Свойства функции быстродействия линейной системы в критическом случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

3 г г Государственный комитет Российской Федерации 1 ' " ^и по высшему образованию

Удмуртский государственный университет

На правах рукописи РОДИОНОВА Алла Григорьевна

УДК 517.977

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 1993

Работа выполнена в Удмуртском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Е. Л. Тонков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В. П. Максимов; доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник В. Н. Ушаков.

Ведущая организация — Институт математики АН Беларуси.

7 "_ часов на заседании специализированного совета К064.47.01

по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Красногеронская, 71.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «_/$_» ____ 1993 г.

Защита состоится

1993 г. в

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

А. Г. Иванов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теьш. Одной из основных задач теории управления линейными объектами является задача Qti исследовании свойств и методов построения позиционного управления, оптимального по 'быстродействии. Позиционное управление можно строить на основе исследования уравнения Оеллиана, что, в своя очередь, приводит к изучению свойств функции быстродействия. Основополагающие результаты в этой области принадлежат Н. Н.Красовскому, А.И. Субботину (С 11), Р.Габасо-ву, Ф. Н. Кирилловой С £ 23 3 и др. Свойства функции быстродействия в случае, когда 0 е int U либо 0 е Int со U, достаточно полно изучены, например, в работе СЗ]. В математических моделях некоторых прикладных задач возникает ситуация, когда нужно рассматривать управляемые объекты вдоль траекторий фиксированной динамической системы при условии О € U (не исключается и так называемый критический' случай, когда Oedt! 3. Именно этот случая представляется наиболее актуальным.

Целью работы является исследование свойств функции быстродействия управляемой системы

х = A(flüs)jc + и, х е К", а 6 П, и е UCfl(ü),

1. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.:Наука, 1974. 455с.

2. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Костюкова 0. И. Оптимизация линейной системы управления в режиме реального времени //Техническая кибернетика. ->1992. Н4. С. 3-19.

3. Петров H.H. О функции Беллыана задачи оптимального управления //ПММ. 1970. Но. С.820-826.

когда множество U(u) содержат нуль (возможно, О € ôUCu) при всех йяй при некоторых ы <= Ш.

Катоды исследования. Используется обдая тоория дифференциальных уравнений, теория динамических систем, методы выпуклого анализа н многозначных отображения.

Научная новизна. Основные результаты являются новыми. Приведены примори, иллюстрирукюяе излагаемый материал.

Теоретическая и практическая ¡значимость. Результаты работы косят теоретический характер. Оки развивает odayt) теории задачи быстродействия для линейны.'. систам к могут быть использованы при построении позиционного управления и в задачах качественного исследований квазилинейных объектов.

Апробация работы. Результаты работы докладывалась на IV Уральской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям к их приложениям СУфа, 1589 г.), на семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям профессора Н. В. Лзбелева (Пермь, 1992 г.З. на семинаре по теория динамических систем члена-корреспондента РАН А.И. Субботина (Екатеринбург, 1S93 г.З, на Ижевском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (1PS8-1G93 г.г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах, список которых помеаен в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертация изложена на 96 страницах машинописного текста и .состоит из введения, трех глав (девяти параграфов) и списка литературы, включаюаего 52

наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит краткое изложение содержания диссертации,, обосновывается актуальность тени, приведены основные положения, выносимые на завдту.

В первой главе излагаются оснозныо понятия, касапзшеся управляемой линейной системы вида

х = А(Г1и)х + и, з? € К", и е 0, и е ис^и), (1)

где (0,Г13 - топологическая динамическая система (Г1 - поток на Ш, р = (А,Ш; П ЕпсКи^ЗхСопуСО?1). СЕпсКО?") - пространство линейных отойрахений из О?1 в СопуСШГ) - пространство непустых выпуклых компактных подшюхеста в О?1 о метрикой Хаусдорфа (ИгО.

Будем предполагать, что для функций А и II выполнены следующие условия;

для каждого «о 6 П функции Л —* АС Г1 «1, I —♦ 1К Г1 «)

измеримы,

• 51ф / |АСГяш) < ш , еэзБир «иэииСГ* «),«)» < ю ; л ЧеЗ?

$2) для каждого и е 0 и лгхЗого Ь е В?

о

И» ; | АС Г*сл5-АС Гвы = о,

ОН« . 0

в I . 1*1 •

Пт X «ИвиисГТыЗ.исГ"« - 0;

^о »

83) для всех и € П имеет место включение 0 е 11(и) (не исключается и так паэываэыый критически^ сличай, ксг;; -> О € &Кы> при всех яли при некотррих о> € Ш.

Обозначим через О^Ст,«) множество управляемости. системы (1) на отрезке 1т,т+&] и пусть ВСт.«) - множест-

во управляемости на [г.ш).

Далее, обозначим через ТСх.т.ы) функции (быстродействия системы С1), т.е. отображение Т: ¡К?хС?хО—» 10.ю], определенное равенством

ТСх.т.ы) = 1пГ <1 2: 0 | х б В^т.ы)).

Если х 3 О^Ст.ы) для любого 1>0, то полагаем ТСх.т.ы) " +ш.

Напомним связь функции быстродействия с множеством управляемости

О^Сг.о) = (х е | ТСх.т.ы) 5 &>. (2)

Рассмотрим произвольную функции дСь.ш), заданную ка О? х 0 со значениями в произвольной метрическом пространстве.

Определение 1. Будем называть функций (I,«) —♦ дС1,ы) стационарной относительно потока Г1, если для всех С1.ы) е и? хП выполнено, равенство дС1,ы) = дС0,Г1ы).

В первом параграфе доказана стационарность множеств управляемости т,и), ВСт.ы) и функции быстродействия Ст.ы) —» ТСх.т.ы). В силу свойства стационарности будем писать й^С^ы) вместо О^Ст.ы) и аналогичные изменения внесем для 0Ст,ы) и ТСх.т.ы).

Во втором параграфе приведены примеры управляемых

»0 Нумерация определений и теорем в автореферете не совпадает с нумерацией в диссертации.

объектов, рассматривает« вдоль траекторий фиксированной динамической системы. В качестве фазовых пространств динамической системы в примерах рассматривается пространство Степанова, пространство Фавара (замыкание множества сдвигов почти периодической системы), тор к конечномерное евклидово пространство.

Вторая глайа посвящена исследовании условий непрерывности функции быстродействия системы CID.

Для формулировки'основных результатов отсй главы введем следующие обозначения.' Для (x-,u) е dorn Т (эффективное шю-хествс определения) положим а = Т(х,со) и рассмотрим

H(x,u) = <? е Sn" | = c(?,Dff(u))>

- ¡.тожество внеЪних нормалей к Dff(u) в точке х € dDaCu) н множество МСх.и) = ПСя.со) «ХСО,а,со) (где X(t,s,w) - матрица Коши, Sn"'•- единичная сфера, £ —+ C(£,F) - опорная функция

•множества F е ConvCtR"), £х - скалярное произведение).

Рассмотрим также кокус -

КСы) .= cl (х 6 I? \ х = Xu, u е UCw), X > 0>,

опорный к множеству UCw) в нуле,'и К0(и) - полярный конус к КСы), ;

Л е и м а 1. Для каждого со € П и всех т 2: 0, fr i О имеет место равенство,

D&+TCw) = D^Cu) '+ XCO,&,w)Dr(f{>oJ), (3)

где ппкс означает алгебраическую сумму множеств.

В третьем параграфе установлены условия непрерывности функции быстродействия по первой переменной.

Зафиксируем ыо е П и возьмем хо е ОСо^). • Обозначим ог

а = ТСх ,ы ) и и »Г0«,

О 0 0 I о

Теорема 1. Функция К —♦ Т(х,ыо) непрерывна в точке х = хо в том и только в том случае, если для всех т) е е МСхо,ыо) и любого £ > 0 имеет место неравенство

СС1).0ЛСГО'ввв)) >0.

Следствием Функция х —► ТСх.ьО непрерывна в точке хо = 0 в том и только в тоы случае, если для всех т) е Б""1 и любого £ > 0 имеет место неравенство

ССт),ЪЛы )) >0.

С С

Следствие 2. Если существуют с > 0 и г)о е е МСх .и ) такие, что для всех I с Ю.с] имеет место включе-

о о .

ние т)СЪЭ е К0^«^) Сгде ?)(Л) - решение задачи Коши Ь -= -уМ^ы^, пСО) = -т?0), то функция х ТСх,ыд) разрывна в точхе х х .

о

Определение 2. Будем говорить, что система. (1) дифференциально управляема вдоль ¿ютока Гесли для каждого £>0 и всех выполнено включение 0 •= 1п1 0£СГ1ы').

Т е о р е м а 2. Функция х —♦ Т(х,ы0) непрерывна на множестве СС«оЗ в том и только в том случае, если система (1) при ы = ы дифференциально управляема вдоль потока Т1.

Показано, в частности, что дифференциальная управляемость вдоль потока системы С1) при со = ы влечет откри-

тость множества 0(и ).

о

Для формулировки слеггтаей теоремы понадобится множество:

г'(й « (к е от | Т(х,оо) * е>.

Теорема 3. Пусть хп1 П&( ио) * 0 для каждого & > 0, тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) = Г'Ш для всех & > 0 ;

2) п йВ^и,5 » 0 для всех > 0 и р * Ь \

3) функция & —» СС^.О^Си строго монотонна для каждого ? е Б""1 ;

4) Фунхиия х —» Т(х,м0) непрерывна в й(«о).

В четвертом параграфе получены условия непрерывности функции ы —» Их,а).

Введем в рассмотрение множества:

0&(х) я (и 6 П : ТСх.и) 5 &),

ГХх) = и сих). 6 >0 е

В работе приводится ряд свойств этих множеств, отметим два нэ них.

1. Точка ы принадлежит множеству П^Сх) (« « (Хх)) в том и только в том случае, если х <= Й^С«) (соответственно х € ОС«)).

2. Для каждого х € ВСш) и. любого &> 0 множество П&(х) замкнуто.

Теорема 4. П-'сть ы <= 0 и х « 0Сь> ). Если

* * о СО

для каждого с^О и любого п <= (Кх ,о> ) = Жх ,ы )-Х(0,а ,о> )

'о о о о о о о

а

кгцв а » Т!к )) выполнено неравенство C(n ,D_(f ®ы ))>0,

■ О О О * ООО

то функция и —» ТСхо,«) непрерывна в точке « = ио.

Следствие 3. Если функция к —» Т(х,ио) непрерывна в точке к = хо, то функция и —» Т(хо,и) непрерывна в

точке w = и .

о

В пятой параграфе приведены примеры, иллюстрирующие теоремы кепрзрывности функции быстродействия. В частности, рассмотрен пример, в котором система (!) дифференциально управляема вдоль потока fl, следовательно, функция х •* Т(х,о) непрерывна в каждой точке DC«).

Рассмотри!* систему

X = Дх + Bv, v е V,

о постоянными матрицами A: R11 0?\ В: Sf R" и множеством

V = Cv € С?" I (v-v )*QCv-v ) ь v*Qv > , . о о . о о

где Q = Q* > 0 (неравенство понимается в смысле квадратичной формы), vo - фиксированный вектор, отличный ' от нуля.

Положим U = BV, rank В = ш и пусть 2 i m £ п. Ясно, что

0 е ¿U. Обозначим чег >з 1С конус, опор" tuft в нуле к множеству U, а К° • конус, полярный К. Пусть dim К0 = г. Выберем в К0 ортонормированный базис т/1\...,Уг> и дополним его векторами т)<г<1'.....т)(п> до базиса в О?1. Построим ' Сгхг)-матри-

fc

цу F = (f ) с элементами f » У*'At)<j' , i,J = 1,...,г, и

w

trxCri-r)) -матрицу G = Cgt}) о элементами g = Т)а 'An<v<' ,

1 = 1,„. , .г; j - г+1.....п.

Следствие 4. Если rank В = m. 2 i я S n, Q =

* Q* > 0, vo 0 и rankCG.FG.....Fr*'G) = г, то функция

к —♦ TCx) непрерывна в эффективной области.

Шестой параграф посвящен вопросу непрерывности функции быстродействия по совокупности переменных.

Определение 3. Система (1) называется дифференциально управляемой в точке w = ио, если для каждого с>0 выполнено включение

О € inU) Со ), С4)

С о

Определение 4. Скажем, что система С1) дифференциально управляема на йд с Q, еепи для каждого ид е По и всех с > 0 выполнено включение (4).

Теорема S. Функция Сы,х) —* ТСсо,х) непрерывна d точке Сыо,0) в том и только в том случае, если система Ci) дифференциально управляема в точке w = соо.

Теорема 6. Функция it,x) —♦ TCflw ,х> Henpeptreiia в С?+ х DCf1«» ) в том и .только в том случае, если система (1) при со = о^ дифференциально управляема вдоль потока Г1.

Запись х n(flue) обозначает отношение в прямом произведении 0? х Conv(Pf)).

Седьмой параграф ■ посвящен изучению непрерывности функции быстродействия нелинейной системы вида

х = ACflw)x + u + gCflw,x), Cx,u,u) е fffxflxUC f1 u), (5)

где

рС-3 = (АС ,UC *)): О End С IK") х ConvCO?1)

удовлетворяет условиям S1) - S3). Функция (и.х) —♦ д(ы.х) со значениями в fff удовлетворяет следуюадм условиям:

1) при каждой фиксированном и б О функция (t,x) —» g(fl<o,xJ удовлетворяет условию Каратеодори;

2) существует функция ш —» КСи) такая, что для каждого

и <= П фуикиия t —* KCf'w) локально суммируема к 1+1

su^ J K(fsw)ds < оо , и суаествует положительное число а > 1

такое, что выполнено неравенство

|gfu,x) | 5 KCu) |х|а для всех (и.х) б ПхОу(О), где г > 0.

Доказана следующая

Теорема 7. Пусть система (1) дифференциально управляема вдоль потока fl при ш = тогда функция быстродействия системы (5) непрерывна в точке х = 0.

В восьмом параграфе установлена взаимосвязь между различными определениями управляемости, введенными в диссертации.

Система (1) называется:

1) дифференциально управляемой в точке wp, если для каждого е>0 выполнено включение

О е int DJu ); (б)

С О

2) дифференциально управляемой иа множестве По с П, если включение С6) выполнено для каждого ы е П и всех

О О

3) дифференциально управляемой вдоль потока fl, если

для каждого в>0 и всех

О е Ш 0£СГ1 о);

4) равномерно локально управляемой вдоль потока |'1. еолн суаестзупт ¿>0 и <5>0, что включение С£С0) с 0£СГ1ы) выполнено для всех Ш);

5) равномерно дифференциально управляемой вдоль потока Г1, если для каждого с>О существует <5=<5Сг)>0, что включение

0£С0) с О/Г1«) выполнено для всех

6) равномерно управляемой на множестве По, если для каждого £>0 существует <5^5(с)>0, что вклочение О^СОЭ с с ЪХи) выполнено для всех ы 6 П .

С О

Теорема 8. Пусть П - минимально относотельно потока Г1. Тогда следуюаие утверждения эквивалентны:

• (а) система (1) дифференциально управляема вдоль потока Г1 для лвйой точки

(63 система (13 дифференциально управляема на П;

Св) система С13 равномерно дифференциально управляема вдоль потока Г1 для некоторой точки «<=П;

Сг) система СП равномерно ятЗДеренциалько управляема вдоль . потока Г1 для каждой точки меО;

. СдЗ система С13 равномерно дифференциально управляема на мнот.естзэ П.

В девятом'параграфе приведены примзри построения инсгге-стез управляемости. ОС сг) на отрезке 10,а) яшпйиай упрзвлче-

- к -

юй системы

х = Ах + Ви, и € и с С^, (7)

где А н В - постоянные вещественные матрицы размерностей лхп и пхга соответственно, и - выпуклый многогранник СО е 11)1 и). Известно, что в случае обвдости положения множество, управляемости 0Са) однозначно определяется своей границей с помощью кусочно-непрерывных управлений, удовлетворяв^« принципу максимума. Поэтому важно уметь находить точки переключения оптимального управления.

В работе для п-2 в случае комплексных собственных значений матрицы А получена формула для точек переключения оптимального управления. . : - .

Для управляемой системы С7) с матрицей В размерности 1хл .и. и = [-1,13 построены управляемые состояния на отрезке 10,от] в классе управлений вида ■ .

и° с и = о,

для различных наборов £ р;

Автор выражает глубокую признательнссть своему научному руководителю профессору Е,Л.Тонксву за помощь и внимание к работа.

II.

Публикации по теме диссертации.

1. Родионова А.Г., Тонкое Ё.Л. О структуре границы множества управляемости линейной системы и задаче синтеза //Всесоюзная школа по оптимальному управлению, геометрии и анализу: Тез.докл. Кемерово, 1986. С.40.

2. - Родионова А.Г. 0 точках переключения //Тр. зон. науч.-техн. конф. пй математическому моделированию. Ижевск, 1938. С.90.

3. Родионова А.Г. 0 многозначном локальном синтезе в критическом случае //Нелинейные колебания и теория управления: Межпуз. сб. науч. тр. Ижевск, 1989. С. 37-43.

4. Родионова А.Т. Точки переключения в двумерной задаче быстродействия //Математическое моделирование и информационные технологии: Мехвуз. сб. науч. тр. Ижевск, 1991. С. 59-62.

3. Родионова А. Г., Тонков Е. Л. К вопросу о построении позиционного управления // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. IV Уральской регион, конф. Уфа, 1989. С. 11.

6. Родионова А. Г. К вопросу о непрерывности функции быстродействия // Ляпуновские чтения: Тез. докл. мехдународн. матеы. конф. Харьков, 1992. С. 133-133.

7. Родионова А.Г. К вопросу о непрерывности функции быстродействия //Вести. Удм. ун-та. 1993. Вы». 1. С. 89-91.

8. Родионова А. Г., Тонков Е. Л. О непрерывности функции быстродействия в критическом случае //Известия вузов. Математика. 1993. Н5С372). С. 101-111.

9. Родионова А. Г., Тонков £. Л. О свойствах функции быстродействия линейной управляемой системы //Успехи мат.наук. 1993. К4. 0.