства переопределенности системы собственных функций // Изв. АН СССР, серия мат. 1968. Т. 32. №4. С. 743-755.

57. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1983. 392 с.

58. Пузырев В.А. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. 1975. №7. С. 3857.

59. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

60. Розоноэр Л.И. Принцип максимума JI.C. Понтрягина в теории оптимальных систем // Автоматика и телемеханика. 1959. Т.20. №10. С. 1320-1334; №11. С. 1442-1458;.№12. С. 1561-1578.

61. Садовничий В.А. Теория операторов. 2-е изд-е. М.: Изд-во МГУ, 1986. 368 с.

62. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 497 с.

63. Смышляев П.П., Лыкосов В.М., Осипков Л.П. Управление технологическими процессами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 284 с.

64. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

65. Урывская Т.Ю. О разрешимости одной задачи оптимизации тепловых процессов при минимизации кусочно-линейного функционала // Вестник КРСУ. Бишкек: 2010. Т.Ю. №9. С.52-56.

66. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.

67. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 7-е изд. М.: Наука, 1969. Т.1. 607 е.; Т.2. 800 с.

68. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 376 с.