Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

003166530

На правах рукописи

Кошелев Александр Петрович

ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ ПОСРЕДСТВОМ ОГРАНИЧЕННОЙ СИЛЫ

01 02 01 - теоретическая механика

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Л Д Акуленко

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Д В Баландин, Нижегородский государственный университет им Н И Лобачевского

доктор физико-математических наук, профессор А М Формальский, НИИ механики МГУ им М В Ломоносова

Ведущая организация

Институт прикладной математики им М В Келдыпта РАН

Защита состоится 21 февраля 2008 г в 15 00 па заседании диссертационног совета Д 002 240 01 при Институте проблем механики РАН по адресу 119526, Москва, проспект Вернадского, 101-1, ЙПМех РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механи ки РАН

Автореферат разослан 18 января 2008 г Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002 240 01 кандидат физико-математических наук

Е Я Сысоев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Диссертация посвящена решению многомерной задачи оптимального управления Динамический объект совершает управляемые движения в отсутствие внешних сил и возмущений, требуется привести его в заданное фазовое состояние за наименьшее время посредством управляющих о ускорения, ограниченного но абсолютной величине Ее решение для различных частных случаев финальных условий и случая одномерного движения было проведено в работах А А Фельдбаума, Л С Понтрягина, Н Н Красовского, А М Лстова, А И Субботина и других Здесь эта задача будет рассмотрена в общей постановке

Цель работы заключается в построении синтеза оптимального управления и исследовании времени быстродействия как функции начальных условий задачи (функции Беллмаца), создании численного алгоритма решения задачи и исследовании качественных особенностей оптимального движения

Методы исследований В диссертационной работе использованы методы теоретической механики, оптимального управления, численное моделирование Научная новизна. Получено оптимальное управление в форме программы и синтеза для задачи управления многомерным динамическим объектом посредством ограниченной силы Рассмотрен ряд частных постановок пулевая начальная скорость, совпадение начального и финального положений, совпадение начальной и финальной скоростей, а также выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора Доказана единственность оптимального решения задачи, создана эффективная процедура отбора оптимальных решений Написана программа, позволяющая численно решать задачу во всем фазовом пространстве начальных условий

Практическая ценность Работа имеет теоретический характер Решение задачи может быть использовано как начальное приближение в задачах, описывающих движение динамического объекта под действием различных внешних сил линейной диссипации, постоянной внешней силы Найденные особенности оптимального управления и движения управляемого объекта позволяют получить качественную картину оптимального движения в неограниченной области

з

фазового пространства Они могут быть использованы в механике мобильных роботов, транспортных средств, а также соответствуют движениям КЛА в пространстве без внешних сил и возмущений

Достоверность полученных результатов вытекает из корректности постановок решаемых задач, использовании строгих методов оптимального управления и проверки теоретических выводов численными экспериментами

Апробация работы. Основные результаты докладывались на 9-м Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в 2006 году, на конференциях МФТИ в 2002-2006 годах, а также на семинаре Института проблем механики РАН 'Теория управления и динамика сиетем"под руководством академика Ф Л Черноусько

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 статьи в журналах Российской Академии Наук [7-9,11] и 7 в трудах научных конференций [1-6, 10]

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы Список литературы содержит 73 наименования Объем диссертации составляет 93 страницы

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации и краткое изложение содержания всех глав

В первой главе формулируется задача оптимального управления и исследуются особенности решения задачи принципа максимума

Динамический объек'х движется в те - мерном геометрическом пространстве под действием управляющего ускорения ограниченного по абсолютной величине Необходимо привести его в требуемое фазовое состояние за наименьшее время Уравнения движения, начальные и финальные условия имеют вид

Для п > 1 задача (1) становится нелинейной, так как имеет место охпвехсгвую-щее ограничение на величину управляющего вектора К виду (1) сводится случай ненулевого вектора финального положения х (£/) и произвольной величины управляющего вектора

Для решения задачи применен принцип максимума Особые решения задачи отсутствуют так как в этом случае условие максимума гамильтониана дае: нулевой вектор сопряженных переменных Управляющая функция имеет вид

Здесь г} - нормированные векторы сопряженных переменных, д - угол между ними, р, а - автомодельные параметры Задача (1) имеет оптимальное решение во всем фазовом пространстве, так как существует допустимое управление, которое может привести материальную точку в заданное фазовое состояние, вообще говоря, неоптимально

При р > 0 или \а\ Ф 1 оптимальное управление является непрерывной и гладкой вектор-функцией При р — 0 или а = -1 управление - постоянный вектор, а для а = 1 - кусочно-постоянная вектор-функция с единственной

х = V, х(0) = х0, х(£/) = 0

у = и, ь(0) = щ, = v/

\и\ < 1, £/—► тт п> 1

(1)

СОЙ в = и

ючкой переключения между двумя противоположными направлениями управляющего вектора Подставим управляющую функцию в (1) и проинтегрируем

Получим зависимости скорости и координаты от времени

= + +

x(t) = х0 + v0t + X¡:(t)Z + Xv(t)r¡,

Ц=-р~2(аУ + Щ1 K^p-Vß, (2)

= + 3a)R + ("2р£ТГ + 3ff2 ~ + + <J7(0))'

Xv = p-2[-R + (pr-or)V&-±V(0),

R{t) = (p2t2 - 2<jpt + 1)1/2, V(t) = Arsh«;,

Arsh/c = ln(« + (1 + к2)1'2), K = (pt - cr)(l - a2Y1/2

Запишем систему (2) с учетом финальных условий x{t¡) = 0, v{t¡) — v¡ Имеем систему 2п линейных алгебраических уравнений относительно 2п неизвестных 2п — 1 компонент векторов г] и неизвестного времени движения t¡

-x0-v0tf = X((tf)Z + Xr¡(tfyll, (3)

vf-vo = V((tf)Z + Vv(tf)r¡

Утверждение 1 В ситуации общего положения (р > 0, |cr| < I) система (3) однозначно разрешима для произвольных Xq, Vg> Vf

Из Утв 1 следует, что в случае размерности фазового вектора п > 3 движение объекта осуществляется в трехмерном геометрическом пространстве, обра,-зовапиом векторами xq, vq, v¡ Задача симметрична относительно направления финальной скорости В случае постоянного или кусочно-постоянного управления движение сводится к плоскому или линейному В диссертационной работе подробно рассмотрен случай плоского движения (п = 2)

Введем вектор ( — £tf вместо что позволит отделить tf, причем = tjp = Без ограничения общности можно положить Vf — (—1,0) Таким образом, соотношения (3) это система четырех уравнений с четырьмя неизвестными Приведем их к скалярному виду, получим систему трех уравнений для определения

б

неизвестных параметров £/, д, а

(«о

ЫК - «/М1 = - и/Мг + в-) (у} = 1),

Здесь введены естественные обозначения

/г О, и) = а2д2 + 2а^ап11(х + а^ !1{11,а) = Ъ\ц2Л-2ЪсЪУ}ца + Ъ% /¡го(м> = а<;&<Д2 + (каг/ + Ьг/а^ца + а^Ь,

, \ г , (г

с= (жо,г;/)|а;о| ^ =-= -

(уу, у0 - У/)

Таким образом, получена определяющая система уравнений ошосительно неизвестных Ь/ > 0, д > 0, и € [—1,1] Эта система зависит от пяти параметров, характеризующих начальные и финальные условия задачи Время быстродействия £} выражается из первого уравнения системы (4)

В ситуации общего положения решение задачи (1) может быть сведено к численному решению системы двух нелинейных уравнений охносительно двух неизвестных, причем порядок этой системы не зависит от размерности векто ров хо, г>о, V} при п > 2 Неизвестные параметры д, а находятся численно, а остальные параметры, характеризующие управление находятся путем решения системы линейных уравнений (3), причем для известных д и а искомое управление находится единственным образом Численный метод решения задачи основан на комбинации метода ускоренной сходимости, применяемого для решения системы нелинейных уравнений, и метода половинного деления для выбора начального приближения В окрестности начальных условий, соответствующих постоянному или кусочно-постоянному управлениям, численный алгоритм сходится очень медленно Эти случаи исследованы аналитически

В ряде частных случаев эту систему можно существенно упростить, разделив переменные д и а при (шо^о) = 0, — Ч/О = 0) = 0, или используя дополнительные предположения о свойствах управляющей функции

Представляют интерес случаи совпадения начальной и финальной скоростей vQ — vj, возвращения в исходную точку xq = 0, нулевой начальной скорости «о = 0

Рассмотрим случай равенства начальной и конечной скоростей va — Vf Перепишем (4) в виде

+ Vftj = t2f(acC + avr?), (5)

О - b(C + М

Векторы С и rj коллинеарны Система (5) разрешается аналитически, ее единственное решение \i — 2, и = 1

Зависимости скорости и координаты от времени примут следующий вид

v(r) = vq — ^tf(|2r — 1| — 1), (6)

х(т) = xo + v0i/T + |4([2t - 11(1 - 2т) + 4т - 1), r 6 [0,1]

Здесь r — t/tf - нормированное время

Траектория обладает центральной симметрией относительно точки переключения Переключение управления происходи! при т — 0 5 Характерной особенностью времени быстродействия как функции начальных данных является наличие разрыва, вызванного существованием неоптимальных решений задачи принципа максимума

Рассмотрим постоянное, кусочно-постоянное и непрерывное управления отдельно как решения задачи принципа максимума Зпая финальную скорость vj и задавая направление управления ц и времени движения tf, найдем начальные условия, соответствующие постоянному оптимальному управлению

vo = vf - r)tf, (7)

®о = -у - v/t/

Для кусочно-постоянного оптимального управления соответствующие уравнения имеют вид

Vo = Vf — r]tf(2T* — 1), (8)

Искомое множество строится на основе вариации трех параметров времени движения -tf, направления управления - r¡ и момента переключения управления -т*

Используя (7) и (8) можно исследовать аналитически случаи постоянного и кусочно-постоянного управлений Случай постоянного управления подробно рассмотрен в литературе как решение задачи (1) с нефиксированной финальной скоростью

Рассмотрим общий случай кусочно-постоянного управления Управляющая функция имеет вид

и (т) = ц sign(—Ат +1), г G [0,1], Л = ^ > 1.

Подставим выражение для управления в уравнения движения (1) и проинтегрируем Зависимости скорости и радиус-вектора от времени и граничные условия соответственно

« = + (9)

Vf==Vo + r¡k^- A), Vf = (-1,0), t2

г = х0 + v0Ttf + г - 1|(1 - А г) + 2Ат - 1),

t2

О^х0 + v0tf + г)^(-А2 + 4А - 2) Из второго уравнения для скорости системы (9) найдем время быстродействия

_ А(1 + |vol2 + 2\vp\ cosa)05 12-Ai

Здесь a - угол, характеризующий направление начальной скорости Вектор управления равен

Установлено, чго при vq ^ Vf возможно существование только одного кусочно-постоянного управления среди решений задачи принципа максимума Его оптимальность определяется сведением данного случая к случаю равенства начальной и финальной скоростей, путем продолжения решения до скорости v'0 — vj

Рассмотрев отдельно постоянное, кусочно-постоянное и непрерывное управления можно определить являются ли они решениями задачи принципа максимума и определить их оптимальность

Утверждение 2. Среди решений задачи (1) не может быть одновременно постоянного и кусочно-постоянного управлений при п > 1

Утверждение 3 Если среди решений задачи (1) есть оптимальное кусочно-постоянное управление то оно будет, единственным оптимальным ре-

шением задачи (1) при. п > 1

Утверждение 4 Если среди решений (1) есть постоянное управление, то оно будет единственным оптимальным решением задачи (1) при п > 1 Теорема Задача (1) имеет единственное оптимальное решение при п > 1 В случае кусочно-постоянного управления для уо ~ возможны до грех решений задачи принципа максимума Постоянное и кусочно-постоянное управления вместе могут быть решениями задачи принципа максимума только в одномерном случае Обнаружено сочетание постоянного и непрерывного решений задачи принципа максимума Среди постоянною, кусочно-поетояшюго и непрерывного управлений, наименьшим время движения будет у постоянного, а наибольшим у непрерывною или кусочно-постоянного управлений Это позволяет построить эффективную процедуру отбора корней для численного решения задачи (1)

Сначала проверяем справедливость (7), если оно верно, го единственное оптимальное решение найдено В противном случае проверим справедливое! ь системы (8), если она верна, то проверяется оптимальность сведением данного случая кусочно-постоянного управления к случаю равенства начальной и финальной скоростей Если (7) и (8) не выполнены, то задача (1) решается численно

Вторая глава посвящена решению задачи (1) в случае плоского движения Подробно рассмотрены случаи нулевого начального радиус-вектора, нулевой начальной скорости, а также выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора

При совпадении начального и конечного положений динамического объек-

ю

та, траектория представляет собой замкнутую кривую В задаче существует симметрия относительно величины начальной и финальной скоростей при замене = оо|«о|"2 время быстродействия ^ — 1 При этом // = ц, а' = <т, = Л' = V Таким образом, решение задачи (1) при |«0| > 1, можно свести к случаю 0 < |г>о | < 1, причем если < |г?о|, то управление и'({) в начальной точке будет соответствовать управлению и(£) в финальной точке

Утверждение 5. При ж(0) = ж(£/) оптимальные траектории лежат в угле, образованном направлениями вектора начальной скорости и вектора, направленного противоположно финальной скорости Направление радиус-вектора Х(, - функция /3(£) монотонна при 4 € (0, ¿у)

Установлено, что в начальный момент времени происходи! торможение компоненты скорости вдоль оси ординат (перпендикулярно финальной скорости) Не существует режимов оптимального управления, при которых в начале движения был бы разгон, а в окрестности финальной точки - торможение скорости Рассмотрим частную постановку задачи (1), в которой начальная скорость «о = О К этому случаю задача (1) сводится если начальная скорость либо много больше, либо много меньше финальной скорости С учетом нормировки финальной скорости время быстродействия и оптималыюс управление зависят от двух параметров величины начального радиус-вектора |жо| и его направления ¡3

Утверждение 6 Оптимальная т,ра,ектория при г>о = 0 лежит в угле, образованном направлением начального радиус-вектора хо и направлением, противоположным направлению финальной скорости Направление радиус-вектора /?(£) - монотонная функция на интервале t € (0, ¿/)

Для выборки по величине начальной скорости условия трансверсальности приводятся к случаям ь0 = 0 или г»о 1. г/ Для выборки по направлению начальной скорости условия трансверсальности сводятся к «о ТТ V или 14 ?? Переход между этими режимами имеет место при постоянном управлении Эти особенности соответствуют максимумам и минимумам функции времени быстродействия ¿/(|ио|,а)

Путем численного моделирования установлено, что в зависимости от на-

и

правлений векторов ?? и г>о, а также значений и(Ь{) и Vf имеют место четыре основных типа траекторий (рис 12) Тип 1 движение вправо вначале, те угол ф < а, затем поворот вправо в конце, те угол ф > тг, тип 2 движение влево вначале, угол ф > а, затем движение вправо в конце угол ф > 7г, тип 3 движение влево вначале, угол ф> а, затем движение палево, в конце угол ф < тг, тип 4 движение вправо вначале, угол ф < а, затем движение влево и в конце угол ф < ж Здесь ф и ф - углы, характеризующие направление управления и(Ь) в начальной и конечной точках соответственно Переходом между этими типами траекторий служат точки, в которых вектор начальной скорости «о коллинеа-рен или антиколлинсарсн сопряженному вектору 77, а также точки, в которых векторы V/ и коллинеарны или аятиколлинеарны

Интерпретируя найденные особенности времени быстродействия tf(a) как свойства оптимальных траекторий, заключаем, что переход между типами траекторий при |г;о| > 0 соответствует коллинеарности и антиколлинеарности векторов «о и г], т е максимальному и минимальному времени быстродействия

Таким образом, при |г>о| < |г?*| в точке минимума времени происходит разгон, при > - торможение В точке максимума имеет место торможение при > 0, где V* - скорость соответствующая постоянному управлению

Зафиксируем финальные условия, величину и направление начальной скорости и исследуем оптимальное управление и время быстродействия при различных направлениях и величинах начального радиус-вектора хд материальной точки В качестве примера рассмотрены выборки по направлению (3 при фиксированном |хо| для различных начальных скоростей г>о

Для выборки по величине начального радиус-вектора условия трансверсальности приводятся к случаям ха — 0 или хо ^ Для выборки по направлению начального радиус-вектора условия трансверсальности сводятся к хо 11 £ или хо "Ц £ Переход между этими режимами имеет место при постоянном управлении Эти особенности соответствуют максимумам и минимумам функции времени быстродействия £/(|то|,/3)

Полученные результаты позволяют строить частичный синтез оптимального управления для различных значений текущих скорости V и радиус-вектора

х В вычислительном аспекте изложенный подход позволяет строить и анализировать программные движения для произвольных жо, г;0

Полученные результаты могут быть использованы в следующих случаях 1° Рассмотрим задачу с фиксированным направлением начальной скорости а и произвольным значением модуля |г>о| Нахождение времени быстродействия 1} и начального направления управления ф проводится при помощи семейств кривых ¿¡(а), ф(а) для фиксированной величины начальной скорости |г>о|

2° Пусть рассматривается задача с фиксированным модулем начальной скорости |г)0| и произвольным направлением а Тогда точка минимума времени находится при помощи семейства кривых для заданного значения |г>о| По графику ф(а) находится оптимальное управление

3" Исследуем более общую постановку задачи с условиями начала (окончания) процесса в форме неравенств для величин ¡1>о| и а Начальная скорость г>о находится при помощи семейства кривых tf(a) из условия минимума времени для величин |г)о| и а, удовлетворяющих указанным неравенствам и значения времени быстродействия и направления оптимального управления но графикам

4° Рассмотрим задачу с фиксированным направлением начального радиус-вектора (3 и произвольным значением модуля ¡ж0| Нахождение времени быстродействия и начального направления управления ф проводится при помощи семейств кривых £/(/?), Ф((3) для фиксированной величины начального радиус-вектора |жо|

5° Пусть рассматривается задача с фиксированным модулем начального радиус-вектора |ж0| и произвольным направлением р Тогда точка минимума времени находится при помощи семейства кривых ¿/(/3) для заданного значения |жо| По графику ф{0) находится оптимальное управление

6° Исследуем более общую постановку задачи с условиями начала (окончания) процесса в форме неравенств для величин |жо| и /3 Начальное положение хо находится при помощи семейства кривых tf((3) из условия минимума времени для величин ]з:о| и /3, удовлетворяющих указанным неравенствам и значения времени быстродействия и направления оптимального управления по графикам

7° Пусть рассматривается постановка задачи управления с фиксированным временем tf — Т и условиями, соответствующими случаям 1° — 6° Тогда, используя график времени быстродействия для задачи (1), можно определить условие существования решений tf < Т Если оптимальное время £/ оказывается меньшим Т, то можно оптимизировать величину управляющего ускорения в задаче с фиксированным временем движения, т е ввести функцию й{Ь) = для выполнения условия tf = Т

Основные результаты диссертации.

Рассмотрена задача наискорейшего приведения динамического объекта в требуемое фазовое состояние посредством ограниченного по величине управляющего ускорения Решение задачи свелось к исследованию частных случаев нулевого начального радиус-вектора, нулевой начальной скорости, а также выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора

Оптимальное управление находится в два этана численное решение системы ислинсйиых уравнений и решения системы линейных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями найденных параметров.

Построен численный алгоритм решения задачи, позволяющий находить оптимальное управление и время быстродействия во всем фазовом пространстве начальных условий Вычислительная процедура учитывает как непосредственно численное решение системы нелинейных уравнений, так и выбор начального приближения в пространстве состояний с помощью метода половинного деления Для упрощения численного счета введена классификация управлений, позволяющая выделить и аналитически исследовать задачу для начальных условий, при которых алгоритм сходится очень медленно На основе этой классификации построена эффективная процедура отбора корней Найдены начальные условия, соответствующие этим типам управлений

В процессе численного моделирования обнаружены случаи неединственности решения задачи принципа максимума до трех решений при равенстве начальной и финальной скоростей, существование постоянного и непрерывного

управлений, кусочно-постоянного и непрерывного управлений Наличие двух и больше непрерывных управлений не обнаружено Доказана единственность оптимального решения задачи

Для случая равенства начальной и финальной скоросгей исследованы оптимальные траектории, время быстродействия и оптимальное управление Найдены начальные условия, при которых имеет место разрыв функции Беллмана, соответствующие иеединственнсти решения задачи принципа максимума

Для случая совпадения начального и финального положений были исследованы управление и время быстродействия при различных начальных скоростях Доказано, что оптимальная траектория, представляющая собой замкнутую кривую, находится в угле, образованном направлением начальной скорости и направления противоположного финальной скорости, причем направление радиус-вектора является монотонной функцией времени движения При исследовании оптимального управления установлено, что режимы, в которых в начальный момент происходит торможение, а в финальной точке разгон скорости - не являются оптимальными

Для нулевой начальной скорости получены новые результаты, описывающие качественные особенности времени быстродействия и оптимально го управления Доказано, что оптимальная траектория, представляющая собой замкнутую кривую, находится в угле, образованном направлением начального радиус-вектора и направлением противоположном финальной скорости, причем направление радиус-вектора является монотонной функцией времени движения В ситуации общего положения, когда начальные и конечные условия произвольны, оптимальные траектории можно классифицировать в зависимости от направления скорости и управления в начальный и конечный моменты времени Всего реализуются четыре типа траекторий, которые соответствуют всем возможным случаям взаимного направления скорости и управления (разгона или торможения) в начальной и финальной точках

Исследованы выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора Установлена связь особенностей времени быстродействия и оптимального управления Найдены начальные условия, при кото-

рых время быстродействия будет меньше, чем время, соответствующее нулевой начальной скорости В этой области одно и то же время быстродействия достигается при двух различных величинах начальной скорости

Полученные зависимости времени и направления управления от начальных данных позволяют решать данную задачу при ограничениях на величину и направления начальной скорости и начального радиус-вектора в форме неравенств и могут быть использованы при решении задачи с фиксированным временем движения для оптимизации дзеличины управляющего ускорения

На языке Visual С++ написана программа, позволяющая строить оптимальные траектории, находить время быстродействия и управление по обратной связи во всем фазовом пространство начальных условий

Публикации по теме диссертации

1 Кошелев А П Синтез управления в задаче оптимального по быстродействию приведения материальной точки в начало координат с заданной финальной скоростью Труды 45-ой научной конференции МФТИ Москва-Долгопрудный МФТИ Том III 2002 С 36

2 Кошелев А П Оптимальный по быстродействию разворот материальной точки Труды 46-ой научной конференции МФТИ Москва-Долгопрудный МФТИ Том III 2003 С 43

3 Кошелев А П Исследование оптимального управления для линейной задачи быстродействия Труды 47-ой научной конференции МФТИ Москва-Долгопрудный МФТИ Том III 2004 С 176

4 Кошелев А П Параметрический анализ в задаче управления материальной точкой с учетом линейной диссипации и внешней силы Труды 48-ой научной конференции МФТИ Москва-Долгопрудный МФТИ Том III 2005 С 226-228

5 Кошелев A IJ Исследование особенностей одного класса задач оптимального быстродействия Труды 49-ой научной конференции МФТИ Москва-Долгопрудный МФТИ Том III 2006 С 262

6 Кошелев А П Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы IX Всероссийский сьезд по теоретической и прикладной механике Тезисы докладов Том I Н Новгород 2006 С 73-74

7 Акуленко Л Д , Кошелев А П Наискорейшее приведение динамического обьекта в начало координат при равенстве начальной и конечной скоростей // Известия РАН Теория и системы управления 2003 №6 С 98 - 105

8 Акуленко Л Д, Кошелев А П Оптимальное по быстродействию возвращение динамического объекта с требуемой скоростью//ДАН 2005 Т 403 №5 С 614-618

9 Акупенко Л Д, Кошеле в А П Наискорейшее приведение динамического объекта в исходное положение с требуемой скоростью // Известия РАН Теория и системы управления 2005 №5 С 46-52

10 Акуленке Л Д, Кошем,ев А Я Оптимальное по быстродействию уклонение т двугранного угла Труды 49-ой научной конференции МФТИ Москва-Долгопрудпый МФТИ Том III 2006 С 256-257

11 Акуленко Л Д, Кошелев А П Наискорейшее приведение материальной точки в заданное положение с требуемой скоростью // ПММ 2007 Т 71 Вып 2 С 228-236

Кошелев Александр Петрович

Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 20 12 2007 Заказ №27 007 Тираж 70 экз

Отпечатано на ризографе Института проблем механики РАН 119526, Москва, проспект Вернадского, 101-1

Введение

Глава 1. Постановка задачи и исследование особенностей

1.1 Постановка задачи

1.2 Частный случай: t>o = vj

1.3 Кусочно-постоянное и постоянное управления.

1.4 Особенности решения задачи принципа максимума

1.5 Полученные результаты

Глава 2. Решение задачи в многомерном случае

2.1 Частный случай: = xj

2.2 Частный случай: vq =

2.3 Вариация величины и направления скорости

2.4 Вариация величины и направления радиус-вектора

2.5 Полученные результаты

Многомерные задачи возникают в различных приложениях теории оптимального управления и теории дифференциальных игр. Их решение весьма затруднено большим количеством параметров, от которых зависят искомые величины, сложностью решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, трудностью представления и интерпретации полученных результатов.

При решении возникает необходимость исследовать искомые величины при изменении заданных параметров, что приводит к большому количеству частных случаев, подлежащих учету, и большим вычислительным трудностям. По этой причине до недавнего времени эти задачи не могли быть решены вследствие отсутствия соответствующих вычислительных мощностей, а рассматривались лишь для небольшого количества параметров или при дополнительных упрощающих предположениях.

Среди задач этого типа можно выделить задачи оптимального управления [22, 48, 49, 58, 59, 71]. В них некоторая величина должна удовлетворять заданному интегральному или терминальному функционалу, который минимизируется или максимизируется. Наиболее распространенными с точки зрения практического применения являются задачи предельного быстродействия, то есть управления за минимальное время. Решению этих задач посвящено большое количество работ [3-14, 20-22, 25, 38, 40-49, 55-59, 70-72, 78, 79, 81-84].

Первоначально для решения задач оптимального управления использовались методы вариационного исчисления [22-24, 34, 36, 53, 58, 65, 66], а также различные методы, основанные на интерпретации условий задачи, метод фазового пространства [78].

Существенное развитие методов решения задач оптимального управления стало возможным после создания метода динамического программирования [19] и принципа максимума JI.C. Понтрягина [71].

На основе метода динамического программирования, созданы методы решения задач оптимального управления, основанные на вариации в пространстве состояний системы, доставляющие максимум гамильтониану по выбранной управляющей функции [1, 19, 24, 64, 77, 82]. Другая группа методов основана на аппроксимации области ограничения управления посредством выпуклых многогранников [24, 77, 82].

Принцип максимума позволил свести решение задачи оптимального управления к решению системы дифференциальных уравнений [21, 62, 71, 77, 82]. Если уравнения в сопряженных переменных удается проинтегрировать в аналитической форме, то решение задачи сводится к численному решению системы нелинейных уравнений [24, 26, 77, 82]. В противном случае, использовалась разностная аппроксимация системы уравнений в сопряженных переменных. В [32, 33, 75, 77] для решения задачи были использованы различные численные методы, основанные на применении разностных схем и различных аппроксимаций множества искомых параметров. Для решения задач оптимального управления применялся также метод усреднения [2, 79, 81] и метод малого параметра [3, 16, 20, 37].

Если задача не решается в общей постановке, то иногда целесообразно рассматривать частные случаи, основанные на упрощении (приближении) функционала или условий окончания процесса. Хорошо известны решения задач с нефиксированной финальной скоростью или финальным положением [3, 21, 22, 48, 58, 59]. В работах [5, 49, 58, 59, 71] рассмотрены случаи одномерного движения с учетом воздействия различных внешних сил линейной диссипации и силы упругости, силы сухого трения и др.

Для некоторых систем удается доказать характерные особенности управляющей функции, позволяющие упростить процедуру решения задачи. В работах [5, 84] были рассмотрены системы третьего порядка, в которых возможно провести аналитическое исследование. В задачах большего порядка решение строилось с учетом того, что управление будет релейной функцией, содержащей конечное число переключений [31, 32].

При решении многомерных задач оптимального управления весьма важно построить область управляемости динамической системы, позволяющая существенно упростить решение задачи и определить качественные особенности оптимального движения [18, 21, 22, 27, 30, 39, 49, 59, 60, 61, 68, 73, 74, 80]. Также получили развитие методы построения квазиоптимальных управлений [16, 27].

Задачи оптимального по быстродействию управления динамическим объектом посредством ограниченного по величине управляющего ускорения возникают в различных областях теории управления. В области управления KJ1A [15, 17, 28, 31, 35], самолетами [54, 63, 67, 69, 85], мобильными роботами и транспортными средствами [29]. В задачах гашения колебаний [76, 81, 86], задачах оптимального управления с учетом фазовых ограничений [4, 12, 22], а также теории дифференциальных игр [1, 50-52, 83].

Следует отметить также различные задачи наведения на неподвижные объекты с учетом возмущений [49, 60], а также на подвижные объекты [31], задачи оптимального уклонения от препятствий [12] и минимизации промаха [56].

Диссертация посвящена решению задачи наискорейшего приведения многомерного динамического объекта в заданное фазовое состояние посредством управляющего ускорения, ограниченного по абсолютной величине. Движение происходит в геометрическом пространстве произвольной размерности. Цель работы исследовать оптимальное управление и время быстродействия. Построить синтез оптимального управления, исследовать время быстродействия как функцию начальных данных (функцию Беллмана) и определить качественные особенности движения.

В диссертационной работе обобщены уже известные решения задач с нефиксированной финальной скоростью и нефиксированным начальным положением динамического объекта. Эти случаи соответствуют особенностям на графиках направления управления и времени быстродействия при вариации по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора. Результаты работы [3], в которой была подробно исследована задача с нефиксированной финальной скоростью в диссертационной работе обобщены на случай равенства начальной и финальной скоростей.

Случай нулевой финальной скорости был рассмотрен в работе [11], где проинтегрированы уравнения движения, а решение задачи сведено к численному решению трансцендентного уравнения. Для этого случая получены новые результаты, основанные на выборке по величине и направлению начального положения динамического объекта.

В работе [71] рассмотрен случай одномерного движения. Характерные особенности управления и уравнения движения соответствуют случаям постоянного и кусочно-постоянного управлений в плоском случае.

Данная задача использовалась для тестирования различных численных алгоритмов [33, 77]. Рассматривались уравнения движения третьего порядка [84]. В качестве тестовых использовались как разностные схемы, так и аппроксимации множества начальных приближений.

В работах [40, 49] показана связь этой задачи с I - проблемой моментов.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Заключение.

Рассмотрена задача наискорейшего приведения динамического объекта в требуемое фазовое состояние посредством ограниченного по величине управляющего ускорения. Решение задачи свелось к исследованию частных случаев: нулевого начального радиус-вектора, нулевой начальной скорости, а также выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора.

Оптимальное управление находится в два этапа: численное решение системы нелинейных уравнений и решение системы линейных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями найденных параметров.

Построен численный алгоритм решения задачи, позволяющий находить оптимальное управление и время быстродействия во всем фазовом пространстве начальных условий. Вычислительная процедура учитывает как непосредственно численное решение системы нелинейных уравнений, так и выбор начального приближения в пространстве состояний с помощью метода половинного деления. Для упрощения численного счета введена классификация управлений, позволяющая выделить и аналитически исследовать задачу для начальных условий, при которых алгоритм сходится очень медленно. На основе этой классификации построена эффективная процедура отбора кор- ней. Найдены начальные условия, соответствующие этим типам управлений.

В процессе численного моделирования обнаружены случаи неединственности решения задачи принципа максимума: до трех решений при равенстве начальной и финальной скоростей, существование постоянного и непрерывного управлений, кусочно-постоянного и непрерывного управлений. Наличие двух и больше непрерывных управлений не обнаружено. Доказана единственность оптимального решения задачи.

Для случая равенства начальной и финальной скоростей исследованы оптимальные траектории, время быстродействия и оптимальное управление. Найдены начальные условия, при которых имеет место разрыв функции Беллмана, соответствующие неединственнсти решения задачи принципа максимума.

Для случая совпадения начального и финального положений были исследованы управление и время быстродействия при различных начальных скоростях. Доказано, что оптимальная траектория, представляющая собой замкнутую кривую, находится в угле, образованном направлением начальной скорости и направлением противоположном финальной скорости, причем направление радиус-вектора является монотонной функцией времени движения. При исследовании оптимального управления установлено, что режимы, в которых в начальный момент происходит торможение, а в финальной точке разгон скорости - не являются оптимальными.

Для нулевой начальной скорости получены новые результаты, описывающие качественные особенности времени быстродействия и оптимального управления. Доказано, что оптимальная траектория, представляющая собой замкнутую кривую, находится в угле, образованном направлением начального радиус-вектора и направлением противоположном финальной скорости, причем направление радиус-вектора является монотонной функцией времени движения.

В ситуации общего положения, когда начальные и конечные условия произвольны, оптимальные траектории можно классифицировать в зависимости от направления скорости и управления в начальный и конечный моменты времени. Всего реализуются четыре типа траекторий, которые соответствуют всем возможным случаям взаимного направления скорости и управления (разгона или торможения) в начальной и финальной точках.

Исследованы выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора. Установлена связь особенностей времени быстродействия и оптимального управления. Найдены начальные условия, при которых время быстродействия будет меньше, чем время, соответствующее нулевой начальной скорости. В этой области одно и то же время быстродействия достигается при двух различных величинах начальной скорости.

Полученные зависимости времени и направления управления от начальных данных позволяют решать данную задачу при ограничениях на величину и направление начальной скорости и начального радиус-вектора в форме неравенств и могут быть использованы при решении задачи с фиксированным временем движения для оптимизации величины управляющего ускорения.

На языке Visual С++ написана программа, позволяющая строить оптимальные траектории, находить время быстродействия и управление по обратной связи во всем фазовом пространстве начальных условий.

Краткая характеристика используемого подхода.

1. Интегрирование в явном виде уравнений Гамильтона и уравнений движения.

2. Введение автомодельных параметров, характеризующих управление.

3. Определение фазового пространства, в котором происходит движение (понижение порядка системы уравнений движения).

4. Сведение к системе скалярных уравнений.

5. Нахождение особых и вырожденных случаев. Их отдельное, по возможности, аналитическое рассмотрение.

6. Построение сечений в фазовом пространстве, отвечающих различным вариациям по начальным и конечным условиям.

7. Исследование оптимального управления и времени быстродействия.

8. Компьютерная реализация численного алгоритма.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

2. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. Москва. Наука. 1987.

3. Акуленко Л. Д. Возмущенная оптимальная по быстродействию задача управления конечным положением материальной точки посредством ограниченной силы // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 12-21.

4. Акуленко Л. Д. Синтез управления в задаче оптимального по быстродействию пересечения сферы // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 724-735.

5. Акуленко Л. Д., Костин Г. В. Аналитический синтез управления оптимального быстродействия в системе третьего порядка //ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4. С. 532 544.

6. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Наискорейшее приведение динамического объекта в начало координат при равенстве начальной и конечной скоростей // Известия РАН: Теория и системы управления. 2003. Вып. 6. С. 98 105.

7. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Оптимальное по быстродействию возвращение динамического объекта с требуемой скоростью // ДАН. 2005. Т. 403. Вып. 5. С. 614 618.

8. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Наискорейшее приведение динамического объекта в исходное положение с требуемой скоростью. // Известия РАН: Теория и системы управления. 2005. Вып. 5. С. 46-52.

9. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Оптимальное по быстродействию уклонение от двугранного угла. Труды 49-ой научной конференции МФТИ.

10. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2006. С. 256-257.

11. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Наискорейшее приведение материальной точки в заданное положение с требуемой скоростью // ПММ. 2007. Т 71. Вып. 2. С. 228-236.

12. Акуленко Л. Д., Шматков А. М. Синтез управления в задаче оптимального по быстродействию приведения материальной точки в заданное положение с нулевой скоростью //ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 129 138.

13. Акуленко Л. Д., Шматков А. М. Оптимальное уклонение объекта от сферического препятствия // ДАН. 2002. Т. 387. Вып. 5.

14. Акуленко Л. Д., Шматков А. М. Оптимальное по быстродействию достижение сферы материальной точкой с нулевой скоростью. // ПММ. Том. 66. Вып. 1. 2002.

15. Акуленко Л. Д., Шматков А. М. Оптимальное по быстродействию пересечение сферы в вязкой среде. // Известия РАН: Теория и системы управления. 2007. Вып. 1.

16. Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г. Управление космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение. 1974.

17. Альбрехт Э. Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем. // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. Вып. 3.

18. Алешков Ю. 3. Оптимальный вывод точки на траекторию, соответствующую требуемому методу наведения // Вестник ЛГУ, матем., мех., астроном., 1963, Вып. 19, С. 85-91.

19. Андриенко А. Я., Иванов В. П. и др. Вопросы теории терминальных систем управления (обзор), j j Автоматика и телемеханика. 1974. Вып. 5.

20. Беллман Р. Динамическое программирование. М., ИЛ, 1960.

21. Белолипецкий А. А. Линейная задача оптимального быстродействия с параметром. // ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14. Вып. 5.

22. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 407 с.

23. Брайсон А., Хо Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

24. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Бином, 2004.

25. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

26. Внучков Д. В. Оптимальное по быстродействию приведение динамической системы с линейной диссипацией в заданное конечное положение // Известия РАН: Теория и системы управления. 1998. Вып. 3.

27. Габасов Р., Гневко С. В. и др. Прямой точный алгоритм построения оптимального управления в линейной задаче. // Автоматика и телемеханика. 1983. Вып. 8.

28. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1974.

29. Гродзовский Г. JI., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М.:Наука. 1975.

30. Гукасян А. А. Управление и оптимизация движений манипуляционных роботов с абсолютно твердыми и упругими звеньями. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико математических наук. Ереван. 1996.

31. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука. 1977.

32. Гуткин Л. С., Борисов Ю. П. и др. Радиоуправление реактивными снарядами и космическими аппаратами. М.: Советское радио. 1968.

33. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. М.: Наука. 1971.

34. Дубовицкий А. Я., Рубцов В. А. Линейные быстродействия. // ЖВМ и МФ. 1968. Т. 8. Вып. 5. с. 937.

35. Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

36. Ивашкин В. Оптимизация космических маневров. М.: Наука. 1975.

37. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974.

38. Кириллова Л. С. Задача об оптимизации конечного состояния регулируемой системы. // Автоматика и телемеханика. Т. 24. Вып. 9. 1963.

39. Козьмин И. В. Исследование двухточечной граничной задачи для управляемой системы с симметриями. Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 37-ой Региональной молодежной конференции. Екатеринбург. 2006.

40. Коробов В. ИМаринич А. П., Подольский Е. Н. Управляемость линейных автономных систем при наличии ограничений на управление // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11. Вып. 11.

41. Коробов В. И., Скляр Г. М. Оптимальное быстродействие и степенная проблема моментов // Мат. сб. 1987. Т. 134. Вып. 2. С. 186-206.

42. Костин Г. В. Оптимальное по быстродействию управление механической системой с учетом сил трения и гармонического возмущения, j j Известия РАН: Теория и системы управления. Вып. 4. 2005.

43. Кошелев А. П. Синтез управления в задаче оптимального по быстродействию приведения материальной точки в начало координат с заданной финальной скоростью. Труды 45-ой научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2002. С. 36.

44. Кошелев А. П. Оптимальный по быстродействию разворот материальной точки. Труды 46-ой научной конференции МФТИ. Москва Долгопрудный. МФТИ. III том. 2003. С. 43.

45. Кошелев А. П. Исследование оптимального управления для линейной задачи быстродействия. Труды 47-ой научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2004. С. 176.

46. Кошелев А. П. Параметрический анализ в задаче управления материальной точкой с учетом линейной диссипации и внешней силы. Труды 48-ой научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2005. С. 226-228.

47. Кошелев А. П. Исследование особенностей одного класса задач оптимального быстродействия. Труды 49-ой научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2006. С. 262.

48. Кошелев А. П. Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов. Том I. Н.Новгород. 2006. С. 73-74.

49. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука. 1985.

50. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

51. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука. 1970.

52. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

53. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Оптимальное уклонение в дифференциальной игре. Дифференциальные уравнения. 1968. 4. Вып. 12.

54. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука. 1973.

55. Кротов В. Ф., Саргин В. Н. Об оптимальных траекториях полета самолета. Вопросы аналитической и прикладной механики. М.: Оборон-гиз. 1963.

56. Крылов И. А., Черноусько Ф. JI. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2. Вып. 6.

57. Кузнецов А. Г., Черноусько Ф. Л. Об оптимальном управлении, минимизирующем экстремум функции фазовых координат // Кибернетика. 1968. Вып. 3. С. 50 55.

58. Ларин В. В., Науменко К. И., Супцев В. Н. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью. Киев.: Наукова думка. 1973.

59. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука. 1968.

60. Летов А. М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

61. Летов А. М. О разрыве между теорией и практикой. // Автоматика и телемеханика. 1966. Вып. 2.

62. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука. 1972.

63. Любушин А. А. Модификация и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. Вып. 1.

64. Миеле А. Механика полета. Т. 1. Теория траекторий полета, изд-во Наука. М.: 1965.

65. Моисеев Н. Н. Численные методы оптимальных систем. М.: Наука, 1977.

66. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

67. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

68. Несбит Р. А. Применение современных методов анализа и синтеза к системам управления летательными аппаратами. Современная теория систем управления. Сборник под редакцией К. Т. Леондеса. М.: Наука. 1970.

69. Овсеевич А. И. О полной управляемости линейных динамических систем. // ПММ. Том. 53. Вып. 5. 1989.

70. Остославский И. ВСтражева И. В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. Оборонгиз. 1963.

71. Павлов А. А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966.

72. Понтрягин Л. С.,Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. : Наука, 1969. 384 с.

73. Пшеничный Б. Н. Численный метод расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем. // ЖВМ и МФ. 1964. 4. Вып. 1. с. 52-60.

74. Раковщик Л. С. Построение допустимых управлений. // Автоматика и телемеханика. Вып. 10. 1962.

75. Саввин А. Б. О наибыстрейшем выведении изображающей точки за пределы заданной области фазовой плоскости // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1963. Вып. 4.

76. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления. // ДАН СССР. 1965. 162. Вып. 4. с. 763.

77. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. JL: Машиностроение. 1976.

78. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

79. Фельдбаум А. А. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства // Автоматика и телемеханика. 1955. Т. 16. Вып. 2. С. 129-149.

80. Формальский А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

81. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 320 с.

82. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

83. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973.

84. Черноусько Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

85. Черноусько Ф. Л., Шматков А. М Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка. //ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 723 731.

86. Шелементьев Г. С. Об одной задаче коррекции движения. ПММ. 1969. 33. Вып. 2.

87. Balandin D. V., Bolotnik N. N., Pilkey W. ^.Optimal protection from Impact, Shock and Vibration. Gordon and Breach Science Publishers. 2001.

88. Neustadt L. W. Synthesys of time-optimal control systems. // J. Math. Anal. Appl., 1960. 1, p. 484-492.