Численно-аналитическое моделирование нелинейных процессов для нестационарных задач механики сплошной среды тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Ваганова, Наталия Анатольевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Екатеринбург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
иизо531В2
Ваганова Наталия Анатольевна
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
01.01.07 — вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Екатеринбург - 2007
003053162
Работа выполнена в Институте математики и механики УрО РАН.
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
доктор физико-математических наук профессор
Александр Илларионович Короткий, доктор физико-математических наук профессор Сергей Сергеевич Титов, доктор физико-математических наук профессор Василий Павлович Шапеев.
Ростовский государственный университет.
Защита состоится в /^часов на заседании дис-
сертационного совета К 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С.Ковалевской, 16).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.
Автореферат разослан 2006 г.
Ученый секретарь диссертационного совета К 004.006 кандидат физико-математических
Общая характеристика работы
Диссертационная работа посвящена разработке и применению численно-аналитического подхода, основанного на методе специальных рядов, для конструктивного построения решений некоторого класса нелинейных уравнений механики сплошной среды, а также моделированию и численной реализации задачи о нахождении теплового поля от заглубленного теплового источника с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
Актуальность темы. Для решения различных проблем, возникающих в современной науке и технике, актуальной задачей является построение адекватных математических моделей, которые как правило описываются нелинейными уравнениями с частными производными. Стремительное развитие вычислительной техники позволило рассматривать все более сложные многомерные модели, учитывающие тонкие явления, без которых невозможно точно описать реальные физические процессы. Для исследования таких моделей создаются различные методики, требующие надежных способов их верификации. Поэтому важной задачей является построение тестов для отладок численных методик, например, получение точных решений в замкнутой форме, или в виде сходящихся рядов пусть даже и для упрощенных моделей. Кроме того, решения полученные аналитическими методами дают возможность изучить свойства исследуемых моделей. В ряде задач механики сплошной среды перспективным направлением получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Поэтому наряду с численными методами интенсивно развиваются и аналитические подходы к получению решений. Большое развитие получили аналитические методы решения нелинейных уравнений с частными производными, использующие в качестве основной конструкции ряды. Главным образом, это степенные ряды либо ряды Фурье, а в случае уравнений с малым параметром — асимптотические ряды. Для представления решений линейных и нелинейных систем уравнений с частными производными были разработаны характеристические ряды (работы Р. Куранта, Д. Людвига, В.М. Бабича, A.A. Дородницына, А.Ф. Сидорова, В.М. Тешукова, С.П. Ба-утина, М.Ю. Козманова и др.). Эти работы послужили основанием для создания А.Ф. Сидоровым нового аналитического метода представления решений нелинейных уравнений в частных производных — метода специальных рядов. Этот метод был с успехом использован в работах А.Ф. Сидорова, С.С. Титова, М.Ю. Филимонова, Л.Г. Корзунина, С.В Вершинина, О.В. Коковихиной и К.В Курмаевой.
В диссертационной работе получил свое развитие конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными — метод специальных рядов, который позволяет строить новые классы решений начальных и начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными.
При решении реальных физических задач редко удается обойтись без применения численных методик. Например, к такой задаче относится описание тепловых полей от заглубленного источника с учетом лучистого излучения тепла от дневной поверхности. Эта задача важна для многих приложений, в частности, при проведении мониторинга целостности теплоизолированного заглубленного трубопровода. При этом может оказаться, что трубопровод проложен в слоях грунта, имеющих различные тепловые характеристики. Под воздействием различных факторов теплоизолирующая оболочка трубопровода может разрушиться и начнется теплообмен с окружающей средой (к примеру, температура нефтепродуктов движущихся по трубопроводу составляет около 30 градусов Цельсия). Существуют различные приборы (тепловизоры), которые позволяют снимать с большой точностью тепловые поля с поверхности, расположенной над трубопроводом. Основной задачей мониторинг-контроля является определение возможных областей повреждения теплоизоляции трубопровода и трещин. Интересно рассмотреть также и обратную задачу об определении характера
повреждений и интенсивности тепловыделения по результатам измерения теплового поля на дневной поверхности. В настоящее время открытыми остаются также вопросы: имеет ли смысл проводить тепловизорные контрольные замеры поверхности, расположенной над трубопроводом при наличии снежного покрова7 И если да, то в каком спектре излучения7
Представленная выше физическая задача может быть описана линейным уравнением теплопроводности в трехмерной области при наличии нелинейных граничных условий на дневной поверхности. Теоремы существования и единственности решения для некоторых таких моделей рассматривались в работах П. Куитнера1.
Необходимость изучения нелинейной модели проявляется при исследовании многих задач. Например, в работе С.С. Титова2 рассматривалась задача о распределении температуры в тонком кольце, нагреваемом точечным источником (с учетом излучения при сварке), описываемая параболическим уравнением с нелинейной правой частью. Сравнение построенного решения в виде специального тригонометрического ряда для линейной и нелинейной модели показало, что линейная теория дает существенно завышенные значения температуры.
При построении алгоритмов расчета нелинейное граничное условие, как правило, аппроксмируется на решении, полученном либо из линейной модели, либо вычисленном на предыдущем шаге итерационного процесса. Например, в работах В.П. Ша-пеева, А.Н. Черепанова3 и др. авторов4 одно из граничных условий для уравнения теплопереноса включает в себя нелинейный радиационный коэффициент теплоотдачи, значение которого аппроксимируется на решении, вычисленном на предыдущей итерации.
Однако работ по прямому численному моделированию задач о распространении тепла при непосредственном решении задачи с нелинейными граничными условиями, учитывающими солнечную радиацию, автору не известны. Таким образом, представляется весьма актуальным вопрос о решении прямой задачи нахождения теплового поля на дневной поверхности. Решение и моделирование этой прямой задачи позволяет ответить на многие интересующие вопросы и получить приемлемые качественные и количественные результаты.
Цель работы:
— Построить новые решения в виде специальных сходящихся рядов и применить ряды, содержащие функциональный произвол, для построения решений начально-краевых задач для нелинейного уравнения фильтрации.
— Для представления решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения с точным удовлетворением нулевых краевых условий построить специальный ряд и провести численное сравнение метода специальных рядов и метода Фурье на этом примере.
— Разработать методику расчета прямой задачи распространения тепла в приповерхностном слое грунта с условием лучевого обмена энергией (солнечная радиация и тепловое излучение поверхности грунта, а также теплообмен, связанный с подводом тепла из глубин Земли или от аккумулирующих тепло источников: трубопроводов, подземных объектов, геологических аномалий и т.д.) с прилегающим к поверхно-
1 Quitner P. Global existence of solutions of parabolic problems with nonlinear boundary conditions // Singularities and differential equations Banach center publications. 1996. V. 33. P. 309-314.
23bmo0 С. С. Решение периодических задач Коши с помощью специальных тригонометрических рядов // Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1984. Т.9. N 2 1978. С 112-124.
3Шапеев В.П., Черепанов А.Н. Конечно-разностный алгоритм для численного моделирования процессов лазерной сварки металлических пластин//Вычислительные технологии Т 11 ДО 4 2006. С. 102-117.
4 Черепанов А H, Шапеев В.П., Фомин В М., Семин Л.Г. Численное моделирование теплофи-зических процессов при лазерно-лучевой сварке с образованием парового канала // Прикладная механика и техническая физика. Т. 47. № 5 2006 С. 88-96.
сти слоем воздуха, позволяющую моделировать различные условия тепловизионной съемки.
— Написать и отладить комплекс программ для решения задачи о тепловом поле на дневной поверхности от подземного трубопровода с возможными его повреждениями. Провести серию численных расчетотов для получения атласа тепловых полей, полученных при типичных повреждениях теплоизоляции трубопроводов для выработки рекомендаций при проведении реальных тепловизионных съемках.
Методика исследований.
В работе используются методы и подходы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы приближенного решения уравнений, методы визуального графического представления результатов расчетов.
В качестве аналитического аппарата в работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) — метод специальных рядов. Рассматриваются начально-краевые задачи для некоторого класса нелинейных уравнений теплопроводности, для которых известны точные решения в виде полиномов по пространственным переменным.
Методы численного моделирования используются при исследовании задачи о тепловом поле от заглубленного теплового источника с учетом лучистого излучения на дневной поверхности. Используется метод геометрического расщепления многомерной краевой задачи по направлениям на ортогональной сетке. Применяется неявная шеститочечная двухслойная разностная схема для решения одномерного уравнения теплопроводности. Для решения соответствующей системы линейных разностных алгебраических уравнений используется метод прогонки. При численного решения нелинейного уравнения четвертого порядка используется метод Ньютона.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
— На базе известного точного решения построены новые приближенные решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решения по нулевому фону от некоторого граничного режима.
— Проведено численное исследование применимости некоторых построенных конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решения начально-краевых задач нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте.
— Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фурье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.
— Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
— С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический и практический характер. Метод специальных рядов получил дальнейшее развитие на пути практического применения этого подхода к приближенному решению краевых задач. Построен новый класс решений нелинейного уравнения фильтрации в виде специальных рядов, согласованных с точным решением.
Разработан комплекс программ, позволяющий моделировать различные условия тепловизионной съемки, и тем самым повысить эффективность таких наблюдений и, как следствие, разработать методы диагностики целостности трубопровода и нали-
чия несанкционированных врезок. Непосредственное численное моделирование температурных полей, возникающих на дневной поверхности над участком заглубленного трубопровода, позволяет сделать ряд выводов о возможности обнаружения тепловых неоднородностей на рассматриваемом участке, а также обосновать правила проведения тепловизионных съемок.
Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ в ТПИ МИФИ (г. Трехгорный).
Публикации. Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК [15,19], в сборниках [5,6,14,16-18], а также в трудах международных и всероссийских конференций [3,4,7-13,20]. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные автором.
Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции, посвященная 150-летию C.B. Ковалевской, Санкт-Петербург (2000); всероссийских школах-семинарах "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо (2003, 2005); международных конференциях "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2000, 2002); всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященные памяти К.И. Бабенко, Абрау-Дюрсо (2002); международных летних школах-конференциях "Прикладные проблемы механики", Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004); всероссийских школах -семинарах "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", Красноярск (2002); всероссийской школе - конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти А.Ф. Сидорова Екатеринбург, Абрау-Дюрсо (2003, 2004, 2006); региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003, 2005) и других конференциях. Материалы выступлений представлены в сборниках тезисов (24 работы).
Работа также была представлена на расширенном научном семинаре Отдела прикладных задач Института математики и механики УрО РАН, руководитель — д.ф -м.н. А.И.Короткий
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы 130 страниц. Библиография содержит 122 наименования.
Основное содержание работы.
Во введении обсуждаются актуальность темы, сформулированы цели н задачи исследования, приведены основные результаты, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена применению метода специальных рядов для построения решений начально-краевых задач нелинейных эволюционных задач математической физики.
Приводится краткий обзор аналитических методов построения решений в замкнутой форме и методов, позволяющих находить решение с любой заданной точностью.
В § 1.1 строится специальный ряд, содержащий в качестве нулевого члена ряда известное точное решение
Рассматривается нелинейное уравнение второго порядка
и, = иихх + и*. (1)
Для исследования решений этого уравнения А.Ф. Сидоровым5 были построены ха-
5 Сидоров А Ф Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // ДАН РАН, 1985, т. 15, N 1, с. 47-51.
рактеристические ряды, сходимость которых была установлена С.П. Баутиным6. В диссертационной работе используются специальные ряды согласованные с точным решением, которые были предложены М.Ю. Филимоновым7. Пусть начальные данные представимы в виде
оо
"(я, 0) = So(x, 0) + ^ anoR"(x,0), ап0 € R. (2)
п=1
Точное решение уравнения (1)
с / 1 (А+ х)2 В л „ „
S0(x,t) = - v ; + А,В,С — const, (3)
t-t-o о |t + С7|з
было получено С.С Титовым
Ищем решение уравнения (1) в виде ряда ( f(t) 6 С'[0,оо))
00 1 u(x,i)=So(z,<)+£«„(<№,t), fi(x,t)=(j + 4)2+/(<). (4)
Пусть f(t) имеет вид
Тогда для определения коэффициентов an(t) подставим ряд (4) в уравнение (1) и приведем подобные члены (с одинаковыми степенями базисной функции R(x,i) ). Для n ^ 1 получим последовательность обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
_ A4(rt—1)(п—2) _ , /2(П-1)(4П-11)
Qn+t+c п~ 3 {t+cy 3 (t+cy а"-1
_ /2/?(п-2)(п-1) 4/,/а(п-2)(п-1) 2/j(n—2)(п—1)\ I, з(г+с)3 з{t+cy з(t+c)5 J п~2 ( '
4Л(п-1) ^ 4/2(П-1)
+(4п-2)2^ актат--¿^ актат— Q*m«m,
Jt+m=n-l *+m=n-2 * ' к+т=п-2
где К„ = (2n2-3n + l)/3 и начальные данные определяются из (2) , то есть о„(0) = апо = const, п ^ 2.
Лемма 1.1.1. Если ai = 0, то при п ^ 2 уравнения (6) имеют решения следующего вида'
a2(i) = rfe' a"(t) =¿(7^1)7. const, (7)
j-i
ьБаут\т С.П. Аналитическая тепловая волна. — М Физматлит, 2003, 88 с
7 Филимонов М Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения, 2003, т 39,N 6, с 801-808
где коэффициенты Anj находятся по рекуррентным формулам 1
= 4(п - 1)(п - 2)/1^„_1i,.2 + (п - 1)(4п - 11)/2Лп_,л_з
&nq l
-2(n-2)(n—1) (/,2Л„_2,7_з + 2/,/2Лп_2,,_4 + /22Л„.2,,_5) —12(п — 1) mi/: ^ +/2 +
*+m=n-2 * 91+92=9-1 ?1+?2=9-2 '
+6(2п — 1) т S ,91
(8)
где В„?=2п2—3(п+д)+4 . Дри этом в правой части все слагаемые, включающие Ач при ¿<2 или j<l, считаем равными нулю.
Для коэффициентов установлены следующие оценки
Мпач~1
|Л.,,-1|<п2((?_1)2, 0<а<|Т+С|, М=шах{Л/1(/ь/2>а),1},
на основе которых доказывается
Теорема 1.1.1. Пусть в (4) А=0, £»1=0 и /(4) имеет вид (5). Тогда для любых С < 0 и Т, 0 < Г < |С|, существует постоянная Ь > 0 , такая, что согласованный с точным решением ряд
A„j
(t+cy
х2 А 00 ^ и. -,
-^-щс)v^i^fS^^r т
сходится к положительному решению уравнения (1) при всех х2 ^ L и К Т.
Таким образом, построен новый класс точных неотрицательных решений уравнения (1), зависящий от четырех произвольных постоянных С, Л2х, /2. Заметим, что в работе М.Ю. Филимонова сходимость решения при С < 0 доказана только при /(<) = const.
Теорема о сходимости доказана для f(t) определенного вида, однако, рассматривая некоторое приближение решения исходного уравнения в виде отрезка ряда (4) , мы можем, используя произвольную функцию }{t) для приближенного удовлетворения краевому условию, получить приближенное решение следующей начально-краевой задачи для уравнения (1):
и(ж,0) = 0, u(0,t) = h(t), h{0)=0, h'(t)> 0, О 0. (10)
Известно, что существует обобщенное решение задачи (1) , (10) , причем фронт решения (например, фронт тепловой волны) распространяется по оси х с конечной скоростью. А.Ф. Сидоровым и С.П. Баутиным рассматривался случай аналитической функции h(t).
Оказывается, несмотря на то, что в правые части уравнений (6) для коэффициентов входят предыдущие коэффициенты ряда, зависящие как от произвольной
функции /(£) , так и от ее производной, an(t) удается выразить в элементарных функциях для п ^ 6 , если константа В — 0 .
Заметим, что в отличие от работ А.Ф. Сидорова, Л.Г. Корзунина, М.Ю. Филимонова, О.В. Коковихиной, в которых также находились первые коэффициенты ряда с функциональным произволом, в данной работе впервые удалось проинтегрировать в явном виде уравнения для первых шести коэффициентов ряда. Нахождение явных выражений для последующих коэффициентов ряда также возможно, но довольно трудоемко и приводит к очень громоздким выражениям, поэтому далее, для иллюстрации, ограничимся рассмотрением первых трех слагаемых ряда. После подстановки найденных коэффициентов получим приближенное решение.
„ и rt- а"» I I
из[х'Ц 6(C+t)+(х+О'+т ((c+z)4f(tw ((c+x)4f(t)Y ■ Краевое условие при х = 0 (при А — С):
с2 с3 cV(t)
w 6(t+C) 6(C2+/(t)) б(С2+/(г))2 (C2 + /(t))3
Можно разрешить это уравнение относительно функции f(t) в явном виде и за счет выбора произвольной функции /(<) удовлетворить краевому условию при х — 0. Если использовать для вычисления функции /(<) только два или три первых слагаемых правой части уравнения, то получается достаточно простая формула. Решение краевой задачи с заданной, не обязательно аналитической, функцией h(t) описывается приближенно отрезками ряда. Использование в расчетах только первых трех членов ряда уже представляет для практики большой интерес. С помощью отрезков специальных рядов, согласованных с точным решением (3) были проведены численные расчеты по описанию распространения тепловой волны при различных краевых условиях, а также сравнение с известными точными решениями.
В § 1.2 описанные в § 1.1 конструкции специальных согласованных рядов обобщаются для двумерного случая.
Рассматривается уравнение баланса массы подземных вод в элементе водоносного пласта в случае изотропной среды и горизонтального водоупорного основания
тСМ-^-£(£)♦£(£)■ <•■>
где Л = h(t,x,y) — уровень подземных вод, т , к , ei , е2 — некоторые постоянные характеристики среды.
Решение ищем в виде согласованного специального ряда
00 J
где /(/) е CfO.oo) — некоторая произвольная функция.
Для функции P(t, х, у) выполнены следующие соотношения, которые используются при получении уравнений для коэффициентов ряда (12)
Доказать сходимость ряда (12) для уравнения (11) методами, использовавшимися в § 1.1, пока не удается. Однако, даже небольшие отрезки ряда (3-4 члена) обладают хорошими аппроксимационными свойствами в некотором удалении от нуля. Произвольную функцию /(г), входящую в базисную, также можно использовать для приближенного удовлетворения заранее заданному краевому режиму на границе х2+у2=а2 .
В § 1.3 проводится сравнение приближенных решений, полученных с использованием специальных согласованных рядов и с помощью метода Фурье. Рассматривается уравнение нелинейных колебаний струны с закрепленными концами
"и = и11(1 + £и1), (13)
с начальными и граничными условиями
и(ж,0)=ио(ж), щ(х, 0) =1/1(2:) (О^х^тг),
и( 0,«)=и(М)=0 (¿>0).
Решение задачи строится в виде конечного отрезка ряда Фурье
N
щ(г>х) = 8ш(»х), (14)
1=1
и в виде специального ряда по степеням Р(г)=со8х , (¡)(а:)=8т:г
и(г,х)= аи(г)со8,я8т2',+1а:. (15)
Для коэффициентов 2,(<) мы имеем зацепленную нелинейную систему дифференциальных уравнений второго порядка. Увеличивая число слагаемых в отрезке ряда Фурье, нам каждый раз приходится заново формировать и решать систему со все большим количеством неизвестных. Тогда как при построении отрезков специального согласованного ряда за счет рекуррентности нахождения коэффициентов получаем цепочки дифференциальных уравнений, а не систему. Увеличение числа коэффициентов специального ряда не влечет за собой пересчет уже найденных коэффициентов.
В численных экспериментах проводилось сравнение приближенных решений, полученных методом специальных рядов, методом Фурье и высокоточным конечно-разностным методом. В качестве модельного рассматривалось конечно-разностное решение. В некоторых случаях отрезок ряда Фурье был ближе к конечно-разностному решению, а некоторых случаях — отрезок специального ряда. Все решения были достаточно близки. Но метод специальных рядов существенно удобнее для расчетов и вносит меньшую погрешность, поскольку для вычисления коэффициентов каждый раз приходится решать линейное дифференциальное уравнение, а не нелинейную зацепленную систему, как для отрезка ряда Фурье.
В § 1.4 рассматриваются подходы к автоматизации построения решений в виде специальных рядов по степеням некоторых базисных функций. При построении рядов используется система аналитических вычислений для получения уравнений для коэффициентов, а также рассматривается способ построения специальных рядов путем перехода к новым "базисным" переменным.
Основные результаты Главы 1.
• Проведено исследование применимости некоторых конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решения начально-краевых задач для нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте
• На базе известного точного решения построены новые приближенные решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решения по нулевому фону от некоторого граничного режима.
• Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фурье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.
Вторая глава посвящена численному моделированию задачи распространения тепла от заглубленного источника в неоднородной среде с нелинейными граничными условиями Описывается методика расчета и приводятся результаты численных экспериментов.
В § 2.1 описывается модель распространения тепла в трехмерном приграничном слое грунта с учетом солнечного излучения на дневной поверхности при наличии заглубленного источника тепла
Рассматривается задача о распространении тепла в грунте от нагретой и частично теплоизолированной трубы Эта задача описывается линейным уравнением теплопроводности:
дТ _ (с^Г сРТ д2Т\ ~Ж ~~ к{ дх2 + Эу2 + дг2)'
(16)
Хк =--коэффициент
рсь
температуропроводности, р — плотность;
к — коэффициент теплопроводности; Си — удельная теплоемкость. Область может иметь несколько слоев с различными Л*.
-Т1
На границах стыков слоев задается уравнение баланса потоков:
дТ дх
дТ дг
(17)
Рассмотрим граничные условия для расчетной области (параллелепипеда) На боковых стенках выделенного параллелепипеда
дп
На нижней грани задается условие постоянства температуры:
Т\ = ТдЫЪ
\glub
Граничное условие на трубопроводе имеет вид: . 8Т
дп
= ф,у,г)
Т\ -Т
¿гиЬ ! дтипЬ
Ь
(18)
где п — нормаль к поверхности трубопровода, е(х, у, г) — коэффициент теплоизоляции, зависящий от степени поврежденности оболочки трубы. Если е я; <5-1, где 8 — шаг сетки, то считается, что Т = Т1гиЬ,.
На дневной поверхности выполняется условие равновесия потоков, приносящих и уносящих энергию. Пусть У,ы = — вектор направления солнечно-
го света. С учетом направления солнечного потока доля энергии, ушедшая в грунт, будет изменяться от точки к точке и составит: адУ,0(, где а — доля поглощенной солнечной энергии, д — мощность солнечного потока, Т^ — нормализованная проекция вектора солнечного света на поверхность, = . . ■.
на горизонтальных поверхностях. Учитывая неровность поверхности в постановке задачи и направление солнечного света, на дневной поверхности будут как освещенные участки, так и затененные, для которых получаемая солнечная радиация равна нулю. Пусть Ь — коэффициент теплообмена дневной поверхности и грунта, а — постоянная Больцмана.
Ь (ТтгЛ - T\pm„hn.) = аТ4 + к—
(19)
poverhn
Это нелинейное граничное условие делает краевую задачу нелинейной, в отличие от линейных приближений, использованных ранее.
В § 2.2 рассматриваются методы решения сформулированной в § 2.1 задачи. Приводится краткий обзор разностных методов решения уравнения теплопроводности.
Для расчета распределения температуры (16) в трехмерной области используется метод конечных разностей с расщеплением по пространственным переменным (работы С.К. Годунова, A.A. Самарского, H.H. Яненко и других авторов). Постановка задачи во многом определила выбор методики расчета. При решении поставленной задачи (16)—(19) заказчиков особенно интересовала точность модели, её адекватность и способность соответствовать реальным процессам. Чисто неявная схема с опережением, выбранная для расчета, обеспечивает большую свободу при выборе шагов по времени, хотя она имеет меньший порядок аппроксимации по сравнению, например, со схемой Кранка-Николсона.
Для получения решений уравнений математической физики также могут быть построены схемы сверхвысокого порядка точности, использующие расширенные шаблоны (работы В.П. Шапеева, A.B. Шапеева8, А.Н. Валиуллина9). Эти методы и схемы являются более трудоемкими и более затратными с точки зрения организации счета, хотя и позволяют получать решение с очень высокой точностью. Кроме того, методы высокого порядка точности зачастую обладают меньшей устойчивостью по сравнению с методами низкого порядка, в частности, с шеститочечной схемой.
Параметры реальных грунтов таковы, что коэффициент температуропроводности Л ~ Ю-4 — 10~8 . При таких малых значениях уравнение (16) становится по своим свойствам сингулярно возмущенным, и в этом случае появляются пограничные особенности и переходные слои в областях источников тепла. Такое поведение сингулярно возмущенных задач приводит к тому, что на равномерных сетках ошибка сеточного решения неограниченно растет (работы К.В. Емельянова10, Г.И. Шишки-
*Шапеев А.В, Шапеев В.П. Разностные схемы повышенной точности для решения эллиптиче-
ских уравнений в области с криволинейной границей // Журнал вычислительной математики и
математической физики. Т. 40. № 2. 2000. С. 223-232.
9Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. — Новосибирск. НГУ, 1973.
10Емельянов К.В. О разностном методе решения третьей краевой задачи для дифференциального
на11, И В Целшцевой12). Для построения адекватной разностной схемы необходимо использовать сетки, априорно сгущающиеся в пограничных слоях. Это могут быть как кусочно-равномерные, так и адаптивные неравномерные сетки.
Система разностных линейных алгебраических уравнений имеет трехдиагоналъ-ный вид и решается методом прогонки. Разностные уравнения удовлетворяют достаточным условиям, при которых формулы прямого и обратного хода имеют смысл (знаменатели не обращаются в ноль) и устойчивы. Если крайнее разностное уравнение включает в себя нелинейный член (направление по г , дневная поверхность), то разностное уравнение для температуры Т на поверхности после прямого хода прогонки приобретает вид
где ¡2 = Оа >0,0— шаг сетки; /1 > 0 и /0 — прогоночные коэффициенты. Тогда Г(и) = 4 /2Г3 + /, > 0 при Г ^ О, Г"{Т) = 12 /2Г2 >0 при Т > 0 . Для решения уравнения (20) можно использовать метод Ньютона:
Также в § 2.2 приводятся блок-схемы программы расчета и представлен алгоритм циклической редукции для решения трехдиагональных и блочно-трехдиагональных систем разностных линейных алгебраических уравнений для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью.
В § 2.3 приводятся результаты тестовых расчетов, распределение температур по вертикали для случая фиксированной температуры на глубине и на дневной поверхности и с потоком тепла через дневную поверхность. Показано, что если модель не учитывает эффект излучения "черного тела", то есть расчет проводится по линейной модели, то возникает существенный, но не наблюдаемый на практике, перегрев поверхности Также приводятся картины тепловых полей на дневной поверхности при расчете на сгущающихся сетках.
§ 2.4 посвящен анализу результатов вычислительных экспериментов, проведенных с использованием разработанного комплекса программ. Приводятся рассчитанные картины тепловых полей в трехмерной области при различных условиях теп-ловизионной съемки. Показано, что даже если оболочка трубопровода полностью теплоизолирована (поток тепла через оболочку равен нулю), то за счет лучшего прогрева солнцем приповерхностного слоя над трубопроводом, трубопровод будет проявлять себя как пассивный источник тепла и может быть обнаружен тепловизором.
Приводятся расчеты различных вариантов расположения повреждений на трубопроводе и представлены соответствующие им тепловые картины на дневной поверхности. Также в диссертации представлены результаты серии численных экспериментов по моделированию условий тепловизионной съемки при наличии снежного покрова
уравнения с малым параметром при старшей производной // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 15 № 6. 1975. С. 1457-1465.
11 Шишкин Г.Н Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений — Екатеринбург: УрО РАН. 1992
иЦелищева ИВ, Шишкин Г.И. Метод декомпозиции области для сингулярно возмущенных параболических задач с переходным слоем // Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач Материалы III Всероссийского семинара, Казань, 2000. С. 129-131.
F(T) = /2Т4 + /,Г - /о = О,
(20)
То = 0,
k>0,
Tjv_i = Т/с для достаточно большого к.
Рис. 1 Распределение температуры на дневной поверхности при частичном повреждении теплоизоляции трубопровода и при наличии траншеи.
Рис. 2. Распределение температуры на дневной поверхности при различных положениях траншеи относительно трубопровода.
Кроме того, наследуется влияние неровности на дневной поверхности и направления солнечного света. На рис. 1 и 2 представлены тепловые картины на Дневной поверхности при различном положении раншеи относительно трубопровода. Солнце — с "запада", вдоль трубопровода. Светлые участки — более теплые, темные -холодные. Тепловой след от трубопровода ярче проступает на дне траншеи.
Основные результаты Главы 2.
• Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное Численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
• С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.
• Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ в ТПИ МИФИ (г, Трехгорный).
В заключение выражаю глубокую благодарность Александру Илларионовичу Короткому и Михаилу Юрьевичу Филимонову за внимание, ценные сонеты, замечания ¡г интерес к мои а исследованиям, а также В\яадимиру Витальевичу Блшу^ощ- за постановку задачи и полезное обсуждение.
Публикации по теме диссертации
\1\Башуров В.В., Ваганова H.A., Ртищев Д.Е., Филимонов М.Ю Моделирование тепловых полей на дневной поверхности от заглубленного источника с учетом лучистого излучения Ц Труды 34-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2003. С. 82-85
\2\Bauiypoe В.В., Ваганова H.A., Филимонов М.Ю Расчет тепловых полей от заглубленного источника с учетом лучистого излучения и при возможной неровности дневной поверхности Ц Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 36-ой Региональной молодежной конференции. 2005, Екатеринбург. С. 115-118.
[3 \Batuypoe В. В., Ваганова НА., Жаринов C.B., Ртищев Д Е., Филимонов М.Ю. Анализ температурных полей над магистральными трубопроводами Ц Труды VIII Всероссийской конференции "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф", Кемерово 26-28 октября 2006 г., с 89-96.
[4\Вашуров В.В., Ваганова H.A., Жаринов C.B., Филимонов М.Ю. Программа и метод расчета тепловых задач с граничными условиями, учитывающими излучение Ц Труды международной научно-практической конференции "Снежинск и наука - 2006. Трансфер технологий, инновации, современные проблемы атомной отрасли", г. Снежинск 4-9 июня 2006 г. с. 70-74.
[5¡Ваганова H.A. Декомпозиция области при расчете вихревых течений в каналах Ц В сб. "Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений". Вып. 5 Екатеринбург. 2001 С. 71-81.
ЩВаганова H.A. Построение новых классов решений нелинейного уравнения фильтрации с помощью специальных согласованных рядов Ц Труды ИММ УрО РАН Екатеринбург, 2003 Т 9. № 2. С 10-20
|7\Ваганова H.A. Численно-аналитический метод решения двумерного уравнения фильтрации с помощью специальных рядов /Труды Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности". Ростов-на-Дону. Изд-во РГУ, 2000 С. 36-40.
¡8] Ваганова Н.А Применение специальных рядов для численного решения двумерного уравнения фильтрации Ц Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 32-й регион, молод, конференции. Екатеринбург. 29.01.0102.02 01. С 102-105.
[ЩВаганова H.A. Применение метода специальных рядов для описания фронта нелинейной фильтрации Ц Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования" Том 1. Красноярск. 2001. С. 132-134. [10|Ваганова Н.А Использование специальных рядов для построения решений уравнения нелинейной фильтрации Ц Труды IX Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования" (17-21 сентября 2001 г.) Ростов-на-Дону: РГУ, 2001. С. 76-80. \11]Ваганова H.A. Об алгоритмических способах построения специальных рядов и рядов Фурье для нелинейных волновых уравнений Ц Труды 33-ей Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2002. С. 121-125 \12]Ваганова Н.А Применение специальных согласованных рядов для приближенного описания процесса нелинейной фильтрации Ц Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 35-ой Региональной молодежной конференции. 2004, Екатеринбург С. 105-109. \13]Ваганова Н.А Моделирование и расчет тепловых полей от заглубленного тру-
бопровода / Труды XI Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования" (4-10 сентября 2005 г.). Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2005. С. 81-86.
|Ы\Ваганова Н.А. Моделирование неоднородных тепловых полей от заглубленного источника на дневной поверхности / Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 7. Тюмень: Издательство "Вектор Бук", 2005. С. 77-84.
¡15]Ваганова Н.А., Коврижных О.О., Хайруллина О.Б. Моделирование газодинамических процессов в камерах сгорания на многопроцессорной машине/ Вычислительные технологии. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. Т. 1. №. 2. С. 5764.
[16|5вгакова Н.А., Коврижных О.О., Хайруллина О.Б. Параллельный алгоритм решения блочно-техдиагональных систем линейных алгебраических уравнений / В сб. "Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений". Вып.2. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1998. С. 47 - 61.
\17\Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Представление новыми конструкциями согласованных рядов решений нелинейных уравнений в частных производных / Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2001. Вып. 118. С. 103-108
[ЩВаганова Н.А., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений Ц Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2002. Вып. 120. С. 79-83.
¡19) Vaganova N.A. Constructing New Classes of Solutions of Nonlinear Filtration Equation by Special Consistent Series / Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 2. 2003. P. S182-S184.
(20) Vaganova N.A. On certain properties of nonlinear ordinary differential equations systems for simulating wave motions / Proc. of XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics", June 27-Jule 6, 2002. St. Peterburg. 2003. P. 607-611.
Подписано в печать 21.12.2006. Формат 60x84/16. Объем 1 п. п. Тираж 100 экз. Заказ 200 Размножение с готового оригинал-макета в типографии "Уральский центр академического обслуживания" 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18.
Обозначения
Введение
Глава 1. Применение метода специальных рядов
Краткий обзор аналитических методов.
§ 1.1. Построение решения одномерного уравнения нелинейной фильтрации в виде специальных рядов.
1.1.1. Одномерное уравнение нелинейной фильтрации
1.1.2. Решение в виде согласованного ряда.
1.1.3. Использование функционального произвола согласованных рядов для приближенного решения краевых задач.
§ 1.2.Примеиеиие специальных рядов для численного решения двумерного уравнения фильтрации
1.2.1. Уравнение двумерной фильтрации.
1.2.2. Построение согласованных рядов.
1.2.3. Краевая задача.
§ 1.3. Сравнение метода Фурье и метод специальных рядов
1.3.1. Постановка задачи.
1.3.2. Применение методов.
1.3.3. Результаты численного сравнения метода Фурье и метода специальных рядов.
§ 1.4. Алгоритмические способы построения специальных согласованных рядов.
Основные результаты Главы 1.
Глава 2. Численное моделирование задачи распространения тепла от заглубленного источника в неоднородной среде
§ 2.1. Описание модели и постановка задачи.
2.1.1. Основные уравнения
2.1.2. Граничные условия на дневной поверхности
§2.2. Методы решения.
Разностные методы решения уравнения теплопроводности
2.2.1. Краткое описание расчетной методики.
2.2.2. Расчетная сетка.
2.2.3. Выбор шага по времени.
2.2.4. Аппроксимация уравнений
2.2.5. Граничные условия.
2.2.6. Метод решения систем разностных уравнений с нелинейным условием на границе.
2.2.7. Блок-схема программы расчета.
2.2.8. Параллельный алгоритм циклической редукции решения систем линейных алгебраических уравнений
§ 2.3. Тестовые расчеты
2.3.1. Линейное распределение температуры по вертикали z с фиксированной температурой на концах.
2.3.2. Распределение температуры по вертикали z с потоком через дневную поверхность.
2.3.3. Поля температур па поверхности области. Сгущающиеся сетки.
§ 2.4. Результаты численных экспериментов.
2.4.1. Поля температур в модельной области с теплоизолированным трубопроводом. Пассивные источники тепла
2.4.2. Тепловые следы от трубопроводов с поврежденной теплоизоляцией.
2.4.3. Моделирование условий тепловизиопной съемки при наличии снежного покрова.
2.4.4. Исследование влияния неровности земной поверхности и высоты солнца над горизонтом на тепловой портрет дневной поверхности.
Основные результаты Главы 2.
Общая характеристика работы
Диссертационная работа посвящепа разработке и применению числеппо-апалитического подхода, основанного на методе специальных рядов, для конструктивного построения решений некоторого класса нелинейных уравнений механики сплошной среды, а также моделированию и численной реализации задачи о нахождении теплового поля от заглубленного теплового источника с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
Актуальность темы
Для решения различных проблем, возникающих в современной науке и технике, актуальной задачей является построение адекватных математических моделей, которые как правило описываются нелинейными уравнениями с частными производными. Стремительное развитие вычислительной техники позволило рассматривать все более сложные многомерные модели, учитывающие топкие явления, без которых невозможно точно описать реальные физические процессы. Для исследования таких моделей создаются различные методики, требующие надежных способов их верификации. Поэтому важной задачей является построение тестов для отладок численных методик, например, получение точных решений в замкнутой форме, или в виде сходящихся рядов пусть даже и для упрощенных моделей. Кроме того, решения полученные аналитическими методами дают возможность изучить свойства исследуемых моделей. В ряде задач мехаиики сплошной среды перспективным направлением получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Поэтому наряду с численными методами интенсивно развиваются и аналитические подходы к получению решеиий. Большое развитие получили аналитические методы решения нелинейных уравнений с частными производиыми, использующие в качестве основной конструкции ряды. Главным образом, это степенные ряды либо ряды Фурье, а в случае уравнений с малым параметром — асимптотические ряды. Для представления решений линейных и нелинейных систем уравнений с частными производными были разработаны характеристические ряды (работы Р. Куранта [60], Д. Людвига [114], В.М. Бабича [1,2], А.А. Дородницына [50], А.Ф. Сидорова [71-73], В.М. Тешукова [76-78], С.П. Баутина [3], М.Ю. Козмапова [55] и др.).
Эти работы послужили основанием для создания А.Ф. Сидоровым нового аналитического метода представления решений нелинейных уравнений в частных производных — метода специальных рядов. Этот метод был с успехом использован в работах А.Ф. Сидорова, С.С. Титова, М.Ю. Филимонова, Л.Г. Корзунина, С.В. Вершинина, О.В. Коковихиной и К.В. Кур-маевой [45,57,61-63,73,79-86,88,110].
В диссертационной работе получил свое развитие конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными — метод специальных рядов, который позволяет строить новые классы решеиий начальных и начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений с частными производиыми.
При решении реальных физических задач редко удается обойтись без применения численных методик. Например, к такой задаче относится описание тепловых полей от заглубленного источника с учетом лучистого излучения тепла от дневной поверхности. Эта задача важна для многих приложений, в частности, при проведении мониторинга целостности теплоизолированного заглубленного трубопровода. При этом может оказаться, что трубопровод проложен в слоях грунта, имеющих различные тепловые характеристики. Под воздействием различных факторов теплоизолирующая оболочка трубопровода может разрушиться и начнется теплообмен с окружающей средой (к примеру, температура нефтепродуктов движущихся по трубопроводу составляет около 30 градусов Цельсия). Существуют различные приборы (тепловизоры), которые позволяют снимать с большой точностью тепловые поля с поверхности, расположенной над трубопроводом [12]. Основной задачей мониторинг-контроля является определение возможных областей повреждения теплоизоляции трубопровода и трещин. Интересно рассмотреть также и обратную задачу об определении характера повреждений и интенсивности тепловыделения по результатам измерения теплового поля на дневной поверхности. В настоящее время открытыми остаются также вопросы: имеет ли смысл проводить тепловизорные контрольные замеры поверхности, расположенной над трубопроводом при наличии снежного покрова? И если да, то в каком спектре излучения?
Представленная выше физическая задача может быть описана линейным уравнением теплопроводности в трехмерной области при наличии нелинейных граничных условий на дневной поверхности. Теоремы существования и единственности решения для некоторых таких моделей рассматривались в работах П. Куитнера [115].
Необходимость изучения нелинейной модели проявляется при исследовании многих задач. Например, в работе С.С. Титова [81] рассматривалась задача о распределении температуры в тонком кольце, нагреваемом точечным источником (с учетом излучения при сварке), описываемая параболическим уравнением с нелинейной правой частью. Сравнение построенного решения в виде специального тригонометрического ряда для линейной и нелинейной модели показало, что линейная теория дает существенно завышенные значения температуры.
При построении алгоритмов расчета нелинейное граничное условие, как правило, аппроксмируется на решении, полученном либо из линейной модели, либо вычисленном на предыдущем шаге итерационного процесса. Например, в работах В.П. Шапеева, А.Н. Черепанова и др. авторов [103,105] одно из граничных условий для уравнения теплопереноса включает в себя нелинейный радиационный коэффициент теплоотдачи, значение которого аппроксимируется на решении, вычисленном на предыдущей итерации.
Однако работ по прямому численному моделированию задач о распространении тепла при непосредственном решении задачи с нелинейными граничными условиями, учитывающими солнечную радиацию, автору не известны.
Таким образом, представляется весьма актуальным вопрос о решении прямой задачи нахождения теплового поля на дневной поверхности. Решение и моделирование этой прямой задачи позволяет ответить на многие интересующие вопросы и получить приемлемые качественные и количественные результаты.
Цель работы:
Построить новые решения в виде специальных сходящихся рядов и применить ряды, содержащие функциональный произвол, для построения решений начально-краевых задач для нелинейного уравнения фильтрации.
Для представления решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения с точным удовлетворением нулевых краевых условий построить специальный ряд и провести численное сравнение метода специальных рядов и метода Фурье на этом примере.
Разработать методику расчета прямой задачи распространения тепла в приповерхностном слое грунта с условием лучевого обмена энергией солнечная радиация и тепловое излучение поверхности грунта, а также теплообмен, связанный с подводом тепла из глубин Земли или от аккумулирующих тепло источников: трубопроводов, подземных объектов, геологических аномалий и т.д.) с прилегающим к поверхности слоем воздуха, позволяющую моделировать различные условия тепло-визионной съемки. Написать и отладить комплекс программ для решения задачи о тепловом поле на дневной поверхности от подземного трубопровода с возможными его повреждениями. Провести серию численных расчетотов для получения атласа тепловых полей, полученных при типичных повреждениях теплоизоляции трубопроводов для выработки рекомендаций при проведении реальных тепловизионных съемках.
Методика исследований
В работе используются методы и подходы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы приближенного решения уравнений, методы визуального графического представления резльтатов расчетов.
В качестве аналитического аппарата в работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) — метод специальных рядов. Рассматриваются начально-краевые задачи для некоторого класса нелинейных уравнений теплопроводности, для которых известны точные решения в виде полиномов по пространственным переменным.
Методы численного моделирования используются при исследовании задачи о тепловом поле от заглубленного теплового источника с учетом лучистого излучения на дневной поверхности. Используется метод геометрического расщепления многомерной краевой задачи по направлениям на ортогональной сетке. Применяется неявная шеститочечная двухслойная разностная схема для одномерного уравнения теплопроводности. Для решения соответствующей системы линейных разностных алгебраических уравнений используется метод прогонки. При численного решения нелинейного уравнения четвертого порядка используется метод Ньютона.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
На базе известного точного решения построены новые приближенные решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решения по нулевому фону от некоторого граничного режима.
Проведено численное исследование применимости некоторых построенных конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решения начально-краевых задач нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте.
Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фурье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.
Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением. С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионпых съемок трубопроводов.
Теоретическая и практическая значимость
Работа иосит теоретический и практический характер. Метод специальных рядов получил дальнейшее развитие на пути практического применения этого подхода к приближенному решению краевых задач. Построен новый класс решений нелинейного уравнения фильтрации в виде специальных рядов, согласованных с точным решением.
Разработан комплекс программ, позволяющий моделировать различные условия тепловизиоииой съемки, и тем самым повысить эффективность таких наблюдений и, как следствие, разработать методы диагностики целостности трубопровода и наличия несанкционированных врезок. Непосредственное численное моделирование температурных полей, возникающих на дневной поверхности над участком заглубленного трубопровода, позволяет сделать ряд выводов о возможности обнаружения тепловых неодиородио-стей на рассматриваемом участке, а также обосновать правила проведения тепловизионных съемок.
Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ в ТПИ МИФИ (г. Трехгорный).
Публикации
Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК [31,117], в сборниках [17,18,30,32,33,35], а также в трудах международных и всероссийских конференций [9,10,19,20,22,24, 25,28,29,119].
Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора, а именно: из работ [5-11] с Вашуровым В.В., Ртищевым Д.Е., Жариновым С.В., Филимоновым М.Ю. включены только результаты, касающиеся разработки вычислительного алгоритма и комплекса программ расчета тепловых полей в трехмерной области с учетом лучистого излучения на дневной поверхности; из работ [31,32,113] с Коврижных О.О., Хайруллипой О.Б. включены только результаты, касающиеся разработки и реализации алгоритма циклической редукции для решения блочно-трехдиагональных систем линейных разностных уравнений для многопроцессорной вычислительной системы с распределенной памятью; из работ [33-41,111,112,121,122] с Филимоновым М.Ю. включены только результаты, связанные с аналитическим построением соответствующих решений нелинейных уравнений и численными экспериментами по применению метода специальных рядов для построения решеиий нелинейного волнового уравнения и уравнения фильтрации.
Апробация
Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:
VIII Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо (1999);
Всероссийская научная конференция "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва (1999);
Международная конференция, посвященная 150-летию С.В.Ковалевской, Санкт-Петербург (2000); международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2000);
Всероссийская конференция "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Абрау-Дюрсо (2000);
III Международная конференция по математическому моделированию, Якутск, (2001);
VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, (2001); международная конференция "Математические модели и методы их исследования", Красноярск (2001); международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", Новосибирск (2001);
VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (2002); III международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2002);
XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти КИ.Бабеико, Дюрсо (2002);
Международные летние шкоды-коиференции "Прикладные проблемы механики", Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004);
Всероссийская школа - семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", (2002, 2004); Международная конференция "Забабахинские научные чтения", Сне-жинск (2003);
Всероссийская школа - конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (2003, 2004);
Всероссийская конференция приуроченная к 85-летию академика Л.В.Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", Новосибирск (2004); XI Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования," Абрау-Дюрсо (2005);
Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003); на научном семинаре Отдела прикладных задач Института математики и механики УрО РАН, руководитель — д.ф.-м.н. А.И.Короткий.
Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [5-9, И, 14-16,19-21,23-29,34,36-41,111,112,118,120-122].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и помер формулы. Общий объем работы — 130 страниц. Библиография содержит 122 наименований.
Основные результаты Главы 2
• Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности па дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
Рис. 46. Температура на дневной поверхности. Солнце в зените.
Рис. 47. Температура на дневной поверхности. Солнце с "запада"(слева), 70° над горизонтом.
Рис. 48. Температура на дневной поверхности. Солнце с "запада", 45° над горизонтом.
Солнце: с "Запада" с "Юга"
Рис. 49. Распределение температуры на дневной поверхности
276 г
Рис. 50. Распределение температуры на дневной поверхности вдоль траншеи
276 г 276 г
Рис. 51. Распределение температуры на дневной поверхности вдоль трубопровода в) г)
Рис. 52.
Рис, 53. а) б)
Риг. 54. Модельная область с траншеей
• С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.
• Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ и ТПИ МИФИ (г. Трехгорный).
Заключение
На базе известного точного решеиия построены новые приближенные решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решеиия по нулевому фону от некоторого граничного режима.
Проведено численное исследование применимости некоторых построенных конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решеиия начально-краевых задач нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте.
Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фурье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.
Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.
С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.
1. Бабич В.М. Об элементарных решениях гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1959. Т.219, N 3. С. 478-481.
2. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Математический сборник. 1960. Т. 52 (94): 2. С. 709 738.
3. Баутип С.П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, N 11. С. 2052 2063.
4. Баутип С.П. Аналитическая тепловая волна. -М.: Физматлит, 2003, 88 с.
5. Буданин О.Н., Потапов А.И., Колгаиов В.И., Троицкий-Макаров Т.Е., Абрамова Е.В. Тепловой перазрушающий контроль изделий. М.: Наука. 2002.
6. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. — М.: Мир. 1971.
7. Ваганова Н.А. Об одном параллельном алгоритме решения систем линейных уравнений // В сб. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов 29-ой Региональной молодежной конференции. Екатеринбург. ИММ УрО РАН. 1998. С 58-59.
8. Ваганова Н.А. Расчет потенциальных течений несжимаемой жидкости в многосвязных областях // В сб. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов 30-ой Региональной молодежной конференции. Екатеринбург. ИММ УрО РАН. 1999. С 27-28.
9. Ваганова Н.А. О декомпозиции области в задаче расчета вихревых течений в ограниченных каналах // Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования". Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1999.
10. Ваганова Н.А. Декомпозиция области при расчете вихревых течений в каналах // В сб. "Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений". Вып. 5. Екатеринбург. 2001. С. 71-81.
11. Ваганова Н.А. Построение новых классов решений нелинейного уравнения фильтрации с помощью специальных согласованных рядов // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2003. Т. 9. № 2. С. 10-20.
12. Ваганова Н.А. Применение специальных рядов для численного решения двумерного уравнения фильтрации // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды32.й регион, молод, конференции. Екатеринбург. 29.01.01-02.02.01. С. 102-105.
13. Ваганова Н.А. Применение метода специальных рядов для описания фронта нелинейной фильтрации // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". Том 1. Красноярск. 2001. С.132-134.
14. Ваганова Н.А. Примеиение специальных рядов для представления решений уравнения нелинейной фильтрации // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (23-29 августа 2001 г.). Аннотации докладов. Пермь: ИМСС УрО РАН, 2001. С. 136.
15. Ваганова Н.А. Об алгоритмических способах построения специальных рядов и рядов Фурье для нелинейных волновых уравнений // Труды XXXIII Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2002. С. 121-125.
16. Ваганова Н.А. О некоторых классах решений уравнения нелинейной фильтрации // Тезисы 19-й Всероссийской школы-семинара "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП-2002)". Снежинск. 2002. С. 17.
17. Ваганова Н.А. Применение специальных согласованных рядов для приближенного описания процесса нелинейной фильтрации // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 35-ой Региональной молодежной конференции. 2004, Екатеринбург. С. 105-109.
18. Ваганова Н.А. Моделирование и расчет тепловых полей от заглубленного трубопровода // Труды XI Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математическогомоделирования". Абрау-Дюрсо, 4-10 сентября 2005 г С. 81-86.
19. Ваганова Н.А. Моделирование неоднородных тепловых полей от заглубленного источника па дневной поверхности // Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 7. Тюмень: Издательство "Вектор Бук", 2005.г. С. 77-84.
20. Ваганова Н.А., Коврижных О.О., Хайруллипа О.Б. Моделирование газодинамических процессов в камерах сгорания на многопроцессорной машине// Вычислительные технологии, Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996, т. 1, по. 2, с.57-64.
21. Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Представление новыми конструкциями согласованных рядов решений нелинейных уравнений в частных производных // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2001, Вып. 118, с. 103-108.
22. Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений // Динамика сплошной среды, Новосибирск, 2002, вып. 120, с. 79-83.
23. Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Применение и обоснование метода Фурье для решения нелинейных волновых уравнений // "IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике". Аннотации докладов (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.). Т. 1. С. 30.
24. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. — Новосибирск: НГУ, 1973.
25. Васильев В.И., Попов В.В., Тимофеева Т.С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа — Новосибирск: СО РАН, 2000.
26. Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1983. N 7. С. 13-27.
27. Вершинин С.В., Сидоров А.Ф. О поведении решений уравнений двойных волн в окрестности области покоя // ПММ. 1974. Т.39, вып.6. С.1043-1050.
28. Галактионов В.,А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полииомиальиыми нелинейностями // Диф-ференц. уравнения, 1995, т. 31, N 2, с. 253-261.
29. Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичной нелинейностью // Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. М., 1999, с. 190-207.
30. Годунов С.К„ Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики — М.: Наука, 1976.
31. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1977.
32. Дородницын А.А. Некоторые случаи осесимметричпых сверхзвуковых течений газа //
33. Сборник теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз, 1957. С. 77 88.
34. Емельянов К.В. О разностном методе решения третьей краевой задачи для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 15. № 6. 1975. С. 1457-1465.
35. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Успехи математических наук, 1987. т. 42, вып. 2(254), с. 135-176.
36. Калиткин Н.Н., Ритус И.В. Комплексная схема решения параболических уравнений. М.,1981. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 32).
37. Ковалевская С.В. К теории дифференциальных уравнений в частных производных // Научные работы. М.;Л.: Изд-во АН СССР. 1948. С. 7-50.
38. Козмапов М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для гиперболических систем квазилинейных уравнений первого порядка с двумя переменными // ПММ, 1975, т. 39, вып. 2, с. 253-259.
39. Ковеня В.М., Яиеико Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики — Новосибирск: Наука, 1981.
40. Коковихииа О.В., Сидоров А.Ф. Специальные конструкции рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными // Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984, т. 15, N 3, 1984, с. 72-84.
41. Крукиер Л.А., Шевченко И.В. Моделирование гравитациониого режима течения грунтовых вод // Труды VIII Всероссийской школы-семииара "Современные проблемы математического моделирования". Ростов-па-Дону: Изд. РГУ, 1999.
42. Кумсков А.И., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Об устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности. М., 1983. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 131).
43. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 С.
44. Курмаева К.В., Титов С.С. Обобщение аналитических решений J1.В.Овсянникова для трансзвуковых течений // Прикладная механика и техническая физика, 2005, т. 26, N 6, с. 14-25.
45. Курмаева К.В., Титов С.С. Аналитическое построение ближнего поля трансзвукового течения около тонкого тела вращения / / Сибирский журнал индустриальной математики, 2005, т .8, N 3(23), с. 94-101.
46. Курмаева К.В. Задача Коши для течений газа с данными на оси симметрии // Труды 36-й региональной Молодёжной школы-конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005, с. 151-156.64
