Модели нелинейной диффузии в задачах оптимизации технологии производства элементов градиентной оптики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ Г0С9ДЙРСТВЕНННИ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЭДК 517.9

ФИЛИППОВ Кирилл Борисович

«ОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ГРАДИЕНТНОЙ ОПТИКИ

01.01.09 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА 03.13.16 - ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ, МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1992

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Алеиков Юрий Зосимович. Официальные оппоненты - доктор технических наук Мочуев Юрий

Иванович

доктор' физико-математических наук, профессор Хованов Николай Васильевич Ведущая организация - Санкт-Петербургский институт точной

механики и оптики

Защита состоится 1993 г. Л. часов на

заседании специализированного Совета K-063.S7.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу:

198904, Санкт-Петербург. Петродворец, Библиотечная пл., 2 факультет прикладной математики - процессов управления.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.Н.Горького СПбУ по адресу СПб Университетская наб., 7/9

Автореферат

Ученый секретарь специализированного Совета

доцент

Горьковой В.Ф.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМИ. Элементы градиентной оптики Сгра-даны) находят иирокое применение в задачах оптического приборостроения таких как создание эндоскопов медицинского и технического назначения, создание волоконно-оптических систем передачи и обработки информации и других.

При создании граданов с помочью ионообменной диффузии в стеклах стоит задача выбора технологического режима, обеспечивающего формирование в стекле идеального профиля показателя преломления, вид которого зависит от назначения градана и определяется из ревения оптической задачи.

Выбор технологического режима сводится к определении температуры, времени, краевых условий процесса, к определении геометрических размеров и химического состава стекол. Трудоемкость экспериментов не позволяет реяить эту задачу эмпирически. Возникает необходимость в адекватных математических моделях. позволяющих рассчитывать технологический режим, а также реяать задачи управления и оптимизации для этих технологий.

ЦЕПЬ РАБОТЫ; Цельи диссертационной работы является создание адекватных математических моделей процессов ионообменной диффузии в стеклах, включающих в себя постановки задач, методики обработки экспериментальных данных с целью определения параметров моделей, .эффективные вычислительные алгоритмы. приспособленные для использования их на персональных ЭВМ и позволяющие проводить исследования больвого числа вариантов процесса.

МЕТОЛН ИССЛЕДОВАНИЯ. Для ревения поставленных задач

использовались методы термодинамики необратимых процессов, метод балансовых уравнений, конечно-разностные методы реаения нестационарных уравнений диффузии, метод Самарского для нелинейных операторов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Исследуемые процессы ионообменной диффузии моделируются нестационарными нелинейными уравнениями в частных производных для двух пространственных переменных. В общем случае для этих задач отсутствуют теоремы существования и единственности, что затрудняет поиск и исследование сходимости численного реаения.

Проблемой является и ременне обратных задач нелинейной диффузии, а именно определение коэффициента диффузии, нелинейно зависящего от искомой функции.

Управление ионообменными процессами в стеклах и оптимизация геометрических параметров граданов осложняется ограниченностью допустимых ревимов граничного управления и узостью области изменения оптимизируемых параметров. Научная новизна диссертационной работы состоит в преодолении перечисленных выве трудностей при создании адекватных математических моделей и решении ряда задач управления и оптимизации технологии производства элементов градиентной оптики.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Созданные математические модели являются достаточно общими для рассматриваемых задач, так как позволяют учесть сложную нелинейную зависимость коэффициента 'взаимодиффузии' от концентрации обменивающихся компонент, возмоаную нелинейную зависимость показателя преломления от концентрации, неоднородность тепловых условий, нестационарность граничных условий и произвольность начальных условий.

Эти математические модели доведены до набора программ, записанных на язике Р01ШШ. Это позволяет рассчитывать на персональных ЭВМ за короткое время (-V несколько минут) профиль показателя преломления в любом сечении образца в произвольный момент времени для исследуемого технологического реяима. Численный эксперимент по этим моделям в ряде случаев позволил практически ремить задачу оптимизации и управления граничной концентрацией.

На основе этих расчетов были созданы технологические реяимы опнтно-промыиленного производства эндоскопов технического назначения, конкурентоспособных на мировом рынке.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВННОСИННЕ НА ЗАЩИТУ.

1. Постановка неизотермической задачи ионообменной диффузии в стеклах разного химического состава для разных условий на границе.

2. Эффективный вычислительный алгоритм реиения обратной задачи нелинейной диффузии по методу Больцмана-Матано, справедливого в области автомодельности реиения прямой задачи.

3. Метол решения обратных задач нелинейной диффузии, справедливый в области отсутствия автомодельности реиения прямой задачи.

4. Эффективный алгоритм численного реиения задачи нелинейной диффузии, который реализован для цилиндрических образцов.

5. Частное аналитическое решение нелинейного уравнения диффузии в цилиндрических координатах.

6. Расчет оптимального технологического режима на основе аналитического реиения задачи п.5.

7. Процедура оптимизации процесса Формирования заданного

профиля показателя преломления в цилиндрическом образце.

АПРОБАЦИЯ РАБОТУ. Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры математического моделирования математико-механического факультета, на кафедре высмей математики факультета прикладной математики-процессов управления СПбУ. на семинарах лаборатории моделирования управления в гетерогенных системах НИИ ВЫ и ПУ, на кафедре высвей математики института точной механики и оптики.

ПУБЛИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Основные результаты отражены в работах [1М31.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТУ. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Материал изложен на 95 страницах. Библиография - 26 наименований.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель диссертации, приводится краткая характеристика содержания работы по главам, обсуждается практическая значимость полученных результатов.

ГЛАВА 1. В главе 1 рассмотрены общие принципы математического моделирования. На основе анализа процесса ионообменной диффузии в стеклах предложен ряд математических моделей, соответствующих разным технологическим ревениям проведения процесса ионного обмена. Глава 1 состоит из 4-х параграфов. В п.1 приведены общие принципы построения неформальных математических моделей. В п.2 рассмотрены теоретические основы процесса ионообменной диффузии в стеклах и выводы из основных работ в этой области, позволяющие

записать постановку задам моделирования ионообменных процессов. В п.З приведена постановка задачи формирования распределения показателя преломления в соосных цилиндрах:

п(г.гД) = Р( сС г.г, Ь))

~дс 4 ^дС ^Т

- = - [ гШс.Т) — + В(с,Т) -)] +

4)1; Ъ ШЪ

"с) "Ьс "Г)Т + - ( 0(с,Т) -- + В(с.Т) - )

^ыг.

Ь = О : Т = т0 . с = ^'снч геМ.Н.,) . ZG.fO.Ll

1с г6-С1Г.11 1 . гбДО.Ы

[ Нг с к 1 2.

г = 0 , гб [О.и . Ь > 0 : = 0

-о-с

г = I* . геЕО.И . I > 0 : = 0

2. -~ОгЬ

(г = 0. г € 10.11 1) и ( г = I, геСО.Я ,1). Ь > 0 = 0

п(г.г.Ь) - показатель преломления; с(г.гД) - концентрация диффундирующей компоненты; ТСг.гД) - температура; Я , -радиусы внутреннего и внешнего цилиндров; Ь - длина образца; ОС с.Т) - коэффициент взаимодиффузии: В(с,Т) - коэффициент термодиффузии.

В п.4 приведена постановка задачи формирования распределения показателя преломления в образце, погруженном в расплав.

ГЛАВА 2. В главе 2 рассмотрены методы режения обратных задач нелинейной диффузии. В п.1 изложен метод Больцмана, позволяпций определить зависимость коэффициента диффузии от концентрации 0(с) из обработки эмпирических профилей концентрации, минуя ревение нелинейного уравнения диффузии

А

С

_ А 1 Г . * . с1 С .

В( с) = с--х(сд )ао / ( -— л )

Xt*j dx Icr^t-t*

В п.2 исследустся границы применимости метода Больцмана. Рассмотрен пример, иллистрируищий оиибку, характерную для ряда экспериментальных работ, к которой приводит использование метода Больцмана вне рамок его применимости. В п.З предложен эффективный вычислительный алгоритм расчета 0(c) по методу Больцмана. В п.4 приведены примеры обработкй экспериментальных данных по методу Больцмана с помощью алгоритма п.З. В п.5 Предложен метод решения обратных задач нелинейной диффузии, справедливый в области отсутствия автомодельности ревения прямой задачи ( т.е. сСх.Ц) может быть не равно c(g.t^), где = X J ^¿/^л

ГЛАВА 3. В главе 3 рассмотрен ряд задач оптимизации технологических режимов создания элементов градиентной оптики. В п.1 определен вид оптимального профиля распределения показателя преломления в цилиндрических граданах:

* , ш i г. z 5" 4 4 <? 6 п (г) = n seen Сgr) = п(1--в г + — s г--g г +...)

£ Z4 72о

В п.2 сформулирована задача оптимизации технологического режима проведения ионообменной диффузии. В п.З предложена

процедура поиска оптимального граничного ре!има для задачи п.4 главы 1. В одном из пунктов этой процедуры приведено решение задачи приближения функции (профиля концентрации) полиномами 4-ой и 6-ой степени, в п.4 получено аналитическое ревение нелинейного уравнения диффузии в цилиндрических координатах для следующей задачи:

—=---[0(c) г - ]

Oit Ъ "Vt -ЬХ,

DCc) = ^с - 1 .

% ?>с

cl = 1 + er : = о

lt>o ъ'ь |г=0

с| = с et,.

записанной в безразмерной форме.

Ревение записывается в виде:

c(r.t) = fl(t) + BCt) г2"

П( t ) = ( с ^ / + 1 )

B(t) = 1 / [8с(с - t)]

г

с = ( 1 ) / ^ 8g»j 1 / (8ge).

На основе этого аналитического решения проведен расчет

оптимального технологического режима при условии;

* . 2. п Сг) = п ( 1 -0<г ) :

п(с) = п. - У(с(г) - 1)

' «

ГЛАВП 4 . Глава 4 посвящена выбору и исследовании численного метода решения задачи нелинейной диффузии для цилиндрических образцов при разных граничных условиях. В п.1 рассмотрен конечно-разностный метод решения рассматриваемых задач. В п.2 рассмотрен переход к безразмерной форме записи уравнений моде.ги. В п.З на основе монотонной схемы Самарского выписан алгоритм численного решения задачи:

КМ кг к

с, = с. . +аШ(1 + l/(2i - 2)) D. i С Л 1

К к .

«(с. - с, . ) - (1 - 1/(21 - 2)) 0. . . 4 -и,с-^.ь

К к -2

»(е.. - с .,.)]/ А г +

К К «С. ■ К К К ,1

+ к 10. (е.. — с» • ) - Б , (с, . - с. . )1 /ЛЯА1

В п.4 приведена аппроксимация граничных условий повышенной точности. В п.5 проведен анализ результатов численных расчетов по предложенному алгоритму. Для исследования свойств вычислительной схемы использовалось найденное в п.4 главы 3 аналитическое решение задачй нелинейной диффузии.

В заключении сформулированы основные результаты работы: 1. Р.азработана постановка задачи неизотермической ионообмен-

*

- 11 -

ной диффузии в стеклах разного химического состава.

2. Создан эффективный вычислительный алгоритм реяения обратных задач нелинейной диффузии по методу Больцмана.

3. Предложен метод реяения обратных задач, справедливый в области отсутствия автомодельности ревения прямых задач.

4. Разработан эффективный алгоритм численного реаения задачи нелинейной диффузии для цилиндрических образцов.

5. Получено частное, аналитическое режение нелинейного уравнения диффузии в цилиндрических координатах.

6. Проведен расчет оптимального технологического режима на основе аналитического режения.

7. Создана процедура оптимизации процесса формирования заданного профиля показателя преломления в цилиндрическом образце.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Курбатова Г.И., Филиппов К.Б. Оптимизация технологических режимов получения граданов. - Л.: Вестник СПбУ. 1992 серия 1, вып.4. N 22 , стр.08-71.

2. Филиппов К.Б. Об одном классе аналитических реяений нелинейного уравнения диффузии. - Л.: Вестник СПбЫ. 1992. серия 1. вып.4, N 22, стр.114-115

3. Петровский Г.Т., Иваневский С.Н., Курбатова Г.И., Филиппов К.Б. Расчет тепловых и ионообменных процессов в цилиндрических образцах, предназначенных для создания плоских градиентных микролинз. Х.Ф. и Х.С.Р.ОН. 1993. т.19 N 3. (в печати)