Математическое моделирование процессов конвективной ионообменной диффузии в расплавах стекол для градиентной оптики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР "ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОПТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ С. И. ВАВИЛОВА"

На правах рукописи

Г ! О ОД УДК 519.63: [665.11.01:332.5.0П:535.323

■• ТО 1П: ■ ^

МОГИЛЕВА Людмила Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНОЙ ИОНООБМЕННОЙ ДИФФУЗИИ В РАСПЛАВАХ СТЕКОЛ ДЛЯ.ГРАДИЕНТНОЙ ОПТИКИ

Специальность:. 01.04. оз - оптика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических, наук

Санкт-Петербург

1995

Работа выполнена в Научно-исследовательском и технологическом институте оптического материаловедения Всероссийского научного центра "Государственный оптический институт имени С. И. Вавилова".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Ю. А. Флегонтов Официальные оппонентадоктор физико-математических наук.

профессор П. М. Валов ;

кандидат физико-математических наук Е- В. Фролова

Ведущая организация: Институт химии силикатов

имени И. В- Гребенщикова РАН

Защита состоится (рг^рсЮлЯ- 1Э96 г. в 40 часов на заседании специализированного совета к 105.01.01 в ВНЦ "Государственный оптический институт им. С. И. Вавилова" по адресу: 19эоз4. Санкт-Петербург. В.б.. Биржевая линия, д.8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "26" янЬа^я . 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ. -мат. наук

И. Н. Абрамова

(С) ВКЦ "Государственные оптический институт имени С.И- Вавилова".

1696

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность_темы. Градиентная оптика ззродилась на рус'з?:о бо-ых и 70-ых годов, когда был открыт процесс конной диффузии как основа изготовления градиентных элементов. В течение первых двух десятилетий прогресс в ее развитии был медленным из-за трудностей, среди которых можно отметать создание градиентных элементов больших размеров и с большим перепадом показателя преломления сППэ. а тада управление профилями ПЛ. В настоящее время применение градиентных оптических элементов как самостоятельных фокусирующих деталей ограничивается, в основном, микрооптикой сих характерный'размер порядка мм), ео бозможно. в принципе, в фото-, кино- и телекамерах, микроскопах и телескопах. Однако это направление развития градиентной оптики, сдерживается трудностями создания градиентных линз больших размеров спорядка-смз. несмотря на 'то. что их использование привело "бы к большим преимуществам над аналогичными устройствами, содержащими лишь обычные линзы.

Одно из основных препятствий, лежащих на пути создания градиентных отческих элементов большого диаметра - медленность обменных процессов в стеклах, протекающих при низких с меньших температурах и. как следствие, чрезвычайная длительность этих процессов, а также малые перепади ПЛ. С целью ускорить диффузионные процессы в стекле и увеличить градиент Ш целесообразно перейти к созданию градансв путем высокотемпературной ду.ффузш с при температурах выше тъ. Однако, наряда7 с ионным обменом, в этих условиях возникает конвекция расплавов стекол. Традиционно исследователи стремились избегать растекания расплавов: проводили эксперименты б невесомости, создавали аксиальный перепад Ш. помещая более легкое стекло на более тяжелое, использовали печь специальной конструкции.

з

Тем не менее для создания массивных градиентных сред нам представляется возможным реализовать процесс взаимодиффузии ионов мзкду полым цилиндром из 'стекла с низким ПП и коаксиально расположенным стержнем из стекла с высоким ПП при температурах выше г каиблее тугоплавкого стекла. Можно надеяться, что при температурах, незначительно превышающих т^ , влияние конвекции будет пренебрежимо мало (в силу большой вязкости этих расплавов), но по мере повышения температуры конвекция будет играть все большую роль. Такой процесс конвективной диффузии приведет к созданию дзумеотого с радиального и осевого) распределения концентрации и. следовательно, показателя преломления. Опыт расчета электронных линз, имеющих ПП как непрерывно меняющуюся функцию двух аргументов. дает основание предположить перспективность градиентных оптических элементов, полученных в результате проведения конвективной ионной взаимодиффузии, с точки зрения оптических характеристик.

Чтобы получить требуемое распределение ПП. необходимо уметь управлять процессом создания грэдиеЕПШХ линз. Первым шагом на этом . пути в нашем ' случае. представляется математическое моделирование конвективной диффузии ионов в расплавах стекол.' Этот процесс можно описать краевой задачей, состоящей из замкнутой системы дифференциальных уравнений в частных производных, начальных и граничных условий. Для достижения оптической точности при получении решения требуется, насколько это возможно, использовать не сеточные с численные) алгоритмы, а применить аналитический подход; в тех задачах, где аналитическое решение в чистом Биде невозможно., мы пользовались - численно-аналитическими методами. '

Поэтому в данной работе предложена математическая модель конвективной . ионной диффузии з расплавах стекол. . Решение поставленных нами краевых задач проводилось- численно-

шажгичесжими методами; .кх выбор оправдан также многократным ^пользованием составленных. алгоритмов при оптюшащга диффузионных процессов для расчета некоторых оптических :арактеристик полученных в результате двумерных градиентных линз.

Цель_работу - разработка математически обоснованной модели 'правления процессом конвективной диффузии с в определенном штервале изменения параметров"; и оггжизация технологического фоцесса. приводящего к созданию массивных градиентных оптических иаэмептов с требуемыми двумерными оптическим характеристиками.

Нз1чнэя_ндьизЕа. Предложен новый метод управления технологическим процессом изготовления двумерной градиентной :реды. Он позволяет контролировать формирование двумерных ■радиентных элементов с заданными свойствами и улучшенными штическими характеристиками.

Прает^еско§_значение_работы. .Полуденные образцы двумерных ■радиентных линз обладают улучшенными с по сравнению с элементами, имеющими только радиальное распределение ПП> оптическими ;арактеристиками. Разработанный метод управления гфоцессом :онвективной ионообменной диффузии позволяет менять оптические :арактеристики в широких пределах. Созданная математическая юдель' можег быть применена и в других задачах контролируемого шёргомассолэреноса.

^^?ьа_ЕКлад_автора. Азтором получена все математические юрмулы. выполнены вычисления, проанализированы "результаты, разработан метод расчета конвекгивноа . диффузии для случая :мачивающих расплавов.

1^о^§Ш^.и_ап2обашя_работы. Результаты диссертационно] работа докладывались на одной всесоюзной и на двух международны: кокферештиях- Сни опубликованы в трудах этих конференций и в пят] статьях в журналах РАН.

Диссертация состоит и: введения. шести глаз и заключения. Работа содержит страни тексту и и рисунков. 'Список литературы включает 72 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении обоснована актуальность темы исследования указана цель работы, кратко отражены вопросы, излагаемые ] диссертации, и сформулированы основные положения, выносимые н; зыдиту.

В п. 1.1 первой глазу дан обзор литературы, посвященно! разхшым методам создания градиентных оптических элементов; подчеркнута ведущая роль процесса ионного обмена в стеклах прз формировании градиентных оптических сред. В пл. г кратко очерчен* математические модели и некоторые методы расчета, используемые ] литературе для описания этих процессов.

Во второй главе получено выражение для радиалыюп распределения, концентрации ионов в стеклах в прзнебрежени конвективными процессами с при незначительном превышении над г температуры эксперимента, когда вязкость стекол все еще остаето очень большою: в п. г.1 рассмотрена область взаимодиффузии ионов, состоящая из центрального стержня и коаксиально расположенной вплотную к ному полого цилиндра, з в п. г. г - более общий случай,

{огдэ область диффузии состоит из нескольких коаксиальных допшдров. Показана возможность оптимизации по радиальному эаспределению изготовленных таким образом граданов.

В п. з.1 третьей главы сформулирована математическая модель ззаикодиффузш ионов в расплавах стекол с учетом конвекции. Соответствующая краевая задача состоит из системы трех щфферзнциальных уравнений в частных производных сурже-ыя сонвективной диффузии аз. уравнения неразрывности сгз и юкторного уравнения Навье-Стокса сзз. выписанных в приближении »уссинесказ

+ С С. 7с 3 = й-Ас , С13

01

сЦУ и = О С23

я*

+ сС. 73 V = -о_17р + V дС - Р$с СЗЗ ,

раничных условий С4-5з, соответствующих модели непроницаемого ллиндра п = <Сг,гЗ: 0<г</?, О<г<ИУ .

ас дп

= о

С43

да

ей. 5э

= о

с 33

начальных условий сез-7з, отражающих тот факт, что первоначально бласть задачи состояла из покоящихся стекол двух различных

ВДОВ:

с - сопят. при о < г £ г 1 г о

с = сопз1 при Го < г < Л

с 63

= осу'ъ с 75

В дафференцизльных уравнениях а-зэ неиззестньш являются фуккцш трех аргументов с времени радиальной и аксиальной переменны] г и г соответственно".»: сс^.г.аз - отклонен:® от средне! концентрации легкого дкффузанта. Г<1.г.гэ - поле скоростей ] - гидродинамическое давление в расплаве. Здесь о ■ коэффициент зззшодаффузк?. <? -• средняя плотность расплавов, V - коэффициент кинематической вязкости. Р -коэффиц/ен' концентрационного расширения, е - ускорение свободного падения в с 43 и с35 п - единичный вектор внешней нормали к границе л области; в сбз с^ и <•:. - постоянные значения, характеризуют^ химический состав' втулки радиуса • го и полого цилиндра ' внутренним радиусом г0 и внешни« радиусом я. Вмест граничного условия, наложенного на тангенциальную составляаду] скорости, в главе з наложено условие на нормальную производну] гидродинамического, давления. дотекающее, в частности, движени расплава едоль стенок.

В л. з.2 решение сформулированной Еыше задачи получено ка: разложение по малому параметру су - среднее значени

кинематической вязкости рэсплавовз

00

с - У I»4 Сы С85

или. что то же самое. по .числу Ролея к* в предположении. чт

е

) Шмидта достаточно велико. Это приводит к итерационному зссу решения уравнений, на каждом шаге которого применяется д Галерюша:

00

с'°С С,г.г) = У си' СО ? ' J С (1 г~) сж^р-г С9) ,

Ц т,к т,к От л

»,к=о

нормировочный множитель

г

?

О т

г . если *=о 1 . есхл

- корни уравнения -¡¿Г^ю = о . Jo и Ji - функции Бэсееля 'левого и первого порядка соответственно.

Тогда с учетом первой конвекционной поправки с'" имеем:

Ю> -1 (1> С = с + V с ,

2г Сс -с ) J С^З г 5

° 1 2 V 1 " ° ехрС-^РО.' С/) гЭ С103 .

^ /с/9 Ю т От

т=1 то т

\ 1 0 г? /с/9 га

т=1 то т

а с" вычисляется по,формуле с9), в которой 00

с'\'сО = У 5, ЕехрС-С/?2+/52Э£>0-ехрС-Й.,¿ЮГ С1П

ГДЭ

В , = (?. + Сп1/Ю2 .

и ^

,1,1 1 т* о 1 п* о'

: со г и ср г мс-п -и

с

■1 . агэ

вг Л,'? Ю.^Ср 9.1

« i л 1 и л ' к

т, i о 1 т о п

о

\ ' т 1 п о }

о

J Ср л./ СГ?гО,~ с!г

В п. з.з высказано предоолон;екио о том, что про! конвективной ионной диффузии аояет протекать в виде двух ста,е на гюрвой стада более тугоплавкий стержень погружен б расп менее тугоплавкого стекла с поэтому конвекция отсутствуете, а второй стадии "вминается" конвекция. Указано, какие измене! следует внести в приведенный вьш математический аппарат, чте получить огазаниэ соответствующего двухстадааного процесса.

.. Математическая модель процесса высокотемшрэтурной диффуз! конов. приведенная з п. 4.1 четвертой главы, учкгыЕаэт смачиваю щшшдротеских стенок расплавами стекол: б рох{ граничног условия дяя поля скоростей здесь выступает так называемое услови прилипания

«о.'.

В этом случае задачу удобнее решать не в переменных скорость-дав?.ешй. а в переменных вихрь и функция тока у .

В п. 4.2 решение соответствующей краевой задачи получено также как разложение по малому параметру с последующим

использованием метода Галеркзша. однако в качеству базисных функций взяты собственные функции р" \ и 'одномерных

краевых задач, поставленных для дифферстлальных операторов четвертого порядка: ,

уСг,г")= ) у , С О р(1>СЮ ¡р''г'(.г> , L m,k m к

m,k=l

где

г К

JCy г) 7 Су г!)

i m i ,т

JCrlO ICrmrO J

u i. т 1 т J

y - корни уравнения J с? с г к>=: с г с г лэ ,

го г -т i т о т t w о т

/о и /1 - модифицированные функции Бзсееля нулевого и первого порядка соответственно-,

<р'2>Сг) = СЛ Cch 0,2 - cos £\ еО Сsh ¿ 2 - air. ó. cí ]/СЗ, Л'4''2Э ,

k k 'k k к ¿ ic k

¡t¡ = ch <5, W - eos ó« , 3 = sh <5 И - sin <5 W , k k k k , k It

<5fc - корни уравнения ch ¿>кн cos s^w = i .

Пятая глава посвящена обобщению предыдущих моделей на случай зависимости кинематической вязкости cn.s.i5 и козффщюнга-взаимодаффузш с п. з.гэ от состава стекла; для линейного характера этой зависимости подучен явный вид решения.

В п. 6.1 шестой главы описан характер зависимости Ш градиентного элемента от концентрации: при расчета двумерных объективов считалось. что зависимость ПИ от концентрации с* = с + с с с - среднее значение концентрации легкого дкффузэпта в цилиндре га предстзвляет собой дробно-линейную функцию- В п. е. 2 проведен расчет хода лучей через градиента объектив с двумерным распределением íTil. подученным по изложенному з главэ з методу. Оптические характеристики градиентных объективов с функция

рассеяния точки, кривизна поля изображения, частотно-контрастная характеристика:» определялись методом интегрирования уравнения луча б градиентной осесимметричной среде. Анализ результатов показывает возможность выбора ' параметров процесса конвективной диффузии, улучшающих по по.га зрения качество изображения по сравнению с линзой с одномерным радиальным параболическим распределением ПЛ. не ухудшая других оптических характеристик. Наблюдаемое раздваивание изображения осевой точки для двумерной градиентной линзы без снижения оптического разрешения может продстгзить новые возможности применения таких систем.

В заключении сформулированы основные результаты и вывода диссертационной работы; они состоят в следующем.

1. Теоретически показана перспективность создания массивных двумерных градиентных элементов путем высокотемпературной взаимо-дофф.узид конов в расплавах стекол, имеющих форму полого цилиндра с стекла с низким показателем преломления сПШз и коаксиально расположенного стержня с стекло с высоким ПП>.

г. Создана математическая модель процесса конвективной Бзэимодиффузш ионов в расплавах стекол. Этот процесс описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, состоящей из уравнения конвективной диффузии, уравнения неразрывности и уравнения Навье-Стокса. Рассмотрены два ввда краевых условий, наложенных на поле скоростей; в случае полного прилипания расшива к стенкам конвекция, как и следовало ожидать, протекает медленнее.

з. Разработан численно-аналитический метод решения системы уравнений диссипативного знергомассопереноса". выписанной в приближении Буссинеска, в применении к случаю конвективной диффузии. Он заключается в разложении решений в степенные ряда по малому параметру V*1 с и - кинематическая вязкостью или. что то

ге самое, по малому числу Роле я. !?а при достаточно большом числе 1мщц'а яс - на основании- того, что описывается медленнее эастеканиэ. Это приводит к итерационному процессу решения 'равнений, на кзздем шаге которого применяется метод Галярккза, а ешенке выписывается б аналитическом виде.

4. Исследованы распределения Ш в двумерной градиентной редэ в зависимости от значений параметров управления роцессом конвективной диффузии.

Исследованы оптические характеристики . двумерных радиекткых линз, представляющих практический интерес. Проведено равнение с изготовленными в соответствии с расчетами образцами радиентной среда. На основании зтогс показана возможность выбора зрзметров процесса конвективной диффузии, реализующего двумерную эадивнтную линзу с улучшенными характеристиками по сравнению с

шзой с радиальным параболическим распределением ГЛ.

• *

Основные результаты. диссертации ,опублздрвзны_ в' следуют [ботах:

, Могилева Л. М.. Флзгоятов Ю. А. Решение краевых задач, связанных с взаимодаффузией ионов в расплавах -стекол в сосудах сложной формы. // Тезисы тп Всэсоюзного .симпозиума по оптический и спектральным свойствам стекол. Л., 1Э39. с.гоо. Могилева Л. М- Распределение концентрации при взаимной .диффузии ионов мезду стекла?® в форме коаксиальных цилиндров. Физ. ,и хим. стекла. 1690. тле. к. 5. с. 738-741. Флегонтов Ю. А.. Могилева Л. М- Моделирование конвективной ионообменной диффузии в расплавах стекол для градиентной шггики. // Тезисы 4-ой Европейской конференции-выставки по материалам и процессам "Восток-Запад". СПб. к.п. с.гее. Могилева Л. М.. Флегонтов Ю. А. Математическая модель конвективной диффузии ионов з расплавах стекол. // Физ. и хим.

СТ6КЛЗ. 1094. Т. 20. N. С. 483-431.

4 б. Могилева Л. м.. Флзшггов ю. А. Обобщение математической модели конвективной диффузии ионов на случай зависимости кинематической вязкости и коэффициента взгимодаффузии' от состава стекла. Физ. и хим. стекла. 1994. т. го. n.s.

С. 654-657.

6. Flegontov Yu. А. , Mogilycva L. М. , Petrova X. R. Mathematical simulation of large-sized C-RIN lenses fabrication process. // Proceedings of. 27-th International SAMPLE • technical conference. Albuquerque, New Mexico. USA, ISSSi.

7. Могилева Л- M.. Петрова И. P..' Флегонтов Ю. А- Расчет оптических характеристик . градиентных - объективов с .двумерным распределением показателя преломления. Оггг- и спектр. 1^95.

Т. 79. К. 4. C.0fi0--6SS.

я. Могилева Л. М. Математическая модель процесса высокотемпературной диффузии ионов при конвекции расплавов стекол в смачиваемой цилиндрической .форме. ✓/ ЖТФ. iese. т.бв. н.г.

с.

i Li lot-

.ПТ "Текст", С-ПО, \1. Кзр^иигева, '/

3m._«L_ Tide